ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1

Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne......................... 5 1.1.2 Liczby całkowite......................... 6 1.1.3 Liczby wymierne......................... 6 1.2 Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych przy pomocy przekrojów Dedekinda 7 1.2.1 Definicja przekrojów Dedekinda i podstawowe własności... 7 1.2.2 Definicja zbioru liczb rzeczywistych............... 8 1.2.3 Własność ciągłości zbioru liczb rzeczywistych......... 9 1.2.4 Własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych........ 10 1.3 Kresy podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.............. 11 1.3.1 Zbiory ograniczone........................ 11 1.3.2 Kres górny i kres dolny zbiorów................. 11 2 Ciągi liczbowe 14 2.1 Definicja ciągu.............................. 14 2.2 Ciągi zbieżne............................... 14 2.2.1 Dodawanie, mnożenie i dzielenie ciągów............. 16 2.2.2 Ciągi monotoniczne i ich zbieżność............... 18 2.3 Warunek Cauchy ego, zupełność zbioru liczb rzeczywistych...... 19 2.4 Ciągi zbieżne do nieskończoności granice niewłaściwe........ 20 2.4.1 Własności ciągów zbieżnych do nieskończoności........ 20 2.5 Podciągi (ciągi częściowe)........................ 21 2.5.1 Istnienie podciągów zbieżnych.................. 23 2.6 Granica górna i dolna ciągu....................... 23 2.7 Liczba e.................................. 26 2.8 Porównywanie ciągów........................... 29 2.8.1 Ciągi równoważne......................... 30 3 Szeregi liczbowe 32 3.1 Szeregi liczbowe zbieżne......................... 32 2

3.1.1 Warunek konieczny zbieżności szeregu.............. 33 3.1.2 Dodawanie szeregów i mnożenie przez liczbę.......... 34 3.1.3 Warunek Cauchy ego zbieżności szeregów............ 34 3.1.4 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów.......... 34 3.2 Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych......... 35 3.2.1 Kryteria wynikające bezpośrednio z kryterium porównawczego 35 3.2.2 Kryteria d Alemberta i Cauchy ego opierające się na porównaniu z szeregami geometrycznymi............... 36 3.2.3 Kryterium Raabego opierające się na porównaniu z szeregiem harmonicznym....................... 38 3.2.4 Niezależność sumy szeregu o wyrazach nieujemnych od kolejności sumowania............................. 41 3.3 Szeregi o dowolnych wyrazach...................... 42 3.3.1 Szeregi bezwzględnie zbieżne................... 42 3.4 Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych.......... 44 3.4.1 Kryterium Leibniza........................ 44 3.4.2 Kryteria Dirichleta i Abela.................... 45 3.5 Szeregi warunkowo zbieżne........................ 46 3.5.1 Twierdzenie Riemanna o zmianie kolejności sumowania dla szeregu warunkowo zbieżnego.................. 47 3.6 Iloczyn Cauchy ego szeregów....................... 48 3.7 Uogólnienie ciągu średnich arytmetycznych twierdzenie Toeplitza. 50 4 Granice funkcji i ciągłość 52 4.1 Granica funkcji w punkcie........................ 52 4.1.1 Granice jednostronne...................... 52 4.1.2 Granica górna i dolna funkcji.................. 53 4.1.3 Granice w nieskończoności.................... 56 4.1.4 Granice nieskończone....................... 57 4.1.5 Granica sumy, iloczynu oraz ilorazu funkcji........... 57 4.2 Ciągłość.................................. 58 4.2.1 Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji............ 59 4.2.2 Warunek ciągłości funkcji odwrotnej do funkcji ciągłej.... 59 4.3 Własność Darboux dla funkcji ciągłych.................. 60 5 Pochodna funkcji i jej zastosowania 61 5.1 Określenie pochodnej i jej własności................... 61 5.1.1 Styczna do wykresu funkcji................... 62 5.1.2 Funkcja pochodna........................ 62 5.1.3 Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji............ 62 3

5.1.4 Pochodna funkcji złożonej.................... 64 5.1.5 Pochodna funkcji odwrotnej................... 64 5.1.6 Różniczka............................. 65 5.2 Zasada Fermat i jej konsekwencje.................... 65 5.2.1 Zasada Darboux dla pochodnych................ 66 5.2.2 Twierdzenia Rolle a, Lagrange a i Cauchy ego......... 67 5.3 Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora................ 68 5.3.1 Wzór Taylora z resztą w postaci Peano............. 69 5.3.2 Wzór Taylora z resztą w postaci ogólnej, Lagrange a, Cauchy ego 71 5.3.3 Wzór MacLaurina......................... 73 6 Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe 76 6.1 Ciągi funkcyjne.............................. 76 6.1.1 Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągów odwzorowań. 76 6.1.2 Warunek Cauchy ego zbieżności jednostajnej.......... 78 6.1.3 Ciągłość granicy jednostajnej ciągu odwzorowań ciągłych... 78 6.2 Różniczkowalność granicy ciągu funkcyjnego.............. 79 6.3 Szeregi funkcyjne............................. 82 6.3.1 Warunek Cauchy ego zbieżności jednostajnej......... 83 6.3.2 Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. 83 6.3.3 Różniczkowalność sumy szeregu funkcyjnego.......... 83 6.4 Szeregi potęgowe............................. 84 6.4.1 Przedział zbieżności szeregu potęgowego............. 84 6.4.2 Znajdowanie promienia zbieżności szeregu potęgowego..... 85 6.4.3 Własności sumy szeregu potęgowego............... 85 7 Zbiory i funkcje wypukłe 88 7.1 Zbiory wypukłe.............................. 88 7.2 Funkcje wypukłe i wklęsłe........................ 88 7.2.1 Charakteryzacja funkcji wypukłej przez wypukłość epigrafu.. 89 7.3 Funkcje wypukłe zmiennej rzeczywistej................. 90 7.3.1 Charakteryzacja funkcji wypukłej przez ilorazy różnicowe... 90 7.3.2 Różniczkowalność funkcji wypukłych.............. 90 7.3.3 Warunki wypukłości funkcji różniczkowalnej.......... 92 7.3.4 Położenie wykresu funkcji wypukłej i różniczkowalnej względem stycznej.............................. 92 7.3.5 Punkty przegięcia wykresu funkcji................ 93 4

Rozdział 1 Zbiory liczbowe 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 1.1.1 Liczby naturalne Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N. Liczby naturalne wprowadza się w sposób aksjomatyczny (aksjomatyka Peano). Pojęciami pierwotnymi są: 1, m jest następnikiem n oraz N. Aksjomat I. 1 jest liczbą naturalną, czyli 1 N. Aksjomat II. 1 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. Aksjomat III. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jednaliczba naturalna m będąca następnikiem n. Aksjomat IV. Jeżeli liczba naturalna m jest następnikiem liczby naturalnej n i liczby naturalnej k, to n = k. Aksjomat V - Zasada indukcji zupełnej. Jeżeli A jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych takim, że 1. 1 A; 2. dla każdego n (N), jeżeli n A oraz m jest następnikiem n, to m A. wtedy A = N. 1 1 Szczegóły w książce H. Rasiowej - Wstęp do matematyki współczesnej. 5

