1. RACHUNEK WEKTOROWY

1 RACHUNEK WEKTOROWY 1 Rozstrzygnąć, czy możliwe jest y wartość sumy dwóch wetorów yła równa długości ażdego z nich 2 Dane są wetory: a i 3 j 2 ; 4 j = + = Oliczyć: a+, a, oraz a 3 Jai ąt tworzą dwa jednaowe wetory, jeżeli długość ich wypadowej jest równa długości ażdego z nich? 4 Dane są wetory: a = 2 i j + 3 ; = i + 3 j Oliczyć: a, a, oraz a 5 Dane są dwa wetory: a = 2 i 3 j oraz = i j Znaleźć cosinus ąta zawartego między tymi wetorami 6 Wyazać że: a = ( a ) 7 Dane są dwa wetory: a = i + j+ oraz = 2 i j+ 2 Znaleźć sinus ąta zawartego między tymi wetorami 8 Wyazać że: (a + ) c = a c + c 9 Dane są dwa wetory: Znaleźć (a a+, a, + ), Czy równość a a + = + a = i + j+ oraz = 2 i j+ 2 oraz oreślić ąt między tymi wetorami jest spełniona? W jaich warunach? 10 Dane są wetory: a = 2 i j + 3 ; = i + 3 j Oliczyć: a,, a, a oraz a zawarty między nimi Oreślić ierune i zwrot wetora a i ąt 11 Dane są wetory: a = 3 i + 4 j ; = 4 i 3 j Oliczyć: a,, a+, a+ Czy te wetory są do sieie prostopadłepodać uzasadnienie 12 Sprawdzić czy a = a 13 Dane są wetory: a = 4 i + 3 j ; = 4 i 3 j Oliczyć: a,, a+, a+ Czy te wetory leżą na tej samej prostejpodać uzasadnienie wyonując odpowiednie oliczenia 14 Dane są wetory: a = 2 i + 3 j+ ; = i + 2 j 3 ; c = i 2 j

Oliczyć: a,, c, a oraz tg( a, ) 15 Dane są wetory: a = 2 i + 2 j + 2 ; = i + j + z Oliczyć współrzędną z ta, ay wetory a 16 Dane są wetory: Oliczyć: i yły do sieie równoległe a = 3 i 2 j ; = 3 i + 3 j 3 ; c = i j a,, c, a+ oraz a + c 17 Dane są wetory: a = 2 i + 2 j + a ; = i + j + z Oliczyć wartość współrzędnej a z ay te wetory yły do sieie prostopadłe 18 Dane są wetory: Oliczyć: a = 2 i 2 j 3 ; = 4 i + j 2 ; c = i j+ a,, c, a+ oraz c a 19 Dane są wetory: a = 2 i + 2 j ; = 5 i + 5 j ; c = 3 i + c j y Wyznaczyć wartość współrzędnej c y ta, ay te wetory utworzyły trójąt Ile ąty tego trójąta? 20 Dane są wetory: a = 2 i + 3 j+ ; = i + 2 j 3 ; c = i 2 j Oliczyć: a+ c oraz tg( a, ) 21 Dane są wetory: Oliczyć: 22 Dane są wetory: a+ a+ a = 3 i 2 j ; = 3 i + 3 j 3 ; c = i j oraz a + c 2 a = 2 i 2 j 3 ; = 4 i + j 2 ; c = i j+ a a wynoszą Oliczyć: oraz 23 Dane są wetory: a = 2 i + 3 j+ ; = i + 2 j 3 ; c = i 2 j Oliczyć ąty między wetorami a i oraz i c 24 Dane są wetory: a 2 i 2 j ; 5 i 5 j ; c 3 i 7 = + = + = + j Sprawdzić, czy wetory te tworzą trójąt Oliczyć wartość wyrażenia: i porównać z polem trójąta zudowanego na tych wetorach? 1 2 a 25 Wyazać, że wartość ezwzględna iloczynu wetorowego dwóch wetorów daje liczowo powierzchnię równoległoou utworzonego z tych wetorów 2 PRAWA RUCHU W MECHANICE

