Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85 min. Za każde rozwiązane otrzymać można do punktów w sumie 4 punktów za całe kolokwium. UWAGA: przykłady pokazują obowiązujący zakres zagadnień. Treść i stopień trudności poszczególnych zadań może ulec zmianie! ZADANIA W odcinku AB długości dwa wybrano w sposób losowy punkt C w sposób jednostajny. Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S równej iloczynowi długości powstałych w ten sposób odcinków AC i CB. Zmienna losowa Z ma rozkład gamma z parametrami α, β > tzn. rozkład Γ α, β o gęstości gx = βα Γα xα e βx dla x > i zero poza. Oblicz wartość oczekiwaną EZ α. 3 W urnie znajduje się pięć kul, na każdej narysowana jest cyfra. Mamy: kule oznaczone -ką, kule oznaczone -ką i kulę oznaczoną -em. Losujemy bez zwracania kule. Niech X i oznacza cyfrę wylosowaną w i-tym losowaniu. Oblicz kowariancję CovX +X, X X. 4 Rozważmy wektor losowy X = X, X dany przez rozkład o gęstości fx, x = π dla x + x <, a zero poza tym. Wyznacz wektor wartości oczekiwanych i macierz kowariancji wektora X.
Matematyka, przykładowe zadania na kolokwium. Zad. W odcinku AB długości dwa wybrano w sposób losowy punkt C w sposób jednostajny. Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S równej iloczynowi długości powstałych w ten sposób odcinków AC i CB. Oznaczmy symbolem X zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [, ]. Wówczas szukana zmienna jest równa Jej dystrybuanta jest zatem równa S = X X = X [, ]. F S s = P S s = P X s = P X s +P X + s = F X s + FX + s. Różniczkując względem s dostajemy gęstość zmiennej S f S s = s f X s + fx + s = s dla s [, ], gdyż f X x = dla x [, ].
Matematyka, przykładowe zadania na kolokwium. Zad. Zmienna losowa Z ma rozkład gamma z parametrami α, β > tzn. rozkład Γ α, β o gęstości gx = βα Γα xα e βx dla x > i zero poza. Oblicz wartość oczekiwaną EZ α. Z definicji wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym mamy do policzenia całkę EZ α def = + x α β α Γα xα e βx dx = Druga całka co do wartości jest równa Γα β α βα Γα + x α e βx dx. gdyż jak łatwo zauważyć jest to część gęstości rozkładu gamma z parametrami α i β, co ostatecznie daje EZ α = Γα β α Γα.
Matematyka, przykładowe zadania na kolokwium. Zad 3. W urnie znajduje się pięć kul, na każdej narysowana jest cyfra. Mamy: kule oznaczone -ką, kule oznaczone -ką i kulę oznaczoną -em. Losujemy bez zwracania kule. Niech X i oznacza cyfrę wylosowaną w i-tym losowaniu. Oblicz kowariancję CovX +X, X X. Po pierwsze należy wyznaczyć rozkład łączny wektora X, X. Oczywiście wartości wektora X, X {,, }. Zatem P X =, X = = 5 4 =, P X =, X = = P X =, X = = 5 4 =, P X =, X = = P X =, X = = 5 4 =, P X =, X = = P X =, X = = 5 4 = 5, P X =, X = = P X =, X = = 5 4 =. Ostatecznie otrzymujemy X \X - - skąd widać, że zmienne X i X mają takie same rozkłady brzegowe, czyli X d = X. Z drugiej strony CovX +X, X X = CovX, X +CovX, X CovX, X CovX, X 5 5 = VarX VarX =, ponieważ zmienne X i X mają taką samą wariancję.
Matematyka, przykładowe zadania na kolokwium. Zad 4. Rozważmy wektor losowy X = X, X dany przez rozkład o gęstości fx, x = π dla x + x <, a zero poza tym. Wyznacz wektor wartości oczekiwanych i macierz kowariancji wektora X. Zauważmy, że gęstość f jest parzysta ze względu na każdą ze zmiennych. Z tego powodu EX i = x i fx, x dx x = dla i =,, oraz EX X = D x x fx, x dx x =. Stąd wartość oczekiwana EY = EX EX = D i kowariancja CovX, X = EX X EX EX = są równe zeru. Ponadto obie zmienne X i X ze względu na symetrię mają takie same rozkłady brzegowe tj. X d = X. Pozostaje zatem do policzenia VarX. Ponieważ EX =, to VarX = EX = D x fx, x dx x = x x x dx dx π = x x π dx = π Całkując przez części otrzymujemy x x x dx. VarX = π [ x 3 ] x 3 + 3π x 3 dx = 3π x dx 3π Stąd VarX = 4, co prowadzi do CovX = x x dx = 3 3 VarX. 4. 4
Inny sposób Zamieniając zmienne x, x na zmienne biegunowe otrzymujemy X = R cos Φ i X = R sin Φ, gdzie zmienne losowe R, Φ mają gęstość łączną fr, ϕ = πr dla r, ϕ [, [, π. Zatem zmienne R i Φ są niezależne, o gęstościach brzegowych odpowiednio r dr i dϕ π. Stąd EX = ER E cos Φ = oraz EX = ER E sin Φ =, ponieważ E cos Φ = E sin Φ =. Ponadto CovX, X = ER E sin Φ = oraz i analogicznie VarX = EX = ER E cos Φ = π r 3 dr π cos ϕ dϕ = 4, VarX = EX = ER E sin Φ = = 4.