Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej n(n 1 ; n 2 ; n 3 ). Znaleźć jego składową styczną i normalną. Znaleźć kąt pomiędzy normalną n i wektorem naprężenia f (n). Rozwiązać macierzowo w Matlabie i ręcznie posługując się zapisem wskaźnikowym. Sprawdzić długość n.
Zadanie 2. Transformacja naprężeń Dany jest tensor T w układzie współrzędnych x 1, x 2,x 3 oraz macierz przejścia A z układu x 1, x 2,x 3 do x 1, x 2,x 3. T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 A a a a 1'1 1'2 1'3 [ aki ' ] A a2'1 a2'2 a 2'3 a a a 3'1 3'2 3'3 Znaleźć współrzędne tensora naprężenia w układzie x 1, x 2,x 3 Rozwiązać macierzowo w Matlabie i ręcznie posługując się zapisem wskaźnikowym. Sprawdzić macierz przejścia oraz niezmienniki tensora naprężenia przed i po transformacji.
Zadanie 3. Naprężenia główne i kierunki główne Stan naprężenia w układzie x 1, x 2,x 3 jest dany tensorem o składowych: T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Obliczyć naprężenia główne i kierunki główne tensora. A. Rozwiązać macierzowo przy pomocy funkcji eig() B. Rozwiązać macierzowo przy pomocy funkcji poly() i root() C. Rozwiązać ręcznie, naprężenia główne z wzorów Cardano a kierunki główne z układu równań. D. Porównać niezmienniki stanu naprężenia w układzie wyjściowym i osi głównych. Znaleźć maksymalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne. E. Znaleźć macierz przejścia z układu osi głównych do układu wyjściowego. Przeprowadzić transformację tensora naprężenia z kierunków głównych do wyjściowego układu współrzędnych
Zadanie 4. Wartości główne i kierunki główne dewiatora. Stan naprężenia w układzie x 1, x 2,x 3 jest dany tensorem o składowych: T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć dewiator stanu naprężenia oraz wartości główne i kierunki główne dewiatora.
Zadanie 5. Płaski stan naprężenia. Naprężenia i kierunki główne Płaski stan naprężenia w układzie x 1, x 2 dany jest składowymi: T 11 12 [ ] 21 Znaleźć naprężenia i kierunki główne oraz maksymalne naprężenia styczne. A. Rozwiązać macierzowo przy pomocy funkcji eig() B. Rozwiązać macierzowo przy pomocy funkcji poly() i root() C. Rozwiązać ręcznie. D. Porównać niezmienniki stanu naprężenia w układzie wyjściowym i osi głównych. E. Znaleźć macierz przejścia z układu osi głównych do układu wyjściowego. Przeprowadzić transformację tensora naprężenia z kierunków głównych do wyjściowego układu współrzędnych
Zadanie 6. Płaski stan naprężenia. Transformacja dana kątem Płaski stan naprężenia w układzie x 1, x 2 dany jest składowymi: T 11 12 [ ] 21 11 Dany jest również układ współrzędnych x 1, x 2 obrócony względem okładu wyjściowego x 1, x 2 o kąt a. Znaleźć naprężenia główne, kierunki główne i maksymalne naprężenia styczne. Porównać niezmienniki stanu naprężenia w układach, (x 1, x 2 ), (x 1, x 2 ) i osi głównych (1,2).
Zadanie 7. Tensor odkształcenia Stan odkształcenia w układzie x 1, x 2,x 3 jest dany tensorem o składowych: T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Obliczyć maksymalne odkształcenia liniowe i maksymalne odkształcenia kątowe oraz względna zmianę objętości towarzyszącą odkształceniom. Rozwiązać analitycznie (na piechotę) i macierzowo (Matlab).
Zadanie 8. Pola przemieszczeń, odkształceń i obrotów Dane jest wektorowe pole przemieszczeń w układzie (x 1, x 2, x 3 ) 2xx 1 2 u [ ui ] 2x1x 3 3 x2x3 x 1 Znaleźć tensorowe pola odkształceń i pole obrotów. Rozwiązać analitycznie (na piechotę) i macierzowo (Matlab), czyli jak wszystkie inne zadania).
