ROZPRAWA DOKTORSKA Modelowanie ośrodka lepkosprężystego w metodzie elementów czasoprzestrzennych

UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO PRZYRODNICZY i. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy Wydział Budownicwa, Archiekury i Inżynierii Środowiska ROZPRAWA DOKTORSKA Modelowanie ośrodka lepkosprężysego w eodzie eleenów czasoprzesrzennych auor: gr inż. Magdalena Eilia Lachowicz Prooor: prof. dr hab. inż. Jerzy Rakowski Prooor poocniczy: dr inż. Magdalena Dobiszewska Bydgoszcz, czerwiec 5

Panu prof. dr hab. inż. Jerzeu Rakowskieu bardzo dziękuję za cenne wskazówki i rady udzielone i podczas pisania niniejszej rozprawy

SPIS TREŚCI Sr.. WSTĘP.. 5.. Wprowadzenie. 5.. Przedio, zakres, cel pracy, eza badawcza... 8. PRZEGLĄD KLASYCZNYCH MODELI LINIOWEJ LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI.. Ogólna charakerysyka ośrodka lepkosprężysego.. Różniczkowe odele lepkosprężyse.. 5.. Uogólnienie różniczkowych odeli lepkosprężysości.. 9.. Całkowe odele lepkosprężysości. 5. RÓWNANIA OPISUJĄCE ZAGADNIENIE POCZĄTKOWO - - BRZEGOWE TEORII LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI..... Założenia, sforułowanie probleu..... Równania geoeryczne... Równania konsyuywne.. Równania sayczne..5. Warunki brzegowe...6. Warunki począkowe....7. Równanie czasopracy wirualnej.. RÓWNANIE METODY ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH OŚRODKA LEPKOSPRĘŻYSTEGO.. 6.. Założenia ogólne MECZ. 6.. Bezpośrednie określenie charakerysyki lepkosprężysego eleenu czasoprzesrzennego (SKECZ).. Modelowanie naprężeń w obszarze SKECZ..... Równanie MECZ eleenu czasoprzesrzennego (SKECZ) 6.5. Równania MECZ zdyskreyzowanego obszaru czasoprzesrzennego 7.6. Sabilność MECZ 9.7. Przykładowa srukura acierzy A, B, C, D worzących globalną acierz szywności czasoprzesrzennej.. 5.8. Warunki brzegowe.. 56.9. Podsuowanie. 57 5. PRZYKŁADY OBLICZEŃ ZAGADNIENIA LEPKOSPRĘŻYSTEGO Z UŻYCIEM METODY ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH 58 5.. Zadanie esujące przyjęy odel lepkosprężysy... 58 5.. Tarcza lepkosprężysa. 75 6. ZAKOŃCZENIE.. 8 Lieraura.. 8

. WSTĘP.. Wprowadzenie Większość rozważanych probleów echaniki ciała sałego sprowadza się do opisu ych probleów w forie równań różniczkowych cząskowych. Rozwiązywanie akich równań eodai ścisłyi (zw. eodai analiycznyi) jes ocno urudnione lub bardzo częso nieożliwe do zrealizowania. To powoduje, że we współczesnych naukach inżynierskich korzysa się z eod przybliżonych nazywanych najczęściej nuerycznyi lub kopuerowyi. Wśród eod nuerycznych bezwzględnie przoduje ciągle inensywnie rozwijana eoda eleenów skończonych (MES). Wysoka efekywność MES w połączeniu z dynaiczną ewolucją kopuerową, swarza prawie nieograniczone ożliwości rozwiązywania wielu probleów badawczych i inżynierskich, kórych kilkadziesią la wcześniej nie ożna było rozwikłać z zadawalającą dokładnością. Bibliografia doycząca eody eleenów skończonych jes bardzo bogaa, poczynając od pionierskiej pracy Turnera [76] i nieco później Odena [5], poprzez onografię Przeienieckiego [67], Holanda [5], Zienkiewicza [79,8], Gallaghera [], Bahe i Wilsona [,]. W języku polski ukazało się równie wiele bardzo warościowych prac na en ea, np.: Kruszewskiego [6], Szelera [7], Kleibera [,5], Waszczyszyna [77], Rakowskiego [68,69,7]. Sosując, np. eodę eleenów skończonych do rozwiązania zagadnienia brzegowego, uzyskujey w efekcie układ równań algebraicznych liniowych lub nieliniowych, co uzależnione jes od posaci związków fizycznych i geoerycznych [5,79,,68]. Sosowanie MES do analizy zagadnień począkowo-brzegowych prowadzi zaś do równań różniczkowych zwyczajnych względe czasu (do zw. układu równań ruchu). Do rozwiązania ego układu równań różniczkowych zwyczajnych ożna zasosować dwa podejścia a) eodę ransforacji własnej (eodę odalną), b) eody bezpośredniego całkowania równań ruchu. Meoda ransforacji własnej polega na rozseparowaniu układu równań różniczkowych sprzężonych w pojedyncze, niezależne równania różniczkowe zwyczajne. Wśród eod bezpośredniego całkowania równań ruchu wyróżniay iędzy innyi: eody różnic skończonych (MRS), Houbola [6], Wilsona, Newarka (najbardziej znana, najczęściej sosowana) [5], Zienkiewicza-Wooda [8,65]. Alernaywą w sosunku do MES i poe sosowania eody ransforacji własnej lub eod bezpośredniego całkowania równań ruchu jes eoda eleenów czasoprzesrzennych (MECZ). Sosowanie MECZ, dzięki zasosowaniu dyskreyzacji czasoprzesrzeni, prowadzi wpros do układu równań algebraicznych. Obecnie efekywnie rozwijana jes zw. adapacyjna eoda eleenów skończonych zierzająca do isonego poprawienia dokładności rozwiązań przy sosowaniu dosępnego obecnie sprzęu kopuerowego. Wersja adapacyjnych MES polega na auoaycznej odyfikacji rodzaju aproksyacji prowadzących do polepszenia dokładności obliczeń jak najniższy kosze. Wśród sosowanych echnik eu służących należy wyienić adapację ypu h co wiąże się z dobore wyiarów eleenów skończonych (oznaczay o zwykle lierą h) oraz adapacją ypu p, co 5

