Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Anna Jędrzychowska Ewa Poprawska Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Głównym celem wprowadzena systemu bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych było uzyskane narzędza do właścwego dopasowana wysokośc składek ubezpeczenowych do pozomu ryzyka przyjmowanego przez zakłady ubezpeczeń oraz bodźca wpływającego na pozom częstośc występowana nekorzystnych zdarzeń losowych tj. kradzeży pojazdów, kolzj drogowych oraz wymuszeń ubezpeczenowych. System ten jest obecne rozpowszechnony w krajach całej U. Nestety coraz częścej pojawają sę głosy, ż jego efektywność ne zawsze kształtuje sę na zadowalającym pozome. Do oceny taryfkacyjnej efektywnośc systemu najczęścej znajdują zastosowane: teora łańcuchów Markowa oraz ujemny model dwumanowy. Narzędza te pozwalają w przyblżonym stopnu określć pozom dopasowana składk ubezpeczenowej do ubezpeczanego ryzyka komunkacyjnego. Celem artykułu będze krótke przyblżene tych metod oraz wskazane kluczowych obszarów funkcjonowana systemu, które podlegają w nch ocene. Słowa kluczowe: ubezpeczena komunkacyjne, system bonus-malus, procesy Markowa, składka ubezpeczenowa, szkodowość. Wprowadzene Systemy bonus-malus, kojarzone główne z ubezpeczenam komunkacyjnym, służą przede wszystkm różncowanu składk ubezpeczenowej dla klentów o różnej hstor szkód w przeszłośc. Rozpowszechnone są w całej UE, jednak zastosowane rozwązana są zróżncowane: od systemów kształtowanych dowolne przez zakłady ubezpeczeń, do systemów ujednolconych, narzuconych przez ustawodawców. Nazwa systemów (z łac. dobry-zły ) wąże sę z deą nagradzana znżką składk za bezszkodową hstorę ubezpeczena (bonus) karana zwyżką składk za występujące w poprzednch okresach ubezpeczena szkody (malus). Ubezpeczen są przydzelan do klas o różnej wysokośc składek, w zależnośc od lczby zgłoszonych w poprzednm okrese szkód oraz klasy, w jakej znajdowal sę w poprzednm okrese. 51
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 Do najważnejszych funkcj systemów bonus-malus należą: funkcja taryfkacyjna zróżncowane składek dla nsko- wysokoszkodowych klentów dopasowane składk do ndywdualnego ryzyka; funkcja prewencyjna oddzaływane na szkodowość poprzez zachęcane ubezpeczonych do unkana szkód; funkcja marketngowa duże ulg w wysokośc składek są atrakcyjne dla klentów, stanową stotny element podnoszący atrakcyjność oferty ubezpeczycela. Systemy bonus-malus są charakterystyczne dla rynku ubezpeczeń komunkacyjnych, przede wszystkm obowązkowego OC. W welu krajach, w tym także w Polsce, stosuje sę je równeż przy ubezpeczenu autocasco. Pommo tego, że jako jedną z funkcj systemu bonus-malus wymena sę funkcję prewencyjną, należy dopowedzeć, ż w przypadku ubezpeczeń AC ma ona ogranczone zastosowane. Trudno bowem mówć o prewencj w przypadku takch szkód, na których zastnene właśccel pojazdu ne ma wpływu, np. kradzeż, szkoda będąca wynkem dzałana sł natury czy dzałana osób trzecch poza zachowanem należytej starannośc w zabezpeczenu pojazdu ubezpeczony ne może w żaden sposób wpływać na częstość występowana szkód. Karane zwyżką składk w takch przypadkach wydaje sę neuzasadnone nelojalne wobec ubezpeczonego. Ponadto pojawa sę odwrotne wręcz dzałane zatajane zastnałych szkód celem zachowana znżek, zatem zafałszowywane statystyk fkcyjne obnżane szkodowośc (efekt zwany w lteraturze hunger of bonus). Nektóre zakłady ubezpeczeń podjęły równeż próbę wprowadzena systemu bonus-malus w ubezpeczenach meszkań 1, choć równeż tu pojawają sę podobne problemu jak w przypadku autocasco. Perwszy system bonus-malus był wprowadzony w Belg. Tamtejszy rząd już w 1956 r. wprowadzł obowązkowe ubezpeczene OC kerowców, ale system zaczął funkcjonować w 1961 r. Pętnaśce lat po wprowadzenu obowązku posadana polsy OC na zakłady ubezpeczeń nałożony został obowązek stosowana przy taryfkacj reguł systemu bonus-malus. Wytyczne te regulowały sposób nalczana wysokość składek ubezpeczenowych. Przykład belgjskego systemu bonus-malus prowadz do kolejnej funkcj systemu, tj. do funkcj marketngowej. Duża ulga w cene ubezpeczena jest bardzo atrakcyjna dla klentów. W 1961 r. newelka frma ubezpeczenowa 2 wprowadzła system znżek zwyżek dla swoch klentów, choć ne było to obowązkowe. Frma ta dzęk owej decyzj zwększyła swoje udzały w rynku od 2 do 5 proc. Zancjowane systemu pomogło jej wprowadzć do swojego portfela klentów, główne dobrych nskoszkodowych kerowców. Decyzja klentów była podjęta przez nch pommo tego, ż składka wejścowa była dla nch o 20 proc. wyższa, nż gdyby kupowal ubezpeczene OC poza systemem bonus-malus. Obecne systemy bonus-malus stosuje sę w welu krajach, jednak podejśce do ch formy jest bardzo różne. W częśc krajów systemy te kształtowane są całkowce dowolne przez zakłady ubezpeczeń, w nnych są częścowo regulowane przez ustawodawcę, aż do systemów całkowce uregulowanych prawne, dentycznych dla wszystkch ubezpeczycel (np. do 2002 roku system belgjsk).w Polsce, do 1 styczna 2004 r., obowązywały przepsy, które ustalały maksymalną znżkę na pozome 60 proc., a zwyżkę na 160 proc., oraz stanowły, że za każdy bezszkodowy 1. Przykładem polskego ubezpeczycela stosującego system bonus-malus w ubezpeczenach domu/meszkana jest TUR Alanz. 2. J. Lemare, Bonus-Malus Systems n Automoble Insurance, Boston: Kluwer, 1995, s. 11. 52
Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus okres 24 mesęcy system pownen gwarantować wzrost znżk o co najmnej 10 p.p. Po wprowadzenu nowelzacj Ustawy o dzałalnośc ubezpeczenowej ogranczena te przestały obowązywać, tym nemnej praktyka rynkowa zachowane ubezpeczycel sprawły, że lmty sę utrzymały. 3 System znżek zwyżek funkcjonuje ne tylko w Europe, ale też w Azj nektórych państwach afrykańskch latynoamerykańskch. Natomast w krajach Ameryk Północnej system bonus-malus jest rzadzej stosowany z powodu specyfcznego podejśca do taryfkacj a posteror. 4 Według nektórych autorów 5 systemy taryfkacj a posteror z jednej strony pozwalają na ujęce czynnków trudnych do kwantyfkacj, jednak z drugej strony stanową zaprzeczene de ubezpeczena, gdze w zaman za pewną składkę ubezpeczycel przejmuje ryzyko, na jake narażony jest ubezpeczony. Przy zastosowanu systemów bonus-malus składka równeż staje sę losowa, zależna od hstor szkód. Drugm argumentem przecw systemom bonus-malus jest to, że ch stosowane zaprzecza zasadze soldarnośc ubezpeczonych (ubezpeczen, którzy w danym okrese ne spowodowal szkód, pomagają tym, u których szkody wystąpły). Należy podkreślć, ż systemy bonus-malus w poszczególnych krajach mocno sę od sebe różną. Zależne od regulującego je prawodawstwa są obowązkowe (wtedy konkurencja produktowa jest ogranczona, pozostaje jedyne konkurencja cenowa) bądź dowolne ( wtedy pojawają sę dodatkowe obszary konkurencj). Nektóre kraje przyjęły bardzo prosty system bonus-malus. Przykładowo w Brazyl jest podzał pols tylko na sedem klas, a pozom prem 100, 90, 85, 80, 75, 70 65. Nowy ubezpeczający zaczyna w klase 7, na pozome 100. Każde zgłoszene szkody przenos go o jedną klasę w górę, do nższej znżk. 1. Konstrukcja systemów bonus-malus System bonus-malus jest jednym ze stosowanych sposobów wyceny ubezpeczeń (nsurance prcng methods, nsurance ratng methods) w zależnośc od ryzyka ponoszonego przez zakłady ubezpeczeń, w zwązku ze zróżncowanym pozomem szkodowośc poszczególnych klentów. Wśród sposobów wyceny najczęścej wymenanych w lteraturze 6 można wskazać: wycenę ndywdualną, gdze składka dla każdego ubezpeczonego jest ustalana ndywdualne, na podstawe osądu dokonanego przez przedstawcela ubezpeczycela (metoda stosowana główne tam, gdze dane statystyczne dotyczące szkodowośc są newystarczające, zatem ne dotyczy to sytuacj ubezpeczeń komunkacyjnych), podzał na klasy taryfowe nne (schedule ratng, experence ratng, retrospectve ratng). Podzał na klasy taryfowe dokonywany jest na podstawe czynnków wyodrębnonych jako stotne 3. Jedyne zakład ubezpeczeń Proama oferuje znżkę na pozome 70 proc. Pozostałe oferty ubezpeczycel sęgają pozomu 60 proc. znżk. 4. Por. Automoble nsurance and road accdent preventon: report prepared by an O CD scentfc expert group, Organsaton for Economc Co-operaton and Development, Pars 1990, s. 46, za: B. Kochańsk, fektywność funkcjonowana systemu bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych w Polsce w wybranych krajach europejskch, praca magsterska napsana pod kerunkem prof. dr. hab. Mrosława Szredera, Unwersytet Gdańsk 2000. 5. Szerzej w J. Lemare, Bonus, op. ct. 6. Szerzej w B. Kochańsk, fektywność, op. ct. oraz E. J. Vaughan, Fundamentals of rsk and nsurance, John Wley and sons, 1992. 53
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 wpływające na pozom szkodowośc. W ubezpeczenach komunkacyjnych są to najczęścej czynnk, które można podzelć na: dotyczące kerowcy, dotyczące pojazdu, cel użytkowana pojazdu, osoby upoważnone do użytkowana pojazdu. Pozostają jednak czynnk, które trudno wykorzystać w klasyfkacj, take jak np. ndywdualne cechy kerowcy (np. refleks, skłonność do brawury tp.), których ne można wząć pod uwagę a pror. Zatem przydatny jest równeż podzał uwzględnający dotychczasowy przebeg ubezpeczena. Służą temu metody nakładane na ustalone wcześnej grupy taryfkacyjne uzależnające ostateczną wysokość składk od tego, na le dotychczasowy przebeg szkodowośc różnł sę od przecętnego w danej grupe. Systemy bonus-malus wyróżnają sę wśród tych metod przejrzystoścą przystępnoścą dla przecętnego klenta. Zatem systemy te są systemam klasyfkacj ubezpeczonych w zależnośc od ndywdualnej hstor szkodowośc, są węc systemam a posteror. 7 Proces ustalana składk dla każdego klenta przebega w systeme bonus-malus w sposób następujący: 1. klenc są wstępne klasyfkowan na podstawe czynnków a pror, ustalana jest dla nch wysokość składk podstawowej, 2. następne ustala sę, w jakej klase taryfowej pownen znaleźć sę dany klent, na podstawe tego, w jakej klase znajdował sę w poprzednm okrese ubezpeczena, oraz lczby szkód jake zostały zgłoszone z jego ubezpeczena w mnonym okrese (w przypadku braku szkód klent przechodz do klasy następnej, w przypadku zgłoszena szkód cofa sę według ustalonego algorytmu do jednej z klas poprzednch), 3. każdej klase przypsany jest odpowedn współczynnk (stawka, pozom składk), określający, jak procent składk podstawowej pownen płacć klent, w przypadku klas znżkowych jest to współczynnk mnejszy od 1, dla klas zwyżkowych wększy od 1 (lub 100 proc., gdyż przyjęło sę wyrażać te współczynnk jako procent składk podstawowej), 4. współczynnk ten wykorzystywany jest do korygowana ustalonej wcześnej na podstawe czynnków a pror składk podstawowej (ostateczna składka to loczyn współczynnka składk podstawowej. Aby w pełn scharakteryzować system bonus-malus, koneczna jest znajomość jego kluczowych elementów: klas taryfowych (wygodne jest rozróżnene klas zwyżkowych znżkowych) C, gdze = 1,, s oznacza klasę o numerze, s oznacza lczbę klas; klasy początkowej, do której trafa nowy klent bez hstor szkodowośc C 0 ; wartośc współczynnków w poszczególnych klasach określających procent składk podstawowej płaconej przez klenta (czasem opsywany jako procent znżk lub zwyżk udzelanej klentow); w sposób syntetyczny opsuje te wartośc wektor stawek: b = (b 1,, b s ); algorytmu przemeszczana sę z klasy do klasy w zależnośc od lczby szkód w poprzednm okrese algorytm ten można określć: opsowo, 7. Określena bonus oraz malus ne dotyczą wyłączne klas taryfkacyjnych, lecz są stosowane równeż jako synonmy zwyżk oraz znżk. 54
