6 Komutatory i równania Heisenberga

J. Z. Kamiński 1 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

6 Komutatory i równania Heisenberga 6.1 Ćwiczenia Zadanie 6.1 Przypomnieć definicje iloczynu skalarnego x y i normy x. Wykazać, że iloczyn skalarny można wyrazić jedynie przez normę: x y = 1 4 ( x+y 2 x y 2 +i x iy 2 i x+iy 2 ) Jaką postać przyjmuje ta równość jeśli iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji jest zdefiniowany całką f g = dxf (x)g(x) Zadanie 6.2 Dwie wielkości fizyczneaib reprezentowane są operatorami hermitowskimi  iˆb takimi, że [Â,ˆB]=iĈ Wykazać, że operator Ĉ również jest hermitowski. Dla jakiegokolwiek stanu ψ zdefiniujmy średnią i dyspersję wielkościawtym stanie wzorami A = ψ  ψ, A= Wykazać tzw. zasadę nieoznaczoności Heisenberga A B 1 2 C. A 2 A 2 Zadanie 6.3 Rozważmy swobodną cząstkę o masiem. Operator Hamiltona ma postać Ĥ= 1 2mˆp2 Wiedząc, że w dowolnej chwili czasu operatory położenia ˆx(t) i pędu ˆp(t) spełniają warunki komutacyjne [ˆx(t),ˆp(t)]=i, [ˆx(t),ˆx(t)]=0, [ˆp(t),ˆp(t)]=0 wyprowadzić równania Heisenberga, a następnie rozwiązać je z warunkami początkowymi ˆx(0) = ˆx 0 iˆp(0)=ˆp 0. Obliczyć komutator[ˆx(t),ˆx 0 ] i wykazać tzw. rozpływanie się swobodnej paczki falowej. J. Z. Kamiński 2 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 6.4 Wyznaczyć komutator [ˆp,ˆx n ], n=0,±1,±2,... Przyjmując, że funkcję od operatorav(ˆx) można rozwinąć w szereg Laurenta V(ˆx)= n= wyprowadzić równania Heisenberga dla cząstki o masie m poruszającej się w polu siły potencjalnej o potencjalev(x), gdy ruch zadany jest operatorem Hamiltona Ĥ= 1 v nˆx n 2mˆp2 +V(ˆx) Kiedy równania na średnie położenie i pęd pokrywają się z równaniami Newtona? Zadanie 6.5 Wykazać, że Niech operatory  iˆb spełniają warunki d eλâ= Âeλ dλ [Â,[Â,ˆB]]=0=[ˆB,[Â,ˆB]] Wykazać, że spełniony jest wzór Cambella-Bakera-Hausdorfa e λ(â+ˆb) =e λâe λˆbe λ2 [Â,ˆB]/2. Zadanie 6.6 Niech  iˆb są dowolnymi operatorami. Zdefiniujmy operatorˆf(λ), zależny od zespolonego parametruλ, wzorem ˆF(λ)=e λâˆbe λâ. Rozwijając funkcje operatorowąˆf(λ) w szereg Taylora względem parametruλwykazać, że e λâˆbe λâ=ˆb+λ[â,ˆb]+ λ2 λ3 [Â,[Â,ˆB]]+ 2! 3! [Â,[Â,[Â,ˆB]]]+... 6.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania wykład 21.11.2011 Zadanie 6.7 Rozważmy oscylator harmoniczny o masiemiczęstościω. Operator Hamiltona ma postać Ĥ= 1 2mˆp2 + 1 2 mω2ˆx 2 J. Z. Kamiński 3 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Wiedząc, że w dowolnej chwili czasu operatory położenia ˆx(t) i pędu ˆp(t) spełniają warunki komutacyjne [ˆx(t),ˆp(t)]=i, [ˆx(t),ˆx(t)]=0, [ˆp(t),ˆp(t)]=0 wyprowadzić równania Heisenberga, a następnie rozwiązać je z warunkami początkowymi ˆx(0) = ˆx 0 iˆp(0)=ˆp 0. Zadanie 6.8 Zdefiniujmy dwa operatory niehermitowskie wzorami â=λˆx+ i 2λ ˆp, â =λˆx i 2λ ˆp Wyznaczyć komutator[â,â ] i wyrazić przez te operatory operator Hamiltona dla oscylatora harmonicznego Ĥ= 1 2mˆp2 + 1 2 mω2ˆx 2 Jak należy dobrać parametrλ, aby Ĥ= ω 2 (â â+ââ ) Wyznaczyć równania Heisenberga na te operatory i rozwiązać je. 6.3 Zadania dodatkowe