Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976, R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2001. R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, PWN, Warszawa 1958.
Struktury zbiorów Definicja 1.1 Rodzinę F 2 X nazywamy ciałem w X, gdy spełnione są następujące warunki (i) F, (ii) F = = X \ F, (iii), B F = B F.
Twierdzenie 1.1 Rodzina F 2 X jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki (i) F = F, (ii), B F = B F. Dowód. (= ) Wystarczy zauważyć, że B = ( B ) F. ( =) Wystarczy zauważyć, że B = ( B ) F.
Twierdzenie 1.2 Jeżeli F jest ciałem w X, to (i), X F, (ii) 1,..., n F = n k=1 k F, (iii) 1,..., n F = n k=1 k F, (iv), B F = \ B F.
Dowód. (i) F = F. Zatem X = F oraz = X F. (ii) Dowód indukcyjny. Dla n = 2 teza wynika z definicji. Załóżmy, że teza zachodzi dla dowolnych m zbiorów. Mamy 1,..., m+1 F = m+1 k=1 ( m ) k = k m+1 F. k=1 (iii) Wystarczy zauważyć, że k k = ( k k ). (iv) Wynika z równości \ B = B F oraz Twierdzenia 1.1.
Definicja 1.2 Rodzinę F 2 X nazywamy σ ciałem w X, gdy (i) F, (ii) F = F, (iii) n IN n F = n IN n F.
Wniosek 1.1 Rodzina F jest σ ciałem w X wtedy i tylko wtedy, gdy (i) F, (ii) F = F, (iii) n IN n F = n=1 n F, Dowód. Wystarczy zauważyć, że n = ( n) oraz n IN n IN n = (. n) n IN n IN
Twierdzenie 1.3 Jeżeli F jest σ ciałem w X, to jest ciałem w X. Dowód. Załóżmy że F jest σ ciałem. Jeśli, B F, to zatem F jest ciałem. B = B B B... F,
Definicja 1.3 Niech H 2 X będzie niepustym zbiorem. (a) Zbiór c(h) = {F 2 X : F - ciało, H F} nazywamy ciałem generowanym przez rodzinę H. (b) Zbiór σ(h) = {F 2 X : F - σ-ciało, H F} nazywamy σ-ciałem generowanym przez rodzinę H.
Twierdzenie 1.4 Niech H 2 X będzie niepustym zbiorem. Wówczas (a) Zbiór c(h) jest najmniejszym (w sensie inkluzji) ciałem w X zawierającym rodzinę H. (b) Zbiór σ(h) jest najmniejszym σ-ciałem w X zawierającym rodzinę H.
Dowód. (a) Wprost z definicji wynika, że c(h) zawiera H oraz jest zawarte w każdym ciele o tej własności. Pokażemy, że c(h) jest ciałem. Ponieważ zbiór pusty należy do każdego ciała, więc należy też do przekroju, czyli c(h). Niech c(h). Wówczas dla każdego ciała F H, F oraz F. Zatem c(h). Podobnie, jeśli, B c(h), to dla każdego ciała F H,, B F oraz B F. Zatem B c(h). Dowód punktu (b) jest identyczny.
Definicja 1.4 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną i niech G będzie rodziną wszystkich zbiorów otwartych w X. Rodzinę B(X ) = σ(g) nazywamy σ-ciałem zbiorów borelowskich, a jej elementy zbiorami borelowskimi.
Twierdzenie 1.5 Niech P będzie rodziną przedziałów otwartych w IR. Wówczas B(IR) = σ(p). Dowód. Oczywiście σ(p) B(IR). Niech IR będzie zbiorem otwartym. Dla a zdefiniujmy r a = dist(a, ). Wówczas = a B(a, r a ) = a lq B(a, r a ). Zatem dowolny otwarty podzbiór IR da się przedstawić w postaci przeliczalnej sumy przedziałów otwartych. Wynika stąd, że G σ(p), gdzie G oznacza rodzinę otwartych podzbiorów IR. Zatem B(IR) = σ(g) σ(p).
Zadania Zadanie 1.1 Wykazać, że B = ( B ) oraz k = ( k) k IN k IN dla dowolnych zbiorów, B, 1, 2,.... Zadanie 1.2 Niech X = {1, 2, 3, 4}. Sprawdzić czy rodziny F 1 = {, {1}, {2, 3, 4}, X } oraz F 2 = {, {1}, {2, 3}, {4}, X } są ciałami oraz σ ciałami.
Zadania Zadanie 1.3 Niech X będzie zbiorem nieskończonym. Pokazać, że rodzina F s = { X : lub jest skończony } jest ciałem, ale nie jest σ ciałem. Zadanie 1.4 Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Pokazać, że rodzina jest σ ciałem. F p = { X : lub jest przeliczalny }
Zadania Zadanie 1.5 Niech F będzie σ-ciałem podzbiorów X i niech E X. Pokazać, że rodzina F E = { E : F} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru E. Zadanie 1.6 Niech X, Y będą zbiorami niepustymi i niech f : X Y. Pokazać, że jeśli F jest σ-ciałem w X, to jest σ-ciałem w Y. E f = { Y : f 1 () F}
Zadania Zadanie 1.7 Niech X, Y będą zbiorami niepustymi i niech g : X Y. Pokazać, że jeśli G jest σ-ciałem w Y, to {g 1 (): G} jest σ-ciałem w X. Zadanie 1.8 Zbiór IR 2 nazywamy symetrycznym, gdy (x,y) ( x, y). Pokazać, że rodzina symetrycznych podzbiorów IR 2 jest σ-ciałem.
Zadania Zadanie 1.9 Pokazać, że suma wstępującego ciągu ciał jest ciałem. Zadanie 1.10 Niech X = {1, 2, 3, 4}. Znaleźć σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów = {{1}}, B = {{1}, X }, C = {{1}, {2}} oraz D = {{2}, {2, 3}}. Zadanie 1.11 Niech X = IN. Znaleźć σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów = {{1}}, B = {{1}, {2}, {3},...} oraz C = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}.
Zadania Zadanie 1.12 Niech H 2 X będzie niepustym zbiorem. Pokazać, że σ(c(h)) = σ(h). Zadanie 1.13 Pokazać, że jeśli B σ(), to σ() = σ(b). Zadanie 1.14 Pokazać, że zbiór liczb niewymiernych należy do σ-ciała zbiorów borelowskich. Zadanie 1.15 Pokazać, że B(IR) = σ() = σ(b), gdzie = {[a, b]: a, b IR}. B = {(, q]: q lq}.
Definicja 2.1 Niech F będzie ciałem w X. Funkcję λ: F IR nazywamy addytywną funkcją zbioru, gdy (i) λ( ) = 0, (ii), B F, B = = λ( B) = λ() + λ(b).
Twierdzenie 2.1 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR addytywną funkcją zbioru, to 1,... n F, i j = (i j) = λ ( n k=1 k) = n k=1 λ( k). Dowód (indukcyjny). Dla dwóch zbiorów teza wynika z definicji. Załóżmy, że teza zachodzi dla m zbiorów. Mamy λ ( m+1 k=1 ) ( m ) k = λ k +λ(m+1 ) = k m m+1 λ( k )+λ( m+1 ) = λ( k+1 ). k=1 k=1
Twierdzenie 2.2 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR addytywną funkcją zbioru, to (i) λ > lub λ <, (ii), B F, B, λ() IR λ(b) IR = λ(b \ ) = λ(b) λ(),
Dowód. (i) Przypuśćmy, że istnieją, B F takie, że λ() = oraz λ(b) = +. Zauważmy, że λ() = λ( B) + λ( \ B) oraz λ(b) = λ( B) + λ(b \ ). Zatem < λ( B) <, λ( \ B) = oraz λ(b \ ) = +. Otrzymujemy λ(( \ B) (B \ )) = λ( \ B) + λ(b \ ) = +, co stanowi sprzeczność z faktem, że ( \ B) (B \ ) F.