1.1.2 Liczby całkowite W iloczynie kartezjańskim N N określa się relację: (n, m) (k, l) n + l = m + k Jest to relacja równoważności (zwrotna, symetryczna, przechodnia). Zbiór klas abstrakcji tej relacji nazywamy zbiorem liczb całkowitych i oznaczamy przez Z. Przez [(n, m)] oznaczamy klasę abstrakcji pary (n, m). W zbiorze liczb całkowitych wprowadza się działanie dodawania: [(n, m)] + [(k, l)] = [(n + k, m + l)] Dowodzi się, że tak określone działanie nie zależy od wyboru reprezentantów klas, to znaczy jeśli zmienimy pary na inne, ale równoważne wyjściowym, to wynik działania będzie taki sam. Klasę [(1, 1)] nazywamy zerem. (Pary równoważne z (1, 1) są postaci (n, n), czyli dla n N zachodzi równość [(1, 1)] = [(n, n)]). Zero jest elementem neutralnym dodawania, a dla każdej liczby całkowitej istnieje liczba całkowita (dokładnie jedna), która dodana do tej liczby daje zero. 1.1.3 Liczby wymierne W iloczynie kartezjańskim Z (N \ {0}) określa się relację: (u, v) (x, y) uy = vx Jest to relacja równoważności. Zbiór klas abstrakcji tej relacji nazywa się zbiorem liczb wymiernych i oznacza przez Q, klasę abstrakcji pary (u, v) oznaczamy przez [(u, v)]. W zbiorze liczb wymiernych wprowadza się działanie dodawania [(u, v)] + [(x, y)] = [(uy + vx, vy)] i mnożenia [(u, v)] [(x, y)] = [(ux, vy)] Dowodzi się, że te określenia nie zależą od wyboru reprezentantów klas. Jedynkę ze zbioru liczb całkowitych utożsamia się z parą [(1, 1)]. Jest to element neutralny mnożenia. Dla każdej, różnej od zera liczby wymiernej (czyli różnej od [(0, 1)]) istnieje liczba wymierna, która pomnożona przez nią daje jeden. Twierdzenie 1.1.1 Pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami wymiernymi istnieje liczba wymierna różna od każdej z nich. DOWÓD: Wystarczy wziąć średnią arytmetyczną tych liczb. 6

Twierdzenie 1.1.2 Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. DOWÓD: Żeby dowieść przeliczalności zbioru Q wystarczy pokazać, że da się je ustawić w nieskończony ciąg. Taki ciąg możemy zbudować w następujący sposób: 0, 1 1, 1, 1 }{{ 1} 2, 2 1, 1 2, 2, 1 }{{ 1} 3, 2 2, 3 1, 1 3, 2 2, 3,... }{{ 1} Wyróżnione fragmenty ciągu składają się z wszystkich możliwych ułamków, których suma licznika i mianownika jest taka sama, przy czym możemy nie uwzględniać tych liczb wymiernych, które pojawiły się już wcześniej. Dowolnie wybrana liczba wymierna znajdzie się w tym ciągu, więc zawiera on wszystkie liczby wymierne. 1.2 Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych przy pomocy przekrojów Dedekinda 1.2.1 Definicja przekrojów Dedekinda i podstawowe własności Definicja 1.2.1 Przekrojem Dedekinda zbioru liczb wymiernych nazywa się każdą parę uporządkowaną [A, B] złożoną z dwóch niepustych podzbiorów zbioru Q, spełniającą następujące warunki: 1. A B = Q 2. a A, b B; a < b A nazywa się klasą dolną, B klasą górną. Jeśli klasa dolna zawiera największy element, to nazywa się domknięta, a jeśli nie, to otwarta. Podobnie dla klasy górnej i najmniejszego elementu. Możliwe są następujące przekroje Dedekinda: Przekrój wymierny: dokładnie jedna z klas jest domknięta. Dolna klasa domknięta, górna otwarta. Górna klasa domknięta, dolna otwarta. Przekrój niewymierny: obydwie klasy są otwarte. Twierdzenie 1.2.1 Nie istnieją przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych z obydwoma klasami domkniętymi. 7

DOWÓD: Przypuśćmy, że [A, B] jest przekrojem Dedekinda zbioru liczb wymiernych i niech a będzie największym elementem klasy dolnej A, b najmniejszym elementem klasy górnej B. Z 2) wynika, że a < b, a z własności gęstości zbioru liczb wymiernych, że istnieje c (a, b). Liczba c jest większa od a (największej w klasie A), zatem c / A. Liczba c jest mniejsza od b (najmniejszej w klasie B), zatem c / B. Z tego, że c / A, B i c Q wynika, że A B Q co jest sprzeczne z 1). Przykład 1.2.1 (Przekrój Dedekinda z dwoma klasami otwartymi) Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb wymiernych niedodatnich i takich dodatnich ω, że ω 2 < 2, natomiast B = Q \ A. Przekrój [A, B] jest przekrojem niewymiernym. 1.2.2 Definicja zbioru liczb rzeczywistych Definicja 1.2.2 Zbiór wszystkich przekrojów Dedekinda zbioru liczb wymiernych nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych. Oznaczamy go przez R. Przekroje Dedekinda, w których jedna z klas jest domknięta identyfikujemy z liczbami wymiernymi. Przekroje, w których obydwie klasy są otwarte, nazywamy liczbami niewymiernymi. Umawiamy się, że jeśli liczba rzeczywista x jest wymierna, to reprezentujemy ją przekrojem Dedekinda z lewą klasą domkniętą. Przy tej konwencji wprowadzamy w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych relację porządku. Definicja 1.2.3 Niech x = [A, B], y = [C, D] będą dwoma dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Mówimy, że liczba x jest mniejsza lub równa liczbie y, co oznaczamy x y, jeśli A C. Ta relacja ma następujące własności: 1. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x jest x x (zwrotność). 2. Jeśli x y i y x, to x = y (antysymetria). 3. Jeśli x y i y z, to x z (przechodniość). 4. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y jest x y lub y x (spójność). Nierówność x < y oznacza, że x y i x y. Twierdzenie 1.2.2 Pomiędzy dwoma, różnymi liczbami rzeczywistymi znajduje się, zawsze, różna od nich liczba wymierna. DOWÓD: Niech x, y będą dwoma różnymi liczbami rzeczywistymi. Rozważmy trzy przypadki: 8

1. x, y wymierne. Wynika bezpośrednio z własności zbioru liczb wymiernych. 2. Jedna z liczb wymierna, druga niewymierna. Niech x = [A, B] będzie liczbą niewymierną, y wymierną i niech x < y, czyli y B (sposób postępowania dla y < x byłby analogiczny). Klasa B nie ma elementu najmniejszego, zatem istnieje taka liczba wymierna q B, że q < y. Ponieważ q B zatem x < q. 3. Obydwie liczby niewymierne. Niech x = [A, B], y = [C, D] niewymierne, x < y. Wtedy B C. Każda liczba q B C jest wymierna i spełnia nierówności x < q < y. 1.2.3 Własność ciągłości zbioru liczb rzeczywistych Przekrój Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych R określa się analogicznie jak przekrój Dedekinda zbioru liczb wymiernych, to znaczy jako parę niepustych podzbiorów A, B R takich, że A B = R oraz a A, b B; a < b. Twierdzenie 1.2.3 Dla każdego przekroju Dedekinda [A, B] zbioru liczb rzeczywistych jedna z klas jest domknięta. (Oczywiście tylko jedna z klas.) DOWÓD: Niech [A, B] będzie dowolnym przekrojem Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych, czyli: 1) A B = R 2) a A, b B; a < b Należy udowodnić, że nie istnieje przekrój z dwoma klasami domkniętymi ani przekrój z dwoma klasami otwartymi: a) Przypuśćmy, że obie klasy są domknięte: Niech a będzie największym elementem w A, b najmniejszym elementem w B. Wtedy a < b i z twierdzenia 1.2.2 wynika, że istnieje c (a, b) Q. Zarazem c / A B = Q, bo a < c < b, co stanowi sprzeczność. b) Przypuśćmy, że obydwie klasy A i B są otwarte i przyjmijmy à = A Q, B = B Q Liczba rzeczywista x := [Ã, B] należy do R = A B. Rozważmy przypadek, gdy x A (analogiczne postępowanie byłoby dla x B). Klasa A nie ma elementu największego, więc istnieje y A takie, że y > x 9

ustalmy je. Na podstawie twierdzenia 1.2.2 istnieje takie q Q, że x < q < y. Ponieważ x < q i q Q, więc q B. Z drugiej strony q < y, a z faktu, że y A wynika, że q A, więc q Ã. Dostaliśmy, że q à B, a to jest niemożliwe, bo à B =. Sprzeczność ta pokazuje, że przypuszczenie iż obydwie klasy A i B są otwarte musiało być fałszywe. 1.2.4 Własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych Definicja 1.2.4 (Dodawanie) Niech przekroje Dedekinda [A, B] i [C, D] zbioru liczb wymiernych określają dwie dowolne liczby rzeczywiste x i y. Sumą x+y nazywamy liczbę rzeczywistą określoną przekrojem Dedekinda [U, V ], gdzie V = {b + d : b B, d D}, U = Q \ V Zbiór V występujący w definicji składający się z sum elementów zbiorów B i D oznacza się na ogół symbolem B + D. Definicja 1.2.5 Niech przekroje Dedekinda [A, B] i [C, D] zbioru liczb wymiernych określają dwie nieujemne liczby rzeczywiste x i y. Iloczynem x y nazywamy liczbę rzeczywistą określoną przekrojem Dedekinda [U, V ], gdzie V = {b d : b B, d D}, U = Q \ V W celu zdefiniowania iloczynu dowolnych liczb rzeczywistych wykorzystamy fakt, że jeśli x jest liczbą rzeczywistą ujemną, to liczba do niej przeciwna jest dodatnia. Skorzystamy z tego za pośrednictwem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej x = { x jeśli x 0 x jeśli x < 0 Definicja 1.2.6 Iloczynem dwóch dowolnych liczb rzeczywistych x, y nazywamy liczbę x y, jeśli obydwie są nieujemne lub obydwie niedodatnie oraz liczbę ( x y ), jeśli jedna z nich jest dodatnia, a druga ujemna. Twierdzenie 1.2.4 Zbiór liczb rzeczywistych z działaniem dodawania i mnożenia spełnia warunki: 1. x, y, z R; (x + y) + z = x + (y + z) 2. e 0 R, x R; x + e 0 = x 3. x R, y R; x + y = e 0 4. x, y R; x + y = y + x 10