Zadanie 6.9 Korzystając z wyników zadania 6.6 wykazać, że dla operatorów położeniaˆx i pęduˆp, ) ( i exp( ˆpx 0 ˆxexp ˆpx i ) 0 =ˆx+x 0, Pokazać, że dla dowolnej funkcji analitycznejf(z) e λˆx2 /2ˆpe λˆx2 /2 =ˆp+i λˆx, e λâf(ˆb)e λâ=f(ˆb+λz), gdy [Â,ˆB]=z. Zadanie 6.10 Wykazać, że dla cząstki swobodnej o masiemoperator galileuszowego pchnięcia, jest stałą ruchu, tzn. Ĝ=tˆp mˆx, zwany operatorem dĝ dt = Ĝ t +1 1 [Ĝ,Ĥ]=0 dla Ĥ= i 2mˆp2. Wykazać, że i 2 ( )ˆp exp( vĝ 2m exp i )= vĝ ˆp2 2m +vˆp+mv2 2. Zinterpretować ten wzór, a w szczególności rzeczywistą liczbęv. J. Z. Kamiński 4 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 6.11 Zdefiniujmy tzw. operator dylatacjiˆd, Wykazać, że dla rzeczywistychλ. ˆD= 1 ) (ˆr ˆp+ˆp ˆr. 2 e iλˆdˆx i e iλˆd=e λˆx i oraz e iλˆdˆp i e iλˆd=e λˆp i Zadanie 6.12 Korzystając z wyników zadania 6.6 wyznaczyć ewolucję czasową operatorów położenia i pędu dla oscylatora harmonicznego, tj operatory ( ) i ˆx(t)=exp Ĥt ˆxexp ( i ) ( ) i Ĥt, ˆp(t)=exp Ĥt ˆpexp ( i ) Ĥt gdzie Porównać wyniki z zadaniem 6.7 Ĥ= 1 2mˆp2 + 1 2 mω2ˆx 2 J. Z. Kamiński 5 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

7 Metody przybliżone 7.1 Ćwiczenia Zadanie 7.1 Rachunek zaburzeń bez czasu bez zwyrodnienia. Przyjmijmy, że pełny Hamiltonian ma postać Ĥ=Ĥ0+λˆV gdzie λ jest bezwymiarowym małym parametrem. Przyjmijmy dalej, że potrafimy rozwiązać zagadnienie własne dla Hamiltonianu Ĥ0, Ĥ 0 φ n =E (0) n φ n Wykazać, że przybliżone rozwiązanie zagadnienia własnego dla pełnego Hamiltonianu Ĥ ψ n =E n ψ n ma postać gdzie E n =E (0) n +λe (1) n +λ 2 E (2) n +... ψ n = φ n +λ φ (1) n +λ 2 φ (2) n +... E (1) n = φ n ˆV φ n φ (1) n = k n φ k φ k ˆV φ n E (0) n E (0) k E (2) n = k n φ k ˆV φ n 2 E (0) n E (0) k Zadanie 7.2 Rachunek zaburzeń ze zwyrodnieniem. Przyjmijmy, że stan energetyczny dla hamiltonianu niezaburzonego jest zwyrodniały, Ĥ 0 φ nk =E (0) n φ nk, k=1,2,...,d Wykazać, że pierwszą poprawką do energii są wartości własne macierzy V n postaci ( Vn ) Jak interpretujemy wektory własne tej macierzy? kk = φ nk ˆV φ nk J. Z. Kamiński 6 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 7.3 Niech Hamiltonian zależy od pewnego rzeczywistego parametru λ. Zatem jego wartości i wektory własne również zależą od niego, Ĥ(λ) ψ n (λ) =E n (λ) ψ n (λ) Dalej dla prostoty wybierzmy spośród stanów własnych stany związane. Wykazać słuszność następującej równości de n (λ) = ψ n (λ) dĥ(λ) dλ dλ ψ n (λ) będącej treścią tzw. twierdzenia Hellmana-Feynmana. Wybierzmy jako parametr λ masę cząstki m, która występuje tylko w operatorze energii kinetycznejˆt. Wykazać, że ψ n ˆT ψ n = m de n dm i sprawdzić tę równość na przykładach stanów podstawowych oscylatora harmonicznego i atomu wodoru. Uwaga! w przypadku oscylatora harmonicznego częstośćω zależy od masy. Przyjmijmy teraz, że w przypadku oscylatora harmonicznego różniczkujemy po masie przy ustalonej częstościω. Wykazać równość średnich wartości energii kinetycznej i potencjalnej. Zadanie 7.4 W jednowymiarowym Hamiltonianie dokonajmy przeskalowania operatora położenia ˆx λˆx. Wykazać, że