wiąże się ze sopnie aproksyacji. Kobinacja obu adapacji prowadzi do eody adapacyjnej ypu hp. O ożliwości worzenia eleenów skończonych w czasie i przesrzeni pisali po raz pierwszy Fried [], Oden [5], Argyris i Scharpf [,]. Waro podkreślić, że praca Odena [5] jes rakowana, przez wielu badaczy, za najważniejszą pracę doyczącą MES z okresu powsawania ej eody. Oden, w wyienionej pracy, rozważa proble podlegający zianie w czasoprzesrzeni i do rozwiązania ego probleu sosuje eleen czasoprzesrzenny, chociaż ego wyraźnie nie podkreśla. O ożliwości sosowania eleenów skończonych w czasie wsponiał również Zienkiewicz [79]. Poe ej eayki wyienieni badacze już nie podejowali. Ogólne obserwacje, o kóry jes owa wyżej, sały się podsawą opracowanej przez Kączkowskiego oryginalnej eody eleenów czasoprzesrzennych (MECZ) [,]. Idea MECZ polega na dyskreyzacji obszaru czasoprzesrzennego na eleeny czasoprzesrzenne. To powoduje, że przejście od równań różniczkowych do równań algebraicznych odbywa się w jedny eapie. Cechą szczególnie wyróżniającą MECZ od innych eod kopuerowych (np. MES) jes aproksyacja funkcji pól przeieszczeń, odkszałceń, naprężeń i innych funkcji w obszarze eleenu czasoprzesrzennego (SKECZ) Ω e. Sąd, np. funkcję przeieszczeń w obszarze eleenu czasoprzesrzennego (SKECZ) e opisujey paraerai węzłowyi r : u e (X, ) = Φ e (X, )r e, (X, ) Ω e, (.) gdzie Φ e (X, ) jes acierzą zawierającą funkcje czasoprzesrzenne (funkcje kszału), a r e są paraerai węzłowyi. W przypadku sosowania MES, po dokonaniu aproksyacji przesrzennej, ay: u e (X, ) = Φ e (X)r e (), (.) X V e (objęość eleenu skończonego ES),, ), gdzie Φ e (X) jes acierzą zawierającą funkcje przesrzenne, a r e () jes funkcją opisującą paraery węzłowe ES. Oznacza o, że po zasosowaniu MES układ równań cząskowych opisujących zagadnienie począkowo-brzegowe przekszałca się w sprzężony układ równań różniczkowych zwyczajnych, co zusza do zasosowania nowej, dodakowej eody, np. eody Newarka. Opis (.) oznacza w isocie oddzielną, niezależną od siebie dyskreyzację przesrzeni i czasu. W aproksyacji ej nie a więc sprzężenia przesrzeni i czasu. W MECZ dyskreyzacja czasoprzesrzeni jes jednoznaczna i niczy nieskrępowana. Funkcje aproksyujące (funkcje kszału) ogą być sprzężone (chodzi o przesrzeń i czas), co jes zgodne z fundaenalnyi założeniai fizyki relaywisycznej. Nieskrępowana dyskreyzacja w MECZ swarza bogae ożliwości dososowania podziału rozważanego obszaru czasoprzesrzennego, np. do przebiegu ziennego obciążenia, zieniającego się w czasie brzegu (ruchoy brzeg), zieniających się w czasie cech fizycznych i geoerycznych. Teayka prac badawczych doyczących eody eleenów czasoprzesrzennych jes dość bogaa. Począkowo rozwiązywano zadania dynaiki liniowej [5, 6, 57, 8, 6], poe pojawiły się liczne prace doyczące sabilności obliczeń MECZ [7, Praca dokorska auorswa Rafała Tewsa, p. Zasosowanie adapacyjnej eody eleenów skończonych ypu hp do obliczeń saycznych wybranych konsrukcji salowych, WBiIŚ, UTP w Bydgoszczy, 8 6

9, 6]. Podjęo próby rozwiązywania specjalnych probleów echaniki, np. lepkosprężysości [58, 59, 6, 7, ], erosprężysości [8, 9, ], zagadnień konakowych [7, 9,, ], probleów propagacji fali z nieciągłościai prędkości [8], echaniki włóknokopozyów [6], zjawisk wielkoskalowych, doyczących np. fizyki oceanów, eeorologii [8], zagadnień geoerycznie nieliniowych [6, 5, 7], echaniki zniszczenia [6], inerakcji płyn konsrukcja [9]. Pojawiło się kilka prac, w kórych rozważa się pewne probley eoreyczne MECZ [,, 7, 8, ]. Podsawy eoreyczne eody eleenów czasoprzesrzennych z bogay przegląde prac badawczych wykorzysujących MECZ przedsawione są w onografii Podhoreckiego [66]. Probley związane z wyznaczanie pól naprężeń i odkszałceń w ciałach lepkosprężysych koplikują się głównie z powodu złożoności reologicznych równań sanu, kóre prakycznie wysępują w posaci związków różniczkowych lub/i całkowych [, 5,, ]. Isnieje bardzo ciekawa, ogólna eoria Alfrey a i Lee zwana analogią sprężyso-lepkosprężysą [5], w kórej wykorzysuje się foralne podobieńswo poiędzy ransforaai Laplace a związków opisujących ciało lepkosprężyse a równaniai eorii sprężysości. Prakyczne ożliwości wykorzysania ej analogii są jednak ocno ograniczone do podsawowych zadań z powodu rudności w wyznaczaniu ransfora odwronych. Taka syuacja wyusza sosowanie eod nuerycznych kopuerowych. Najczęściej ciało lepkosprężyse opisuje się wygodny, w sforułowaniu, eleenarny odele fenoenologiczny Kelvina-Voiga, kóry w zagadnieniach dynaiki zapewnia zadowalające łuienie drgań [79,, 6, 7]. Model en jednak w znikoy sposób opisuje lepkosprężyse właściwości ciał rzeczywisych, w związku z y zachodzi porzeba worzenia bardziej obiekywnych odeli, co prowadzi jednak do złożonych związków konsyuywnych. Dużą uniwersalnością przy nieliniowościach fizycznych i geoerycznych charakeryzują się eody przyrosowe [,, 66]. Prakyczny sposób analizy zjawisk reologicznych w przypadku oddziaływań guasisaycznych zaproponował Świka [7, 75], kóry prakycznie zasosowała Olejniczak [55]. Inne, oryginalne sforułowanie równań ruchu dla dowolnie wyodelowanego ośrodka lepkosprężysego w ujęciu MES zosało przedsawione przez Podhoreckiego [6], kóre nasępnie ożna efekywnie rozwiązywać eodai bezpośredniego całkowania równań ruchu. Isonyi rudnościai wysępującyi przy sosowaniu wyienionych sposobów są iędzy innyi nasępujące probley: a) rudności w pozyskiwaniu paraerów aeriałowych w przypadku sosowania, np. odeli różniczkowych, b) wysoki rząd równań różniczkowych przy bardziej zaawansowanych odelach lepkosprężysych, co swarza isone rudności obliczeniowe, c) akie efeky reologiczne jak pełzanie i relaksacja zachodzą powoli w długi czasie. W aki przypadku poza wyienionyi zjawiskai wysępuje akże proces sarzenia aeriałów, co w isocie prowadzi do degradacji aeriałów. Oznacza o, że eoria lepkosprężysości usi być skojarzona (połączona), np. z echaniką zniszczenia. 7

