Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń. (paradoks Bertranda: co to znaczy losowo?) Wybieramy losowo jedną z cięciw okręgu o promieniu. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jej długość będzie większa niż 3? Podaj co najmniej dwa poprawne rozwiązania, dające różne (!) odpowiedzi.. Z przystanku przy uczelni w kierunku domu Jacka kursują dwie linie autobusowe, 39 i 59, każda z nich co 5 minut. Po zakończeniu zajęć na uczelni Jacek przychodzi na przystanek (zakładamy, że chwila ta jest losowa, bo np. pogada chwilkę z kolegami) i wsiada do pierwszego pasującego autobusu. Jacek ze zdziwieniem zauważył, że w czasie 00 dni zajęć w semestrze, około 90 razy wracał 39-ką i tylko około 0 razy 59-ką. Czy ta obserwacja przeczy założeniu, że Jacek przychodzi w momencie losowym? A może przeczy całemu rachunkowi prawdopodobieństwa?.3 Zbadaj, czy w Twojej grupie ćwiczeniowej są osoby obchodzące urodziny tego samego dnia. Nie wykonując żadnych rachunków podaj, ile według Ciebie osób powinna liczyć losowo dobrana grupa, aby prawdopodobieństwo tego, że znajdą się w niej dwie osoby o jednakowym dniu urodzin, było większe niż. Fakt: Jak podaje Ian Stewart w swojej książce Co za traf!, średnia z uzyskanych odpowiedzi na to pytanie zadane studentom amerykańskim wyniosła 385. Korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta wykaż, że 385 to czysty absurd. Ile co najmniej osób powinna liczyć grupa, aby to prawdopodobieństwo było równe?.4 (szalona sekretarka) Sekretarka ma n różnych listów i n kopert zaadresowanych do n różnych osób. Wkłada je losowo do kopert i wysyła. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jeden list trafi do właściwej osoby..5 (rozkład geometryczny) Rzucamy symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza szóstka pojawi się w n-tym rzucie. Uogólnij zadanie na przypadek, gdy szóstka pojawia się z prawdopodobieństwem p..6 (zadanie o loterii czyli rozkład hipergeometryczny) Spośród N losów na loterii M wygrywa. Kupiliśmy k losów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie r naszych losów wygra?.7 Patyk o długości jednostkowej łamiemy losowo w dwu punktach, wybranych niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z powstałych trzech odcinków da się zbudować trójkąt?.8 Odcinek [0, ] łamiemy losowo na dwie części, następnie większą część znów łamiemy na dwie części. Punkty złamania mają rozkład jednostajny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że z tak otrzymanych trzech odcinków da się zbudować trójkąt..9 zadane Buffona) Na płaszczyźnie narysowane są równoległe proste, przy czym odległość dwóch sąsiednich jest równa L (Cała płaszczyzna jest poliniowana w ten sposób). Na tę płaszczyznę rzucamy losowo igłę długości l, przy czym l <L. (a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie którąkolwiek z prostych. (b) Przeprowadź eksperyment i oszacuj na jego podstawie liczbę π..0 (zagadnienie ruiny gracza) Ania i Bartek grają w orła i reszkę symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, to Ania płaci Bartkowi zł, a gdy reszka to Bartek płaci Ani. Na początku gry Ania ma 6 zł, a Bartek 4 zł. Gra kończy się, gdy którekolwiek z nich zostanie bez pieniędzy. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gra nigdy się nie skończy? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra Ania? (c) Jak brzmią odpowiedzi na (a) i (b), gdy orzeł wypada z prawdopodobieństwem p (0, )?. Ania i Bartek znudzeni grą z poprzedniego zadania postanowili zagrać w inną: jedno z nich (uczciwie!) rzuca monetą dotąd, aż wypadnie jedna z kombinacji OOR albo ORR. Ania wygrywa, gdy jako pierwsze wypadnie OOR, Bartek natomiast, gdy jako pierwsze wypadnie ORR. Jakie są szanse wygranej Ani, a jakie Bartka? (Wskazówka dla ułatwienia (utrudnienia?): prawidłową odpowiedzią NIE JEST.). Zapewne każdy zaobserwował następującą sytuację: Przychodzę do sklepu (dziekanatu, urzędu itp) i ustawiam się w długiej kolejce. Załatwiam sprawę i wtedy zauważam, że gdybym przyszedł teraz to albo w ogóle bym nie czekał, albo czekałbym krótko, bo kolejka bardzo zmalała. Ponieważ powtarza się to dość często, zastanawiam się czy jestem aż takim pechowcem? A może właśnie tak zbudowany jest świat?
