Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1

Plan: Definicja prawdopodobieństwa Zdarzenie losowe a zdarzenie elementarne Algebra zdarzeń 2

Definicja prawdopodobieństwa Klasyczna Geometryczna Częstościowa Aksjomatyczna 3

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa Pierwszą (klasyczną) definicję prawdopodobieństwa podał P.S. Laplace w 1812 r. Rozważmy doświadczenie losowe kończące się zawsze dokładnie jednym spośród N jednakowo możliwych wyników. Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy stosunek liczby n a zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich zdarzeń N P A = na N A jest podzbiorem tzw. zdarzenia pewnego Ω. A Ω 4

Definicja geometryczna prawdopodobieństwa (Buffona) Wprowadzono, aby móc mówić o prawdopodobieństwie także w przypadku nieskończenie wielu wyników. Przypuśćmy, że w przestrzeni r-wymiarowej mamy pewien obszar G i zawarty w nim obszar g. Doświadczenie polega na losowym wyborze punktu w obszarze G, przy czym wszystkie punkty są równoprawne. Przez równoprawność rozumiemy, że wybory punktów z obszarów o identycznej mierze (przy dowolnym ich kształcie i położeniu) są jednakowo możliwe. Prawdopodobieństwem zdarzenia A polegającego na tym, że losowo wybrany punkt znajdzie się w obszarze g wynosi: P A = miara( g) miara( G) 5

Paradoks Bertranda W danym kole prowadzimy na chybił trafił ( w sposób losowy) cięciwę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie ona dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło? Trzy sposoby rozwiązania, trzy różne odpowiedzi: ½, 1/3, ¼. Przyczyna paradoksu tkwi w tym, że w treści zadania nie sprecyzowano dokładnie, co należy rozumieć przez poprowadzenie średnicy w sposób losowy. 6

Definicja częstościowa prawdopodobieństwa Zaproponowana przez R. von Misesa w 1931 r. Nie ma wad definicji klasycznej ani geometrycznej. Jest zgodna z intuicją i z obserwowalną prawidłowością dotyczącą częstości. Nie jest jednak akceptowalna jako definicja pojęcia matematycznego ( a posteriori). Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest to granica częstości tego zdarzenia, gdy liczba doświadczeń n dąży do nieskończoności P( A) = n( A) lim n n 7

(Kołmogorova) Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Każdemu zdarzeniu losowemu A przypisujemy liczbę P(A), zwaną prawdopodobieństwem tego zdarzenia, taką że 1. 0 P(A) 1. 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności P Ω = 1 3. (przeliczalna addytywność prawdopodobieństwa) Jeśli zdarzenia są rozłączne (wykluczające się parami), to prawdopodobieństwo alternatywy (sumy) zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń. jeżeli A 1, A 2, Є M, przy czym dla każdej pary wskaźników i, j (i j) jest A i A j =Ø, to P A k = k 1 k 1 P A k 8

Konsekwencje aksjomatów Prawdopodobieństwo sumy wzajemnie wykluczających się zdarzeń losowych A i B jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń P czyli:» (Kołmogorov, 1933) A B = P A +P B,gdzie A B= A B 9

Zdarzenie losowe a zdarzenie elementarne W każdym doświadczeniu losowym można wyróżnić pewne najprostsze, nierozkładalne, elementarne wyniki (zdarzenia), charakteryzujące się tym, że każde powtórzenie tego doświadczenia kończy się jednym i tylko jednym z nich. Są to zdarzenia elementarne. Dla każdego doświadczenia losowego rozważamy zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia. Poszczególne wyniki nazywamy zdarzeniami elementarnymi. Zbiór wszystkich wyników nazywamy przestrzenią wyników albo przestrzenią (zbiorem) zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem Ω. 10

Przykład zdarzenia losowego Rzucamy monetą dwa razy. Możliwe wyniki to: (o, o) wyrzucenie dwóch orłów (o, r) wyrzucenie orła, a potem reszki (r, o) wyrzucenie reszki, a potem orła (r, r) wyrzucenie dwóch reszek Zbiór: Ω={(o, o); (o, r) ; (r, o); (r, r)} jest zbiorem zdarzeń elementarnych. Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych ma n- elementów to zdarzeń losowych jest 2 n 11

Przykład zdarzenia losowego W tej sytuacji możliwych jest 2 4 zdarzeń losowych. Wybrane zdarzenia losowe, np.: A = {(o,o); (o,r); (r,o)} wyrzucenie co najmniej 1 orła B = {(o,o); (o,r)} - orzeł w pierwszym rzucie G = {(o,o)} - wyrzucenie dwóch orłów H = {(o,r); (r,o)} wyrzucenie dokładnie jednej reszki 12

Przykład do samodzielnego rozwiązania Dokonać przeglądu wszystkich (uwzględniając zdarzenie pewne i niemożliwe) zdarzeń (jedno-, dwu-, trzy-, cztero-, pięcio- i sześcioelementowych) w doświadczeniu polegającym na rzucie kostką. Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych. Podać liczbę wszystkich możliwych zdarzeń 13

