FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz
Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i) 3 ; f) 2 + 3i i ; g) ( + i) (2 i) ( i) 2..2 Niech z = x + iy, gdzie x, y R. Znaleźć podane wyrażenia: Re ( z 2) ; b) e z ; c) z 2 ; d) z n ; e) Im g) Im ( z 3) ; ( ) ( ) z ; h) Re z + z 2. f) Re ( zz 2) ;.3 Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej liczbę e iϕ, gdzie ϕ R : π e πi 2 ; b) e i 3 ; c) e 2 πi ; d) e 2kπi dla k Z..4 Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej (jeśli jest w miarę prost. Podać interpretację geometryczną: 4 ; b) 9 8i; c) 3 27; d) 3 + i..5 Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory określone podanymi warunkami: z < ; b) 2 < z + 2i < 3; c) z + i > 3; d) < i z 4; e) 2iz + 2; f) z i = Re z; g) π 4 < arg(z 3 + i) 2 π; h) z i = z ; i) Re (iz) <. 3.6 Rozwiązać podane równania: z 2 + 4z + 5 = ; b) z 2 + (2 4i)z + 2i = ; c) z 3 4z 2 + 6z 4 = ; d) z 3 8 =. 2
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej 2. Obliczyć: sin( 2i); b) cos( + i); c) Log ( 4); ( ) ( ) d) log ( 4); e) Log 3 + i ; f) log 3 + i. 2.2 Dowieść, że: sin 2 z+cos 2 z = ; b) sin (z + z 2 ) = sin z cos z 2 + cos z sin z 2 ; c) e z +z 2 = e z e z 2 ; d) e z+2kπi = e z dla k Z; e) e z dla każdego z. 2.3 Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną podanych funkcji: f(z) = z 2 ; b) f(z) = z ; c) f(z) = iz3 + z; d) f(z) = sin z; e) f(z) = ch z; f) f(z) = e. 2.4 Pokazać, że istnieją liczby zespolone z takie, że: sin z >, cos z >. 2.5 Rozwiązać podane równania: e z+i = 4; b) e z = e Re z ; c) cos z = 2; d) sin z = i. 2.6 Napisać wzór odwzorowania w = f(z), gdzie z, gdy f jest: translacją o wektor z ; b) obrotem o kąt ϕ (w szczególności dla ϕ = π/2) wokół punktu z = ; c) jednokładnością w stosunku k > o środku z = ; d) odbiciem symetrycznym względem osi Ox, Oy, prostej y = x. 2.7 Jakie jest równanie prostej prostopadłej do prostej z(t) = z +z 2 t, gdzie t R, i przechodzącej przez punkt z? Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej z(t) = 2i + (i 2)t, gdzie t R, i przechodzącej przez punkt z = 2 + i. Wykonać rysunek. 2.8 Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu w = f(z). Narysować zbiór D i jego obraz, jeśli: 3
{ D = z : z + 2i } 5, f(z) = (2 + i)z + 3i; b) D = c) D = {z : arg z π 3, z 2 }, f(z) = z 2 ; { z : π 4 arg z π 2, z }, f(z) = ( 2 + 2i ) z; d*) D = {z : Re z, Im z }, f(z) = z 2. 2.9 Znaleźć obraz: i) okręgu z = ; ii) prostej y = x bez punktu (, ); przy odwzorowaniu w = z. b) i) okręgu z = bez punktu z = ; ii) prostej y = x; przy odwzorowaniu w = z. 2. Znaleźć obraz prostych x = x, y = y i obraz kwadratu D z Zadania 2.8 d*) przy odwzorowaniu w = e z. b) Odwzorować obszar D = {z : < z < e, π < arg z < π} za pomocą funkcji w = log z (logarytm główny). * 2. Znaleźć obraz zbioru D = {z : Re z, Im z } przy odwzorowaniu Wykonać rysunek. * 2.2 Zbadać ciągłość podanych funkcji: w = z i z + i. f(z) = Re z Re z dla z, ; b) f(z) = + z z dla z = ; Wskazówka. Przedstawić z 2 w postaci trygonometrycznej. Re z 2 c) f(z) = dla z, z dla z =. 