Dowód - c.d. (ii) Zauważmy, że λ(b) = λ() + λ(b \ ). Zatem, jeśli λ(b) IR, to λ(), λ(b \ ) IR, natomiast jeśli λ(b) = ± oraz λ() IR, to λ(b \ ) = ±.
Twierdzenie 2.3 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR addytywną funkcją zbioru, to (i) λ 0 (, B F, B = λ() λ(b) ), (ii) λ 0 ( λ ( n k=1 k) n k=1 λ( k) dla 1,..., n F ).
Dowód. (i) (= ) Jeśli λ 0, to dla, B F, B mamy λ(b) = λ() + λ(b \ ) λ(). ( =) Jeśli dla, B F, B zachodzi λ(b) λ(), to w szczególności λ(b) λ( ) = 0.
Dowód - cd. (ii) (= ) Załóżmy, że λ 0. Dla 1,..., n F zdefiniujmy zbiory B 1 = 1, B 2 = 2 \ 1,..., B n = n \ n 1 k=1 k. Zauważmy, że n k=1 k = n k=1 B k oraz B i B j = dla i j. Korzystając z Twierdzenia 2.1 oraz punktu (i) otrzymujemy λ ( n ) ( n ) k = λ B k = k=1 k=1 n λ(b k ) k=1 n λ( k ) ( =) Jeśli dla 1,..., n F zachodzi λ ( n k=1 k) n k=1 λ( k), to dla F, λ() = λ( ) λ() + λ(), czyli 0 λ(). k=1
Wniosek 2.1 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR nieujemną addytywną funkcją zbioru, to, B F, λ() = 0 = λ(b) = λ(b \ ) = λ( B). Dowód. Jeśli, B F oraz λ() = 0, to z Twierdzenia 2.3 (i) wynika, że 0 λ(b ) λ() = 0 oraz 0 λ( \ B) λ() = 0. Otrzymujemy λ(b) = λ(b \ ) + λ(b ) = λ(b \ ) oraz λ(b) = λ( B) λ( \ B) = λ( B).
Definicja 2.2 Niech F będzie ciałem w X. Funkcję λ: F IR nazywamy σ-addytywną funkcją zbioru, gdy (i) λ( ) = 0, (ii) n F (n IN), n=1 n F, i j = (i j) = λ( n=1 n) = n=1 λ( n).
Twierdzenie 2.4 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR σ-addytywną funkcją zbioru, to λ jest addytywna. Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla, B F takich, że B = zachodzi λ( B) = λ( B...) = λ()+λ(b)+λ( )+λ( )+... = λ()+λ(b).
Twierdzenie 2.5 (o ciągłości miary) Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR σ-addytywną funkcją zbioru, to (i) n F, n n+1, (n IN), n=1 n F = λ( n=1 n) = lim n λ( n ). (ii) n F, n n+1, λ( n ) IR (n IN), n=1 n F = λ( n=1 n) = lim n λ( n ).
Dowód. (i) Zdefiniujmy rodzinę zbiorów (B n ) n IN wzorem B 1 = 1, B n+1 = n+1 \ n k=1 k = n+1 \ n dla n IN. Zauważmy, że n k=1 B k = n k=1 k dla n IN, k=1 B k = k=1 k oraz B i B j = dla i j. Zatem λ ( ) ( ) k = λ B k = λ(b k ) = lim k=1 k=1 k=1 n n k=1 = lim λ( n ) k = lim λ( n). n n k=1 λ(b k ) = lim λ( n n k=1 B k )
Dowód - cd. (ii) Korzystając z Twierdzenia 2.2 dostajemy λ( 1 ) λ ( ) ( ) ( k = λ 1 \ k = λ 1 ( ) ) k = = λ ( 1 k=1 k=1 k k=1 k=1 ) ( = λ ( 1 k) ) = λ ( ( 1 \ k ) ). k=1 k=1 Ponieważ ciąg ( 1 \ n ) n IN jest wstępujący, więc na mocy (i) otrzymujemy λ ( ( 1 \ k ) ) = lim λ( 1 \ n ) n k=1 = lim n (λ( 1) λ( n )) = λ( 1 ) lim n λ( n).
Definicja 2.3 Niech F będzie σ-ciałem w X. Parę (X, F) nazywamy przestrzenią mierzalną, a elmenty σ-ciała F nazywamy zbiorami mierzalnymi. Jeśli µ: F IR jest nieujemną funkcją σ-addytywną, to trójkę (X, F, µ) nazywamy przestrzenią z miarą, a funkcję µ miarą.
Wniosek 2.2 Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Wówczas (i) n F dla n IN = µ ( n=1 n) n=1 µ( n), (ii) przeliczalna suma zbiorów miary zero jest miary zero.
Definicja 2.4 Przestrzeń (X, F, µ) nazywamy przestrzenią z miarą σ-skończoną, jeśli istnieje ciąg ( n ) n IN zbiorów mierzalnych takich, że X = n=1 n oraz µ( n ) < + dla n IN. Przestrzeń (X, F, µ) nazywamy przestrzenią z miarą skończoną, jeśli µ(x ) < +, a przestrzenią z miarą unormowaną, jeśli µ(x ) = 1. Definicja 2.5 Przestrzeń (X, F, µ) nazywamy przestrzenią z miarą zupełną, jeśli ( B, B F, µ(b) = 0 ) = F.
Dla przestrzeni z miarą (X, F, µ) oznaczmy P = {B X : D F (µ(d) = 0, B D)}. Twierdzenie 2.6 (o uzupełnianiu miary) Jeśli (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą oraz F = { B : F, B P}, µ( B) = µ() dla F, B P, to (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną. Ponadto dla każdego C F zachodzi µ(c) = 0 C P.
Dowód. Pokażemy, że F jest σ-ciałem. Jeśli C F, to C = B, gdzie F oraz istnieje taki zbiór D F, że µ(d) = 0 i B D. Wówczas C = ( D) (D \ ( B)). Ponieważ ( D) F oraz (D \ ( B)) D, więc C F. Niech teraz C n F dla n IN. Wówczas C n = n B n, gdzie n F oraz istnieją D n F takie, że B n D n, µ(d n ) = 0 dla n IN. Oczywiście n=1 n F. Z Wniosku 2.2 wynika, że µ( n=1 D n) = 0. Zatem n=1 C n F. Oznacza to, że F jest σ-ciałem.
Dowód - cd. Załóżmy, że dla C F zbiór C można przedstawić w postaci C = 1 B 1 oraz C = 2 B 2, gdzie 1, 2 F oraz B 1 D 1, B 2 D 2 dla pewnych zbiorów D 1, D 2 F takich, że µ(d 1 ) = µ(d 2 ) = 0. Wówczas 2 \ 1 C \ 1 B 1 D 1 oraz 1 \ 2 D 2, czyli µ( 2 \ 1 ) = µ( 1 \ 2 ) = 0. Zatem µ( 1 ) = µ( 2 ). Oznacza to, że wartość µ(c) jest określona jednoznacznie.
Dowód - cd. Niech(C n ) n IN będzie rodziną zbiorów parami rozłącznych postaci C n = n B n, gdzie n F, B n D n dla pewnego D n F takiego, że µ(d n ) = 0. Wówczas µ ( ) ( ) C n = µ n = µ( n ) = µ(c n ), n=1 n=1 czyli µ jest miarą na F. Niech C E F oraz µ(e) = 0. Wówczas E = B, gdzie F, µ() = 0 oraz B D, µ(d) = 0 dla pewnego D F. Zatem C D F oraz µ( D) = 0. Oznacza to, że C P F, czyli miara µ jest zupełna. n=1 n=1
Definicja 2.6 Miarę µ zdefiniowaną w Twierdzeniu 2.6 nazywamy uzupełnieniem miary µ.