.. Przedio, cel i zakres pracy, ezy badawcze Przedioe pracy jes ośrodek liniowo lepkosprężysy zbudowany z dwóch wzajenie zinegrowanych koponenów, jednego o odelu ciała doskonale sprężysego (podlegającego prawu Hooke a) i drugiego o odelu cieczy lepkiej (podlegającego prawu Newona). Takie uogólnienie liniowej eorii sprężysości i echaniki cieczy lepkiej przyjęo nazywać liniową eorią lepkosprężysości [5]. Tak wyodelowane ciało podlega aki isony efeko reologiczny jak pełzanie i relaksacja. Wszyskie aeriały konsrukcyjne sosowane iędzy innyi w budownicwie (sal, beon, drewno, worzywa szuczne) ają cechy lepkosprężyse, a efeky reologiczne (pełzanie, relaksacja) uszą być koniecznie uwzględniane w projekowaniu ych konsrukcji (np. konsrukcje kablobeonowe, konsrukcje cięgnowe). Niezależnie od wyienionych cech lepkosprężysych, realne aeriały konsrukcyjne podlegają zjawisko sarzenia, co powoduje np. pogorszenie cech sprężysych. W isocie jes o degradacja aeriału, a o w efekcie prowadzi do obniżenia, np. warości odułu Younga. Fo.. Mos pod Kwidzynie. Najdłuższych os ypu exradosed łączy ideę osu podwieszanego i belkowego sprężonego. W ego ypu konsrukcjach część kabli sprężających poprowadzonych jes nad podporai (poza przekroje dźwigara), kóre wykonane 8

w forie niskich pylonów pełnią rolę zw. dewiaorów (uożliwiających zakrzywienie cięgien). Rozpięości przęseł osów ypu exradosed wynoszą najczęściej od do. Fo.. Cenru Nauki Kopernik. Cenru Nauki Kopernik powsało nad Wisłą, w sąsiedzwie Biblioeki Uniwersyeu Warszawskiego, osu Święokrzyskiego i sacji era Cenru Nauki Kopernik. Zosało wybudowane nad unele Wisłosrady, u zbiegu Wybrzeża Ko- 9

ściuszkowskiego i ul. Zajęczej. Konsrukcja budynku nie opiera się na unelu Wisłosrady. Budynek opary jes na sprężonych dźwigarach podparych po obydwu sronach unelu Fo.. Sadion Narodowy. Konsrukcję dachu sanowi lekka konsrukcja cięgnowa z pokrycie ebranowy, całkowicie niezależna od eleenów żelbeowych sadionu (syse lin salowych, rozciągających się iędzy pierścienie zewnęrzny spoczywający na słupach salowych, a cenralnie nad boiskie uieszczoną iglicą. Pokrycie dachu zosało zaprojekowane jako ebrana z kaniny z włókna szklanego, pokrya eflone oraz w pasie o szerokości około 8 erów wokół boiska, eleenai szklanyi Cele pracy jes efekywne wyodelowanie ośrodka lepkosprężysego, kóry oże podlegać proceso degradacji cech fizycznych i nasępnie rozwiązanie zagadnienia począkowo-brzegowego eodą eleenów czasoprzesrzennych (MECZ). Sworzony odel obliczeniowy uożliwiać będzie rozwiązywanie akże zagadnień quasi-saycznych (przypadek szczególny rozważanego zagadnienia począkowo-brzegowego). Zakres pracy podporządkowany przyjęeu celowi rozprawy obejuje nasępującą probleaykę: a) przegląd klasycznych odeli liniowej lepkosprężysości z analizą ich cech reologicznych, b) opis przyjęego odelu ośrodka lepkosprężysego, c) sforułowanie zagadnienia począkowo brzegowego rozważanego ośrodka lepko- -sprężysego, d) wyprowadzenie równań eody eleenów czasoprzesrzennych i opracowanie algoryu obliczeń (eleen oryginalny pracy),

e) przykłady obliczeń z analizą, f) wnioski końcowe. Teza badawcza pracy (rozprawy) jes nasępująca: Obliczenia sayczne ośrodka (ciała) lepkosprężysego ożna efekywnie realizować (przeprowadzać) przy sosowaniu odelu całkowego (zasosowanego do konsruowania równań fizycznych) i eody eleenów czasoprzesrzennych (MECZ).

. PRZEGLĄD KLASYCZNYCH MODELI LINIOWEJ LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI.. Ogólna charakerysyka ośrodka lepkosprężysego Pod działanie zwłaszcza długorwałych obciążeń każdy aeriał wykazuje własności pełzania i relaksacji. Pierwszą z ych własności rozuie się jako przyros odkszałcenia przy sały naprężeniu, drugą zaś jako zianę (spadek) naprężeń przy sały odkszałceniu. Zjawiska e ają isone znaczenie dla pracy saycznej konsrukcji. Przykładowo, san naprężenia w układach salowych, w konsrukcji żelbeowej oże w procesie pełzania zwiększyć się,5-kronie, a przeieszczenia ogą wzrosnąć nawe razy [78,56]. Własności pełzania, przede wszyski eali, ocno akywizuje wzros eperaury. Doświadczenia wskazują, że procesy pełzania wysępują przy dowolnie ziennych naprężeniach (obciążeniach), nawe przy krókorwałych obciążeniach, kiedy wysępują ylko sprężyse deforacje [,,5,7]. Meale ają budowę krysaliczną i o ich właściwościach echanicznych decyduje budowa kryszałów, wady ej budowy akie jak wakanse (wolne iejsca), dyslokacja (rozieszczenie), odienne własności granic ziaren [7,78]. Beony ają budowę kapilarno-porowaą i o ich właściwościach decydują cechy żelu, procesy wyiany wilgoci przez sieć ikro- i akrokapilar [,9]. Poliery naoias zbudowane z pewnych regularnych jednosek srukuralnych (onoerów) ają nieco inny przebieg deforacji niż ypowe aeriały [7]. Rezulay doświadczeń związanych ze zianą odkszałceń w czasie przy sały naprężeniu, przedsawia się w posaci krzywych pełzania. W ogólności ogą zachodzić dwa nasępujące przypadki (rys..): a) krzywa pełzania a asypoę pozioą, b) krzywa pełzania jes w zasadzie nieograniczoną. ε() odkszałcenie asypoa pozioa czas Rys... Krzywe pełzania [Skrzyp 986]: krzywa pełzania a asypoę pozioą, krzywa pełzania jes nieograniczona Cykliczne odkszałcenie ciała sałego ujawnia rozbieżności iędzy naprężenie σ a odkszałcenie ε podczas obciążenia i odciążenia (rys..), świadczące o niesprężysy charakerze odkszałcenia. Zjawisko o, nazywane hiserezą wskazuje, że ciało o pochłania bezpowronie część pracy sił zewnęrznych, kóra zienia się w energię cieplną i ulega rozproszeniu. W en sposób rozproszenie (dyssypacja) energii w aeriale uwarunkowane jes jego niedoskonałością sprężysą i przejawia się powsawanie pewnej pęli hiserezy podczas odkszałcenia cyklicznego.

