Kazmerz Myśleck Metoda elemetów brzegowych w statyce dźwgarów powerzchowych Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej Wrocław 4
Recezec Potr KONDERLA Ryszard SYGULSKI Opracowae redakcyje Aleksadra WAWRZYNKOWSKA opyrght by Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej Wrocław 4 OFIYNA WYDAWNIZA POLITEHNIKI WROŁAWSKIEJ Wybrzeże Wyspańskego 7 5-37 Wrocław ISBN 83-785-83-9 Drukara Ofcyy Wydawczej Poltechk Wrocławskej. Zam. r 85/4.
Sps treśc Ważejsze ozaczea kowecje... 5. Wprowadzee... 7. Metoda elemetów brzegowych..... Wstęp..... Rozwązae podstawowe....3. Jedowymarowe elemety brzegowe... 3.4. Płyta ceka... 6.5. Płyta a podłożu sprężystym... 3.6. Płyta gruba... 8.7. Powłok mało wyosłe... 34.8. Powłoka walcowa... 39.9. Metoda kolokacj Kupradzego... 4 3. Przyblżoe rozwązaa podstawowe rówań rówowag wybraych dźwgarów powerzchowych... 45 3.. Płyty ceke... 45 3... Płyta spoczywająca a podłożu Wklera... 45 3... Płyta spoczywająca a podłożu Pasteraka... 46 3..3. Płyta spoczywająca a półprzestrze sprężystej... 47 3..4. Płyta ortotropowa... 47 3.. Płyty grube... 48 3.3. Powłok mało wyosłe... 5 3.4. Powłoka walcowa... 54 3.5. Promeń zbeżośc przyblżoych rozwązań podstawowych... 56 4. Numerycze przykłady zastosowaa przyblżoych rozwązań podstawowych w metodze elemetów skończoych (MEB)... 58 4.. Wstęp... 58 4.. Płyta spoczywająca a podłożu Wklera... 58 4.3. Płyta spoczywająca a podłożu Pasteraka... 6 4.4. Płyta spoczywająca a półprzestrze sprężystej... 6 4.5. Płyta ortotropowa... 6 4.6. Płyta gruba... 63 4.7. Sferycza powłoka mało wyosła... 65 4.8. Powłoka walcowa... 66 5. Podsumowae... 69 Dodatek A. Uogóloa trasformacja Fourera... 7 Dodatek B. Metoda Hörmadera... 73 Dodatek. Rozwązaa podstawowe -tej potęg laplasjau... 75 Dodatek D. Pochode rozwązań podstawowych -tej potęg laplasjau... 77 Lteratura... 8
Ważejsze ozaczea kowecje (x x x 3 ) kartezjańsk układ współrzędych j k wskaźk z zakresu {3} β γ wskaźk z zakresu {} ( ) ( ) sumowae względem powtórzoego wskaźka w jego zakrese ( ) pochoda cząstkowa względem x operator -tej pochodej cząstkowej względem x laplasja a płaszczyźe (x x ) f g splot fukcj f g a płaszczyźe (x x ) F [w(x x )] = w% ( ) trasformata Fourera (obraz) fukcj w F [ w% ( )] = odwrota trasformata Fourera (orygał) fukcj w% w(x x ) współrzęde w przestrze obrazów Fourera ρ = + promeń w przestrze obrazów L j macerz operatorów różczkowych L j macerz dopełeń algebraczych L j L j wyzaczk L j δ j δ β symbol Kroeckera ε β symbol permutacyjy! sla! = j j! ( j)! symbol Newtoa δ dystrybucja Draca Eν moduł Youga współczyk Possoa Eν λ = ( + ν )( ν ) stała Lamego E µ = = G stała Lamego moduł Krchhoffa ( + ν ) h 3 Eh D = ( ν ) grubość dźwgara powerzchowego sztywość płyty sztywość zgęcowa powłok
6 Eh B = ( ν ) sztywość błoowa powłok 5 H = Gh sztywość postacowa płyty grubej 6 S dwuwymarowy obszar a powerzch środkowej dźwgara powerzchowego krzywa brzegowa obszaru S = ( ) jedostkowy wektor ormaly do krzywej t = (t t ) jedostkowy wektor styczy do krzywej różca prawostroej lewostroej wartośc ecągłej fukcj wartość główa całk (auchy ego) a krzywej Re(a) część rzeczywsta lczby zespoloej a Im(a) część urojoa lczby zespoloej a jedostka urojoa J K K Y fukcje Bessela ke fukcja Kelva fukcja Struvego. H
. Wprowadzee Zagadee brzegowe w statyce dźwgarów powerzchowych przedstawa sę za pomocą jedego z trzech sposobów: rówaa różczkowego zagadea waracyjego (fukcjoału Lagrage a zasady prac przygotowaych sformułowaa Galerka) brzegowego rówaa całkowego. Z każdego z tych sformułowań moża wyprowadzć jedą z trzech domujących obece metod komputerowych: z rówaa różczkowego metodę różc skończoych (MRS) ze sformułowaa waracyjego metodę elemetów skończoych (MES) a z brzegowego rówaa całkowego metodę elemetów brzegowych (MEB) staowącą przedmot ejszej pracy. Metoda elemetów brzegowych występuje w dwóch sformułowaach: pośredm bezpośredm. Pośredą metodę elemetów brzegowych moża wyprowadzć z obowązującej w lowej statyce zasady superpozycj. Newadomym brzegowym są wówczas pewe sły brzegowe emające bezpośredej