Zadania Zadanie 2.1 Niech λ będzie funkcją addytywną określoną na ciele F. Pokazać, że λ() = λ( B) + λ( \ B) oraz λ() + λ(b) = λ( B) + λ( B) dla, B F. Zadanie 2.2 Niech F s będzie ciałem z zadania 1.3. Pokazać, że funkcja zbioru λ: F s IR zdefiniowana wzorem 0 card < ℵ 0 λ() = dla F s 1 card < ℵ 0 jest addytywna na F s.
Zadania Zadanie 2.3 Niech F p będzie σ-ciałem z zadania 1.4. Pokazać, że funkcja zbioru µ: F p IR zdefiniowana wzorem 0 card ℵ 0 µ() = dla F p 1 card ℵ 0 jest miarą, a zatem (X, F p, µ) jest przestrzenią z miarą.
Zadania Zadanie 2.4 Niech X, Y będą zbiorami niepustymi i niech f : X Y. Załóżmy, że F jest σ-ciałem w X, a µ miarą na F. Pokazać, że jeśli F f jest takie, jak w zadaniu 1.6, a µ f : F f [0, ] dana jest wzorem µ f () = µ(f 1 ()) dla F f, to (Y, F f, µ f ) jest przestrzenią z miarą.
Zadania Zadanie 2.5 Niech F będzie ciałem w X, a λ: F IR taką addytywną funkcją zbioru, że n F, n n+1 (n IN), n F = λ( n=1 n=1 n ) = lim n λ( n). Wykazać, że λ jest funkcją σ-addytywną. Zadanie 2.6 Udowodnić Wniosek 2.2.
Zadania Zadanie 2.7 Pokazać, że (X, 2 X, δ a ), gdzie X jest zbiorem niepustym oraz 1 a δ a () = 1l (a) = dla X, 0 a / jest przestrzenią z miarą unormowaną. Zadanie 2.8 Niech µ będzie miarą na F. Pokazać, że µ( 2 \ 1 ) = µ( 1 \ 2 ) = 0 = µ( 1 ) = µ( 2 ) dla 1, 2 F.
Zadania Zadanie 2.9 Pokazać, że dla każdego C F, µ(c) = 0 C P, gdzie F oraz µ są zdefiniowane w Twierdzeniu 2.6 Zadanie 2.10 Wykazać, że jeśli B D, to C = ( B) = ( D) (D \ ( B)).
Zadania Zadanie 2.11 Niech X = {1, 2, 3, 4}, F = σ({1, 2}). Niech µ będzie taką miarą, że Określić miarę uzupełnioną µ. µ({1, 2}) = 0, µ({3, 4}) = 1. Zadanie 2.12 Niech µ będzie miarą na B(R 2 ) taką, że dla każdego prostokąta P o wymiernych wierzchołkach, µ(p) =pole P. Pokazać, że µ() = 0, gdzie = {(x, y) R 2 : y = 0}.
Zadania Zadanie 2.13 Wykazać, że rodzina zbiorów zdefiniowana w dowodzie twierdzenia 2.3 (ii) spełnia warunki n k=1 k = n k=1 B k oraz B i B j = dla i j. Zadanie 2.14 Niech µ będzie miarą liczącą na 2 IN. Znaleźć przykład ciągu zstępującego zbiorów ( n ) n IN takiego, że µ( n n=1 n) lim n µ( n ).
Definicja 3.1 Funkcję µ : 2 X [0, + ] nazywamy miarą zewnętrzną, gdy (i) µ ( ) = 0, (ii) n=1 n = µ () n=1 µ ( n ).
Twierdzenie 3.1 Funkcja µ : 2 X [0, + ] jest miarą zewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy (i) µ ( ) = 0, (ii) B = µ () µ (B). (iii) µ ( n=1 n) n=1 µ ( n ).
Dowód. (= ) Jeśli µ jest miarą zewnętrzną, to oraz µ () µ (B) + µ ( ) + µ ( ) +... = µ (B) dla B µ ( ) n µ ( n ). n=1 ( =) Niech n=1 n. Wówczas n=1 µ () µ ( ) n µ ( n ). n=1 n=1
Dla miary zewnętrznej µ definiujemy rodzinę zbiorów C(µ ) = { X : µ (Z) = µ (Z ) + µ (Z ) dla Z X }. Ponieważ nierówność µ (Z) µ (Z ) + µ (Z ) zachodzi dla dowolnych, Z X, więc C(µ ) = { X : µ (Z) µ (Z ) + µ (Z ) dla Z X }. Twierdzenie 3.2 (Caratheodory ego) Jeśli µ jest miarą zewnętrzną w X, to ( X, C(µ ), µ C(µ )) jest przestrzenią z miarą zupełną.
Dowód. 1) Pokażemy, że C(µ ) jest ciałem. Ponieważ µ (Z) = µ (Z X ) = µ (Z ) + µ (Z X ) dla Z X, więc C(µ ), czyli C(µ ). Jeśli C(µ ), to µ (Z) = µ (Z )+µ (Z ) = µ (Z ( ) )+µ (Z ) dla Z X, czyli C(µ ).
Dowód - cd. Jeśli, B C(µ ), to µ (Z) = µ (Z ) + µ (Z ) = µ (Z B) + µ (Z B ) + µ (Z B) + µ (Z B ). Ponieważ (Z B) (Z B ) (Z B) = Z ( B), więc z powyższej równości otrzymujemy Zatem B C(µ ). µ (Z) µ (Z ( B)) + µ (Z ( B) ).
Dowód - cd. 2) Pokażemy indukcyjnie, że } 1,..., n C(µ ) = i j = (i j) Z X µ ( Z n ) k = k=1 n µ (Z k ) dla n IN. Dla n = 1 teza jest oczywista. Załóżmy, że teza zachodzi dla n = m. Wówczas dla zbiorów parami rozłącznych 1,..., m+1 C(µ ), µ ( m+1 Z k=1 ) k = µ (( m+1 Z k=1 k=1 ) ) k m+1 + µ (( m+1 Z k=1 k=1 k ) m+1 ) = µ (Z m+1 ) + µ ( m ) m Z k = µ (Z m+1 ) + µ (Z k ) m+1 = µ (Z k ) dla Z X. k=1 k=1
Dowód - cd. 3) Pokażemy, że C(µ ) jest σ-ciałem. Niech 1, 2,... C(µ ) będą zbiorami parami rozłącznymi. Wówczas, korzystając z punktów 1) i 2) dla Z X oraz n IN dostajemy µ (Z) = µ ( Z n ) k + µ ( Z ( n ) ) k = k=1 + µ ( Z ( n ) ) k k=1 k=1 n µ (Z k ) k=1 n µ (Z k ) + µ ( Z ( ) ) k k=1 k=1 Zatem µ (Z) µ (Z k ) + µ ( Z ( ) ) k k=1 µ ( Z k=1 ) k + µ ( Z ( ) ) k k=1 k=1
Dowód - cd. Jeśli B 1, B 2,... C(µ ) są dowolnymi zbiorami, to zbiory z rodziny ( n ) n IN danej wzorem n 1 1, = B 1, n = B n \ B k dla n IN należą do C(µ ), są parami rozłączne oraz k=1 k = k=1 B k. Zatem µ (Z) µ (Z = µ (Z k=1 k ) + µ ( Z ( ) ) k k=1 k=1 B k ) + µ ( Z ( ) ) B k. k=1 k=1
Dowód - cd. 4) Pokażemy, że µ := µ C(µ ) jest miarą. Niech 1, 2,... C(µ ) będą zbiorami parami rozłącznymi. Ponieważ µ jest miarą zewnętrzną, więc µ( k ) µ ( ) ( n ) k µ k k=1 k=1 k=1 dla n IN. Z punktu 2) wynika, że Otrzymujemy µ ( n k=1 k) = n k=1 µ( k) dla n IN. µ( k ) µ ( ) k lim k=1 k=1 czyli k=1 µ( k) = µ ( k=1 k). n k=1 n µ( k ) = µ( k ), k=1
Dowód - cd. 5) Pokażemy, że (X, C(µ ), µ) jest przestrzenią z miarą zupełną. Niech B, C(µ ), µ() = 0. Wówczas czyli µ (B) = 0. Zatem dla Z X, 0 µ (B) µ () = µ() = 0, µ (Z) µ (Z B ) = µ (Z B) + µ (Z B ). Oznacza to, że B C(µ ).