za pomocą tabel (dla wększej przejrzystośc) np. Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Tabela 1. Przykładowe reguły przejśca dla fkcyjnego systemu bonus-malus Klasa Stawka (w %) Wpływ lczby szkód na zmanę klasy 0 1 węcej 1 200 2 1 2 100 3 1 3 90 4 2 4 80 5 3 5 70 5 4 Źródło: opracowane własne. Ta forma jest wygodna do analzy dla klenta. W werszach charakteryzowane są poszczególne klasy taryfowe. W perwszej kolumne znajduje sę numer klasy, w drugej stawka taryfowa, a kolejne kolumny zawerają nformacje o tym, w której klase znajdze sę w kolejnym roku klent, który w poprzednm roku był w klase o numerze oraz zgłosł 0, 1, 2 lub węcej szkód. za pomocą macerzy przejśca z klasy do klasy ta forma jest wygodna w przypadku analzy systemów. Aby skonstruować macerze przejśca, najperw defnuje sę funkcję transformacj: T k ()=j oznacza, że kerowca przechodz z klasy do klasy j, gdy spowodował k wypadków w cągu jednego okresu ubezpeczena. Następne konstruuje sę macerze T k odzwercedlające to, co dzeje sę z danym klentem w przypadku zgłoszena przez nego k szkód. Elementam macerzy są zera, w przypadku gdy klent ne przechodz z klasy do j, oraz 1, gdy następuje przejśce, czyl Dla podanego przykładu: ( k) ( tj ) Tk =, gdze ( k ) 1 gdy następuje przejśce tj =. (1) 0 w przecwnym przypadku 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 T0 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 T1 = T2 = = 0 1 0 0 0. 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Natomast wektor stawek b = [2 1 0,9 0,8 0,7]. W dalszej częśc opracowana stosowane będą powyższe oznaczena. Do analzy systemów konstrukcj mar oceny systemów wykorzystywane będą algorytmy przejśca z klasy do klasy zapsane w forme macerzy przejśca. 55
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 2. Przegląd klasycznych mar prezentowanych w lteraturze Przy analze systemów bonus-malus podstawową kwestą jest określene prawdopodobeństwa pojawena sę k szkód 8 w cągu roku dla pojedynczego ubezpeczonego. Do aproksymacj rozkładu lczby roszczeń (zmennej losowej K) często wykorzystuje sę rozkład Possona w postac: gdze l to współczynnk szkodowośc. k p = P K = k = λ e λ, (2) k ( ) k! Wartość oczekwana (k) = l, (3) warancja V(k) = l. (4) Model ten jest w lteraturze aktuaralnej często stosowany, jest on równeż uzasadnony merytoryczne w odnesenu do pojedynczego ubezpeczonego. 9 W odnesenu do portfel ubezpeczonych, przede wszystkm tam, gdze założene o homogencznośc portfel ne jest spełnone, stosowany jest model oparty na rozkładze ujemnym dwumanowym 10. Jeżel mamy do czynena z portfelem nejednorodnym, zakłada sę, że dla pojedynczego ubezpeczonego rozkład lczby szkód jest zmenną losową o rozkładze Possona. Parametr ten jest jednak nny dla różnych ubezpeczonych jest realzacją zmennej losowej Λ. Jeżel parametr ntensywnośc szkód λ jest zmenną losową o rozkładze gamma z parametram α β 11, wówczas lczba szkód ma rozkład ujemny dwumanowy w postac: α α + k 1 β 1 P( K = k) =, k = 0, 1, 2, (5) k 1+ β 1+ β k 8. Systemy bonus-malus w wększośc krajów oparte są na lczbe szkód zgłoszonych w poprzednm okrese. Jedynym krajem, w którym system ten opera sę na wartośc szkód, jest Korea Połudnowa, gdze szkody majątkowe są podzelone na dwe klasy, zależne od ch wysokośc, natomast szkody osobowe podzelono aż na 14 klas (za Lemare 1998), jednak wydaje sę, że analza dla tego systemu może być prowadzona w analogczny sposób, z wyjątkem zmany na rozkład zawerający prawdopodobeństwa wystąpena szkody o określonej wysokośc (właścwe z określonego przedzału wartośc). 9. Za C.D. Daykn, T. Pentkänen, H. Pesonen, Practcal rsk theory for actuares, Chapman&Hall, London 1994. 10. Zastosowane tego modelu wskazywane jest mędzy nnym w: G. Coene, L.G. Doray, A fnancally balanced bonus-malus system, Astn Bulletn 26, 1996, s. 107 116, M. Fsz, Rachunek prawdopodobeństwa statystyka matematyczna, PWN Warszawa 1967, s. 180. 2 11. Estymatory parametrów α β wyznaczone metodą momentów: k k β = α =, gdze k to średna 2 2 Sk k Sk k 2 lczba szkód w portfelu, S k to warancja lczby szkód w portfelu za A. Szymańska. W analze przyjmuje sę założone z góry wartośc parametru l w rozkładze Possona oraz α β w ujemnym dwumanowym, najbardzej pożądane jest zatem, aby parametry te były wyznaczane z podstawe danych szkodowych z kraju, dla którego prowadzona jest analza. Pojawa sę jednak problem dostępnośc danych służących takm wylczenom, najczęścej węc przyjmowane są λ=0,1 (wartość ta jest zblżona do przecętnej częstośc szkód w krajach europejskch) bądź wartość 0,0552 (wylczona podana w roku 2010 przez UFG w raporce: Ubezpeczena komunkacyjne w latach 2005 2009. Wspólny Raport Urzędu Komsj Nadzoru Fnansowego (KNF) Ubezpeczenowego Funduszu Gwarancyjnego (UFG), oraz α=16,1384 β=1,6131 (wartośc przyjęte za wylczenam dla jednego z belgjskch zakładów ubezpeczeń) por. Lemare, 1995, s. 123. 56
Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Jego wartość oczekwana: ( K) warancja: V( K) α =, (6) β α 1 = 1+ β β. (7) Podczas przedstawana kolejnych mar wykorzystywanych w analze systemów bonus-malus przyjmemy założene upraszczające, że lczba szkód ma rozkład Possona z parametrem λ. 2.1. Mary oparte na teor procesów Markowa W rozważanach teoretycznych do analzy systemu bonus-malus wykorzystuje sę teorę procesów Markowa. Proces przesuwana ubezpeczonego z klasy do klasy zgodne ze zdefnowanym systemem, jest jednorodnym łańcuchem Markowa o skończonej lczbe stanów (za stan przyjęta jest klasa, w której znajduje sę ubezpeczony) 12. Na podstawe przedstawonych macerzy wylcza sę równeż prawdopodobeństwa przejśca z klasy C do klasy C j w cągu jednego okresu: p = p t, (8) ( ) ( ) ( k λ λ ) j k j k= 0 gdze p k (l) oznacza prawdopodobeństwo wystąpena k szkód. Macerz przejśca zawera prawdopodobeństwa przejśca z klasy do klasy z roku na rok, czyl w syntetyczny sposób przedstawa algorytm zmany klas: s gdze pj ( λ ) = 1 j ( ) 0 j= 1 ( λ ) k ( λ ) p ( λ ) p ( λ ) 11 1s = k = k= 0 ps 1( λ ) pss ( λ ) M p T p λ., (9) Czyl -ty wersz macerzy zawera prawdopodobeństwa przejśca ubezpeczonego z klasy do każdej z klas taryfowych. Zatem macerz prawdopodobeństw przejśca w syntetyczny sposób prezentuje dzałane systemu, może węc być jego modelem. 12. Warto zaznaczyć, że ne wszystke systemy bonus-malus są procesam Markowa. W nektórych systemach, np. belgjskm, wprowadzane są dodatkowe reguły, które powodują, że w perwotnej forme proces przejść mędzy klasam ne zależy tylko od położena ubezpeczonego lczby szkód w poprzednm okrese. W systeme belgjskm wprowadzono regułę, która określa, że jeżel ubezpeczony ma 4 kolejne lata bezszkodowe, to nezależne od tego, jaką zwyżkę płac w poprzednm okrese, w kolejnym ne może znajdować sę w klase o wyższym współczynnku nż klasa 14 (klasa w składce = 100% składk podstawowej). Z takego systemu jak belgjsk koneczne jest zatem przetworzene go do formuły, w której będze on procesem Markowa, poprzez sztuczne dodane klas, np. 18.0 (klasa 18 0 lat bezszkodowych), 18.1 (klasa 18 jeden rok bezszkodowy bezpośredno przed analzowanym okresem), 18.2 (klasa 18 dwa kolejne lata bezszkodowe bezpośredno poprzedzające analzowany okres, 18.3 (klasa 18 3 kolejne lata bezszkodowe) (za Lemare 1998). 57
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 Dla podanego przykładu: q p 0 0 0 q 0 p 0 0 M( λ ) = 0 q 0 p 0, 0 0 q 0 p 0 0 0 q p q= p λ + p λ + = p. gdze p= p ( λ ), natomast ( ) ( ) 0 1 2 1 2.1.1. Mary oparte na rozkładze stacjonarnym Klka mar efektywnośc systemów bonus-malus opartych jest na rozkładze stacjonarnym procesu. Wśród ch wad można wymenć to, że operają sę na modelach, których założena ne zawsze spełnone są w rzeczywstośc, mędzy nnym ne uwzględnają zmany częstośc szkód (parametru λ) w czase (zmany te wążą sę ze wzrostem dośwadczena kerowcy, zmaną samochodu na nowszy, bezpecznejszy, wzrostem lczby klometrów pokonywanych w cągu roku tp.). Ponadto dla nektórych systemów bonus-malus stan stacjonarny ne jest osągany albo okres dochodzena do rozkładu wystarczająco zblżonego do rozkładu stacjonarnego jest bardzo dług. Zalety to natomast przede wszystkm prosta zrozumała konstrukcja. Dla rozkładu stacjonarnego można oblczyć wektor zawerający prawdopodobeństwa znalezena sę w każdej z klas taryfowych w długm horyzonce czasowym (po osągnęcu stanu stacjonarnego) a( λ ) = a1 ( λ ),, as ( λ ). Elementy wektora a( λ ) można nterpretować jako prawdopodobeństwa znalezena sę w długm horyzonce czasowym w danej klase bądź też jako frakcję czasu pozostawana klenta w danej klase taryfowej. Dla rozkładu stacjonarnego warto oblczyć wektor zawerający prawdopodobeństwa znalezena sę w każdej z klas taryfowych w długm horyzonce czasowym (po osągnęcu przez proces stanu stacjonarnego): gdze ( ) czasowym, natomast s a ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) a = a1,, as, (10) a λ oznacza prawdopodobeństwo przynależnośc do -tej klasy w długm horyzonce 13 = 1. = 1 Przy założenu rozkładu Possona dla lczby szkód wektor a(l) można wyznaczyć jako lewostronny wektor własny macerzy M(l) odpowadający wartośc własnej równej 1 14, w nnych przypadkach możlwe jest wyznaczene go numeryczne lub za pomocą symulacj. Wektor ( ) a λ można otrzymać rekurencyjne, poprzez oblczene prawdopodobeństwa znalezena sę w poszczególnych klasach w kolejnych latach funkcjonowana systemu, czyl wektory a( n, λ ). Do tych oblczeń wystarczająca jest znajomość klasy początkowej oraz macerzy przejśca. Wektor a( 1, λ ) w perwszym roku funkcjonowana ubezpeczonego w systeme to wektor zawerający zera poza klasą wstępu, dla: 13. J. Lamare, Bonus, op. ct. 14. B. Kochańsk, fektywność, op. ct. 58
Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus ( ; λ ) ( 1; λ ) ( λ ) a n = a n M. (11) Wektor a( λ ) można otrzymać jako granczną wartość wektorów (, ) Elementy wektora ( ) a n λ, gdy n. a λ można nterpretować jako prawdopodobeństwa znalezena sę w długm horyzonce czasowym w danej klase bądź też jako frakcję czasu pozostawana klenta w danej klase taryfowej. Średna asymptotyczna składka (stacjonarny przecętny pozom składk) Perwszą marą, która może służyć analze systemów bonus-malus, jest średna asymptotyczna składka ( B( λ )), czyl przecętna składka, jaką w długm horyzonce czasowym (po osągnęcu przez system stacjonarnośc) płac klent o ustalonym pozome szkodowośc. Średna asymptotyczna składka wyrażona jest wzorem: s, (12) = 1 ( λ ) ( λ ) B = a b gdze b oznacza składkę w -tej klase. Jest zatem średną ważoną przecętnych ndywdualnych składek stacjonarnych. Mara ta może służyć także do analzy pojedynczego systemu: jeżel B( λ ) = λ, system składek uważa sę za uczcwy, jeżel B( λ ) > λ, składk są zawyżone, gdy B( λ ) < λ, zanżone. Może równeż służyć do porównywanu systemów mędzy sobą system z wyższym pozomem B( λ ) będze przynosł wyższy oczekwany zysk z pojedynczego ubezpeczena, będze jednak droższy dla klenta. Przy ustalanu średnego stacjonarnego pozomu składk można wskazać klasę, w której znajdze sę klent, w chwl gdy system bonus-malus osągne pozom stacjonarnośc. Mara ta, jeżel ma służyć porównywanu systemów, pownna być analzowana z uwzględnenem tego, że wartość składk podstawowej w różnych systemach może sę różnć, zatem wyznaczene średnej stacjonarnej składk jako procentu składk podstawowej ne określa jeszcze, który system jest tańszy, a który droższy. Ponadto należy pamętać, że za 100 proc. składk podstawowej może być przyjęty dowolny pozom, nekoneczne składka płacona przez ubezpeczonych w klase wstępu (klent na wejścu do systemu może płacć np. składkę podwyższoną). Na dodatek, w zwązku z honorowanem znżek wypracowanych przez ubezpeczonych u nnych ubezpeczycel, klasa wstępu dotyczy tylko ubezpeczonych bez żadnej hstor szkodowośc. Dalej, posługując sę wartoścam oczekwanym stacjonarnego pozomu składk, można ustalć, jak slna jest tendencja przesuwana ubezpeczonych do klas o najnższej składce. Zatem są to mary równowag (odpowedno: nerównowag) systemu. Względny stacjonarny przecętny pozom składk (RSAL Relatve Statonary Average Level) RSAL oblcza sę za pomocą wzoru: RSAL ( λ ) = ( B( λ ) mn ( b )) ( b ) mn ( b ) ( max ). (13) 59
