Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której działanie jest przemienne rząd grupy G liczba elementów grupy G addytywne grupy liczbowe: (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) multiplikatywne grupy liczbowe: (Q, ), (R, ), (C, ) Liczby zespolone o module 1: S 1 = C 1 = {z C: z = 1} Pierwiastki zespolone z jedynki: µ n = {z C: z n = 1} = {ε n,ε 2 n,...,εn 1 n } ε n = cos 2π n + isin 2π n addytywne grupy reszt z dzielenia: (Z n,+ n ), n N multiplikatywne grupy reszt z dzielenia: addytywne grupy macierzy: (Z n, n), n N (M(n m,k),+), multiplikatywne grupy macierzy: n,m N (Gl (n,k), ), (Sl (n,k), ), n N inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca Zadania Zadanie 20. Niech G będzie grupą. Wykazać, że: a) istnieje dokładnie jeden element neutralny, b) każdy element posiada dokładnie jeden element odwrotny, c) a,b G (ab) 1 = b 1 a 1, d) a G (a 1 ) 1 = a, e) zachodzi prawo skracania: a,g,h G ag = ah g a = ha = g = h, f) dla dowolnych a,b G istnieją jednoznacznie określone elementy x, y G takie, że ax = b y a = b. g) (x 1 x 2... x n ) 1 = xn 1... x 1 2 x 1 1
120 Zapisać powyższe wzory w notacji addytywnej. Zadanie 21. Niech G będzie grupą. Wykazać, że dla dowolnych a, b G, m, n Z zachodzi: a) a 0 = e, a 1 = a, b) a n a m = a m+n, c) (a n ) m = a nm, d) (a n ) 1 = a n = (a 1 ) n. e) ab = ba = (ab) n = a n b n. Zadanie 22. Wykazać, że każdej grupie skończonego rzędu, odwrotność elementu jest dodatnią potęgą tego elementu. Sprawdzić, że grupa czwórkowa Kleina, czyli zbiór V 4 = {e, a,b, ab} z działaniem danym tabel- Zadanie 23. ką: rzeczywiście jest grupą. e a b ab e e a b ab a a e ab b b b ab e a ab ab b a e Grupy liczbowe Zadanie 24. Które ze zbiorów liczbowych tworzą grupy ze względu na dodawanie lub mnożenie liczb? Zadanie 25. Sprawdzić, które z podanych zbiorów liczbowych tworzą grupy względem dodawania lub mnożenia liczb. a) nz, n N, f) zbiór A = {z C: 0 < z r, r > 0, b) { 1,1}, g) Q( 5) = {a + b 5: a,b Q}, c) µ n, n N, h) Z[i] = {a + bi: a,b Z}, d) S 1, i) (0,1], e) zbiór liczb zespolonych o ustalonym module j) {a k : k N}, a R. r, k) {a k : k Z}, a R. Grupy reszt Często wygodnie jest zamiast liczby k używać w obliczeniach liczby k + mn, dla pewnego m Z i dopiero ostateczny wynik redukować modulo n, np.: zamiast wielokrotnie dodawać do siebie k = n 1 lepiej użyć 1 = k + ( 1)n, gdyż wtedy dodawanie generuje mniejsze liczby, zamiast k = n 1 lepiej użyć 1 = k + ( 1)n, gdyż wtedy mnożenie przez k jest poprostu zmianą znaku. Funkcją Eulera nazywamy funkcję ϕ: N N, która dla ustalonego n zwraca liczbę liczb naturalnych takich, że k n o NWD(n,k) = 1. Niektóre własności funkcji Eulera: a) NWD(m,n) = 1 = ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n), b) p - liczba pierwsza = ϕ(p k ) = p k p k 1, c) n = p r 1 1... pr k k Zadanie 26. = ϕ(n) = k i=1 (pr i i p r i 1 i ). Udowodnić, że dla każdego n N zbiory (Z n,+ n ) i (Z n, n) tworzą grupy. Zadanie 27. Zadanie 28. Wyznaczyć rząd grup Z n i Z n (dla małych n). Dla n = 2, 3,..., 10 zbudować tabelkę działania grup:
121 a) (Z n,+ n ), b) (Z n, n). To zadanie może być trochę nudne... Zadanie 29. Wyznaczyć elementy odwrotne do liczby k w grupie Z n, jeżeli: a) k = 3, n = 4,5,10, d) k = 9, n = 100, b) k = 10, n = 11,21, e) k = 2, n liczba pierwsza, c) k = 61, n = 100, f) k = n 1, n liczba pierwsza. W niektórych przypadkach wygodnie jest skorzystać z rozszerzonego algorytmu Euklidesa lub z twierdzenia Fermata. Grupy macierzowe Zadanie 30. Które ze zbiorów macierzy tworzą grupę ze względu na dodawanie lub mnożenie macierzy? Zadanie 31. Wykazać, że grupa Gl (n,r) nie jest abelowa dla n > 1. Zadanie 32. Sprawdzić które z podanych zbiorów macierzy kwadratowych ustalonego stopnia o wyrazach rzeczywistych tworzy grupę: a) zbiór macierzy symetrycznych z dodawaniem, b) zbiór macierzy symetrycznych z mnożeniem, c) zbiór macierzy nieosobliwych z dodawaniem, d) zbiór macierzy o wyznaczniku równym ±1 z mnożeniem, e) zbiór macierzy o wyznaczniku dodatnim z mnożeniem, f) zbiór macierzy o wyznaczniku ujemnym z mnożeniem, g) zbiór macierzy diagonalnych z dodawaniem, h) zbiór macierzy diagonalnych z mnożeniem, [ ] x y i) zbiór niezerowych macierzy rzeczywistych postaci z mnożeniem, y x [ ] x y j) zbiór niezerowych macierzy rzeczywistych postaci, λ R, z mnożeniem, λy x k) zbiór macierzy { [ ] [ ] [ ] [ ]} 1 0 i 0 0 1 0 i ±,±,±,± 0 1 i 1 0 i 0 z mnożeniem. Grupy izometrii Zadanie 33. Podać tabelki grup izometrii: a) trójkąta równoramiennego, b) trapezu równoramiennego, c) prostokąta. Grupę izometrii prostokąta (także) nazywamy grupą czwórkową Kleina i oznaczamy V 4. Zadanie 34. Wyznaczyć rząd grupy D n. Zadanie 35. Wykazać, że grupa D n nie jest abelowa dla n 3. Zadanie 36. Podać tabelki grup D n, dla a) n = 3 (trójkąt równoboczny), b) n = 4 (kwadrat), c) ( ) dowolne n. d) deltoidu e) rombu f) równoległoboku
122 Grupa symetryczna S n Zadanie 37. Wyznaczyć rząd grupy S n. Zadanie 38. Wykazać, że grupa S n nie jest abelowa dla n > 2. Zadanie 39. Niech σ,τ S 6, σ =, τ = 2 6 1 4 5 3, ω = 3 2 5 6 1 4, 1 2 5 3 6 4 Zapisać podane permutacje w postaci iloczynu cykli, obliczyć ich iloczyny, wyznaczyć elementy odwrotne. Zadanie 40. Niech σ,τ S 6, σ = (1 3 4)(3 2), τ = (2 3 5 1 6 4), ω = (1 2)(4 6)(3 5) Zapisać podane permutacje w postaci dwuwierszowej, obliczyć ich iloczyny i wyznaczyć elementy odwrotne. Zadanie 41. Wyznaczyć permutację odwrotną do cyklu (a 1 a 2... a n ). Zadanie 42. Sprawdzić, które z permutacji podanych w poprzednich zadaniach są parzyste. Zadanie 43. Sprawdzić, czy podane zbiory permutacji tworzą grupy: a) A n, e) {e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}, b) {e,(1 2)}, f) {e,(1 2 4),(1 3 4),(4 2 3)}, c) {e,(a b)}, g) {e,(1 2 3 4),(1 3 2 4),(1 4 2 3)}. d) {e,(1 2 3)}, Grupy przekształceń Które zbiory przekształceń z poprzedniego zestawu tworzą grupy względem składania prze- Zadanie 44. kształceń? Zadanie 45. Czy podane zbiory przekształceń tworzą grupy względem składania przekształceń? W każdym z przypadków podać tabelkę działania. a) f i : R R, f 1 (x) = x, f 2 (x) = x, f 3 (x) = 1 x, f 4(x) = 1 x, Podać interpretację geometryczną tych odwzorowań. b) g i : R 2 R 2, g 1 (x, y) = (x, y), g 2 (x, y) = ( x, y), g 3 (x, y) = ( x, y), g 4 (x, y) = (x, y), Podać interpretację geometryczna tych odwzorowań. c) {f : R R: f (0) = 0}, d) {f : R R: f rosnąca}. Zadanie 46. Które z poniższych zbiorów przekształceń płaszczyzny tworzą grupę względem składania przekształceń: a) zbiór obrotów wokół ustalonego punktu, b) zbiór translacji, c) zbiór symetrii osiowych i środkowych.
123 Zadania różne Zadanie 47. abelowa. Utworzyć listę znanych grup dzieląc je ze względu na rząd. Dla każdej grupy określić, czy jest Zadanie 48. Które z tabelek grup z tego zestawu są do siebie podobne? Czy przez zmianę nazwy elementu można podobne tabelki przeprowadzić jedną na drugą? Zadanie 49. Czy istnieje grupa o 3, 4, 5, 6 elementach z których każdy ma spełnia warunek a 2 = e. Jaką własność ma ta grupa?