przeskalowany Hamiltonian ma postać Ĥ(λ)= ˆp2 2mλ 2+ˆV(λx) Jak zmieni się przeskalowany stan własny ψ n (λ)? Czy wartości własne również ulegną zmianie? Wykorzystać ten fakt razem z tw. Hellmana-Feynmana w celu wykazania tzw. twierdzenia wirialnego w mechanice kwantowej gdzie 2 ψ n ˆT ψ n = ψ n ˆxˆV (ˆx) ψ n ψ n = ψ n (λ) λ=1 Uogólnić to twierdzenie na przypadek wielowymiarowy i sprawdzić je dla stanów podstawowych oscylatora harmonicznego i atomu wodoru. Zadanie 7.5 Wykazać współzmienniczość równania Schrödingera względem transformacji Galileusza, tzn. że dla cząstki swobodnej funkcje falowe różnią się fazą, ψ (r,t)=e iϕ(r,t) ψ(r,t). Porównać wynik z transformacją energii i pędu z mechaniki klasycznej jeśli ψ(r,t)=exp( iet+ip r). J. Z. Kamiński 7 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 7.6 Wyznaczyć stany związane i prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masiemprzez potencjał V(x)=V 0 δ(x) 7.2 Zadania dodatkowe Zadanie 7.7 Wyznaczyć stany związane cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze w potencjale V(x)= V 0 (δ(x+a)+δ(x a)), V 0 >0. Zadanie 7.8 Wyznaczyć prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze przez barierę potencjalną V(x)=V 0 (δ(x+a)+δ(x a)), V 0 >0. Zadanie 7.9 Wyznaczyć stany związane cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze w potencjale Morse a V(x)=D(e 2αx 2e αx ), D,α>0. Zadanie 7.10 Rozważyć trójwymiarowy oscylator harmoniczny w stałym polu elektrycznym o Hamiltonianie Ĥ= 1 2mˆp2 + 1 2 mω2ˆr 2 ee ˆr. Wyznaczyć energię stanu podstawowego ściśle i w rachunku zaburzeń aż do drugiego rzędu. W tym celu wypisać jawnie funkcje falowe dwóch pierwszych stanów energetycznych i obliczyć odpowiednie całki Gaussowskie. Zadanie 7.11 Rozważyć ten sam oscylator harmoniczny, ale teraz w stałym polu magnetycznym B skierowanym w stronę osiz. Posługując się pierwszym rzędem rachunku zaburzeń ze zwyrodnieniem obliczyć poprawkę do energii pierwszego stanu wzbudzonego. Rachunki wykonać w dwóch cechowaniach, Landau a i van Vlecka. Tak jak w zadaniu poprzednim posługiwać się funkcjami falowymi, a nie operatorami kreacji i anihilacji. J. Z. Kamiński 8 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 7.12 Korzystając z tw. Hellmana-Feynmana powiązać średnią wartość energii potencjalnej dla atomu wodoru z energią stanów związanych. Sprawdzić ten związek dla stanu podstawowego. Zadanie 7.13 Sprawdzić słuszność tw. wirialnego dla pierwszego stanu wzbudzonego jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. J. Z. Kamiński 9 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

8 Metody przybliżone cd. 8.1 Ćwiczenia Zadanie 8.1 Wyznaczyć energie stanów energetycznych elektronu poruszającego się w potencjale Kratzera ( ) a V(r)= 2D r a2, D,a>0. 2r 2 Zinterpretować widmo jako nałożenie się ruchu wibracyjnego i obrotowego. Zadanie 8.2 Przeanalizować stany związane, rezonansowe i rozproszeniowe cząstki w fali s w potencjale bańki mydlanej V(r)= λδ(r a). 8.