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa; σ-ciała. Klasa F = X Ω : #X < #Ω\X < } zbiorów przeliczalnych lub mających przeliczalne dopełnienia jest σ-ciałem. Dodatkowo, jeśli Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym, to F jest istotnie mniejsze od Ω.. Niech } F τ będzie rodziną σ-ciał, a T dowolnym zbiorem indeksów. Wtedy F = F τ jest σ-ciałem. τ T.3 Każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne (co więcej, jest mocy co najmniej continuum)..4 Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Opisz wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru Ω generowane przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe; (b) wszystkie podzbiory przeliczalne; (c) wszystkie podzbiory nieprzeliczalne; (d) wszystkie podzbiory nieskończone; (e) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 0; (f) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie..5 (wzór włączeń i wyłączeń) Wykaż, że dla dowolnych zdarzeń A, B, C zachodzi równość P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C). Sformułuj analogiczny wzór dla n zdarzeń..6 Niech napis A oznacza zachodzi zdarzenie A. Za pomocą oznaczeń teorii mnogości zapisz zdania: Spośród zdarzeń A, B, C: (a) zachodzi tylko A, (b) zachodzą tylko A i B, (c) zachodzi co najmniej jedno z nich, (d) zachodzą wszystkie trzy, (e) zachodzi dokładnie jedno z nich, (f) zachodzą co najwyżej dwa z nich, (g) zachodzą dokładnie dwa z nich, (h) żadne nie zachodzi..7 Niech } F τ będzie rodziną σ-ciał, a T dowolnym zbiorem indeksów. Wtedy F = F τ jest σ-ciałem. τ T.8 Każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne (co więcej, jest mocy co najmniej continuum)..9 Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Opisz wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru Ω generowane przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe; (b) wszystkie podzbiory przeliczalne; (c) wszystkie podzbiory nieprzeliczalne; (d) wszystkie podzbiory nieskończone; (e) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 0; (f) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie..0 Zapisz wymyślone przez Ciebie 00 wyników, jakie można uzyskać rzucając monetą. Następnie wykonaj 00 rzutów i porównaj otrzymane wyniki.. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych z zadania 0.. (a) Rzucamy monetą aż do uzyskania orła. (b) Rzucamy monetą aż do uzyskania drugiego orła. (c) Rzucamy monetą aż do uzyskania dwóch orłów pod rząd. Opisz σ-ciała zdarzeń elementarnych w powyższych doświadczeniach losowych..3 Wybieramy losowo rzeczywisty trójmian kwadratowy. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych. Zakładając rozsądną miarę probabilistyczną, odpowiedz na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania trójmianu o pierwiastkach różnych znaków..4 Patyk o długości jednostkowej łamiemy losowo w dwu punktach, wybranych niezależnie. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z powstałych trzech odcinków da się zbudować trójkąt? Def: Zbiorem nieistotnym nazywać będziemy podzbiór A R o tej własności, że dla każdego ε>0 istnieje rodzina przedziałów I k } (niekoniecznie skończona i niekoniecznie rozłączna) taka, że A I k oraz I k < ε. k k.5 Pokazać następujące fakty: (a) Zbiory dyskretne są zbiorami nieistotnymi. (b) Podzbiór liczb wymiernych zawartych w odcinku [0, ] jest nieistotny. (c) Zbiór liczb wymiernych jest nieistotny. (d) Każdy zbiór przeliczalny jest nieistotny. Podać przykład nieprzeliczalnego zbioru nieistotnego. τ T τ T