5. x, y, z R; (xy)z = x(yz)) 6. e 1 R, x R; e 1 x = x 7. x R, x e 0, y R; xy = e 1 8. x, y R; xy = yx 9. x, y, z R; x(y + z) = xy + xz Element e 0 tradycyjnie oznaczamy przez 0, a e 1 przez 1. Zbiór z dwoma działaniami spełniającymi warunki podane w twierdzeniu nazywa się ciałem. 1.3 Kresy podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych 1.3.1 Zbiory ograniczone Definicja 1.3.1 (Ograniczenia zbiorów liczb) Niech U R. Każdą liczbę b R spełniającą warunek u U; u b nazywa się ograniczeniem górnym zbioru U. Jeśli istnieje chociaż jedno ograniczenie górne zbioru, to zbiór taki nazywa się ograniczonym z góry. Analogicznie definiuje się ograniczenia dolne i zbiory ograniczone z dołu. Zbiór ograniczony z góry i z dołu nazywa się ograniczonym. Jeśli liczba u jest ograniczeniem górnym zbioru U, to każda liczba większa od niej też jest jego ograniczeniem górnym. Podobnie każda liczba mniejsza od ograniczenia dolnego zbioru U jest też jego ograniczeniem dolnym. 1.3.2 Kres górny i kres dolny zbiorów Twierdzenie 1.3.1 Jeśli niepusty zbiór liczb jest ograniczony z góry, to istnieje jego najmniejsze ograniczenie górne. DOWÓD: Niech zbiór U R spełnia założenia. Oznaczmy przez B zbiór jego ograniczeń górnych oraz A := R \ B. Para [A, B] jest przekrojem Dedekinda zbioru R, czyli dokładnie jedna z klas jest domknięta. Jeśli domknięta jest klasa B, to jej najmniejszy element jest szukanym najmniejszym ograniczeniem górnym. Przypuśćmy, że domknięta jest klasa A i a jest jej największym elementem. Z faktu, że a / B, czyli a nie jest ograniczeniem górnym zbioru U, wynika istnienie x U takiego, że a < x. a jest największym elementem w A, więc x B. W klasie B nie ma elementu najmniejszego, więc istnieje takie b B, że b < x. 11

b jest ograniczeniem górnym U, a z drugiej strony jest mniejsze od jednego z elementów tego zbioru. Sprzeczność ta pokazuje, że przypuszczenie iż klasa A zawierała największy element nie może być prawdziwe a wobec tego B zawiera element najmniejszy. Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla zbiorów ograniczonych z dołu. Kres górny i dolny nazywa się też odpowiednio supremum i infimum zbioru oraz oznacza sup U, inf U. Jeśli zbiór U nie jest ograniczony z góry, to przyjmujemy sup U = +, jeśli nie jest ograniczony z dołu, to inf U =. Dodatkowo przyjmuje się następującą konwencję: sup =, inf = + Definicja 1.3.2 (Maksimum i minimum zbioru) Jeśli sup U U, to liczbę sup U nazywamy maksimum zbioru U i oznaczamy max U. Jeśli inf U U, to liczbę inf U nazywamy minimum zbioru U i oznaczamy min U. Maksimum zbioru, o ile istnieje, jest jego największym elementem, a minimum najmniejszym. Twierdzenie 1.3.2 Jeśli U R jest niepustym zbiorem ograniczonym z góry, to następujące trzy warunki są równoważne: 1. s = sup U 2. (a) p U; p s (b) x < s, p U; x < p 3. (c) Jeśli ciąg {p n } elementów zbioru U jest zbieżny, to lim p n s DOWÓD: (d) Istnieje ciąg elementów zbioru U zbieżny do s. 1. 2. sup U jest ograniczeniem górnym zbioru U, więc warunek (a) jest spełniony. Gdyby nie było elementu p U takiego, że x < p, to x byłby ograniczeniem górnym zbioru U wbrew temu, że s jest najmniejszym ograniczeniem górnym. 1. 2. Z (a) wynika, że s jest ograniczeniem górnym. Z (b) wynika, że dla każdej liczby x < s istnieje p U takie, że x < p, czyli x nie może być ograniczeniem górnym, a więc s jest najmniejszym ograniczeniem górnym. 2. 3. Warunek (c) wynika z tego, że nierówność zachowuje się przy przejściu do granicy. Dzięki (a) i (b) istnieje ciąg p n U taki, że s 1 n < p n s 12

i z twierdzenia o trzech ciągach lim p n = s. 2. 3. Przypuśćmy, że warunek (a) nie jest spełniony, tzn. istnieje element p U taki, że p > s. Ciąg stały p n = p jest zbieżny i lim p n = p > s, co przeczy założeniu (c). Niech p n będzie ciągiem elementów zbioru U zbieżnym do s. Jeśli x < s, to począwszy od pewnego wskaźnika wyrazy ciągu są większe od x. Wynika stąd (b). 13

Rozdział 2 Ciągi liczbowe 2.1 Definicja ciągu Definicja 2.1.1 Ciągiem nazywamy każde odwzorowanie zbioru liczb naturalnych N w pewien ustalony zbiór X. Sposoby oznaczenia ciągów: {a n } n=1, bądź {a n }, często po prostu a n, czasem wymienia się kilka pierwszych wyrazów ciągu i kończy kropkami a 1, a 2, a 3,... Wartości tego odwzorowania, to znaczy punkty a 1, a 2,... X nazywa się wyrazami ciągu. Czasami numeruje się wyrazy ciągu inaczej niż kolejnymi liczbami naturalnymi począwszy od 1. Na przykład a 0, a 1, a 2,... lub jeszcze inaczej. Zawsze jednak można tak je przenumerować, żeby indeksy były takie jak w definicji. Jeśli X = R, to mówimy o ciągach liczbowych. 2.2 Ciągi zbieżne Definicja 2.2.1 Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu liczbowego a n, jeśli spełniony jest warunek ε > 0, n ε R, n n ε ; a n g < ε Piszemy wtedy: lim a n = g n Ciąg mający granicę nazywa się zbieżnym. Lemat 2.2.1 Ciąg może mieć co najwyżej jedną granicę. DOWÓD: Przypuśćmy, że istnieją dwie różne granice g 1 < g 2 ciągu a n. Ustalmy ε = g 2 g 1. 3 Dzięki zbieżności ciągu a n do g 1 istnieje n, że dla n n jest a n g 1 < ε. Podobnie dzięki zbieżności ciągu a n do g 2 istnieje n, że dla n n jest a n g 2 < ε. Dla n max{ n, n} mamy a n < g 1 + ε oraz g 2 ε < a n 14

