ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

Studa Ekonomczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU Redaktorzy naukow Jerzy Mka Katarzyna Zeug-Żebro Katowce 203

Komtet Redakcyjny Krystyna Lsecka (przewodncząca), Anna Lebda-Wyborna (sekretarz), Floran Kuźnk, Mara Mchałowska, Anton Nederlńsk, Irena Pyka, Stansław Swadźba, Tadeusz Trzaskalk, Janusz Wywał, Teresa Żabńska Komtet Redakcyjny Wydzału Zarządzana Janusz Wywał (redaktor naczelny), Tomasz Żądło (sekretarz), Alojzy Czech, Jacek Szołtysek, Teresa Żabńska Rada Programowa Lorenzo Fattorn, Maro Glowk, Mloš Král, Bronsław Mcherda, Zdeněk Mkoláš, Maran Noga, Gwo-Hsu Tzeng Recenzent Janusz Łyko Redaktor Karolna Koluch Skład Krzysztof Słaboń Copyrght by Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego w Katowcach 203 ISBN 978-83-7875-089-5 ISSN 2083-86 Wszelke prawa zastrzeżone. Każda reprodukcja lub adaptacja całośc bądź częśc nnejszej publkacj, nezależne od zastosowanej technk reprodukcj, wymaga psemnej zgody Wydawcy WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ul. Maja 50, 40-287 Katowce, tel. 32 257-76-30, fax 32 257-76-43 www.wydawnctwo.ue.katowce.pl, e-mal: wydawnctwo@ue.katowce.pl

SPIS TREŚCI Anna Czopek ANALIZA PORÓWNAWCZA EFEKTYWNOŚCI METOD REDUKCJI ZMIENNYCH ANALIZA SKŁADOWYCH GŁÓWNYCH I ANALIZA CZYNNIKOWA... 7 Summary... 23 Katarzyna Jakowska-Suwalska WIELOKRYTERIALNY, NIELINIOWY MODEL WIELKOŚCI ZAMÓWIENIA MATERIAŁÓW DLA KOPALNI WĘGLA KAMIENNEGO... 24 Summary... 34 Anna Janga-Ćmel WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ... 35 Summary... 44 Adranna Mastalerz-Kodzs TEORIA FAL ELLIOTTA A TEORIA FRAKTALI PODOBIEŃSTWA I RÓŻNICE W PODEJŚCIU DO MODELOWANIA SZEREGÓW ORAZ OPISU ZACHOWAŃ INWESTORA... 45 Summary... 55 Monka Mśkewcz-Nawrocka MODELE EKONOMICZNE Z DYNAMIKĄ CHAOTYCZNĄ... 56 Summary... 66 Ewa Pośpech PODPISY NIEZAPRZECZALNE PODPISY Z DODATKOWĄ FUNKCJONALNOŚCIĄ... 67 Summary... 79 Zygmunt Przybycn DWUMIANOWY MODEL WYCENY OPCJI W WARUNKACH ROZMYTYCH INFORMACJI... 80 Summary... 90

Adam R. Szromek POMIAR FUNKCJI TURYSTYCZNEJ OBSZARÓW ZA POMOCĄ WSKAŹNIKÓW FUNKCJI TURYSTYCZNEJ NA PRZYKŁADZIE OBSZARÓW PAŃSTW EUROPEJSKICH... 9 Summary... 03 Joanna Trzęsok OCENA WPŁYWU ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH NA ZMIENNĄ ZALEŻNĄ W METODZIE RZUTOWANIA PPR... 04 Summary... 4 Mchał Trzęsok SYMULACYJNA OCENA JAKOŚCI ZAGREGOWANYCH MODELI ZBUDOWANYCH METODĄ WEKTORÓW NOŚNYCH... 5 Summary... 26 Łukasz Wachstel PORÓWNANIE METOD ROZMYTEGO I PROBABILISTYCZNEGO MODELOWANIA ZJAWISKA NA PRZYKŁADZIE OCENY RYZYKA USŁUG INFORMATYCZNYCH... 27 Summary... 35 Macej Wolny ASPEKT SYTUACJI STATUS QUO WE WSPOMAGANIU WIELOKRYTERIALNEGO WYBORU BAZUJĄCEGO NA TEORII GIER... 36 Summary... 47 Macej Wolny WSPOMAGANIE KOOPERACJI Z WYKORZYSTANIEM TEORII GIER I ANALIZY WIELOKRYTERIALNEJ... 48 Summary... 59 Katarzyna Zeug-Żebro WPŁYW REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WARTOŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA... 60 Summary... 68

Anna Czopek ANALIZA PORÓWNAWCZA EFEKTYWNOŚCI METOD REDUKCJI ZMIENNYCH ANALIZA SKŁADOWYCH GŁÓWNYCH I ANALIZA CZYNNIKOWA Wprowadzene Analza składowych głównych analza czynnkowa to dwe najbardzej popularne metody pozwalające na sprowadzene dużej lczby badanych zmennych do znaczne mnejszej lczby wzajemne nezależnych składowych głównych lub czynnków. Nowe zmenne (składowe główne lub czynnk) zachowują stosunkowo dużą część nformacj zawartych w zmennych perwotnych, a jednocześne każda z nch jest nośnkem nnych treśc merytorycznych. Obe powyższe metody redukcj zmennych są często stosowane, gdyż zbyt duża lość rozpatrywanych cech powoduje wzrost skal trudnośc nterpretacj. Zasadnczą przyczyną podjęca tematu jest próba pokazana, że wyżej wymenonych metod, choć są bardzo podobne, ne można utożsamać. Mmo tego, ż w obu przypadkach są oblczane wartośc własne, ładunk czynnkowe tp., to jednak stneją mędzy nm różnce w sposobe dzałana, o czym należy pamętać. Zatem stosowane tych nazw zamenne jest nedopuszczalne. Artykuł składa sę z trzech częśc. Rozdzały perwszy drug są pośwęcone, odpowedno, analze składowych głównych analze czynnkowej, gdze została dokonana krótka charakterystyka tych metod. W rozdzale trzecm, na podstawe przykładu emprycznego, porównano efektywność analzy składowych głównych analzy czynnkowej.. Analza składowych głównych Początk technk analzy składowych głównych pochodzą od Pearsona (90). Jednak główny rozwój tej metody zawdzęcza sę pracom amerykańskego statystyka Hotellnga (933), który wykorzystał ją do analzy testów osągnęć szkolnych.

8 Anna Czopek Podstawową deą metody jest transformacja wyjścowego zboru zmennych,, na nowy zbór zmennych,,, zwanych składowym głównym. W konsekwencj lczba głównych składowych jest równa lczbe zmennych perwotnych. W praktyce ne ma to jednak dużego znaczena, gdyż lczbę składowych głównych ograncza sę w dalszych rozważanach do klku najważnejszych. Zatem celem analzy składowych głównych jest redukcja lczby zmennych przy zachowanu tak dużej zmennośc danych, jak to tylko możlwe. Model matematyczny w analze składowych głównych jest sformułowany w postac następującego układu równań lnowych: Zmenne rzeczywste podlegające obserwacj dla,, są wyrażone jako kombnacje lnowe zmennych neobserwowalnych dla,,, zwanych składowym głównym. Współczynnk dla,,, określają wagę danej składowej w opse zmennych emprycznych... Algorytm postępowana w analze składowych głównych Ponższe krok opsują schemat postępowana w analze składowych głównych [2; 5; 8]. Krok I Sprawdzene założeń Przed rozpoczęcem analzy składowych głównych należy sprawdzć podstawowe założene, aby ocenć zasadność jej zastosowana, a manowce skorelowane zmennych m wyższe korelacje mędzy zmennym perwotnym, tym bardzej uzasadnone jest wykorzystane tej analzy. Korelację bada sę analzując macerz korelacj dla zmennych wzętych do analzy lub wykorzystując test Bartletta [8]. Należy równeż zwrócć uwagę na ponższe warunk [3; 8]:. Normalność rozkładu założene to ne jest koneczne, gdy analzuje sę duży zbór danych. 2. Lczebność reprezentatywność próby do analzy przystępuje sę, gdy próba lczy co najmnej 50 obserwacj. Próbę należy pobrać w sposób losowy. Zbór obserwacj mus być jednorodny.