Twierdzenie 3.3 (o indukowaniu miary zewnętrznej) Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F [0, ] funkcją σ-addytywną, to funkcja λ : 2 X [0, ] określona wzorem λ () = inf { λ( n ): n=1 } n F (n IN), n dla X. n=1 jest miarą zewnętrzną na X. Ponadto λ F = λ oraz σ(f) C(λ ).
Dowód. Ponieważ 0 λ ( ) λ ( ) = 0, więc λ ( ) = 0. Niech k=1 k. Ustalmy dowolne ɛ > 0. Z definicji funkcji λ wynika, że dla każdego k IN istnieje rodzina ( k,n ) n IN zbiorów z ciała F taka, że Stąd k n=1 k,n oraz λ ( k ) + ɛ 2 k λ( k,n ). n=1 n=1 k=1 n=1 k,n oraz k=1 ( λ ( k ) + ɛ 2 k ) k=1 n=1 λ( k,n ).
Dowód - cd. Zatem z definicji funkcji λ otrzymujemy λ () ( λ ( k ) + ɛ ) = 2 k λ ( k ) + ɛ. k=1 Ponieważ ɛ > 0 było dowolne, więc z powyższej nierówności wynika, że λ () k=1 λ ( k ). Zatem λ jest miarą zewnętrzną. k=1
Dowód - cd. Z definicji λ wynika, że dla F, λ () λ() + λ( ) + λ( ) +... = λ(), czyli λ λ. Z drugiej strony, dla dowolnej rodziny ( n ) n IN zbiorów z ciała F takich, że n=1 n zachodzi nierówność λ() n=1 λ( n). Oznacza to, że λ λ. Zatem λ F = λ.
Dowód - cd. Niech F. Z definicji λ wynika, że dla dowolnego Z X oraz ɛ > 0 istnieją zbiory Z n F (n IN) takie, że Z n=1 Z n oraz λ (Z) + ɛ n=1 λ(z n). Zatem λ (Z) + ɛ λ((z n ) (Z n )) = λ(z n ) + λ(z n ) n=1 λ (Z ) + λ (Z ), czyli C(λ ). Ponieważ C(λ ) jest σ-ciałem, więc oznacza to, że σ(f) C(λ ). n=1 n=1
Wniosek 3.1 Jeśli (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą, to µ () = inf{µ(b): B F} dla X.
Twierdzenie 3.4 Jeśli (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą σ-skończoną, to (X, F, µ) = ( X, C(µ ), µ C(µ )).
Zadania Zadanie 3.1 Sprawdzić, czy funkcja zbioru µ : 2 X [0, ] dana wzorem µ () = sup inf dla X jest miarą zewnętrzną (zakładamy, że sup = inf = 0). Zadanie 3.2 Niech X = {1, 2, 3}. Pokazać, że funkcja µ : 2 X [0, ] dana wzorem 0, =, µ () = 1, {{1}, {2}, {3}, {1, 2}} 2 {{1, 3}, {2, 3}, X } jest miarą zewnętrzną. Wyznaczyć C(µ ). dla X
Zadania Zadanie 3.3 Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Pokazać, że funkcja µ : 2 X [0, ] dana wzorem µ 0, card ℵ 0, () = dla X 1, card > ℵ 0 jest miarą zewnętrzną. Wyznaczyć C(µ ). Zadanie 3.4 Pokazać, że nieujemna, skończenie addytywna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbioru jest przeliczalnie addytywna.
Zadania Zadanie 3.5 Pokazać, że dla X, jeśli µ () = 0, to C(µ ). Zadanie 3.6 Pokazać, że jeśli F jest ciałem na X oraz λ: F [0, ] jest miarą, to λ dana wzorem λ () = sup { λ( n ): n=1 n,, i F (i IN), i j = (i j) } n=1 spełnia warunki λ ( ) = 0, λ () n=1 λ ( n ), gdzie n=1 n, i j =.
Zadania Zadanie 3.7 Dana jest przestrzeń z miarą ({1, 2, 3}, σ({2}), µ), gdzie µ({2}) = µ({1, 3}) = 2. Określić µ. Zadanie 3.8 Dana jest przestrzeń z miarą ({1, 2, 3, 4}, σ({1}, {2}), µ), gdzie µ() =card dla σ({1}, {2}). Określić µ. Czy {2, 3} C(µ ).
Zadania Zadanie 3.9 Udowodnić Wniosek 3.1. Zadanie 3.10 Jeśli (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą σ-skończoną, to F = C(µ ). Wykazać, że ponadto µ = µ C(µ ). Zadanie 3.11 Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że F C(µ ).
Ustalmy liczbę naturalną N. Definicja 4.1 Niech I 1,... I N będą przedziałami ograniczonymi. Zbiór K postaci nazywamy Kostką w przestrzeni IR N Definicja 4.2 K = I 1... I N Kostką otwartą nazywamy zbiór postaci (a 1, b 1 )... (a N, b N ), a kostką domkniętą zbiór postaci [a 1, b 1 ]... [a N, b N ]. Kostkę o pustym wnętrzu nazywamy zdegenerowaną. Definicja 4.3 Zawartością kostki K = I 1... I N nazywamy liczbę vol N K = N I i. gdzie I oznacza długość przedziału I. i=1
Twierdzenie 4.1 Funkcja zbioru N : 2 IRN [0, + ] dana wzorem N = inf { vol K n : K n, K n - kostki domknięte (n IN) } n=1 jest miarą zewnętrzną. n=1 dla IR N
Dowód. Ponieważ vol = 0, więc N = 0. Niech k=1 k. Ustalmy ɛ > 0. Dla każdego k IN istnieje rodzina (K k,n ) n IN kostek domkniętych, t. że Zatem oraz N k K k,n oraz k N + ɛ 2 k vol K k,n. n=1 k=1 n=1 k=1 n=1 K k,n n=1 ( vol K k,n k N + ɛ ) = 2 k k N + ɛ. k=1 Ponieważ ɛ > 0 było dowolne, więc N k=1 k N, czyli N jest miarą zewnętrzną. k=1
Definicja 4.4 Niech K = [a 1, b 1 ]... [a N, b N ] i niech c i,k dla i = 1,..., N, k = 0,..., r i, będą liczbami rzeczywistymi takimi, że Rodzinę a i = c i,0 < c i,1 <... < c i,ri = b i dla i = 1,..., N. P = { [c 1,k1 1, c 1,k1 ]... [c N,kN 1, c N,kN ]: k i = 1,..., r i (i = 1,... N) }, nazywamy podziałem kostki K.
Lemat 4.1 Jeżeli K jest kostką domkniętą w IR N oraz P jest jej podziałem, to vol N K = L P vol N L. Dowód. Niech K = [a 1, b 1 ]... [a N, b N ]. Załóżmy, że punkty c i,k (i = 1,..., N, k = 0,..., r i ) takie, że a i = c i,0 < c i,1 <... < c i,ri = b i wyznaczają podział kostki K. Wówczas d N r i vol N K = (b i a i ) = (c i,ki c i,ki 1) = r 1 i=1 i=1 k i =1 k 1=1 k N =1 i=1 r N N (c i,ki c i,ki 1).
Lemat 4.2 Jeżeli K, K 1,..., K m są takimi kostkami domkniętymi, że K m l=1 K l, to vol N K m vol N K l. l=1 Dowód. Jeżeli K = [a 1, b 1 ]... [a N, b N ], K 1 = [c 1, d 1 ]... [c N, d N ] oraz K K 1, to c i a i, b i d i dla i = 1,..., N. Zatem dla m = 1 teza lematu zachodzi.