co jest niemożliwe, bo g 1 + ε < g 2 ε. Przypuszczenie, że istnieją dwie różne granice tego samego ciągu, musiało więc być fałszywe. Uwaga 2.2.1 Dla każdego ciągu a n mamy lim a n = g lim(a n g) = 0 lim a n g = 0 Lemat 2.2.2 Ciąg zbieżny jest ograniczony, to znaczy M 0, n N; a n M. (Ograniczoność ciągu oznacza, że zbiór jego wyrazów jest ograniczony.) DOWÓD: Ustalmy ε = 1. Ciąg jest zbieżny do g, więc dla wszystkich n począwszy od pewnego n 1 spełniona jest nierówność a n g < 1, a zatem g ε < a n < g + ε Skończony zbiór {a 1,..., a n1 1} jest też ograniczony. Zbiór wszystkich wyrazów ciągu jest więc ograniczony jako suma dwóch zbiorów ograniczonych. Twierdzenie 2.2.1 Jeśli ciągi {a n } i {b n } są zbieżne oraz n N; a n b n, to lim a n lim b n. DOWÓD: Przypuśćmy, że teza twierdzenia nie jest spełniona, czyli a = lim a n > lim b n = b. Ustalmy ε = a b. 3 Istnieje n 1 takie, że dla n n 1 jest a n a < ε. Podobnie istnieje n 2 takie, że dla n n 2 jest b n b < ε. Dla n max{n 1, n 2 } zachodzą nierówności b n b + ε < a ε a n co jest sprzeczne z założeniem, że a n możliwa. b n. Tak więc nierówność a > b nie jest UWAGA: Silna nierówność pomiędzy wyrazami ciągów nie implikuje silnej nierówności między granicami, a jedynie słabą. 15

Twierdzenie 2.2.2 (Twierdzenie o trzech ciągach) Jeśli lim a n = lim b n = g oraz dla prawie wszystkich n N zachodzą nierówności to lim u n = g. a n u n b n DOWÓD: Ustalmy ε > 0. Istnieje n, że dla n n jest g ε a n g + ε. Istnieje n, że dla n n jest g ε b n g + ε. Dla n max{ n, n} mamy g ε a n u n b n g + ε Twierdzenie 2.2.3 Jeśli lim n u n = g, to lim n u n = g. Dowód wynika z nierówności oraz własności zawartej w Uwadze 2.2.1. a b a b 2.2.1 Dodawanie, mnożenie i dzielenie ciągów Sumą ciągów {a n } i {b n } nazywa się ciąg {a n +b n }. Podobnie iloczyn liczby s i ciągu {a n } to ciąg {sa n }, iloczyn ciągów {a n } i {b n } to ciąg {a n b n }, a iloraz to { an b n } w tym ostatnim przypadku wyrazy ciągu {b n } muszą być różne od zera. Twierdzenie 2.2.4 Załóżmy, że ciągi {a n } i {b n } są zbieżne. Wtedy 1. Ciąg {a n + b n } jest zbieżny i lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n. 2. ( s R) ciąg {sa n } jest zbieżny i lim sa n = s lim a n. 3. Ciąg {a n b n } jest zbieżny i lim(a n b n ) = lim a n lim b n. 4. Jeśli lim b n 0, to ciąg { an b n } jest zbieżny i lim a n b n = lim a n lim b n DOWÓD: Wprowadźmy oznaczenia lim a n = a i lim b n = b. 1. Ustalmy ε > 0. Istnieje n, że dla n n: a n a < ε 2. Istnieje n, że dla n n: b n b < ε 2. Dla n n ε = max{ n, n} (a n + b n ) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b < ε 16

2. Dla s = 0 twierdzenie jest oczywiste. Rozpatrzmy przypadek s 0. Ustalmy ε > 0 Istnieje n ε, że dla wszystkich n n ε zachodzą nierówności a n a < ε s Mnożąc stronami przez s dostajemy sa n sa < ε. 3. Ustalmy ε > 0. a n b n ab = a n b n ab n + ab n ab a n b n ab n + ab n ab = b n a n a + a b n b Istnieje M 0 takie, że dla wszystkich n N zachodzi nierówność b n M. Mamy więc dla wszystkich n a n b n ab M a n a + a b n b Jeśli M > 0, to ustalamy n takie, że dla n n jest a n a < to n = 1. Jeśli a 0, to ustalamy n takie, że dla n n jest b n b < to przyjmujemy n = 1. Dla n n ε = max{ n, n} mamy: 4. Ustalmy ε > 0. a n b n ab M ε 2M + a ε 2 a = ε a n a b n b = a n b ab n b n b = a nb ab n b n b ε. Jeśli M = 0, 2M ε. Jeśli a = 0, 2 a Istnieje ñ, że dla n ñ jest bn b < 1 b, a stąd b 2 n > 1 b. 2 Dla n ñ mamy 1 < 2 b n, dzięki czemu b a n a b n b 2 b a nb ab 2 n 2 b ( a 2 n a) b + b b n a ) Istnieje n, że dla n n jest a n a < b ε. 4 Jeśli a = 0, to dla n n ε = max{ñ, n} a n a 2 b n b b b 2 4 ε = ε 2 Rozważmy przypadek a 0. Istnieje n, że dla n n jest b n b < b2 ε. 4 a Wtedy dla n n ε = max{ñ, n, n} będzie a n a b n b 2 b 2 ( b 4 ε b + b2 4 a ε a ) = ε 17

2.2.2 Ciągi monotoniczne i ich zbieżność Definicja 2.2.2 (Ciągi rosnące i silnie rosnące) Ciąg {a n } nazywa się rosnącym, jeśli spełniony jest warunek n N; a n a n+1 Jeśli nierówność powyżej jest silna, to mówimy o ciągu silnie rosnącym. Zmieniając kierunek nierówności dostajemy określenie ciągu malejącego. Ciągi rosnące i malejące nazywa się łącznie ciągami monotonicznymi. Twierdzenie 2.2.5 Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. DOWÓD: Niech ciąg {a n } będzie niemalejący i ograniczony z góry. Przyjmijmy g = sup{a n : n N}. Wykażemy, że ciąg {a n } jest zbieżny do g. Ustalmy dowolne ε > 0. Istnieje wyraz ciągu oznaczmy go przez a k który spełnia nierówność g ε < a k. Ze względu na monotoniczność mamy ( n k) g ε < a k a n. Oprócz tego ( n) a n g, więc ostatecznie n k; g ε < a n g < g + ε czyli a n g < ε. Wnioskiem z tego twierdzenia jest następujące: Twierdzenie 2.2.6 (O zstępującym ciągu przedziałów domkniętych) Niech [a n, b n ] będzie zstępującym ciągiem przedziałów domkniętych, przy czym ciąg ich długości jest zbieżny do zera, czyli m, n N; (m n) (a m a n b n b m ) oraz lim(b n a n ) = 0. Wtedy część wspólna tych wszystkich przedziałów jest zbiorem jednopunktowym {g} oraz lim a n = lim b n = g. DOWÓD: k N liczba b k jest ograniczeniem górnym ciągu {a n }, a liczba a k jest ograniczeniem górnym ciągu {b n }. Ciągi te są monotoniczne, a więc mają granice. Dzięki założeniu i Tw. 2.2.4 mamy lim b n lim a n = lim(b n a n ) = 0 Zbiór jednopunktowy {g} zawierający wspólną granicę tych ciągów jest częścią wspólną wszystkich przedziałów [a n, b n ]. Twierdzenie 2.2.7 Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. 18

DOWÓD: Przypuśćmy, że zbiór liczb rzeczywistych R jest przeliczalny, a więc istnieje ciąg {x n } zawierający wszystkie liczby rzeczywiste. Korzystając z Zasady Indukcji definiujemy zstępujący ciąg przedziałów [a n, b n ] taki, że ( n N, k n) x k / [a n, b n ] i lim n (b n a n ) = 0 1. Jako [a 1, b 1 ] bierzemy dowolny przedział nie zawierający liczby x 1. 2. Jeśli wybrane są przedziały [a 1, b 1 ], [a 2, b 2 ],..., [a n, b n ], to jako przedział [a n+1, b n+1 ] wybieramy przedział zawarty w [a n, b n ], nie zawierający x n+1 oraz o długości równej bn an 3. Ciągi {a n } i {b n } spełniają założenia twierdzenia o zstępującym ciągu przedziałów, a ich wspólna granica g, jako należąca do części wspólnej tych przedziałów, nie może być żadnym z wyrazów ciągu {x n }. 2.3 Warunek Cauchy ego, zupełność zbioru liczb rzeczywistych Definicja 2.3.1 Mówimy, że ciąg {a n } spełnia warunek Cauchy ego, jeśli ε > 0, n ε, m, n n ε ; a m a n ε Ciąg spełniający warunek Cauchy ego nazywa się ciągiem Cauchy ego lub ciągiem podstawowym. Lemat 2.3.1 Ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy ego. DOWÓD: Niech lim a n = g i ustalmy dowolne ε > 0. Istnieje n ε, że dla k n ε jest a k g < ε 2. Biorąc n n ε i m n ε mamy a n a m = a n g + g a m a n g + a m g < ε 2 + ε 2 = ε Lemat 2.3.2 Ciąg Cauchy ego jest ograniczony. DOWÓD: Weźmy ε = 1. Istnieje n 1, że m, n n 1 jest a m a n < 1. W szczególności dla n n 1 zachodzą nierówności a n a n1 < 1 czyli a n (a n1 1, a n1 + 1). Skończony zbiór wyrazów {a 1, a 2,..., a n1 1} jest ograniczony, a zatem zbiór wszystkich wyrazów ciągu {a n } jest ograniczony jako suma dwóch zbiorów ograniczonych. Dla ciągów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych zachodzi twierdzenie odwrotne. 19