Zadanie 9. Pola przemieszczeń, odkształceń i obrotów. Od gradientu przemieszczeń do stanu odkształcenia i dalej Teoria Sprężystości, Budownictwo 4r, lato 2012 Dane jest wektorowe pole przemieszczeń w układzie (x 1, x 2, x 3 ) 4 0.02x1 x2x3 u [ ui ] 6 0.01 x1x 2 0.015 x 3 4 0.02 x3x2 0.01 x 1 W punkcie A(1,2,1) znaleźć A. Największe co do wartości bezwzględnej odkształcenia liniowe B. Największe odkształcenia postaciowe C. Względną zmianę objętości
Zadanie 10. Równania fizyczne Stan odkształcenia w układzie x 1, x 2,x 3 jest dany tensorem o składowych: 15 2 10 [ ] 2 9 3 10 10 3 2 5 Znaleźć składowe stanu naprężenia dla E=210 5 MPa, n=0.3 Znaleźć maksymalne co do wartości bezwzględnej naprężenia normalne i styczne. E v kk 1 v 1 2v i, j 1, 2,3 T A D A D 3KA 2GD T A D G E 21v K E 3 1 2v
Zadanie 11. Równania fizyczne Obciążenie wywołuje w punkcie B stan naprężenia dany w układzie x 1, x 2,x 3 tensorem o składowych: 5 2 13 [ ] 2 4 3 MPa 13 3 5 Znaleźć składowe stanu odkształcenia dla E=210 5 MPa, n=0.3 Znaleźć względna zmianę objętości wywołaną tym obciążeniem. 1 1v v kk E i, j1,2,3 T A D 1 A A 3K 1 D D 2G T A D G E 21v K E 3 1 2v
Zadanie 12. Różniczkowe równania równowagi Stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 jest dany tensorem o składowych: T 0 3xx 0 2 2 [ ] 3x2x2 0 x 3 0 x 2x x 3 1 2 Składowe pola sił objętościowych dane są wektorem: 6x2 G [ Gi ] 1 0 Sprawdzić, czy równania różniczkowe równowagi są spełnione w każdym punkcie., i Gj 0, j 1, 2,3
Zadanie 13. Równanie tarczy Dla jakich a i b funkcja F(x 1,x 2 ) może być funkcją naprężeń. a b F( x, x ) x x x 6 2 4 2 2 1 2 1 1 2 F( x, x ) F( x, x ) F( x, x ) (, ) 2 0 4 4 4 4 1 2 1 2 1 2 F x1 x2 4 2 2 4 x1 x1 x2 x2
Zadanie 14. Funkcja naprężeń Airy ego Sprawdzić, czy funkcja F może być funkcja naprężeń. Jeśli tak, to wyznaczyć obciążenie brzegu tarczy. F( x, x ) x 2 x x [kn] 3 1 2 1 1 2 x 2 F( x, x ) F( x, x ) F( x, x ) (, ) 2 0 4 4 4 4 1 2 1 2 1 2 F x1 x2 4 2 2 4 x1 x1 x2 x2 2 F( x1, x2) 11 2 x2 2 1 2 2 x1 12 21 F( x, x ) 2 F( x1, x2) xx 1 2 Teoria Sprężystości, Budownictwo 4r, lato 2012 C 1,0 A 1,0 B x 1
Zadanie 15. Energia sprężysta Obciążenie wywołuje w punkcie B stan naprężenia dany w x 1, x 2,x 3 tensorem o składowych: 5 2 13 [ ] 2 4 3 E=210 MPa MPa, n=0.3 13 3 5 Wyliczyć energię sprężystą właściwą (lub energię aksjatorów lub dewiatorów) z zależności: - 1 W 2-1 W iiii gdzie: i=i, II, III tzn. z tensora napr i odkszt. w osicah glównych 2-1 A A 1 D D W 2 2 A 1 2v A A 1 D D - W 2E 4G - 1 2v 2 1 2 2 W 6 6E 12G - v W G 11 33 11 33 2 12 23 13 1 2v 2 2 2 2 11 33 11 33 33 11 12 23 13
Zadanie 16. Hipotezy wytężeniowe Analiza wskazuje, że po obciążeniu tensor naprężenia w punkcie B będzie miał następujące składowe: 115 30 15 [ ] 30 40 40 MPa 15 40 50 Znaleźć naprężenia główne. Znaleźć wartość naprężenia zredukowanego w punkcie B ciała wg. hipotez: Hubera, Tresci-Guesta, Coulomba-Mohra, Galileusza, Saint-Venanta ( ). Porównać wartości naprężeń zredukowanych między sobą, określić, czy materiał w danym punkcie będzie po obciążeniu w stanie plastycznym (dane napr. dopuszczalne lub inne). 11 30 15 [ ] 30 40 40 MPa 15 40 50 11 Dla jakiej wartości materiał w punkcie B przejdzie w stan plastyczny oszacuj Matlabem metodą prób (lub rozwiązując równanie).