σ σ A D s ε ε B D s pole pęli hiserezy energia dyssypowana Rys... Pęla hiserezy w procesie cyklicznego odkszałcenia Badanie zian sanu ciał, podczas odkszałcenia, kórych wysępuje dyssypacja (rozproszenie) energii, zajuje się.in. reologia nauka o odkszałceniach i płynięciu ciał rzeczywisych w przesrzeni i w czasie, przy określonych warunkach erodynaicznych i fizykocheicznych. Reologia rozwija się w dwóch podsawowych kierunkach [5,78]: a) badania na odelach dyskrenych współczesnej fizyki (podejście ikroskopowe), b) badania na fenoenologicznych działach fizyki (podejście akroskopowe), ale wedy badania doświadczalne są isoną podsawą do uogólnień eoreycznych. Sosując podejście akroskopowe (sosowane w niniejszej pracy) przeprowadza się nasępujące specyfikacje aeriałów: a) ośrodek sprężysy opisujący ciało sałe (o cechach liniowo, bądź nieliniowo sprężysych), b) ośrodek lepki opisujący płyny (o cechach liniowo, bądź nieliniowo lepkich), c) ośrodek plasyczny opisujący ciało sałe, d) ośrodek doskonale szywny opisujący ciało sałe. Rzeczywise aeriały ogą być odelowane w posaci kobinacji wyienionych wyżej podsawowych odeli ośrodków, co prowadzi do zw. ośrodka hybrydowego. Modele reologiczne (fenoenologiczne) opisują w dosaecznie prawidłowy sposób zachowanie się aeriałów ylko w ograniczony zakresie zienności paraerów, są jednak najprosszy i najczęściej sosowany sposobe opisywania zjawisk związanych z nieidealną sprężysością ciał sałych. Ciała wykazujące cechy zarówno cieczy (płynu), jak i ciał sprężysych nazyway ciałai (ośrodkai) lepkosprężysyi. Ciała akie zdolne są do akuulowania (groadzenia) części energii odkszałcenia i jednocześnie do jej rozproszenia (dyssypacji). Ośrodek aki poddany cyklowi obciążenia odciążenia wykazuje pęlę hiserezy. W przypadku ciał lepkosprężysych za rozproszenie energii czyniy odpowiedzialne zw. arcie wewnęrzne, pod pojęcie kórego rozuiey opór sawiany przeieszczaniu się jednej warswy cieczy względe drugiej, co wynika z lepkości cieczy []. W celu uchwycenia czasowej zienności właściwości analizowanego ciała, koponujey o ciało z dwóch ośrodków, jednego o odelu ciała doskonale sprężysego (podlegająceu prawu Hooke a) i drugiego o odelu cieczy lepkiej (podlegająceu

prawu Newona). Takie uogólnienie liniowej eorii sprężysości i echaniki cieczy lepkiej przyjęo nazywać liniową eorią lepkosprężysości [5]. W liniowej lepkosprężysości obowiązują założenia o ałych odkszałceniach (ε) i prędkościach odkszałceń (ε ) oraz zasada superpozycji Bolzanna. Zasada a a nasępującą reść [5]: Jeżeli cykl naprężeń σ () powoduje odkszałcenie ε (), a cykl naprężeń σ () odkszałcenie ε (), o sua cykli σ () + σ () wywołuje suę odkszałceń ε () + ε (). W lepkosprężysości dużą rolę odgrywają dwie nasępujące funkcje: funkcja pełzania i funkcja relaksacji (rozluźnienia), kóre są iarą własności echanicznych ciała. Pełzanie nazyway zjawisko powolnego płynięcia ciała w czasie poddanego sałeu naprężeniu, naoias relaksacja naprężeń jes o zjawisko odprężenia ciała w czasie, kórego odkszałcenie urzyywane jes na sały pozioie. Do budowy ogólniejszych odeli lepkosprężysych, ających prakyczne odniesienie, sosowane są nasępujące dwa odele eleenarne:. Model Hooke a opisujący idealną, liniową sprężysość (rys..a, b) Równanie reologiczne (fizyczne) ciała liniowo sprężysego (odelu Hooke a) a posać prawa Hooke a (rys...b) σ() = Eε(), (.) gdzie σ i ε są odpowiednio naprężenie i odkszałcenie, a E jes sałą sprężysości (oduł Younga). Ciało o odeluje ylko jedną własność ciała, a ianowicie sprężysość. Nie ujuje naoias zjawisk reologicznych, akich jak pełzanie i relaksacja (rys..c, d), pęli hiserezy. Model en zae nie uwzględnia rozproszenia energii. a) b) σ() c) σ() d) ε() E gα = E=cons Rys... Charakerysyka odelu Hooke a: a) oznaczenie graficzne odelu Hooke a, b) liniowa zależność naprężeń od odkszałceń, c) brak pełzania, d) brak relaksacji. Model Newona opisujący idealną ciecz ε σ ε σ() = σ = cons ε() ε = σ E = cons W isocie jes o jakby łuik hydrauliczny, wiskoyczny, wypełniony cieczą o sałej lepkości dynaicznej η w (rys..a). ε σ ε() = ε = cons σ() σ = Eε = cons

a) b) c) d) σ() σ() ε() η w gβ = η w σ σ() = σ = cons ε() ε ε() = ε = cons σ() ε ε σ() = = cons Rys... Charakerysyka odelu Newona: a) oznaczenie graficzne odelu Newona, b) liniowa zależność naprężeń od prędkości odkszałceń, c) liniowa posać pełzania, d) pełna, naychiasowa relaksacja Równanie reologiczne (fizyczne) cieczy doskonale lepkiej (odelu Newona) a posać prawa Newona (rys..b) σ() = η w ε, (.) gdzie ε = ε () jes prędkością odkszałcenia. Model Newona ujuje zjawiska reologiczne pełzanie i relaksację oraz dyssypację energii (rys..c,d). Na koniec należy dodać, że lepkością odznaczają się nie ylko ciecze. Ciała sałe również ają lepkość, dającą się swierdzić po długi czasie obserwacji lub pod szczególnie dużyi obciążeniai. Lepkość w przypadku sali wynosi η w = = Ns/c, a dla swardniałego beonu η w =,6 8 Ns/c []... Różniczkowe odele lepkosprężyse Łącząc w odpowiedni sposób eleenarne odele Hooke a i Newona uzyskuje się dowolnie złożone różniczkowe odele reologiczne, kóre przedsawia się poniżej. A. Model Kelvina Voiga Model Kelvina Voiga jes równoległy połączenie odelu Hooke a opisanyi odułe sprężysości E i odelu Newona opisany odułe lepkości η (rys..5a). Równania cząskowe odelu Hooke a i Newona uszą być uzupełnione warunkai inegracji σ H = Eε H, σ N = ηε N (.) σ H + σ N = σ, ε H = ε N = ε. (.) Skojarzenie zależności (.) i (.) prowadzi do reologicznego równania sanu ego odelu σ = Eε + ηε = E(ε + λε ), (.5) gdzie: λ = η (.6) E 5