Twierdzenie 2.3.1 Ciąg liczbowy {a n } spełniający warunek Cauchy ego jest zbieżny. (Tę własność zbioru liczb rzeczywistych nazywamy jego zupełnością.) DOWÓD: Niech {a n } będzie ciągiem Cauchy ego. Przyjmijmy α n = inf{a k ; k n} oraz β n = sup{a k ; k n} Ciąg Cauchy ego jest ograniczony, więc wyrazy α n i β n są skończone. Dla każdego n N zachodzą nierówności α n α n+1 β n+1 β n. Ustalmy ε > 0 i niech n ε będzie takie, że k, l n ε ; a k a l < ε 2. Niech n n ε. Dla l n mamy a l < a nε + ε 2 i stąd β n = sup{a l : l n} a nε + ε 2. Z drugiej strony dla l n mamy a l > a mε ε i stąd α n = inf{a l : l n} a nε ε 2. Mamy więc nierówności a nε ε 2 α n β n a nε + ε 2 skąd β n α n ε. Wynika stąd, że lim(β n α n ) = 0. Dzięki twierdzeniu o zstępującym ciągu przedziałów lim α n = lim β n, a nierówności α n a n β n oraz twierdzenie o trzech ciągach implikują zbieżność ciągu {a n }. 2.4 Ciągi zbieżne do nieskończoności granice niewłaściwe Definicja 2.4.1 Mówimy, że ciąg {a n } jest zbieżny do +, jeśli spełnia następujący warunek: L R, n L, n n L ; a n > L Ciąg jest zbieżny do, jeśli: l R, n l, n n l ; a n l Zapisujemy to lim a n = +, lim a n = i mówimy, że granice są niewłaściwe. Często też w takiej sytuacji mówi się o ciągach rozbieżnych do + bądź do. 2.4.1 Własności ciągów zbieżnych do nieskończoności Lemat 2.4.1 Jeśli ciąg {a n } jest zbieżny do +, a ciąg {b n } jest ograniczony z dołu, to ciąg {a n + b n } jest zbieżny do +. (Analogiczne twierdzenie dla ciągów zbieżnych do.) DOWÓD: Ustalmy dowolne L R. Ciąg {b n } jest ograniczony z dołu, więc istnieje m R takie, że ( n N) b n > m, ustalmy takie m. Istnieje n ε takie, że ( n n ε ) a n > L m. Czyli ( n n ε ) a n + b n > L. 20

O różnicy nic nie można ogólnie powiedzieć. Lemat 2.4.2 Jeśli ciąg {a n } jest zbieżny do +, a ciąg {b n } począwszy od pewnego wskaźnika ograniczony z dołu przez liczbę dodatnią (z góry przez liczbę ujemną), to iloczyn {a n b n } jest ciągiem zbieżnym do + (do ). DOWÓD: Ustalmy dowolne L R. Istnieje m > 0, że począwszy od pewnego wskaźnika n 1 N zachodzi nierówność: ( n n 1 ) b n > m. Istnieje n 2 N, że ( n n 2 ) a n > L m. Niech n ε = max{n 1, n 2 }. Wtedy ( n n ε ) a n b n > L. Jeśli ciąg {b n } nie spełnia założenia tego lematu, to nic z góry nie można powiedzieć o zachowaniu się iloczynu. Przykład 2.4.1 Weźmy pod uwagę ciągi o następujących wyrazach ogólnych a n = n, b n = n + 1 n, c n = n 2, d n = n + ( 1) n Wszystkie one są zbieżne do +. Mamy lim(a n + b n ) = +, lim(a n b n ) = 0, lim(a n c n ) = Granica ciągu {a n d n } nie istnieje, ani nie jest on zbieżny do + lub. Przykład 2.4.2 Rozważmy ciągi a n = n, b n = 1 n, c n = 1 n 2 d n = 1 n, e n = (1 + ( 1) n ) 1 n 2 + (1 ( 1)n ) 1 n oraz iloczyny ciągu {a n } z każdym z pozostałych. 2.5 Podciągi (ciągi częściowe) Definicja 2.5.1 Dany jest ciąg {a n }. Jeśli {n k } k=1 jest dowolnym silnie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to ciąg {b k } określony równością b k = a nk, dla k N, nazywamy podciągiem lub ciągiem częściowym ciągu {a n }. Można sobie wyobrażać, że podciąg powstaje przez opuszczenie części wyrazów wyjściowego ciągu - skończenie lub nieskończenie wielu. Ważne są relacje pomiędzy zbieżnością ciągu i zbieżnością jego podciągów. 21

Lemat 2.5.1 Jeśli ciąg jest zbieżny, to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy. DOWÓD: Spróbujmy wykazać, że ( k N) n k k. Istotnie n 1 1, bo n 1 N. Załóżmy prawdziwość tego wzoru dla pewnego k. Ponieważ n k+1 N i n k N oraz n k+1 > n k, więc n k+1 n k + 1 k + 1. Słuszność tego wzoru dla k N wynika z zasady indukcji. Ustalmy ε > 0. Jeśli lim a n = a, to istnieje n ε N takie, że a n a < ε dla n n ε. Jak zauważyliśmy: n k n ε dla k n ε, więc a nk a < ε dla k n ε. Wobec dowolności liczby dodatniej ε dowodzi to, że lim a nk = a. Lemat 2.5.2 Jeśli każdy podciąg danego ciągu ma podciąg zbieżny do tej samej liczby g, to wyjściowy ciąg jest zbieżny do tej liczby. DOWÓD: Przypuśćmy, że każdy podciąg danego ciągu ma podciąg zbieżny do tej samej liczby g, ale ciąg wyjściowy nie jest do niej zbieżny, a zatem spełniony jest następujacy warunek: ε > 0, n ε N, n n ε ; a n g ε Ustalmy takie ε. 1. Jeśli wybierzemy n ε = 1 to z def. istnieje n 1 n ε takie, że a n1 g ε. 2. Teraz za n ε wybierzmy poprzednio znaleziony wskaźnik i dodajmy do niego 1, tzn. n ε = n 1 + 1; z definicji istnieje n 2 n ε takie, że a n2 g ε. W k-krotnym kroku ustalając n ε = n k 1 + 1 znajdujemy n 2 n ε Na mocy indukcji dowiedliśmy istnienia podciągu rozbieżnego tego ciągu, który nie może mieć podciągu zbieżnego do g (granicy skończonej), a zatem otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem. Przykład 2.5.1 Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, to znaczy, że można je ustawić w ciąg. Niech {q n } będzie takim ciągiem. Wiadomo również, że każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić jako granicę ciągu liczb wymiernych, przy czym można to zrobić tak, żeby taki przybliżający ciąg był podciągiem ustalonego przez nas ciągu {q n }. Tak więc ciąg {q n }, który nie jest zbieżny, ma co najmniej tyle podciągów zbieżnych, ile jest liczb rzeczywistych. 22

