Ćwiczenia 2
Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane dzisiaj jest warte tyle samo co 1000 PLN otrzymane za rok? NIE, z uwagi na: spadek siły nabywczej pieniądza (inflacja), ryzyko wydarzeń uniemożliwiających otrzymanie 1000 PLN za rok, koszt utraconych korzyści z zainwestowania tego 1000 PLN, preferowanie przez ludzi konsumpcji dzisiaj zamiast jutro (życie jest krótkie). Narzędziami służącymi porównywaniu różnych kwot pieniężnych w czasie są: Kapitalizacja proces szukania przyszłej wartości dzisiaj posiadanych pieniędzy, przy ( odsetek wykorzystaniu procentu składanego (czyli odsetki od Dyskontowanie proces odwrotny do kapitalizacji, polegający na szacowaniu aktualnej wartości pieniędzy otrzymanych w przyszłości
Kapitalizacja jest procesem szukania przyszłej wartości dzisiaj posiadanych pieniędzy, ( odsetek wykorzystując procent składany (czyli odsetki od Rachunek odsetek prostych FV = PV+PV*n*r = PV*(1+n*r) PV wartość obecna n okres r stopa % Rachunek odsetek złożonych, wartość przyszła przy kapitalizacji rocznej FV = PV*(1+r) n Wartość przyszła przy wielokrotnej kapitalizacji w ciągu roku FV=PV*(1+r/ m) n*m n liczba lat m ilość równych okresów kapitalizacji w okresie rocznym Kapitalizacja ciągła FV = PV*e r*n ( 2,72 ~) e liczba Eulera FV wartość przyszła
Jeżeli w trakcie inwestycji nastąpiła zmiana oprocentowania mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW
Zadanie 1. Założono w banku lokatę w wysokości 2000 zł na 6 miesięcy przy stopie procentowej w skali rocznej 5%. Oblicz odsetki oraz kapitał końcowy. Zadanie 2. Firma Alfa udzieliła firmie Beta pożyczki w wysokości 1000 zł na 5 miesięcy. Firmy uzgodniły, że przez 3 miesiące będzie obowiązywała stopa 5%, a przez 2 kolejne 6%. Decyzja była podjęta w oczekiwaniu na podwyżkę stóp procentowych przez bank centralny. Jaką kwotę do spłacenia będzie miała firma Beta.
Dyskontowanie Dyskontowanie to proces obliczania obecnej wartości pieniędzy, które możemy zarobić (lub stracić) w przyszłości Jeżeli znamy przyszłą wartość korzyści (lub straty) to obecną wartość możemy obliczyć po przekształceniu wzoru na obliczanie przyszłej wartości PV = FV/(1+r) n Wartość obecna przy rocznej kapitalizacji Wartość obecna przy wielokrotnej kapitalizacji w ciągu roku Wartość obecna przy ciągłej kapitalizacji PV = FV*1/(1+r) n PV = FV*1/(1+r/m) n*m PVe = FV/e r*n Gdzie: n - okres dyskontowania m - liczba okresów w ciągu roku r - stopa dyskonta
Dyskontowanie Jurek chce kupić samochód. W tym celu udał się do dwóch komisów. W pierwszym zaproponowano mu, by zapłacił 15 000 zł gotówką, a po roku dopłacił 7000 zł. W drugim: 16000 zł gotówką, a po dwóch latach 6000 zł. Która z propozycji jest korzystniejsza, jeśli przyjmie się stopę dyskonta 5%? mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW
Przykład: Firma oferuje lodówkę z odroczoną płatnością. Za lodówkę kupioną dziś, zapłacimy dopiero za 5 lat kwotę jednorazową w wysokości 500 zł. Inflacja wynosi 12%, obecna cena rynkowa lodówki wynosi 340 zł. Czy jest to dla nas dobry interes? Wtedy transakcja będzie dla nas korzystna kiedy zdyskontowana wartość lodówki będzie mniejsza od ceny obecnej. Obliczamy zdyskontowaną wartość lodówki: PV=500/(1+12%) 5 =283 zł Obecna cena lodówki wynosi 340 zł i jest większa od obliczonej zdyskontowanej wartości, a więc transakcja jest korzystna. W zależności od źródła pochodzenia pieniędzy stopa dyskontowa może być różna. Jeżeli pieniądze na inwestycje (kapitał) pochodzą z kredytu bankowego, to stopa dyskontowa powinna równać się stopie oprocentowania kredytu bankowego, jeżeli pieniądze pochodzą z własnych źródeł to stopa dyskonta powinna być równa stopie zysku. Stopa zysku powinna zostać określona przy uwzględnieniu stopy inflacji: jeżeli stopa zysku jest mniejsza od oprocentowania kredytu bankowego to przedsięwzięcie jest nieopłacalne. Szczegółowa metodologia obliczania stopy dyskontowej zostanie przedstawiona w dalszych częściach. Zadanie: 1. Roczna stopa dyskontowa wynosi 10%. Jakie są bieżące wartości kwoty 400zł po upływie 4 lat i przy założeniu kapitalizacji półrocznej i kwartalnej.