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 Mara ta przyjmuje wartośc z przedzału [0;1], gdze najnższej możlwej składce przyporządkowuje sę wartość 0, a najwyższej 1. Wskaźnk ten określa pozycję w systeme przecętnego ubezpeczonego o pozome szkodowośc λ w długm okrese (po osągnęcu przez system stanu stacjonarnego). Określa zatem ne to, jak procent składk podstawowej płac przecętny klent, ale gdze na skal rozpętośc całego systemu sę on znajduje. Trudno podać optymalną wartość tej mary, wg twórcy mary pownna ona oscylować wokół 0,5, jednak przykłady nektórych systemów bonus-malus wskazują, że ne jest to w praktyce możlwe 15. Nske wartośc tej mary mogą wskazywać na slną tendencję do skupana sę ubezpeczonych w klasach o dużych znżkach, natomast wysoke wartośc mogą wskazywać na lepsze rozłożene ubezpeczeń w poszczególnych klasach. 16 Jedną z wad mernka jest to, że na wysokość RSAL bardzo duży wpływ ma wysokość maksymalnej zwyżk w systeme, ustalanej w dużej merze w tak sposób, aby była dotklwa dla bardzo szkodowych klentów 17, ponadto w nektórych systemach (np. norwesk) w ogóle ne określa sę maksymalnej zwyżk, co powoduje, że RSAL ne może być wyznaczony. Ze względu na ostatną uwagę wprowadza sę modyfkację RSAL, która powoduje, że mara jest nemożlwa do oblczena tylko dla systemów, w których klasą startową jest klasa najnższa 18. Modyfkacja RSAL: RSAL 2 ( λ ) = ( B( λ ) mn ( b )) b mn ( b ) ( 0 ) 60, (14) gdze b 0 to składka początkowa. Po takej modyfkacj mara jest nemożlwa do oblczena tylko dla tych systemów, w których klasą startową jest klasa najnższa (take systemy w praktyce ne występują). Optymalną wartoścą tej mary jest 1, wówczas tak system można nazwać zrównoważonym fnansowo. 19 Marę RSAL można równeż zmodyfkować tak, aby oblczyć ją ne tylko dla pojedynczego ubezpeczonego, ale równeż dla całego portfela, nekoneczne homogencznego. Współczynnk zmennośc składek Współczynnk zmennośc składek po n okresach funkcjonowana systemu można wyrazć następująco: ( ; λ ) V n = s 2 ( b B( n; λ )) a ( λ ) B( n; λ ) gdze B( n; λ ) jest przecętną składką po n latach funkcjonowana systemu. = 1, (15) 15. Szerzej w J. Lemare, Bonus-Malus Systems n Automoble Insurance, Boston: Kluwer, 1995 oraz B. Kochańsk, fektywność, op. ct. 16. Szerzej w B. Kochańsk, fektywność, op. ct. 17. W Polsce wg ustawy o ub. obowązkowych zakład ubezpeczeń ne może odmówć zawarca umowy ubezpeczena obowązkowego, jeżel w ramach swojej dzałalnośc prowadz dzałalność obejmującą te ubezpeczena jedynym sposobem pozbyca sę bardzo szkodowego klenta jest znechęcene go bardzo wysoką składką. 18. Take systemy w praktyce ne występują. 19. Za B. Kochańsk, fektywność, op. ct.
Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Współczynnk zmennośc składek merzy stopeń zróżncowana składek płaconych przez ubezpeczonych, czyl może być mernkem soldarnośc lub jej braku mędzy ubezpeczonym m wększa warancja, tym pozom soldarnośc mnejszy. Przy braku ubezpeczena współczynnk zmennośc strat, na jake narażony jest ubezpeczony, równy jest współczynnkow zmennośc szkód, jake mogą wystąpć. W przypadku ubezpeczena braku zróżncowana składek współczynnk zmennośc płatnośc dokonywanych przez ubezpeczonego wynos 0. W przypadku systemów bonus-malus jest to wartość pomędzy tym skrajnoścam. Pomocna może być zarówno zman wartośc współczynnka zmennośc w czase dla zadanego pozomu λ (np. typowego, czyl równego 0,1). Zwykle współczynnk zmennośc w perwszym roku wynos zero, wzrasta do momentu osągnęca maksymalnej znżk, a następne spada do momentu osągnęca stacjonarnośc. Innym zestawenem wartym analzy jest zależność współczynnka zmennośc od pozomu parametru λ, co może służyć jako narzędze porównywana systemów mędzy sobą. 20 mara łącznej zmennośc systemu 21 Jest to suma odchyleń od wektora stacjonarnego po n okresach funkcjonowana systemu, czyl: gdze p n ( ) s j j, (16) j= 1 n ( TV ) = p ( λ ) a ( λ ) n j λ oznacza prawdopodobeństwo przejśca z klasy C do klasy C j po dokładne n okresach funkcjonowana systemu. TV merzy, jak szybko system staje sę zblżony do stacjonarnego oraz na le sę od swego docelowego stanu różn po n latach funkcjonowana. Może to być mara wrażlwośc systemu na występujące szkody przesunęca z klasy do klasy. Pozostaje dyskusyjne, jake są pożądane wartośc tej mary. Z jednej strony system pownen mocno reagować na wystąpene szkód, z drugej przy zbyt dużej wrażlwośc system umeszcza ubezpeczonych w odpowednch dla nch klasach dopero po bardzo długm czase, co wydaje sę sprzeczne z deą systemu. Jeżel system dopero po 30 latach umeszcza ubezpeczonych o danym pozome szkodowośc w odpowednch dla nch klasach, to oznacza, że przez ponad połowę przecętnego czasu byca kerowcą ubezpeczony ne jest dobrze klasyfkowany, ponadto żaden z systemów bonus-malus ne funkcjonuje w nezmenonej forme aż tak długo, zatem zbyt wrażlwe systemy ne mogą w realach rynkowych dobrze spełnać swej funkcj taryfkacyjnej. Przeważne systemy mało rozbudowane, o newelu klasach stablzują sę szybko, te bardzej złożone znaczne wolnej. W lteraturze 22 można znaleźć wynk oblczeń dokonanych dla systemów dzałających w różnych krajach. Dla systemów prostych mara TV przyjmuje małe wartośc już po klku latach funkcjonowana ch (np. system funkcjonujący na Tajwane już po 3 latach osąga bardzo nske wartośc TV dla λ=0,1), dla systemów bardzej złożonych, z weloma klasam oraz złożonym regułam przejśca, wskaźnk ten przyjmuje wysoke wartośc nawet po 30 latach ch funkcjonowana 20. Za J. Lemare, Bonus-Malus systems: the uropean and Asan approach to mert ratng, North Amercan Actuaral Journal Socety of Acutares Schaumburg, Illnos, 1998: 2:1, 26 47. 21. Za H. Bonsdorff, 1992, On the Convergence Rate of Bonus-Malus Systems, ASTIN Bulletn 22:217 223. (1992) por. J. Lemare, Bonus, 1995, op. ct. 22. J. Lemare, Bonus, 1998, op. ct. 61