Dowód - c.d. Załóżmy, że m 2. Niech K = [a 1, b 1 ]... [a N, b N ] oraz K l = [a 1,l, b 1,l ]... [a N,l, b N,l ] dla l = 1,..., m. Niech P będzie podziałem kostki K wyznaczonym przez liczby c i,k które dla i = 1,..., N definiujemy jako te wyrazy spośród a i,l, b i,l, które należą do [a i, b i ]. Niech P l = {L P : L K l } dla l = 1,..., m. Ponieważ P m l=1 P l oraz dla l = 1,..., m oraz P l jest podziałem kostki K K l więc korzystając z Lematu 4.1 otrzymujemy vol N K = L P vol N L m l=1 L P l vol N L = m vol N (K K l ). l=1 Zatem, z pierwszej części dowodu, vol N K m l=1 vol N K l.
Twierdzenie 4.2 Jeżeli K jest kostką domkniętą w IR N, to K N = vol N K. Dowód. Ponieważ K K..., więc K N vol N K. Niech (K n ) n IN będzie ciągiem kostek domkniętych pokrywających K. Ustalmy ɛ > 0. Dla n IN niech L n będzie taką kostką otwartą, że K n L n oraz vol N cll n vol N K n + ɛ 2 n. Wówczas vol N L n vol N K n + ɛ. n=1 n=1
Dowód - c.d. Ponieważ K jest zbiorem zwartym oraz K n=1 L n, więc istnieje m IN takie, że K m n=1 L n. Z Lematu 4.2 wynika zatem, że Otrzymujemy vol N K vol N K m vol N cll n. n=1 vol N K n + ɛ. n=1 Ponieważ ciąg kostek (K n ) n IN pokrywających K był dowolny, więc z powyższej nierówności wynika, że vol N K K N + ɛ. Wobec dowolności ɛ > 0 otrzymujemy vol N K K N.
Wniosek 4.1 Dla dowolnej kostki K IR N zachodzi równość K N = vol N K. Definicja 4.5 Elementy σ-ciała L N : = C( N ) nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a, a miarę l N : = N LN nazywamy N-wymiarową miarą Lebesgue a. Przestrzeń ( IR N, L N, l N ) jest przestrzenią z miarą zupełną.
Twierdzenie 4.3 Jeżeli K jest kostką w IR N, to K L N.
Wniosek 4.2 Jeżeli K jest kostką IR N, to l N (K) = vol N K. Można wykazać, że miara Lebesgue a l N jest jedyną miarą na L N spełniającą powyższą równość. Wniosek 4.3 Miara Lebesgue a jest σ-skończona.
Wniosek 4.4 Każdy zbiór otwarty w IR N jest L N -mierzalny. Wniosek 4.5 Każdy zbiór borelowski w IR N jest L N -mierzalny. Można wykazać, że istnieją zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a, które nie są borelowskie oraz podzbiory przestrzeni IR N, które nie są mierzalne w sensie Lebesgue a.
Definicja 4.6 Miarę b N = l B(IR N nazywamy miarą Borela. N ) Twierdzenie 4.4 ( IR N, L N, l N ) = ( IR N, B(IR N ), b N )
Dowód. Pokażemy, że b N = N. Ponieważ bn() = inf { b N ( n ): n=1 n B(IR N } ), n dla IR N, n=1 N = inf { } vol K n : K n - kostka domknięta, K n n=1 n=1 oraz każda kostka jest zbiorem borelowskim, dla IR N więc b N N. Metodą podobną do dowodu twierdzenia o indukowaniu miary zewnętrznej łatwo pokazać, że N b N ().
Dowód - c.d. Korzystając z Twierdzenia 3.4 otrzymujemy ( IR N, L N, l N ) = ( IR N, C( N ), N C( N ) = ( IR N, B(IR N ), b N ). ) = ( IR N, C(b N), b N ) C(b N )
Zadania Zadanie 4.1 Udowodnić ostatnią równość z dowodu Lematu 4.1. Zadanie 4.2 Udowodnić Wniosek 4.1 (oraz Wniosek 4.2).
Zadania Zadanie 4.3 Wykazać, że jeżeli, B IR N oraz istnieje η > 0 takie, że dist(, B) > η, to B N = N + B N, gdzie dist(, B) = inf{ x y : x, y B}. Zadanie 4.4 Niech K, K 0 będą takimi zbiorami, że dist(k 0, K ) > 0 oraz K \ K 0 < ɛ. Wykazać, że dla Z IR N zachodzi Z K N + Z \ K N Z N + ɛ.
Zadania Zadanie 4.5 Pokazać, że jeśli, B [0, 1] oraz l 1 () + l 1 (B) > 1, to B. Zadanie 4.6 Pokazać, że miara Lebesgue a jest niezmiennicza względem przesunięcia. Zadanie 4.7 Uzasadnić, że jeśli L 2, l 2 () < 1, to istnieje para liczb (a, b) IR 2 taka, że dla dowolnych n, m Z punkt (a + m, b + n) nie należy do zbioru. Zadanie 4.8 Udowodnić Wniosek 4.3.
Zadania Zadanie 4.9 Udowodnić Wniosek 4.4 (oraz Wniosek 4.5). Zadanie 4.10 Pokazać, że miara Lebesgue a zbioru Cantora wynosi zero. Zadanie 4.11 Znaleźć miarę Lebesgue a zbioru, tych wszystkich liczb z przedziału [0, 1], które w swoim przedstawieniu dziesiętnym nie zawierają cyfry 5. Zadanie 4.12 Wykazać, że b N = N.
Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Definicja 5.1 Odwzorowanie f : X IR nazywamy mierzalnym, gdy a IR {x X : f (x) < a} F.
Twierdzenie 5.1 Odwzorowanie f : X IR jest mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy B B(IR) f 1 (B) F. Dowód. Zauważmy, że {x X : f (x) < a} = f 1 ([, a)). Ponieważ { IR : f 1 () F} jest σ-ciałem oraz B(IR) jest najmniejszym σ-ciałem zawierającym przedziały postaci [, a), więc a IR f 1 ([, a)) F B B(IR) f 1 (B) F.
Wniosek 5.1 Odwzorowanie f : X IR jest mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków (i) a IR {x X : f (x) > a} F, (ii) a IR {x X : f (x) a} F, (iii) a IR {x X : f (x) a} F, (iv) U IR U - otwarty f 1 (U) F. (v) V IR V - domknięty f 1 (V ) F. Wniosek 5.2 Każda funkcja stała jest mierzalna.
Twierdzenie 5.2 Jeśli f : X IR jest funkcją mierzalną oraz α IR, to funkcje f oraz αf także są mierzalne. Dowód. {x X : f (x) < a} = {x X : a < f (x) < a} = f 1 (( a, a)) F, czyli f jest mierzalna. Dla α = 0 funkcja αf jest stała, dla α > 0 mamy natomiast dla α < 0, {x X : αf (x) < a} = {x X : f (x) < a α } F, {x X : αf (x) < a} = {x X : f (x) > a α } F, czyli αf jest mierzalna.
Lemat 5.1 Jeśli f, g : X IR są funkcjami mierzalnymi, to zbiór {x X : f (x) < g(x)} jest mierzalny. Dowód. Niech (w n ) n IN będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych. Ponieważ więc f (x) < g(x) n IN ( f (x) < wn w n < g(x) ), {x X : f (x) < g(x)} = ( {x X : f (x) < wn } {x X : w n < g(x)} ) F. n IN
Twierdzenie 5.3 Jeśli f, g : X IR są funkcjami mierzalnymi, to funkcje max{f, g}, min{f, g}, f + g oraz f g także są mierzalne. Dowód. Ponieważ {x X : max{f (x), g(x)} < a} = {x X : f (x) < a} {x X : g(x) < a}, {x X : min{f (x), g(x)} < a} = {x X : f (x) < a} {x X : g(x) < a} więc funkcje max{f, g} oraz min{f, g} są mierzalne.