terpretacj fzyczej (stąd azwa metody). Bezpośredą metodę elemetów brzegowych atomast wyprowadza sę zwykle z twerdzea Bettego o wzajemośc prac (lub ej właścwej dla daego zagadea tożsamośc całkowej). Newadomym są tutaj bezpośredo uogóloe welkośc przemeszczeowe aprężeowe. Nezależe od sformułowaa całkowych rówań brzegowych (pośredego lub bezpośredego) rozwązuje sę je jedą z dwóch metod: kolokacj Galerka. W metodze kolokacj żąda sę spełea brzegowych rówań całkowych jedye w pewych puktach leżących a brzegu (puktach kolokacj). W metodze Galerka ortogoalzuje (mmalzuje) sę błąd przyblżoego rozwązaa całkowego rówaa brzegowego względem fukcj próbych. Jedą z wersj metody kolokacj jest podejśce Kupradzego [ ] polegające a wykorzystau tożsamośc całkowych (odpowadających tożsamośc Somglay w klasyczej teor sprężystośc) zamast brzegowych rówań całkowych. Zaletą tego podejśca jest ukęce oblczaa całek osoblwych a w szczególośc wartośc
8 główych w sese auchy ego całek brzegowych co ma stoty wpływ a uproszczee algorytmów umeryczych. Podejśce to jest kosekwete stosowae w ejszej pracy. Podstawową zaletą cechą metody elemetów brzegowych jest poszukwae rozwązaa rozpatrywaego zagadea a brzegu obszaru a e w jego wętrzu. Powoduje to zmejszee rozmaru przestrzeego zagadea o jede. Dwuwymarowe zagadea statyk dźwgarów powerzchowych redukują sę w te sposób do jedowymarowych rozwązywaych a jedowymarowym brzegu. Nezależe od sposobu sformułowaa zastosowaej metody rozwązaa całkowego rówaa brzegowego stote zaczee ma rozwązae podstawowe wyjścowego układu rówań różczkowych które jest jądrem rówań całkowych. Z fzyczego puktu wdzea jest to rozwązae od jedostkowych obcążeń skupoych a formale defuje sę je jako szczególe rozwązae rówaa różczkowego (bez uwzględea waruków brzegowych) z prawą stroą w postac δ Draca. W zagadeach klasyczej teor sprężystośc rozwązaa podstawowe są zae wyrażają sę przez fukcje elemetare. W przypadku dźwgarów powerzchowych rozwązaa podstawowe są wyrażae przez fukcje specjale trudo dostępe w systemach programowaa lub rozwązaa te e są zae. Orygalym dorobkem autora tej pracy jest podae sposobu wyzaczaa przyblżoych rozwązań podstawowych dla tych zagadeń statyk dźwgarów powerzchowych które są opsywae elptyczym rówaam różczkowym o stałych współczykach. Są to: płyty a podłożu sprężystym płyty grube Ressera Mdla powłok mało wyosłe o stałej krzywźe wyosłe powłok walcowe. Rozwązaa podstawowe mają prostą postać szeregów potęgowych a otrzymao je metodam aalzy matematyczej stosując: trasformację Fourera metodę Hörmadera metodę małego parametru. Początkowo metodę elemetów brzegowych przyjęto w klasyczych zagadeach teor potecjału [3] teor sprężystośc w przemeszczeach [4] aprężeach [5]. Obece metoda elemetów brzegowych jest jedą z ajpowszechej stosowaych metod komputerowych e tylko w zagadeach statyk dźwgarów powerzchowych w trakce swojego rozwoju (poad 3 lat) doczekała sę welu opracowań z których warto wymeć obszere moografe [6 9] oraz prace w języku polskm [ ]. W starszych pracach [7 9 3 4 4] przed pojaweem sę metody elemetów brzegowych moża zaleźć szczególe rozwązaa od obcążeń skupoych rozpatrywaych tutaj dźwgarów powerzchowych. hoć prace te są ceym źródłem formacj dla badacza zajmującego sę metodą elemetów brzegowych podae
w ch rozwązaa e staową jedak kompletego tesora rozwązań podstawowych wymagaego w metodze elemetów brzegowych. Koecze jest węc uzupełee tych rozwązań co e zawsze bywa łatwe możlwe wobec złożoośc rówań opsujących dźwgary powerzchowe. Obece w celu zalezea rozwązań podstawowych stosuje sę róże podejśca p. szereg Fourera [] czy aaltycze rozwązaa ogóle [3 5]. Jedak ajbardzej uwersalą metodą aaltyczą pozostaje trasformacja Fourera kosekwete wykorzystywaa w pracach autora [6 8]. Jedyym problemem jak sę tutaj pojawa jest zwykle trudość w odwróceu obrazów trasformat Fourera. Stosowae zapropoowaej w tej pracy metody przedstawaa rozwązań podstawowych w postac prostych szeregów rozwązań podstawowych -tej potęg laplasjau choć róweż wykorzystuje sę w ej trasformację Fourera e sprawa takch trudośc. 9