2.3 Wykazać, że podane funkcje spełniają równania auchy ego-riemanna: f(z) = e z ; b) f(z) = cos z; c) f(z) = ; d) f(z) = log z. z 2.4 W jakich punktach podane funkcje mają pochodne, a w jakich są holomorficzne? Podać wartość pochodnej w punktach, w których istnieje: f(z) = z e z ; b) f(z) = z ( Re z)2 ; c) f(z) = ze z 2 ; d) f(z) = z 2 e Re z. 4
2.5 Znaleźć funkcję holomorficzną f(z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedząc, że: u(x, y) = 2xy + y, f( 2) = i; b) v(x, y) = y x 2, f(2) = ; + y2 c) v(x, y) = e x sin y + 2y, f() = 5. ałki funkcji zespolonych 3. Napisać równania parametryczne podanych krzywych: prostej przechodzącej przez punkty z = 2i, z 2 = i; b) odcinka łączącego punkty z =, z 2 = 2i; c) odcinka łączącego punkty z = 2 + i, z 2 = ; d) okręgu o środku z = 2 i i promieniu r = 3; e) elipsy o środku z = i półosiach a, b; f) hiperboli y = x ; g) części paraboli y = x 2 zawartej między punktami z = + i, z 2 = 3 + 3i. * 3.2 Napisać równanie stycznej do krzywej z(t) = t 2 + i sin t, gdzie t R, w punkcie z odpowiadającym wartości parametru t = π 2. * 3.3 Znaleźć kąt nachylenia do osi Re z stycznej do krzywej z(t) = t 2 + it, gdzie t R, w punkcie z = 3 4 + i 3 2. * 3.4 Określić punkt i kąt przecięcia się krzywych o równaniach parametrycznych z(t) = t + 8 ti, gdzie t R oraz w(t) = t2 + i, gdzie t R? t 3.5 Obliczyć podane całki: c) π 2 π 2 (cos t + 2ti) dt; b) (cos 2t + i sin 2t) dt; d) 2 [ + ( + i)t 2] dt; ( ) e t i dt. 5
3.6 Obliczyć podane całki po zadanych krzywych: e z z dz, odcinek o początku i i końcu ; b) (3z + )z dz, półokrąg {z : z =, Re z } o początku i i końcu i; c) e z dz, łamana o wierzchołkach kolejno, π 2, π ( i); 2 d) (z z) dz, łuk paraboli y = x 2 o początku + i i końcu ; e) z Re z 2 dz, końcu 2. ćwiartka okręgu {z : z = 2, Re z, Im z } o początku 2i i 3.7 Obliczyć podane całki po wskazanej krzywej regularnej o zadanym początku z i końcu z 2 : b) c) d) e iz dz, dowolna krzywa, z = i, z 2 = ; ( 2z cos iz 2) dz, dowolna krzywa, z = π 2, z 2 = π 2 i; z sin z dz, dowolna krzywa, z =, z 2 = π 2 i; z dz z 2 + 2, odcinek, z =, z 2 = + i. 3.8 Korzystając ze wzoru całkowego auchy ego lub jego uogólnień obliczyć podane całki: b) c) e z dz, okrąg z 3i = 2 zorientowany dodatnio; z(z 2i) ze 2πz dz z 2, łamana zamknięta o wierzchołkach, +2i, +2i zorientowana dodatnio; + dz (z 2 2, okrąg z 2i = 2 zorientowany dodatnio; + 9) 6