a wyiar czasu i nosi nazwę współczynnika opóźnienia (reardacji). Aby usalić cechy ego odelu wyznaczay kolejno funkcję pełzania i funkcję relaksacji na podsawie, zw. prób pełzania i relaksacji: a. Próba pełzania Przyjujey sałe naprężenia w posaci (rys..5b) gdzie: σ() = σ H(), (.7) dla < H() { dla (.8) jes funkcją Heaviside a. Zależność (.7) wsawiay do równania (.5) i rozwiązujey o równanie przy założeniu ε( = ) = ε =, orzyując gdzie: ε() = σ H()φ(), (.9) φ() = E ( e λ) (.) jes funkcją pełzania (rys..5c). a) b) σ() d) ε() σ σ() = σ = cons ε ε() = ε = cons E η ε() σ() ε = σ E σ = Eε ε () e) Ψ() E c) φ() E Rys..5. Charakerysyka odelu Kelvina Voiga: a) oznaczenie graficzne odelu Kelvina Voiga, b) próba pełzania, c) funkcja pełzania, d) próba relaksacji, e) funkcja relaksacji 6

b. Funkcja relaksacji Przyjujey sałe odkszałcenie w posaci (rys..5d) ε() = ε H(). (.) Wsawiając (.) do (.5) i rozwiązując równanie różniczkowe orzyujey σ() = ε H()ψ(), (.) gdzie: ψ() = E = cons (.) jes funkcją relaksacji (rys..5e). Model Kelvina-Voiga pozwala ująć jakościowo pewne przejawy niesprężysości ciał sałych, j. pełzanie i opóźnienie sprężyse. Za poocą ego odelu nie ożna jednak opisać (ująć) zjawiska relaksacji. B. Model Maxwella Model Maxwella jes szeregowy połączenie odelu Hooke a i odelu Newona (rys..6a). Równania cząskowe odeli Hooke a i Newona ają posać (.), a warunki inegracji σ H = σ N = σ, ε H + ε N = ε. (.) Skojarzenie (.) z (.) prowadzi do równania sanu odelu Maxwella Nasępnie przeprowadzay próbę pełzania i próbę relaksacji: σ + λσ = Eλε. (.5) a. Próba pełzania Przyjujey naprężenia w posaci (.7) i nasępnie rozwiązujey równanie (.5) orzyując ogólne rozwiązanie w posaci (.9), w kóry funkcja pełzania a posać (rys..6b) φ() = ( + ). (.6) E λ b. Próba relaksacji Przyjujey odkszałcenia w posaci (.). Po rozwiązaniu równania orzyujey funkcję relaksacji w posaci (rys..6c) ψ() = Ee λ. (.7) Model Maxwella pozwala ująć jakościowo pewne przejawy niesprężysości, j. relaksację. Nie pozwala naoias poprawnie uchwycić zjawiska pełzania, bowie w y odelu odkszałcenia narasają nieograniczenie przy sały naprężeniu, a akiego zjawiska nie obserwuje się w ypowych ciałach sałych [,,56]. 7

a) b) σ() d) ε() E η ε = σ E σ() = σ = cons ε() g(α) = σ η = cons ε σ = ε E ε() = ε = cons σ() c) E φ() g(α ) = η = cons e) E Ψ() Rys..6. Charakerysyka odelu Maxwella: a) oznaczenie graficzne odelu Maxwella, b) próba pełzania, c) funkcja relaksacji, d) próba relaksacji, e) funkcja relaksacji C. Modele sandardowe Modele Kelvina Voia i Maxwella nie w pełni opisują właściwości reologiczne ciał rzeczywisych (pełzanie i relaksacja), w związku z czy worzy się odele bardziej złożone, j.: Model Zenera I. rodzaju (rys..7a,b) a) b) η E E E η E Rys..7. Oznaczenie graficzne odelu Zenera I. rodzaju Równania sanu ego odelu ają posać [5]: przy konsrukcji wg rys..7a σ + η σ = E E ε + E +E ηε, (.7) E przy konsrukcji wg rys..7b σ + η E +E σ = E E E +E ε + E η E +E ε. (.8) 8

Model Zenera II. rodzaju (rys..8a,b) a) E η b) η η η E Rys..8. Oznaczenie graficzne odelu Zenera II. rodzaju Równania sanu ego odelu ają posać [5] przy konsrukcji wg rys..8a przy konsrukcji wg rys..8b Model Bürgersa (rys..9) σ + σ = ( + η ) ε + η η E η E ε (.9) E η σ + ( + η η ) σ = Eε + η ε. (.) a) E E η η Rys..9. Oznaczenie graficzne odelu Bürgersa Równanie sanu ego odelu a nasępującą posać [6] σ + ( η + η +η ) σ + η E E E η E σ = η ε + η η.. Uogólnienie różniczkowych odeli lepkosprężysości E ε. (.) W poprzedni punkcie. rozparywano równania sanu dla coraz bardziej złożonych odeli lepkosprężysych. Podsawowe eleeny odelu Hooke a (sprężyna) i odelu Newona (łuik) prowadzą do związków liniowych iędzy naprężeniai i odkszałceniai oraz wyższyi pochodnyi ych wielkości (.) i (.). Eleeny e łączone w szereg lub/i równolegle prowadzą do nasępującego ogólnego, liniowego równania różniczkowego zwyczajnego [5]: 9

a σ + a σ + a σ + = b ε + b ε + b ε +, (.) gdzie a k i b k są sałyi (lub funkcjai) charakeryzującyi aeriał lepkosprężysy. Dla rozważanych wcześniej odeli opis ych współczynników jes zesawiony w ablicy.. Do analiycznego (ścisłego) rozwiązania równania (.) wygodnie jes zasosować ransforację całkową Laplace a i wedy o równanie zapisane w ransforaach jes równanie algebraiczny a σ (p) + a [pσ (p) σ()] + a [p σ (p) pσ() σ ()] + = b ε (p) + b [pε (p) ε()] + b [p ε (p) pε() ε ()] +, (.) gdzie σ (p) i ε (p) oznaczają odpowiednio ransforay naprężenia i odkszałcenia, wielkości, σ(), ε(), σ (), ε (), są paraerai począkowyi a p jes paraere ransforacji Laplace a (rzeczywisa, dodania liczba spełniająca zbieżność całki Laplace a). Na porzeby analizy funkcji pełzania i relaksacji ożna założyć, że dla ciało znajdowało się w sanie nauralny, beznaprężeniowy, sąd σ() = σ () = = oraz ĺ() = ε () = = oraz, że w chwili = + przyłożone zosaje obciążenie zieniające się w czasie. W aki przypadku równanie (.) przyjuje posać: (a + a p + a p + )σ (p) = (b + b p + b p + )ε (p). (.) Korzysając z ogólnych zasad doyczących ransforacji Laplace a, równanie (.) ożna zapisać na dwa równoważne sposoby [5] ε (p) = pσ (p)φ (p), σ (p) = pε (p)ψ (p), (.5) gdzie φ (p)i Ψ (p) oznaczają odpowiednio ransforay funkcji pełzania i funkcji relaksacji. Jednocześnie równanie (.) ożey zapisać w posaci: σ (p) ε (p) = b + b p + b p + a + a p + a p + (.6) Kojarząc odpowiednio zależności (.5) i (.6) ay efekywne opisy ransfora funkcji pełzania i relaksacji φ (p) = ε (p) pσ (p) = a + a p + a p + p(b + b p + b p + ), (.7) Ψ (p) = σ (p) pε (p) = b + b p + b p + p(a + a p + a p + ). W ablicy. przedsawia się ransforay ych funkcji.