Zbiór zdarzeń elementarnych Wszystkie zbiory, o których mówimy w konkretnej sytuacji zawarte są w pewnym ustalonym zbiorze zdarzeń elementarnych. w geometrii płaszczyzna, przestrzeń arytmetyka zbiór liczb (rzeczywistych, naturalnych) Wybór zbioru zdarzeń elementarnych jest dowolny, zależy od tego, o czym będziemy mówić. 14

Zbiór zdarzeń elementarnych Wszystkie zbiory, o których mówimy w konkretnej sytuacji zawarte są w pewnym ustalonym zbiorze zdarzeń elementarnych. w geometrii płaszczyzna, przestrzeń arytmetyka zbiór liczb (rzeczywistych, naturalnych) Wybór zbioru zdarzeń elementarnych jest dowolny, zależy od tego, o czym będziemy mówić. = {K,D,,W,K,D,W,K,D, W, K,D,W } 15

Zbiór zdarzeń elementarnych = {K,D,,W,K,D,W,K,D, W, K,D,W } liczba wszystkich pozbiorów zbioru n-elementowego= 2 n tutaj: n=12, więc możemy utworzyć 4096 podzbiorów. Na przykład: KRÓLE ={K, K, K, K } TREFLE={K,D, W } 16

Zbiór pusty W każdym zbiorze zdarzeń elementarnych zawarty jest zbiór pusty, tzn. zbiór niezawierający żadnego elementu. W algebrze zbiór pusty ma podobna rolę jak w arytmetyce zero. Oznaczamy - 17

Dopełnienie zbioru Zakładając, że zbiór zdarzeń elementarnych jest ustalony, dla dowolnego zbioru A zawartego w można zdefiniować jego dopełnienie ~A (lub ) 18

Dopełnienie zbioru Dopełnienie zbioru zależy nie tylko od samego zbioru, ale także od zbioru zdarzeń elementarnych. = {K,D,,W,K,D,W,K,D, W, K,D,W } KRÓLE ={K, K, K, K } ~KRÓLE = {D,,W,D,W,D, W, D,W } 8 elementów 19

Dopełnienie zbioru Dopełnienie zbioru zależy nie tylko od samego zbioru, ale także od zbioru zdarzeń elementarnych. = {2, 3,4,,...,2,3,4,...,2,3, 4,..., 2,3,4 } pełna talia kart KRÓLE ={K, K, K, K } ~KRÓLE = {2,...D,A,2...D,A,2,...D,A, 2...D,A } 20

Relacje zdarzeń Suma zdarzeń zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A lub B (alternatywa) A B 21

Relacje zdarzeń Suma zdarzeń zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A lub B (alternatywa) A B A B 22

Relacje zdarzeń Iloczyn zdarzeń zachodzi zdarzenie A oraz zdarzenie B (koniunkcja) A B A inne nazwy: część wspólna, przekrój 23

Relacje zdarzeń Różnica zbiorów zachodzi zdarzenie A oraz nie zachodzi zdarzenie B A \ B A 24

Relacje zdarzeń Różnica zbiorów zachodzi zdarzenie A oraz nie zachodzi zdarzenie B Różnicę można wyrazić przy pomocy dopełnienia A\B = 25

Relacje zdarzeń Różnica zbiorów zachodzi zdarzenie A oraz nie zachodzi zdarzenie B Różnicę można wyrazić przy pomocy dopełnienia A\B = A 26

Relacje zdarzeń Różnica zbiorów zachodzi zdarzenie A oraz nie zachodzi zdarzenie B Różnicę można wyrazić przy pomocy dopełnienia A\B = A (~B) 27

Relacje zdarzeń Różnica zbiorów zachodzi zdarzenie A oraz nie zachodzi zdarzenie B Różnicę można wyrazić przy pomocy dopełnienia A\B = A (~B) 28

Relacje zdarzeń Różnica zbiorów zachodzi zdarzenie A oraz nie zachodzi zdarzenie B Różnicę można wyrazić przy pomocy dopełnienia A\B = A (~B) 29

Relacje zdarzeń Zauważmy, że suma, iloczyn oraz różnica zdarzeń nie zależą od zbioru zdarzeń elementarnych 30

Przykład Niech Znajdź 1) A B 2) A B 3) A\B 4) B\A 5) (~A) (~B) Relacje zdarzeń = {K,D,,W,K,D,W,K,D,W, K,D,W } A = {K,D,D,K,D } B = {K,D,K,D,K } 31

Przykład Niech Znajdź Relacje zdarzeń = {K,D,,W,K,D,W,K,D,W, K,D,W } A = {K,D,D,K,D } B = {K,D,K,D,K } 1) A B ={K,D,K,D,K,D,K,D } = KRÓLE DAMY 2) A B ={K,K } = CZARNE KRÓLE 3) A\B = {K,D,D } 4) B\A = {D,D,K } 5) (~A) (~B)={D,D,K,W,W,W,W } {K,D,D,W,W,W,W }={W,W,W,W }= WALETY