. Metoda elemetów brzegowych.. Wstęp Istotę metody elemetów brzegowych wygode jest przedstawć a przykładze prostego zagadea brzegowego dla rówaa Possoa T w= qw S w= w a w T = V a. (.) Powyższe rówae różczkowe może opsywać wele zagadeń auk techk. Tutaj przyjmemy że rówae (.) określa statykę płaskej membray (ajprostszy dźwgar powerzchowy) zajmującej obszar S poddaej jedorodemu apęcu T obcążeu poprzeczemu q. Waruk brzegowe a krzywej przedstawają wymuszoe przemeszczee poprzecze w a częśc obcążee poprzecze V a częśc. Należy sformułować brzegowe rówae całkowe. W tym celu wykorzystamy twerdzee Bettego o wzajemośc prac które w tym przypadku moża zapsać w postac wzoru * * * * qw ds + Vw d = q wd + V wd. S S (.) Zbory welkośc {wqv} {w * q * V * } staową dwa róże układy przemeszczeń obcążeń występujące w twerdzeu Bettego. Gdy w twerdzeu Bettego zamast drugego układu przemeszczeń obcążeń (z gwazdką) zastosujemy układ zwązay z rozwązaem podstawowym { w δ V } tz. q * = δ r T w= δ w= l π r w V = T (.3)
wtedy tożsamość (.) przyjme postać w( y) + V( z y) w( z)d = V( z) w( z y)d + q( z) w( z y)d S S (.4) wobec własośc dystrybucj δ Draca S w( x) δ( x y)d S = w( y) = y S y S. (.5) Po przejścu graczym z puktem y do brzegu rówae (.4) przejdze w brzegowe rówae całkowe β w( y) + V( z y) w( z)d V( z) w( z y)d = q( x) w( x y)d S. S dla puktu regularego a β = ω dla puktu aroża okące rozwarca ω a. π (.6) Perwszą całkę w rówau (.6) ależy rozumeć w sese jej wartośc główej auchy ego. W rówau całkowym (.6) w każdym pukce brzegu występuje jeda ewadoma: reakcja V a częśc przemeszczee w a częśc. W metodze elemetów brzegowych rówae (.6) rozwązuje sę umerycze dzeląc brzeg a elemety skończoe wewątrz których zae ezae welkośc brzegowe ze zboru {wv} są aproksymowae lokale welomaam skch stop. Uzyskuje sę w te sposób lowy układ rówań algebraczych. Szczegółowy tok postępowaa przedstawoo w kolejych puktach tego rozdzału... Rozwązae podstawowe Rozwązaem podstawowym (fudametalym) rówaa różczkowego azywa sę rozwązae szczególe tego rówaa z prawą stroą w postac dystrybucj δ Draca [9 ]. W przypadku aalzy płyty cekej rozwązae podstawowe otrzymuje sę z rówaa x D w( x y) = δ ( x y ). (.7) Ideks x przy laplasjae ozacza różczkowae w pukce x. Rozwązae podstawowe w jest fukcją dwóch puktów: x azywa sę puktem beżącym a y puk-
tem źródłowym. Z defcj rozwązaa podstawowego wyka że e jest oo jedozacze określoe: dwa rozwązaa podstawowe mogą sę różć o rozwązae ogóle rówaa jedorodego []. Rozwązau podstawowemu moża często adać terpretację fzyczą. W zagadeach statyk dźwgarów powerzchowych rówaam opsującym problem są zwykle rówaa rówowag w przemeszczeach a prawe stroy są obcążeam. Zgode z terpretacją dystrybucj δ Draca jako jedostkowej sły skupoej rozwązae podstawowe jest przemeszczeem od takego obcążea odesoym do eograczoego obszaru (bez uwzględea jakchkolwek waruków brzegowych). W przypadku rówaa (.7) ajczęścej przyjmuje sę taką postać rozwązaa podstawowego r w( xy ) = r l r = ( x y ) + ( x ) (.8) 8πD y r w której r jest dowolą stałą o wymarze długośc (zwykle przyjmuje sę r = ). Jak wdać z tego przykładu rozwązae podstawowe e zawsze ma ses fzyczy (tutaj występują eskończoe przemeszczea) gdyż e ma takego sesu eograczoa płyta. Ses fzyczy za to mają rozwązaa podstawowe dotyczące płyt a podłożu sprężystym. Warto zwrócć tutaj uwagę a pokreweństwo rozwązań podstawowych z powerzcham wpływowym często wykorzystywaym w statyce dźwgarów powerzchowych: te druge odoszą sę do dźwgarów powerzchowych z kokretym warukam brzegowym. Osobego podejśca wymagają zagadea opsywae układam rówań różczkowych. Wówczas rozwązaa podstawowe są zdefowae astępującym układem rówań różczkowych: Lu = δ δ. (.9) j jk k Rozwązaem powyższego układu rówań jest macerz (tesor) rozwązań podstawowych u (w tym przypadku o wymarze 3 3). Pokażemy to a przykładze tarczy jk w płaskm stae aprężea opsaej przemeszczeowym rówaam rówowag: µ uβ ( λ + µ ) uγβ γ = δβ δ (.) które moża róweż przedstawć w postac macerzowej µ ( λ + µ ) ( λ + µ ) u u δ. ( λ µ ) µ ( λ µ ) u u = δ + + (.)
