1. Przekształcenia dwuliniowe oraz formy kwadratowe

1. Przekształcenia dwuliniowe oraz formy kwadratowe Niech K będzie dowolnym ciałem (zwykle będziemy przyjmować K = R lub K = Q). Oznaczmy przez M n m (K) zbiór wszystkich macierzy prostokątnych a 11... a 1m A = [a ij ] 1 i n, 1 j m =..... a n1... a nm o współczynnikach w ciele K. Ponadto niech M n (K) = M n n (K). Dla danej macierzy A symbolem A tr lub A T oznaczamy macierz transponowaną do macierzy A. Symbolem E oznaczamy macierz diagonalną, której współczynnikami głównej przekątnej są 1. Przez 0 oznaczamy macierz, której wszystkie współczynniki są równe 0. 1.1. Przekształcenia dwuliniowe Niech V 1, V 2, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Funkcję f : V 1 nazywamy przekształceniem liniowym, jeśli spełnione są warunki W 1. dla wszystkich v 1, v 2 V 1 zachodzi f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ), 2. dla wszystkich v V 1, a K zachodzi f(a v) = a f(v). Funkcję f : V 1 V 2 W nazywamy przekształceniem dwuliniowym, jeśli dla wszystkich v 1 V 1 oraz v 2 V 2 funkcje f(v 1, ) : V 2 W oraz f(, v 2 ) : V 1 W są przekształceniami liniowymi. Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Dowolne przekształcenie liniowe f : V K nazywamy funkcjonałem liniowym. Dowolne przekształcenie liniowe f : V W K nazywamy funkcjonałem dwuliniowym. Funkcjonał dwuliniowy f : V V K nazywamy symetrycznym, jeśli dla wszystkich v 1, v 2 V zachodzi f(v 1, v 2 ) = f(v 2, v 1 ). Przykład 1.1. Niech, : K n K n K będzie określony wzorem (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) = x i y i i=1 (standardowy iloczyn skalarny) jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym. W dalszym ciągu będziemy zakładać, że dim K V = n < oraz, że f : V V K jest funkcjonałem dwuliniowym. Ustalmy bazę v = {v 1,..., v n } przestrzeni V. Macierz Mf v M n (K) taką, że (Mf v ) ij = f(v i, v j ) nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego f w bazie v. 1

Przykład 1.2. (a) Niech e = {e 1,..., e n } będzie bazą standardową przestrzeni K n, tzn. e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1). Rozważmy funkcjonał dwuliniowy, zdefiniowany w Przykładzie 1.1. Łatwo pokazać, że 1 0... 0 0 0 1... 0 0 M, e = E =....... 0 0... 1 0 0 0... 0 1 Wtedy (b) Niech f : R 3 R 3 R będzie funkcjonałem określonym wzorem 3 f((x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 )) = x i y i 2x 1 y 2 x 3 y 2. i=1 M e f = 1 2 0 0 1 0 0 1 1 Zauważmy, że (x 1, x 2, x 3 ) M e f (y 1, y 2, y 3 ) tr = 3 i=1 x i y i 2x 1 y 2 x 3 y 2 = f((x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 )). Wniosek 1.3. Niech v = {v 1,..., v n } będzie dowolną bazą przestrzeni V. Funkcjonał dwuliniowy f : V V K jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz Mf v jest symetryczna. Uwaga 1.4. Niech A = (a ij ) M n (K) będzie macierzą. Wtedy funkcja f : K n K n K określona wzorem f(x, y) = x A y tr jest funkcjonałem dwuliniowym takim, że Mf e = A. Ponadto f((x 1,..., x n ), (y 1,..., y n )) = x A y tr = a ij x i y j.. 1.2. Określoność funkcjonałów dwuliniowych Definicja 1.5. Funkcjonał dwuliniowy f : K n K n K nazywamy rzeczywistym (odp. wymiernym), jeśli K = R (odp K = Q). Definicja 1.6. Rzeczywisty funkcjonał dwuliniowy f : R n R n R nazywamy (a) dodatnio określonym, jeśli f(v, v) > 0 dla wszystkich 0 v R n, (b) nieujemnie określonym, jeśli f(v, v) 0 dla wszystkich v R n, (c) nieokreślonym, jeśli istnieje v R n taki, że f(v, v) < 0. Twierdzenie 1.7 (Kryterium Sylvestera). Niech f : R n R n R będzie funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym oraz niech Mf e = (a ij ). Funkcjonał f jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich k = 1,..., n, minory a 11 a 12... a 1k (Mf e a 21 a 22... a 2k ) k =...... a k1 a k2... a kk są dodatnie. 2 i,j=1

Przykład 1.8. Założenie o symetryczności funkcjonału w Twierdzeniu 1.7 jest istotne. Świadczy o tym następujący przykład. Niech f : R 2 R 2 R będzie funkcjonałem określonym wzorem f((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 1 x 1 y 2 + x 2 y 1. Wtedy f((0, 1), (0, 1)) = 0, więc f nie jest dodatnio określony. Zauważmy, że f nie jest też symetryczny. Z drugiej strony [ ] 1 1 Mf e =, 1 0 więc (M e f ) 1 = 1 > 0 oraz det M e f = 1 > 0. Twierdzenie 1.9. Niech f : R n R n R będzie funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym oraz niech M e f = (a ij ). Funkcjonał f jest nieujemnie określony wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich k = 1,..., n oraz {i 1,..., i k } {1,..., n}, minory są nieujemne. a i1 i 1 a i1 i 2... a i1 i k (Mf e a i2 i ) i1,...,i k = 1 a i2 i 2... a i2 i k...... a ik i 1 a ik i 2... a ik i k Zadanie na ćwiczenia. Dla symetrycznego dwuliniowego funkcjonału f opracować algorytm sprowadzania macierzy Mf e do postaci diagonalnej D = [d ij ] tak, aby spełnione były warunki 1. Funkcjonał f jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy d ii > 0 dla wszystkich i = 1,..., n. 2. Funkcjonał f jest nieujemnie określony wtedy i tylko wtedy, gdy d ii 0 dla wszystkich i = 1,..., n. 1.3. Formy kwadratowe Definicja 1.10. Formą kwadratową nazywamy funkcję q : K n K postaci q(x 1,..., x n ) = i,j=1 a ij x i x j. Jeżeli K = R (odp. K = Q), to formę q nazywamy rzeczywistą (odp. wymierną). Zauważmy, że jeśli f : K n K n K jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym, to f((x 1,..., x n ), (y 1,..., y n )) = n i,j=1 b ij x i y j, gdzie b ij = b ji. Zatem funkcja q : K n K określona wzorem jest formą kwadratową. Ponadto q(x 1,..., x n ) = f((x 1,..., x n ), (x 1,..., x n )) = i,j=1 b ij x i x j q(x + y) = f(x + y, x + y) = f(x, x) + f(x, y) + f(y, x) + f(y, y), 3

a więc q(x + y) q(x) q(y) = f(x, y) + f(y, x) = 2f(x, y). Zauważmy również, że dla a K, mamy q(ax) = f(ax, ax) = a 2 f(x, x) = a 2 q(x). Niech chark 2. Jeśli q : K n K jest formą kwadratową, to funkcja b q : K n K n K określona wzorem b q (x, y) = 1 (q(x + y) q(x) q(y)) jest funkcjonałem dwuliniowym 2 symetrycznym. Konwencja. W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że dla formy q(x 1,..., x n ) = a ij x i x j zachodzi a ij = a ji. Wtedy q(x 1,..., x n ) = i,j=1 a ii x 2 i + 2a ij x i x j = b i x 2 i + b ij x i x j, i=1 i<j=1 i=1 i<j=1 gdzie b i = a ii oraz b ij = 2a ij dla i j. Definicja 1.11. Macierzą Grama formy kwadratowej q : R n R q(x 1,..., x n ) = a ii x 2 i + a ij x i x j i=1 i<j=1 nazywamy macierz postaci M q = 1 a 11 1 a 1 2 12... a 1 2 12 a 22......... 1 a 1 2 n1 a 2 n2... a nn 2 a 1n 2 a 2n. Zauważmy, że M q = M e b q. Istotnie, b q (e i, e i ) = 1 2 (q(2e i) 2q(e i )) = q(e i ) = a ii oraz 2 b q (e i, e j ) = q(e i + e j ) q(e i ) q(e j ) = a ii + a jj + a ij a ii a jj = a ij dla i j. Definicja 1.12. Rzeczywistą formę kwadratową q : R n R nazywamy (a) dodatnio określoną, jeśli q(v) > 0 dla wszystkich 0 v R n, (b) nieujemnie określoną, jeśli q(v) 0 dla wszystkich v R n, (c) nieokreśloną, jeśli istnieje v R n taki, że q(v) < 0. 4

Wniosek 1.13. Forma kwadratowa q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcjonał dwuliniowy b q jest dodatnio określony (odp. nieujemnie określony). Z powyższego wniosku wynika, że aby sprawdzić dodatnią (nieujemną) określoność formy kwadratowej można skorzystać z kryterium opisanego w Twierdzeniu 1.7 (Twierdzeniu 1.9). Uwaga 1.14 Zauważmy, że dla każdego i = 1,..., n mamy 2 b q (e i, x) = 2 b q (x, e i ) = q(x + e i ) q(e i ) q(x) =... jest równe pochodnej cząstkowej funcji q(x) względem zmiennej x i. 1.4 Grafy oraz formy kwadratowe Niech q : R n R będzie formą kwadratową postaci q(x) = x 2 i + a ij x i, x j, a ij R. i=1 i<j Z formą q stowarzyszamy graf ważony nieskierowamy G q = (G 0, G 1, w) w następujący sposób. Zbiór wierzchołków G 0 = {1,..., n}, zbiór krawędzi: G 1 = {i j ; a ij 0}, wagą krawędzi i j jest a ij. Zauważmy, że w ten sposób otrzymaliśmy jednoznaczą odpowiedniość pomiędzy grafami ważonymi (takimi, że każda ich krawędź ma niezerową wagę) oraz formami kwadratowymi powyższej postaci. Definicja 1.15 Formę kwadratową q nazywamy spójną, jeśli graf G q jest spójnym grafem. Zadanie na ćwiczenia. Opracować algorytm sprawdzania spójności formy oraz jej rozkładu na spójne składowe. Przykład 1.16 Składowe spójności formy q. Innym sposobem kodowania formy kwadratowej będą posety (zbiory częściowo uporządkowane). Niech I = (I, ) będzie skończonym zbiorem częściowo uporządkowanym (posetem), gdzie I = n oraz jest relacją częściowego porządku. Piszemy i j jeśli i j oraz i j. Niech max I oznacza zbiór elementów maksymalnych posetu I tzn. takich elementów p I, że nie istnieje i I spełniający p i. Niech I = I \max I. Z posetem I stowarzyszamy całkowitą formę kwadratową q I : Z n Z postaci q I (x 1,..., x n ) = x 2 i + x i x j i I i j I p max I( x i )x p. i p Zauważmy, że poset może być zakodowany za pomocą kołczanu. Kołczanem Hasse posetu I nazywamy kołczan H I taki, że (H I ) 0 = I oraz istnieje strzałka i j (H I ) 1 wtedy i tylko wtedy gdy i j oraz relacja ta jest minimalna. Uwaga 1.17 Proszę zwrócić uwagę, na różnice i podobieństwa kołczanu Hasse posetu I oraz grafu G qi formy q I. 5

1.5. Algorytm Lagrange a Rozważmy formę kwadratową q : K n K, gdzie K = Q lub K = R. Poniżej przedstawimy algorytm Lagrange a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej. Sprowadzanie słabo nieujemnej formy kwadratowej do powyższej postaci jest zawsze możliwe w myśl poniższego twierdzenia. Twierdzenie 1.18. Niech 0 q : K n kwadratową postaci q(x 1,..., x n ) = K (K = R lub K = Q) będzie formą i,j=1 a ij x i x j Istnieją b i K oraz s ij K takie, że macierz (s ij ) M n (K) jest nieosobliwa oraz gdzie y i = s i1 x 1 +... + s in x n dla i = 1,..., n. q(x 1,..., x n ) = b 1 y 2 1 +... + b n y 2 n, Dowód (Metoda Lagrange a). Przeprowadzimy indukcję względem n. Dla n = 1 dowód jest oczywisty, ponieważ q(x 1 ) = a 11 x 2 1. Niech n > 1. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb mniejszych od n. Załóżmy ponadto, że q(x) = a ij x i x j i,j=1 oraz a ij = a ji. Rozważmy teraz przypadek, w którym przynajmniej jeden ze współczynników a ii jest niezerowy. Bez straty ogólności możemy założyć, że jest to a 11. Mamy wówczas i,j=1 a ij x i x j = a 11 x 2 1 + 2x 1 (a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n ) + G(x 2,..., x n ). Zauważmy, że wyrażenie G nie zależy już od zmiennej x 1. Wykorzystując wzór skóconego mnożenia oraz modyfikując G otrzymujemy a 11 (x 2 1 + 2x 1 ( a 12 a 11 x 2 +... + a 1n a 11 x n ) + ( a 12 a 11 x 2 +... + a 1n a 11 x n ) 2 ) + G 1 (x 2,..., x n ). Wszystkie dodatkowe składniki, powstałe przy ostatnim przekształceniu, włączyliśmy do G 1. Łatwo zauważyć, że G 1 nie zależy od x 1. Dalej otrzymujemy a 11 (x 1 + ( a 12 a 11 x 2 +... + a 1n a 11 x n )) 2 + G 1 (x 2,..., x n ) = b 1 y 2 1 + G 1 (x 2,..., x n ), gdzie b 1 = a 11 oraz y 1 = x 1 + ( a 12 a 11 x 2 +... + a 1n a 11 x n ). Do wyrażenia G 1 (x 2,..., x n ) stosujemy założenie indukcyjne. Rozważmy teraz przypadek, w którym a ii = 0 dla i = 1, 2,..., n. Ponieważ q 0, więc nie wszystkie a ij = 0. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że a 12 0, i wtedy mamy: q(x 1,..., x n ) = 2a 12 x 1 x 2 + H(x 1,..., x n ) = 1 2 a 12[(x 1 + x 2 ) 2 (x 1 x 2 ) 2 ] + H(x 1,..., x n ). 6

Zauważmy, że w H(x 1,..., x n ) nie występuje składnik x 1 x 2. Dokonujemy podstawienia y 1 = x 1 + x 2 y 2 = x 1 x 2 y i = x i, i > 2 i otrzymujemy q(x) = a 12 2 (y2 1 y2) 2 + H 1 (y 1,..., y n ). Ponieważ w wyrażeniu H nie występował składnik x 1 x 2, więc sprowadziliśmy omawiany przypadek do poprzedniego. Zauważmy, że wszystkie zamiany zmiennych dokonywane były za pomocą odwracalnych przekształceń liniowych. Zatem macierz (s ij ) M n (K) jest nieosobliwa. To kończy dowód twierdzenia Wniosek 1.19. Niech q : R n R będzie formą kwadratową postaci oraz niech q(x 1,..., x n ) = i,j=1 a ij x i x j q(x 1,..., x n ) = b 1 y 2 1 +... + b n y 2 n, gdzie y i, b i, s ij są jak w Twierdzeniu 1.18. Forma q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy, gdy b i > 0 (odp. b i 0) dla wszystkich i = 1,..., n. Dowód. Zauważmy, że jeśli b i > 0 dla i = 1,..., n, to dla wszystkich x 0 mamy q(x 1,..., x n ) = b 1 y1 2 +... + b n yn 2 > 0, a więc q jest dodatnio określona. Przypuśćmy, że forma q jest dodatnio określona oraz, że istnieje b i 0. Bez straty ogólności możemy założyć, że b 1 0. Rozwiązujemy nieosobliwy układ równań y 1 = 1, y 2 = 0,..., y n = 0 ze względu na zmienne x 1,..., x n. Niech x będzie takim rozwiązaniem, wtedy q(x) = b 1 0. Forma q nie jest więc dodatnio określona, wbrew założeniu. Zatem b i > 0 dla i = 1,..., n. Dowód w przypadku nieujemnej określoności przebiega analogicznie. Twierdzenie 1.20. Forma kwadratowa q : R n R jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie wartości własne macierzy M q są dodatnie (odp. nieujemne). Dowód. Ponieważ M q jest symetryczną rzeczywistą macierzą, więc istnieje macierz ortogonalna U (tzn. U tr = U 1 ) taka, że A = UM q U tr jest macierzą diagonalną. Zauważmy, że na przekątnej macierzy A znajdują się jej wartości własne. Pokażemy, że λ jest wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest wartością własną macierzy M q. Istotnie, niech λ będzie wartością własną macierzy A. Istnieje wtedy wektor x taki, że Ax = λx. Wtedy Ax = UM q U tr x = λx, a więc M q (U tr x) = λu 1 x = λ(u tr x). Zatem λ jest wartością własną macierzy M q. Odwrotnie, niech λ będzie wartością własną macierzy M q. Istnieje x taki, że M q x = λx. Ponieważ macierz U jest odwracalna, więc istnieje y taki, że x = U tr y. Stąd M q x = M q U tr y = 7

λx = λu tr y = λu 1 y. Ostatecznie UM q U tr y = λy. Pokazaliśmy, że λ jest wartością własną macierzy UM q U tr. Pokażemy teraz, że q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy, gdy xum q U tr x tr > 0 dla wszystkich x 0 (odp. xum q U tr x tr 0 dla wszystkich x). Istotnie, jeżeli q jest dodatnio określona, to xm q x tr > 0 dla x 0. Stąd łatwo wynika, że (xu)m q (xu) tr > 0 dla x 0. Odwrotnie, jeśli xum q U tr x tr > 0 dla x 0, to z faktu, że macierz U jest odwracalna wynika, że xm q x tr > 0 dla x 0. Dowód w przypadku nieujemnej określoności przebiega analogicznie. Teraz już łatwo jest udowodnić tezę twierdzenia. Wniosek 1.21. Niech B będzie macierzą odwracalną. Forma q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy, gdy xbm q B tr x tr > 0 dla x 0 (odp. xbm q B tr x tr 0 dla x). Dowód. Wniosek z dowodu z poprzedniego twierdzenia. 1.6. rad K q oraz Ker K q Definiujemy dwa zbiory oraz Ker q = Ker K q = {x K n ; q(x) = 0} K n n rad K q = {x K n ; b q (e 1, x) = b q (e 2, x) =... = b q (e n, x) = 0} = Ker K b q (e i, ) K n. i=1 Zbiór Ker q nazywamy jądrem formy q, zbiór rad q = rad K q nazywamy radykałem formy kwadratowej q. Lemat 1.22. Niech q : R n R będzie formą kwadratową. Zachodzą następujące warunki (a) rad q jest podprzestrzenią liniową w R n, (b) rad q Ker q. Dowód. (a) Zauważmy, że v rad q wtedy i tylko wtedy, gdy v jest rozwiązaniem b q (e 1, v) = 0 jednorodnego układu równań liniowych.... Zatem rad q jest podprzestrzenią b q (e n, v) = 0 liniową w R n. (b) Niech v = λ 1 e 1 +... + λ n e n R n. Jeśli v rad q, to mamy q(v) = b q (v, v) = λ 1 b q (e 1, v) +... + λ n b q (e n, v) = 0. Zatem v Ker q. Lemat 1.23. Niech q : R n R będzie całkowitą formą kwadratową. Jeśli q jest nieujemnie określona, to Ker q jest podprzestrzenią liniową w R n oraz Ker q = rad q. 8

Dowód. Niech v, w Ker q. Pokażemy, że wówczas v + w Ker q. Ponieważ q(v) = 0 oraz q(w) = 0, więc 2b q (v, w) = q(v + w) q(v) q(w) = q(v + w) oraz 2b q (v, w) = 2b q (v, w) = q(v w). Dodając te równania stronami, dostajemy q(v w) + q(v + w) = 0. Ponieważ forma q jest nieujemnie określona, więc q(v+w) 0 oraz q(v w) 0. Ostatecznie q(v + w) = q(v w) = 0, więc v + w Ker q. Ponadto q(av) = a 2 q(v) = 0, jeśli a K. Ostatecznie Ker q jest podprzestrzenią liniową w R n. Pozostało udowodnić równość Ker q = rad q. Na podstawie Lematu 1.22 wystarczy pokazać, że Ker q rad q. Niech v R n będzie takie, że q(v) = 0. Ponieważ forma q jest nieujemnie określona, więc q posiada w punkcie v minimum lokalne. Zatem wszystkie pochodne cząstkowe dq dx i (v) = 2b q (e i, v) = 0 są w punkcie v równe zero. Ostatecznie v rad q. 2. Całkowite formy kwadratowe Funkcję q : Z n Z zadaną wzorem q(x 1,..., x n ) = a ii x i + a ij x i x j, gdzie a ij Z i=1 i<j nazywamy całkowitą formą kwadratową. 2.1. Formy stowarzyszone z grafami oraz posetami Niech Q = (Q 0, Q 1 ) będzie skończonym grafem skierowanym (kołczanem), gdzie Q 0 jest zbiorem wierzchołków (n = Q 0 oraz niech Q 0 = {1,..., n}), a Q 1 jest zbiorem strzałek. Z kołczanem Q stowarzyszamy całkowitą formę kwadratową q Q : Z n Z postaci q Q (x 1,..., x n ) = x 2 i x i x j. i Q 0 i j Q 1 Twierdzenie 2.1. Niech Q = (Q 0, Q 1 ) będzie spójnym kołczanem oraz niech q Q będzie formą kwadratową stowarzyszoną z Q. Forma q Q jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest jednym z kołczanów Dynkina A n, D n, E 6, E 7, E 8. Twierdzenie 2.2. Niech Q = (Q 0, Q 1 ) będzie spójnym kołczanem bez zorientowanych cykli oraz niech q Q będzie formą kwadratową stowarzyszoną z Q. Forma q Q jest nieujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest jednym z kołczanów Dynkina A n, D n, E 6, E 7, E 8 lub jednym z kołczanów Euklidesa Ãn, D n, Ẽ6, Ẽ7, Ẽ8. 2.2. Pierwiastki form kwadratowych Niech q : Z n Z będzie całkowitą formą kwadratową. Definicja 2.3. Wektor v Z n nazywamy (całkowitym) pierwiastkiem formy q jeśli q(v) = 1. Oznaczmy przez R q = {v Z n ; q(v) = 1} zbiór wszystkich pierwiastków formy q. 9

Pierwiastek v formy q taki, że v N n nazywamy dodatnim pierwiastkiem. Oznaczmy przez R + q = {v N n ; q(v) = 1} R q zbiór wszystkich dodatnich pierwiastków formy q. Pierwiastek v formy q taki, że v N n nazywamy ujemnym pierwiastkiem. Oznaczmy przez R q = {v N n ; q(v) = 1} R q zbiór wszystkich ujemnych pierwiastków formy q. Problem. 1) Opisać algorytm wyznaczający zbiory R q oraz R + q. 2) Podać kryterium, które sprawdza, czy zbiory R q oraz R + q są skończone. Niech q : Z n Z będzie całkowitą formą kwadratową postaci (2.4) q(x) = x 2 i + a ij x i x j. i=1 i<j Twierdzenie 2.5. Jeżeli całkowita forma kwadratowa postaci q(x) = x 2 i + a ij x i x j, gdzie a ij {0, 1} i=1 i<j jest dodatnio określona, to zbiór R q jest skończony oraz R q = R + q R q. Wniosek 2.6. Jeżeli Q jest kołczanem Dynkina, to zbiór R qq jest skończony. Definicja 2.7. Całkowitą formę kwadratową q nazywamy słabo dodatnią (odp. słabo nieujemną), jeśli q(v) > 0 dla wszystkich 0 v N n (odp. q(v) 0 dla wszystkich v N n ). Przykład 2.8. Rozważmy formę kwadratową q(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x 2 2 + 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2. Zauważmy, że q jest słabo dodatnia, ale nie jest dodatnio określona. Ponadto zbiory są skończone natomiast zbiór jest nieskończony. R + q = {(1, 0), (0, 1)} ; R q = {( 1, 0), (0, 1)} R q = {(x, x + 1), (x, x 1) ; x Z} 10

3. Słabo dodatnie formy kwadratowe i ich pierwiastki Niech q : Z n Z będzie słabo dodatnią formą kwadratową postaci 2.4. Zauważmy, że wektory e 1,..., e n są dodatnimi pierwiastkami formy q. Nazywamy je pierwiastkami prostymi. Dla i = 1,..., n, definiujemy funkcjonały liniowe D i q : Z n Z wzorem D i q(x) = 2b q (e i, x). Zauważmy, że D i q = dq dx i. Ponadto dla i = 1,..., n definiujemy formy kwadratowe q (i) : Z n 1 Z następująco q (i) (x 1,..., x n 1 ) = q(x 1,..., x i 1, 0, x i,..., x n 1 ). Dla x = (x 1,..., x n ) Z n oznaczmy przez x (i) = (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ) Z n 1. Zauważmy, że jeśli x i = 0, to q (i) (x (i) ) = q(x). Lemat 3.1. Jeżeli n 2 oraz forma q jest słabo dodatnia, to dla każdego i = 1,..., n forma q (i) jest słabo dodatnia. Dowód. Proste ćwiczenie. Twierdzenie 3.2 (Ovsijenko). Jeżeli x = (x 1,..., x n ) Z n jest dodatnim pierwiastkiem słabo dodatniej całkowitej formy kwadratowej postaci 2.4, to x i 6 dla każdego i {1,..., n}. Twierdzenie 3.3. Całkowita słabo dodatnia forma kwadratowa postaci 2.4 posiada skończenie wiele dodatnich pierwiastków. Dowód. Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z Twierdzenia 3.2. Ponieważ dowód Twierdzenia 3.2 jest trudny i długi poniżej przedstawimy inny dowód naszego twierdzenia. Zauważmy, że q możemy traktować jako funkcję q : R n R. Pokażemy, że q(x) > 0 dla wszystkich dodatnich x Q n. Istotnie, niech 0 < x = n m Qn. Wtedy n, m > 0 oraz q(x) = q( n ) = 1 q(n) > 0, gdyż q jest słabo dodatnia. Ponadto q(x) 0 dla wszystkich m m 2 dodatnich x R n. Istotnie, niech R n x > 0. Wtedy istnieje ci ag 0 < x n Q n taki, że lim n = x. Wówczas q(x) = q(lim n x n ) = lim n q(x n ) 0, ponieważ q jest funkcj a ci agł a. Przez indukcję ze wzgłędu na n stwierdzimy, że q(x) > 0 dla wszystkich dodatnich x R n. Dla n = 1 jest to oczywiste, ponieważ gdy r R jest takie, że r 0 mamy q(r) = r 2 q(1) > 0. Zakładamy, że istnieje słabo dodatnia forma q o n liczbie zmiennych (n 2) a także pewien dodatni wektor z = (z 1,..., z n ) R taki, że q(z) = 0. Zauważmy, że dla każdego i {1,..., n} mamy z i > 0. Istotnie gdyby istniało i takie, że z i = 0, to mielibyśmy q (i) (z (i) ) = q(z) = 0. Otrzymalibyśmy sprzeczność, ponieważ q (i) : R n 1 R jest słabo dodatnia, czyli na podstawie założenia indukcyjnego q (i) (z (i) ) > 0. Wnosimy więc, że wektor z znajduje się we wnętrzu dodatniego stożka R n oraz forma q posiada w punkcie z swoje lokalne maksimum. Zatem 0 = (D 1 q(z),..., D n q(z)) 11

Formy liniowe D i q posiadaj a współczynniki całkowite, czyli także wymierne. Wiemy także, że część wspólna ich jąder (w R n ) jest niezerowa, można pokazać, że istnieje z ni=1 KerD i q(x), który ma wymierne współczynniki. To przeczy faktowi, że q(x) > 0 dla wszystkich dodatnich x Q n. Zatem q(x) > 0 dla wszystkich dodatnich x R n. Niech U będzie zbiorem x R n takich, że x = 1, gdzie jest naturaln a norm a euklidesow a w R n. Zauważmy, że zbiór U = {x R n, x = 1} R n jest zbiorem domkniętym i zwartym (jest to strefa (n 1)-wymiarowa). Rozważmy teraz zbiór S = U R n 0, gdzie R n 0 = {x R n ; x 0}. Zbiór S jest zbiorem zwartym ponieważ jest on ograniczony oraz S U. Jako przekrój dwóch domkniętych zbiorów U i R n 0 zbiór jest również zbiorem domkniętym. Zajmijmy się funkcj a q 1 będ ac a ograniczeniem q do S tzn. q 1 jest postaci q 1 = q s : S R Funkcja q 1 jako funkcja ci agła na zbiorze zwartym jest ograniczona i osi aga swoje kresy. W szczególności istnieje element w S taki, że Zatem dla wszystkich dodatnich x R n q(w) = inf{q(v), v S}. q(w) q( x x ) = 1 x 2 q(x) q(y) i dlatego y = 1 dla wszystkich dodatnich pierwiastków y formy q. Z tego q(w) q(w) wnosimy, że jest tylko skończenie wiele dodatnich pierwiastków q. Twierdzenie 3.4 [Happel]. Jeśli forma kwadratowa postaci 2.4 posiada skończenie wiele dodatnich pierwiastków to jest słabo dodatnia. Dla każdego i = 1,..., n, definiujemy przekształcenie (3.5) σ i : Z n Z n następująco σ i (x) = x D i q(x) e i. Przekształcenia σ i nazywamy odbiciami. Lemat 3.6. Dla każdego i = 1,..., n, spełnione są następujące warunki. (a) σ i (ax + by) = aσ i (x) + bσ i (y), dla wszystkich a, b Z oraz x, y Z n. (b) σ 2 i = id Z n. (c) Jeśli x jest pierwiastkiem formy q, to σ i (x) jest również pierwiastkiem formy q. Dowód. (a) Zauważmy, że σ i (ax + by) = (ax + by) D i (ax + by)e i = a(x D i (x)e i ) + b(y D i (y)e i ) = = aσ i (x) + bσ i (y). 12

(b) Najpierw zauważmy, że σ i (e i ) = e i D i (e i )e i = e i 2b q (e i, e i )e i = e i 2e i = e i. Niech x Z n. Korzystając z powyższej równości oraz z (a) otrzymujemy σ i (σ i (x)) = σ i (x D i (x)e i ) = σ i (x) D i (x)σ i (e i ) = x D i (x)e i + D i (x)e i = x. (c) Niech x Z n będzie takie, że q(x) = 1. Pokażemy, że q(σ i (x)) = 1. Istotnie q(σ i (x)) = b q (σ i (x), σ i (x)) = b q (x D i q(x) e i, x D i q(x) e i ) = = b q (x, x) 2b q (D i (x)e i, x) + b q (D i (x)e i, D i (x)e i ) = 1 2D i (x)b q (e i, x) + (D i (x)) 2 b q (e i, e i ) = = 1 (D i (x)) 2 + (D i (x)) 2 = 1. To kończy dowód lematu. Uwaga 3.7. Zauważmy, że Lemat 3.6 (c) pozwala nam na konstrukcję pierwiastków formy kwadratowej. Dla formy postaci (2.4) możemy zacząć od pierwiastków prostych e 1,..., e n, a następnie korzystając z odbić konstruować pierwiastki σ i1... σ im (e j ). Przykład 3.8. Niech q(x 1, x 2 ) = x 2 1+x 2 2 3x 1 x 2. Zauważmy, że q nie jest słado dodatnia ani słabo nieujemna, gdyż q(1, 1) = 1. Przy pomocy odbić możemy konstruować pierwiastki formy q. Mamy Zatem D 2 (e 1 ) = 2b q (e 2, e 1 ) = q(1, 1) q(e 1 ) q(e 2 ) = 1 1 1 = 3. σ 2 (e 1 ) = e 1 + 3e 2 = (1, 3). Na podstawie Lematu 3.6 wiemy, że (1, 3) jest pierwiastkiem formy q. Ponadto D 1 (1, 3) = 2b q (e 1, (1, 3)) = q(2, 3) q(e 1 ) q((1, 3)) = 5 1 1 = 7, zatem σ 1 (1, 3) = (1, 3) + (7, 0) = (8, 3). Definicja 3.9. Niech q będzie formą kwadratową oraz niech z R q. Jeżeli istnieje ciąg odbić σ i1,..., σ im oraz j {1,..., n} takie, że z = σ i1... σ im (e j ), to z nazywamy pierwiastkiem Weyla formy q. Wektor x = (x 1,..., x n ) Z n nazywamy wiernym, o ile x i 0 dla wszystkich i = 1,..., n. Lemat 3.10. Jeżeli x jest pierwiastkiem formy kwadratowej q, to n i=1 x i D i q(x) = 2. Dowód. Niech x = (x 1,..., x n ) będzie pierwiastkiem formy kwadratowej q. Wtedy ni=1 x i D i q(x) = 2 n i=1 x i b q (e i, x) = 2b q ( n i=1 x i e i, x) = = 2b q (x, x) = 2q(x) = 2, ponieważ q(x) = 1. Dowód lematu jest więc zakończony. 13

Lemat 3.11. Niech x = (x 1,..., x n ) będzie dodatnim pierwiastkiem słabo dodatniej formy kwadratowej q. Jeżeli i {1,..., n} jest takie, że x i 0 oraz x e i, to D i q(x) 1. Dowód. Niech x = (x 1,..., x n ) będzie dodatnim pierwiastkiem słabo dodatniej formy kwadratowej q. Niech i = 1,..., n będzie takie, że x i > 0 oraz x e i. Z naszych założeń wynika, że x + e i oraz x e i są również dodatnimi wektorami. Zatem 0 < q(x ± e i ) = q(x) + q(e i ) ± 2(e i, x) q = 1 + 1 ± D i q(x). Z powyższego wynikają nierówności 2 < D i q(x) < 2. Wniosek 3.12. Niech x = (x 1,..., x n ) będzie dodatnim pierwiastkiem słabo dodatniej formy kwadratowej q. Jeżeli x nie jest postaci e j, dla żadnego j = 1,..., n, to istnieje indeks i {1,..., n} taki, że x i 0 oraz D i q(x) = 1. Dowód. Na podstawie Lematu 3.10 istnieje i {1,..., n} takie, że x i D i q(x) 1. Ponieważ x jest dodatnim pierwiastkiem, więc x i 1 oraz D i q(x) 1. Zatem stosując Lemat 3.11 otrzymujemy D i q(x) = 1. Następujący fakt jest bezpośrednią konsekwencją Wniosku 3.12 oraz Lematu 3.6(c). Wniosek 3.13. Niech x = (x 1,..., x n ) będzie dodatnim pierwiastkiem słabo dodatniej formy kwadratowej q. Jeżeli x nie jest postaci e j, dla żadnego j {1,..., n}, to istnieje i {1,..., n} takie, że x i 0 oraz x e i jest dodatnim pierwiastkiem formy kwadratowej q. Lemat 3.14. Niech q : Z n Z, n > 1, będzie całkowitą formą kwadratową. Niech z oraz x będą pierwiastkami formy kwadratowej q. Jeżeli x = z ± e i, dla pewnego i = 1,..., n, to D i q(z) = 1. Dowód. Ponieważ x oraz z są pierwiastkami formy kwadratowej q, więc q(z) = q(x) = 1. Niech i = 1,..., n będzie takie, że x = z ± e i, wtedy Z tego zaś wynika równość D i q(z) = 1. 1 = q(x) = q(z ± e i ) = (z ± e i, z ± e i ) q = = q(z) ± 2(z, e i ) q + q(e i ) = = 1 + 1 ± D i q(z) = 2 ± D i q(z). Jako bezpośredni wniosek z Lematów 3.6 oraz 3.11 otrzymujemy następujący fakt. Wniosek 3.15. Niech q : Z n Z, n > 0, będzie formą kwadratową oraz niech z będzie pierwiastkiem q. Wektor z ± e i jest pierwiastkiem formy kwadratowej q wtedy i tylko wtedy, gdy D i q(z) = 1. Stwierdzenie 3.16. Niech q : Z n Z będzie słabo dodatnią, wierną formą kwadratową. Dla dowolnego wiernego, dodatniego pierwiastka z formy kwadratowej q istnieje ciąg z = x (1),..., x (m) dodatnich pierwiastków formy kwadratowej q taki, że (a) x (i) = x (i 1) e ji, dla każdego i = 2,..., m, oraz dla pewnego j i {1,..., n}, (b) pierwiastki x (1),..., x (m 1) są wierne, (c) x (m) j m = 0 oraz x (m) j > 0 dla j j m. 14

Dowód. Niech z = x (1) będzie wiernym, dodatnim pierwiastkiem słabo dodatniej formy kwadratowej q. Na podstawie Wniosku 3.12 istnieje j 2 {1,..., n} takie, że D j2 q(z) = 1. Zatem na mocy Wniosku 3.15 wektor x (2) = x (1) e j2 jest dodatnim pierwiastkiem formy kwadratowej q. Jeżeli x (2) j 2 0, to x (2) jest wierny oraz istnieje j 3 {1,..., n} takie, że x (3) = x (2) e j3 jest dodatnim pierwiastkiem formy kwadratowej q. W ten sposób konstruujemy ciąg x (1), x (2),... wiernych, dodatnich pierwiastków formy kwadratowej q spełniający wymagane warunki. Ponieważ q jest słabo dodatnia, więc posiada jedynie skończenie wiele dodatnich pierwiastków. Stąd istnieje m takie, że x (m) j m = 0 i dowód jest zakończony. Wniosek 3.17. Niech q : Z n Z będzie słabo dodatnią formą kwadratową. Dla dowolnego dodatniego pierwiastka z 0 formy kwadratowej q istnieje ciąg z = x (1),..., x (m) dodatnich pierwiastków formy kwadratowej q taki, że (a) x (i) = x (i 1) e ji dla i {2,..., m} oraz dla pewnego j i {1,..., n}, (b) x (m) = e j dla pewnego j {1,..., n}. Dowód. Wniosek otrzymujemy ze Stwierdzenia 3.16 przez zastosowanie indukcji. Na podstawie Wniosku 3.17 dodatnie pierwiastki słabo dodatnich form kwadratowych są pierwiastkami Weyla tych form kwadratowych. Poniżej przedstawimy sposób konstrukcji pierwiastków Weyla form kwadratowych, a więc i sposób konstrukcji wszystkich dodatnich pierwiastków słabo dodatnich form kwadratowych. Algorytm Idea algorytmu. Algorytm wyznacza zbiór R + q złożony ze wszystkich dodatnich pierwiastków formy q, jeśli jest ona słabo dodatnia. W przeciwnym wypadku zwraca informację, że dana forma nie jest słabo dodatnia. Algorytm wykorzystuje fakty przedstawione powyżej. Stosujemy nastepujące oznaczenia: 1. x = (x 1,..., x n ); 2. X = [a 1,..., a n ] - ciąg elementów a 1,..., a n ; 3. Y = a 1,..., a n - zbiór elementów a 1,..., a n ; 4. X [x] - dodanie elementu x w ten sposób, że X [x] = [a 1,..., a n, x] jesli x a i, dla wszystkich i {1,..., n} oraz X [x] = X w przeciwnym wypadku; 5. Y {y} - dodanie elementu y do zbioru Y ; 6. X \ [x] - usuniecie elementu x z ciagu X. Dane wejsciowe. Słabo dodatnia całkowita forma kwadratowa q : Z n Z postaci 2.4. Wynik. Zbiór R + q wszystkich dodatnich pierwiastków formy q. Opis Algorytmu. 1. X = [e 1,..., e n ], Y = {e 1,..., e n }; 15

2. while X <> [] do 3. for x in X { 4. wylicz wszystkie pochodne D 1 q(x),..., D n q(x); 5. if (D k q(x) > 2) then 6. { 7. if (D k q(x) = 1) then 8. { 9. if (x k + 1 6) then 10. { 11. X := X [x + e k ]; 12. Y := Y {x + e k }; 13. } 14. else 15. print: forma q nie jest słabo dodatnia ; break; 16. } 17. } 18. else 19. print: forma q nie jest słabo dodatnia ; break; 20. X := X \ x; 21. } 22. return Y. Stwierdzenie 3.18. Niech q : Z n Z będzie słabo dodatnią całkowitą formą kwadratową postaci (2.4). Powyższy algorytm, dla którego daną wejsciową jest forma q, po skończonej liczbie kroków zatrzyma się oraz Y = R + q. Dowód. Niech q : Z n Z będzie słabo dodatnią całkowitą formą kwadratową postaci (2.4). Zauważmy, że w trakcie wykonywania powyższego algorytmu konstruowana jest lista X, której elementami sa parami rózne dodatnie pierwiastki formy q. W przypadku, gdy w trakcie wykonywania algorytmu otrzymamy, ze D k q(x) 2 dla pewnego k oraz dla pewnego x X, wówczas algorytm konczy swoje działanie (patrz linia 5 algorytmu) oraz uzyskujemy informację, że forma q nie jest słabo dodatnia. Taka sama sytuacja zachodzi kiedy w trakcie wykonywania algorytmu uzyskany zostanie pierwiastek x formy q taki, że x i > 7 dla pewnego i = 1,..., n (patrz Twierdzenie 3.2 oraz linia 9). W trakcie wykonywania 16

petli for (zaczynajacej sie w linii 3) pracujemy z kolejnymi dodatnimi pierwiastkami formy q. Dla x X oznaczmy przez l(x) = n i=1 x i. Zauważmy, że w trakcie wykonywania algorytmu w linii 11 do listy X dodawany jest element y, który spełnia warunek l(y) > l(x) dla każdego x X. Łatwo stąd wywnioskowac, że do listy X nie zostanie dodany element, który wczesniej do niej należał. Zachodza dwa przypadki: (1) Lista X w trakcie wykonywania algorytmu zostanie wyczyszczona. Wtedy algorytm zakończy się w linii 2. (2) Lista X nie zostanie wyczyszczona. Wtedy z powyższych rozważań oraz z Twierdzenia 3.3 wynika, że ciag elementów listy X spełnia warunek l(a 1 ) l(a 2 ) l(a 3 )... oraz składa się z parami róznych elementów N n. Stąd istnieje x X taki, że x i > 7 dla pewnego i. Algorytm zatem zakonczy sie w linii 9. Jesli q jest słabo dodatnia, to dla kazdego x R + q istnieje ciag x = x(1),..., x(m) = e j (patrz Wniosek 3.17), którego konstrukcja odbywa sie w liniach 3-21. Zatem po wykonaniu algorytmu mamy R + q Y. Ponadto na mocy Lematu 3.6(c) mamy Y R + q, co kończy dowód. 4. Dodatnio określone całkowite formy kwadratowe Rozważmy wolną grupę abelową Z n. Funkcję σ : Z n Z n nazywamy automorfizmem grupy Z n jeśli spełnione są warunki: 1. dla wszystkich x, y Z n mamy σ(x + y) = σ(x) + σ(y), 2. istnieje funkcja τ : Z n spełniająca warunek 1 oraz taka, że σ τ = id Z n = τ σ. Niech q : Z n Z będzie całkowitą formą kwadratową postaci gdzie a ij Z. q(x 1,..., x n ) = a 11 x 2 1 +... + a nn x 2 n + i<j a ij x i x j, Definicja 4.1. Całkowite formy kwadratowe q, q : Z n Z są Z-równoważne jeśli istnieje automorfizm σ : Z n Z n grupy Z n taki, że q = q σ. Przykład 4.2. Rozważmy całkowite formy kwadratowe q, q : Z 2 Z określone wzorami q(x, y) = x 2 + 2xy + y 2 oraz q (x, y) = x 2 2xy + y 2. Zauważmy, że funkcja σ(x, y) = (x, y) jest automorfizmem grupy Z 2 oraz qσ(x, y) = q(x, y) = x 2 2xy + y 2 = q (x, y). Zatem formy q, q są Z-równoważne. Podobnie formy q(x, y) = x 2 + axy + y 2 oraz q (x, y) = x 2 axy + y 2 są Z-równoważne. Twierdzenie 4.3. Załózmy, że q : R n R jest funkcjonałem wymiernym. (a) q jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy q(y) > 0 dla dowolnego niezerowego wektora y Z n. (b) q jest nieujemnie określony wtedy i tylko wtedy, gdy q(y) 0 dla dowolnego wektora y Z n. (c) q jest nieokreślony wtedy i tylko wtedy, gdy q(x) < 0 dla pewnego niezerowego wektora x Z n. 17

Dowód. (a) Jeśli q : R n R jest dodatnio określony, to oczywiście ograniczenie q : Q n Q funkcjonału q do Q n jest funkcjonałem wymiernym dodatnio określonym, tzn. q(x) > 0 dla dowolnego niezerowego wektora x Q n. Z kryterium Sylvestera wynika, że przeciwna implikacja też jest prawdziwa. Jeśli funkcjonał q : Q n Q jest dodatnio określony, to w szczególności q(x) > 0 dla dowolnego niezerowego wektora x Z n. Załóżmy, że q(y) > 0 dla dowolnego niezerowego wektora y Z n. Pokażemy, że q(x) > 0 dla dowolnego niezerowego wektora x Q n. Niech x Q n będzie niezerowym wektorem wymiernym. Załóżmy, że x ma postać x = ( x 1 p 1, x 2 p 2,..., xn p n ), gdzie p 1, p 2,..., p n N \ {0} i x 1, x 2,..., x n Z. Jeśli p = NWW(p 1,..., p n ), to wektor y = px należy do Z n. Zatem zachodzi równość q(x) = q( 1 y) = ( 1 p p )2 q(y). Ponieważ ( 1 p )2 > 0 oraz q(y) > 0, więc q(x) > 0 dla dowolnego niezerowego wektora x Q n. (b) Jeśli funkcjonał q : R n R jest nieujemnie określony, tzn. q(x) 0 dla dowolnego wektora x R n, to oczywiście q(x) 0 dla dowolnego x Q n. Zatem funkcjonał q : Q n Q jest nieujemnie określony. Załózmy teraz, że q(x) 0 dla dowolnego x Q n oraz weźmy dowolny wektor y R n. Z Twierdzenia Weierstrassa wynika, że istnieje ciąg wektorów x (m) = 1,..., x (m) n ) Q n taki, że y = lim m x (m). Ponieważ funkcja q : R n R jest ciągła, więc q(y) = lim m q(x (m) ) 0, czyli q(y) 0 dla dowolnego y R n. Jeśli q : Q n Q jest nieujemnie określonym funkcjonałem wymiernym, tzn. q(x) 0 dla dowolnego wektora x Q n, to oczywiście q(x) 0 dla dowolnego x Z n. Załóżmy teraz, że q(y) 0 dla dowolnego y Z n. Niech x Q n będzie dowolnym niezerowym wektorem wymiernym. Załózmy, że (x (m) x ma postać x = ( x 1 p 1, x 2 p 2,..., xn p n ), gdzie p 1, p 2,..., p n N \ {0} i x 1, x 2,..., x n Z. Jeśli p = NWW(p 1,..., p n ), to wektor y = px należy do Z n. Zatem q(x) = q( 1 p y) = ( 1 p )2 q(y). Ponieważ ( 1 p )2 > 0 oraz q(y) 0, więc q(x) 0 dla dowolnego niezerowego wektora x Q n. (c) Funkcjonał kwadratowy q jest nieokreślony (tzn. q(x) < 0 dla pewnego x R n ) wtedy i tylko wtedy, gdy q nie jest nieujemnie określony. Zatem część (c) twierdzenia wynika w sposób oczywisty z (b) i dowód został zakończony. Stwierdzenie 4.4. Niech q, q : Z n Z będą Z-równoważnymi całkowitymi formami kwadratowymi. (a) q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy, gdy q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona). (b) q jest nieokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy q jest nieokreślona. (c) Niech x Z n. (i) q (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy q(σ(x)) = 0. (ii) q (x) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy q(σ(x)) = 1. Dowód. Niech q, q : Z n Z będą Z-równoważnymi całkowitymi formami kwadratowymi oraz niech σ : Z n Z n będzie automorfizmem grupy Z n takim, że q = q σ. (a) Na podstawie Twierdzenia 4.3 wiemy, że forma q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy, gdy q(x) > 0 dla wszystkich 0 x Z n (odp. q(x) 0 dla wszystkich x Z n ). Załóżmy, że q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona). Niech 0 x Z n, wtedy 0 σ(x) Z n. Rozważmy q (x) = q(σ(x)) > 0 (odp. q (x) = q(σ(x)) 0). Zatem q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona). Dowód przeciwnej implikacji jest analogiczny, gdyż q = q σ 1. (b) wynika z (a) oraz Twierdzenia 4.3. (c) Niech x Z n. Zauważmy, że q(σ(x)) = q (x). To kończy dowód (i) oraz (ii). 18

Wniosek 4.5. Niech q, q : Z n Z będą Z-równoważnymi całkowitymi formami kwadratowymi oraz niech σ : Z n Z n będzie automorfizmem grupy Z n takim, że q = q σ. (a) Automorfizm σ indukuje bijekcję gdzie σ 0 (x) = σ(x). (b) Automorfizm σ indukuje bijekcję gdzie σ 1 (x) = σ(x). σ 0 : Ker q Ker q, σ 1 : R q R q, Dowód. Niech q, q : Z n Z będą Z-równoważnymi całkowitymi formami kwadratowymi oraz niech σ : Z n Z n będzie automorfizmem grupy Z n takim, że q = q σ. (a) Na podstawie Stwierdzenia 4 funkcja σ 0 : Ker q Ker q jest dobrze określona. Ponieważ σ jest automorfizmem, więc σ 0 : Ker q Ker q jest funkcją różnowartościową. Pokażemy, że σ 0 jest surjekcją. Niech x Ker q. Wtedy istnieje y Z n taki, że x = σ(y). Mamy q (y) = q(σ(y)) = q(x) = 0, a więc y Ker q oraz x = σ 0 (y). Zatem σ 0 jest bijekcją. Dowód warunku (b) przebiega analogicznie jak dowód warunku (a). Uwaga 4.6. (a) Zauważmy, że σ 1 NIE przeprowadza dodatnich pierwiastków w dodatnie pierwiastki. (b) Zauważmy, że Z-równoważność form kwadratowych nie zachowuje słabej dodatniości. Przykład 4.7. Rozważmy formy q, q z Przykładu 4.2. Zauważmy, że wektor (1, 2) jest pierwiastkiem formy q natomiast wektor σ 1 (1, 2) = (1, 2) jest pierwiastkiem formy q. Ponadto forma q jest słabo dodatnia, a forma q nie jest słabo dodatnia. Bardzo użyteczne jest następujące twierdzenie. Twierdzenie 4.8. Całkowita forma kwadratowa q : Z n Z postaci 2.4 jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje graf Q o n wierzchołkach który jest rozłączną sumą diagramów Dynkina i taki, że forma q jest Z-równoważna z formą q Q : Z n Z stowarzyszoną z grafem Q. Dowód. Patrz [C. M. Ringel; p. 9]. Twierdzenie 4.9. Niech Q będzie spójnym diagramem Dynkina. Wtedy forma q Q jest dodatnio określona oraz R qq = R + q Q R q Q. Ponadto mamy (4.10) Q n R qq R + q Q n(n+1) 2 A n n n(n + 1) D n n 2n(n 1) n(n 1) E 6 6 72 36 E 7 7 126 63 E 8 8 240 120 19

Definicja 4.11. (a) Niech q : Z n Z będzie całkowitą formą kwadratową postaci q(x) = i,j a ij x i x j. Z formą q stowarzyszamy graf nieskierowany B q, który ma n wierzchołków {1,..., n}. Ponadto, dla i j {1,..., n}, w B q istnieje krawędź i j wtedy i tylko wtedy, gdy a ij 0. Formę q nazywamy spójną, jeśli graf B q jest spójny. (b) Niech q : Z n Z będzie całkowitą dodatnio określoną spójną formą kwadratową postaci 2.4. Typem Dynkina formy q nazywamy diagram Dynkina Q taki, że forma q jest Z-równoważna z formą q Q. Problem. W jaki sposób wyznaczyć typ Dynkina spójnej dodatnio określonej formy kwadratowej? Jednym ze sposobów może być wyznaczenie liczby wszystkich pierwiastków tej formy oraz skorzystanie z informacji zawartej w Tabeli 4.10. Dokładny algorytm (dla form kwadratowych postaci 2.4) podamy później. Twierdzenie 4.12. Niech q : Z n Z będzie dodatnio określoną formą kwadratową. Zbiór R q jest skończony. Twierdzenie 4.13. Niech q : Z n Z będzie dodatnio określoną formą kwadratową postaci 2.4 oraz niech x R q. Wtedy istnieją i 1,..., i m {1,..., n} oraz j {1,..., n} takie, że x = σ i1 σ i2... σ im (e j ). Uwaga 4.14. Zauważmy, że powyższe Twierdzenie 4.13 pozwala nam zmodyfikować Algorytm podany w Rozdziale 3. Dzięki temu możemy wyznaczać wszystkie pierwiastki dodatnio określonych form kwadratowych. Jednak trzeba pamiętać, że większość faktów przedstawionych w Rozdziale 3 dotyczyła tylko dodatnich pierwiastków słabo dodatnich form kwadratowych. Przykład 4.15. (a) Rozważmy formę kwadratową q : Z 4 Z postaci q(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 x 1 x 4 + x 2 x 4 x 3 x 4. Stosując odbicia możemy wyznaczyć zbiór R q = {e 1, e 2, e 3, e 4, (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), e 1, e 2, e 3, e 4, ( 1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), ( 1, 1, 0, 1), ( 1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), ( 1, 1, 1, 1), ( 1, 1, 1, 2)} Zauważmy, że n = 4 oraz R q = 24. Zatem, na podstawie Tabeli 4.10 wnioskujemy, że typ Dynkina formy q jest równy D 4. (b) Rozważmy formę kwadratową q : Z 4 Z postaci q(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 4. Stosując odbicia możemy wyznaczyć zbiór R q = {e 1, e 2, e 3, e 4, (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), e 1, e 2, e 3, e 4, ( 1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), ( 1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1), ( 1, 1, 1, 1)} Zauważmy, że n = 4 oraz R q = 20. Zatem, na podstawie Tabeli 4.10 wnioskujemy, że typ Dynkina formy q jest równy A 4. 20

Algorytm Dane. Dodatnio określona spójna całkowita forma kwadratowa q postaci 2.4. Wynik. Zbiór R q oraz typ Dynkina formy q. Opis algorytmu. (1) Niech D 0 {e 1,..., e n, e 1,..., e n }, S 0 D 0 oraz niech i 1. (2) Wyznaczamy zbiór D i = {σ j (x) ; x D i 1, j = 1,..., n} oraz przyjmujemy S i S i 1 D i. (3) Jeżeli S i = S i 1, to przechodzimy do (4), w przeciwnym wypadku przyjmujemy i i + 1 oraz wracamy do (2). (4) Koniec: R q = S i oraz typ Dynkina odczytujemy z Tabeli 4.10. Uwaga 4.16. Zauważmy, że w powyższym algorytmie jako dane wejściowe otrzymujemy dodatnio określoną spójną formę kwadratową postaci 2.4. Na podstawie Twierdzenia 4.13 wszystkie jej pierwiastki możemy wyznaczyć stosując odbicia. Zatem nasz algorytm wyznacza wszystkie pierwiastki formy q. Na podstawie Twierdzenia 4.12 nasz algorytm ma własność stopu. 5. Nieujemnie określone całkowite formy kwadratowe Lemat 5.1. Niech q : Z n Z będzie całkowitą formą kwadratową postaci q(x) = x 2 i + a ij x i x j. i=1 Jeśli q jest nieujemnie określona, to Ker q = Ker Z q jest podgrupą grupy Z. Dowód. Niech q : Z n Z będzie nieujemnie określoną całkowitą formą kwadratową postaci q(x) = x 2 i + a ij x i x j. Rozważmy i=1 2b q (x, y) = q(x + y) q(x) q(y) Weźmy v, w Kerq. Pokażemy, że wówczas v+w Kerq. Ponieważ v, w Ker, więc q(v) = 0 oraz q(w) = 0. Zatem otrzymujemy równości 2b q (v, w) = q(v w) oraz 2b q (v, w) = q(v+w). Dodając je stronami, uzyskujemy q(v w) + q(v + w) = 0. Ponieważ q jest nieujemnie określona, więc q(v w) = 0 oraz q(v + w) = 0, czyli q(v w) Ker q oraz q(v + w) Ker q. Stąd Ker q jest podgrupą grupy Z n. Definicja 5.2. Niech q : Z n Z będzie nieujemnie określoną całkowitą formą kwadratową postaci 2.4. Rangą radykałową formy q nazywamy Z-bazę grupy Ker q. Lemat 5.3. Niech q : Z n Z będzie nieujemnie określoną całkowitą formą kwadratową postaci q(x) = x 2 i + a ij x i x j. Wówczas ranga radykałowa formy q jest równa dim R Ker R q. i=1 21

Dowód. Rozważmy formę kwadratową q Q : Q m Q, która jest zadana wzorem q Q (x) = x 2 i + a ij x i x j. i=1 Niech v (1),..., v (m) będzie Z-bazą Ker Z q. Wówczas q Z (v (1) ) =... = q Z (v (m) ) = 0, a zarazem q Q (v (1) ) =... = q Q (v (m) ) = 0 (ponieważ q jest obcięciem q Q do Z n ), czyli v (1),..., v (m) Ker Q q. Pokażemy, że v (1),..., v (m) są liniowo niezależne nad Q. Aby uzyskać sprzeczność załóżmy, że v (1),..., v (m) są liniowo zależne nad Q. Wtedy istnieją α 1,..., α m Q takie, że α 1 v (1) +...+α m v (m) = 0. Niech α będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników licz wymiernych α 1,..., α m. Wówczas α α 1 v (1) +... + α α m v (m) = 0, a stąd v (1),..., v (m) są liniowo zależne nad Z, co daje sprzeczność z założeniem. Zatem dim Z Ker Z dim Q Ker Q q Q. Niech teraz w (1),..., w (m) będą bazą Ker Q q Q oraz niech y będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników wspólrzędnych wektorów w (1),..., w (m). Oznaczmy w (i) = y w (i). Zauważmy, że w (1),..., w (m) Z n również stanowią bazę Ker Q q Q, a wobec tego w (1),..., w (m) są liniowo niezależne nad Z. Stąd otrzymujemy, że dim Q Ker Q q Q dim Z Ker Z q Z. Aby zakończyć dowód wystarczy skorzystać z faktu, że dim Q Ker Q q Q = dim R Ker R q R. Uwaga 5.4. Z Powyższego lematu wynika, że aby wyznaczyć rangę radykałową formy q wystarczy znaleźć wymiar przestrzeni Ker R q R. Przykład 5.5. Rozważmy formę kwadratową q(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 + x 2 5 + x 2 6 + x 2 7 + +x 2 8 + x 2 9 + x 2 10 + x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 1 x 7 + +x 1 x 8 + x 1 x 9 + x 2 x 4 + x 2 x 6 + x 2 x 8 + x 3 x 4 + x 3 x 5 + x 3 x 6 + x 3 x 7 + +x 3 x 8 + x 3 x 9 + x 4 x 6 + x 4 x 8 + x 5 x 6 + x 5 x 7 + x 5 x 8 + x 5 x 9 + x 6 x 8 + +x 7 x 8 + x 7 x 9 x 10 x 1 x 10 x 2 x 10 x 3 x 10 x 4 x 10 x 5 Można pokazać, że q jest nieujemnie określona. Po zastosowaniu algorytmu Lagrange a otrzymujemy x 10 x 6 x 10 x 7 x 10 x 8 x 10 x 9 q(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 x 9, x 10 ) = = (x1 + 1/2 x2 + 1/2 x3 + 1/2 x4 + 1/2 x5 + +1/2 x6 + 1/2 x7 + 1/2 x8 + 1/2 x9 1/2 x10) 2 + +3/4 (x2 + 1/3 x4 + 1/3 x6 + 1/3 x8 1/3 x10 1/3 x3 1/3 x5 1/3 x7 1/3 x9) 2 + +2/3 (x3 + 1/2 x4 + 1/4 x5 + 1/2 x6 + 1/4 x7 + +1/2 x8 + 1/4 x9 1/2 x10) 2 + +1/2 (x4 1/2 x5 1/2 x7 1/2 x9) 2 + +1/2 (x5 + 1/2 x6 + 1/2 x8 1/2 x10) 2 + +3/8 (x6 2/3 x7 2/3 x9 1/3 x8 + 1/3 x10) 2 + +1/3 (x7 + 1/2 x8 1/2 x10 1/2 x9) 2 + 22 +1/4 (x8 x9 + x10) 2

Forma q po sprowadzeniu do postaci kanonicznej ma osiem składników, zatem dim R Ker q = 10 8 = 1, a więc ranga radykałowa q wynosi 2. Definicja 5.6. Niech n 3. Całkowitą formę kwadratową q : Z n Z postaci q(x) = x 2 i + a ij x i x j, a ij Z, nazywamy krytyczną, jeśli q nie jest słabo dodatnia oraz wszystkie formy q (t), t {1,..., n} są słabo dodatnie. Twierdzenie 5.7 (Ovsijenko). Niech n 3 oraz niech q : Z n krytyczną. Wówczas: Z będzie formą 1. forma q jest nieujemnie określona 2. Ker q jest podgrupą grupy Z n oraz istnieje wektor wierny h q N n taki, że Ker q = Zh q 3. ranga radykałowa formy q jest równa 1. Przykład 5.8 Rozważmy formę q(x 1,..., x 5 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 + x 2 5 x 5 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ). Zauważmy, żę q(1, 1, 1, 1, 2) = 4 + 4 2 4 = 0. Zbadajmy formy q (t) dla t {1, 2, 3, 4, 5}. q (5) (x) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 - forma słabo dodatnia w oczywisty sposób Dla t {1, 2, 3, 4} mamy następującą formę (przedstawimy przypadek t = 4, pozostałe są analogiczne) q (4) (x) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 5 x 5 (x 1 + x 2 + x 3 ) Łatwo sprawdzić (stosując np. kryterium Sylvestera), że powyższa forma jest dodatnio określona, a więc i słabo dodatnia. Zatem q jest formą krytyczną. Sprowadzając q do postaci kanonicznej, otrzymujemy q(x 1,..., x 5 ) = (x 1 1 2 x 5) 2 + (x 2 1 2 x 5) 2 + (x 3 1 2 x 5) 2 + (x 4 1 2 x 5) 2 Zauważmy, że q(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy czyli 2x 1 = 2x 2 = 2x 3 = 2x 4 = x 5, a zatem i ranga radykałowa wynosi 1. x 1 1 2 x 5 = 0 x 2 1 2 x 5 = 0 x 3 1 2 x 5 = 0 x 4 1 2 x 5 = 0 Ker q = {(x 5, x 5, x 5, x 5, 2x 5 ); x 5 Z} = (1, 1, 1, 1, 2) Z, 23

5.1. Typ Dynkina nieujemnie określonej formy kwadratowej Niech q : Z n Z będzie nieujemnie określoną całkowitą formą kwadratową postaci q(x) = x 2 i + a ij x i x j. i=1 Oznaczmy przez c rangę radykałową formy q. Ponieważ q jest nieujemnie określona, więc Ker q jest podgrupą grupy Z n. Można pokazać, że Ker q jest podgrupą serwantną w Z n. To oznacza, że grupa ilorazowa Z n /Ker q jest grupą wolną. Mamy więc Definiujemy funkcję Z n /Ker q Z n c. q : Z n /Ker q Z wzorem q(x + Ker q) = q(x). Oznaczmy przez π epimorfizm naturalny π : Z n Z n /Ker q. Lemat 5.9. Funkcja q jest poprawnie określona. Dowód. Niech x+ker q = y+ker q Z n /Ker q. Wtedy x y Ker q, a więc q(x y) = 0. Rozważmy q(x) q(y) = b q (x, x) b q (y, y) = b q (x, x) b q (x, y) + b q (x, y) b q (y, y) = = b q (x, x y) b q (x y, x) = 0, zatem q(x) = q(y). Ostatecznie q(x + Ker q) = q(y + Ker q), co pokazuje, że funkcja q jest dobrze określona. Uwaga 5.10. Można pokazać, że q : Z n c Z jest całkowitą formą kwadratową postaci 2.4. Ponadto q jest spójna, jeśli q jest spójna. Lemat 5.11. Forma q : Z n c Z jest dodatnio określona. Dowód. Dla każdego x Z n mamy q(x + Ker q) = q(x) 0, ponieważ q jest nieujemnie określona. Przypuśćmy, że q(x + Ker q) = 0. Wówczas q(x) = 0, czyli x Ker q, stąd x + Ker q = 0 + Ker q, a więc q jest dodatnio określona. Definicja 5.12. Niech q : Z n Z będzie nieujemnie określoną spójną formą kwadratową postaci 2.4. Typem Dynkina formy q nazywamy typ Dynkina dodatnio określonej formy q. Twierdzenie 5.13 (M. Barot, J.A. de la Peña). Niech q : Z n nieujemnie określoną formą kwadratową postaci Z będzie spójną q(x) = x 2 i + a ij x i x j, a ij Z i=1 i<j Wtedy istnieje automorfizm T : Z n Z n grupy Z n taki, że qt (x 1,..., x n ) = q Q (x 1,..., x n c ), gdzie c jest rangą radykałowa formy q oraz Q jest typem Dynkina formy q. 24

Wniosek 5.14. Dwie spójne nieujemnie określone formy kwadratowe q, q postaci 2.4 są Z-równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą rangę radykałową i ten sam typ Dynkina. Przystąpimy teraz do opisania algorytmu wyznaczającego typ Dynkina nieujemnie określonej formy kwadratowej. Definicja 5.15. Niech q będzie nieujemnie określoną spójną całkowitą formą kwadratową postaci 2.4. Podzbiór X R q nazywamy zredukowanym, jeżeli dla wszystkich x, y X zachodzi warunek jeżeli x y Ker q, to x = y. Lemat 5.16. Jeżeli X R q jest zbiorem zredukowanym, to funkcja π : X R q (określona wzorem π(x) = x + Ker q) jest injekcją. Dowód. Zauważmy, że funkcja π jest dobrze określona. Istotnie, niech x R q. Wtedy q(π(x)) = q(x + Ker q) = q(x) = 1, a zatem π(x) R q. Pokażemy teraz, że π : X R q jest różnowartościowa. Niech x, y X będą takie, że π(x) = π(y). Wtedy π(x y) = 0 oraz x y Ker q. Ostatecznie x = y, ponieważ X jest zbiorem zredukowanym. Przedstawimy teraz algorytm konstrukcji zbioru S, który będzie pomocny w wyznaczeniu typu Dynkina formy q. 1. D 0 = {e 1,..., e n, e 1,..., e n }. Wybieramy S 0 D 0, który jest maksymalnym zredukowanym podzbiorem. 2. Następne podzbiory D i tworzymy indukcyjnie. D i = {σ j (x); x D i 1, j = 1,..., n} Wybieramy S i tak, aby S i 1 S i (S i 1 D i ), oraz aby S i był maksymalnym zredukowanym podzbiorem o tej własności. 3. Przyjmujemy S = i 0 S i. Twierdzenie 5.17. Zachodzą następujące warunki. 1. S R q jest zbiorem zredukowanym i skończonym. 2. S = R q. 25