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania wykład 05.12.2011 Zadanie 8.3 Jednowymiarowy oscylator harmoniczny o Hamiltonianie zaburzono potencjałem Ĥ 0 = 1 2mˆp2 + 1 2 mω2ˆx 2 V=εˆx 4. Stosując rachunek zaburzeń wyznaczyć poprawki do energii dwóch stanów o najniższych energiach. Zadanie 8.4 Cząstka o masiemporusza się w jednowymiarowej studni potencjału 0 dla x <a V(x)= dla x >a Wyznaczyć jej energie i unormowane funkcje falowe. Uwzględnienie poprawek relatywistycznych polega na dopisaniu do Hamiltonianu członu Ĥ = ˆp4 8m 3 c 2 Wyznaczyć w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń poprawkę do energii stanu podstawowego. J. Z. Kamiński 10 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

8.3 Zadania dodatkowe Zadanie 8.5 Stosując przybliżenie Borna wyznaczyć przekrój czynny na rozpraszanie na potencjale składającym się z dwóch centrów oddalonych od siebie o wektora, tj., V(r)=V 0 (r)+v 0 (r+a). Jaką postać ma różniczkowy przekrój czynny gdy V 0 (r)=v 0 exp( r 2 /λ 2 ). Zadanie 8.6 Znaleźć wariacyjnie stany podstawowe cząstki o masiemporuszającej się w potencjale oscylatora harmonicznegomω 2 r 2 /2 lub w potencjale kulombowskim α/r. W obu przypadkach jako funkcje próbne wybrać ψ 1 (r)=n 1 exp( βr 2 ) lub ψ 2 (r)=n 2 exp( γr) i porównać wyniki. W obliczeniach posłużyć się funkcjąγeulera. Zadanie 8.7 Cząstka o masiemporusza się w jednym wymiarze w potencjalev(x)=λx 4. Znaleźć wariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako funkcję próbną ψ(x)=nexp( (αx) 4 /2), gdzien jest stałą normującą. Odpowiednie całki wyrazić poprzez funkcjęγeulera. Zadanie 8.8 Electron o masiem, znajdujący się tuż nad powierzchnią ciekłego helu (równanie powierzchni z=0), jest przyciągany przez jego dielektryczny obraz siłą o potencjale [C. C. Grimes i T. R. Brown, Phys. Rev. Lett. 32, 280 (1974)], z<0 V(z)= α, z>0 z Przyjmując, że elektron nie porusza się w kierunku równoległym do powierzchni z = 0, wyznaczyć wariacyjnie jego energię stanu podstawowego wybierając jako nieunormowaną funkcję próbną 0, z<0 ψ(z)= ze λz, z>0 Czy otrzymany wynik jest wynikiem ścisłym? J. Z. Kamiński 11 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 8.9 Electron o masiemporusza się w potencjale, x<0 V(x)= 1 2 mω2 x 2, x>0 Wyznaczyć wariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako nieunormowaną funkcję próbną 0, x<0 ψ(x)= xe λx2, x>0 Czy otrzymany wynik jest wynikiem ścisłym? Zadanie 8.10 Cząstka o masiemporusza się w nieskończonej studni potencjału λδ(x), x <a V(x)=, x >a Wyznaczyć unormowaną funkcję falową i energię stanu podstawowego. Zadanie 8.11 Nieunormowany stan związany cząstki o masiemopisany jest funkcją falową ψ(x)= sin(λx), x gdzieλjest stałą. Wiadomo, że funkcja falowa spełnia równanie 2 d 2 2mdx 2ψ(x)+(V(x) E)ψ(x)=0. Wyznaczyć energięe tego stanu jeśli wiadomo, że potencjałv(x) zeruje się dlax=0. Zadanie 8.12 Cząstka o masiemporusza się w potencjale V(x)= 1 2 mω2 x 2 +λx 6. Traktującλx 6 jako zaburzenie wyznaczyć energię stanu podstawowego w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń. Zadanie 8.13 Cząstka o masiemporusza się w nieskończonej studni potencjału 0, 0<x<a V(x)=, x<0 orazx>a Wyznaczyć