Górnctwo Geonżynera Rok 33 Zeszyt 3/ 2009 Maran Paluch* KORZYŚCI PŁYNĄCE ZE STOSOWNI ZSDY PRC WIRTULNYCH N PRZYKŁDZIE MECHNIKI OGÓLNEJ. Wprowadzene W pracy kerując sę dewzą Johna Zmana: Celem nauk jest zrozumene, ne zaś gromadzene danych wzorów pokazano jak ważną rolę odgrywa w Mechance Ogólnej Zasada Prac Wrtualnych. Zostały zdefnowane węzy układu materalnego, przesunęca wrtualne, wyprowadzono równane zasady prac wrtualnych oraz podano przykłady, z których wdać korzyśc wynkające z jej stosowana. 2. Węzy układu materalnego Wszystko, co wdzmy stanow układ materalny. Układ materalny, którego ruch odbywa sę bez żadnych ogranczeń nazywamy układem swobodnym. Gdy na ruch układu (cała) nałożone są ogranczena (węzy) to tak układ jest neswobodny. Węzy, czyl ogranczena ruchu cała może stanowć: punkt materalny, krzywa materalna, powerzchna materalna (rys. ) tp. Przy układach neswobodnych wykorzystuje sę postulat (hpotezę) o węzach [2 4] tzw. zasadę oswobodzena węzów. Głos ona: w ruchu układu materalnego neswobodnego nc sę ne zmen, jeżel węzy myślowo usunemy, a ch dzałane zastąpmy słam zwanym reakcjam. Sły reakcj występują w mejscach styku cała z węzam. Tak węc ruch cała neswobodnego możemy analzować jak ruch cała swobodnego z tym, że do sł zewnętrznych (czynnych) należy dołączyć sły oddzaływań węzów zwane słam reakcj (bernym). * Wydzał Górnctwa Geonżyner, kadema Górnczo-Hutncza, Kraków 275
a) b) c) Rys.. Węzy układu materalnego Sły berne pojawają sę w węzach, gdy zadzałają sły czynne. Węzy układu materalnego dzelmy na: I. stacjonarne (nezależne od czasu) f( x, y, z) 0 () nestacjonarne (zależne od czasu) f( x, y, z, t) 0 (2) II. geometryczne ogranczają położene punktów materalnego cała f( x, y, z ) = 0 (3) knematyczne ogranczają prędkośc punktów materalnego cała f( x, y, z, x&, y&, z &) = 0 (4) III. dwustronne zapsane przy pomocy równośc f( x, y, z, t ) = 0 (5) jednostronne zapsane przy pomocy nerównośc f( x, y, z, t) 0 (6) 276
IV. gładke (beztarcowe) L = 0 (7) R chropowate (szorstke) L 0 (8) R gdze praca reakcj R na odcnku B jest równa L = R B (9) R Te same węzy mogą być jednocześne np. stacjonarne, geometryczne, gładke dwustronne. 2. Przesunęca wrtualne punktów cała sztywnego Dla punktów cała materalnego (rys. 2) wprowadza sę pojęce przesunęca: a) rzeczywstego, b) możlwego, c) wrtualnego (przygotowanego). a) b) c) Rys. 2. Przesunęca punktów cała: a) rzeczywste, b) możlwe, c) wrtualne (przygotowane) Przesunęce rzeczywste jest wektorem łączącym dwa rzeczywste położena punktu, a węc zależy od węzów sł dzałających. Przesunęce możlwe stanow wektor łączący dwa możlwe położena punktu (zależy tylko od węzów). Wdać stąd, że przesunęce rzeczywste jest możlwym, natomast możlwe ne mus być rzeczywstym, gdyż z całej rodzny przesunęć możlwych tylko jedno jest rzeczywste. Przesunęcem wrtualnym δ punktu jest każdy wektor współlnowy z prędkoścą możlwą ˆv punktu, a prędkość możlwa jest to prędkość punktu na jaką zezwalają węzy układu. df {} δ = k ˆv, k R\ 0 (0) 277
W przypadku cała sztywnego (rys. 3) uneruchomonego w punkce Rys. 3. Przesunęca wrtualne punktów cała sztywnego przesunęce wrtualne δ punktu jest zerowe, poneważ punkt ten jest punktem neruchomym. δ = 0 gdyż ˆv = 0 () Przesunęce wrtualne δ B punktu B leży w płaszczyźne π B. Poneważ punkt B jest w stałej odległośc d od punktu, to jego współrzędne x, y, z spełnają zależność: 2 2 2 2 f( x, y, z) = x + y + z d = 0 (2) nalzowane cało może poruszać sę ruchem kulstym wokół punktu, zatem punkt B może meć różne położena, zależne od jednego parametru τ: f[ x( τ), y( τ), z( τ )] = 0 (3) Różnczkując równane (3) po parametrze τ otrzymujemy zależność: f dx f dy f dz + + = 0 xdτ ydτ zdτ (4) Mnożąc równane (4) przez parametr k R\{0} wprowadzając oznaczena: dx dy dz k =δ x, k =δ y, k =δz dτ dτ dτ (5) 278