Dowód - c.d. Dla c IR mamy {x X : f (x) + c < a} = {x X : f (x) < a + c} F, czyli funkcja f + c jest mierzalna. Zatem na mocy Lematu 5.1 mamy {x X : f (x) + g(x) < a} = {x X : f (x) < g(x) + a} F. Ponieważ {x X : f 2 (x) < a} = {x X : f (x) < a} {x X : f (x) > a} F, więc funkcja f 2 jest mierzalna. Zauważmy, że f (x) g(x) = 1 4[( f (x) + g(x) ) 2 ( f (x) g(x) ) 2 ]. Zatem f g jest mierzalna.
Wniosek 5.3 Kombinacja liniowa skończonej ilości funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną. Twierdzenie 5.4 Jeśli funkcje f 1, f 2,... : X IR są mierzalne, to funkcja f : X IR dana wzorem f (x) = lim n f n(x) także jest mierzalna. Dowód. Zauważmy, że f (x) < a m IN n0 IN n n0 f n (x) < a 1 m. Zatem f 1 ([, a)) = m IN n 0 IN fn 1 n n 0 ([ 1 )), a F. m
Twierdzenie 5.5 Jeśli funkcje f 1, f 2,... : X IR są mierzalne, to funkcje sup f n (x) oraz n IN inf f n(x) także są mierzalne. n IN Dowód. Zauważmy, że oraz {x X : sup f n (x) > a} = n IN {x X : inf n IN f n(x) < a} = {x X : f n (x) > a} F n=1 {x X : f n (x) < a} F. n=1
Wniosek 5.4 Dla dowolnego ciągu (f n ) n IN funkcji mierzalnych funkcje lim sup f n (x) n oraz lim inf f n(x) są mierzalne. n Dowód. Mamy lim sup f n = inf ( sup f n+m ) F oraz lim inf n n IN m IN n f n = sup n IN ( inf m IN f n+m) F.
Wniosek 5.5 Dla dowolnego ciągu (f n ) n IN funkcji mierzalnych zbiór punktów B = {x X : lim f n(x) istnieje } jest mierzalny. n Dowód. Mamy B = {x X : lim inf f n(x) = lim sup f n (x)} F. n n
Definicja 5.2 Dla dowolnego zbioru X funkcję 1 x 1l (x) = 0 x / nazywamy funkcją charakterystyczną zbioru. Dla 1,..., n X oraz a 1,..., a n IR funkcję f postaci nazywamy funkcją prostą. f (x) = n a i 1l i (x) i=1
Twierdzenie 5.6 Funkcja 1l jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest mierzalny. Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla a (0, 1), {x X : 1l (x) > a} =. Wniosek 5.6 Jeśli a i a j dla i j oraz zbiory 1,..., n są parami rozłączne, to funkcja prosta postaci n f (x) = a i 1l i jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory 1,..., n są mierzalne. i=1
Dla f : X IR oznaczamy f + (x) = sup{f (x), 0} oraz f (x) = sup{ f (x), 0}. Zauważmy, że f (x) = f + (x) f (x) dla x X. Twierdzenie 5.7 Jeżeli f : X IR jest funkcją mierzalną, to istnieje ciąg (f n ) n IN funkcji prostych taki, że lim n f n(x) = f (x) dla każdego x X. Jeżeli f jest nieujemna, to ciąg (f n ) n IN można dobrać tak, aby był rosnący.
Dowód. Załóżmy, że f (x) 0 dla x X. Dla n IN definiujmy zbiory oraz funkcję n,i = { x X : i 1 2 n f (x) < i 2 n }, i = 1, 2,..., n2 n, B n = {x X : f (x) n}. f n = n1l Bn + n2 n i=1 i 1 2 n 1l n,i. Zauważmy, że f n (x) f n+1 (x) oraz lim n f n(x) = f (x) dla x X. Jeśli f jest funkcją mierzalną przyjmującą wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, to stosujemy powyższą konstrukcję dla f + oraz f.
Definicja 5.3 Mówimy, że pewna własność zachodzi prawie wszędzie (w skrócie p.w.), jeżeli zbiór tych x X, dla których nie zachodzi ma miarę zero. Definicja 5.4 Mówimy, że ciag funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych (f n ) n IN jest zbieżny do funkcji funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej f według miary, gdy dla każdego η > 0, lim µ( {x : f (x), f n (x) IR, f n (x) f (x) η} ) = 0. n
Twierdzenie 5.8 Jeśli ciąg funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych (f n ) n IN jest zbieżny wg miary do funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej f oraz do funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej g, to f = g p.w. Dowód. Ustalmy η > 0 oraz ɛ > 0. Zauważmy, że dla dowolnego n IN zachodzi inkluzja {x : f (x), g(x) IR, f (x) g(x) η} { x : f (x), f n (x) IR, f n (x) f (x) η 2 } { x : g(x), f n (x) IR, f n (x) g(x) η 2 } {x : fn (x) = }.
Dowód - c.d. Ponieważ istnieją n 1, n 2 takie, że µ ({ x : f (x), f n (x) IR, f n (x) f (x) η }) ɛ < 2 2 µ ({ x : g(x), f n (x) IR, f n (x) g(x) η }) ɛ < 2 2 oraz f n są p.w. skończone dla n IN, więc dla n n 1, dla n n 2 µ({x : g(x), f (x) IR, f (x) g(x) η}) < ɛ. Wobec dowolności ɛ > 0 oznacza to, że µ({x : g(x), f (x) IR, f (x) g(x) η}) = 0.
Dowód - c.d. Ponieważ η > 0 było dowolne, więc µ({x : g(x), f (x) IR, f (x) g(x) > 0}) µ ({ x : g(x), f (x) IR, f (x) g(x) 1 }) = 0. k k=1
Twierdzenie 5.9 Jeśli ciągi funkcji mierzalnych p.w. skończonych (f n ) n IN oraz (g n ) n IN są zbieżne według miary do funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych odpowiednio f i g, to lim (f n + g n ) = f + g wg miary n oraz dla każdego c IR. lim cf n = f wg miary n
Dowód. Ustalmy η > 0. Wystarczy zauważyć, że {x : f n (x) + g n (x), f (x) + g(x) IR, ( f n (x) + g n (x) ) ( f (x) + g(x) ) η} { x : f n (x), f (x) IR, (f n (x) f (x) η } 2 { x : g n (x), g(x) IR, (g n (x) g(x) η } 2 oraz {x : cf n (x), cf (x) IR, cf n (x) cf (x) η} { x : f n (x), f (x) IR, f n (x) f (x) η }. c
Twierdzenie 5.10 Załóżmy, że µ(x ) <. Niech f oraz f n dla n = 1, 2,... będą funkcjami mierzalnymi prawie wszędzie skończonymi. Jeśli lim n f n = f p.w., to lim n f n = f wg miary.
Definicja 5.5 Mówimy, że ciąg funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych (f n ) n IN spełnia warunek Cauchy ego względem miary, gdy η>0 ɛ>0 n0 m,n n0 µ ( {x X : f n (x), f m (x) IR, f n (x) f m (x) > η} ) < ɛ.
Twierdzenie 5.11 Jeśli ciąg funkcji mierzalnych i p.w. skończonych (f n ) n IN jest zbieżny według miary do pewnej funkcji f, to spełnia on warunek Cauchy ego według miary. Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla dowolnych η > 0 oraz m, n IN zachodzi inkluzja {x : f n (x), f m (x) IR, f n (x) f m (x) η} { x : f n (x), f (x) IR, f n (x) f (x) η 2 } { x : f m (x), f (x) IR, f m (x) f (x) η 2 } { x : f (x) = }.