unormowaną funkcję falową i energię stanu podstawowego oraz średnie położenie x i dyspersję położenia. Określić gęstość prawdopodobieństwa pędu w tym stanie. J. Z. Kamiński 12 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 8.14 Cząstka o masiemporusza się w potencjale V(x)= 1 2 mω2 x 2 +λ x 5. Traktującλ x 5 jako zaburzenie wyznaczyć energię stanu podstawowego w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń. J. Z. Kamiński 13 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

9 Mechanika kwantowa wielu cząstek 9.1 Ćwiczenia Zadanie 9.1 Posługując się rachunkiem zaburzeń wyznaczyć oddziaływanie van der Waalsa miedzy dwoma atomami wodoru (L. I. Schiff, Mechanika kwantowa, strony 232-234). Zadanie 9.2 Rozważyć dwuelektronowy atom helopodobny o Hamiltonianie Ĥ= 2 2m 1 Z cα r 1 2 2m 2 Z cα r 2 + cα r 1 r 2, gdzie Z jest ładunkiem jądra, c prędkością światła, a α stałą struktury subtelnej. Wyznaczyć wariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako funkcję próbną ψ(r 1,r 2 )=Nexp( Z(r 1 +r 2 )), gdzien jest unormowaniem a Z parametrem wariacyjnym. Do wyznaczenia całki z potencjałem oddziaływania elektronów posłużyć się wzorem 1 r 1 r 2 =4π 1 r > lm2l+1 ( r< r > ) ly lm(θ 1,ϕ 1 )Y lm (θ 2,ϕ 2 ). Zadanie 9.3 Macierz gęstości dla mieszaniny stanów, w której stan czysty ψ i występuje z prawdopodobieństwemp i ma postać ˆρ= p i ψ i ψ i, i gdzie ψ i są jakimikolwiek stanami unormowanymi do 1, ale niekoniecznie ortogonalnymi do siebie. Wykazać, że Trˆρ= p i. i 9.2 Zadania dodatkowe Zadanie 9.4 Niech â i â są operatorami kreacji i anihilacji. Zdefiniujmy trzy operatory, ˆT 1 = 1 (â â +ââ ),ˆT 2 = 1 (â â ââ ),ˆT 3 = 1 (â â+ââ ). 4 4i 4 Wykazać słuszność relacji komutacyjnych [ˆT 1,ˆT 2 ]= iˆt 3,[ˆT 3,ˆT 1 ]=iˆt 2,[ˆT 2,ˆT 3 ]=iˆt 1. J. Z. Kamiński 14 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 9.5 Niech operatory â i i â i,i=1,2 tworzą dwa zestawy operatorów kreacji i anihilacji, spełniających warunki komutacyjne, [â i,â j]=δ ij,[â i,â j]=0,[â i,â j ]=0. Zdefiniujmy dwa zestawy nowych oparatorów kreacji i anihilacjiˆb i iˆb i,i=1,2, spełniających te same warunki komutacyjne tak, aby ) ( ) (â1 u v = ˆb 1. v u â 2 Jaki związek muszą spełniać liczby rzeczywiste u i v? Zastosować tę transformację, zwaną transformacją Bogoliubowa, w celu wyznaczenia energii własnych hamiltonianu, dobierając odpowiednio parametryuiv. Ĥ=E 0 (â 1â1+â 2â2)+ 3 5 E 0(â 1â 2+â 1 â 2 ), Zadanie 9.6 Niech operatory â i i â i,i=1,2 tworzą dwa zestawy operatorów kreacji i anihilacji, spełniających warunki komutacyjne, ˆb 2 [â i,â j]=δ ij,[â i,â j]=0,[â i,â j ]=0. Zdefiniujmy cztery hermitowskie operatory wzorami Ĵ 1 = (â ) 2 2â1+â 1â2, Ĵ2 = i (â 2 2â1 â 1â2), Ĵ 3 = (â ) 2 1â1 â 2â2, (â Ŝ= 2 1â1+â 2â2). Wykazać, poprzez sprawdzenie odpowiednich związków komutacyjnych, że trzy operatory Ĵi, i=1,2,3, są operatorami momentu pędu. Sprawdzić, że Ĵ 2 = Ĵ2 1+Ĵ2 2+Ĵ2 3= Ŝ(Ŝ+ ). Dla dociekliwych: Zdefiniujmy następnie stan 0 tak jak dla oscylatora harmonicznego, tzn. â i 0 =0 dlai=1,2. Wykazać, że[ĵ2,ĵ3]=0, a unormowane stany własne operatorów Ĵ2 i Ĵ3 są postaci, 1 (â ) j+m (â j m 0. j,m = 1 2) (j+m)!(j m)! Jaką postać mają operatory Ĵ± podnoszące i opuszczające liczbę kwantowąm? Wykazać, że tak jak trzeba, Ĵ + j,j =0 oraz Ĵ j, j =0. Opisana tu procedura nazywana jest przedstawieniem Jordana-Schwingera operatorów momentu pędu, lub też bozonizacją operatorów momentu pędu. J. Z. Kamiński 15 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