otrzymujemy warunek na wyznaczene przemeszczena wrtualnego punktu B. f f f δ x+ δ y+ δ z = 0 grad f δ B = 0 x y z (6) W dowolnym ruchu cała sztywnego pomędzy prędkoścam jego punktów (rys. 4) np. O, zachodz zależność: v = vo +ω O O (7) co wynka z równośc r = r + O (8) O Rys. 4. Rozkład prędkośc punktów cała sztywnego Zależność (7) ważna jest równeż dla prędkośc możlwych. vˆ = vˆ +ω ˆ (9) O O O Stąd dla k R\{0} mamy: kvˆ = kvˆ + kω ˆ O (20) O O δ = δ +δ (2) O ω O o 279
W równanu (2) przemeszczene wrtualne δ jest sumą przemeszczena δ 0 zwązanego z translacją cała przemeszczena ( ω O) 0 δ zwązanego z rotacją cała. 3. Równane Zasady Prac Wrtualnych Dla neswobodnego układu n punktów materalnych o węzach stacjonarnych, geometrycznych, dwustronnych gładkch będącego w równowadze (spoczynek względem układu odnesena) na podstawe zasady oswobodzena węzów zachodz: mr && = F + R = 0 (22) dla =, 2, 3,..., n gdze: F -ta sła zewnętrzna przyłożona do cała w punkce, R -ta sła reakcj w punkce B. po zsu- Po przemnożenu równań (22) przez odpowedne przesunęce wrtualne δ mowane stronam otrzymujemy równane zasady prac wrtualnych n n ( ) ( ) 0, B = = δ L = F δ + R δ = δ (23) Równane (23) w przypadku węzów gładkch, dla których δl R = 0 wyraża sę zależnoścą: n δ L = ( F δ ) = 0, δ (24) = Z zasady tej wyznaczamy równana równowag układu sł dzałających na cało sztywne swobodne lub neswobodne. W tym celu dla cała sztywnego neswobodnego obcążonego układem sł (rys. 5) wykorzystano postulat oswobodzena od węzów zastępując węzy słam reakcj. Rys. 5. Układ sł dzałający na cało sztywne 280
Przesunęce wrtualne punktów przyłożena sł czynnych: δ = δ +δ O (25) O ωo Przesunęce wrtualne punktów przyłożena sł bernych: δ = δ +δ OB (26) B j O ωo j Równane (24) przyjmuje postać: n δ L = ( F δ ) + ( R δ ) = 0 j Bj = j= k (27) Po podstawenu (25) (26) δ, δ do równana (27) otrzymujemy: Bj n k n k δ L = δo F + Rj +δω ( F ) ( ) 0,, O O + Rj BjO = δo δ = j= = j= ω (28) O Stąd n k F + R = S + S = 0 j F R = j= n k ( F O ) ( Rj BjO) MO( F) MO( Rj) + = + = 0 = j= (29) Równana (29) nazywamy równanam równowag układu sł dzałającym na cało sztywne. 4. Przykłady 4.. Praca wrtualna pary sł Na rysunku 6 pokazano parę sł dzałającą na pręt mogący sę obracać wokół punktu O oraz przesunęca wrtualne punktów, w których przyłożone są sły. Współrzędna momentu pary sł jest równa: M = Pa 28
Rys. 6. Obcążena przesunęca wrtualne Zależność pomędzy δ δ otrzymujemy z proporcj: δ l+ a l+ a = δ = δ δ l l Zatem praca wrtualna pary sł jest równa: Pa δ δ L = Pδ+ Pδ = δ = M = M tg φ l l 4.2. Wyznaczene momentu podporowego M dla belk złożonej Na rysunku 7 podano obcążene wymary belk złożonej. Rys. 7. Belka złożona Korzystamy z hpotezy o węzach zastępując utwerdzene podporą przegubową (rys. 8). Rys. 8. Podpora przegubowa z momentem M 282