3 Prawdopodobieństwo warunkowe (def. klasyczna); wzór Bayesa 3. Niech P (A... A n ) > 0. Wykaż, że zachodzi równość: P (A... A n ) = P (A ) P (A A ) P (A 3 A A ) P (A n A... A n ). 3. Niech A, B, C będą takimi zdarzeniami, że C A B oraz B A. Pokazać, że wtedy P (C A) > P (C A B). Powyższa własność prawdopodobieństw warunkowych nie jest zupełnie oczywista. Na przykład przy grze w brydża, prawdopodobieństwo, że gracz N ma cztery asy, jeśli wiemy, że ma asa pik jest większe od prawdopodobieństwa, że N ma cztery asy, gdy wiemy, że ma co najmniej jednego asa. 3.3 Pewien człowiek ma n kluczy, z których tylko jeden pasuje do zamka. Z przyczyn, których możemy się tylko domyślać, nie pamięta, który to klucz, więc wyciąga kolejno klucze i próbuje nimi otworzyć drzwi. Niepasujący klucz odkłada i bierze następny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że trafi na właściwy klucz za k-tym razem. 3.4 W sakiewce jest 00 monet, z których 99 normalnych, a jedna ma po obu stronach orły. Wybraliśmy losowo jedną monetę i rzuciliśmy nią 5 razy otrzymując 5 orłów. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy dodatkowo rzucimy 5 razy tą monetą, to otrzymamy 5 orłów? 3.5 Pewien gen obecny jest u jednej osoby na 000. Opracowano test do badania jego obecności. Test jednak czasami myli się wykrywa rzeczywistą obecność genu w 98 przypadkach na 00, a w przypadku braku genu stwierdza jego obecność w 3 przypadkach na 00. Wylosowano jedną osobę i test stwierdził u niej obecność tego genu. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn. wylosowana osoba ma ten gen. Jakiej rady można w tym przypadku udzielić wynalazcy tego testu? 3.6 (zadanie Banacha o zapałkach) Pewien matematyk nosi w kieszeniach dwa pudełka zapałek jedno w prawej kieszeni, drugie w lewej. Gdy potrzebuje zapałki, wybiera losowo jedną kieszeń, tak że kolejne próby stanowią ciąg prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p =. Załóżmy, że początkowo każde pudełko zawiera n zapałek i rozpatrzmy chwilę, gdy po raz pierwszy matematyk wyciągnie puste pudełko. W tym momencie drugie pudełko może zawierać k = 0,,,..., n zapałek. Oznaczmy odpowiednie prawdopodobieństwo przez p k. Oblicz p k. 3.7 W urnie są trzy rodzaje losów. Wygrywających jest n, przegrywających m, jest też k losów graj dalej. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej? (b) Jak zmieni się prawdopodobieństwo wygranej, jeśli po wyciągnięciu losu graj dalej wrzucamy go do urny przed ponownym losowaniem? 3.8 (schemat urnowy Pólya) W urnie jest b kul białych i c czarnych. Po wyciągnięciu kuli z urny wrzucamy ją z powrotem i dokładamy jeszcze d kul tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia: (a) kuli białej za drugim razem? (b) kuli czarnej za trzecim razem? (c) k kul czarnych w n losowaniach? 