1 Pojazd przejechał odległość między dwoma puntami A i B w ciągu 1,5 h, jadąc przez czas t1= 0,5 h z prędością v1= 70 m/h i przez t2 = 1 h z prędością v2 = 40 m/h Oliczyć prędość średnią pojazdu na całym odcinu drogi 2 Pojazd poruszający się z puntu A do puntu B połowę czasu jedzie z prędością v1= 50 m/h, a drugą połowę czasu z prędością v2 = 70 m/h Oliczyć średnią prędość na całej drodze od A do B 3 Motocylista przejechał pierwszą ćwiartę drogi z prędością v 1 = 10 m/s, drugą ćwiartę z prędością v 2 = 15 m/s, trzecią z prędością v 3 = 20 m/s, a czwartą z prędością v 4 = 5 m/s Znależć średnia prędość motocylisty na całym odcinu drogi 4 Pojazd przejechał jedną trzecią drogi z prędością 20 m/s, a dwie trzecie z prędością 30 m/s Ile wynosi średnia prędość? 5 Pocis wystrzelono pionowo do góry z prędością początową v 0 Znaleźć czas po tórym pocis znajdzie się w połowie masymalnej wysoości oraz średnią prędość pocisu na całym przeytym odcinu drogi 6 Punt porusza się po torze prostoliniowym ta, że: x = 5 t + 6 t 2 (wszystie wielości podane są w uładzie SI) Znaleźć średnią prędość puntu między początiem dziesiątej a ońcem dwunastej seundy i prędości chwilowe w oydwu wymienionych chwilach czasu 7 Punt materialny przeywa połowę drogi s ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a, drugą połowę drogi ruchem jednostajnym Znaleźć prędość średnią na całej drodze s 8 Punt materialny przeywa połowę drogi ruchem jednostajnym z prędością v, a drugą połowę drogi ruchem jednostajnie opóźnionym aż do zatrzymania się Znaleźć prędość średnią na całej drodze 9 Ciało wyrzucono pionowo do góry z prędością początową v = 10 m/s Oliczyć prędość średnią ciała do momentu spadu na ziemię Dane g = 10 m/s 10 Oliczyć prędość średnią pocisu wystrzelonego pionowo do góry z prędością początową v = 40 m/s w ciągu pierwszych pięciu seund Dane g = 10 m/s 11 Pojazd rusza z miejsca ruchem jednostajnie przyspieszonym Po osiągnięciu prędości v zaczyna poruszać się ruchem jednostajnie opóźnionym aż do zatrzymania się Oliczyć średnią prędość ruchu 12 Znaleźć średnią prędość ciała poruszającego się na trzech odcinach drogi: na pierwszym z prędością v = 5 m/s w czasie t = 2 s, na drugim ruchem jednostajnie