10 Równania Pauliego i relatywistycznej mechaniki kwantowej. Stany koherentne. 10.1 Ćwiczenia Zadanie 10.1 Równanie Pauliego (wykład) dla elektronu ma postać i t ψ= [ 1 ( ) 2+eφ ] σ ( i ea) ψ, ψ= 2m gdzieσ są tzw. macierzami Pauliego. Wykazać, że σ i σ j =δ ij +iε ijk σ k, e iσ a =cos( a )+i σ a a ( ) ψ+ ψ sin( a ) Korzystając z pierwszej z tych tożsamości wykazać, że równanie Pauliego możemy zapisać w postaci [ 1 ( ) ] ( ) ψ+ i t ψ= i ea 2+eφ µb σ ψ, ψ=, 2m ψ gdzie B= A, µ= e 2m, Zadanie 10.2 Ruch neutronu w polu magnetycznym możemy opisać równaniem Pauliego gdzie w przybliżeniu i t ψ= [ 2 2m N µb σ ] ψ µ= 1.9 e 2m N, am N jest masą neutronu. Przyjmijmy, że pole magnetyczne zależy jedynie od czasu i ma postać B(t)=(bcosωt, bsinωt,b). Rozwiązania równania Pauliego szukać w postać ψ(r,t)=exp ( i (E pt p r) ) χ(t), E p = p2 2m N, χ(t)= ( ) χ+ (t). χ (t) Jakie równanie spełniaχ(t)? Rozwiązać to równanie i przedyskutować przypadek rezonansu. J. Z. Kamiński 16 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 10.3 Stan koherentny α definiujemy jako stan własny operatora anihilacji (wykład), â α =α α, α C. Wyznaczyć jego rozkład w bazie Foka (przypomnieć co to jest) i wykazać ich zupełność, ale nie ortogonalność. Wykazać, że dla stanów koherentnych w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga jest równość. Wyznaczyć ewolucję czasową stanu koherentnego pod wpływem Hamiltonianu oscylatora harmonicznego Ĥ= ω ( â â+ 1 ) 2 a następnie średnie położenie i pęd. Wykazać, że są to rozwiązania zagadnienia klasycznego. 10.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania wykład 19.12.2011 Zadanie 10.4 Relatywistyczne równanie Kleina-Gordona dla cząstki bezspinowej w polu elektromagnetycznym o potencjałachφiama postać (wykład) ( t + ie φ) 2 ψ= m 2 c 4 Niech cząstka porusza się w polu kulombowskim Odseparować zmienną czasową podstawieniem 2 ψ c 2( ie A) 2 ψ. φ(r)= Ze 4πε 0 r, A=0. ψ(r,t)=exp( iet/ )ψ(r) a następnie wyznaczyć energie stanów związanych E. Przedyskutować wynik w granicy nierelatywistycznej uwzględniając wyrazy(mc 2 ) 1,(mc 2 ) 0 i(mc 2 ) 1. Posłużyć się metodą omówioną przy okazji potencjału Kratzera 8.1. Jak duże może byćz aby energie były rzeczywiste? Zadanie 10.5 Dla równania Schrödingera w polu magnetycznym i t ψ= [ 1 ( ) 2+eφ ] i ea ψ 2m również zachowane jest prawdopodobieństwo. Tzn. jeśli zdefiniujemy gęstość prawdopodobieństwa jakoρ= ψ 2, to istnieje takiej (gęstość prądu prawdopodobieństwa) takie, że Jaką postać maj? t ρ+ j=0. J. Z. Kamiński 17 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