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 (dla przykładu system belgjsk dla λ=0,1 po 30 latach ma wartośc na pozome 20 proc. wartośc początkowych nawet po 60 latach ne stablzuje sę). Wskaźnk ten może być wykorzystywany do analzy wpływu modyfkacj dokonywanych w konstrukcj systemu 23 na tempo jego stablzowana sę. Efektywność ogólna elastyczność średnej składk względem pozomu ryzyka Elastyczność systemu jest marą reakcj systemu na zmanę częstośc szkód. Pozwala określć, w jakm stopnu kerowcy o różnym pozome ryzyka są ocenan przez system. Elastyczność systemu defnowana jest jako: ( ) ( λ ) ( λ ) B' ( λ ) dλ B( λ ) db B η λ = = λ. (17) λ W dobrze skonstruowanym systeme bonus-malus wysokość składk pownna być rosnącą funkcją szkodowośc, w dealnym przypadku pownna być to funkcja lnowa, czyl η( λ ) = 1, co oznacza, że ze wzrostem względnego ryzyka wystąpena szkody o jedną jednostkę (np. jeden punkt procentowy), względny przyrost składk pownen być tak sam, np. jeżel jeden klent charakteryzuje sę wskaźnkem częstośc szkód równym 0,1, natomast nny 0,11, to drug z klentów pownen płacć składkę wyższą o 10 proc. W wększośc funkcjonujących na śwece systemów bonus-malus elastyczność jest jednak <1 24. W lteraturze znaleźć można badana wskazujące na to, że na wysokość mary efektywnośc bardzo duży wpływ ma wysokość maksymalnych zwyżek w systeme, co może jednak dzałać odstraszająco na klentów. Wśród wad tej mary najważnejszą jest brak uwzględnena struktury portfela. Z tego względu wprowadzana bywa mara opsana nżej. Łączna elastyczność (total elastcty) 25 Marę tę można wyznaczyć, gdy znana jest funkcja struktury szkodowośc w portfelu, a dokładnej funkcja opsująca rozkład zmennej losowej określającej częstość szkód, czyl funkcja gęstośc parametru λ. Jeżel zmenna ta może być scharakteryzowana przez funkcję g( λ ), wówczas łączna elastyczność portfela wyraża sę wzorem: η = η λ g λ dλ. (18) 0 ( ) ( ) Jest ona łączną wartoścą elastycznośc systemu przy zadanej strukturze portfela, zależy węc od tego, jak welu dobrych złych klentów ma ubezpeczycel. Zatem nterpretacja zastosowane mary jest podobne do mary poprzednej. 23. Np. zmany takch elementów jak: lczba klas, klasa startowa, zasady przejśca (np. czy uzależnać zmanę klasy od jednej szkody, czy rozwjać system do zależnośc od pęcu szkód). 24. Za A. Szymańska, Wybrane mary efektywnośc systemów bonus-malus ubezpeczeń komunkacyjnych OC, w: Ubezpeczena wobec wyzwań XXI weku, Prace Naukowe Akadem Ekonomcznej we Wrocławu, nr 1127, 2008, s. 428 435 25. B. Kochańsk, fektywność, op. ct. 62
Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Efektywność zależna od klasy startowej 26 Pozwala ocenć, jak szybko kerowcy trafają do klas odpowadających pozomow ryzyka, który reprezentują. Jest to funkcja: v' ( ) ( ) λ µ λ = λ, (19) v λ ( ) gdze v ( λ ) to strumeń zdyskontowanych (na początek ubezpeczena) oczekwanych płatnośc ponoszonych przez ubezpeczonego znajdującego sę na początku w -tej klase. 2.1.2. Metody bazujące na prawdopodobeństwe stanu równowag W lteraturze proponuje sę też mernk, które uwzględnają ne tylko samą analzę rozkładu prawdo podobeństwa równowag. Wszystke one bazują na prawdopodobeństwe stanu równowag q, które można ntepretować w następujący sposób: z jakm prawdopodobeństwem ( q ), przy dostateczne długm funkcjonowanu systemu bonus-malus, wylosowany klent znajduje sę w klase. Wartośc q wyznaczane są z rozwązana układu l+1 (l łączna lczby klas bonus malus) równań z l newadomym: * q0 = q0 p0,0 + q1 p1,0 + q2 p2,0 + q3 p3,0 + + ql 1pl 1,0 + ql pl,0 q1 = q0 p0,1 + q1 p1,1 + q2 p2,1 + q3 p3,1 + + ql 1pl 1,1 + ql pl,1 qk = q0 p0, k + q1 p1, k + q2 p2, k + q3 p3, k + + ql 1pl 1, k + ql pl, k ql 1 = q0 p0, l 1 + q1 p1, l 1 + q p + q p + q p q p + + ql = q0 p0, l + q1 p1, l + q2 p2, l + q3 p3, l + + ql 1pl 1, l + ql pl, l 1 = q0 + q1 + q2 + q3 + + ql 1 + ql 2 2, l 1 3 3, l 1 l 1 l 1, l 1 l l, l 1 (20) Wartośc p j pochodzą z macerzy przejśca. Ponżej zaprezentowane zostaną trzy z cząstkowych wskaźnków opartych na prawdopodobeństwe stanu równowag: Stosunek oczekwanych wartośc znżek zwyżek w klasach taryfkacyjnych Mernk ten pozwala uwzględnać dwe dodatkowe kweste, tj. fakt, że systemy różną sę mędzy sobą lczbą klas taryfowych wartoścam przyznawanych bonusów malusów. Najperw należy oblczyć oczekwane wartośc uzyskanych znżek/zwyżek składk w poszczególnych klasach taryfowych w oparcu o prawdopodobeństwa stanu równowag. Otrzymane wartośc oczekwane odnosć sę będą do systemu w wymarze długookresowym wg następujących formuł: m b ( t) = t q ( t) = t q, (21) 26. Ibdem. 63