Twierdzenie 5.12 (Riesza) Jeśli ciąg funkcji mierzalnych i p.w. skończonych (f n ) n IN spełnia warunek Cauchy ego według miary, to jest on zbieżny według miary do pewnej funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej f. Twierdzenie 5.13 Każdy ciąg funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych (f n ) n IN zbieżny według miary do funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej f 0 zawiera podciąg zbieżny do f 0 prawie wszędzie.
Zadania Zadanie 5.1 Udowodnić Wniosek 5.2. Zadanie 5.2 Sprawdzić, czy funkcja f : IR IR dana wzorem f (x) = 5x 7 jest mierzalna względem l 1. Zadanie 5.3 Niech f, g będą funkcjami mierzalnymi oraz g > 0. Pokazać, że funkcja f n g jest mierzalna.
Zadania Zadanie 5.4 Podać przykład funkcji f, która nie jest mierzalna oraz f 2 jest mierzalna. Zadanie 5.5 Niech f, g będą funkcjami mierzalnymi. Pokazać, że zbiór = {x X : f (x) = g(x)} jest mierzalny. Zadanie 5.6 Dla funkcji f, g, h : IR IR danych wzorami f (x) = 3x dla x IR, g(x) =sgnx dla x IR, h(x) = [x] dla x IR wyznaczyć σ(f ) := σ({f 1 (B): B B 1 }), σ(g) oraz σ(h).
Zadania Zadanie 5.7 Niech X = {1, 2, 3} oraz F = {, {1, 2}, {3}, X }. Czy funkcja f : X IR taka, że f (1) = 3, f (2) = 2, f (3) = 1 jest F-mierzalna? Zadanie 5.8 Udowodnić Wniosek 5.6. Czy założenia a i a j oraz i j = dla i j są konieczne? Zadanie 5.9 Opisać wszystkie funkcje f : IR IR F-mierzalne oraz G-mierzalne, gdzie F = {, lq, IR \ lq, IR} oraz G = { IR : = }.
Zadania Zadanie 5.10 Pokazać, że dla ciągu zdefiniowanego w dowodzie twierdzenia 5.7 zachodzi f n (x) f n+1 (x) oraz lim n f n(x) = f (x) dla x X. Zadanie 5.11 Załóżmy, że (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną. Niech f n : X IR dla n IN będą funkcjami mierzalnymi. Pokazać, że każda funkcja f taka, że f = lim n f n p.w. jest F-mierzalna. Zadanie 5.12 Pokazać, że jeśli ciąg funkcji mierzalnych wspólnie ograniczonych (prawie wszędzie) jest zbieżny do funkcji f według miary lub prawie wszędzie, to f jest ograniczona (prawie wszędzie).
Zadania Zadanie 5.13 Załóżmy, że (g n ) n IN, (f n ) n IN są ciągami funkcji mierzalnych p.w. skończonych oraz g, f są funkcjami mierzalnymi p.w. skończonymi. Pokazać, że jeśli f = g p.w. oraz f n = g n p.w. dla n IN, to f = lim n f n wg miary g = lim n g n wg miary. Zadanie 5.14 Niech F będzie ciałem podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesque a odcinka [0, 1]. Określmy ciąg funcji: f 1 = 1l [0,1], f 2 = 1l [0, 1 ], f 3 = 1l 2 [ 1,1], f 4 = 1l 2 [0, 1 ], f 5 = 1l 3 [ 1 3, 2 3 ]... Pokazać, że f n jest zbieżny do pewnej funkcji f według miary, ale nie jest zbieżny prawie wszędzie.
Zadania Zadanie 5.15 Pokazać, że ciąg funkcji f n : IR IR danych wzorami 0 x < n f n (x) = 1 x n jest zbieżny do funkcji f 0 punktowo, ale nie jest zbieżny do f według miary Lebesgue a.
Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Definicja 6.1 Rodzinę P = { 1,..., n } nazywamy rozbiciem zbioru, gdy 1,... n F, = 1... n oraz i j = dla i j. Mówimy, że rozbicie Q jest wpisane w rozbicie P, gdy Bj Q i P B j i. Zauważmy, że rozbicie Q jest wpisane w P wtedy i tylko wtedy, gdy k i P k IN B1,...,B k Q i = B j. j=1
Dla funkcji f : X IR oraz rozbicia P = { 1,..., n } oznaczamy oraz S(f, P) = S(f, P) = n inf f (x) µ( i ) x i i=1 m sup f (x) µ( i ). x i i=1 Przyjmujemy, że 0 = 0 = 0.
Definicja 6.2 Niech f : X IR będzie funkcją mierzalną oraz niech F. Wyrażenie f dµ zdefiniowane wzorem f dµ = sup{s(f, P): P - rozbicie zbioru } dla f 0, f dµ = f + dµ f dµ dla pozostałych f, nazywamy całką Lebesgue a z funkcji f po zbiorze. Mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Lebesgue a na, gdy f + dµ < oraz f dµ <.
Lemat 6.1 Jeśli rozbicie Q jest wpisane w rozbicie P, to S(f, P) S(f, Q) S(f, Q) S(f, P). Lemat 6.2 Dla dowolnych rozbić P = { 1,..., n } oraz Q = {B 1,..., B m } zbioru zachodzi nierówność S(f, P) S(f, Q). Dowód. Wystarczy zauważyć, że rozbicie P Q := { 1 B 1,... 1 B m,..., n B 1,... n B m } jest wpisane w P oraz w Q i skorzystać z Lematu 6.1.
Twierdzenie 6.1 Jeśli ograniczona funkcja mierzalna w sensie Lebesgue a f : [a, b] IR + jest całkowalna w sensie Riemana, to b a f (x) dx = [a,b] f dl 1. Dowód. Z Lematu 6.2 oraz definicji całki Riemana wynika, że b a f (x) dx sup{s(f, P): P - rozbicie [a, b]} inf{s(f, Q): Q - rozbicie [a, b]} b a f (x) dx. Zatem b a f (x) dx [a,b] f dl 1 b f (x) dx. a
Można wykazać, że w każda funkcja ograniczona całkowalna w sensie Riemana jest mierzalna w sensie Lebesgue a. Zatem w Twierdzeniu 6.1 założenie o mierzalności funkcji f może zostać pominięte.
Twierdzenie 6.2 Dla funkcji prostej postaci f (x) = n a i 1l i (x) dla x X, i=1 gdzie a 1,..., a n IR +, 1,..., n F, = n i=1 i oraz i j = dla i j, zachodzi wzór n f dµ = a i µ( i ). i=1
Dowód. Oznaczmy P = { 1,..., n }. Dla dowolnego rozbicia Q = {B 1,..., B m } zbioru mamy S(f, P Q) = n i=1 j=1 Korzystając z Lematu 6.1 otrzymujemy m a i µ( i B j ) = m a i µ( i ). i=1 f dµ = sup{s(f, P Q): Q - rozbicie zbioru } = m a i µ( i ). i=1
Lemat 6.3 Jeśli f, g : X IR + są mierzalne, F oraz g(x) f (x) dla x, to g dµ f dµ. Dowód. Wystarczy zauważyć, że inf x i g(x) inf x i f (x) dla i.
Twierdzenie 6.3 Dla dowolnej funkcji mierzalnej f : X IR + oraz dowolnego zbioru F zachodzi równość f dµ = sup { g dµ: g - mierzalna funkcja prosta, g f }.
Dowód. Z definicji całki Lebesgue a i Twierdzenia 6.2 wynika, że dla dowolnego podziału P zbioru wartość S(f, P) jest całką z pewnej mierzalnej funkcji prostej mniejszej lub równej od f. Zatem f dµ = sup{s(f, P): P-rozbicie zbioru } sup { g dµ: g-mierzalna funkcja prosta, g f }. Z Lematu 6.3 wynika, że dla każdej mierzalnej funkcji prostej g takiej, że g f zachodzi f dµ g dµ. Stąd f dµ sup { g dµ: g - mierzalna funkcja prosta, g f }.