3 Rozwązaem tego układu są fukcje [6 9]: u u λ + µ r r ( λ + 3 µ ) r = l 8 π µλ ( + µ ) r 8 π µλ ( + µ ) r λ + µ r r ( λ + 3 µ ) r = l 8 π µλ ( + µ ) r 8 π µλ ( + µ ) r λ + µ rr u = u = r x y. = 4 π µλ ( + µ ) r (.) Tę postać rozwązań podstawowych otrzymao także w dodatku B przy opsywau metody Hörmadera. Rozwązaa podstawowe ( xy ) mają astępującą terpretację fzyczą: jest to składowa przemeszczea u w pukce x wywołaa jedostkową słą skupoą o keruku x β przyłożoą w pukce y. Podobe jak eograczoa płyta róweż eograczoa tarcza e ma sesu fzyczego. u β.3. Jedowymarowe elemety brzegowe W rozwązywau brzegowych rówań całkowych e wymaga sę cągłośc aproksymowaych fukcj brzegowych pojawa sę węc możlwość stosowaa ajprostszych elemetów brzegowych. Przykład takego elemetu o jedym węźle w jego środku stałej wartośc aproksymowaej fukcj wewątrz elemetu pokazao a rysuku.. Newątplwą zaletą tego elemetu jest prostota algorytmów zbudowaych przy jego zastosowau poeważ każdy węzeł jest puktem regularym e ma problemu aroży. Do wad moża zalczyć słabą zbeżość podczas oblczaa welkośc wewętrzych w poblżu brzegu co jest szczególe waże w przypadku dźwgarów powerzchowych emożlwość wprowadzea skupoych welkośc w arożach gdy take występują. Najczęścej stosowaym jedowymarowym elemetam brzegowym są elemety zoparametrycze z fukcjam kształtu w postac welomau terpolacyjego Lagrage a. Weloma Lagrage a stopa a zormalzowaym odcku () z + węzłam parametryzowaym współrzędą lokalą ξ (rys..) ma postać [3] ( ξ ξ ) L( ξ ξ )( ξ ξ ) L( ξ ξ ) L ( ) = = K +. (.3) ( ) ( )( ) ( ) + () ξ + + ξ ξ L ξ ξ ξ ξ+ L ξ ξ+
4 S węzły Rys... Stałe elemety brzegowe węzły / (-)/ ξ () () () (+) Rys... Elemet brzegowy Lagrage a X () X () X X () () Φ () X () () Φ () X Rys..3. Elemet lowy W zastosowaach żyerskch zwykle wystarczają aproksymacje welomaam skch stop. Na rysukach.3.5 przedstawoo terpolacje geometr fukcj brzegowej Φ welomaam Lagrage a do trzecego stopa włącze dla elemetów zoparametryczych.
5 X (3) X () X () X X () () Φ () X () () X (3) (3) X Φ () Φ (3) Rys..4. Elemet kwadratowy X (4) X (3) X () X () X () () Φ () X X () () X (3) X (4) (4) (3) Φ (3) Φ () X Φ (4) Rys..5. Elemet sześcey Fukcje kształtu dla poszczególych stop terpolacj mają postać: Fukcje lowe L ( ξ ) = ξ L ( ξ) = ξ. (.4) () () Fukcje kwadratowe 3 3 3 L ( ξ) = (ξ )( ξ ) L ( ξ) = 4 ξ( ξ) L ( ξ) = ξ(ξ ). () () (3) Fukcje sześcee 4 4 9 L() ( ξ) = (3ξ )(3ξ )( ξ) L() ( ξ) = ξ( ξ )(3ξ ) 4 9 4 L(3) ( ξ) = ξ(3ξ )( ξ) L(4) ( ξ) = ξ(3ξ )(3ξ ). (.5) (.6)
6 Aproksymowae welkośc współrzęde krzywej brzegowej fukcje brzegowe wewątrz elemetu są wyrażoe przez ch wartośc węzłowe x () Φ () : k k () k () k = () = () = = (.7) x ( ξ ) x L ( ξ) Φ( ξ) Φ L ( ξ) gdze zakres sumowaa k wyos 3 lub 4 odpowedo dla aproksymacj lowej kwadratowej sześceej. Warto zwrócć uwagę a koeczość rówomerego doboru węzłów wzdłuż łuku rzeczywstej geometr elemetu w aproksymacj kwadratowej wyższych stop. W przecwym raze geometra brzegu może e być dość dobrze odwzorowaa..4. Płyta ceka ałkowe rówaa brzegowe bezpośredej metody elemetów brzegowych wyprowadza sę zwykle z odpowedej dla daego zagadea tożsamośc całkowej. W zagadeach statyk taką tożsamość staow twerdzee Bettego o wzajemośc prac. Ze względu a podstawowe zaczee twerdzea Bettego w dalszym toku rozważań wyprowadzmy je dla płyty cekej. x x M q t x 3 S V M t P ω L M t R Rys..6. Płyta ceka Rozważa sę płytę ceką której powerzcha podstawowa zajmuje a płaszczyźe (x x ) obszar S ograczoy krzywą brzegową (rys..6). Zakłada sę że krzywa e jest gładka ma N aroży. Podstawowe wzory określające stote welkośc kematycze fzycze w zależośc od fukcj ugęca w(x x ) mają postać: obroty: ϕ = w ϕ = ϕ w ϕt = ϕt = ϕ = ε t ϕ ε ϕ β β β β t (.8)