10.3 Zadania dodatkowe Zadanie 10.6 Dla równania Pauliego określić gęstość prądu prawdopodobieństwa j tak, aby spełnione było prawo zachowania t ρ+ j=0, w którymρ=ψ ψ. Zadanie 10.7 Rozważmy dwa dowolne operatory â i â + spełniające warunek komutacyjny[â,â + ]=1. Wykazać, że dla dowolnej funkcjif(z), dla której istnieje rozwinięcie w szereg Laurenta, f(z)= n= c n (z z 0 ) n, gdziez 0 jest pewną liczbą zespoloną, zachodzi równość [â,f(â + )]= df(z) dz. z=â+ Zadanie 10.8 Operator przesunięciaˆd(α) definiujemy wzorem ˆD(α)=e αâ α â=e αâ e α âe α 2 /2, Wykazać, że stan koherentny jest przesuniętym stan próżni α =ˆD(α) 0 =e α 2 /2 e αâ e α â 0 =e α 2 /2 e αâ 0. Zadanie 10.9 Transformacją Bogoliubova nazywamy liniowe przekształcenie operatorów kreacji i anihilacji â i â, ˆb =aâ +bâ+c, ˆb=dâ +eâ+f. Jakie warunki muszą spełniać zespolone stałea,b,c,d,e,f, abyˆb iˆb były również operatorami kreacji i anihilacji? Od ilu niezależnych zmiennych rzeczywistych zależy taka transformacja? J. Z. Kamiński 18 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

11 Stany koherentne i ściśnięte. Macierz gęstości. 11.1 Ćwiczenia Zadanie 11.1 W zadaniu 6.11 wprowadziliśmy operator dylatacjiˆd. Wyrazić go poprzez operatory kreacji i anihilacji dla każdej ze współrzędnych kartezjańskich. Ograniczamy się następnie do przypadku jednowymiarowego. Wprowadźmy operator ściskania Ŝ(λ)=e iλˆd Wyznaczyć przetransformowane operatory kreacji i anihilacji â λ =Ŝ(λ)â Ŝ (λ) â λ =Ŝ(λ)âŜ (λ), i zdefiniujmy nowy stan próżni (nazywany próżnią ściśniętą) wzorem â λ λ;0 =0. wyznaczyć w tym stanie średnie położenie i pęd oraz ich dyspersję. Jaką ma postać ten stan w reprezentacji położeniowej. Zadanie 11.2 Zbiór wszystkich operatorów liniowych działających w skończenie wymiarowej przestrzeni HilbertaHjest również przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem  ˆB =Tr ˆB. Niech wd-wymiarowej przestrzeni Hilberta zbiór wektorów n,n=1,...d tworzy bazę ortogonalną. Wykazać, że zbiór operatorów n m jest bazą ortogonalną w zbiorze operatorów. Wybierzmy przestrzeń dwuwymiarową. Wykazać, że macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni operatorów. Oznacza to, że każdy operator można przedstawić w postaci liniowej kombinacji Â=αÎ+β ˆσ Niech operatorˆρ działający w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta spełnia warunki ˆρ =ˆρ, Trˆρ=1. Jakie ograniczenia nakłada to na w ogólności zespolone liczbyαiβ? Przyjmijmy ponadto, że Trˆρ 2 =1. Do jakich dalszych ograniczeń to prowadzi? Niechˆρ 1 iˆρ 2 będą dwoma takimi operatorami spełniającymi powyższe warunki. Wykazać, że Tr(ˆρ 1ˆρ 2 )= 1 2 (1+β 1 β 2 ) J. Z. Kamiński 19 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Zadanie 11.3 Wprowadzić i omówić właściwości operatora gęstości i wyprowadzić równanie Schrödinger dla niego ˆρ= 1 i [Ĥ,ˆρ] Wyprowadzić równanie ruchu dla wektoraβ (zadanie 11.2), gdy hamiltonian ma postać Omówić to równanie. 11.2 Zadania dodatkowe Ĥ= µb(t) σ Zadanie 11.4 Wyznaczyć wektory i wartości własne hamiltonianu (B jest dowolnym wektorem stałym w czasie i przestrzeni) Ĥ= µb σ Oznaczmy je odpowiednio symbolami 0 i 1 (wektory własne) oraze 0 ie 1 (wartości własne). Zdefiniujmy następnie operator gęstości ˆρ= 1 Z (e βe 0 0 0 +e βe 1 1 1 ) WyznaczyćZ i średnie σ = Tr(σˆρ) J. Z. Kamiński 20 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

