Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL POSTACIE ZADAŃ PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Zadae decze w któr wszstke relace są lowe oraz wszstke zee są cągłe azwa zadae prograowaa lowego (PL). Ogóla postać zadaa PL est astępuąca: = = = = c a () (.) a b ( = K ) (.) a b ( = + K p) (.) a = b ( = p + K r) (.) ( = 0 K ) (.5) gdze. Każd wektor zech deczch = ( ) K spełaącch waruk ograczaące (.) (.5) azwa rozwązae dopuszczal zadaa PL. Rozwązae dopuszczale dla którego fukca celu (.) osąga aksu (u) azwa rozwązae optal. Paraetra w t zadau są c b oraz a ( = K r; = K ). Paraetr c azwa -tą wagą fukc celu paraetr b - -t wraze wol a paraetr a współczke acerz ograczeń stoąc w -t werszu -te kolue. 8
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL POSTACIE ZADAŃ PROGRAMOWANIA LINIOWEGO c.d. Zadae PL o postac stadardowe azwa zadae w któr wszstke ograczea są erówośca tpu dla zadań a aksu bądź erówośca tpu dla zadań a u oraz wszstke zee uszą bć euee. Zadae PL o postac kaocze azwa zadae w któr wszstke waruk ograczaące są rówaa oraz a wszstke zee ałożoe są waruk dotczące ch eueośc. Zadaa PL o postac stadardowe są węc: = = c a ( = K ) a b ( = ) 0 K. = = c a b ( = ) ( = ) K 0 K. (.6) UWAGA! Nerówość dla zadaa a aksu oraz erówość dla zadaa a u azwa erówośca tpow a sao zadae będze ozaczal: PL(a) lub PL(). 9
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL DUALNOŚĆ REGUŁY TWORZENIA ZADANIA DUALNEGO Z każd zadae PL (zwa perwot lub pral) sprzężoe est pewe e zadae PL zwae zadae dual (ZD). Jeżel zadae perwot (ZP) est zadae: c a = a b ( = K ) = 0 ( = K ) to zadae dual (ZD) będze zadae: b = a c ( = K ) = 0 ( = K ). (.7) (.8) Z relac zachodzącch ędz zadae perwot a zadae dual wka że:. w zadau dual est tle zech le erówośc w zadau perwot (każdeu warukow ZP odpowada eda zea ZD). w zadau dual est tle waruków le zech w zadau perwot. wag fukc celu zadaa perwotego są wraza wol w zadau dual. wraz wole zadae perwotego są waga fukc celu w zadau dual 5. acerz współczków zadaa dualego est traspozcą acerz współczków zadaa perwotego 6. eżel zadae est a aksu to duale est a u odwrote. 0
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL REGUŁY TWORZENIA ZADANIA DUALNEGO c.d. W przpadku ogól stosue poadto astępuące dodatkowe reguł tworzea zadaa dualego:. eżel w ZP -t waruek est rówoścą to odpowadaąca u zea e a ograczeń. eżel w ZP -t waruek est etpową erówoścą to w ZD zea 0. eżel w ZP a zeą e ałożoo ograczeń to -t waruek ZD est rówoścą. eżel w ZP zea 0 to w ZD -t waruek est etpową erówoścą. PRZYKŁAD. Ma astępuące zadae perwote o postac stadardowe: + 6 + + + 5 + 0 7 (ZP) zee duale: W zadau dual będą oczwśce dwe zee gdż w ZP wstępuą dwa ograczea (co zazaczoo prz ZP) a sao zadae duale do rozważaego zadaa ZP a postać: + 7 a 6 5 + + + 0. (ZD)
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL REGUŁY TWORZENIA ZADANIA DUALNEGO c.d. PRZYKŁAD. Należ utworzć zadae duale do astępuącego zadaa perwotego: 6 + 8 a zee duale: + 6 + + 0 = dowole 0 0 (ZP) dowole 0. Zadae duale będze ało trz zee (bo w ZP wstępuą trz ograczea) dwa waruk ograczaące (bo w ZP wstępuą dwe zee e): 0 6 + + + 0 + + + = 6 8 dowole 0. (ZD)
