Moc wyjściowa laserów

Moc wyjściowa laserów Wstęp Optymalizacja polega na dobraniu takich warunków, by moc wyjściowa lasera była jak największa. Spróbujemy zoptymalizować straty promieniste. W tym celu zapiszmy wyrażenie na czas życia fotonów we wnęce w postaci τ c = τ dys + τ prom, gdzie: = cχ τ dys n, = c τ prom 2nL ln R R 2, n jest współczynnikiem załamania. Korzystajac ze wzoru na moc progowa, liczbę fotonów we wnęce powyżej progu i przyjmujac, że fotony opuszczaja wnękę tylko wskutek transmisji zwierciadeł otrzymujemy moc wyjściowalaserawpostaci P = hν τ prom u = hν τ prom à V Wkτ 2 +!. kτ 2 τ dys τ prom (M.) Szukamy wartości maksymalnej P, czyli musimy wyznaczyć dlajakichwa- rtości τ prom P =0. τ prom Zatemmaksimummocywyjściowej P otrzymamy, jeśli τ prom = à Wkτ 2 τ dys! /2 τ dys, albo inaczej = W. τ prom τ dys W t

MOC WYJŚCIOWA LASERÓW Stad maksymalna moc wyjściowa po optymalizacji strat promienistych rezonatora wynosi Ã! /2 2 P max = hνwv. kwτ dys τ 2 Jak widać zarówno optymalne współczynniki odbicia jak i optymalna moc zależy od parametrów ośrodka aktywnego, i dla każdego rodzaju ośrodka aktywnego należy właściwie dobrać rezonator. Wniosek ten nie powinien być zaskoczeniem, natomiast warto zauważyć, że optymalne współczynniki odbicia rezonatora zależa od parametru pompowania W, cojużniejesttak oczywiste. 2 Lasery liniowe Przez Γ oznaczymy całkowite straty na odbicia fresnelowskie, absorpcyjne materiałów i straty dyfrakcyjne w czasie jednego pełnego przejścia: Γ = exp( 2Lχ). Straty promieniste, jak zawsze określimy przez współczynniki odbicia zwierciadeł. Warunek progowy zapiszemy więc ast ad wzmocnienie progowe wynosi µ ln I ( Γ) R R 2 exp (2Lγ) =I, γ t = 2L 2. Małe wzmocnienie R R 2 +ln. (M.2) Γ Przyjmijmy, że ośrodek czynny o linii jednorodnie rozszerzonej znajduje się wliniowejwnęce rezonansowej. Załóżmy, że wzmocnienie ośrodka jest wystarczajaco małe, by było stałe nacałej jego długości i że zmiany natężenia sygnału wzdłuż osiośrodka sadozaniedbania,czyliże γ t = γ. Pominiemy w rozważaniach efekt przestrzennego wypalania dziur (tzw. przybliżenie jednorodnego pola). Natężenie promieniowania we wnęce jest suma natężeńwi azek światła poruszajacych się w przeciwnych kierunkach. Zatem mamy γ γ = 0 = γ +(I + + I ) /I t, s lub γ0 I + + I = I s. γ t 2

2. Małe wzmocnienie Przyjmujac niewielka różnicę wnatężeniach między wiazkami poruszaja- cymi się w obie strony i przyjmujac, że zwierciadłem sprzęgajacym wnękę ze światem zewnętrznym jest zwierciadłootransmisjit 2 otrzymamy natężenie wyjściowe γ0 T2 I wyj = I s γ t 2. (M.3) Z (M.2) zakładajac małatransmisję zwierciadeł rezonatora otrzymujemy 2Lγ t ' T + T 2 + Γ. Moc wyjściowa P (j.w).5.0 0.5 2Lγ 0 = 3.0.0 0.7 0.3 Γ = 0. 0.2 0.4 0.6 0.8.0 Współczynnik transmisji Rys.. Moc wyjściowa w funkcji transmisji dla kilku wartości 2Lγ 0 Po podstawieniu do (M.3) i wyznaczeniu ekstremum funkcji względem transmisji zwierciadła wyjściowego znajdujemy optymalnatransmisjęgwa- rantujaca maksymalne natężenie promieniowania opuszczajacego rezonator T 2,m = q 2L (Γ + T ) γ 0 (Γ + T ). Zastosowaliśmy przybliżenie: dla małych x. ln ' ln ( + x) ' x, x 3