12 Operacje kwantowe. Gęstość stanów. 12.1 Ćwiczenia Zadanie 12.1 Wykazać, że w trójwymiarowej przestrzeni o objętości V ilość stanów kwantowych o pędach co do modułu nie większych niżpwynosi N(p)= p gdziesjest spinem cząstki, ag(p) gęstością stanów 0 V g(p)dp=(2s+1) 6π 2 3p3 g(p)=(2s+1) Vp2 2π 2 3 WyrazićN(p) ig(p) poprzez energięe=p 2 /2m. Uogólnić powyższe wzory na przypadki dwu- i jedno-wymiarowe. Zadanie 12.2 Operacja kontrolowanego zaprzeczenia Rozważmy dwie dwuwymiarowe przestrzenie HilbertaH 1 ih 2. Oznaczmy wektory bazy tych przestrzeni jako v i, w j,i,j=1,2. Iloczynem tensorowym tych przestrzeni nazywamy przestrzeńh=h 1 H 2 rozpiętą na wektorach v i w j. W przestrzeni tej działają operatory, które w ogólności mogą być dowolną kombinacją liniową operatorów postaci  ˆB, których działanie na wektory bazy zdefiniowane jest związkiem ( ˆB)( v i w j )=( v i ) (ˆB w j ) Uwaga: wektor v i w j będziemy zapisywali w postaci v i w j (ale kolejność jest tu istotna, tj. na ogół v i w j w j v i. Dla wygody dwa wektory bazy ( v i lub w j ) będziemy oznaczali symbolami 0 i 1. Zatem bazę whtworzą cztery wektory 00, 01, 10 i 11 (nazwijmy ją bazą kanoniczną). W każdej przestrzenih i działa operacja Hadamarda Ĥ (nie mylić z Hamiltonianem) zdefiniowana wzorami Ĥ 0 = 1 2 ( 0 + 1 ), Ĥ 1 = 1 2 ( 0 1 ) Wykazać, że ĤĤ = Î=Ĥ2 np. posługując się reprezentacją macierzową. Zdefiniujmy operację kontrolowanego zaprzeczenia ÛCNOT wzorem Û CNOT ( a b )= a b b gdzie symbol oznacza dodawanie modulo 2. Napisać jej reprezentację macierzową. Zdefiniujmy nową operacjęˆv wzorem ˆV=(Ĥ Î)ÛCNOT(Ĥ Î) Wykazać, że Û CNOT =(Ĥ Î)ˆV(Ĥ Î) J. Z. Kamiński 21 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

Podać postać macierzowąˆv w bazie kanonicznej, a następnie sprawdzić, że ˆV= 1 2 (Î Î+Î ˆσ z+ˆσ z Î ˆσ z ˆσ z ) gdzieσ z jestz-ową macierzą Pauliego, dla której wektory bazy kanonicznej są wektorami własnymi,σ z 0 = 0,σ z 1 = 1. Zdefiniujmy operację ˆR=Î ˆσ z+ˆσ z Î ˆσ z ˆσ z i określmy jej reprezentację macierzową. Wykazać, że ˆV=e iβ e iαˆr gdzieα=π/4,β= π/4. Powiązać operacjęˆv, a pośrednio równieżûcnot, z ewolucją czasową. W tym celu rozważmy tzw. Hamiltonian Isinga oddziałujących dwóch spinów między sobą i z polem magnetycznym, Ĥ Ising =B(Î ˆσ z+ˆσ z Î)+Jˆσ z ˆσ z Wykazać, że operacjaˆv pokrywa się, z dokładnością do globalnej fazy, z ewolucją czasową układu dwóch spinów Û(t)=exp ( i ĤIsing t ) pod warunkiem, żeb= J i4jt=π. Zadanie 12.3 Jeśli starczy czasu, omówić protokół teleportacji qubitu. 12.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania wykład 16.01.2012 Zadanie 12.4 Wykazać, że Û CNOT (Î Ĥ) 00 = 1 2 ( 00 + 11 ). Jak działa powyższa operacja na pozostałe stany bazy kanonicznej? Zadanie 12.5 Określić stan powstały w wyniku działania operacji ˆσ x ˆσ x +ˆσ y ˆσ y +ˆσ z ˆσ z na stan bazy 00. J. Z. Kamiński 22 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012