7 momety zgające skręcające: Mβ = D ( ν) w β + νδβ w γγ M = M M = M t t β β β β (.9) sły poprzecze reakcje brzegowe Krchhoffa V : Q = M = D w Q V β β = Q = Q + M t oraz podstawowe rówae rówowag płyty (rzutów a oś x 3 ) (.) M = q (.) β β lub w przemeszczeach po zastosowau zależośc (.9) D w= q. (.) W celu wyprowadzea twerdzea Bettego rozpatrzymy rówae płyty poddaej dwóm obcążeom q q * które spowodują ugęca płyty w w *. Rówae rówowag (.) moży sę obustroe przez fukcję ugęca w * a astępe całkuje po obszarze S. Po wykorzystau tożsamośc różczkowej (pochoda loczyu fukcj) * * * * β β ( β ) β β β ( β ) β β β M w M w + M w = Q w + M w * (.3) zastosowau twerdzea Ostrogradskego Gaussa otrzymuje sę S () d S = () d * * S S Mβ w β ds = Qw d+ qw ds. * * * * * β β ( β β ) β β ( βϕβ) β β * (.4) (.5) Kolejo stosuje sę podobą tożsamość różczkową do wyrażea podcałkowego z lewej stroy (.5) M w M w M w = M M w (.6) poowe twerdzee Ostrogradskego-Gaussa otrzymując * M w ds M d Q w d qw d S. (.7) * * * β β = β ϕ β + + S S
8 Następe wprowadzając zależość (.8) 4 a ϕ * β (.8) 3 a ϕ * t oraz wykorzystując własośc moża zapsać ε t = ε = t (.8) β β β β * * w * * * Mβ w β S = Mt + Mϕ + Qw + qw S S d d d d d S. (.9) Do wyrażea podcałkowego po prawej stroe (.9) stosujemy tożsamość różczkową * ( t ) * w M t * M t = Mw w. (.3) ałka po gładkej krzywej perwszego składka po zaku rówośc w (.3) zka. Gdy krzywa e jest gładka (posada aroża) ależy całkować kolejo po gładkch odckach. Otrzymamy w kosekwecj sumę różc wyrażea M t w * w każdym arożu (po lczbe aroży). Ostatecze po wykoau całkowaa wstaweu mometów z zależośc (.9) do (.9) oraz wykorzystau wyrażea a reakcję Krchhoffa (.) 3 otrzymuje sę W wyrażeu w postac Mt * * D ( ν) w β w β νw w + ββ ds S * t N * * * t ϕd d = S S = M w + M + V w + qw * d. * (.3) M w fukcja ugęca w * jest cągła moża węc je zapsać w. Różca mometu skręcającego w arożu ma terpretację fzyczą skupoej reakcj w tym arożu M t = R. (.3) Idetyczą z wyżej podaą procedurę moża by przeprowadzć dla rówaa rówowag (.) ale zapsaego dla mometów obcążea z gwazdką ( * ) możąc je przez fukcję ugęca w. Otrzyma sę wówczas podobe rówae do (.3): * * D ( ν) w β w β νw w + ββ ds S N * * * * t ϕd d = S S = M w + M + V w + q wd. (.33) Wobec detyczośc lewych stro tożsamośc (.3) (.33) moża przyrówać także ch prawe stroy:
9 N * * * * + ϕ + + = S Rw M d V wd qwds N * * * * ϕd d = S = R w + M + V w + q wd S. (.34) Tożsamość (.34) przedstawa twerdzee o wzajemośc prac Bettego dla płyty cekej. Warto zwrócć uwagę że oba układy sł przemeszczeń (z gwazdką bez gwazdk) powy być przyłożoe do tej samej płyty (o tej samej geometr własoścach fzyczych). Wypada róweż zauważyć że skupoe reakcje aroże e występują w każdym arożu zależy to od waruków brzegowych sąsedztwa aroża. Układ przemeszczeń sł z gwazdką w tożsamośc (.34) zastąpmy układem sł przemeszczeń od jedostkowego obcążea skupoego przyłożoego do płyty eograczoej q * =δ czyl rozwązaem podstawowym w (.8). Aby obe płyty mały tę samą geometrę z płyty eograczoej wyca sę obszar S. Dzałae odrzucoej reszty płyty eograczoej zastępowae jest przemeszczeam ( w ϕ ) słam przekrojowym ( M V R ) a krzywej brzegowej. Welkośc te które w rzeczywstośc są operatoram dzałającym a rozwązae podstawowe w oblcza sę a podstawe zwązków (.8) (.): ϕ = w ϕ = ϕ w ϕt = ϕt = ϕ = t ϕ ϕ β β β β t Mβ = D ( ν) w β + νδβ w γγ M = M M = M t t Q = M = D w Q V = Q Q β β β = + β β β M t. (.35) Korzystając z własośc dystrybucj δ Draca S y S w( x) δ( x y)d S = w( y) = y S (.36)