opóźnionym aż do prędości v = 0 w czasie t = 2 s, na trzecim ruchem jednostajnie przyspieszonym do prędości v = 5 m/s w czasie t = 2 s 13 Ruch puntu opisują równania: x = 1t 3, y = 2 t 2 gdzie 1= 2 m/s 3, 2 = 3 m/s 2 Oliczyć dla t = 1 s prędość, przyspieszenie, ąt jai tworzy wetor prędości i przyspieszenia z osią x, przyspieszenie styczne i dośrodowe, promień rzywizny toru oraz napisać równanie toru 14 Ruch puntu opisują równania: x = ( 1+ 2 ) t 2, y = ( r1- r2 ) t, gdzie: 1= 3 m/s 2, 2 = 2 m/s 2, r1= 3 m/s, r 2 = 2 m/s Znaleźć dla t = 2 s: prędość, przyspieszenie, ąty jaie tworzą wetory v i a z osią x, przyspieszenie styczne i dośrodowe, promień rzywizny toru oraz napisać równanie toru 15 Ruch puntu opisują równania: x = A1t 3 + B, y = A2 t 2 + C gdzie A1= 2 m/s 3, A2 = 3 m/s 2, B = 2 m, C = 3 m Oliczyć dla t = 2 s prędość, przyspieszenie, ąt jai tworzy wetor prędości i przyspieszenia z osią x, przyspieszenie styczne i dośrodowe, promień rzywizny toru oraz napisać równanie toru 16 Ruch puntu opisują równania: x = A cos t, y = A sin t, gdzie A = 0,1 m, = 0,01 1/s Oliczyć: prędość, przyspieszenie, przyspieszenie styczne i przyspieszenie dośrodowe, promień rzywizny toru oraz znaleźć równanie toru w momencie czasu t = 1 s 17 Ruch puntu opisują równania: x = B sin t/2, y = B cos t/2, gdzie B = 0,1 m Oliczyć: prędość, przyspieszenie, przyspieszenie styczne i przyspieszenie dośrodowe, promień rzywizny toru dla t = 1 s oraz znaleźć równanie toru 18 Ruch puntu opisują równania: x = 3 t, y = 2 t 2 Znaleźć: a) równanie toru oraz narysować wyres y(x) Zaznaczyć położenie puntu w 2 seundzie ruchu, ) prędość dla t=2s, c) przyspieszenie, d) przyspieszenie styczne dla t-=2s, e) przyspieszenie normalne dla t = 2 s, f) promień rzywizny toru w momencie czasu t = 2 s 19 Ruch puntu materialnego opisują równania: x = 4 sin (t/2), y = 4 cos (t/2) Znaleźć: dla t = 2 s: a) równanie toru, ) prędość, c) przyspieszenie, d) przyspieszenie styczne, e) przyspieszenie normalne, promień rzywizny 20 Ruch puntu opisują równania: x = 3 sin 2t, y = 3 cos 2t Napisać równanie toru Oliczyć: prędość, przyspieszenie, przyspieszenie styczne, przyspieszenie dośrodowe i promień rzywizny toru Czas t = 2 s

21 Jai jest ształt toru puntu poruszającego się ta, że a = const, a jai gdy a = const (podać uzasadnienie) 22 Jaą drogę przeędzie ciało w drugiej seundzie ruchu jednostajnie przyspieszonego, jeżeli w pierwszej seundzie przeyło drogę 1 m Podać odpowiednie oliczenia 23 Czas spadu swoodnego ciała z wysoości h wynosi t Na jaiej wysoości znajdzie się ciało po upływie połowy tego czasu 24 Pod jaim ątem należy wystrzelić pocis ay zasięg rzutu i wysoość masymalna yły soie równe? 25 Pocis wystrzelono pod ątem α = 60 z prędością początową v 0 = 20 m/s Po jaim czasie prędość pocisu osiągnie wartość 10 m/s W jaim puncie toru znajdzie się pocis w tym momencie czasu? 26 Ciało spada swoodnie z wysoości h Na jaiej wysoości znajdzie się ciało po upływie 1/4 czasu spadania? Dane jest przyspieszenie grawitacyjne g 27 Znaleźć czas po upływie tórego prędość ciała wyrzuconego uośnie pod ątem α do poziomu z prędością początową v 0 utworzy z poziomem ąt β Dane jest przyspieszenie ziemsie g 28 Posługując się poniższym wyresem narysować zależność a(t) oraz s(t) dla przedziałów czasu: 0-2 s, 2-4 s, 4-6 s v [m/s] 5 2 4 6 t [s] 29 Czy prawdziwe jest twierdzenie że zasięgi w rzucie uośnym dla ątów różniących się od π/4 o tę samą wartość są równe Podać uzasadnienie podanej odpowiedzi 30 Kamień wyrzucono pod ątem α = 30 do poziomu z prędością v 0 = 10 m/s Oliczyć najmniejszą odległość L między miejscem wyrzutu i miejscem w tórym znajdzie się amień po upływie czasu t = 4 s od rzutu 31 Wyazać, że w ruchu jednostajnie przyspieszonym stosune dróg przeywanych w olejnych taich samych odstępach czasu jest równy 1 : 3 : 5 : 7 : 32 Oliczyć stosune prędości uli spadającej swoodnie w puncie znajdującym się w połowie wysoości i na ońcu drogi spadania 33 Z helioptera wznoszącego się pionowo ze stałą prędością na wysoości 400 m

wypadł przedmiot Narysować wyres odległości od ziemi H(t) od momentu opuszczenia helioptera przez przedmiot