2.5.1 Istnienie podciągów zbieżnych Istnieją ciągi, które nie mają żadnego podciągu zbieżnego (chodzi tu o zbieżność do granicy skończonej). Na przykład każdy ciąg zbieżny do +. Twierdzenie 2.5.1 (Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa) Każdy ograniczony ciąg liczbowy ma podciąg zbieżny. DOWÓD: Niech a n będzie ciągiem ograniczonym z dołu przez liczbę A i z góry przez liczbę B. Utwórzmy zstępujący ciąg przedziałów domkniętych [u m, v m ] mający następujące własności: (i) v m u m = B A 2 m (ii) m przedział [u m, v m ] zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu a n (iii) u m u m+1 v m+1 v m Zróbmy to indukcyjnie w następujący sposób: 1. Przyjmujemy u 0 = A, v 0 = B. 2. Załóżmy, że dla pewnego m mamy u m i v m spełniające warunki (i), (ii). Niech z = vm um. 2 Jeśli przedział [u m, z] zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu a n, to przyjmujemy u m+1 = u m, v m+1 = z. W przeciwnym przypadku przyjmujemy u m+1 = z, v m+1 = v m. Korzystając z ciągów u m i v m znajdujemy, również używając Zasady Indukcji, podciąg a nm ciągu a n spełniający warunek u m a nm v m : 1. Jako a n0 przyjmujemy dowolny wyraz ciągu a n. 2. Załóżmy, że określony został wyraz a nm spełniający wymagany warunek. Przedział [u m+1, v m+1 ] zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu a n, więc istnieje pośród nich wyraz o wskaźniku większym od n m. Wybieramy dowolny z nich i przyjmujemy jako a nm+1. Na podstawie twierdzenia o zstępującym ciągu przedziałów domkniętych i twierdzenia o trzech ciągach podciąg a nm jest zbieżny. 2.6 Granica górna i dolna ciągu Niech {a n } będzie dowolnym ciągiem liczbowym. Definicja 2.6.1 (Granica górna ciągu) 23

1. Jeśli ciąg jest ograniczony z góry, to jego granicą górną nazywa się kres górny zbioru wszystkich granic zbieżnych podciągów tego ciągu. 2. Jeśli ciąg nie jest ograniczony z góry, to jako granicę górną przyjmujemy +. Jeśli ciąg ograniczony z góry (czyli w pierwszym przypadku) nie ma żadnego zbieżnego podciągu, to zgodnie z konwencją sup = jego granicą górną jest. Analogicznie definiuje się granicę dolną. Granicę górną nazywa się też limes superior i oznacza lim sup a n. Granicę dolną nazywa się limes inferior i oznacza lim inf a n. Twierdzenie 2.6.1 (Charakteryzacja granicy górnej i dolnej) lim sup a n = inf sup{a k : k n} lim inf n n n DOWÓD (dla granicy górnej): Rozważymy trzy przypadki: a n = sup inf{a k : k n} n 1. lim sup a n R. Wykażemy dwie nierówności, z czego będzie wynikała potrzebna równość: lim sup a n inf n sup{a k : k n} Niech g będzie dowolną granicą częściową ciągu a n. n; g sup{a k : k n}. g inf n sup{a k : k n}. lim sup a n inf n sup{a k ; k n}. lim sup a n inf n sup{a k : k n} Weźmy dowolne α > lim sup a n. Skończenie wiele wyrazów a n może być większych od α, czyli. n α, n n α ; sup{a k : k n} < α. inf n sup{a k : k n} < α. Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe α > lim sup a n możemy napisać inf n sup{a k : k n} inf{α; α > lim sup a n } = lim sup a n. 2. lim sup a n = + Wtedy ciąg a n nie jest ograniczony z góry, skąd n; sup{a k : k n} = +. inf n sup{a k : k n} = +. 3. lim sup a n = W tym przypadku lim a n =. z R, n z, n n z ; sup{a k : k n} z. inf n sup{a k ; k n} =. 24

Korzystając z wprowadzonych wcześniej oznaczeń (przy okazji badania ciągów spełniających warunek Cauchy ego) udowodnione wzory można zapisać α n = inf{a k ; k n}, β n = sup{a k ; k n} lim inf a n = lim α n, lim sup a n = lim β n przy czym dla każdego n N zachodzą nierówności α n α n+1 β n+1 β n Z tego wynika, że zawsze zachodzi nierówność lim inf a n lim sup a n Lemat 2.6.1 Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, jeśli jego granica dolna jest równa granicy górnej. DOWÓD: 1. Załóżmy, że lim a n = g i ustalmy ε > 0. Istnieje n ε > 0 takie, że dla k n ε g ε < a k < g + ε a stąd wynika, że dla n n ε g ε < α n β n < g + ε a więc lim α n = lim β n na podstawie twierdzenia o zstępującym ciągu przedziałów. 2. Załóżmy, że lim α n = lim β n. Istnienie granicy lim a n wynika wtedy z nierówności i twierdzenia o trzech ciągach. α n a n β n Lemat 2.6.2 Istnieje podciąg zbieżny do granicy górnej ciągu i podciąg zbieżny do jego granicy dolnej. DOWÓD: Dla granicy górnej. Rozważymy trzy przypadki w zależności od postaci granicy górnej lim sup a n = β. 25

1. β R. Zauważmy, że dla dowolnej liczby ε > 0 i dowolnego n N sup{a k ; k n} > g ε Z drugiej strony istnieje n ε takie, że dla n n ε jest a n < β + ε Korzystając z tych dwóch faktów można, stosując zasadę indukcji, udowodnić istnienie podciągu a nk takiego, że dla każdego k N g 1 k < a n k < g + 1 k 2. β = + Dla każdej liczby L R i n N istnieje k n takie, że a k L. Stosując tę własność dla liczb L = 1, 2,... można, przy pomocy indukcji, udowodnić istnienie podciągu a nk takiego, że a nk k, a więc lim k a nk = +. 3. β = W tym przypadku lim a n =, a więc sam ciąg a n spełnia żądany warunek. 2.7 Liczba e Liczba e, podstawa logarytmów naturalnych, gra dużą rolę w analizie. Wprowadzimy ją jako granicę pewnego ciągu. Twierdzenie 2.7.1 Ciąg x n = ( 1 + 1 ) n n jest zbieżny. (Granicę tego ciągu nazywamy stałą Eulera i oznaczamy przez e. Początkowe wyrazy jej rozwinięcia dziesiętnego to 2, 718...) DOWÓD: Wykażemy, że ciąg x n jest rosnący i ograniczony. x n = 1 + n 1 n(n 1) 1 n(n 1)... (n n + 1) 1 + +... + n 1 2 n2 1 2... n n n = 2 + 1 ( 1 1 ) +... + 1 ( 1 1 ) (... 1 n 1 ) 2! n n! n n x n+1 = 2 + 1 2! + 1 (n + 1)! ( 1 1 ) +... + 1 n + 1 n! ( 1 1 ) (... n + 1 26 ( 1 1 1 n 1 n + 1 n + 1 ) (... 1 n 1 ) ( 1 n n + 1 n + 1 ) )

Porównując składniki w tych wyrażeniach widzimy, że x n < x n+1. Ponadto x n < 2 + 1 2! + 1 3! +... 1 n! < 2 + 1 2 + 1 2 2 +... 1 2 n 1 < 3 Lemat 2.7.1 Prawdziwa jest równość a ponadto dla każdego n 0 < e e = lim n n k=0 n k=0 1 k! 1 k! < 1 n! n (2.1) (2.2) DOWÓD: Zastosujmy wzór na wyraz ciągu x n dla n > k i odrzućmy wszystkie składniki, które występują po wyrażeniu zawierającym 1. Dostaniemy prawdziwą k! dla wszystkich n > k nierówność ( ) ( ) ( ) x n > 2 + 1 2! 1 1 n + 1 3! 1 1 n 1 2 n +... ( ) ( ) ( ) + 1 k! 1 1 n 1 2 n... 1 k 1 n Przechodząc z n do nieskończoności, przy ustalonym k, dostajemy nierówność e 2 + 1 2! +... + 1 k! Oznaczmy prawą stronę tej nierówności przez y k. Mamy więc nierówności x k < y k e prawdziwe dla każdego k w istocie prawa nierówność jest też ostra ze względu na silną monotoniczność ciągu y k. Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy równość (2.1). Teraz udowodnimy oszacowanie (2.2). Dla dowolnych n, m N mamy y n+m y n = [ 1 1 + 1 ] (n + 1)! n + 2 + 1 (n + 2)(n + 3) +... + 1 < (n + 2)... (n + m) [ 1 1 + 1 ] (n + 1)! n + 2 + 1 (n + 2) +... + 1 < 2 (n + 2) m 1 1 (n + 1)! 1 1 1 n+2 Przechodząc z m do + dostaniemy e y n = 1 (n + 1)! n + 2 n + 1 1 (n + 1)! n + 2 n + 1 = 1 n! n + 2 (n + 1) < 1 2 n!n 27