Zredukowane obcążena belk złożonej przedstawono na rysunku 9. Rys. 9. Zredukowane obcążene belk Na rysunku 0 pokazano plan przemeszczeń wrtualnych punktów, w których są przyłożone sły (por. z rys. 9). 3 tg ϕ =δ, tg ϕ = 2 δ, tg ϕ = δ 2 0 2 0 3 0 Rys. 0. Plan przesunęć wrtualnych Równane wynkające z zasady prac wrtualnych: δ = ϕ + δ + ϕ δ + δ ϕ δ = δ L M tg 5 2 O 0 tg 8 3 O 7 6 O 2 tg 3 24 3 O 0 O δ L = δ (0+ 0 54+ 42 8+ 72 + M ) = 0 O M = 82 [knm] Bez wykorzystana zasady prac wrtualnych, aby otrzymać moment utwerdzena na podporze należałoby rozwązywać belk proste od najwyższej do belk zawerającej podporę (rys. ). Rys.. Schemat belk złożonej 283
4.3. Wyznaczene sły osowej w pręce nr 8 kratowncy (rys. 2 4) Rys. 2. Kratownca statyczne wyznaczalna Korzystamy z hpotezy o węzach zastępując pręt nr 8 słą osową N8 w nm dzałającą. Równane zasady prac wrtualnych 3 2 δ L= 6 2δ N 2δ + N 3δ + 8 2δ + 8 3δ 5 δ + 5 δ = 0 δ 3 3 O 8 O 8 O O O O O O 2 δo N8 + 48 = 0 N8 = 4 3[kN] 3 Rys. 3. Obcążena kratowncy 284
Rys. 4. Plan przemeszczeń wrtualnych punktów węzłowych kratowncy Znając słę N8 możemy wyznaczyć sły w pozostałych prętach wykorzystując metodę równoważena węzłów. Warto zauważyć, że w analzowanej kratowncy (rys. 2) wyznaczene sł osowych w prętach sposobem równoważena węzłów w perwszym kroku jest nemożlwe, gdyż ne ma węzła, w którym schodzłyby sę tylko dwa pręty. W wytrzymałośc materałów stosuje sę w takm przypadku sposób wymany prętów metoda Heneberga. Usuwamy myślowo pręt łączący węzły B, C wstawamy nowy pręt pomędzy węzłam C D (rys. 5 6). Rys. 5. Kratownca z wymenonym prętem Wyznaczamy sły osowe we wszystkch prętach kratowncy od obcążena X =. Sła w pręce CD jest równa N. CD 285
Rys. 6. Obcążene zewnętrzne dla kratowncy z prętem CD Wyznaczamy sły osowe we wszystkch prętach od obcążena zewnętrznego. Sła P w pręce CD jest równa N CD. W rzeczywstośc pręt CD ne stneje, zatem sła NCD jest równa zero. Zachodz węc zależność: N N = X N + N = 0 X = N = P CD CD CD P CD 8 NCD Po przeprowadzenu oblczeń metodą równoważena węzłów wyznaczono: 34 P 4 NCD =, NCD = 442 3 3 Stąd: NCB = X = N8 = 4 3 wyznaczamy sły w pozostałych prętach wykorzystując zasadę super- Znając słę N pozycj CB N = N + N N P j j CB j Otrzymany wynk jest tak jak z oblczeń z wykorzystanem zasady prac wrtualnych, ale nakład pracy jest neporównywalny. Korzystając z zasady prac wrtualnych zyskujemy na czase, bo oblczena są znaczne prostsze ne wymagają dużego nakładu pracy. 286
5. Wnosk końcowe W zagadnenach mechank górotworu stotne jest konstruowane równań ruchu, które mogą być wyprowadzone z zasady prac wrtualnych. W realnych konstrukcjach geotechncznych występują m.n. belk pojedyncze, złożone kratownce. Koneczne jest wstępne wyznaczene ch stanu równowag. W tych zagadnenach najefektywnejszym narzędzem jest zastosowane zasady prac wrtualnych. W pracy zrealzowano postawony cel, a było nm pokazane korzyśc wynkających ze stosowana zasady prac wrtualnych. LITERTUR [] Beer F.P., Johnston E.R. Jr: Vector Mechancs for Engneers. McGraw-Hll Publshng Company, 988 [2] Gutowsk R.: Mechanka analtyczna. PWN, Warszawa, 97 [3] Nzoł J.: Metodyka rozwązywana zadań z mechank. Wyd. 2, PWN, Warszawa, 980 [4] Osńsk Z.: Mechanka ogólna, cz.. Warszawa, 987 [5] Paluch M.: Mechanka teoretyczna. Wyd. 8. Podręcznk dla studentów wyższych szkół techncznych, Poltechnka Krakowska, Kraków, 2006 [6] Skalmersk B.: Mechanka teoretyczna. Wyd. Unwersytetu Śląskego, Katowce, 97 [7] Skalmersk B.: Mechanka podstawy mechank klasycznej. Wyd. Poltechnk Częstochowskej, Częstochowa, 998 [8] Smth Ch.E.: ppled Mechancs Statcs. Copyrght 982 by John Wley & Sons 287