Analza porównawcza efektywnośc metod redukcj zmennych 9 3. Punkty odstające punkty odstające nestety często znekształcają prawdzwe zależnośc mędzy zmennym. Dobrze jest na początku analzy wykryć take punkty usunąć je z danych. 4. Brak danych w przypadku brakujących danych w analzowanej próbe należy zastąpć brak przez średne lub usunąć przypadk z brakującym danym. Krok II Wybór odpowednej macerzy Następne należy przyjrzeć sę początkowym zmennym. Jeżel analzowane zmenne są porównywalne (wyrażają sę w tych samych jednostkach są tego samego rzędu), to w dalszej analze wykorzystuje sę macerz kowarancj. Jeżel natomast zmenne mają różne jednostk lub są różnego rzędu, analzę składowych głównych przeprowadza sę wykorzystując macerz korelacj. Jest to ważny krok rozpoczynający całą analzę, gdyż składowe główne otrzymane dla macerzy kowarancj korelacj ne muszą być take same. Krok III Wyznaczene składowych głównych Nech,, będze wektorem zmennych wzętych do analzy. Składowe główne są kombnacją lnową zmennych początkowych: Kolejnym krokem jest wyznaczene macerzy współczynnków dla,,, dla zadanego z góry wektora obserwacj. Algorytm wyznaczana współczynnków dla,,, bardzo dokładne opsuje D.F. Morrson [5] A. Stansz [8]. Krok IV Redukcja wymaru krytera wyboru Ważną nformacją jest to, że każda kolejna wyznaczona składowa główna wyjaśna coraz mnejszą część zmennośc początkowych zmennych. W jakmś momence okaże sę, że któraś z kole składowa określa znkomą część zmennośc. Należy zatem dokonać redukcj składowych, stosując w dalszych rozważanach tylko najważnejsze. Popularne krytera redukcj [2; 4; 8]:. Kryterum wystarczającej proporcj stopeń wyjaśnonej warancj orygnalnych zmennych mus wynosć co najmnej 75%. W praktyce najczęścej już przy 2-3 głównych składowych stopeń wyjaśnena warancj jest wystarczający.

0 Anna Czopek 2. Kryterum Kasera elmnacja składowych głównych, których wartośc własne są mnejsze od. 3. Wykres osypska wyznaczene na wykrese lnowym kolejnych wartośc własnych. Interpretacja polega na znalezenu mejsca, od którego na prawo występuje łagodny spadek wartośc własnych. Ne pownno sę uwzględnać węcej czynnków, nż te znajdujące sę po lewej strone tego punktu. Wybór odpowednego kryterum leży w gest statystyka, dlatego też decyzja ta jest dosyć subektywna wpływa na rezultaty analzy. Krok V Interpretacja Interpretację otrzymanych wynków przeprowadza sę za pomocą tzw. ładunków czynnkowych. Ładunk czynnkowe są współczynnkam korelacj pomędzy daną zmenną a składowym. Jeżel powyższa analza jest przeprowadzana na podstawe macerzy kowarancj, to współczynnk korelacj pomędzy -tą zmenną a -tą składową dla,,, oblcza sę ze wzoru:,, gdze: odchylene standardowe zmennej, warancja składowej głównej, a także -ta co do welkośc wartość własna macerzy korelacj (kowarancj), na której opera sę cała analza, odchylene standardowe składowej. Jeśl natomast składowe są generowane z macerzy korelacj, to:, Suma wszystkch wartośc własnych macerzy korelacj (kowarancj) jest całkowtą warancją układu. Dzęk temu można zdefnować część całkowtej warancj wyznaczoną przez -tą składową: 00%

Analza porównawcza efektywnośc metod redukcj zmennych Natomast procentowy udzał zmennośc całkowtej wyjaśnonej przez perwszych składowych oblcza sę następująco: 2. Analza czynnkowa Twórcam głównej koncepcj tej metody są psychologowe CH. Spearman (904) L.L. Thurstone (93). Ch. Spearman wprowadzł pojęce pojedynczego czynnka ogólnego dla wyjaśnena wynków testów ntelgencj. Dopero L.L. Thurstone stworzył podstawy teoretyczne analzy czynnkowej. Celem analzy czynnkowej jest dążene do wyodrębnena wszystkch czynnków, które mogą rzeczywśce tkwć w korelacjach danego układu zmennych, jednocześne zachowując jak najwęcej nformacj zawartych w zmennych perwotnych, a następne redukcja tych czynnków. Model analzy czynnkowej konstruuje sę jako założene wstępne, które jest sformułowane w postac układu równań: gdze. Standaryzowane zmenne perwotne dla,, są wyrażone jako lnowe funkcje zmennych neobserwowalnych dla,,, zwanych czynnkam wspólnym pojedynczego czynnka losowego dla,,, zwanego czynnkem swostym. Współczynnk oraz dla,,,,, są zwane ładunkam czynnkowym określają wagę danego czynnka w opse zmennych emprycznych. W analze czynnkowej przyjmuje sę dwa założena o zmennych czynnkach:. Zmenne czynnk są zestandaryzowane. 2. Czynnk wspólne są ze sobą neskorelowane, czynnk swoste są ze sobą neskorelowane, czynnk wspólne są neskorelowane z czynnkam swostym dla,,,,,.

2 Anna Czopek 2.. Algorytm postępowana w analze czynnkowej Ponższe krok opsują schemat postępowana w analze czynnkowej [2; 5; 8; 9]. Krok I Sprawdzene założeń Założena w analze czynnkowej są podobne jak w analze składowych głównych z tym wyjątkem, że zmenne perwotne pownny meć rozkład normalny lub być doprowadzone do takej postac drogą odpowednch transformacj. Punktem wyjśca oblczeń jest macerz korelacj. Należy dokonać wstępnej oceny stnejących korelacj. Krok II Metody estymacj modelu analzy czynnkowej Rozwązane analzy czynnkowej polega na wyznaczenu układu czynnków wspólnych dla,,, co jest równoważne z określenem dla każdego czynnka odpowadającego mu wektora,,. Dokonuje sę tego wykorzystując jedną z podstawowych metod estymacj, do których m.n. należą [; 5; 7; 8; 9]:. Metoda głównych składowych opracowana przez Hotellnga (933). 2. Metoda głównego czynnka opracowana przez Harmana (960). 3. Metoda najwększej warygodnośc opracowana przez Lawleya (940). 4. Metoda centrodalna opracowana przez Thurstone a (93). Najwększe uznane matematyków zdobyła metoda głównych składowych. Ne bez przyczyny jest ona ustawona jako metoda domyślna w programe Statstca w analze czynnkowej. Wybór każdej z tych metod jest zawsze obcążony mnejszą czy wększą dozą arbtralnośc. Krok III Redukcja wymaru krytera wyboru Krytera redukcj lczby czynnków są analogczne jak w analze składowych głównych. Natomast operając analzę czynnkową na metodze najwększej warygodnośc, można za pomocą stnejącego testu dobroc dopasowana określć, czy lość wybranych czynnków jest właścwą lczbą dla danego modelu, czy też ne [2; 5; 9]. Krok IV Rotacja czynnków Często zdarza sę, że zmenna ma wysoke ładunk na klku czynnkach, co unemożlwa jednoznaczną nterpretację. W takej sytuacj należy przeprowadzć rotację czynnków. W wększośc przypadków rotacja czynnków redukuje dwuznaczność nterpretacj, jaka może wystąpć w rozwązanu bez rotacj.