bo n+2 (n+1) 2 < 1 n. Równość (2.1) z lematu 2.7.1 będziemy po wprowadzeniu pojęcia szeregu liczbowego i sumy szeregu liczbowego zapisywali w następujący sposób e = n=0 Oszacowanie (2.2) pozwala obliczać liczbę e z dowolną ustaloną dokładnością, jak również udowodnić następujące twierdzenie. 1 n! Twierdzenie 2.7.2 Liczba e jest niewymierna. DOWÓD: Przypuśćmy, że liczba e jest wymierna i e = p q, gdzie p, q N. Zastosujmy oszacowanie (2.2) dla n = q. 0 < p ( q 2 + 1 2! + 1 3! +... + 1 ) q! θ = pq! qq! < 1 q!q Możemy napisać p q = 2 + 1 2! + 1 3! +... + 1 q! + θ q!q gdzie 0 < θ < 1. Mnożąc obydwie strony tej równości przez q!q dostaniemy ( ) 2 + 1 2! + 1 3! +... + 1 q! Po lewej stronie jest liczba z przedziału (0, 1), a po prawej liczba całkowita sprzeczność. Liczba e musi więc być niewymierna. Uwaga. Można też wykazać, że liczba e jest niealgebraiczna (przestępna), to znaczy, że nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Ciągowi, który posłużył do określenia e, można nadać ogólniejszą postać. Lemat 2.7.2 Jeśli lim x n = + to ( lim 1 + 1 ) xn = e n x n DOWÓD: Niech [a] oznacza część całkowitą liczby a. Rozważamy trzy przypadki: 1. lim x n = + Bierzemy pod uwagę tylko x n 1. Korzystając z nierówności [x n ] x n < [x n ] + 1 można napisać serię nierówności: 1 + 1 [x n ] + 1 < 1 + 1 x n 1 + 1 [x n ] 28

( 1 1 + [x n ] + 1 ( ) [xn]+1 1 + 1 [x n]+1 1 + 1 [x n]+1 ) [xn] < (1 + 1 ) xn ( 1 + 1 xn [x n ] < (1 + 1 ) xn ( xn 1 + 1 [x n ] ) [xn]+1 ) [xn] ( 1 + 1 ) [x n ] 2. lim x n = Najpierw wykażemy, że ( lim 1 + 1 ) n = e n n ( 1 + 1 ) n ( ) n n ( = = 1 + 1 ) n 1 ( 1 + 1 ) e n n 1 n 1 n 1 Bierzemy pod uwagę tylko x n < 2. Korzystając z nierówności [x n ] x n < [x n ] + 1 można napisać serię nierówności: 1 + 1 [x n ] + 1 < 1 + 1 1 + 1 x n [x n ] ( 1 + 1 ) [xn]+1 (1 + 1 ) xn ( ) [xn] 1 < 1 + [x n ] xn [x n ] + 1 ( 1 + 1 ) [xn] ( 1 + 1 ) [x n ] [x n ] (1 + 1 xn ) xn < ( 1 + 1 [x n]+1 ( 1 + 1 [x n]+1 ) [xn]+1 (Trzeba brać pod uwagę, że wykładniki są ujemne, a podstawy potęg z przedziału (0, 1). ) 3. lim x n = +, ale żaden z poprzednich przypadków. Ciąg x n zawiera podciąg rozbieżny do + i podciąg rozbieżny do. Można go wtedy rozbić na dwa takie podciągi i zastosować do nich poprzednie punkty. Jeśli ciąg jest rozbity na dwa podciągi, z których każdy jest zbieżny do tej samej granicy, to sam ciąg też jest zbieżny do tej granicy. ) 1 2.8 Porównywanie ciągów Definicja 2.8.1 Ciąg {u n } jest zdominowany przez ciąg {v n }, jeśli spełniony jest warunek L 0, n 0 N, n n 0 ; u n L v n Zapisuje się to symbolicznie u n = O(v n ) i tradycyjnie określa, że ciąg u n jest O duże ciągu v n. 29

Definicja 2.8.2 Ciąg {u n } jest nieskończenie mały w porównaniu z ciągiem {v n }, jeśli ε > 0, n ε, n n ε ; u n ε v n Zapisuje się to symbolem u n = o(v n ) i określa, że ciąg u n jest o małe ciągu v n. Jeśli ciąg v n jest zbieżny do zera, to mówi się, że ciąg u n jest nieskończenie małą wyższego rzędu niż v n. Lemat 2.8.1 Jeśli wyrazy ciągu {v n } są różne od zera, to 1. u n = O(v n ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg un v n 2. u n = o(v n ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim un v n = 0. 2.8.1 Ciągi równoważne Definicja 2.8.3 Ciągi {u n } i {v n } są równoważne, jeśli Zapisuje się to tak u n v n. u n v n = o(v n ) jest ograniczony. Uwaga. Jeśli dwa ciągi są równoważne, to począwszy od pewnego miejsca jeśli wyraz jednego z nich jest równy 0, to drugiego też. (Dla dowodu tej uwagi można rozważyć warunek z definicji dla ε = 1 2.) Lemat 2.8.2 Ciągi u n i v n są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg α n taki, że lim α n = 0 oraz począwszy od pewnego n zachodzi równość u n = (1 + α n )v n. DOWÓD: Wykażemy implikacje w dwie strony.,, Zakładamy, że u n v n. Rozważamy n tak duże, że u n = 0 v n = 0. Niech { un α n = vn 1 gdy v n 0 0 gdy v n = 0 Jeśli v n 0 i u n v n ε v n, to α n ε. Udowodniliśmy, że lim α n = 0.,, Zakładamy, że lim α n = 0. Z równości u n = (1 + α n )v n wynika u n v n = α n v n. Przy dowolnym ustalonym ε > 0 istnieje n ε, że dla n n ε jest α n < ε. Wtedy u n v n ε v n 30

Twierdzenie 2.8.1 Relacja jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich ciągów liczbowych. DOWÓD: Wykazujemy spełnienie trzech warunków relacji równoważności. zwrotność Przyjmując α n = 0 mamy u n = (1 + α n )u n. symetria Jeśli u n = (1 + α n )v n, to v n = ( ) 1 αn un 1+α n. przechodniość Niech u n = (1 + α n )v n oraz v n = (1 + β n )w n. Wtedy u n = (1 + α n + β n + α n β n )w n. Przykłady. 1. Jeśli α < β, to n α = o(n β ), 1 n β = o( 1 n α ). 2. Jeśli a < b, to a n = o(b n ). 3. a n = o(n!) 31

Rozdział 3 Szeregi liczbowe Definicja 3.0.4 Szeregiem liczbowym nazywamy parę ciągów ( {u n } n=1, {S k } k=1), gdzie {u n } jest dowolnym ciągiem liczbowym, a ciąg {S k } jest zdefiniowany wzorem k S k = u n n=1 Ciąg u n nazywa się ciągiem wyrazów tego szeregu, a ciąg S k ciągiem sum częściowych. Na ogół szereg oznacza się skrótowo jednym z następujących symboli: u n, n=1 un Sumowanie sum częściowych może się odbywać począwszy od innego wskaźnika, niekoniecznie od jedynki, to znaczy możemy rozważać też szeregi u n n=p 3.1 Szeregi liczbowe zbieżne Definicja 3.1.1 Szereg u n nazywamy zbieżnym, jeśli zbieżny jest jego ciąg sum częściowych. Granicę tego ciągu nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem u n n=1 Jeśli szereg nie jest zbieżny, to mówimy, że jest rozbieżny. Jeśli ciąg sum częściowych szeregu jest zbieżny do granicy niewłaściwej + lub, to mówimy, że suma tego szeregu jest odpowiednio równa + bądź. Uwaga: Dany jest ciąg {u n } n=k i niech k l. Szereg n=k u n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg n=l u n. 32