3.9 (problem Serbelloni ) Spośród trzech więźniów A, B, C jeden ma być skazany, a dwaj zwolnieni. Więzień A, znający strażnika, korzystając z okazji spytał go: Spośród B i C jeden będzie zwolniony. Jeśli wiesz, kto będzie zwolniony, podaj mi jedno nazwisko. Strażnik namyślał się chwilę i nie widząc przeciwwskazań powiedział, że C będzie zwolniony. Czy można twierdzić, że prawdopodobieństwo zwolnienia A zmalało z 3 do? 3.0 (problem Monty Halla) Teleturniej 3 polega na wyborze jednej z trzech bram, przy czym nagroda jest tylko za jedną z nich. Prowadzący oczywiście wie, za którą bramą jest nagroda. Kiedy uczestnik teleturnieju wybrał już jedną bramę (nie otwierając jej!), prowadzący otwiera jedną z dwóch pozostałych tę, za którą nic nie ma. Po otwarciu tej bramy prowadzący pyta, czy gracz chce zmienić swój wybór i wybrać trzecią z bram. Co powinien teraz zrobić gracz: pozostać przy początkowym wyborze, czy zmienić go na trzecią bramę? kłótnia o jego rozwiązanie omal nie doprowadziła do zerwania pewnej konferencji z zastosowań matematyki w willi Serbelloni we Włoszech w 966 roku W pierwotnej wersji zadania jeden z więźniów miał być po prostu ścięty. 3 prowadzony przez Monty Halla, stąd nazwa zadania 3
4 Zmienne losowe 4. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X: Wyznacz: i 3 4 5 6 x i 5 0 3 8 p i 0, 0, 0, 0, C 0, (a) stałą C, (b) wykres funkcji prawdopodobieństwa, (c) dystrybuantę zmiennej X, (d) prawdopodobieństwa: P (X =), P (X =), P (X <3), P (X ), P (X >0), P ( X <3). 4. Dana jest dystrybuanta dyskretnej zmiennej losowej X: x (, ) [, 0) [0, ) [, 3) [3, + ) F (x) 0 0, 0, 5 0, 8 Znajdź (a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X, (b) prawdopodobieństwa: P (X =), P (X 3), P (X <), P (X >0), P ( <X <3). 4.3 Czas bezawaryjnej pracy licznika opisuje zmienna losowa T o funkcji gęstości f(t) = τ exp ( t τ (a) Przyjmując τ = oblicz prawdopodobieństwo, że licznik zepsuje się pomiędzy t =5 a t =0. (b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej T. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy wyniesie co najmniej dwie godziny. (d) Oblicz medianę 4 oraz górny i dolny kwartyl 5. ), dla t>0 godz. 4.4 (Rozkład geometryczny) Wykonujemy co sekundę doświadczenie w schemacie Bernoulli ego aż do chwili otrzymania pierwszego sukcesu (przy czym pstwo sukcesu w jednej próbie to p). Niech X oznacza liczbę wykonanych doświadczeń, a Y czas oczekiwania na sukces. Wyznacz rozkłady zmiennych X i Y, ich wartości oczekiwane i wariancje. 4.5 (Rozkład wykładniczy) Przypuśćmy, że doświadczenie z zad.4 wykonujemy n razy na sekundę, a pstwo sukcesu wynosi n p. Niech Y n oznacza czas w sekundach oczekiwania na sukces. Wyznaczyć rozkład zmiennej Y n, jej dystrybuantę, wartość oczekiwaną, itp. Zbadaj zachowanie Y n przy n dążącym do nieskończoności (Y ). 4.6 Operator sieci komórkowej nalicza opłatę za każdą rozpoczętą minutę w wysokości c złotych. Zakładając wykładniczy (z parametrem λ) rozkład długości trwania połączenia telefonicznego wyznacz rozkład zmiennej opisującej wielkość opłaty za połączenie. Czy rzeczywiście abonent średnio płaci c złotych za połączenie? Co dzieje się w przypadku naliczania sekundowego? A w przypadku opłaty za pierwszą minutę, a po jej upływie naliczania co sekundę 60 c złotych? 4.7 Wykaż, że rozkłady geometryczny i wykładniczy mają następującą własność: P (X > t+s X > t) = p(x > s) zwaną własnością braku pamięci (albo własnością Markowa). Pokaż, że są to jedyne rozkłady wśród dyskretnych skupionych na N i wśród ciągłych skupionych na [0, + ), które mają własność braku pamięci. 