MOC WYJŚCIOWA LASERÓW Współczynnik transmisji 0.3 0.2 0. Γ = 0. 0.05 0.0 0.005 2 4 6 8 0 2Lγ 0 Rys. 2. Współczynnik transmisja w funkcji 2Lγ 0 dla kilku wartości parametru strat Γ Dla takiego zwierciadła natężenie wyjściowe wynosi 2 q 2 I wyj = I s qlγ 0 (Γ + T ) /2. Otrzymane zależności sa przedstawione na rys. 3(za[3]). Moc wyjściowa P (j.w) 3.0 2.0.0 2Lγ 0 = 3.0 Γ = 0 0.005 0.0 0.07 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8.0 Współczynnik transmisji Rys. 3. Moc wyjściowa lasera w funkcji współczynnika transmisji dla kilku wartości parametru strat Γ 2 Łatwo sprawdzić, że jeżeli uwzględnimy kształt linii emisji dany funkcja g(ω) wyrażenienamaksymalnenatężenie promieniowania będzie miało następujac apostać: hp p i 2 I wyj = Is Lγ0 (Γ + T ) /2. ḡ (ω) 4

2.2 Duże wzmocnienie 2.2 Duże wzmocnienie Rozważymy teraz przypadek dużego wzmocnienia i silnego sprzężenia 3. Zadanie znów będzie polegało na znalezieniu warunków, przy których moc emitowana przez laser liniowy jest największa. Dla ułatwienia rachunków założymy jednak, że nie występuje przestrzenne wypalanie dziur, oraz że straty dyssypatywne ośrodka samałe w porównaniu ze wzmocnieniem (χ γ 0 ). Niech β = I/I s, wtedy di = I s dβ, zatem równanie transportu ma postać ³ dβ β ( + β) γ 0 dz = ³ χ ( + β). γ0 Zgodniezzałożeniem χ/γ 0 =0,awtedy γ 0 dz = dβ β + dβ. (M.4) Po scałkowaniu (M.4) po długości ośrodka wzmacniajacego l otrzymujemy γ 0 l =ln à βwyj β wej! + β wyj β wej. (M.5) Należy uwzględnić jednak to, iż w laserze promieniowanie rozchodzi się również w kierunku z. Przez β + i β oznaczmy względne natężenia promieniowania rozchodzacego się w obu kierunkach (rys. 4). R R 2 Ośrodek czynny T β 4 γ0 T 2 β 2 β + β + β 4 β β 2 β + β 3 β Rys. 4. Rozkład natężenia promieniowania we wnęce rezonansowej 3 W. W. Ridgrod, Saturation effects in high gain lasers, J. Appl. Phys., 36, 2487 (965). 5

MOC WYJŚCIOWA LASERÓW Ponieważ całkowite natężenie we wnęce wynosi I = I + + I, to współczynnik wzmocnienia wraża sięprzez γ = gdzie : γ = dβ + β + dz = dβ β dz. Znak - oznacza, że β rośnie, gdy z maleje. Z równania (M.7) wynika, że β dβ + dz + β +dβ dz stad w dowolnym punkcie wnęki γ 0 +β + + β, (M.6) = d β + β dz =0. (M.7) β + β = const = C, (M.8) Niech R i R 2 sa współczynnikami odbicia luster, T i T 2 współczynnikami transmisji luster, a a i a 2 niech oznaczajawspółczynniki strat rozproszeniowych i dyfrakcyjnych zwierciadeł. Dla z =0, R = a T,adlaz = l, R 2 = a 2 T 2 i Zrównań (M.8) i (M.9) otrzymujemy oraz β 3 = R 2 β 2 ; β = R β 4. (M.9) β β 4 = β 2 β 3 = C R β 2 4 = R 2 β 2 2. Stad β /2 2 R =. (M.0) β 4 R 2 Z (M.7), (M.8) oraz (M.6) dla dodatniego kierunku otrzymujemy β + dβ + dz = γ 0 +β + + ³ C β +. (M.) Całkujemy (M.) po długości l ośrodka wzmacniajacegoidlakierunku+z i w obecności promieniowania biegnacego w kierunku z (porównaj (M.5)) otrzymujemy µ β2 γ 0 l =ln + β β 2 β C. β2 β 6