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL TWIERDZENIA O DUALNOŚCI TWIERDZENIE (o steu) Jeżel ZP ZD aą rozwązaa dopuszczale to obdwa aą rozwązaa optale. Jeżel atoast chocaż edo z ch e a rozwązaa dopuszczalego to obdwa e aą rozwązań optalch. TWIERDZENIE Jeżel K est rozwązae dopuszczal zadaa perwotego (pralego) a K - rozwązae dopuszczal zadaa dualego to ędz wartośca fukc celu zachodz erówość: = c = b. (.9) Dla rozwązań dopuszczalch wartość fukc celu ZP e oże bć wększa od wartośc fukc celu ZD. TWIERDZENIE (o optalośc) Jeżel steą dwa take rozwązaa dopuszczale (ZP) = c K (ZD) że: = = b to obdwa rozwązaa są rozwązaa optal. K
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL TWIERDZENIA O DUALNOŚCI c.d. TWIERDZENIE (o rówowadze) Jeżel K est rozwązae dopuszczal ZP oraz K est rozwązae dopuszczal ZD to ab te rozwązaa bł rozwązaa optal wstarcza że spełoe są astępuące waruk: = a < b = 0 (.0) = a > c = 0 (.) > 0 a = b (.) = > 0 a = c (.) = Twerdzee o rówowadze wkorzstue do sprawdzaa optalośc zaego rozwązaa dopuszczalego lub do zadowaa rozwązaa optalego dla przpadku szczególego gd zadae PL a tlko dwa waruk ograczaące.
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL INTERPRETACJA EKONOMICZNA ZADANIA DUALNEGO Przpo że zadae perwote (.7) opsue proble aksalzac przchodu osągaego z produkc wrobów. Zużce środków produkc e oże przekroczć zasobów ak dspoue. Waga c ozacza ceę -tego wrobu współczk a welkość zużca -tego środka a produkcę edostk -tego wrobu wraz wol b zasób -tego środka produkc a zea welkość produkc -tego wrobu. Ab erówośc w zadau (.8) ał ses zeą terpretue ako ceę -tego środka. Załóż że kokuret chce abć od produceta środk produkc. Jaką ch ceę powe zaoferować? Z pewoścą chcałb odkupć środk produkc atae. Propoue węc ab sua = b czl wartość fukc celu zadaa dualego (!!!) bła ala. Kokuret us sę lczć z fakte że eżel zaoferue producetow zbt ską ceę to te posadach środków e sprzeda. Cea za ska to taka ked przchód ze sprzedaż tch środków błb ższ od przchodu ak producet oże uzskać keruąc e do produkc. Gdb producet sprzedał środk ezbęde do produkc edostk -tego ( = K ) a produktu po ceach to dostałb suę. Opłac sę węc sprzedać środk eżel: = a c ( ) = = K (.) Waruek (.) staow ograczee zadaa dualego (!!!). Zadae duale est węc zadae ake powe rozwązać kokuret pragąc abć środk produkc od produceta eżel chcałb dzałać racoale lcz a racoale zachowae produceta. 5
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL INTERPRETACJA EKONOMICZNA ZADANIA DUALNEGO c.d. Jak wka z twerdzea optala wartość zee określa a o le wzrośe (zesz sę) przchód eżel zwększ (zesz) zasób -tego środka produkc o edostkę. Te wosek est prawdzw eżel za eszczą sę w dopuszczalch gracach dotczą tlko edego środka. Zea duala określa zgode z eoklascza teorą ekoo krańcową produktwość edostk -tego środka. Jeżel produktwość -tego środka wzaczoa przez optale wos 0 PLN a cea po ake abwa producet -t środek c = 8 PLN to opłac sę zwększć zasób -tego środka o taką lość aż astąp zrówae wartośc z wartoścą c (czl o PLN). Jeżel atoast c wos PLN po te cee oża sprzedać edostkę -tego środka to prz rówe 0 PLN ależ zeszć zasób -tego środka (o PLN) gdż węce zska przezaczaąc edostkę -tego środka a sprzedaż ż do produkc. Dosć oczwstą terpretacę ekooczą aą w te stuac waruk (.0) (.) twerdzea o rówowadze:. eżel zużce -tego środka produkc est esze od posadaego zasobu to wcea (krańcowa produktwość) edostk -tego środka est zerowa. eżel wartość środków zużtch a wtworzee edostk -tego produktu est wększa od ego ce to produkca tego wrobu est zerowa. eżel wcea -tego środka est dodata to zużce środka us bć rówe ego zasobow. eżel produkca -tego wrobu est dodata to wartość środków zużtch a edostkę -tego produktu est rówa ego cee. 6
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL GRAFICZNA METODA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ PL Weź astępuące zadae (stroa 5 wkład r ). f prz ograczeach: D = ( ) = + 0 a ( ) 0 : 6 6 + + 0 = = 0 0 0 96 80 W celu rozwązaa zadaa etodą grafczą ależ postępować według astępuące procedur:. arsować w układze współrzędch zbór ograczeń (zbór rozwązań dopuszczalch) (Rs..). wzaczć wektor gradetu f ( ) fukc celu (krteru) (Rs...). aszkcować prostą prostopadłą do wektora gradetu f ( ) (Rs..);. przesuwaąc prostą prostopadłą z puktu w keruku zgod z keruke wektora gradetu zaleźć pukt (lub odcek) podparca zboru rozwązań dopuszczalch przez prostą. Pukt te (lub odcek) est rozwązae zadaa. W przpadku gd fukca celu est alzowaa ależ kerować sę w keruku przecw do keruku wektora gradetu. 7
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL GRAFICZNA METODA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ PL c.d. 0 0 8 = 8 = 6 =0.66 6 =0.66 f() = f() = - 6 8 0 6 + =96-6 8 0 6 + =96-6 +0 =80-6 +0 =80 wskazue keruek pólplaszczz którą geerue prosta Rs.. zbór ograczeń (rozwązań dopuszczalch) Gradet ( ) f f ( )= (00) fukc celu est rów (poeważ dzeląc obe współrzęde gradetu przez tę saą lczbę e zea sę ego achlee to podzel e przez 0). Wektor te został zazaczo a rsuku po prawe stroe ebeską przerwaą strzałką. wskazue keruek pólplaszczz którą geerue prosta zbór ograczeń (rozwązań dopuszczalch) rozwązae optale Rs.. Rozwązae optal zadaa est pukt * =() dla którego wartość fukc celu est aksala wos f( * )=0 +0 =70. UWAGA! To że otrzalś rozwązae całkowtolczbowe (tz. = =) est tlko przpadke. Geerale etoda e dae gwarac a otrzae rozwązaa całkowtolczbowego (eśl stee taka potrzeba). 8
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL Zodfku zadae poprzedo Zauważ że zeł sę zbór rozpatrwae poprzez welowae ograczeń! (Rs..) ostatego ograczea tz. ograczea =. 0 Otrza wówczas zadae : D f ( ) = + 0 a 0 prz ograczeach: = ( ) : 6 6 0 + + 0 0 96 80 8 6 - = = f() 6 8 0 6 + =96 0-6 +0 =80 8 6 = wskazue keruek pólplaszczz którą geerue prosta zbór ograczeń (rozwązań dopuszczalch) rozwązae optale f() = Rs.. - - 6 8 0 6 + =96 6 +0 =80 Rozwązae optal tego zadaa est róweż pukt o współrzędch * =() dla którego wartość fukc celu est aksala wos f( * )=0 +0 =70. wskazue keruek pólplaszczz którą geerue prosta zbór ograczeń (rozwązań dopuszczalch) Rs.. 9
Ekooetra dr ż. Zbgew Tarapata Wkład r : Postace zadań prograowaa lowego grafcza etoda rozwązwaa zadań PL UWAGI DOTYCZĄCE METODY GRAFICZNEJ ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ PL etoda grafcza oże zostać zastosowaa tlko do takch zadań w którch lczba zech wos (ewetuale lczba ograczeń wos wówczas oże skostruować zadae duale rozwązać e etodą grafczą); e adae sę oa do algortzac koputerowe pleetac (stosue wówczas abardze zaą etodę rozwązwaa zadań PL tzw. algort spleks); pozwala w prost sposób zdetfkować tzw. zadaa ze sprzecz ograczea oraz eograczoą wartoścą fukc celu (o lczbe 0 zech rówe ) (rsuk poże). 8 6-6 8 0 6 8 0 - - - zadae ze sprzecz ograczea - -6 zadae z eograczoą od gór wartoścą fukc celu - 6 8 0 - - -6 zadae z eograczoą od dołu wartoścą fukc celu