Tablica.. Charakerysyka odeli liniowo lepkosprężysych Lp. Nazwa odelu a a a b b b. Kelvina-Voiga (rys..5a) E η η. Maxwella (rys..6a) η E η Zenera I (rys..7a) E E.. Zenera I (rys..7b) Zenera II (rys..8a) Zenera II (rys..8b) 5. Bürgersa (rys..9) E oduł sprężysości Younga, [N/ ] η oduł lepkości Newona, [Ns/ ] η E E E + E E + E η E + E η E E η E + E E η + η η + η E η η + η + η η η E E E E η η η E η η E η η E Mając ransforaory funkcji pełzania i relaksacji ożna, korzysając z ablic Laplace a, obliczyć jawne posacie funkcji pełzania i relaksacji (ablica.). W przypadku złożonego sanu naprężenia, równanie sanu w ciele liniowo sprężysy a posać (ciało izoopowe, jednorodne) σ ij = με ij + δ ij λε kk, i, j, k =,,, (.8) gdzie σ ij i ε ij są ensore odpowiednio sanu naprężenia i odkszałcenia, μ i λ są sałyi Lae go a δ ij jes delą Kroneckera. Równaniu eu ożna nadać inną posać przedsawiającą prawo ziany posaci i prawo ziany objęości gdzie S ij = μe ij, s = Ke, (.9) S ij = σ ij δ ijσ kk, e ij = ε ij δ ijε kk (.)

Tablica.. Opisy ransfora funkcji pełzania i relaksacji liniowych odeli lepkosprężysości Lp. Nazwa odelu Transforaa funkcji pełzania Transforaa funkcji relaksacji Oznaczenia. Model Hooke a... 5. 6. Model Kelvina-Voiga (rys..5a) Model Maxwella (rys..6a) Model Zenera I (rys..7a) Model Zenera I (rys..7b) Model Zenera II (rys..8a) Model Zenera II (rys..8b) Model Bürgersa (rys..9) E p E p( + λp) E ( p + λ p ) + λ p E p( + θλ p) θ + λ p E p( + λ p) + λ p Ep [(λ + λ ) + λ λ p] + (λ + λ )p Eλ p ( + λ p) E + [E λ + (E λ + E λ )]p + λ λ E p E E λ p ( + λ p) E p E + λp p λe + λp E ( + θλ p) p( + λ p) E ( + λ p) p(θ + λ p) E[(λ + λ ) + λ λ p] + λ p Eλ ( + λ p) + (λ + λ )p λ = η E λ = η E λ = η E, θ = E +E E λ = η E, θ = E +E E λ = η, λ E = η E λ = η E, λ = η E λ E E ( + λ p) λ E + [λ E + (E λ + E λ )]p + λ λ E p = η, λ E = η E

Tablica.. Funkcje pełzania i relaksacji dla liniowych odeli lepkosprężysych Lp. Nazwa odelu Funkcja pełzania φ() Funkcja relaksacji ψ() Oznaczenia. Model Hooke a. Model Kelvina-Voiga (rys..5a) E E ----- ( E e λ) E[ + λδ()] λ = η, δ() - dela Diraca E. Model Maxwella (rys..6a) E ( + λ ) Ee λ λ = η E. Model Zenera I (rys..7a) Model Zenera I (rys..7b) [ + ( ) e E Θ [Θ + ( Θ)e E Θλ] λ] E [ + ( Θ)e λ] λ = η E, Θ = E +E E E Θ Θ [ + (Θ )e λ ] λ = η, Θ = E +E E E 5. Model Zenera II (rys..8a) [λ E(λ +λ ) ( λ ) e λ+λ λ +λ λ ( λ λ +λ ) + ] λλ E [e λ + λ δ()] λ = η, λ E = η E Model Zenera II (rys..8b) E (e λ + λ + ) Eλ [ λ e λ +λ λ +λ ë+λ + λ δ()] λ = η, λ E = η E 6. Model Bürgersa (rys..9) [(E E E λ λ E λ )e E ] λ + +λ (E + E ) + E λ (p p ) [( + λ p )e p ( + λ p )e p ] λ = η E, λ = η E, p, = E λ λ [ E (λ + λ ) E λ ± ± [E (λ + λ ) + E λ ] λ λ E ]

opisują ensory dewiaorów, odpowiednio sanu naprężenia i odkszałcenia, a s = σ kk, e = ε kk (.) reprezenują aksjaory (ensory kulise) naprężenia i odkszałcenia, K jes odułe ściśliwości K = (λ + μ). (.) Przechodząc do ośrodka lepkosprężysego ożey oddzielnie odelować część opisującą zianę posaci i część odnoszącą się do ziany objęości. Przez analogię do równania (.) ay a S ij + a S ij + a S ij + = b e ij + b e ij + b e ij + c S + c S + c S + = d e + d e + d e + (.) gdzie a k, b k, c k, d k są sałyi (lub funkcjai) lepkosprężysości, kóre ożna dobierać przez analogię, wzorując się na ablicy.. Osaecznie ożna określić funkcje pełzania i relaksacji, rzyając się posaci ych funkcji wykazanych w ablicy.. Wykorzysując oznaczenia (.) i (.), ożna równania (.) wyrazić bezpośrednio składowyi ensora naprężenia σ ij i składowyi ensora odkszałcenia ε ij (a + a + a + ) (c + c + c + ) σ ij = (b + b + b + ) (c + c + c + ) ε ij + + δ ij [(a + a + a + ) (d + d + d ) (b + b + b + ) (c + c + c + )] ε kk lub w innej równoważnej posaci (a + a + a + ) (c + c + c + ) σ ij = = { [(a + a + a + ) (d + d + d + ) (b + b + + b + ) (c + c + c + )] δ ijδ kl + (b + b + (.) +b + ) (c + c + c + ) (δ ikδ jl + δ il δ jk )} ε kl (.5) Z badań doświadczalnych wynika, że w większości aeriałów konsrukcyjnych prawo ziany posaci a charaker lepkosprężysy, a prawo ziany objęości charaker sprężysy. Dlaego dokonano dekopozycji ensorów naprężenia i odkszałcenia na dewiaory i aksjaory.