2.2 Duże wzmocnienie Podobnie dla ujemnego kierunku µ β4 γ 0 l =ln + β β 4 β 3 C. 3 β4 β 3 Dodajac te równania do siebie i korzystajac z (M.9) i pozostałych zwiazków, otrzymujemy β 2 = β 4 = hγ 0 l +ln(r R 2 ) /2i R /2 ³ R /2 + R /2 2 h (R R 2 ) /2i, hγ 0 l +ln(r R 2 ) /2i R /2 ³ 2 R /2 + R /2 2 h (R R 2 ) /2i, lub z (M.0) /2 R2 β 4 = β 2. R Załóżmy, że a = a 2 = a, wtedy: T = a R i T 2 = a R 2. T/a m 0 2 0 0 0 a = 0.00 0.025 0.05 0. 0-20 40 60 80 00 γ 0 [db] Rys. 5. Optymalny współczynnik transmisji w funkcji wzmocnienia małego sygnału dla kilku wartości a Całkowite względne natężenie promieniowania emitowanego przez zwierciadła wyraża się wzorem Zatem β wyj = β 4 T + β 2 T 2. β wyj = hγ 0 l +ln(r R 2 ) /2i a (R R 2 ) /2 (R R 2 ) /2. 7

MOC WYJŚCIOWA LASERÓW Jeżeli jedno ze zwierciadeł jest całkowicie odbijajace, to T =0iR =, awtedymocwyjściowa wynosi 4 h β wyj = β 2 T 2 = γ 0 l +ln(r 2 ) /2i T 2. (M.2) a + T 2 Przyrównujac pochodnafunkcji(m.2)pot 2 do zera znajdujemy warunek na największa mocwyjściowa lasera. β wyj przyjmie wartość maksymaln a, wtedy gdy spełniona jest relacja a to znaczy, że T m a =[γ 0l +ln( a T m )] ( a T m) a + T m, 2 I 2 I s = T 2 m a( a T m ), gdzie: T m jest optymalnym współczynnikiem transmisji lustra wyjściowego. Wyniki zilustrowano na rys. 5. 3 Lasery pierścieniowe Sposób postępowania w przypadku laserów pierścieniowych jest podobny. Podobne sa też wyniki obliczeń. W każdym przypadku natężenie wyjściowe wiazki laserowej jest proporcjonalne do natężenia nasycenia, długości ośrodka czynnego, wzmocnienia małego sygnału i optymalnego współczynnika transmisji zwierciadła wyjściowego. Literatura. J. Hawkes, I. Latimer, Lasers. Theory and Practice, Prentice Hall, New York London 995. 2. A. Kujawski, P. Szczepański, Lasery. Podstawy fizyczne, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 999. 3. A.Maitland,M.H.Dunn,Laser physics, North-Holland Publishing Company, Amstrdam 969. 4. J. T. Verdeyen, Laser electronics, Prentice Hall, New Jersey 989. 4 Dla symetrycznego rezonatora: R R 2 = R 2 i R = a T i przez każde zwierciadło rezonator opuszcza światło owzględnym natężeniu równym β wyj = 2 ( γ 0l +lnr) a R R. 8