Analza porównawcza efektywnośc metod redukcj zmennych 3 Dzęk obrotow można łatwej utożsamć każdy czynnk ze zmennym, z którym jest mocno skorelowany. Ustalene najwłaścwszej pozycj układu odnesena jest jednym z najtrudnejszych kroków. Według L.L. Thurstone a (935) należy dążyć do tzw. prostej struktury, która znaczne ułatwa nterpretację wynków. Prostota takej struktury ładunków czynnkowych polega na tym, że każda zmenna ma stosunkowo najprostszą zawartość czynnkową, tj. domnujący ładunek jakegoś jednego czynnka odwrotne marą danego czynnka są tylko nektóre spośród analzowanych zmennych. W praktyce rzadko można doprowadzć do struktury czynnkowej spełnającej krytera struktury prostej, należy jednak dążyć do uzyskana wynku najbardzej do nej zblżonego. Do wykonana rotacj najczęścej stosuje sę metodę VARIMAX lub QUARTIMAX [5; 9], które ostateczne decydują o nterpretacj modelu, gdyż różne metody dają różne pozycje układów os czynnków. Krok V Interpretacja Podstawowym zadanem analzy czynnkowej jest wyznaczene macerzy współczynnków zwanych ładunkam czynnkowym dla,,,,,. Ładunk te można nterpretować w ten sposób, że waga czynnka jest współczynnkem korelacj mędzy zmenną a czynnkem. Zatem: dla,,,,,. Do nterpretacj otrzymanych wynków szuka sę tych zmennych, które mają najwyższe (w wartoścach bezwzględnych) wartośc ładunków czynnkowych dla danych czynnków. Ładunk czynnkowe opsują wkład zmennej do poszczególnych czynnków. Część całkowtej warancj wyjaśnonej przez -ty czynnk jest oblczany ze wzoru: 00% gdze: -ta wartość własna macerzy korelacj dla,,. Natomast procentowy udzał zmennośc całkowtej wyjaśnonej przez perwszych czynnków oblcza sę następująco:

4 Anna Czopek 3. Porównane efektywnośc analzy składowych głównych analzy czynnkowej 3.. Informacje wstępne Do badań posłużyły dane z Rocznka Statystycznego Pracy 200. Analze poddano 3 powatów Polsk ze względu na osem zmennych:. Bezrobotn poprzedno pracujący BPP. 2. Bezrobotn zwolnen z przyczyn dotyczących zakładów pracy BZ. 3. Bezrobotn zameszkal na ws BZW. 4. Bezrobotn neposadający prawa do zasłku BNPZ. 5. Zatrudnen w warunkach zagrożena zwązanego ze środowskem pracy ZŚP. 6. Zatrudnen w warunkach zagrożena zwązanego z ucążlwoścą pracy ZUP. 7. Zatrudnen w warunkach zagrożena zwązanego z czynnkam mechancznym ZCM. 8. Poszkodowan w wypadku przy pracy PPP. 3.2. Wynk analzy emprycznej W artykule tym dokonano redukcj lczby zmennych opsujących zróżncowane powatów Polsk. Uzyskane wynk pozwalają na porównane metody analzy składowych głównych oraz analzy czynnkowej, wskazując przede wszystkm stopeń efektywnośc każdej z nch. Obe analzy zostały przeprowadzone za pomocą programu Statstca. Przeprowadzając badane za pomocą analzy składowych głównych, wykorzystano macerz korelacj otrzymano następujące rezultaty:. Korzystając z kryterum wystarczającej proporcj, dokonano redukcj ośmu zmennych do trzech składowych głównych. Na podstawe tabel można odczytać, ż perwsza składowa wyjaśna necałe 42% całkowtej zmennośc. Druga składowa wyjaśna 26%, a trzeca 0%, co daje łączne ponad 78% całkowtej zmennośc.

Analza porównawcza efektywnośc metod redukcj zmennych 5 Tabela Wartośc własne wyznaczone dla analzowanych danych, procent całkowtej warancj wyjaśnonej przez -tą składową, skumulowane wartośc własne oraz skumulowany procent wyjaśnonej warancj Wartość własna (%) Skumulowana wartość własna (%) 3,34994 4,87426 3,34994 4,87426 2,087453 26,0936 5,43739 67,96743 0,83020 0,6275 6,2504 78,308 0,645555 8,06943 6,89597 86,996 0,477604 5,97005 7,37357 92,6966 0,37222 4,64027 7,74479 96,80993 0,25750 2,69689 7,96055 99,5068 0,039455 0,4939 8 00 Wykres osypska ponżej potwerdza tę decyzję (rysunek ). 4,0 Wartośc własne (korelacje) Tylko zmenne aktywne 3,5 4,87% Wartość własna 3,0 2,5 2,0,5,0 26,09% 0,6% 8,07%5,97%4,64% 0,5 2,70%,49% 0,0-0,5-0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Numer wart. własnej Rys.. Wykres osypska Źródło: Opracowane własne z wykorzystanem programu Statstca.

6 Anna Czopek 2. Ładunk czynnkowe traktuje sę jako korelacje mędzy zmennym a składowym. Dla trzech perwszych składowych ładunk przedstawono w tabel 2. Ładunk czynnkowe dla trzech perwszych składowych Tabela 2 BPP -0,833739 0,449623 0,073746 BZ -0,5962 0,37246-0,88869 BZW -0,564090 0,673689 0,2394 BNPZ -0,826374 0,505603 0,2882 ZŚP -0,549488-0,65535-0,003492 ZUP -0,534307-0,460750 0,279763 ZCM -0,53938-0,5579-0,020974 PPP -0,7662-0,503744 0,0093 Perwsza składowa ma najwyższe, ujemne ładunk czynnkowe ze zmennym BPP, BNPZ, PPP. Określa ona zatem bezrobotnych poprzedno pracujących, bezrobotnych neposadających prawa do zasłku, poszkodowanych w wypadku przy pracy. Druga składowa ma najwyższe ładunk ze zmennym BZW ZŚP, lecz korelacje te ne są zbyt wysoke. Obe zmenne oddzałują w sposób przecwny na tą składową, BZW dodatno, a ZŚP ujemne. Trzeca składowa najslnej ujemne jest zwązana ze zmenną BZ. Brakuje natomast składowej najmocnej skorelowanej ze zmennym ZUP ZCM. Obe te zmenne mają podobne (w wartoścach bezwzględnych) wartośc ładunków dla dwóch składowych perwszej drugej. Opsana struktura jest daleka od spełnena warunków tzw. prostej struktury. Warto sprawdzć, czy dodane czwartej składowej głównej ne popraw powyższej sytuacj. Jest to dość ryzykowne posunęce, znaczne wpływające na rezultaty, gdyż jedyne kryterum wystarczającej proporcj jest spełnone. Wynk przedstawa tabela 3. Ładunk czynnkowe dla czterech perwszych składowych Tabela 3 2 3 4 5 BPP -0,833739 0,449623 0,073746-0,02254 BZ -0,5962 0,37246-0,88869 0,79866 BZW -0,564090 0,673689 0,2394-0,086882 BNPZ -0,826374 0,505603 0,2882-0,03554

Analza porównawcza efektywnośc metod redukcj zmennych 7 cd. tabel 3 2 3 4 5 ZŚP -0,549488-0,65535-0,003492-0,028257 ZUP -0,534307-0,460750 0,279763 0,56679 ZCM -0,53938-0,5579-0,020974-0,5372 PPP -0,7662-0,503744 0,0093-0,023245 Dodana czwarta składowa główna faktyczne jest w najwększym stopnu zwązana ze zmennym ZUP ZCM, ale mmo wszystko w nezbyt wysokm. Krok ten jeszcze bardzej oddalł od spełnena warunków prostej struktury, gdyż zmenne ZUP ZCM mają teraz podobne (w wartoścach bezwzględnych) wartośc ładunków dla trzech składowych. Przeprowadzając badane za pomocą analzy czynnkowej, do wyodrębnena czynnków wykorzystano cztery metody: głównych składowych, głównego czynnka, najwększej warygodnośc oraz centrodalną. Za każdym razem wynk są poprawone za pomocą rotacj Varmax. Wnosk przedstawono ponżej:. Ponższe tabele zawerają: wartośc własne wyznaczone dla analzowanych danych, procent całkowtej warancj wyjaśnonej przez -tą składową, skumulowane wartośc własne oraz skumulowany procent wyjaśnonej warancj wylczone za pomocą wymenonych wyżej metod. Wartość własna Metoda składowych głównych (%) Skumulowana wartość własna (%) 3,34994 4,87426 3,34994 4,87426 2,087453 26,0936 5,43739 67,96743 0,83020 0,6275 6,2504 78,308 0,645555 8,06943 6,89597 86,996 Tabela 4 Metoda głównego czynnka Tabela 5 Wartość własna (%) Skumulowana wartość własna (%) 3,0455 38,0933 3,0455 38,0933,69275 2,5934 4,73429 59,7867 0,062,2702 4,8359 60,44889 0,0270 0,2729 4,8576 60,7207