d) e) sin z dz (z 2 π 2 2, okrąg z 3 = zorientowany dodatnio; ) e z dz 3, okrąg z πi = zorientowany dodatnio. z (z πi) 3.9 Obliczyć całkę dz (z ) 3 (z + ) 3, gdzie jest dodatnio zorientowanym okręgiem o promieniu r i środku z, jeśli: r < 2, z = ; b) r < 2, z = ; c) r > 2, z = lub z =. Szeregi zespolone 4. Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanych szeregów: (2 + i) n e in 3 n= n ; b) n n= 2 ; c) i n n ; n= n 2 + i d) in n= 4 + ; e) n= (n + i) n n n. 4.2 Znaleźć promienie i koła zbieżności podanych szeregów potęgowych: z n n n= 2 ; b) i n z n ; c) ( + i) n z n ; n! n= n= (z i) n d) n n= 2 ( + i) n ; e) n= ( 2i) n z 3n n( i) n f*) n= 2 n (n!) 2 z 2n ; (2n)! g*) n= n! z n (n + i) n. 4.3 Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f(z) w otoczeniu punktu z i znaleźć koło zbieżności otrzymanego szeregu: f(z) = z sin z 2, z = ; b) f(z) = + z, z = i; c*) f(z) = sin z, z = πi; d) f(z) = cos z z dla z, f() =, z = ; e) f(z) = z2 z + 2, z = 2; f) f(z) = e z, z = πi. 7
4.4 Znaleźć wszystkie zera podanych funkcji i zbadać ich krotność: ( f(z) = z 3 2 + ) ( z 4 ; b) f(z) = z 2 e iz ); c) f(z) = sin z z ; d) f(z) = ez sin z ; sin z ( ) e) f(z) = e z ; f) f(z) = sin z e iz. Punkty osobliwe i residua 5. Znaleźć pierścień zbieżności i sumę szeregu Laurenta c n = { dla n, 2 n dla n < ; n dla n, 2n+ c*) c n = dla n = 2, dla n <, n 2. n= c n z n, jeżeli: n+ dla n, b) c n = (2i) i n+ dla n < ; 5.2 Znaleźć rozwinięcie funkcji f(z) w szereg Laurenta we wskazanym pierścieniu P : f(z) =, P = {z : < z < }; z( z) b) f(z) = c) f(z) = d) f(z) =, P = {z : < z < }; z( z) z, P = {z : 4 < z + 3 < }; (z )(z + 3) z 2, P = {z : 2 < z < 3}; (z + 2)(z + 3) i e) f(z) = (z 2 + 2z)e z, P = {z : < z < }; z f*) f(z) = ze, P = {z : < z < }. Wskazówka do f*). Wykorzystać równość z = (z ) +. 5.3 Określić rodzaj punktów osobliwych odosobnionych podanych funkcji. W przypadku biegunów zbadać ich krotność: 8
f(z) = z2 sin z z z 2 ; b) f(z) = + z 2 ; c) f(z) = π2 sin z ; d) f(z) = z tg z; e) f(z) = z2 e z ; f) f(z) = z sin z ; g) f(z) = z(cos z ) ; e h) f(z) = e z ; i*) f(z) = ez. e z z z 5.4 Jak oblicza się residua w punkcie istotnie osobliwym? b) Dlaczego w przypadku punktu istotnie osobliwego próby stosowania wzorów służących do obliczania residuów w biegunach muszą zakończyć się fiaskiem? c) Podać przykład funkcji, dla której punkt z = jest istotnie osobliwy i res f(z) = a, gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną. 5.5 Obliczyć residua funkcji f(z) w punktach osobliwych: f(z) = z + z 2 + ; b) f(z) = z 2 (z ) 2 ; c) f(z) = z 3 z 5 ; d) f(z) = z 2 cos z ; g) f(z) = w punkcie z = i. z8 ez e) f(z) = z ; f) f(z) = ze z ; 5.6 Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach obliczyć podane całki: zdz z 2 + 2z + 2, okrąg z = 2 zorientowany dodatnio; b) c) d) e) dz (z ) 2 (z 2 + ), okrąg x2 + y 2 = 2x + 2y zorientowany dodatnio; e πz dz 2z 2 i, dz e 2z, (z + )e z dz, okrąg z = zorientowany dodatnio; okrąg z 2i = 3 zorientowany dodatnio; okrąg z = 3 zorientowany dodatnio. 5.7 Obliczyć podane całki niewłaściwe: x 2 + dx x 4 dx; b) + ( + x 2 ) 3 ; c) dx (x 2 + 2)(x 2 + 5). 9
