Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Czym jest elipsa? Elipsa jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem α < β < π 2 (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokością stożka a jesgo tworzącą) tak, aby linia cięcia nie zawiera wierzchołka.
Czym jest elipsa? Elipsę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że suma odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała.
Czym jest elipsa? Elipsę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że suma odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie: {P R 2 : PF 1 + PF 2 = const}
Czym jest elipsa? Elipsę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że suma odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie: {P R 2 : PF 1 + PF 2 = const} Punkty F 1, F 2 nazywamy ogniskami elipsy.
Elementy elpisy 2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy S - środek elipsy, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2.
Elementy elpisy 2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy S - środek elipsy, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 b 2.
Elementy elpisy 2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy S - środek elipsy, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 b 2. Mimośród elipsy: m = c a
Elementy elpisy 2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy S - środek elipsy, 2c = F 1 F 2 i stąd c = SF i, i = 1, 2. Zachodzi zależność: c = a 2 b 2. Mimośród elipsy: m = c a Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwy przechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi wielkiej: p = b2 a
Równanie kanoniczne elipsy Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych.
Równanie kanoniczne elipsy Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne elipsy dane jest wzorem (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 (1)
Równanie kanoniczne elipsy Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne elipsy dane jest wzorem (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 (1) Zauważmy, że jeśli a = b to dostajemy równanie okręgu.
Równanie kanoniczne elipsy Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x 0, y 0 ) oraz osiach 2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne elipsy dane jest wzorem (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 (1) Zauważmy, że jeśli a = b to dostajemy równanie okręgu. Przy takim położeniu ogniska mają współrzędne: F 1 = (x 0 c, y 0 ) F 2 = (x 0 + c, y 0 )
Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne elipsy:
Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne elipsy: x = x 0 + a cos(α), y = y 0 + b sin(α), α [0, 2π] (2)
Równanie w postaci biegunowej Niech środek elipsy będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe elipsy ma postać: p ρ = (3) 1 + m cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród.
Równanie w postaci biegunowej Niech środek elipsy będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe elipsy ma postać: p ρ = (3) 1 + m cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród. Zauważmy, że jeśli a = b, to powyższe równanie sprowadza się do równania biegunowego okręgu: ρ = r.
Równanie w postaci biegunowej Niech środek elipsy będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe elipsy ma postać: p ρ = (3) 1 + m cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród. Zauważmy, że jeśli a = b, to powyższe równanie sprowadza się do równania biegunowego okręgu: ρ = r. Rówanie (3) jest takie samo dla każdej krzywej stożkowej!
Kierownice elipsy Kierownice elipsy są to proste prostopadłe do osi wielkiej elipsy, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m.
Kierownice elipsy Kierownice elipsy są to proste prostopadłe do osi wielkiej elipsy, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m.
Kierownice elipsy Kierownice elipsy są to proste prostopadłe do osi wielkiej elipsy, odległe od środka S o odcinek d = a2 c. Ponieważ SF 1 = c = ma to cd = a 2 i d = a m. Zachodzi związek: r1 d 1 = r2 d 2 = m.
Równanie stycznej do elipsy Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do elipsy.
Równanie stycznej do elipsy Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do elipsy. Wtedy równanie stycznej do elipsy w punkcie P ma postać: (x 1 x 0 )(x x 0 ) a 2 + (y 1 y 0 )(y y 0 ) b 2 = 1
Równanie stycznej do elipsy Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do elipsy. Wtedy równanie stycznej do elipsy w punkcie P ma postać: (x 1 x 0 )(x x 0 ) a 2 + (y 1 y 0 )(y y 0 ) b 2 = 1
Pole i obwód elipsy Pole elipsy wyraża się wzorem P = πab.
Pole i obwód elipsy Pole elipsy wyraża się wzorem P = πab. Niestety długość elipsy nie jest już taka przyjemna. Wyraża się ona wzorem: ( ( ) 2 ( ) 2 1 1 3 L = 2πa 1 m 2 m 4 ( ) ) 2 1 3 5 2 2 4 3 m 6 2 4 6 5....
Pole i obwód elipsy Pole elipsy wyraża się wzorem P = πab. Niestety długość elipsy nie jest już taka przyjemna. Wyraża się ona wzorem: ( ( ) 2 ( ) 2 1 1 3 L = 2πa 1 m 2 m 4 ( ) ) 2 1 3 5 2 2 4 3 m 6 2 4 6 5.... W praktyce stosuje się przybliżone wzory: L π(1, 5(a + b) ab) 64 3λ4 L π(a + b) 64 16λ 2, λ = a b a + b
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e).
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego).
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000 Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000 Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849 Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000 Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849 Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233 Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000 Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849 Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233 Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730 Jowisz: m = 0, 0484, pe = 740742600, ap = 816081455
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000 Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849 Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233 Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730 Jowisz: m = 0, 0484, pe = 740742600, ap = 816081455 Saturn: m = 0, 0542, pe = 1349467375, ap = 1503983449
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000 Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849 Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233 Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730 Jowisz: m = 0, 0484, pe = 740742600, ap = 816081455 Saturn: m = 0, 0542, pe = 1349467375, ap = 1503983449 Uran: m = 0, 0472, pe = 2735555035, ap = 3006389405
Elipsa w astronomii Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest peryhelium: pe = a(1 e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e). Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach. Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000 Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849 Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233 Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730 Jowisz: m = 0, 0484, pe = 740742600, ap = 816081455 Saturn: m = 0, 0542, pe = 1349467375, ap = 1503983449 Uran: m = 0, 0472, pe = 2735555035, ap = 3006389405 Neptun: m = 0, 0113, pe = 4444450000, ap = 4545670000
Rysowanie elipsy Zauważmy następujące zależności: KROK I: Wyznaczamy dwa odcinki prostopadłe przecinające się w połowie. Będą one stanowiły osie elipsy.
Rysowanie elipsy KROK II: Cyrklem odmierzamy długość półosi wielkiej.
Rysowanie elipsy KROK II: Cyrklem odmierzamy długość półosi wielkiej. KROK III: Nie zmieniając rozstawienia cyrkla wbij go w końcowy punkt krótszej osi i narysuj dwa łuki na osi głównej. Zaznacz punkty przecięcia i opisz je jako F1 i F2. Będą to ogniska elipsy. Wbijamy tam dwie pinezki. Trzecią wbijamy w jeden z końców półosi małej.
Rysowanie elipsy KROK IV: Kawałek sznurka obwiązujemy wkoło trzech pinezek. Podmieniamy pinezkę osi małej na ołówek.
Rysowanie elipsy KROK IV: Kawałek sznurka obwiązujemy wkoło trzech pinezek. Podmieniamy pinezkę osi małej na ołówek. KROK V: Utrzymując sznurek cały czas napięty, przesuwaj ołówek po łuku, który będzie wyznaczał kształt elipsy. Elipsa jest gotowa. Zaznacz osie wielką i małą oraz ogniska. (Fot.: http://arkadiusz.jadczyk.salon24.pl/66733,elipsy)
Podziękowania Dziękuję za uwagę