4.8 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na [ A, A]. Znajdź rozkład zmiennej Y = X. Czy jest to zmienna o rozkładzie ciągłym? 4.9 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Zbadaj rozkład zmiennej Y = e X. 4.0 Niech F X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a f X jej gęstością (o ile istnieje). Wyznacz dystrybuanty i gęstości następujących zmiennych losowych: (a) ax + b, a 0, (b) X, (c) X, (d) ln X, przy założeniu P (X 0) = 0 (e) X, przy założeniu P (X <0) = 0, (f) sin X. 4 Mediana to taka wartość m R, że P (T m) = 5 Kwartyle dolny i górny to odpowiednio takie liczby rzeczywiste q 5%, q 75% R, że P (T q 5% ) = 4 oraz P (T q 75%) = 3 4. 4
5 Wektory losowe 5. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech X będzie liczbą oczek w pierwszym rzucie, a X liczbą oczek w drugim rzucie. Wyznacz (a) rozkład łączny i dystrybuantę tej zmiennej, (b) wartość oczekiwaną, (c) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i X, (d) macierz kowariancji wektora (X, X ). 5. Rzucamy dwa razy monetą. Niech X będzie liczbą orłów w pierwszym rzucie, a Y liczbą orłów w obu rzutach. Wyznacz (a) rozkład łączny i dystrybuantę tej zmiennej, (b) wartość oczekiwaną, (c) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (d) macierz kowariancji wektora (X, Y ). 5.3 Rzucamy n razy monetą. Niech X i oznacza liczbę orłów w i-tym rzucie. Wyznacz (a) rozkład łączny i wektor oczekiwany, (b) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i, (c) macierz kowariancji wektora (X,..., X n ). 5.4 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości: (x + y)e (x+y), dla x, y 0 f(x, y) = 0, dla pozostałych (x, y) Wyznacz (a) dystrybuantę tej zmiennej, (b) wartość oczekiwaną, (c) P (X < Y >), (d) P (0<X Y <), (e) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (f) macierz kowariancji wektora (X, Y ), (g) dystrybuantę i rozkład zmiennej losowej X +Y oraz (h) jej wartość oczekiwaną i wariancję. 5.5 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości: cx, dla 0 x y x, f(x, y) = 0, w pozostałych przypadkach. Wyznacz (a) wartość parametru c, (b) dystrybuantę tej zmiennej, (c) wartość oczekiwaną, (d) P (X < Y > ), (e) P (0<X Y <), (f) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (g) macierz kowariancji wektora (X, Y ), (h) dystrybuantę i rozkład zmiennej losowej U = X Y oraz (i) jej wartość oczekiwaną i wariancję. 5
6 Funkcje zmiennych losowych 6. Niech F X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Y = F X (X) (przy założeniu, że istnieje funkcja odwrotna do F X ). 6. Niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkłady dyskretne, przy czym rozkład zmiennej X skupiony jest w n punktach, a zmiennej Y w k punktach. (a) Wykaż, że rozkład zmiennej X + Y też jest dyskretny. (b) Rozkład zmiennej X +Y skupiony jest w N punktach, przy czym n+k < N < nk. (c) Wskaż dwa przykłady: jeden, w którym N = n+k i drugi, w którym N = nk. 6.3 Dana jest zmienna losowa X o rozkładzie niejednopunktowym. Znajdź zmienną Y, monotoniczną na R (np. nierosnącą, tj. spełniającą), o takim samym rozkładzie jak X, tj. X d = Y (podaj przepis na konstrukcję Y ). 