Zbiory rozłączne Wzajemne położenie zbiorów A B =

Zbiory rozłączne Wzajemne położenie zbiorów A B = A B

Zbiory rozłączne Wzajemne położenie zbiorów A B = A B A \ B = A

Zbiory rozłączne Wzajemne położenie zbiorów A B = A B A \ B = A B \ A = B

Zbiory rozłączne Wzajemne położenie zbiorów A B = A B A \ B = A B \ A = B (~A) (~B) =

Wzajemne położenie zbiorów Zbiory zawierające się A B (zdarzenie A pociąga zdarzenie B) A B = A B A \ B = A B \ A = B (~A) (~B) =

Wzajemne położenie zbiorów Zbiory zawierające się A B (zdarzenie A pociąga zdarzenie B) A B = A

Wzajemne położenie zbiorów Zbiory zawierające się A B (zdarzenie A pociąga zdarzenie B) A B = A A B = B

Wzajemne położenie zbiorów Zbiory zawierające się A B (zdarzenie A pociąga zdarzenie B) A B = A A B = B A \ B =

Wzajemne położenie zbiorów Zbiory zawierające się A B (zdarzenie A pociąga zdarzenie B) A B = A A B = B A \ B = B \ A

Wzajemne położenie zbiorów Zbiory zawierające się A B (zdarzenie A pociąga zdarzenie B) A B = A A B = B A \ B = B \ A (~A) (~B) =

Wzajemne położenie zbiorów Zbiory pokrywające się A = B A B B A

A = Prawa oczywiste

Prawa oczywiste A = A = A

Prawa oczywiste A = A = A A = A

Prawa oczywiste A = A = A A = A A =

Prawa oczywiste A = A = A A = A A = A (~A) =

Prawa oczywiste A = A = A A = A A = A (~A) = A (~A) =

A B = B A Prawa przemienności

Prawa przemienności A B = B A A B = B A

A (B C) = (A B) C Prawa łączności

Prawa łączności A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

Prawa rozdzielności A (B C) = (A B) (A C)

Prawa rozdzielności A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

Prawa de Morgana ~(A B) = (~A) (~B) Element nie należy do części wspólnej zbiorów A i B dokładnie wtedy, gdy nie należy do przynajmniej jednego z tych zbiorów.

Prawa de Morgana ~(A B) = (~A) (~B) ~(A B) = (~A) (~B) Element nie należy do sumy zbiorów A i B dokładnie wtedy, gdy nie należy do żadnego z tych zbiorów.

Liczebność zbioru n(a B) = n(a) + n(b) - n(a B)

Liczebność zbioru Przykład A={K,K,K,K } = KRÓLE n(a) = 4 B={K,D,,W } = PIKI n(b) = 3 n(a B) = 1 n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) = 6

Wzór włączeń i wyłączeń n(a B C) = n(a) + n(b) + n(c) + n(a B) n(a C) n(b C) + + n(a B C)

Wzór włączeń i wyłączeń n(a B C) = n(a) + n(b) + n(c) + n(a B) n(a C) n(b C) + + n(a B C) Dodając n(a) + n(b) + n(c), elementy iloczynów A B, A C i B C liczymy dwukrotnie, a elementy zbioru A B C nawet trzykrotnie. Aby ten błąd naprawić, usuwamy nadmiar odejmując składniki n(a B), n(a C) oraz n(b C). Teraz jednak powstał niedomiar: elementy zbioru A B C były co prawda trzykrotnie dodawane, ale zostały też trzykrotnie odjęte. Dodając składnik n(a B C) otrzymujemy ostatecznie poprawny wynik.

Wzór włączeń i wyłączeń n(a B C D) = n(a) + n(b) + n(c) + n(d) + n(a B) n(a C) n(b C) n(a D) n(b D) n(c D) +n(a B C) +n(a B D) +n(a C D) +n(b C D)+ n(a B C D)

Wzór włączeń i wyłączeń Aby znaleźć liczbę elementów sumy A 1 A 2... A n należy dodać składniki n(a i ), następnie odjąć składniki n(a i A j ), dodać składniki n(a i A j A k ) itd. na przemian. Dowód: Trzeba pokazać, że każdy element x A 1 A 2... A n liczony jest przy takim sumowaniu dokładnie raz. Dla ustalonego x, oznaczmy przez m liczbę tych składników A i, do których x należy. Zauważmy, że wówczas x liczony jest razy przy dodawaniu składników n(a i ), razy przy dodawaniu składników n(a i A j ), itd. Łącznie liczony jest zatem razy. Pozostaje zauważyć, że ta suma równa jest 1. Wynika to z tożsamości:, a

Zadanie Na pewnej wyspie mieszka 300 dzikusów, z których każdy jest inżynierem, ludożercą lub zna język angielski. Połowa ludożerców zna język angielski, połowa inżynierów to ludożercy i połowa znających język angielski jest inżynierami. Wiedząc, że żaden ludożerca będący inżynierem nie zna języka angielskiego, odpowiedz na pytanie, z ilu osób składają się te trzy grupy?