.. Całkowe odele lepkosprężysości Jeżeli aeriał doskonale liniowo sprężysy podday serii kolejnych odkszałceń ε, ε,, ε i,, ε n wprowadzanych w chwilach =,,, i,, n (rys..), o wywoła w y aeriale naprężenia [] σ() = σ + Δσ + + Δσ i + + Δσ n = σ + (σ σ ) + (σ σ ) + + +(σ i σ i ) + + (σ n σ n ) = E[ε + (ε ε ) + (ε ε ) + + +(ε i ε i ) + + (ε n ε n )] = Eε n. (.6) W przypadku aeriału niedoskonale sprężysego, na skuek relaksacji, naprężenie związane z każdy oddzielny odkszałcenie zależy akże od czasu []. Dla serii kolejnych odkszałceń ożey zapisać σ()=ψ()ε + ψ( )(ε ε ) + ψ( )(ε ε ) + + +ψ( i )(ε i ε i ) + + ψ( n )(ε n ε n ) = n n = i= ψ( i )(ε i ε i ) = i= ψ( i ) ε i (.7) gdzie ψ() jes funkcją relaksacji, a ψ( i ) funkcją relaksacji dla i. Jeżeli odkszałcenie jes funkcją ciągłą czasu τ w przedziale τ (rys..a), o ożey zapisać, że σ() = li i n n i= (.8) ψ( i ) ε i i. i a) ε() ε n ε n ε i ε i ε ε ε ε ε i n i czas 5

b) σ() σ n σ n σ i σ i σ σ σ σ σ i n i czas Rys... Przykładane porcje (przeprosy) odkszałceń i odpowiadające naprężenia w ośrodku liniowo sprężysy: a) seria kolejno przykładanych odkszałceń ε i w chwilach i, b) odpowiadające naprężenia σ i w chwilach i Zapisana granica jes w isocie całką określoną, sąd przechodząc od suowania do całkowania, uzyskay dla naprężenia w chwili nasępujący wzór (rys..b) σ() = ψ( τ) Przyjęo uaj, że ε( = + ) = ε(τ) τ dτ = ψ( τ) ε (τ)dτ. (.9) a) ε() ε() ε(τ) ε(τ + dτ) τ τ + dτ dτ czas 6

b) σ() σ(τ) σ(τ + dτ) σ() τ dτ τ + dτ czas Rys... Obraz odkszałceń i naprężeń w czasie, w ośrodku lepkosprężysy przy ciągłych funkcjach odkszałcenia ε() (a) i naprężenia σ() (b) Przeprowadzając analogiczne rozuowanie dla zadanych naprężeń Δσ i i przechodząc do całki dla ciągłego naprężenia σ() uzyskay wzór na odkszałcenia w chwili ε() = φ( τ) σ(τ) τ dτ = φ( τ) σ (τ)dτ. (.) gdzie φ() jes funkcją pełzania. Przy wyprowadzeniu wzorów (.9) i (.) przyjęo, że proces odkszałcenia lub/i naprężenia rozpoczynał się w chwili = oraz, że ε( = + ) i σ( = + ) =. Jeżeli proces aki rozpoczął się np. w, o w obu wzorach, jako dolną granicę całkowania rzeba napisać odpowiednio. Przedsawione wzory (.9) i (.) nazyway odelai całkowyi lepkosprężysości. Widać, że aby e wzory jednoznacznie opisywały zależności naprężeń od odkszałceń lub odwronie w funkcji czasu, porzebna jes znajoość funkcji relaksacji ψ() lub/i funkcji pełzania φ(). Funkcje e ożna pozyskać z analizy odeli różniczkowych lepkosprężysości (ablica.). Można eż e funkcje uzyskać wpros z badań laboraoryjnych [78]. Funkcje z badań laboraoryjnych ujować ogą akże zjawisko, np. sarzenia się aeriału. Funkcje e w isocie ujują zjawiska plasyczne zieniające się w czasie przy rozparywaniu odpowiedniej klasy (wielkości) obciążeń. W przypadku złożonego sanu naprężenia przez analogię do wzorów (.9) i (.) ożey oddzielnie napisać prawo ziany posaci S ij () = e ij ( + )Ψ () + Ψ ( τ)e ij (τ)dτ, e ij () = S ij ( + )φ () + φ ( τ)s ij (τ)dτ (.) 7

i prawo ziany objęości S() = e( + )Ψ () + ψ ( τ) e (τ)dτ, e() = S( + )φ () + φ ( τ) S (τ)dτ (.) gdzie S ij i e ij są dewiaorai ensorów naprężenia i odkszałcenia, s i e są aksjaorai ensorów naprężenia i odkszałcenia, naoias ψ i () i φ i () są funkcjai relaksacji i pełzania. Funkcje e ożna przyjować korzysając z ablicy. lub wpros wyznaczać doświadczalnie. We wzorach (.) i (.) przyjęo, że dla <, e ij =, e = oraz s ij =, s =. Dla czasu = + odkszałcenia i naprężenia ogą być różne od zera. Wzory (.) i (.) ożna zapisać w innej równoważnej posaci prawo ziany posaci S ij () = e ij ()Ψ ( + ) + e ij ( τ)ψ (τ)dτ e ij () = S ij ()φ ( + ) + S ij ( τ)φ (τ)dτ (.) 8

prawo ziany objęości S() = e()ψ ( + ) + e( τ) Ψ (τ)dτ (.) e() = S()φ ( + ) + S( τ) φ (τ)dτ 9

. RÓWNIANIA OPISUJĄCE ZAGADNIENIE POCZĄTKOWO- -BRZEGOWE TEORII LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI.. Założenia, sforułowanie probleu Analizujey ciało liniowo lepkosprężyse zajujące obszar V, kóry jes podzbiore przesrzeni euklidesowej rójwyiarowej R. Przez V oznaczay wnęrze ego obszaru, a przez V jego brzeg, kóry jes suą zbiorów V i V u (rys..). X (X, ) V, ρf V V V u X X Rys... Rozparywany ośrodek lepkosprężysy Ruch ciała będziey analizować w przedziale czasu, ). Ciało podlega infiniezyalny deforacjo (ośrodek geoerycznie liniowy). Zienne dynaiczne, j. pole wekorowe przeieszczeń u i sił asowych ρf, syeryczne pole ensorowe naprężeń Cauchy ego σ i odkszałceń ε określone są na iloczynie karezjański zbiorów (X, ) V, ). Pole wekorowe obciążeń powierzchniowych opisane jes naoias na iloczynie (X, ) V, ). Zienne dynaiczne są funkcjai ciągłyi i różniczkowalnyi (wyaganą liczbę razy, wynika o z rozparywanych równań). Dany jes obszar (V, V i V u ) z warunkai brzegowyi, obciążenia powierzchniowe (X, ) i asowe ρf, funkcje relaksacji oraz warunki począkowe. Poszukujey funkcji przeieszczeń u i (X, ), odkszałceń ε ij (X, ) i naprężeń σ ij (X, )... Równania geoeryczne W eorii infiniezyalnych deforacji, odkszałcenia ε ij opisuje się w posaci ε ij (X, ) = ( u i X j + u j X i ) (.)