6.4 Wykaż, że jeżeli zmienne X oraz Y są niezależne i mają jednakowy rozkład, to dla t > 0 zachodzą nierówności a) P ( X Y > t) < P ( X > t/), b) jeżeli a > 0 jest tak wybrane, aby P (X < a) > p, P (X > a) > p, to P ( X Y > t) > p P ( X > t+a), c) jeśli więc a = 0 jest medianą rozkładu X, to P ( X Y > t) > P ( X > t). Wskazówka: Feller tom II, rozdział V, par.5. 6.5 Niech X będzie zmienną losową, a µ X jej rozkładem. Określmy funkcję tworzącą momenty 6 zmiennej X wzorem M X (t) = E(e t X) = + e tx dµ X x. Funkcja jest określona dla tych t, dla których całka po prawej stronie jest skończona. Oblicz funkcje tworzące momenty zmiennych (a) o rozkładzie normalnym N(0, ), (b) o rozkładzie wykładniczym E(λ) z parametrem λ, (c) o rozkładzie Poissona P(λ) z parametrem λ. 6.6 Znajdź rozkład zmiennej losowej X, której momenty są określone wzorem: (a) m n (X) = n n+ dla n =,,... (b) m k (X) = 4 + k dla k =,,... 6.7 Niech funkcja tworząca momenty zmiennej X będzie określona dla t ( t 0, t 0 ), gdzie t 0 > 0. Wykaż, że wówczas (a) zmienna X ma wszystkie momenty skończone, tzn. E ( X n) < + dla n =,, 3,... (b) M X (t) = + k=0 t k m k(x) k! (c) k-ta pochodna M (k) X (0) = m k(x). 6.8 Znając funkcję tworzącą momenty rozkładu normalnego N(0, ) (z zad. 5), wykorzystaj zad. 7c do obliczenia momentów zmiennej o rozkładzie N(0, ). 6.9 Wykaż, że jeśli funkcje tworzące momenty zmiennych X i Y są równe na przedziale ( t 0, t 0 ) dla pewnego t 0 > 0, to zmienne te mają jednakowy rozkład. 6.0 (przykład dwóch różnych rozkładów o jednakowych momentach) Niech f(x) = π (ln x) x e l (0,+ ) (x) i określmy g(x) = f(x) ( + sin(π ln x) ). Wykaż, że obie funkcje są gęstościami (różnymi), ale mają jednakowe momenty rzędu k =,, 3,... 6 k-tym momentem zmiennej X nazywamy liczbę m k,x = E(X k ) = R x k dµ X (x). 6
7 Zadania różne 7. Zmienna losowa X ma rozkłąd wykładniczy E(λ). Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X p dla każdego p > 0. Co można powiedzieć o przypadku p < 0 (p = 0)? 7. Urządzenie skłąda się z dwóch elementów pracujących niezależnie od siebie. Każdy z nich ulega awarii po czasie T (w godzinach), który jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości f(x) = 0, e 0, x dla x > 0 (poza tym f(x) = 0). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że urządzenie będzie działało bez awarii przez co najmniej 0 godzin 7.3 Egzamin składa się z dziesięciu pytań, na które wybiera się jedną z pięciu odpowiedzi. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo udzielenia poprawnej odpowiedzi na co najmniej połowę pytań, jeśli wybiera się odpowiedzi na chybił trafił? (b) Jaka jest wartość oczekiwana liczby punktów uzyskanych przy odpowiedzi metodą chybił trafił, jeśli za udzielenie poprawnej odpowiedzi otrzymuje się 3 punkty, a za złą odejmuje się punkty? (c) Jaka jest odpowiedź w punkcie (b), jeśli udziela się odpowiedzi jedynie na k = 0,,... pytań? Zadania z egzaminu aktuarialnego z działu: Prawdopodobieństwo i Statystyka (nr w nawiasie oznacza zad./egz.) (/LXIX) Niech X,..., X n,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości 3x, gdy x (0, ) n f(x) = Niech T 0, gdy x (0, ) n = X 3/n i. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? (A) (B) (C) lim P (T n e) } n > e = 0,03, lim P T n e } n > e = 0,3, lim P T n < e } =, i= (D) (E) lim P T n e } n > e = 0,046, lim P (T n e) } n > e = 0,03. (6/LXIX) Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości π, gdy x > 0 i y (0, ) f(x, y) = 0 w przeciwnym wypadku Niech Z = Y X i V = X + Y. Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, V jest taki, że: (A) E(Z) = 0, (B) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej Z wyraża się wzorem g(z) = (C) mediana rozkładu brzegowego zmiennej Z jest równa (D) zmienne Z i V są zależne,, (E) kwantyl rzędu 0,5 rozkładu brzegowego zmiennej Z jest równy. π( + z ) (3/LXVIII) Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości e x, gdy y (0, ) f(x, y) = Niech Z = X + Y. Wtedy E(X Z = 3) jest równa: 0 w przeciwnym wypadku dla z (0, + ), (A) 4e 3 e 3 (B) e e (C) 4e e (D) e 3 e 3 (E) e 3 e (5/LXVIII) Załóżmy, że X,..., X n,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa, mającym momenty rzędu, i 3. Znamy µ = E(X i ) i σ = Var(X i ). Niech f(x) oznacza gęstość pojedynczej zmiennej X i. Wiemy, że rozkład jest symetryczny w tym sensie, że f(µ + x) = f(µ x) dla każdego x. Niech X + + X n, gdy N = n > 0 S N = 0, gdy n = 0 gdzie N jest zmienną o rozkładzie Poissona o wartości oczekiwanej. Trzeci moment E(SN 3 ) jest równy: 7
(A) 6µ 3 + 6µσ (B) 5µ 3 + 6µσ (C) 5µ 3 + 3µσ (D) µ 3 + 6µσ (E) µ 3 + 3µσ (6/LXVIII) Pan A przeznaczył 6 zł na pewną grę. W pojedynczej kolejce pan A wygrywa zł z prawdopodobieństwem 3 lub przegrywa zł z prawdopodobieństwem 3. Pan A kończy grę, gdy wszystko przegra lub gdy będzie miał 9 zł. Prawdopodobieństwo. że pan A wszystko przegra jest równe : (A) 0,88, (B) 0,67, (C) 0,50, (D) 0,97, (E) 0,77. (5/LXVII) Mamy dwie urny: I i II. Na początku doświadczenia w każdej z urn znajdują się kule białe i czarne. Losujemy po jednej kuli z każdej urny po czym kulę wylosowaną z urny I wrzucamy do urny II, a tę wylosowaną z urny II wrzucamy do urny I. Czynność tę powtarzamy wielokrotnie. Niech X n oznacza zmienną losową równą liczbie kul białych w urnie I po n-tym powtórzeniu czynności. Wtedy granica lim E( X n X n+ ) jest równa: (A) 4, (B), (C) 30 7, (D) 3 3, (E) 0 3. (/LXVI) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości f(x) = e x dla x > 0 i niech Z oznacza część całkowitą zmiennej X (Z = [X]), a U część ułamkową (U = X}). Wtedy wartość oczekiwana E ( ZU ) jest równa: (A) (e ), (B) e e(e ), (C) e (e ), (D) e e, (E) e(e ) (e ). (4/LXVI) W urnie znajduje się r = 5 kul, z których m = 5 jest białych i r m = 0 czarnych. Losujemy bez zwracania najpierw n = 6 kul, a następnie spośród kul pozostałych w urnie, losujemy bez zwracania n = 9 kul. Niech S oznacza liczbę białych kul wybranych w pierwszym losowaniu, S oznacza liczbę białych kul wybranych w obu losowaniach. Oblicz Cov(S, S). (A),4, (B) 0,54, (C) 0,60, (D) 0,90, (E) 0,36. (6/LXVI) Załóżmy, że X, X,..., X n,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, ], zaś N jest zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym wzorem P ( N = n ) ( ) = n+ p 3 ( p) n dla n = 0,,,..., niezależną od zmiennych X, X,..., X n,... n min(x, X Niech M n =,..., X N ), gdy N > 0 0, gdy N = 0 Wtedy E(M N) jest równa: (A) p p3, (B) p + p, (C) + p p, (D) p + p p 3, (E) p + p p 