otrzymuje sę tożsamość całkową odpowadającą wzorom Somglay w klasyczej teor sprężystośc w() y + M () z y ϕ ()d z + V () z y w()d z + Rw = = M ( z) ϕ ( z y)d + V ( z) w( z y)d+ Rw + S = q( x) w( x y)d S. N N (.37) Po wykoau przejśca graczego z puktem y do brzegu tożsamość (.37) stae sę brzegowym rówaem całkowym a osoblwą całkę z wyrażeem V ależy traktować jako wartość główą auchy ego βw() y + M () z y ϕ ()d z + V () z y w()d z + Rw = S = M ( z) ϕ ( z y)d V ( z) w( z y)d Rw = q( x) w( x y)d S dla puktu regularego a β = ω dla puktu arożaokące rozwarca ω a. π N N (.38) Z czterech welkośc brzegowych w rówau całkowym (.38) dwe są zae z waruków brzegowych (pomjamy a raze reakcje aroże) a pozostałe dwe ależy wyzaczyć z rówań całkowych. Nezbęde druge rówae całkowe otrzymuje sę z tożsamośc (.34) rozpatrując eograczoą płytę obcążoą jedostkowym mometem w keruku ν czyl * δ ( x y) q =. ν y (.39) Odpowadające temu obcążeu ugęce płyty eograczoej w jest zwązae z rozwązaem podstawowym w zależoścą ( ) w w xy =. ν y (.4)
Tożsamość całkowa (.37) po uwzględeu zależośc (.39) (.4) przyjme postać po uwzględeu własośc ϕ ( y) + M ( z y) ϕ ( z)d + V ( z y) w( z)d+ Rw ν = = M ( z) ϕ ( z y)d + V ( z) w( z y)d+ Rw (.4) + S = q( x) w( x y)d S N N S δ ( xy ) w( x) d S = ϕν ( y) = ν y y S y S. (.4) Wszystke welkośc z podwójym adkreśleem oblcza sę ze zwązków (.35) zastępując rozwązae podstawowe w rozwązaem w. Podobe jak w przypadku perwszego rówaa brzegowego dokouje sę przejśca graczego z puktem y do brzegu oraz z kerukem ν do keruku ormalego do brzegu otrzymując druge całkowe rówae brzegowe płyty cekej βϕ ( y) + M ( z y) ϕ ( z)d + V ( z y) w( z)d+ Rw = S M ( z) ϕ ( z y)d V ( z) w( z y)d Rw (.43) = = q( x) w( x y)d S gdze parametr β przyjmuje detycze wartośc jak w rówau (.38). Rówae to moża róweż uzyskać różczkując (.38) względem wektora ormalego do brzegu. W rówau (.43) występuje ecałkowala osoblwość V rzędu /r. Problem te rozwązuje sę korzystając z tożsamośc V( zy )d + R = (.44) która jest po prostu rówaem rówowag rzutów sł a oś x 3. Po pomożeu rówośc (.44) przez w(y) odjęcu stroam od (.43) otrzymuje sę ostateczą postać drugego całkowego rówaa brzegowego płyty [4] N = N N
βϕ () y + M () z y ϕ ()d z + V ()[ z y w() z w()]d y N + R[ w w( y)] M ( z) ϕ ( z y)d = V ( z) w( z y)d Rw = q( x) w( x y)d S. = N S (.45) W zależośc od waruków brzegowych możlwy jest astępujący układ ewadomych fukcj brzegowych: sztywe zamocowae: {M V } ewadome {wϕ } zae swobode podparce: {ϕ V } ewadome {wm } zae brzeg swobody: {wϕ } ewadome {M V } zae. Bardzej złożoa sytuacja występuje w puktach arożych. Spełoe powy być tutaj trzy rówaa: jedo (.38) dwa (.45) ze względu a ecągłość obrotu ϕ. Jedak e zawsze łatwo zblasować lczbę ewadomych z lczbą rówań bez dodatkowej aalzy otoczea aroża. Na przykład w arożu dwóch zamocowaych krawędz (rys..7) ogóla lczba ewadomych wyos 5: jeda reakcja skupoa R dwe wartośc reakcj V dwe wartośc mometów M. W rzeczywstośc w tym arożu zkają momety reakcja skupoa [3]. Naroże to moża węc częścowo wyłączyć z aalzy przyjmując a pror zerowe wartośc welkośc brzegowych. W arożu obustroe swobode podpartym (rys..8) róweż występuje pęć ewadomych {Rϕ L ϕ P V L V P } z których kąty obrotu są rówe zeru [3]. Należy węc spełć rówae (.38) dwa rówaa (.45). M P M L ϕ P ϕ L V P R V L V P R V L Rys..7. Naroże zamocowae Rys..8. Naroże swobode podparte W metodze elemetów brzegowych całkowe rówaa brzegowe rozwązuje sę umerycze. Brzeg dzel sę a L E elemetów brzegowych (p..) otrzymując L W węzłów wlczając w to L R węzłów arożych. W sume otrzymuje sę L W +L R ewadomych wartośc węzłowych. Następe stosując metodę kolokacj żąda sę spełea rówań (.38) (.45) w puktach kolokacj y którym są węzły elemetów brzegowych. Poeważ w puktach arożych spełoe są dwa rówaa (.45)