8 Anna Czopek Metoda najwększej warygodnośc Tabela 6 Wartość własna (%) Skumulowana wartość własna (%) 2,89747 36,2835 2,89747 36,2835,97842 24,73027 4,87589 60,94862 0,27838 3,47970 5,5427 64,42832 0,0906,3264 5,24488 65,56097 Metoda centrodalna Tabela 7 Wartość własna (%) Skumulowana wartość własna (%) 3,08785 38,5982 3,08785 38,5982,80870 22,60878 4,89655 6,20690 0,452,852 5,0476 63,0220 0,34,4763 5,557 64,43964 2. Wykresy osypska: 4,0 Wykres wartośc własnych 3,5 3,0 2,5 Wart. 2,0,5,0 0,5 0,0 2 3 4 5 6 7 8 Lczba wartośc własnych Rys. 2. Wykres osypska metoda składowych głównych Źródło: Opracowane własne z wykorzystanem programu Statstca.

Analza porównawcza efektywnośc metod redukcj zmennych 9 3,5 Wykres wartośc własnych 3,0 2,5 2,0 Wart.,5,0 0,5 0,0 2 3 4 5 Lczba wartośc własnych Rys. 3. Wykres osypska metoda głównego czynnka Źródło: Opracowane własne z wykorzystanem programu Statstca. 3,5 Wykres wartośc własnych 3,0 2,5 2,0 Wart.,5,0 0,5 0,0 2 3 4 Lczba wartośc własnych Rys. 4. Wykres osypska metoda najwększej warygodnośc Źródło: Opracowane własne z wykorzystanem programu Statstca.

20 Anna Czopek 3,5 Wykres wartośc własnych 3,0 2,5 2,0 Wart.,5,0 0,5 0,0 2 3 4 5 6 7 8 Lczba wartośc własnych Rys. 5. Wykres osypska metoda centrodalna Źródło: Opracowane własne z wykorzystanem programu Statstca. Zgodne z wybranym dwoma kryteram kryterum osypska kryterum wystarczającej proporcj, w którym dąży sę do jak najwększego stopna wyjaśnonej warancj orygnalnych zmennych dokonano redukcj ośmu zmennych do trzech czynnków w każdej z wybranych metod. 3. Tablce z wyodrębnonym ładunkam czynnkowym za pomocą wybranych metod z zastosowaną rotacją Varmax przedstawono ponżej. Metoda składowych głównych Tabela 8 BPP 0,906088 0,9388 0,20087 BZ 0,23644 0,05452 0,94652 BZW 0,894938-0,2808 0,03673 BNPZ 0,947446 0,5940 0,7473 ZŚP -0,028337 0,846350 0,8490 ZUP 0,62886 0,727659-0,4502 ZCM 0,0578 0,727890 0,4256 PPP 0,92596 0,838455 0,65270

Analza porównawcza efektywnośc metod redukcj zmennych 2 Metoda głównego czynnka Tabela 9 BPP 0,937549 0,8256-0,50723 BZ 0,36483 0,9573-0,3 BZW 0,78548-0,3366 0,233355 BNPZ 0,9792 0,38627 0,03087 ZŚP 0,02823 0,783307 0,0228 ZUP 0,2730 0,5753 0,04493 ZCM 0,0389 0,68082 0,023434 PPP 0,22772 0,804953-0,095227 Metoda najwększej warygodnośc Tabela 0 BPP 0,952829 0,72299-0,202474 BZ 0,367004 0,90854-0,079508 BZW 0,787298-0,34078 0,25333 BNPZ 0,98287 0,40274 0,064358 ZŚP 0,0279 0,830838 0,6879 ZUP 0,30949 0,57697 0,005766 ZCM 0,089348 0,66609-0,03393 PPP 0,234874 0,825477-0,8597 Metoda centrodalna Tabela BPP 0,932927 0,86528 0,75063 BZ 0,36677 0,90384 0,4739 BZW 0,785637-0,39-0,67420 BNPZ 0,99093 0,3545-0,053094 ZŚP 0,025362 0,8870-0,079666 ZUP 0,2424 0,57359-0,594 ZCM 0,06654 0,66626 0,006779 PPP 0,22090 0,837739 0,34804 Uzyskane wynk wskazują, że najefektywnejszą metodą redukcj zmennych w analze czynnkowej jest metoda głównych składowych z zastosowaną

22 Anna Czopek rotacją Varmax. Wybór trzech czynnków w tej metodze pozwolł na wyjaśnene 78% całkowtej zmennośc, co spełna kryterum wystarczającej proporcj. Metoda ta w najlepszym stopnu przyblżyła wynk analzy do tzw. prostej struktury, każda zmenna jest wysoko skorelowana tylko z jednym czynnkem. W pozostałych trzech metodach wybór trzecego czynnka wydaje sę zbędny. Newele on wnos do wyjaśnena całkowtej zmennośc, która sęga mmo wszystko znaczne ponżej wymaganego pozomu 75%. Wyznaczone czynnk zachowują stosunkowo nedużą część nformacj zawartych w zmennych perwotnych. Co węcej, zmenna BZ ne jest powązana z żadnym czynnkem, nawet dodane czwartego czynnka ne zmenłoby tej sytuacj. Interpretując zatem wynk analzy czynnkowej za pomocą metody składowych głównych, czynnk perwszy wykazuje najwyższe ładunk dla zmennych BPP, BZW oraz BNPZ, a węc jest zwązany główne z bezrobocem. Czynnk drug jest najwyżej skorelowany ze zmennym ZŚP, ZUP, ZCM oraz PPP, a węc jest zwązany z zatrudnenem w warunkach zagrożena poszkodowanem w wypadkach przy pracy, ogólne dotyczy cężkch warunków pracy. Czynnk trzec, najslnej zwązany ze zmenną BZ, równeż dotyczy bezrobotnych, ale konkretne bezrobotnych zwolnonych. Można sę zatem pokusć o następujące nazwy dla opsanych czynnków: czynnk perwszy Bezroboce, czynnk drug Cężke warunk pracy, czynnk trzec Zwolnene. Podsumowane Celem artykułu było porównane efektywnośc analzy składowych głównych analzy czynnkowej. Obe metody służą do redukcj zmennych oraz do wyjaśnana stnejących korelacj mędzy zmennym za pomocą klku neobserwowalnych neskorelowanych składowych głównych czy czynnków. Do badań posłużyły dane z Rocznka Statystycznego Pracy 200. Analze poddano 3 powatów Polsk ze względu na osem zmennych, które w konsekwencj w analze składowych głównych oraz analze czynnkowej zostały zredukowane do trzech składowych trzech czynnków. Analza wybranego przykładu wykazała, ż wynk otrzymane drogą analzy czynnkowej wykorzystującej metodę głównych składowych łatwej poddają sę nterpretacj nż wynk analzy składowych głównych. Wpływ na to ma newątplwe możlwość wykorzystana rotacj. W tym przypadku analza czynnkowa okazała sę efektywnejsza.