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 gdze: to numer klasy taryfowej (łączne klasy malus (0,1,2 k) bonus (k+1, k+2,,l); m ( t ) oczekwana wartość zwyżk w -tej klase malus; b ( t ) oczekwana wartość znżk w -tej klase bonus; q prawdopodobeństwo równowag dla -tej klasy; t wartość zwyżk lub znżk w -tej klase taryfkacyjnej; 27 Uwzględnene lczby klas w systeme następuje poprzez wyznaczene zagregowanej (ogólnej) wartośc oczekwanej w obrębe klas malus, a także w obrębe klas bonus. Wówczas uzyskane zostaną: ogólna oczekwana wartość zwyżek dla klas malus, jako: k m m ( t ) = ( t ), (22) = 0 gdze: m ( t ) ogólna oczekwana wartość zwyżek; m ( t ) oczekwana wartość zwyżk w -tej klase malus; ogólna oczekwana wartość znżek dla klas bonus, jako: l = k+ 1 b b ( t ) = ( t ), (23) gdze: b ( t ) ogólna oczekwana wartość znżek; b ( t ) oczekwana wartość znżk w -tej klase bonus. Ostateczne należy wylczyć stosunek tych dwóch welkośc: m ( t) b (24) ( t) Interpretacja tego wskaźnka jest następująca: m bardzej wartość wskaźnka przekracza wartość 1 (czyl zwyżk stawk znacząco pokrywają znżk), tym system uchodz za bardzej rygorystyczny. Warto zwrócć uwagę, że rzeczywśce tak skonstruowany mernk ujmuje dwa aspekty, którym mogą sę różnć systemy bonus-malus: lczbę klas wartość zwyżek/znżek stawk podstawowej. Przykładowo: podnesene zwyżek, przy pozostałych warunkach nezmenonych, zwększy wartość mernka, podobne jak przy nezmenonych pozostałych warunkach lkwdacja nektórych klas bonusowych. Stosunek oczekwanych wartośc znżek zwyżek w klasach taryfkacyjnych 28. Mernk ten jest lorazem oczekwanej wartośc zwyżek dla klas malus oczekwanej wartośc znżek dla klas bonus oblczonych dla stanu równowag systemu. 27. Przy wyznaczanu wartośc zwyżk/znżk t w klasach przyjmuje sę założene, że stawka podstawowa jest jednostkowa. 28. Ł. Gwzdała, Możlwośc analzy systemów bonus-malus w śwetle procesów Markowa, w: Ubezpeczena wobec wyzwań XXI weku, red. Wanda Ronka-Chmelowec, Prace Naukowe Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu nr 228, Wrocław 2011. 64
Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus Mernk ten jest łatwy w nterpretacj, uwzględna też strukturę portfela. Wśród wad wymena sę wysok pozom jego ogólnośc (jest to mocno zagregowana mara). Ponadto wskaźnk ten trac na znaczenu dla systemów funkcjonujących dostateczne długo, aby klenc bezszkodow zagneźdzl sę w klase o najwyższym pozome składk, taka sytuacja zanża mocno wartość wskaźnka. Wartość oczekwana czasu przejśca po raz perwszy z klasy -tej do j-tej Ocenę efektywnośc systemu można też przeprowadzć pod kątem tego, jak szybko od wejśca do systemu klent dostane sę do upatrzonej przez sebe klasy docelowej. Wybór klasy docelowej może być dowolny, nemnej najczęścej klenc pożądają najwyższych możlwych znżek. Zadane zatem sprowadza sę przede wszystkm do wyznaczena rozkładu tej zmennej. Rozkład zmennej losowej T, oznaczającej czas, jak upływa od momentu wejśca ubezpeczonego do -tej klasy taryfkacyjnej, do przejśca do klasy j-tej po raz perwszy, wyznacza sę z wykorzystanem m prawdopodobeństw p j, gdze to klasa startowa,a j docelowa, zawartych w macerzach przejśca ( m) w m latach M. Macerz przejśca należy jednak tak zmodyfkować, aby można z nej było odczytać prawdopodobeństwa przejśca z klasy uznanej za początkową do docelowej w przecągu m lat, które nterpretuje sę jako wartośc dystrybuanty czasu do perwszego wejśca w stan docelowy, czyl: ( m) [ ] F ( m) = P T m = p. (25) T Następne, odejmując kolejne wartośc dystrybuant, uzyskuje sę rozkład prawdopodobeństwa p ( ) T m zmennej losowej T. Po polczenu wartośc oczekwanej znanej te można dokonać nterpretacj systemu m wyższa wartość oczekwana, tym system jest bardzej rygorystyczny dla ubezpeczonych klent dłużej mus oczekwać na dostane sę do najkorzystnejszej dla nego klasy. Zaletą tej metody jest to, że pozwala dokonać analzy systemu zarówno dla pojedynczego klenta, jak w ujęcu całoścowym w zakładze ubezpeczeń. Jej wadą jest fakt, że merzy tylko perwsze przejśce klenta po systeme. Ne jest zatem użyteczna do pomaru efektywnośc dla klenta, który dokonał zmany ubezpeczycela, a po pewnym czase powrócł do dotychczasowego. Średn względny przyrost prawdopodobeństwa pozostana lub powrotu ubezpeczonego do strefy malus systemu Klent może też badać efektywność systemu, zadając sobe pytane: z jakm prawdopodobeństwem zostanę w tym samym mejscu lub trafę do klasy zwyżkowej, jeśl jeszcze rok pozostanę w tym systeme. By otrzymać odpowedź, należy wylczyć prawdopodobeństwo pozostana danego ubezpeczonego w beżącej klase bądź jego przejśca do klas o wyższych pozomach składk w cągu m lat. W efekce, dla kolejnych, coraz dłuższych okresów, otrzymuje sę wartośc prawdopodobeństwa dla każdej klasy malus. Nech będą one oznaczone przez:, j p = p, (26) ( m) ( m) j j gdze: ( m ) p prawdopodobeństwo, że polsa z -tej klasy malus w nej pozostane lub przejdze do nnej klasy malus w cągu m lat; numer rozważanej klasy malus; j kolejne numery stnejących klas malus, w tym j =. 65
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 Jednakże, z punktu wdzena postawonego problemu, bardzej nteresujące jest prawdopodobeństwo łączne dla wszystkch klas malus. Wartość ta może posłużyć do wylczena prawdopodobeństwa, że ubezpeczony po m latach wcąż będze w strefe malus lub do nej powróc. Należy tego dokonać przez użyce systemu wag 29, polczonego z uwzględnenem prawdopodobeństwa równowag, wg następującej formuły: q W =, (27) qj j gdze: W waga dla -tej klasy malus; numer -tej klasy malus; j numery kolejnych klas malus, w tym j =. Ostateczne prawdopodobeństwo, że ubezpeczony po m latach wcąż będze w strefe malus lub do nej powróc wyrażone będze przez: ( m) ( m) p = W p (28) ml j j gdze: ( m ) p ml prawdopodobeństwo, że ubezpeczony po m latach wcąż będze w strefe malus lub do nej powróc numer -tej klasy malus; j numery kolejnych klas malus, w tym j =. Naturalne, w przypadku wększośc systemów bonus-malus mowa będze o przecętnym zmnejszanu sę wartośc prawdopodobeństwa, tzn. (b 1) 100 proc. będze mnejsze od zera. Stąd system określć można, jako tym bardzej rygorystyczny, m wększy będze średn przyrost względny dla oszacowanej funkcj regresj. Uogólnając, mernk ten pozwala ustalć, w jakm stopnu klasy malus systemu są zdolne do utrzymywana do przycągana ubezpeczonych, a ścślej, w jakm tempe tę zdolność tracą. 30 Zatem metoda ta jest użyteczna dla dentyfkacj tych klentów, wobec których stneje ryzyko łatwego przejęca przez konkurujące zakłady ubezpeczeń, gdyż mogą on ocenać jako coraz mnej pewne utrzymane swoch znżek w systeme tego zakładu, w którym są obecne. Jest to oczywstą zaletą tego mernka. Jego wada to natomast oparce go na danych agregowanych. Podsumowane Po przeglądze wybranych klkunastu metod oceny efektywnośc systemu bonus-malus należy podkreślć, że każda z tych mar jest fragmentaryczna, ponadto ne uwzględnają one elementów jakoścowych zwązanych z procesem ubezpeczena. Co węcej są to główne mary efektywnośc taryfkacyjnej, ocenające, w jakm stopnu system bonus-malus dostosowuje składkę do n- 29. Jeśl ubezpeczen rozkładalby sę równomerne pomędzy klasy malusowe, wówczas wystarczyłoby zsumowane prawdopodobeństw p m ( ) po, a następne podzelene otrzymanej wartośc przez lczbę klas malus. 30. Ibdem. 66
Klasyczne mary efektywnośc systemu bonus-malus dywdualnego ryzyka. Nektóre metody (mara łącznej zmennośc systemu) badają też pozom nerównowag systemu (m wększa nerównowaga, tym gorsze dopasowane składk do ndywdualnego ryzyka). Tylko nektóre (łączna elastyczność) uwzględnają strukturę portfela ubezpeczycel przepływu klentów mędzy systemam. Celem dokonywana operacj matematycznych tworzy sę modele, które operają sę na slnych założenach, neprzystających w pełn do praktyk rynkowej (jak nezależność szkód; ne uwzględnają zmany częstośc szkód w czase wzrost dośwadczena kerowcy, zmana samochodu na nowszy, bezpecznejszy, wzrost lczby klometrów pokonywanych w cągu roku tp.). W analze należy też uwzględnć specyfkę polskego rynku ubezpeczeń komunkacyjnych, w którym to obszarze spotyka sę system bonus-malus. Wskazać można trzy podstawowe ogranczena obcążene polskego rynku: 1. Slne obcążene hstoryczne, zwązane z weloletnm monopolem jednego ubezpeczycela wcąż jeszcze slną jego pozycją; 2. Oferowane w Polsce produkty ubezpeczenowe sprzedawane przez ubezpeczycel wchodzących w mędzynarodowe grupy kaptałowe to często kope produktów z wększych rynków, przez co produkty są nedostosowane do polskch warunków; 3. W Polsce zasady funkcjonowana ubezpeczena OC kerowców, przez to, że jest to ubezpeczene obowązkowe, reguluje ustawa. Odnośne funkcjonowana systemu bonus-malus, najwększym ogranczenem jest brak możlwośc odmówena klentow ubezpeczena obowązkowego przez zakład, który prowadz sprzedaż ubezpeczeń w tym obszarze. Powoduje to, że jedyne pozomem składk zakład może takego klenta znechęcć do zakupena produktu ubezpeczenowego. Taka sytuacja slne rzutuje na to, jak funkcjonuje system bonus-malus dla ubezpeczeń OC. Wykaz źródeł Coene G., Doray L.G., A fnancally balanced bonus-malus system, Astn Bulletn 26, 1996, s. 107 116. Daykn C.D., Pentkänen T., Pesonen H., Practcal rsk theory for actuares, Chapman&Hall, London 1994. Fsz M., Rachunek prawdopodobeństwa statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1967. Gwzdała Ł., Możlwośc analzy systemów bonus-malus w śwetle procesów Markowa, w: Ubezpeczena wobec wyzwań XXI weku, red. Wanda Ronka-Chmelowec, Prace Naukowe Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu nr 228, Wrocław 2011. Kochańsk B., fektywność funkcjonowana systemu bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych w Polsce w wybranych krajach europejskch, Praca magsterska napsana pod kerunkem prof. dr. hab. Mrosława Szredera, Unwersytet Gdańsk 2000. Lemare J., Bonus-Malus systems: the uropean and Asan approach to mert ratng, North Amercan Actuaral Journal Socety of Acutaresĺ Schaumburg, Illnos, 1998: 2:1, 26 47, dostępne na www.soa.org/lbrary/journals/north-amercan-actuaral-journal/1998/january/naaj9801_2.pdf. Lemare J., Bonus-Malus Systems n Automoble Insurance, Boston: Kluwer 1995. Szymańska A., Wybrane mary efektywnośc systemów bonus-malus ubezpeczeń komunkacyjnych OC, w: Ubezpeczena wobec wyzwań XXI weku, Prace Naukowe Akadem Ekonomcznej we Wrocławu, nr 1127, 2008, s. 428 435. Vaughan E.J., Fundamentals of rsk and nsurance, John Wley and sons, 1992. 67
Wadomośc Ubezpeczenowe 2/2013 Classcal measures of effectveness of the bonus-malus system The man am of the ntroducton of the bonus-malus system to motor nsurance was to obtan a tool whch would enable matchng the nsurance premum amount to the level of rsk assumed by nsurance undertakngs correctly, and a stmulus nfluencng the frequency of adverse fortutous events,.e. vehcle thefts, road collsons and cases of nsurance fraud. Ths system s currently wdespread throughout the U. Unfortunately, more and more often opnons can be heard that ts effectveness s not always at a satsfyng level. In order to assess the system s tarff effectveness the Markov chan theory and negatve bnomnal model are usually used. Thanks to these tools t s possble to approxmately determne the level at whch the nsurance premum s matched to the motor rsk nsured. The am of the artcle s to brefly present these methods and ndcate the key areas of the system s operaton whch are subject to assessment n them. Key words: motor nsurance, bonus-malus system, Markov processes, nsurance premum, loss rato. DR ANNA JĘDRZYCHOWSKA adunkt w Katedrze Ubezpeczeń Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu. DR EWA POPRAWSKA adunkt w Katedrze Ubezpeczeń Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu. 68