Aaltyka chemcza Podtawy tatytyk Marek Kręglewk mkreg@amu.edu.pl, tel. 689387
Program zajęć Op wyjaśee poobu porządkowaa przedtawaa daych dośwadczalych. Rozkład dla zmeej loowej dykretej cągłej. Zagadea próbkowaa populacj. Etymatory wartośc środkowej waracj. Rozkłady Gaua Studeta. Tetowae hpotezy tatytyczej. Statytycze opracowae wyków pomarów. Ie rozkłady tatytycze. Metoda ajmejzych kwadratów. Regreja lowa. Problemy korelacj. Oblczae waracj welkośc złożoych. Zaokrąglae lczb.
Podtawowe defcje Statytyka badae zborów daych (tatytyka matematycza opowa) Przedmot aalzy tatytyczej oberwacja, zdarzee w relacj wartość czętotlwość (rozkład) Populacja zbór wzytkch daych Próbka -elemetowa oberwacj Cel aalzy tatytyczej utalee relacj mędzy próbką a populacją 3
Cechy tatytycze Cechy tałe przyporządkowae do zborowośc (rzeczowe, przetrzee, czaowe) Cechy zmee merzale lub emerzale Iloścowe/umerycze Typy daych Dykrete (całkowte) Przykłady: Lczba oób Orzeł lub rezka Kotka do gry Cągłe (rzeczywte) Przykłady: Temperatura Waga Długość Jakoścowe/ eumerycze Przykłady: Kolor Barwa głou 4
Skale pomarowe omale - relacja: rówe róże; pomar polega a zatoowau lczby jako azwy, czyl grupowau jedotek w klay (kategore), którym przypuje ę azwy czy lczby, p. tudec wg rodzaju tudów, zczególy przypadek - kala dychotomcza (dwupuktowa) porządkowe - relacja: wękze mejze; pomar polega a grupowau jedotek w klay (kategore), którym przypuje ę azwy lub lczby porządkuje ę te klay ze względu a topeń atężea, w jakm poadają oe badaą cechę przedzałowe - relacja: wękze o tyle; pomar wytępuje wtedy, gdy uporządkoway zbór wartośc cechy kłada ę z lczb rzeczywtych, ZERO w tej kal utaloe jet dowole, p. kala Celjuza Fahreheta, kala pozwala twerdzć tylko o le jet coś wyżze toukowe (lorazowe) - relacja: tyle razy wękze; peła wzytke akjomaty lczb, pomary w tej kal charakteryzują ę tałym lorazam zerem bezwzględym, tylko w tej kal możlwe jet porówywae jedotek za pomocą względych charakterytyk: p. jede obekt jet dwa razy cężzy od drugego 5
Statytyk opowe w Ecelu Statytyka opowa zajmuje ę wtępym opracowaem wyków pomarów (próbk) bez poługwaa ę rachukem prawdopodobeńtwa. średa arytmetycza odchylee tadardowe waracja kurtoza K kośość q medaa wartość środkowa wartość makymala ma wartość mmala m roztęp R = ma - m klay lczba kla=(lczebość próbk) / 6
Prawdopodobeńtwo = P(A) A, B ą podzboram ależącym do zboru Ω Właośc prawdopodobeńtwa 0 P(A) P(Ω) = Jeżel A B wykluczają ę wzajeme, wtedy P(A lub B) = P(A) + P(B) Jeżel A B e wykluczają ę wzajeme, wtedy P(A lub B) = P(A) + P(B) P(A B) Oblczee prawdopodobeńtwa: P(A) = A / gdze A lczba zdarzeń realzujących A ogóla lczba zdarzeń 7
Średa arytmetycza: Waracja: Proty rozkład Rzut kotką do gry: P = P = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = /6 k P k k k P k k Odchylee tadardowe: 8