Analza porównawcza efektywnośc metod redukcj zmennych 23 Lteratura. Czyż T.: Zastosowane metody analzy czynnkowej do badana ekonomcznej struktury regonalnej Polsk. Wydawnctwo Polskej Akadem Nauk, Wrocław 97. 2. Frątczak E.: Welowymarowa analza statystyczna. Teora przykłady zastosowań z systemem SAS. Szkoła Główna Handlowa, Warszawa 2009. 3. Grabńsk T.: Metody taksonometr. Akadema Ekonomczna, Kraków 992. 4. Krzyśko M.: Welowymarowa analza statystyczna. Wydawnctwo Naukowe UAM, Poznań 2000. 5. Morrson D.F.: Welowymarowa analza statystyczna. Państwowe Wydawnctwo Naukowe, Warszawa 990. 6. Pluta W.: Welowymarowa analza porównawcza w modelowanu ekonometrycznym. Państwowe Wydawnctwo Naukowe, Warszawa 986. 7. Pluta W.: Welowymarowa analza porównawcza w badanach ekonomcznych. Państwowe Wydawnctwo Ekonomczne, Warszawa 977. 8. Stansz A.: Przystępny kurs statystyk z zastosowanem Statstca PL na przykładach z medycyny. T. 3: Analzy welowymarowe. StatSoft, Kraków 2007. 9. Walesak M., Gatnar E.: Statystyczna analza danych z wykorzystanem programu R. Wydawnctwo Naukowe PWN, Warszawa 2009. COMPARATIVE ANALYSIS OF EFFECTIVENESS OF THE METHODS FOR REDUCTION OF VARIABLES PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS AND FACTOR ANALYSIS Summary Prncpal component analyss and factor analyss are the two most popular methods that allow to brng a large number of studed varables to a much smaller number of mutually ndependent prncpal components or factors. New varables (prncpal components or factors) retan a relatvely large part of the nformaton contaned n the orgnal varables, whle each of them s a carrer of other substantve content. Both of these methods of reducton of the varables are often used, because too many pendng attrbutes ncreases the range of the dffculty of nterpretaton. The man reason of undertakng the project s an attempt to show, that the abovementoned methods, although they are very smlar, cannot be ndentfed. Despte the fact, that n both cases egenvalues are calculated, factor loadngs, etc., but stll there are dfferences n the way of acton, about whch t must be remembered. So the usage of these names the varables are unacceptable. The artcle conssts of three parts. The frst and second chapter are devoted, respectvely, to the analyss of the prncpal components and factor analyss, where a short characterzaton of these methods had been made. In the thrd chapter, on the bass of an emprcal example, we compared the effectveness of the prncpal components analyss and factor analyss.

Katarzyna Jakowska-Suwalska WIELOKRYTERIALNY, NIELINIOWY MODEL WIELKOŚCI ZAMÓWIENIA MATERIAŁÓW DLA KOPALNI WĘGLA KAMIENNEGO * Wprowadzene W teor sterowana zapasam występuje wele model, które pozwalają ustalć poltykę ustalana zapasów wyznaczana welkośc zamówena. W wększośc model jako kryterum oceny rozwązań używa sę funkcj kosztów (zamawana utrzymana zapasów) [; 8]. W pracach [3; 4] przedstawono welokryteralne modele, na podstawe których można wyznaczyć welkośc: zamówena, termnu zamówena, zapasów magazynowych, gdze jako funkcj skalaryzującej użyto funkcj kosztów zwązanych z welkoścą zamówena, zapasów magazynowych oraz brakem materału do produkcj. W kopalnach węgla kamennego wchodzących w skład Kompan Węglowej S.A. welkość zamówena podlegającego ustawe o zamówenach publcznych planuje sę około roku wcześnej. Jest to zwązane z czasem ustalena planów zakupów dla wszystkch kopaln oraz z czasem postępowana przetargowego. Zatem welkość zamówena materału dla kopaln należy wyznaczyć jednorazowo na podstawe planów fnansowych oraz planów wydobyca na następny rok. Do rozwązana tego problemu zaproponowano welokryteralny model welkośc zamówena dla materałów, których zużyce, a węc także zapotrzebowane jest zmenną losową o znanym rozkładze prawdopodobeństwa. * Praca powstała w ramach realzacj projektu badawczego nr N N524 552038 Welokryteralne wspomagane planowana kontrolowana potrzeb materałowych w przedsęborstwe górnczym fnansowanego przez Mnsterstwo Nauk Szkolnctwa Wyższego.

Welokryteralny, nelnowy model welkośc zamówena materałów 25. Konstrukcja welokryteralnego modelu welkośc zamówena Nech X będze zmenną losową o znanej dystrybuance F, oznaczającą welkość zużyca materału M na tonę wydobyca, natomast z poszukwaną welkoścą zamówena materału M na tonę wydobyca ( =, 2,, s). Zgodne z teorą zapasów należy zamówć taką lość z materału M, aby z jak najwększym prawdopodobeństwem pokryła ona popyt na ten materał. Wadomo, że zamrożony w magazyne materał zwększa koszty przedsęborstwa. Należy węc zamawać taką lość materału, aby welkość zakupu była jak najmnejsza, lecz ne odchylała sę zbytno od przeszłych welkośc zapotrzebowana na materał, natomast koszty zakupu wszystkch materałów ne przekraczały pewnej zadanej kwoty K. Założono, że welkość zużyca na materał M ( =, 2,, s) ne wykazuje trendu an wahań okresowych. Przyjęto także, że wszystke wadomośc o warunkach panujących w kopaln, mających wpływ na welkośc zużyca materałów, znajdują sę w danych z przeszłych okresów. Za funkcje krytera przyjęto dla każdego materału M : welkość zamówena z, welkośc odchyleń welkośc zamówena z od rzeczywstych welkośc zużyca materału x, x 2,,x n w ostatnch n okresach, prawdopodobeństwo braku materału M do wykonana robót. Model ten można zapsać w postac: z mn, F ( z ) max, xt z mn, s c z K, = z 0, =, 2,..., s, t =,2,..., n, () gdze: c cena jednostk materału M, K kwota przeznaczona na zakup materałów M, M 2,, M s. Przyjęto oznaczene: f celu (z,z 2,, z s ) = (F (z ),F 2 (z 2 ),, F s (z s ), z, z 2,, z s,, x t z,, xst z, t =, 2,., n). s

26 Katarzyna Jakowska-Suwalska W celu wyznaczena rozwązań efektywnych welokryteralnego problemu najczęścej wprowadza sę skalaryzację zagadnena [; 5; 6; 7]. W przypadku rozważanego modelu będze ona mała postać: max( s( u, fcelu ( z, z2,..., zs ) : z, z2,..., z Q) u U s, gdze: u wektor x parametrów sterujących, s : U Y R funkcja skalaryzująca, Q zbór ogranczeń. Jeśl oznaczy sę przez u wagę nadaną przez decydenta materałow M ( =,2,..., s ) na podstawe ważnośc materału w procese produkcyjnym, tak aby u, u2,... u s > 0 oraz u + u2 +... + us =, to można przeprowadzć skalaryzację za pomocą średnch ważonych. Model wtedy przyjme postać: s = s = s = u z mn u F ( z ) max u x t =,2,..., n s = c z K z 0 z =, 2,..., s. t mn ( a) ( b) ( c) Poneważ w grupe kryterów (c) występują różnce x z pomędzy welkoścam zamówena materału z a jego zużycem x t w mnonych okresach t =,2,...,n, węc warto przeprowadzć proces postarzana obserwacj poprzez wprowadzene dla poszczególnych okresów odpowednch wag. Można zastosować jeden z następujących sposobów wyznaczana wag: 2t w t = dla t =, 2,..., n (wag lnowe), n( n + ) w t = w t + n( n + t dla t =, 2,..., n przy w 0 = 0 (wag harmonczne), ) t

Welokryteralny, nelnowy model welkośc zamówena materałów 27 w n t+ = n ( a) t= t ( a) t dla t =, 2,..., n oraz a [0,] (wag wykładncze). Dla grupy kryterów (c) można węc wprowadzć skalaryzację następująco: n s uwt xt t= = z ( a), ( b) ( c) Jeśl decydent wyznaczy wag α α, α 0 ustalające ważność poszczególnych grup kryterów (a), (b), (c), można wprowadzć skalaryzację w postac: s(u,f celu (z, z2,...,zs)) = α s (a) = u z u α + α gdze: u z zuntaryzowane welkośc zamówena z,. s (b) = n (c) t= u F (z s u x t zuntaryzowane wartośc welkośc zużyca. Do untaryzacj zostane wykorzystana reguła [7]: y u t = u ) u w ( x t u t z u, (2) ) y mn( yt : t =,2,..., n) =. (3) max( y : t =,2,..., n) mn( y : t =,2,..., n) t t Wartośc u u z, t x dla =, 2,..., s wyznaczono ze wzorów: z u = max( x t : t =, 2,..., n) mn( x z t, : t =, 2,..., n) =, 2,... s, u xt xt =, =, 2,... s max( x : t =,2,..., n) mn( x : t =, 2,..., n) t gdze x t to obserwacje welkośc zużyca materału M w okresach t =, 2, n. Model () przyjme węc postać: t