Przykłady 1. Szereg geometryczny. Niech a 0 0. u n = a 0 q n, k n=0 a 0 q n = a 0 1 q k+1 1 q Jeśli q < 1, to szereg geometryczny jest zbieżny i n=0 a 0 q n = a 0 1 q Dla q 1 szereg geometryczny jest rozbieżny. 2. Wzór z lematu 2.1 możemy teraz zapisać w postaci n=0 1 n! = e 3.1.1 Warunek konieczny zbieżności szeregu Twierdzenie 3.1.1 Jeśli szereg liczbowy jest zbieżny, to ciąg jego wyrazów jest zbieżny do zera. DOWÓD: Dla n > 1 n n 1 u n = u k u k u k u k = 0 k=1 k=1 k=1 k=1 To nie oznacza, że jeśli ciąg wyrazów szeregu jest zbieżny do zera, to szereg jest zbieżny!!! Przykład szeregu rozbieżnego spełniającego warunek konieczny zbieżności szeregu Tak zwany szereg harmoniczny 1 n jest rozbieżny, a oczywiście spełnia warunek konieczny zbieżności. Ustalmy k N. Mamy S 2 k+1 S 2 k = 1 2 k + 1 +... + 1 2 k+1 > 1 2 k+1 +... + 1 2 k+1 = 1 2 Stąd wynika, że dla wzystkich k N zachodzi nierówność S 2 k > k 2. Ciąg sum częściowych S n jest rosnący i zawiera podciąg zbieżny do nieskończoności, więc sam też jest zbieżny do nieskończoności, czyli n=1 1 n = + 33

3.1.2 Dodawanie szeregów i mnożenie przez liczbę Twierdzenie 3.1.2 1. Jeśli zbieżne są szeregi u n i v n, to zbieżny jest szereg (u n + v n ) i (u n + v n ) = u n + v n n=1 n=1 n=1 2. Jeśli zbieżny jest szereg u n, a α jest dowolną liczbą, to zbieżny jest też szereg αun i αu n = α n=1 u n n=1 Uwaga: Może się zdarzyć, że szereg (u n + v n ) jest zbieżny, a szeregi u n, vn są rozbieżne. Na przykład dla u n = n, v n = n. 3.1.3 Warunek Cauchy ego zbieżności szeregów Twierdzenie 3.1.3 Szereg u n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek ε > 0, n ε, m n ε, k N; m+k u n < ε n=m Dowód polega na zastosowaniu warunku Cauchy ego zbieżności ciągów do ciągu sum częściowych szeregu. 3.1.4 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów Twierdzenie 3.1.4 1. Jeśli szereg u n o wyrazach nieujemnych jest zbieżny i dla n N zachodzą nierówności x n u n, to szereg x n jest zbieżny. 2. Jeśli szereg u n jest rozbieżny i dla n N zachodzą nierówności 0 u n x n, to szereg x n jest rozbieżny. DOWÓD: 1. Ustalmy ε > 0. Szereg u k jest zbieżny, więc na mocy warunku Cauchy ego istnieje n ε, że dla wszystkich n m n ε Dzięki nierównościom n u k < ε k=m n n n x k x k u k k=m k=m k=m 34

możemy stwierdzić, że dla wszystkich n m n ε n x k < ε k=m Szereg x k spełnia więc warunek Cauchy ego, czyli jest zbieżny. 2. n n x k u k gdy n k=1 k=1 Przykłady: 1. Szereg 1 2 n +1 jest zbieżny, bo zbieżny jest szereg 1 2 n. 2. Szereg 1 n s jest rozbieżny dla s 1, bo rozbieżny jest szereg 1 n. 3.2 Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych Jeśli dla wszystkich n N jest u n 0, to ciąg sum częściowych szeregu u n jest niemalejący, a więc albo zbieżny do liczby skończonej, albo zbieżny do granicy niewłaściwej +. 3.2.1 Kryteria wynikające bezpośrednio z kryterium porównawczego Twierdzenie 3.2.1 Niech n N : u n 0, v n > 0. Wtedy 1. Jeśli ciąg un v n jest ograniczony z góry, to ze zbieżności szeregu v n wynika zbieżność szeregu u n. 2. Jeśli ciąg un v n jest ograniczony z dołu przez liczbę dodatnią, to z rozbieżności szeregu v n wynika rozbieżność szeregu u n. DOWÓD: 1. Istnieje stała L 0 taka, że dla wszystkich n jest un v n kryterium porównawczego dzięki nierównościom L. Teza wynika z 0 u n Lv n i zbieżności szeregu v n. 2. Istnieje stała α > 0 taka, że dla wszystkich n jest α un v n. Tutaj też teza wynika z kryterium porównawczego dzięki nierównościom αu n v n i rozbieżności szeregu u n. 35

Wniosek: Jeśli istnieje granica lim un v n różna od zera, to szereg u n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg v n. Przykłady: 1. Szereg 1 2 n n jest zbieżny, bo zbieżny jest szereg 1 2 n. 2. Szereg 1 n+5 jest rozbieżny, bo rozbieżny jest szereg 1 n. Twierdzenie 3.2.2 Jeśli n N; u n > 0, v n > 0 oraz to u n+1 u n v n+1 v n 1. Ze zbieżności szeregu v n wynika zbieżność szeregu u n. 2. Z rozbieżności szeregu u n wynika rozbieżność szeregu v n. DOWÓD: Skracając ułamki po obydwóch stronach nierówności u n u n 1 un 1 u n 2... u3 u 2 u2 u 1 v n v n 1 vn 1 v n 2... v3 v 2 v2 v 1 dostajemy u n v 1 v n u 1. Teza w obydwóch przypadkach wynika z kryterium porównawczego. 3.2.2 Kryteria d Alemberta i Cauchy ego opierające się na porównaniu z szeregami geometrycznymi Cechą wspólną tych kryteriów jest to, że przy dowodzie ich prawdziwości w części dotyczącej zbieżności konstruuje się pewne zbieżne szeregi geometryczne ograniczające z góry badane szeregi. Wynika z tego, że nie da się ich zastosować do stwierdzenia zbieżności szeregów, które nie są ograniczone przez żaden szereg geometryczny. Kryterium d Alemberta Twierdzenie 3.2.3 Niech n N; u n > 0. 1. Jeśli lim sup u n+1 u n 2. Jeśli lim inf u n+1 u n DOWÓD: < 1, to szereg u n jest zbieżny. > 1, to szereg u n jest rozbieżny. 1. Istnieje liczba q (0, 1) i wskaźnik ñ, że n ñ; 36 u n+1 u n < q

Zbieżność szeregu nie zależy od skończonej liczby wyrazów, można więc odrzucić wyrazy o wskaźnikach mniejszych niż ñ i przenumerować tak, by zaczynały się od 1. Mnożymy i dzielimy prawą stronę nierówności przez q n u n+1 u n < qn+1 q n Szereg q n jest zbieżny, więc szereg u n również. 2. Dowód przebiega analogicznie należy skorzystać z tego, że istnieje q > 1 takie, że od pewnego ñ zachodzi nierówność u n+1 u n > q Wniosek: Niech lim u n+1 u n = a. 1. Jeśli a < 1, to szereg u n jest zbieżny. 2. Jeśli a > 1, to szereg u n jest rozbieżny. 3. Jeśli a = 1, to na podstawie kryterium d Alemberta nie można stwierdzić, czy ten szereg jest zbieżny, czy rozbieżny. Przykłady: 1. Szereg n 2 n jest zbieżny, bo lim u n+1 u n = 1 2. 2. Szereg 1 n jest rozbieżny, a lim u n+1 u n = 1. 3. Szereg 1 n 2 jest zbieżny, a lim u n+1 u n = 1. Kryterium Cauchy ego Twierdzenie 3.2.4 Niech n N; u n 0. Wtedy 1. Jeśli lim sup n u n < 1, to szereg u n jest zbieżny. 2. Jeśli lim sup n u n > 1, to szereg u n jest rozbieżny. DOWÓD: 1. q (0, 1), ñ N, n ñ; n u n < q. Dla n ñ mamy u n < q n, szereg q n jest zbieżny, więc na mocy kryterium porównawczego szereg u n również jest zbieżny. 2. Istnieje nieskończenie wyrazów szeregu u n, dla których n u n > 1, czyli u n > 1, a więc nie spełnia on warunku koniecznego zbieżności szeregów. 37