Dośwadczea z kotką Rzuty kotką Średa rzutów kotkam 7/36 /6 /6 5/36 /9 / /8 /36 0 3 4 5 6 0.5.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 7 3.5 35.7078 7 3.5 35 4.076 9
0 Kotka do gry - oblczea k P k k k k k P 7 6 6 6 6 6 6 6 5 4 3 35 5 3 3 5 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 6 5 4 3
Rozkład prawdopodobeńtwa dla zmeej cągłej p() a b p() gętość prawdopodobeńtwa P P ab p b a pd d
Rzut moetą orzeł czy rezka? Defcja: P(r)= prawdopodobeńtwo r razy rezka (H). Rzut jedą moetą: P(0)=P()=½. Rzut czterema moetam: P(0)=P(4)=(½) 4 = 6 TTTT or HHHH TTTH, TTHT, THTT, HTTT P()=P(3)= 4 6 4 TTHH,THHT,HHTT,THTH,HTHT,HTTH P()= 6 r P 6 r P P P P3 P4 4 6 4 0 6 6 6 6 6 6 r= 0 3 4 6 rzutów teora 4 6 4 dośwadczee 4 7 60 rzutów teora 0 40 60 40 0 dośwadczee 3 36 6 40 0 600 rzutów teora 00 400 600 400 00 dośwadczee 96 409 577 403 5 6 3 8
cztery moety r 0 Wartośc oczekwae średa ( oczekwaa ) lczba r 4 6 4 3 4 6 6 rp r r 6 6 6 Oczekwaa wartość fukcj f f r f rpr Prawo welkch lczb Gdy lczebość próbk N rośe, średa zmerza do wartośc oczekwaej: f N f 3
Rozkład Gaua Fukcja rozkładu Gaua p ;, e 0.4 0.3 0. 0. 0 μ-4σ μ-3σ μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ μ+4σ 4
P P P P P P P p p Podtawowe właośc rozkładu Gaua d P d P 0.687 0.9545 3 3 0. 9973 Jeżel potrzebe ą okrągłe lczby:.645.645 0.90 90%.96.96 0.95 95%.576.576 0.99 99% 3.90 3.90 0.999 99.9% 0.68 μ-4σ μ-3σ μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ μ+4σ 5
Rozkład Gaua Jak oblczyć? P a b p b a d? a μ b Zormalzoway rozkład Gaua z 0 z gdze: P z z z z pz z z dz z jet zmeą zredukowaą 6
Dytrybuata dla zmeej zormalzowaej z z 0.00-0.0-0.0-0.03-0.04-0.05-0.06-0.07-0.08-0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.490 0.4880 0.4840 0.480 0.476 0.47 0.468 0.464-0. 0.460 0.456 0.45 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.435 0.486 0.447-0. 0.407 0.468 0.49 0.4090 0.405 0.403 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859-0.3 0.38 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.363 0.3594 0.3557 0.350 0.3483-0.4 0.3446 0.3409 0.337 0.3336 0.3300 0.364 0.38 0.39 0.356 0.3-0.5 0.3085 0.3050 0.305 0.98 0.946 0.9 0.877 0.843 0.80 0.776-0.6 0.743 0.709 0.676 0.643 0.6 0.578 0.546 0.54 0.483 0.45-0.7 0.40 0.389 0.358 0.37 0.96 0.66 0.36 0.06 0.77 0.48-0.8 0.9 0.090 0.06 0.033 0.005 0.977 0.949 0.9 0.894 0.867-0.9 0.84 0.84 0.788 0.76 0.736 0.7 0.685 0.660 0.635 0.6 -.0 0.587 0.56 0.539 0.55 0.49 0.469 0.446 0.43 0.40 0.379 gdy u 0. 58, to P P z 0. 58 z 0. 58 0. 80 z 0 7
Przykład Meęcze płace w fabryce mają potać rozkładu Gaua ze średą μ=380 zł odchyleem tadardowym σ=360 zł. Jake jet prawdopodobeńtwo, że loowo wybray pracowk zaraba: a) Mej ż 800 zł b) Węcej ż 3800 zł c) pomędzy 800 zł a 3800 zł μ= 380 σ= 360 z=(800-380)/360= -.33333 P(z<-.3333)= 0.09 z=(3800-380)/360=.444444 P(z>.4444)=P(z<-.4444)= 0.0743 P(800<<3800)=P(-.3333<z<.4444)=-P(z<-.3333)-P(z<-.4444)= =-0.09-0.0743=0.8345 8
Cetrale Twerdzee Gracze Jeżel jet średą N ezależych zmeych,, gdze =,,3,...,N, pochodzących z rozkładu o wartośc środkowej μ waracj σ, to rozkład dla (a) ma wartość oczekwaą < > = μ, (b) ma warację V( ) = σ /N (c) przyjmuje potać rozkładu Gaua, gdy N N N N Woek: Odchylee tadardowe dla średej jet mejze ż dla rozkładu pojedyczych pomarów 9
Przedzał dla wartośc środkowej W er =44 pomarów średa wyo a etymata odchylea tadardowego 9. Wyzacz przedzał, w którym wartość środkowa rozkładu zajduje ę z prawdopodobeńtwem 0.95. Rozwązae: 60 9 44 0.75 Dla P=0.95 z krytycza =.96 P P.96.96 0.95.96* 0.75 60.96* 0.75 P60.5 60.5 58.5 6.5 0. 95 P 60 0
Pozomy ufośc totośc α/ -α α/ -Z α/ Z α/ Cetraly przedzał ufośc = μ ± Z α/ * σ α wpółczyk totośc (-α) wpółczyk ufośc Z α/ wartość krytycza
Lczebość próbk Cel: określ cetraly przedzał ufośc dla wartośc środkowej ( ± d), gdze d jet dae, a pozome ufośc (-α): d Z Z d Z d Z d
Lczebość próbk - przykład Załóżmy, że płatk owae paczkowae ą zgode z rozkładem Gaua z wartoścą środkową 350 g odchyleem tadardowym 3 g. Ile paczek ależy loowo wybrać, aby określć ch średą wagę z dokładoścą ± g a pozome ufośc (-α) = 0.99? If P( Z.58 0.99 Z 3 / ) 5 0.005 0.005, the Z.58 3
Tet tatytyczy dla μ tetowae hpotezy Czy wartość środkowa dla populacj wyo μ 0? Tet tatytyczy jet oparty o kocepcję dowodu przez zaprzeczee kłada ę z 5 częśc:. Hpoteza zerowa ozaczoa H 0.. Hpoteza alteratywa ozaczoa H a. 3. Tet tatytyczy ozaczoy T.S. 4. Obzar odrzucea ozaczoy O.O. 5. Woek 4
Przykład Tet zużyca palwa dla 00 amochodów: 6.8l / 00km 0.80l / 00km Czy a pozome totośc α=0.05 możemy zaakceptować zużyce palwa μ 0 =6,0 l/00km podae przez produceta? H H 0 a : : T.S. Rozkład Gaua O.O. 0 0 Z.65 Z Z Z 0 6.8 6.0 0.80 00.65 0.5 Woek: odrzucamy hpotezę zerową 5
Przykład W 49 pokojach zamku średa temperatura wyo: t 0.80 C przy 0.35 Na czujkach kotrolych temperaturę utawoo a ºC. Czy a pozome totośc α=0.05 możemy twerdzć, że czujk pracują poprawe? H H 0 a : : t 0 0 Z t 0 0.80 Z 0.35 Z.96 Z. 96 T.S. Rozkład Gaua R.R. t C.00 49 4.0 Woek: odrzucamy hpotezę zerową 6
H H Z 0 a : ) : ) 3) 0 0 0 0 0 Podumowae ( 0 tet tet dae ) jedotroy dwutroy O.O. a pozome totośc α. H 0 odrzucoa, jeżel: )Z )Z 3 ) Z Z Z Z 7
Błędy I II rodzaju Zaady podejmowaa decyzj przy tetach tatytyczych Sta rzeczywty Decyzja H 0 prawdzwa H 0 fałzywa H 0 odrzucoa Błąd I rodzaju α Poprawe: P=-β H 0 e odrzucoa Poprawe: -α Błąd II rodzaju β α pozom totośc -β moc tetu β prawdopodobeńtwo eodrzucea fałzywej hpotezy H 0 Hpoteza zerowa H 0 Hpoteza alteratywa H a α β PRZYJĘTA ODRZUCONA PRZYJĘTA ODRZUCONA 8
Błędy I II rodzaju H 0 : μ=6. H a : μ=6.3 Odchylee tadardowe średej = 0. Jak moża rozróżć obe hpotezy? β 6. 6.3 5.7 6.7 α 9
Jak zwękzyć moc tetu? β P=-β 5.7 6.7 00 0. 400 0.05 5.7 6.7 6. 6.3 30
3 Tet dla różcy dwóch środkowych μ - μ ) Obe populacje mają jedakowe waracje σ ) Porówuje ę dwe próbk, po jedej z każdej populacj 3) Czy wartośc środkowe obu populacj ą rówe? H 0 : μ - μ = 0 H a : μ - μ 0 pozom totośc = α Z α/ dla df = + - 0 Z
Tet dla μ - μ : przykład Wyk badań z dwóch ezależych laboratorów: 90.3 87.7 H 0 : μ - μ = 0 H a : μ - μ 0 9 7.3 Z α/ =.96 dla df = + -=9+-=0 Z 90.3 87.7.98 9 9.8 9.6 7.3 9.8 pozom totośc α=0.05 9.98 Z > Z α/ H 0 odrzucoa (wyk z obu laboratorów różą ę) 3
33 Etymata waracj z próbk 0 Jak wyzaczyć warację z małej próbk? Etymata odchylea tadardowego:
Rozkład t Studeta ) Stooway dla małych próbek etymata waracj ozacowaa z grubza ) Dla duzych próbek rozkład t zblża ę do rozkładu Gaua 3) Kztał rozkładu zależy od lczby top wobody df 4) Zapropooway przez Wllama Goeta w 900 roku Tet hpotezy: H 0 H a Pozom totośc α Próbka:,,, Etymata odchylea tadardowego Zmea zredukowaa: Wartość krytycza t α or t α/ 0 t or t Jeżel t> t α (tet jedotroy) lub t> t α/ (tet dwutroy), to H 0 odrzucoa 34
Rozkład t Studeta jedotroy 0.8 0.4 0. 0. 0.0 0.00 dwutroy 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.05 0.0 0.00 α df df 0.35 0.77.376 3.078 6.34.706 63.657 636.69 0.89 0.67.06.886.90 4.303 9.95 3.599 3 0.77 0.584 0.978.638.353 3.8 5.84.94 3 4 0.7 0.569 0.94.533.3.776 4.604 8.60 4 5 0.67 0.559 0.90.476.05.57 4.03 6.869 5 6 0.65 0.553 0.906.440.943.447 3.707 5.959 6 7 0.63 0.549 0.896.45.895.365 3.499 5.408 7 8 0.6 0.546 0.889.397.860.306 3.355 5.04 8 9 0.6 0.543 0.883.383.833.6 3.50 4.78 9 0 0.60 0.54 0.879.37.8.8 3.69 4.587 0 00 0.54 0.55 0.843.86.653.97.60 3.340 00 0.53 0.54 0.84.8.645.960.576 3.9 35
Rozkład t Studeta - przykład Tet 9 profeorów daje średą wartość IQ 8, z odchyleem tadardowym 5. Jak jet 95% przedzał ufośc dla rzeczywtej średego IQ wzytkch profeorów? 9 df 9 8 5 9 5 Dla rozkładu Gaua grace wyołyby 8 ±,96, Tz. <8, ; 37,8> Dla rozkładu Studeta krytycza wartość t α/ dla df = 8 wyo,306 Grace ą zerze <6,5 ; 39,5> 36
Tet χ dobroc dopaowaa Daym jet zbór ezależych pomarów N par lczb y, przy czym wartośc ą dokłade, a każda wartość y zmerzoa jet z błędem σ. Fukcja f() daje dealą (modelową) wartość y dla daego. Wtedy χ wyo: N y f df = N- P(χ ) N α χ 37
Tet χ dobroc dopaowaa Tetujemy lczbę zdarzeń ależących do -tej kategor. Zdarzea podlegają rozkładow Pooa. N E E rzeczywta lczba zdarzeń w -tej kategor E teoretycza lczba zdarzeń w -tej kategor df = N - Przykład: tet dobroc kotk do gry w 300 próbach a pozome α=0, Wyk 3 4 5 6 5 46 59 44 48 5 E 50 50 50 50 50 50 H 0 : χ =0 H a : χ 0 χ =(5-50) /50 + (46-50) /50 + + (5-50) /50 =.84 df=6-=5 χ α =9.4 χ < χ α Kotka OK 38
Tet dla waracj populacj Zmeość populacj jet czaem bardzej tota ż jej wartość środkowa. Etymata waracj próbk: może być użyta do badaa waracj populacj σ. Welkość (-) /σ zachowuje ę zgode z rozkładem ch dla df=-. Przedzał ufośc dla σ określa erówość: gdze U L 39
Dola góra wartośc krytycze dla χ p(χ ) α/ α/ χ L χ U χ df=- 40
Przykład: cza reakcj kerowców Zmeość czau reakcj była tetowaa a grupe 7 kerowców a wyk w m ą atępujące: 0, 0, 35, 5, 8, 4 Określ przedzał dla waracj populacj σ dla czau reakcj a pozome ufośc -α = 0.90 8 05 6* 05.596 50.033 7. 9.6 df L 7 6 385.3.6354 6* 05.6354 0.05 U,596 4
Tet dla waracj dwóch populacj Czy waracje σ σ dla dwóch populacj ą rówe? Wedza o waracjach pochodz z dwóch ezależych próbek, z których oblcza ę etymatory waracj ad. Właścwośc rozkładu F :. F przyjmuje tylko wartośc dodate. F jet eymetryczy 3. Jet wele rozkładów F zwązaych z lczbą top wobody, df df, odpowedo dla. 4. Dla hpotezy zerowej σ =σ, rozkład F przyjmuje potać: 5. Tabele rozkładu zbudowae ą przy założeu, że > F F 4
Rozkład F 43
Tabele rozkładu F dla α=0.05 (tet jedotroy) df/df 3 4 5 6 7 8 9 0 6.4476 99.5 5.7073 4.583 30.69 33.986 36.7684 38.887 40.5433 4.887 8.58 9 9.649 9.4679 9.964 9.3953 9.353 9.37099 9.38483 9.3959 3 0.796 9.55094 9.7668 9.78 9.03455 8.940645 8.886743 8.84538 8.83 8.78555 4 7.708647 6.9447 6.5938 6.38833 6.56057 6.633 6.094 6.04044 5.998779 5.96437 5 6.60789 5.78635 5.40945 5.968 5.05039 4.95088 4.87587 4.883 4.77466 4.735063 6 5.987378 5.4353 4.757063 4.533677 4.387374 4.83866 4.06658 4.46804 4.09906 4.059963 7 5.59448 4.73744 4.34683 4.03 3.9753 3.865969 3.787044 3.7575 3.676675 3.63653 8 5.37655 4.45897 4.0668 3.837853 3.687499 3.58058 3.500464 3.4380 3.3883 3.34763 9 5.7355 4.56495 3.86548 3.633089 3.48659 3.373754 3.9746 3.9583 3.78893 3.378 0 4.964603 4.08 3.70865 3.47805 3.35835 3.775 3.35465 3.07658 3.00383.97837 4.844336 3.9898 3.587434 3.35669 3.03874 3.09463 3.033.94799.8963.85365 4.7475 3.88594 3.49095 3.5967 3.05875.996.93358.848565.796375.753387 3 4.66793 3.805565 3.40534 3.797 3.05438.9569.83098.76693.74356.6704 4 4.600 3.73889 3.343889 3.5.95849.84776.76499.69867.64579.6055 5 4.543077 3.683 3.8738 3.055568.9095.790465.70667.640797.58766.54379 44
Przykład: tet trwałośc lekartwa Badao kuteczość lekartwa po roku. Porówao próbkę wzętą z l produkcyjej z ą po roczym przechowywau (α=0.0). Próbka : Próbka : 0 0 0.37 9.83 0.058 0.05 H H 0 a T.S.: R.R. : : F 0.05 0.058 for 0.0 F.8 0.0,9,9 5.35 Hpotezy zerowej H 0 e moża odrzucć (F<F crtcal ) 45
Tet a ormalość rozkładu Tet Q-Doa Tet Grubba Tet Kołmogorowa - Smrowa z poprawką Lllefora, która jet oblczaa, gdy e zamy średej lub odchylea tadardowego całej populacj. Tet Shapro - Wlka - ajbardzej polecay, ale może dawać błęde wyk dla próbek wękzych ż ty. 46
Błąd gruby tet Deaa Doa Oblczamy parametr Q według wzoru: Q gdze y - wyk wątplwy, y - wyk mu ajblżzy, R - rozrzut wyków. Wartośc krytycze parametru Q tetu Deaa Doa Lczba wyków Pozom ufośc -α 0.90 0.95 0.98 0.99 3 0.886 0.94 0.97 0.988 4 0.679 0.765 0.846 0.889 5 0.557 0.64 0.79 0.760 6 0.48 0.560 0.644 0.698 7 0.434 0.507 0.586 0.637 8 0.399 0.468 0.543 0.590 9 0.370 0.437 0.50 0.555 0 0.349 0.4 0.483 0.57 y R y Wyk wątplwy ależy odrzucć, jeżel oblczoy parametr Q jet wękzy od odczytaej z tablcy krytyczej wartośc dla wybraego pozomu totośc. 47