Katarzyna Jakowska-Suwalska 28 = + + > = + + + > = = + = = = = = 0,,,... 0,,..., 2,...,, 0 ) 2,...,, : max( max ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 ) ( ) ( ) ( c b a c b a s s s t u t u s t n t c u s a u s b u u u u u u K z c s z n t x z x w u z u z F u α α α α α α α α α (4) 2. Wskaźnk oceny rozwązań W artykule przyjęto, że wszystke nformacje o procese produkcyjnym, warunkach panujących w kopaln mających wpływ na zużyce materałów są zawarte w danych hstorycznych dotyczących welkośc wydobyca oraz welkośc zużyca materałów. Założono, że w planowanym okrese warunk te sę ne zmeną. Do oceny welkośc zamówena z materału M zaproponowano wskaźnk oparte na danych hstorycznych: wskaźnk nadmaru braku materału M (W nb ), wskaźnk sumy nadmaru braku materału M (W sb ). Zostały one zdefnowane na podstawe prostych wskaźnków zysków strat [2] stosowanych na rynkach fnansowych:, nb L count G count W = (5), = = = n t t n t t sb L G W (6) gdze: > = 0, 0 0 t t t t z x gdy z x gdy z x G (7)

Welokryteralny, nelnowy model welkośc zamówena materałów 29 x z gdy x z > 0 t t L = (8) t 0 gdy x z 0, t x t obserwacje welkośc zużyca materału M w okresach t =, 2, n, count G lczba różnych od zera wartośc G t, count L lczba różnych od zera wartośc L t. Jeśl wskaźnk W, to oznacza, że przy welkośc zamówena z nb w mnonych okresach częścej występowałby nadmar materału M nż jego brak. Zakładając nezmenność warunków, można wtedy stwerdzć, że w planowanym okrese ta tendencja sę utrzyma. Jeśl wskaźnk W, to oznacza, że przy welkośc zamówena z sb w mnonych okresach sumaryczny nadmar materału M (zapasy) byłby wększy nż jego sumaryczny brak. Wynka stąd, że jeśl wskaźnk W ma wysoką wartość (wększą nż ), to przy zamówenu z narastałyby zapasy materału M. 3. Przykład zastosowana welokryteralnego modelu dla ustalena welkośc zamóweń na drewno kopalnane klej poluretanowy Drewno kopalnane jest zużywane w trakce robót eksploatacyjnych do tworzena obudów wyrobsk kopalnanych, natomast klej poluretanowy do uszczelnana wyrobsk [0]. Na podstawe medanowego testu ser na pozome stotnośc 0,05 stwerdzono, że ne ma podstaw do odrzucena hpotezy o braku trendu mesęcznych welkośc zużyca drewna kopalnanego w m 3 na tonę wydobyca oraz kleju polretanowego w kg na tonę wydobyca. Wykazano także, że welkośc zużyca obu tych materałów ne wykazują wahań okresowych. Można węc przyjąć, że mesęczne zużyce drewna oraz kleju poluretanowego wykazują stały średn pozom z wahanam przypadkowym. W tabelach 2 podano podstawowe parametry rozkładu zużyca drewna kleju poluretanowego wyznaczone na podstawe mesęcznych danych z lat 2008-200. sb Podstawowe parametry rozkładu mesęcznego zużyca drewna Tabela Parametry Zużyce drewna w m 3 /t 2 Wartość maksymalna 0,006892 Wartość mnmalna 0,002427 Wartość średna m 0,003580

30 Katarzyna Jakowska-Suwalska cd. tabel 2 Odchylene standardowe σ 0,00086 Współczynnk zmennośc 0,238 Medana 0,003506 Kurtoza 4,796 Skośność,687 Źródło: Opracowane własne na postawe danych z kopaln zrzeszonej w Kompan Węglowej S.A. Welkośc zużyca drewna wykazują slną koncentrację wokół średnej oraz lewostronną asymetrę. Na podstawe welkośc zużyca drewna (w m 3 /t) w ostatnch trzech latach stwerdzono (testem Kołmogorowa-Smrnowa na pozome stotnośc 0,05), że jest ono zmenną losową o rozkładze normalnym N(0,00358;0,0086). Podstawowe parametry rozkładu mesęcznego zużyca kleju poluretanowego Parametry Zużyce kleju poluretanowego w kg/t Wartość maksymalna 0,2034 Wartość mnmalna 0,06772 Wartość średna m 0,22 Odchylene standardowe σ 0,045472 Współczynnk zmennośc 0,37583 Medana 0,20728 Kurtoza -0,40458099 Skośność -0,36842297 Źródło: Jak w tabel. Tabela 2 Welkośc zużyca kleju poluretanowego wykazują słabą koncentrację wokół średnej oraz prawostronną asymetrę. Na podstawe welkośc zużyca kleju (w kg/t) w ostatnch trzech latach stwerdzono, że welkość zużyca jest zmenną losową o rozkładze normalnym N(0,22; 0,045472) (badane wykonano testem Kołmogorowa-Smrnowa na pozome stotnośc 0,05). Można także zauważyć, że oba materały wykazują dużą zmenność zużyca. Dodatkowo stwerdzono na pozome stotnośc 0,05, że ne występuje korelacja lnowa pomędzy welkoścam zużyca drewna kleju poluretanowego. W tabel 3 przedstawono średne ceny jednostkowe drewna, kleju, planowane roczne wydobyce oraz planowaną roczną kwotę wydatków na zakup drewna kleju poluretanowego.

Welokryteralny, nelnowy model welkośc zamówena materałów 3 Tabela 3 Ceny jednostkowe drewna, kleju, planowane roczne wydobyce oraz planowana roczna kwota wydatków na drewno klej poluretanowy Cena za kg kleju c Cena za m 3 drewna c 2 Planowane wydobyce W Maksymalny koszt zakupu materałów K 3,75 zł 296 zł 4 000 000 t 0 970 000,00 zł Źródło: Jak w tabel. W modelu (4) zastosowano lnowe wag w t (t =, 2,,36) rozwązano zagadnene dla różnych wartośc parametrów sterujących. W tabel 4 zameszczono wartośc rozwązań optymalnych zagadnena nelnowego (4) przy różnych wartoścach parametrów sterujących (wag). Dodatkowo w tabel zameszczono welkośc wskaźnków nadmaru braku materału dla kleju poluretanowego drewna kopalnanego.