ogóly blas ewadomych rówań zostae spełoy. W kosekwecj zagadee sprowadza sę do rozwązaa układu lowych rówań algebraczych 3 w AVw AMj A jm A wv ϕ b q = AVw AMj A jm AwV M b q V (.46) gdze współczyk macerzy AA oraz bb oblcza sę z wyrażeń (j) k ( j) A = V( z y ) L ( ξ )d Ktp. Vw E ξ q q S S b = q( x) w( x y )d S b = q( x) w( x y )d S. (.47) Układ rówań (.46) wymaga jeszcze przeesea zaych waruków brzegowych a jego prawą stroę. Osobą uwagę ależy pośwęcć oblczau wartośc główych całek w rówaach (.38) (.45). Wartośc główe całek mają wpływ a współczyk dagoale macerzy A Vw A Mϕ. Najwygodej jest oblczać je pośredo przez aalzę jedostkowych ruchów sztywych płyty [8 9]. Iy sposób omęca całek osoblwych metoda Kupradzego zostae szczegółowo opsay w p..8. Po wyzaczeu wszystkch ewadomych brzegowych moża wrócć do tożsamośc (.37) oblczyć ugęca płyty a po odpowedm zróżczkowau (.8) (.) sły wewętrze płyty..5. Płyta a podłożu sprężystym Rówae rówowag płyty cekej a podłożu sprężystym moża przedstawć w postac ogólej D w + p( w) = q. (.48) Reakcja odporu podłoża p(w) jest lowym operatorem zależym od ugęca płyty w. Jego postać zależy od modelu podłoża. Najprostszym modelem jest podłoże Wklera w którym reakcja odporu podłoża jest lową fukcją ugęca w p ( w) = kw. (.49)
4 Sztywość podłoża k zależy od właścwośc mechaczych grutu. Model te moża terpretować jako zbór ezależych sprężyek (rys..9). q k Rys..9. Podłoże Wklera Newątplwą wadą tego modelu podłoża jest brak jego współpracy poza obszarem płyty co jest ezgode z dośwadczeem. Jeśl uwzględamy zależość (.49) to rozwązae podstawowe w tym przypadku powo spełać rówae D w+ k w= δ (.5). Po zastosowau trasformacj Fourera możemy otrzymać obraz rozwązaa podstawowego w postac lub po rozłożeu a ułamk proste % (.5) w = Dρ 4 + k l w% = D ρ + ρ + l l β β β = = + β = = l = 4 D. k (.5) Po odwróceu obrazu (.5) [5 6] otrzymuje sę rozwązae podstawowe płyty a podłożu Wklera l βr β wr () K K r =. πd l l (.53) Moża je róweż przedstawć w alteratywej postac [7] korzystając z własośc fukcj specjalych [8] l r w() r = ke. πd l (.54)
5 Iym modelem podłoża jest dwuparametrowe podłoże Pasteraka p w) = k w + k. (.55) ( w Z fzyczej terpretacj rówaa (.55) wdać że podłoże to moża traktować jak błoę o apęcu k rozpostartą ad polem spręży z podłoża Wklera (rys..). k q k k Rys... Podłoże Pasteraka Tutaj występuje już współpraca podłoża poza obszarem płyty. Odpowede rówae rozwązaa podstawowego ma teraz postać a jego obraz po trasformacj Fourera D w k w+ k w= δ (.56) w % =. (.57) Dρ k k 4 + ρ + Ze względu a wyróżk maowka obrazu ależy rozpatrzyć trzy przypadk:. k 4Dk <. Po rozkładze a ułamk proste otrzymuje sę a po odwróceu obrazów [5] w% = 4Dk ρ z ρ z k k 4Dk k k + 4Dk k = z = z D D (.58) l βr βr wr () = K K πd l l 4D l = 4 β = + l β = + l 4Dk k D D k k. (.59)
6. k 4Dk =. Tutaj występuje perwastek podwójy w% =. (.6) D k ρ + D Po odwróceu obrazu [5] zajdzemy lr r D wr () = K l. 4 D l = π k 3. k 4Dk >. Oba perwastk maowka są tutaj ujeme w% = k ρ z ρ z 4Dk k k 4Dk k + k 4Dk z z = < = <. D D Po odwróceu obrazu [5] otrzymuje sę l βr βr wr () = K K πd l l (.6) (.6) (.63) l D k + k 4Dk k k 4Dk = 4 β = β = k 4Dk k 4Dk k 4Dk Najbardzej złożoym modelem podłoża jedocześe ajblższym warukom rzeczywstym jest półprzestrzeń sprężysta o stałych sprężystośc E ν (rys..). q. E ν Rys... Półprzestrzeń sprężysta
W tym przypadku e moża podać prostego wyrażea różczkowego określającego reakcję odporu podłoża. Wyzacza sę ją z rozwązaa zagadea Boussesqa (rys..). 7 P= r x x R x 3 Rys... Zagadee Boussesqa Poowe przemeszczee u 3 od jedostkowego obcążea wyraża sę wzorem [9] + ν x3 ( ν) u3 = + 3 R= x + x x πe R R + 3 (.64) a a płaszczyźe (x x ) ν u 3 = r = x πe r + x. (.65) Po zastosowau zasady superpozycj ugęce płyty od odporu podłoża p(y y ) wyraża sę w postac splotu wx ( x) = u( x y x y) py ( y) dydy = u p. 3 3 W te sposób otrzymuje sę układ rówań całkowo-różczkowych w = u3 p D w + p = q (.66) (.67) z dwoma ewadomym: odporem podłoża p ugęcem w. Układ rówań (.67) poddaje sę trasformacj Fourera a astępe elmuje z ego obraz odporu p% otrzymuje sę postać obrazu rozwązaa podstawowego ( ) D ν l 3 ρ 3 ρ + E 3 w% = =. (.68) D l
8 Po rozłożeu a ułamk proste otrzymuje sę β β 3 l w 3l 3l 3 l % = + + D ρ β β ρ + ρ + ρ + (.69) l l l 3 3 β = β =. Odwrócee obrazu (.69) prowadz do astępującej postac rozwązaa podstawowego płyty a półprzestrze sprężystej: l r r wr () = H Y D l l βr βr + βh Y l l βr βr + βh Y. l l (.7) We wszystkch rozpatrywaych tutaj przypadkach płyt spoczywających a podłożu sprężystym spełoe są wyprowadzoe już całkowe rówaa brzegowe (.38) (.45). Należy jedye zastosować odpowede rozwązaa podstawowe: (.53) (.59) (.6) (.63) lub (.7)..6. Płyta gruba W teor płyt grubych (aczej zwaych płytam Ressera Mdla) uwzględa sę wpływ sł poprzeczych odkształceń postacowych z m zwązaych a deformację płyty. Im grubość płyty jest wększa tym bardzej rośe wpływ sł poprzeczych stąd azwa tej teor. W teor płyt grubych występują trzy ezależe parametry przemeszczeowe: ugęce w dwa obroty ϕ. Dodatkowe obcążee płyty staową pola rozłożoych mometów m (rys..3). Zwązk prawa Hooke a dla mometów sł poprzeczych przyjmą teraz postać: ν M = D ( ϕ + ϕ ) + νδ ϕ Q = H + w β β β β γ γ ( ϕ ) (.7)
9 a rówaa rówowag: Q + q= M Q + m = β β. (.7) x x x 3 m m S q t M M Q Rys..3. Płyta gruba Po wprowadzeu zwązków (.7) do rówań (.7) otrzymuje sę trzy rówaa rówowag w przemeszczeach: H w Hϕ Hϕ = q v + v Hw + Hϕ Dϕ D ϕ D ϕ = m + v v Hw D ϕ + Hϕ Dϕ D ϕ = m. (.73) Rówaa rówowag płyty grubej wymagają podaa trzech waruków brzegowych. Pozwala to a dokłade spełee waruków aprężeowych a brzegu swobodym w przecweństwe do płyty cekej gdze te waruk e są spełoe. Zdefujmy astępujące sły brzegowe: M = M Q β β = Q. (.74) W ajbardzej typowych sposobach podparca możemy zebrać zae ewadome welkośc brzegowe: sztywe zamocowae: {M M Q } ewadome {wϕ ϕ } zae swobode podparce: {ϕ ϕ Q } ewadome {wm M } zae brzeg swobody: {wϕ ϕ } ewadome {M M Q } zae. Zapszemy układ (.7) w takej forme aby wygode było zaleźć rozwązaa podstawowe
3 Lu = δδ (.75) j jk k gdze: H H H v + v Lj = H H D D D + v v H D H D D wq wm w m uj = ϕq ϕ m ϕ m ϕq ϕm ϕ m δ δδj = δ. δ (.76) gdze: Po zastosowau trasformacj Fourera do obu stro rówaa (.75) otrzymuje sę M % u % = δ (.77) j jk k Hρ H H M% ν + ν j = H H + D + D + ν ν H D H + D w% q w% m w% m u% j = % ϕ % q ϕ % m ϕ m. % ϕ % q ϕ % m ϕ m + (.78) Z lowego układu rówań (.77) wdać że macerz obrazów rozwązań podstawowych jest odwrota do macerzy M % j
3 u% j Dρ + H 4 HDρ Dρ Dρ ( ) Dρ ν H D( ν) ρ M + + H = % j = Dρ Dρ D( ν) ρ + H Dρ D( ν) ρ + H Dρ Dρ D( ν) ρ + H Dρ D( ν) ρ + H D( ν) ρ H Dρ ( ν) + + H (.79). Macerz rozwązań podstawowych otrzymuje sę stosując odwrotą trasformację Fourera po uprzedm rozłożeu elemetów macerzy obrazu u % j a ułamk proste [5]. Ostatecze rozwązaa podstawowe moża wyrazć w postac: w q r r = l + r l πh r 8πD r m = + + 8πD r πh r m = + + 8πD r πh r m m r r wm = ϕ q = r l wm = ϕ q = r l 8πD r 8πD r ϕ ϕ ϕ k = r r r l l K ( kr) r r r l l K ( kr) r r = ϕ = r l + l + K( kr) 8 π D r πh r H D ( v). (.8) Twerdzee Bettego o wzajemośc prac w przypadku płyty grubej przyjmuje astępującą postać: * * * * * * ( ϕ + ϕ + ) + ( ϕ + ϕ + ) M M Q w d m m qw ds ( ) ( S * * * * * * M M wq d m m wq ds. S = ϕ + ϕ + + ϕ + ϕ + ) (.8) Warto tutaj zwrócć uwagę a brak welkośc arożych które występują w płyce cekej. W mejsce sł przemeszczeń z gwazdką wstawa sę kolejo kolumy macerzy obcążeń (.76) 3 kolumy macerzy rozwązań podstawowych (.76) oraz odpowede sły brzegowe oblczoe a podstawe zależośc (.7) (.74):