Twierdzenie 6.4 Jeśli f : X IR + jest funkcją mierzalną, to funkcja zbioru ϕ: 2 X IR + dana wzorem ϕ() = f dµ dla F jest miarą. Twierdzenie to pozostawimy bez dowodu.
Twierdzenie 6.5 Jeśli f : X IR + jest funkcją mierzalną, to αf dµ = α f dµ dla F, α 0. Dowód. Wystarczy zauważyć, że S(αf, P) = αs(f, P) dla dowolnego rozbicia P zbioru.
Twierdzenie 6.6 (Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Niech (f n ) n IN będzie niemalejącym ciągiem funkcji mierzalnych, nieujemnych określonych na zbiorze mierzalnym. Jeśli f (x) = lim n f n(x) dla x, to lim f n dµ = f dµ. n
Dowód. Ponieważ 0 f n f n+1 f dla n IN, więc f n dµ f dµ. lim n Niech g : IR będzie mierzalną funkcją prostą taką, że 0 g f. Niech α < 1. Wówczas αg(x) < f (x) dla x. Niech n = {x : αg(x) f n (x)} dla n IN. Zauważmy, że n n+1 dla n IN oraz = n=1 n. Korzystając z Lematu 6.3 oraz Twierdzeń 6.4 i 6.5 dostajemy f n dµ f n dµ n αg dµ = α n g dµ n dla n IN.
Dowód - c.d. Ponadto z Twierdzenia 6.4 oraz twierdzenia o ciągłości miary wynika, że lim g dµ = g dµ. n n Otrzymujemy lim f n dµ α g dµ n Ponieważ α < 1 było dowolne, oraz g było dowolną prostą funkcją mierzalną taką, że g f, więc f n dµ f dµ. lim n
Z Twierdzenia 5.7 wynika, że każda nieujemna funkcja mierzalna f jest granicą pewnego niemalejącego ciągu (f n ) n IN funkcji prostych. Z Twierdzenia Lebesgue a wynika, że całka z funkcji f jest równa granicy całek z f n.
Twierdzenie 6.7 Jeśli f, g : X IR są funkcjami całkowalnymi w sensie Lebesgue a, to (f + g) dµ = f dµ + g dµ. Dowód. Załóżmy, że f i g są funkcjami prostymi. Niech 1,..., n będzie rozbiciem zbioru takim, że f (x) = n a i 1l i (x) oraz g(x) = i=1 dla pewnych a 1,..., a n, b 1,..., b n 0. n b i 1l i (x) i=1
Dowód - c.d. Wówczas f (x) + g(x) = n (a i + b i )1l i (x) i=1 jest mierzalną i nieujemną funkcją prostą. Otrzymujemy ( ) n f (x) + g(x) dµ = (a i + b i )µ( i ) = i=1 = f (x) dµ + n a i µ( i ) + i=1 g(x) dµ. n b i µ( i ) i=1
Dowód - c.d. Jeśli f i g są nieujemnymi funkcjami mierzalnymi, to z Twierdzenia 5.7 wynika, że istnieją niemalejące ciągi (f n ) n IN, (g n ) n IN funkcji prostych zbieżne odpowiednio do f i g. Z Twierdzenia 6.6 wynika, że (f + g) dµ = lim (f n + g n ) dµ = lim (f n + g n ) dµ. n n Z pierwszej części dowodu wynika, że (f n + g n ) dµ = f n dµ + g n dµ. Jeszcze raz korzystając z Twierdzenia 6.6 dostajemy ( lim f n dµ+ g n dµ ) = lim f n dµ+ lim g n dµ = n n n f dµ+ g dµ.
Dowód - c.d. Załóżmy, że f, g są dowolnymi funkcjami całkowalnymi w sensie Lebesgue a. Niech h = f + g. Mamy h + + f + g = h + f + + g +. Zatem z części dowodu dotyczącej funkcji mierzalnych nieujemnych wynika, że h + dµ + f dµ + g dµ = h dµ + f + dµ + g + dµ, a zatem h + dµ h dµ = f + dµ f dµ + g + dµ g dµ.
Wniosek 6.1 Jeśli f, g : X IR są funkcjami całkowalnymi w sensie Lebesgue a (lub mierzalnymi nieujemnymi) oraz α, β IR, to (αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ dla F. Wniosek 6.2 Jeśli f : X IR jest funkcją całkowalną w sensie Lebesgue a (lub mierzalną nieujemną), to f dµ = f dµ i i IN i i IN dla dowolnych parami rozłącznych zbiorów i, i IN.
Twierdzenie 6.8 (Lemat Fatou) Dla ciągu (f n ) n IN funkcji mierzalnych nieujemnych określonych na zbiorze mierzalnym zachodzi nierówność lim inf f n dµ lim inf f n dµ. n n
Dowód. Dla n IN zdefiniujmy funkcję g n : X IR + wzorem g n (x) = inf{f m (x): m IN, m n} dla x X. Wówczas 0 g n g n+1 f n+1 dla n IN oraz lim inf n f n(x) = lim n g n(x) dla x X. Korzystając z Twierdzenia 6.6 otrzymujemy lim inf f ndµ= lim g ndµ= lim g n dµ =lim inf n n n n g n dµ lim inf f n dµ. n
Twierdzenie 6.9 (Lebesgue a o zbieżności ograniczonej) Niech (f n ) n IN będzie ciągiem funkcji mierzalnych określonych na zbiorze mierzalnym. Załóżmy, że istnieje funkcja g całkowalna w sensie Lebesgue a taka, że f n (x) g(x) dla x, n IN. Jeśli lim f n(x) = f (x) dla x, n to f dµ = lim f n dµ. n
Dowód. Zauważmy, że g + f n, g f n 0. Korzystając z Twierdzenia 6.7 i Lematu Fatou dostajemy g dµ + (±f ) dµ = (g ± lim f n) dµ = lim inf (g ± f n) dµ n n lim inf (g ± f n ) dµ n ( = lim inf g dµ + (±f n ) dµ ) n = g dµ + lim inf (±f n ) dµ. n
Dowód - c.d. Stąd oraz f dµ = Otrzymujemy f dµ lim inf f n dµ n ( f ) dµ lim inf ( f n ) dµ = lim sup f n dµ. n n lim sup f n dµ n f dµ lim inf f n dµ. n
Zadania Zadanie 6.1 Wykazać, że rozbicie Q jest wpisane w P wtedy i tylko wtedy, gdy i P k IN B1,...,B k Q i = k B j. j=1 Zadanie 6.2 Udowodnić Lemat 6.1.
Zadania Zadanie 6.3 Dla funkcji f : [0, 1] [0, 1] danej wzorem 1 x [0, 1] lq f (x) = 0 x / [0, 1] lq obliczyć [0,1] f dl 1. Czy f jest całkowalna w sensie Riemana? Zadanie 6.4 Obliczyć całkę (0,10] x 3 dµ(x), gdzie µ = k=1 1 k 2 δ k.
Zadania Zadanie 6.5 Udowodnić Wniosek 6.1. Zadanie 6.6 Udowodnić, że jeśli f : X IR jest funkcją całkowalną w sensie Lebesgue a, to f dµ = f dµ i i IN i i IN dla dowolnych parami rozłącznych zbiorów i, i IN.
Zadania Zadanie 6.7 Niech f będzie funkcją mierzalną nieujemną taką, że fdµ = 0. X Pokazać, że f = 0 p.w. Zadanie 6.8 Niech 0 dla x IR \ [ n, n], f n (x) =. 1 n dla x [ n, n] Obliczyć IR lim n f n dl 1 oraz lim n IR f ndl 1.
Zadania Zadanie 6.9 Niech 0 dla x [0, 1 2 f 2n (x) = ], 1 dla x [ 1 2, 1], f 1 dla x [0, 1 2 2n+1(x) = ] 0 dla x [ 1 2, 1]. Obliczyć IR lim inf n f n dl 1 oraz lim inf n IR f ndl 1.