32 Katarzyna Jakowska-Suwalska Tabela 4 Wartośc rozwązań zagadnena (4) dla różnych wartośc parametrów sterujących Wag kryterów Wag materałów z z2 Wsb Wsb2 F(z) F(z) Welkość zamówena Welkość zamówena Koszt całkowty klej (kg) drewno (m 3 ) zamówena αa 0 u(klej) 0,5 0,2202 0,00360,000,250 0,497 0,508 488082,6 4388, 0 970 000 αc u2(drewno) 0,5 αa u(klej) 0,5 0,2202 0,00360,000,250 0,497 0,508 488082,6 4388, 0 970 000 αc 0 u2(drewno) 0,5 αa 0,5 u(klej) 0,5 0,2466 0,00347,6,000 0,520 0,45 498634,6 3897,9 0 970 000 αc 0,5 u2(drewno) 0,5 αa 0,5 u(klej) 0,6 0,2466 0,00347,6,000 0,520 0,45 498634,6 3897,9 0 970 000 αc 0,5 u2(drewno) 0,4 αa 0,5 u(klej) 0,9 0,2466 0,00347,6,000 0,520 0,45 498633,6 3897,9 0 970 000 αc 0,5 u2(drewno) 0, αa 0,5 u(klej) 0, 0,2202 0,00360,000,250 0,497 0,508 488082,5 4388, 0 970 000 αc 0,5 u2(drewno) 0,9 αa 0,7 u(klej) 0,6 0,2466 0,00347,6,000 0,520 0,45 498634,6 3897,9 0 970 000 αc 0,3 u2(drewno) 0,4 αa 0,5 u(klej) 0,4 0,2202 0,00360,000,250 0,497 0,508 488082,6 4388, 0 970 000 αc 0,5 u2(drewno) 0,6 αa 0,7 u(klej) 0,4 0,2202 0,00360,000,250 0,497 0,508 488082,5 4388, 0 970 000 αc 0,3 u2(drewno) 0,6 αa 0,7 u(klej) 0,6 0,2466 0,00347,6,000 0,520 0,45 498634,6 3897,9 0 970 000 αc 0,3 u2(drewno) 0,4 αa 0,8 u(klej) 0,6 0,2466 0,00347,6,000 0,520 0,45 498634, 3897,9 0 970 000 αc 0,2 u2(drewno) 0,4 αa 0,2 u(klej) 0,4 0,2202 0,00360,000,250 0,497 0,508 488082,6 4388, 0 970 000 αc 0,8 u2(drewno) 0,6 Źródło: Jak w tabel.

Welokryteralny, nelnowy model welkośc zamówena materałów 33 Jak wdać, dla różnych parametrów sterujących otrzymano rozwązana newele sę od sebe różnące. Jeśl przyjme sę zamówene drewna kopalnanego z 2 = 0,0036 m 3 /t, to przy założenu, że warunk w kopaln sę ne zmeną, będą sę tworzyć zapasy drewna (W sb2 =,25). Jeśl przyjme sę zamówene kleju poluretanowego z = 0,2466 kg/t, to przy założenu, że warunk w kopaln sę ne zmeną, będą sę tworzyć zapasy kleju (W sb =,6). Operając sę na powyższych rozważanach, decydent mus wybrać rozwązane, które może być podstawą ustalana planów asortymentowych w poszczególnych grupach przetargowych drewna kopalnanego oraz kleju poluretanowego. Podsumowane Na podstawe analzy przykładu można stwerdzć, że welkość rocznego zamówena zależy od wartośc parametrów sterujących. Stąd zaproponowana metoda pownna być stosowana w postac nteraktywnej, w której decydent będze określał welkośc parametrów sterujących, porównując koszty zamóweń oraz welkośc wskaźnków W sb. Zaproponowany model może służyć jako pomoc przy planowanu rocznych zamóweń na materały do produkcj. Lteratura. Ameljańczyk A.: Optymalzacja welokryteralna w problemach sterowana zarządzana. Ossolneum, Wrocław 984. 2. Domańsk Cz. (red): Neklasyczne metody oceny efektywnośc ryzyka. PWE, Warszawa 20. 3. Jakowska-Suwalska K., Wolny M., Sojda A.: Welokryteralny model sterowana zapasam. ZN Poltechnk Śląskej, sera Organzacja Zarządzane 20, 57, s. 69-82. 4. Jakowska-Suwalska K., Wolny M., Sojda A.: Welokryteralne sterowane zapasam jako element wspomagana potrzeb materałowych. Zarządzane Edukacja 20, 96, s. 27-280. 5. Konarzewska-Gubała E.: Programowane przy welorakośc celów. PWN, Warszawa 980. 6. Nowak M.: Interaktywne welokryteralne wspomagane decyzj w warunkach ryzyka. Metody zastosowana. Akadema Ekonomczna, Katowce 2008. 7. Kukuła K.: Metoda untaryzacj zerowej. Wydawnctwo Naukowe PWN, Warszawa 2000. 8. Krzyżanak S., Cyplk P.: Zapasy magazynowane. Bbloteka Logstyka, Poznań 2007. 9. Ogryczak W.: Welokryteralna optymalzacja lnowa dyskretna. Wydawnctwa Unwersytetu Warszawskego, Warszawa 997.

34 Katarzyna Jakowska-Suwalska 0. Prusek S., Stałęga S., Stochel D.: Metody środk przeznaczone do uszczelnana wzmacnana górotworu oraz obudowy wyrobsk. Prace Naukowe Głównego Instytutu Górnctwa nr 863, 2005.. Sarjusz-Wolsk Z.: Sterowane zapasam w przedsęborstwe. PWE, Warszawa 2000. THE MULTI-CRITERIA, NONLINEAR MODEL OF ORDER SIZE OF MATERIALS FOR HARD-COAL MINE Summary In the work there s a mult-crtera model of order sze of materals used n producton presented. It was assumed that the consumpton sze of each materal s a random varable of known probablty dstrbuton. In the model wth the purchase cost of materals ordered lmted there were three crtera: order sze, probablty of lack of materals n the producton process, devatons of order sze from the consumpton sze n the past perods. It was shown on an example how to use the model for determnng the order szes for polyurethane adhesve and wood n one of the hard-coal mnes.

Anna Janga-Ćmel WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ Wprowadzene W rozwoju każdego zjawska nezależne od tego, jak rozwój ten jest ukształtowany przez trend wahana, można wyznaczyć okres równowag stotny dla krótkego lub długego okresu okres ustablzowanej zależnośc, równeż stotny dla krótkego lub długego okresu. W okrese równowag są zachowane parametry rozkładu charakteryzujące wartość oczekwaną, warancję asymetrę, poneważ w okrese tym ma sę do czynena z nezmennczoścą rozkładu badanych zmennych. Z kole okres ustablzowanej zależnośc dotyczy kolejnych lat, w których ne obserwuje sę stotnych zman w charakterze, sle kerunku zależnośc. Długookresowa równowaga dotyczy okresu, w którym stneją mechanzmy samoregulujące pozwalające osągnąć stan oczekwany. Jedna z metod wyznaczana przedmotowych podokresów opera sę na analze przyrostów badanych zmennych. Zarówno w przypadku gospodark Polsk, jak gospodarek państw Un Europejskej zostane wyznaczony najdłuższy możlwy okres ustablzowanego rozwoju, czyl tak, w którym główne wskaźnk ne wykażą stotnych zman. Tak okres jest potrzebny w celu dokonana porównana rozwoju gospodark w Polsce w krajach Un Europejskej. Rozwój gospodarczy można scharakteryzować w dwojak sposób. Jednym z nch jest analza welowymarowa wybranego, możlwe najlcznejszego zboru czynnków. Mogą być one stymulantam lub destymulantam rozwoju gospodarczego. Podstawą drugego ze sposobów jest zmenna charakteryzująca PKB ujmująca w pewnym sense w sposób syntetyczny czynnk wykorzystane w perwszym sposobe. W nnejszym artykule posłużono sę drugą metodą wykorzystującą PKB. Ponadto analze poddano gospodark następujących krajów: Polsk, Francj, Welkej Brytan, Belg, Holand. Analzę wykonano na podstawe danych obejmujących lata 949-2006 zaczerpnętych z Rocznków Statystycznych sprowadzonych uprzedno do postac wzajemne porównywalnych.