Przepływy pieniężne są to płatności rozłożone w czasie. Ich zdyskontowanie oznacza oszacowanie obecnej wartości przyszłych przepływów Przepływy występujące w kilku różnych okresach nie są porównywalne z uwagi na zmianę wartości pieniądza w czasie. Żeby porównać przepływy pieniężne musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika, tzn. zdyskontować każdy przepływ na chwilę obecną lub policzyć ich wartość przyszłą na określony dzień w przyszłości. Jedynie przepływy sprowadzone do wspólnego mianownika można do siebie dodawać. Stosując zasadę dodawania wartości zdyskontowanych, możemy napisać wzór na obliczanie wartości obecnej przepływów pieniężnych generowanych w kolejnych latach: PV=C 1 /(1+r) + C 2 /(1+r) 2 + C 3 /(1+r) 3 +... + C n /(1+r) n Gdzie: C t przepływ pieniężny w roku t
Uwzględnia wszystkie koszty obsługi długu, w tym prowizje i zróżnicowanie okresów spłaty (kapitalizacji) odsetek. Na wysokość stopy wpływa: nominalna stopa procentowa; częstotliwość kapitalizacji; wysokości prowizji i kosztów. mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW
Zadanie 3 Nominalna stopa procentowa lokaty wynosi 8%. Bank stosuje kapitalizację dwumiesięczna. Ile wynosi rzeczywista (efektywna) roczna stopa procentowa. Zadanie 4 W pewnym banku efektywna kwartalna stopa procentowa wynosi 12%. Obliczyć stopy procentowe nominalną roczną i efektywną półroczną. Zadanie 5 Jaka jest efektywna stopa procentowa pożyczki w wysokości 20 000 zł, spłata następuje co 2 miesiące w 6 ratach, nominalna stopa procentowa wynosi 8%, dodatkowo jednorazowa prowizja za udostępnienie pożyczki została ustalona w wysokości 2%? mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW
Nominalna i realna stopa procentowa Nominalna stopa procentowa to stopa procentowa pokazująca przychód z posiadanego kapitału lub cenę kapitału udostępnionego. Realna stopa procentowa to nominalna stopa procentowa skorygowana o inflację. Zależność między nominalną a realną stopą procentową przedstawia wzór zwany wzorem Fishera: 1+r = (1+r r )*(1+r i ) Gdzie: r nominalna stopa procentowa r r realna stopa procentowa r i stopa inflacji Po przekształceniu wzór ma postać: r =(rn- r i )/(1+r i ) Przykład: Załóżmy, że depozyt roczny daje nam 6% oprocentowania rocznie. W tym samym okresie poziom inflacji wynosi 4%. Zarobimy na lokacie 6%, lecz tylko nominalnie, ponieważ inflacja powoduje spadek wartości nabywczej pieniądza. Interesujące jest zatem, o ile wzrosłaby faktycznie wartość naszych pieniędzy po roku, uwzględniając otrzymane odsetki - 6% oraz inflację - 4%. W tym celu, musimy obliczyć realną stopę procentową. 1+r r = 1+r/1+r i =(1+0,06)/(1+0,04)=1,0192 r r =0,0192=1,92% Środki przyrosły realnie o 1,92%.
Zadanie 6 Jaka jest efektywna realna stopa procentowa pożyczki o następujących warunkach: kwota pożyczonego kapitału wynosi 10 mln zł, spłata w czterech kwartalnych ratach, nominalna stopa procentowa 10%, jednorazowa premia za udostępnienie pożyczki 2%, stopa inflacji w okresie umowy pożyczki 3%. Zadanie 7 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy ulokować w banku B, aby po 2 latach stan kont był taki sam? Zadanie 8 Ustalić stan konta po 10 latach, jeżeli dokonano następujących operacji: na początku wpłacono 1000 zł, po 5 latach dopłacono 2000 zł, a pod koniec następnego roku wpłacono 3000 zł. Nominalna st. procentowa 1,5%, a kapitalizacja jest roczna.
Zadanie 9 Oblicz realną efektywną roczną stopę procentową dla poszczególnych ofert kredytów banków: 1/ stopa nominalna 10%, kapitalizacja kwartalna, prowizja 2%, 2/ stopa nominalna 8%, kapitalizacja półroczna, prowizja 3%, 3/ stopa nominalna 9%, kapitalizacja 2M, prowizja 2%. Który z banków ma najkorzystniejszą ofertę? Zadanie 10 Bank przyjął kwotę 1000 zł jako wkład przy st. Nominalnej 2,5% i kwotę tę natychmiast udzielił w kredycie na stopę 15%. Jaką kwotę zarobił bank na tej operacji po 2 latach przy półrocznej kapitalizacji odsetek?
Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności emerytalne; również spłaty stałych rat kredytowych tzw. annuitetowych, wówczas kiedy płatności są stałe. mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW
Rachunek rentowy annuitetowy Renta płatna z dołu (płatność z dołu) Renta płatna z góry (płatność z góry ) gdzie: mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Kn przyszła wartość renty, Ko bieżąca wartość renty, a stała wartość wpłaty, n liczba okresów, w których dokonujemy wpłaty, i nominalna roczna stopa procentowa.
Wartość zainwestowanego kapitału= wartość cyklicznej wypłaty/stopa procentowa mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW
Wartość pieniądza w czasie - podsumowanie Wartość przyszła sumy pieniężnej jest tym wyższa, im: wyższa jest wartość początkowa; wyższa jest stopa procentowa; większa jest liczba lat; częstsza jest kapitalizacja odsetek. Wartość obecna sumy pieniężnej jest tym wyższa, im: wyższa jest wartość końcowa; niższa jest stopa procentowa; mniejsza jest liczba lat; rzadsza jest kapitalizacja odsetek. Dyskontowanie i kapitalizowanie znajduje zastosowanie m.in. do: obliczania rentowności lokat bankowych; obliczania kosztu kredytu bankowego; oceny opłacalności projektów inwestycyjnych; wyceny i obliczania rentowności obligacji; wyceny akcji.
Dziękuję za uwagę! J