dr Przemysław Szczepaniak ZDANIA WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011 1. Udowodnij prawa rachunku zdań poznane na wykładzie. 2. Sprawdź, które z poniższych zdań są tautologiami: (a)p q r ( p (q r) r). (b)(p q) (r s) (p s q r). (c)(p q r) (p r) (q r). (d)(p q) (p q p). (e)(p q r s) (p r) (q s). (f)(p q) (p q) (q p). 3. Zaneguj zdania z przykładów(a),(b),(c) poprzedniego zadania. Korzystając z praw de Morgana, przekształć je do postaci, w której negacja występuje jedynie przed zmiennymi zdaniowymi. 4. Sprawdź metodą skróconą, które z poniższych zdań są tautologiami: (a)p (q p). (b)(p (q r)) ((p q) (p r)). (c)( p q) (( p q) p). (d)((p q) (q r)) (p r). 5. Oto fragment raportu policji, sporządzonego przez młodego aspiranta: Świadek nie był zastraszony lub też, jeśli Henry popełnił samobójstwo, to testament odnaleziono. Jeśli świadek był zastraszony, to Henry nie popełnił samobójstwa. Jeśli testament odnaleziono, to Henry popełnił samobójstwo. Jeśli Henry nie popełnił samobójstwa, to testament odnaleziono. Co komendant policji może wywnioskować z powyższego raportu, poza oczywistym faktem, że należy zwolnić aspiranta? Spróbuj odpowiedzieć na pytania: Czy świadek był zastraszony? Czy Henry popełnił samobójstwo? Czy testament odnaleziono?. 1 Uwaga.Ćwiczenianiesąoznaczone,przyzadaniachjestsymbol,przytrudniejszych zadaniachjestsymbol. 1
6. Sprawdź, czy poniższe rozumowania są poprawne: (a)jeżelijanożenisięzmarią,topiotrgoznienawidzi.jeżelipiotrożeni sięzmarią,tojangoznienawidzi.zatempiotrznienawidzijanalubjan znienawidzi Piotra. (b) Jeżeli występuje spięcie w przewodzie elektrycznym, to światło gaśnie. Światło nie gaśnie. Zatem nie występuje spięcie w przewodzie elektrycznym. (c) Jeśli jest zimno, to trzeba ubrać płaszcz. Jeśli pada deszcz, to trzeba wziąćparasol.więcjeślijestzimnoipadadeszcz,totrzebaubraćpłaszczi wziąć parasol. (d) Jeśli pacjent ma zapalenie oskrzeli, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. Jeśli pacjent ma zapalenie płuc, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. Pacjent ma zapalenie oskrzeli lub zapalenie płuc. Zatem zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. 7. PodczaspewnejkampaniiwyborczejOlek,JózekiKazikwygłosilinastępujące oświadczenia: Olek: Józek zawsze kłamie, Józek: Kazik zawsze kłamie, Kazik: Olek zawsze kłamie. Pokaż, że co najmniej dwóch spośród nich nie miało racji. 8. KreskęSheferaokreślamynastępująco:p q=( p q).wyraźnegację, koniunkcję, alternatywę, implikację i równoważność za pomocą tego spójnika. ZBIORY 9. Udowodnij prawa rachunku zbiorów poznane na wykładzie. 10.Pokaż,żezbiórn-elementowyma2 n wszystkichpodzbiorów. 11.Pokaż,żedladowolnychzbiorówA,B,C,D: (a)a B B C A C, (b)a C B C A B C, (c)a B A C A B C, (d)a B C D A C B D, (e)a B C D A C B D. 12. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów A, B poniższe warunki są równoważne: 1.A B, 2.A B=A, 3.A B=B. 2
13. Pokaż, że A B jest najmniejszym w sensie inkluzji zbiorem zawierającym jednocześnie zbiory A i B. Sformułuj i udowodnij analogiczny fakt dla przekroju dwóch zbiorów. 14.Pokaż,żedladowolnychzbiorówA,B,C: (a)(a\b)\c=a\(b C), (b)a\(b\c)=(a\b) (A C). 15. Pokażnastępująceprawaróżnicysymetrycznej:A =A,A A=, A B=B A,A (B C)=(A B) C. 16.Rozwiążrównanie[0,1] X=[ 1, 1 2 ). 17. Czy iloczyn kartezjański jest operacją łączną? 18.Pokaż,żedladowolnychzbiorówA,B,C: (a)(a B) C=(A C) (B C), (b)(a B) C=(A C) (B C). 19.WyznaczzbioryP( ),P(P( )),P({1,2,3}). 20.Pokaż,żeA Bwtedyitylkowtedy,gdyP(A) P(B). 21.CzydladowolnychzbiorówA,B: (a)p(a) P(B)=P(A B), (b)p(a) P(B)=P(A B)? KWANTYFIKATORY 22. Udowodnij prawa rachunku kwantyfikatorów poznane na wykładzie. 23. Używając jedynie symboli kwantyfikatorów, nawiasów, spójników logicznychoraz=,,<,,+,,, N, Z, Rzapiszzdania: (a) istnieje nieparzysta liczba naturalna, (b) nie ma największej liczby naturalnej, (c) niektóre liczby naturalne są pierwsze, (d)każdaliczbanaturalnadajeprzydzieleniuprzez2resztę0lub1, (e) x jest najmniejszą liczbą naturalną, (f) wśród liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza, (g) suma kwadratów dwóch liczb rzeczywistych jest zawsze nieujemna, (h)równaniex 2 +x+4=0niemarozwiązańwzbiorzeliczbrzeczywistych, (i)równaniex 2 x 2=0madwarozwiązaniacałkowite, 3
(j)równanie2x+a=0marozwiązaniecałkowitedladowolnegoa Z, (k) dla dwóch(różnych) liczb rzeczywistych dodatnich ich średnia arytmetyczna jest mniejsza niż średnia geometryczna, (l) liczba z jest największym wspólnym dzielnikiem liczb x i y, (m) każde dwie liczby naturalne mają najmniejszą wspólną wielokrotność, (n) istnieje dokładnie jedna nieparzysta liczba naturalna. 24. Czy zdania z poprzedniego zadania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij. 25. Zaprzecz zdaniom z zadania 23. 26.Przedstawgraficzniezbiór{(x,y) R 2 :ϕ(x,y)}jeśliϕ(x,y)toformuła x<y,x y,x y<1, x y 1, x+y <1,x y 1 x y=1. DZIAŁANIA UOGÓLNIONE 27.Znajdź n=1 A n oraz n=1 A n jeśli (a)a n ={x R:x n}, (b)a n ={x R: n<x 1 n }, (c)a n ={x R: 1 n x n}, (d)a n ={x R:1 1 n <x<3 1 n }, (e)a n ={x R:n<x n+1}, (f)a n ={x R:n 2 <x<n+10}, (g)a n ={x R:( 1) n <x<2+ ( 1)n n }. 28.Znajdź {A t :t R}oraz {A t :t R}jeśli (a)a t ={(x,y) R 2 :y=t x}, (b)a t ={(x,y) R 2 :x 2 +y 2 t 2 }. 29. Wyznacz sumę oraz przekrój pustej rodziny podzbiorów zbioru R. 30. Udowodnij następujące własności działań uogólnionych: (a)( t TA t ) c = t TA c t, (b)( t TA t ) c = t TA c t, (c) t T(A t B t )=( t TA t ) ( t TB t ), (d) t T(A t B t )=( t TA t ) ( t TB t ), (e) t T(A t B t ) ( t TA t ) ( t TB t ), (f) t T(A t B t ) ( t TA t ) ( t TB t ). W podpunktach(e) i(f) pokaż, że inkluzji nie można zastąpić równością. 4
RELACJE 31. Zbadaj, czy poniższe relacje są zwrotne, przeciwzwrotne, symetryczne, słabo antysymetryczne, antysymetryczne, przechodnie, spójne: (a)xry xjesttejsamejpłcicoy, (b)xry xjestbratemy, (c)xry x<y,na R, (d)xry x y,na R, (e)xry x y,na N, (f)xry x y,na Z, (g)xry x y,nap(ω), (h)xry x y=,nap(ω), (i)xry 2 x+y,na N, (j)xry x < y,na R, (k)xry x+y 2,na R. 32.CzykażdąrelacjęRnaXmożnarozszerzyćdorelacji(a)zwrotnejna X,(b) przeciwzwrotnej na X,(c) symetrycznej na X,(d) słabo antysymetrycznejnax,(e)antysymetrycznejnax,(f)przechodniejnax,(g) spójnej na X? 33. Podaj przykład relacji która (a) jest zwrotna, symetryczna i nie jest przechodnia, (b) jest zwrotna, słabo antysymetryczna i nie jest przechodnia, (c) jest symetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna, (d) jest słabo antysymetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna. 34. Ilenazbiorzen-elementowymjestrelacji(a)zwrotnych,(b)symetrycznych,(c) zwrotnych i symetrycznych,(d) antysymetrycznych,(e) słabo antysymetrycznych? FUNKCJE 35.Niechf: N 2 Nbędziefunkcjąokreślonąwzoremf(n,k)=nk. (a) Czy f jest różnowartościowa? (b)czyfjest na? (c)znajdźf[{2,4} {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}]. (d)znajdźf[{2} {2 n :n N}]. (e)znajdźf 1 [{4,5}]. 5
36.Niechf: R 2 R 2 będziefunkcjąowzorzef(x,y)=(x+y,x y). (a) Czy f jest różnowartościowa? (b)czyfjest na? (c)znajdźf[r {0}]. (d)znajdźf 1 [{(1,1)}]. (e)znajdźf[l]orazf 1 [L],gdzieLjestprostąorównaniuy=x+1. 37.Niechf(x)= x+1,g(x)=3x 6,h(x)= x 2.Napiszwzoryzłożeń (a)h g f,(b)f g h,(c)g f f f,(d)h g f g g,(e)f g f h h. 38.Niechf:X YorazA,A 1,A 2 XiB,B 1,B 2 Y.Pokaż,że (a)f[a 1 A 2 ]=f[a 1 ] f[a 2 ], (b)f[a 1 A 2 ] f[a 1 ] f[a 2 ], (c)f[a 1 \A 2 ] f[a 1 ]\f[a 2 ], (d)f 1 [B 1 B 2 ]=f 1 [B 1 ] f 1 [B 2 ], (e)f 1 [B 1 B 2 ]=f 1 [B 1 ] f 1 [B 2 ], (f)f 1 [B 1 \B 2 ]=f 1 [B 1 ]\f 1 [B 2 ], (g) A f 1 [f[a]], (h) B f[f 1 [B]]. 39. Znajdź przykłady pokazujące, że zawierania w podpunktach poprzedniego zadania nie można zastąpić równością. 40. Pokaż,żejeślif:X Y,g:Y Zsąfunkcjamitakimi,żeg f jest różnowartościowa, a f jest na, to g jest funkcją różnowartościową. Czy założenie, że f jest na jest istotne? 41. Pokaż,żefjestfunkcjąróżnowartościowąwtedyitylkowtedy,gdy f[a B]=f[A] f[b]dladowolnychzbiorówaib. RÓWNOWAŻNOŚCI 42. Pokaż, że jest relacją równoważności na zbiorze Z, jeśli (a)n k 3 n+2k, (b)n k 5 n 2 k 2. 43. Pokaż, że jest relacją równoważności na X oraz wyznacz przestrzeń ilorazowąx/,jeśli (a)(n,k) (n,k ) max{n,k}=max{n,k },X={0,1,2,3,4} 2, (b)x y ( α>0)(α x=y),x= R, (c)u v ( α 0)(α u=v),x= R 2. 6
44. Ile jest relacji równoważności na zbiorze{1, 2, 3}? 45. Podaj przykład relacji równoważności na N, która ma jedną 1-elementową, dwie 2009-elementowe i dwie nieskończone klasy abstrakcji. PORZĄDKI 46. Podaj za pomocą diagramów Hassego przykłady częściowych porządków wktórych (a) są dwa 3-elementowe łańcuchy i jeden 3-elementowy antyłańcuch, (b) jest element najmniejszy, są dokładnie dwa elementy maksymalne oraz 4-elementowy łańcuch i 3-elementowy antyłańcuch, (c) jest nieskończony łańcuch i nieskończony antyłańcuch, (d) jest dokładnie jeden element minimalny i nie ma elementu najmniejszego. 47.Wskażwporządku(P(N)\{ }, )elementywyróżnione. 48.Pokaż,że(N\{0}, ),(N\{0,1}, )sączęściowymiporządkami.znajdź w każdym z nich elementy wyróżnione, o ile takie elementy istnieją. 49. Pokaż, że jeśli w częściowym porządku istnieje element największy, to jest on jedynym elementem największym. Pokaż, że element największy jest jednocześnie maksymalny. 50. Pokaż, że jeśli X jest zbiorem skończonym, to w częściowym porządku (X, ) istnieje co najmniej jeden element maksymalny. 51. Pokaż, że jeśli X jest zbiorem skończonym i w częściowym porządku (X, ) istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to jest on elementem największym. Czy założenie skończoności zbioru X jest istotne? 52. Pokaż,żejeśliRiSsąrelacjamiczęściowoporządkującymi,toR S też jest relacją częściowo porządkującą. Czy wtedy R S też jest relacją częściowo porządkującą? 53.Pokaż,żejeśli liniowoporządkujeskończonyzbiórx,to dobrze porządkuje X. Podaj przykład pokazujący, że założenie skończoności zbioru X jest istotne. 7
TEORIA MOCY 54.Pokaż,wskazującodpowiedniąbijekcję,że(a)(0,1) (1,4),(b)(0, ) R,(c)( 1,1) R,(d) Z N,(e) [0, ) (0, ). 55. Pokaż,że (a)a B C D,jeśliA C,B D,A B= ic D=, (b)a B C D,jeśliA CiB D, (c)p(a) P(B),jeśliA B, (d)p(a) {0,1} A. 56. Jakiej mocy jest zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych wymiernych? 57. Pokaż, że R\ Q jest zbiorem nieprzeliczalnym. 58. Pokaż,że R\Q =c. 59. Pokaż, że dowolna rodzina parami rozłącznych niezdegenerowanych(tzn. niepustych i niejednoelementowych) przedziałów na prostej jest przeliczalna. 60. Czy zbiór, którego każdy właściwy podzbiór jest przeliczalny, sam jest przeliczalny? 61.CzyistniejezbiórXtaki,że P(X) =ℵ 0? 62. Czyrozważanawdowodziefaktu(0,1) (0,1) (0,1)funkcjajestna zbiór(0, 1)? 63. Pokaż, że (a) {X N: X <ℵ 0 } =ℵ 0, (b) {X Z: X N <ℵ 0 } =c, (c) {X R: X <ℵ 0 } =c. 64. Pokaż,że(a)ℵ ℵ 0 0 = c,(b) c ℵ 0 = c,(c) c+c=c,(d)ℵ 0 +c=c,(e) ℵ 0 c=c,(f) c c > c. 65. Jakajestmoczbioruwszystkichciągówliczbrzeczywistychzbieżnychdo zera? A moc zbioru wszystkich ciągów liczb całkowitych zbieżnych do zera? 8