36 Anna Janga-Ćmel. Wyznaczene macerzy mnożnków długookresowych Badane podobeństwa stanu gospodark w różnych okresach oparto na macerzy wartośc mnożnków charakteryzujących warancje kowarancje stanów rozwoju gospodarek w poszczególnych krajach. Lczba obserwacj wyjścowego szeregu pownna obejmować dług okres. Wymar szeregu czasowego odpowada lczbe porównywanych krajów. W dalszej analze przez m oznaczono lość badanych krajów Un Europejskej z wyłączenem Polsk. Macerz danych emprycznych szeregu czasowego welowymarowego oznaczono przez W. Macerz W jest welowymarowym szeregem czasowym jednostkowego PKB w rozpatrywanych krajach. Macerz W przedstawono w tabel. Wskaźnk pozomu jednostkowego PKB Polsk krajów UE Tabela t Lata Polska Francja Welka Brytana Holanda Belga 2 3 4 5 6 7 958 0,0048 0,0099 0,0420 0,0056 0,034 2 959 0,0049 0,057 0,0363 0,0033 0,035 3 960 0,0049 0,085 0,0405 0,004 0,043 4 96 0,0050 0,0208 0,045 0,0048 0,080 5 962 0,0054 0,060 0,050 0,0082 0,084 6 963 0,0054 0,087 0,0555 0,0085 0,090 7 964 0,0054 0,029 0,064 0,0082 0,090 8 965 0,0055 0,0327 0,0597 0,05 0,090 9 966 0,0055 0,0378 0,0598 0,022 0,0200 0 967 0,0053 0,0464 0,0706 0,078 0,0222 968 0,0053 0,0487 0,0734 0,023 0,0257 2 969 0,0054 0,0503 0,0763 0,0236 0,0284 3 970 0,0056 0,0525 0,0809 0,0255 0,030 4 97 0,0063 0,047 0,0636 0,0206 0,0325 5 972 0,0098 0,0573 0,0938 0,0220 0,034 6 973 0,000 0,0607 0,80 0,0234 0,0363 7 974 0,002 0,0642 0,273 0,0248 0,0370 8 975 0,003 0,075 0,346 0,026 0,0374 9 976 0,006 0,078 0,386 0,0324 0,0483 20 977 0,006 0,0798 0,46 0,0365 0,0532 2 978 0,009 0,084 0,443 0,0406 0,0579 22 979 0,0 0,0838 0,474 0,046 0,068 23 980 0,007 0,0858 0,535 0,0505 0,0783 24 98 0,007 0,0887 0,622 0,0555 0,0866 25 982 0,0094 0,092 0,644 0,0566 0,0966 26 983 0,035 0,0956 0,70 0,0625 0,068 27 984 0,037 0,000 0,833 0,0682 0,34

Wyznaczene okresu równowag stablzacj długookresowej 37 cd. tabel 2 3 4 5 6 7 28 985 0,040 0,050 0,890 0,0732 0,205 29 986 0,039 0,098 0,949 0,0787 0,283 30 987 0,043 0,5 0,2036 0,0842 0,287 3 988 0,0222 0,22 0,2257 0,0877 0,398 32 989 0,098 0,279 0,263 0,095 0,483 33 990 0,082 0,324 0,2400 0,0933 0,636 34 99 0,089 0,494 0,235 0,0975 0,922 35 992 0,086 0,436 0,2420 0,49 0,809 36 993 0,089 0,470 0,285 0,052 0,878 37 994 0,0369 0,655 0,2486 0,049 0,2225 38 995 0,0380 0,847 0,2556 0,27 0,2342 39 996 0,039 0,870 0,2705 0,8 0,2336 40 997 0,0403 0,900 0,2772 0,369 0,2370 4 998 0,042 0,929 0,2838 0,286 0,2384 42 999 0,0430 0,965 0,2904 0,296 0,2368 43 2000 0,0529 0,2008 0,298 0,478 0,2360 44 200 0,0683 0,2055 0,328 0,504 0,2346 45 2002 0,0690 0,20 0,2883 0,734 0,2343 46 2003 0,0809 0,257 0,288 0,69 0,2345 47 2004 0,0974 0,227 0,3052 0,757 0,2362 48 2005 0,090 0,2266 0,3090 0,983 0,2390 49 2006 0,303 0,2372 0,356 0,2060 0,2429 Na podstawe macerzy W wyznaczono macerz teoretyczną przyblżonych wartośc mnożnków długookresowych [5]. Macerz mnożnków oznaczono przez π, przy czym: T π = W W () p gdze p oznacza lość okresów, jakch dotyczą szereg czasowe. Jest to macerz w postac: S S π = S S S 00 0 20 30 40 S 0 O S π 02 mm S 03 O S04 S00 = π 0 O π π T 0 mm (2) Dodatkowo przez π 0 oznaczono wektor:

38 Anna Janga-Ćmel S0 S 20 π 0 = (3) S 30 S 40 Elementam macerzy są loczyny skalarne w postac: s j = p p t= w T t w jt (4) Dla, j = 0,,m, przy czym 0 oznacza wektor wskaźnka rozwoju gospodarczego w Polsce, a ndeksy j =,,m dotyczą wskaźnków rozwoju gospodarczego w rozpatrywanych krajach. Przez B oznaczono podmacerz macerzy W dotyczącą krajów nnych nż Polska. Przez π oznaczono macerz powstałą z macerzy π przez skreślene perwszego wersza perwszej kolumny. 2. Wyznaczene macerzy wag Poszczególne warancje kowarancje zawarte w macerzy π można odpowedno zrangować przez przyporządkowane m macerzy wag. Każda z wag będze lustrowała relację mędzy stanem gospodark w kraju oraz stanem gospodark w kraju j. Wyznaczoną macerz wag oznaczono przez K. Macerze K oraz B mają ten sam wymar, tzn. mają po p werszy m kolumn. Macerz wag [5] jest zdefnowana następująco: mm K T = S ( Bπ B B (5) 00 mm ) Jest tu rozpatrywany model jednorównanowy, węc w powyższej defncj S 00 jest macerzą jednoelementową określoną wzorem: = (6) N S00 p T w0 t w0t t= Wartość S 00 to czynnk stanowący charakterystykę rozpatrywanego rozwoju gospodarczego w Polsce. Uwzględnając przedstawone oznaczena, otrzymano macerz struktury zrównoważonego rozwoju, która ma postać: S = B K (7)

Wyznaczene okresu równowag stablzacj długookresowej 39 Przedstawony loczyn macerzy B oraz K jest rozumany jako macerz loczynów skalarnych odpowednch wektorów kolumn. Oznaczając elementy ma- w, macerzy K przez[ k ], buduje sę macerz S elementów cerzy B przez [ ] j w postac: j s j = w k (8) j j Macerze B K są jednakowych wymarów take same wymary ma macerz S, która jest macerzą loczynów elementów na tych samych pozycjach w macerzach B K. Analza macerzy S pozwala na wykryce kolejnych podokresów z przedzału p okresowego, w którym współczynnk korelacj wyważonych kolumn PKB będze najwyższy. Maksymalnej długośc przedzał wyznaczony w ten sposób będze okresem równowag stałej zależnośc długookresowej w przedzale danych hstorycznych. Przedstawona wyżej macerz S stanow punkt wyjśca do wyznaczena dalszych macerzy charakteryzujących relację mędzy dynamką rozwoju gospodarczego w poszczególnych państwach. Macerze te przedstawają zasadnczą charakterystykę welowymarowego rozwoju są oznaczone przez E F. Macerz F dotyczy rozwoju gospodarczego w wybranych krajach, macerz E przedstawa wyważone różnce rozwoju gospodarczego w Polsce w nnych krajach Un Europejskej uwzględnonych łączne. Macerz F jest wyznaczona zgodne ze wzorem: F T T = ( B K) ( B K) = S S (9) p p Macerz E wyznaczono według wzoru: T E F π S 0 00π 0 = (0) Macerze E F są macerzam kwadratowym o wymarze mxm, gdze m to lość krajów, z którym porównuje sę rozwój gospodarczy w Polsce. Dla macerzy F, E wyznacza sę wartośc własne. O zrównoważonym rozwoju zjawska w porównywanych zborowoścach można mówć wtedy, gdy macerze E F (zgodne z [2]) są jednakowe lub ne wykazują stotnej statystyczne różncy. Ponadto jeśl w uporządkowanych cągach wartośc własnych stwerdza sę różnce dla kolejnych wartośc własnych te różnce będą coraz to nższe, to ma sę do czynena ze zjawskem, które w określonych zborowoścach dąży do równowag. Natomast jeżel przyrosty względne kolejnych wartośc własnych są coraz to wększe, oznacza to, że zjawsko w badanych zborowoścach ngdy ne osągne wzajemnej równowag. Mnmalny okres równowag w zakrese danych hstorycznych można wyznaczyć jako: