Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Podstawowy podręcznik T. Koźniewski Wykłady z algebry liniowej Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 2 / 1
Równanie liniowe z n niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 3 / 1
Równanie liniowe z n niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b a 1, a 2,..., a n współczynniki, b wyraz wolny Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 3 / 1
Równanie liniowe z n niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b a 1, a 2,..., a n współczynniki, b wyraz wolny Układ m równań z n niewiadomymi (zmiennymi) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2 U :....... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 3 / 1
Układ jest jednorodny jeśli wszystkie wyrazy wolne sa 0 tzn. jest postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = 0....... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 4 / 1
n-elementowy ciag liczb s 1, s 2,..., s n nazwiemy rozwiazaniem układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu nimi kolejno zmiennych x 1, x 2,..., x n otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 5 / 1
n-elementowy ciag liczb s 1, s 2,..., s n nazwiemy rozwiazaniem układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu nimi kolejno zmiennych x 1, x 2,..., x n otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, jest nim ciag złożony z zer, tzn. s 1 = s 2 = = s n = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 5 / 1
n-elementowy ciag liczb s 1, s 2,..., s n nazwiemy rozwiazaniem układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu nimi kolejno zmiennych x 1, x 2,..., x n otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, jest nim ciag złożony z zer, tzn. s 1 = s 2 = = s n = 0. Układ nazwiemy sprzecznym jeśli nie ma rozwiazań (tzn. zbiór rozwiazań jest pusty) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 5 / 1
n-elementowy ciag liczb s 1, s 2,..., s n nazwiemy rozwiazaniem układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu nimi kolejno zmiennych x 1, x 2,..., x n otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, jest nim ciag złożony z zer, tzn. s 1 = s 2 = = s n = 0. Układ nazwiemy sprzecznym jeśli nie ma rozwiazań (tzn. zbiór rozwiazań jest pusty) Dwa układy nazwiemy równoważnymi jeśli maja te same zbiory rozwiazań Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 5 / 1
Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbę tzn. iloczynem równania a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b przez liczbę d jest równanie a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a nx n = b, w którym a i = da i, dla i = 1, 2,..., n oraz b = db Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 6 / 1
Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbę tzn. iloczynem równania a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b przez liczbę d jest równanie a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a nx n = b, w którym a i = da i, dla i = 1, 2,..., n oraz b = db oraz dodawać do siebie Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 6 / 1
Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbę tzn. iloczynem równania a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b przez liczbę d jest równanie a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a nx n = b, w którym a i = da i, dla i = 1, 2,..., n oraz b = db oraz dodawać do siebie Suma równań a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b oraz a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a nx n = b to równanie a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a nx n = b, w którym a i = a i + a i,dla i = 1, 2,..., n oraz b = b + b Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 6 / 1
Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7 / 1
Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbę Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7 / 1
Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbę 2 Zamiana dwóch równań miejscami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7 / 1
Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbę 2 Zamiana dwóch równań miejscami 3 pomnożenie jednego z równań przez niezerowa liczbę Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7 / 1
Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbę 2 Zamiana dwóch równań miejscami 3 pomnożenie jednego z równań przez niezerowa liczbę Rozwiazaniem ogólnym układu równań liniowych U nazywamy równoważny jemu układ U postaci: x j1 = c 11 x 1 + + c 1n x n + d 1 U :........ x jk = c k1 x 1 + c kn x n + d k przy czym c ij = 0, dla j = j 1,..., j k (tzn. zmienne x j1,..., x jk nie występuja po prawej stronie nazywamy je zmiennymi zależnymi, pozostałe niezależnymi, badź parametrami). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7 / 1
Macierze Macierza m n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablicę d 11 d 12 d 1n d 21 d 22 d 2n D =...... d m1 d m2 d mn Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 8 / 1
Macierze Macierza m n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablicę d 11 d 12 d 1n d 21 d 22 d 2n D =...... d m1 d m2 d mn Piszemy także D = [d ij ], gdzie d ij (dla 1 i m, 1 j n) należa do zbioru X Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 8 / 1
Macierze Macierza m n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablicę d 11 d 12 d 1n d 21 d 22 d 2n D =...... d m1 d m2 d mn Piszemy także D = [d ij ], gdzie d ij (dla 1 i m, 1 j n) należa do zbioru X Rzędy poziome nazywamy wierszami, zaś pionowe kolumnami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 8 / 1
Macierz układu równań liniowych Układowi U : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2....... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 9 / 1
Macierz układu równań liniowych Układowi U : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2....... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m Przypisujemy macierz liczbowa m (n + 1) a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2....... a m1 a m2 a mn b m nazywana macierza układu U. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 9 / 1
Macierz m n a 11 a 12 a 1n a 21 d 22 a 2n...... a m1 a m2 a mn nazywamy macierza współczynników U. Ostatnia kolumna macierzy układu U to kolumna wyrazów b 1 b 2 wolnych. b m Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 10 / 1
Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1
Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1
Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1
Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1
Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza w i przez niezerowa liczbę d Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1
Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza w i przez niezerowa liczbę d tzn. zastępujemy w i przez w i = [dw i1, dw i2,..., dw in ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1
Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza w i przez niezerowa liczbę d tzn. zastępujemy w i przez w i = [dw i1, dw i2,..., dw in ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1
Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza w i przez niezerowa liczbę d tzn. zastępujemy w i przez w i = [dw i1, dw i2,..., dw in ] 0 0 0 1 0 Przykład Rozważmy macierz: 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0. Po zastosowaniu do niej kolejno operacji w 1 w 2, w 4 2w 1, 1 3 w 3 otrzymamy macierz 0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1
Elementem wiodacym wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 12 / 1
Elementem wiodacym wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 12 / 1
Elementem wiodacym wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Wszystkie wiersze zerowe sa poniżej niezerowych (o ile istnieja) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 12 / 1
Elementem wiodacym wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Wszystkie wiersze zerowe sa poniżej niezerowych (o ile istnieja) Elementy wiodace kolejnych wierszy niezerowych znajduja się w kolumnach o coraz wyższych numerach Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 12 / 1
Przykład 0 2 4 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 13 / 1
Przykład 0 2 4 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 Macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej jeśli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiodace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoja sa poza nimi same zera. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 13 / 1
Przykład 0 2 4 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 Macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej jeśli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiodace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoja sa poza nimi same zera. Przykład 0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 13 / 1
Twierdzenie Każda macierz liczbowa można za pomoca elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 14 / 1
Twierdzenie Każda macierz liczbowa można za pomoca elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Metoda rozwiazywania układów równań liniowych Sprowadzić macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej. Jeśli element wiodacy ostatniego niezerowego wiersza pojawi się w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybrać jako zmienne zależne te, w których kolumnach stoja elementy wiodace, zaś pozostałe jako parametry i odczytać rozwiazanie ogólne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 14 / 1
Twierdzenie Każda macierz liczbowa można za pomoca elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Metoda rozwiazywania układów równań liniowych Sprowadzić macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej. Jeśli element wiodacy ostatniego niezerowego wiersza pojawi się w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybrać jako zmienne zależne te, w których kolumnach stoja elementy wiodace, zaś pozostałe jako parametry i odczytać rozwiazanie ogólne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 14 / 1
Przykład Rozważmy układ U : { x1 + x 2 + 2x 3 2x 4 = 1 2x 1 + 2x 2 + 5x 3 + x 4 = 4 [ ] 1 1 2 2 1 Macierza tego układu jest. Operacja w 2 2 5 1 4 2 2w 1 [ ] 1 1 2 2 1 sprowadzamy ja do postaci schodkowej M =. 0 0 1 5 2 Widzimy, że układ jest niesprzeczny i, że jako zmienne zależne można przyjać x 1 i x 3 natomiast x 2 i x 4 jako parametry. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 15 / 1
Przykład (cd) Macierz M przeprowadzamy [ operacja w 1 ] 2w 2 do postaci schodkowej 1 1 0 12 3 zredukowanej M =, z której spisujemy układ 0 0 1 5 2 U równoważny U { U x1 + x : 2 12x 4 = 3 x 3 + 5x 4 = 2 przekształcamy go do rozwiazania ogólnego { x1 = 3 x 2 + 12x 4 x 3 = 2 5x 4 Każde rozwiazanie układu U można zapisać w postaci ( 3 x 2 + 12x 4, x 2, 2 5x 4, x 4 ), gdzie x 2, x 4 R Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 16 / 1