3. (4/LXV) Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości f(x, y) = e x, gdy 0 < y < x < +, oraz f(x, y) = 0 w przeciwnym przypadku. Niech U = Y X i V = Y + X. Wtedy E ( V U = ) jest równa (A) 5, (B), (C) 3, (D) 4, (E). (5/LXV) Niech Z, Z,..., Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości danej wzorem f(x) = ( + x) 3, gdy x > 0. Wtedy E ( Z +Z + +Z n min(z, Z,..., Z n ) = t ), gdzie t jest ustaloną liczbą dodatnią, jest równa (A) n + t, (B) (n )t + n, (C) nt + n, (D) (n )t + n, (E) (n + )t + n. (7/LXV) Rzucono niezależnie 6 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uzyskano mniej niż 6 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 0 orłów i 6 reszek. (A) 48 00, (B) 47 00, (C) 44 00, (D) 46 00, (E) 45 00. UWAGA: Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu aaabbbaabbbba jest 5 serii (3 serie elementów a i serie elementów b). 8
(4/LXIV) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej. Niech U = ln X Y. Wtedy: (A) zmienne U i Y są niezależne (B) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej U wyraża się wzorem g(u) = (C) P ( U > 0 ) = 3 (D) E ( Y U = ) = e e + (E) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej U wyraża się wzorem g(u) = e u ( + e u dla u R ) e u ( + e u dla u>0 ) (0/LXIV) Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi, na których nie wypadły jedynki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadły jedynki. Oblicz prawdopodobieństwo, że po co najwyżej trzech rundach na wszystkich kostkach będą jedynki (wybierz najbliższą wartość) (A) 0,0, (B) 0,050, (C) 0,06, (D) 0,07, (E) 0,075. (7/LXIII) Zmienna losowa (X, Y, Z) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = 0, EY = EZ = i macierzą 0 kowariancji 4. Obliczyć Var ( X(Y + Z) ) 0 4 (A), (B) 3, (C) 6, (D) 7, (E) 8. (0/LXIII) Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym wzorem ( ) ( ) n 3 P (N = n) = (n + ) dla n = 0,,,..., zaś X, X,..., X n,... zmiennymi losowymi niezależnymi 4 4 od N i od siebie nawzajem. Zakładamy, że każda ze zmiennych X i ma rozkład Benoulli ego P (X i = ) = p i P (X i = 0) = q, gdzie p+q =, 0 < p <. Niech N = N X i gdy N > 0, oraz 0 gdy N = 0, i niech N 0 = N N. ( ) i= N Wtedy E jest równa N 0 + ( 7p (A) 6q, (C) p ( ) ) 3 p, (E) q 4 q 3(q + ). ( (B) p q, (D) p ( ) ) 3, q 4 p (6/LXIII) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, ), X zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0, X ), X 3 zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0, X ) itd. Niech N oznacza zmienną λ n losową taką, że P (N = n) = n! (e λ gdy n =,, 3,..., gdzie λ > 0 jest ustaloną liczbą. Zmienna N jest ) niezależna od zmiennych X, X, X 3,... Wtedy E ( X X X N N! ) jest równa (A) eλ λ λ(e λ ), (B) e λ +, (C) λ(eλ λ) e λ, (D), (E) eλ ( + λ) λ(e λ ). (6/LXII) Z urny, w której są dwie kule białe i trzy czarne, wylosowano jedną kulę, a następnie wrzucono ją z powrotem dorzucając kulę w tym samym kolorze, co wylosowana. Następnie z urny wylosowano dwie kule i wrzucono je z powrotem dorzucając dwie kule identyczne z wylosowanymi. Następnie wylosowano trzy kule. Okazało się, że są to trzy kule białe. Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu wylosowano kule różnych kolorów. (A) 6 44, (B) 9 8, (C) 4 7, (D) 3 7, (E) 7 30. 9