Przekształcenie Laplace a 6. Narysować wykres funkcji f(t) i znaleźć jej transformatę Laplace a, jeżeli: dla t <, dla t (, ), f(t) = t dla t [, ], b) f(t) = dla t (, 2), dla t > ; poza tym. 6.2 Niech L {f(t)} = F (s). Udowodnić następujące własności przekształcenia Laplace a i przekształcenia odwrotnego: { } L e at f(t) = F (s, gdzie a ; b) L {f(at)} = a F ( s a c) L {F (cs)} = c f ( t c ), gdzie a > ; ), gdzie c >. 6.3 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a wyznaczyć transformaty podanych funkcji: f(t) = sh ωt; b) f(t) = sin 2 ωt; c) f(t) = cos (ωt δ) (ωt δ); d) f(t) = e at sin 2 ωt; dla t <, dla t (, ), e) f(t) = t dla t [, ], f) f(t) = dla t (, 2), dla t > ; poza tym. 6.4 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a wyznaczyć transformaty podanych funkcji: f(t) = (at t ) n ; b) f(t) = t sin ωt; c) f(t) = t 2 cos ωt; d) f(t) = 2 g*) f(t) = sin ωt (sin t + t cos t); e*) f(t) = ; f*) f(t) = t t sin τ τ dτ. cos ωt ; t 6.5 Naszkicować podane oryginały okresowe i znaleźć ich transformaty Laplace a: { dla 2n t < 2n +, f(t) = gdzie n =,, 2,... ; dla 2n + t < 2n + 2, b) f(t) = { t 2n dla 2n t < 2n +, t + 2n + 2 dla 2n + t < 2n + 2, gdzie n =,, 2,... ; c) f(t) = max {sin ωt, }.
6.6 Wykorzystując całkę Laplace a obliczyć podane całki niewłaściwe: e t cos πt dt; b) e t 2 ( ) t 4 2t 2 + 4 dt; c) ( ) π e 2t sin 3 t dt; e t d*) te 2t dt. 6.7 Metodą rozkładu na ułamki proste znaleźć oryginał, gdy: F (s) = s3 3s 2 7s 8 (s + ) 2 (s 2 + 4) ; b) F (s) = 4s3 + 9s 2 + 8s + 2 s(s + 2)(s 2 + ) ; c) F (s) = 4s2 + 2s + 26 s(s 2 + 6s + 3) ; d) F (s) = 3s3 8s 2 + 2s 8 (s 2) 2 (s 2 + 2s + 5). 6.8 Metodą residuów wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje: s F (s) = (s 2 + ) 2 ; b) F (s) = s2 4 (s 2 + 4) 2 ; c) F (s) = s s(s 2 + 2s + 2) 2. 6.9 Sprawdzić, czy podane funkcje są transformatami Laplace e oryginałów okresowych. Znaleźć te oryginały i naszkicować ich wykresy: F (s) = A s ( e s ) 2 e 2s ; b) F (s) = 2 3 2 e 2s + e 3s s 2 e 3s ; c) F (s) = e 2πs + e πs s 2 + e 2πs. 6. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych: y + y = sin t, y() = ; b) y y 6y = 2, y() =, y () = ; c) y + 4y + 3y = 2e t, y() =, y () = ; d) y 2y + y =, y() =, y () =. 6. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla układów równań różniczkowych: { x = y, y x() = y() = ; = 2x + 2y, b) { x + 2y = 3t, y 2x = 4, x = y z, c) y = x + y, z = x + z, x() = 2, y() = 3; x() =, y() = 2, z() = 3.
6.2 Sprawdzić twierdzenie Borela dla podanych splotów funkcji: t sin t; b) t t 2 ; c) cos t e t. 6.3 Korzystając z twierdzenia Borela o splocie wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje: 5s F (s) = (s 2 + ) (s ) ; b) F (s) = s 2 (s 2 + ) ; c) F (s) = s (s 2 + 4) 2. 2