(X, ) V, ), i, j =,,, gdzie u i oznacza współrzędne wekora przeieszczenia u. Isone jes o, że ensor odkszałcenia jes ensore syeryczny, j... Równania konsyuywne ε ij = ε ji dla i j (.) Prawo naprężenie odkszałcenie przyjuje się w posaci całkowej przedsawionej w pk., j. w posaci (.) i (.) S ij (X, ) = e ij (X, + )Ψ (X, ) + Ψ (X, τ)e ij (X, τ)dτ S(X, ) = e(x, + )Ψ (X, ) + Ψ (X, τ)e (X, τ)dτ (X, ) V, ), i, j =,,, (.) gdzie S ij i e ij są dewiaorai ensorów naprężenia i odkszałcenia, s i e są aksjaorai ych wielkości, naoias Ψ i Ψ są funkcjai relaksacji. Przyjęo, że dla <, e ij = e =, naoias e ij (X, + ) i e(x, + ) są danyi warościai granicznyi wielkości e ij (X, ) i e(x, ), gdy od srony dodaniej... Równania sayczne równania ruchu Równania sayczne, równania ruchu, zapisujey w klasycznej posaci (np. [,5]): σ ij X i + ρf j = ρu j (X, ) V, ), i, j =,, (.) gdzie naprężenia ρf i i ρu j reprezenują odpowiednio siły asowe i siły bezwładności, ρ jes gęsością objęościową ( kg ), a f i - inensywnością obciążenia przypadającą na jednoskę asy ( N kg )..5. Warunki brzegowe Na jednej części powierzchni granicznej analizowanego ośrodka (ciała) znane są obciążenia, a na drugiej przeieszczenia. W związku z y wyróżniay (rys..): a) warunki brzegowe ypu saycznego i = σ ij ν j (X, ) V, ), i, j =,,, (.5)

gdzie i jes znaną składową obciążenia powierzchniowego, a ν j składową wekora noralnego do powierzchni granicznej V, b) warunki brzegowe ypu przeieszczeniowego u i = u i (X, ) V u, ), j =,,, (.6) gdzie u i jes znaną składową wekora przeieszczenia na powierzchni granicznej V u..6. Warunki począkowe Równanie ruchu jes równanie różniczkowy drugiego rzędu, sąd do jednoznacznego rozwiązania ego równania porzeba znać dwa warunki począkowe, np. w posaci: u i = u i, u i = θ i, (X, ) V {}, j =,, (.7) gdzie u i i θ i są znanyi składowyi wekorów przeieszczenia i prędkości przeieszczenia w chwili począkowej, =..7. Równania czasopracy wirualnej Przedsawione wyżej równania (.) (.7) sanowią, zw. lokalne sforułowanie zagadnienia począkowo brzegowego. Rozwiązanie akiego zagadnienia przy użyciu eody eleenów skończonych (MES) lub eody eleenów czasoprzesrzennych (MECZ) wyaga globalnego, całkowego sforułowania ego zagadnienia. Zwykle w y celu, korzysając z rachunku wariacyjnego, najpierw buduje się pewien funkcjonał i nasępnie żąda się, aby spełniał on odpowiednie warunki iniu. Prowadzi o wpros do zasady Hailona (np. [,]). Można eż zasosować zasadę analogiczną do zasady pracy wirualnej sosowanej w sayce (np. [,5]), kórą nazywa się zasadą czasopracy wirualnej [,66]. Wariację funkcji u i (X, ) oznaczay przez δu i, kórą nazyway akże przeieszczenie wirualny (przygoowany). Przeieszczenia u i + δu i są zgodne z więzai ciała (ośrodka), co powoduje że δu i zanika na powierzchni granicznej V u. Nasz obiek lepkosprężysy w czasoprzesrzeni zajuje czerowyiarowy obszar Ω: {V, } i jes ograniczony hiperpowierzchnią Ω: { V, }. Tak opisaneu obiekowi czasoprzesrzenneu nadaje się przeieszczenie wirualne δu i. Korzysając z równań (.) i (.5) ożna uworzyć wyrażenie słuszne dla dowolnej chwili, a więc słuszne akże w przedziale czasu, : σ ij δu j ( V + ρf X j ρu j) dvd + δu j ( j σ ij ν i ) d( V)d = i V (.8)

Nasępną czynnością jes przekszałcenie dwóch całek wysępujących w równaniu (.8): I c a ł k a Wpierw wykorzysujey znany wzór na obliczane pochodnej iloczynu dwóch funkcji V σ ij δu j dvd = [ δu j (δu X i X j σ ij ) σ i X ij ] dvd = i V = (δu X j σ ij )dvd σ i X ij dvd. i V V σ ij (.9) Teraz pierwszą całkę ego osaniego wyrażenia ożey inaczej zapisać sosując wierdzenie Gaussa - Osrogradskiego (δu X j σ ij )dvd = δu j σ ij ν i d( V)d i V V = δu j σ ij ν i d( V)d (.) V Wykorzysano przy y przekszałceniu własność zerowania się wariancji δu j na powierzchni V u. Przekszałcenie drugiej całki wyrażenia (.9) poprzedzay rozkłade wielkości δu j X i na część syeryczną i anysyeryczną u j X i = ( u j X i + u i X j ) + ( u j X i u i X j ) = ε ij + ω ij, (.) gdzie pierwszy człon oznaczy przez ε ij (.), kóry jes syeryczny ensore odkszałcenia, a drugi człon oznaczay przez ω ij ω ij = ( u j X i u i X j ), (.) kóry jes ensore anysyeryczny. Zae ożna osaecznie zapisać, że δu j X i = δε ij + δω ij. (.)

Wobec ego drugą całkę wyrażenia (.9) przedsawia się w innej równoważnej posaci δu j X i V σ ij dvd = (δε ij + δω ij )σ ij dvd V = δε ij σ ij dvd V (.) Wykorzysano uaj własność zerowania się iloczynu dwóch ensorów, anysyerycznego δω ij i syerycznego σ ij. Osaecznie przekszałcana całka I (.9) przyjuje nasępującą forę po wykorzysaniu (.) i (.) σ ij δu j dvd = δu X j σ ij ν i d( V)d δε ij σ ij dvd i V V V (.5) II c a ł k a Sosujey całkowanie przez części δu j ρu jdvd = δu j ρu j dv δu jρu j dvd V V V (.6) Po wprowadzeniu przekszałceń (.5) i (.6) do równania (.8), uzyskujey równanie, kóre nazyway równanie czasopracy wirualnej V ρ(f j δu j + u jδu j) dvd + jδu j d( V) d u jρδu j dv = V = δε ij σ ij dvd V V (.7) Poszczególne całki ego równania wyrażone są w J s = N s. Orzyane równanie nazyway eż czasopracą lub czasoenergią [5,66]. Treść zasady czasopracy wirualnej jes nasępująca [5,66]: Uogólnione siły rozłożone na hiperpowierzchni ograniczającej obiek czasoprzesrzenny oraz siły asowe działające w czerowyiarowy obszarze obieku wykonują na wirualnych przeieszczeniach czasopracę równą wewnęrznej 5

czasoenergii zgroadzonej w y obiekcie. Równanie o w isocie odpowiada uogólnionej zasadzie Hailona [,,5,6] gdzie: K δ (K V)d + [ ρf j δu j dv + i δu j d( V)] d δu j = u j, V V K = u jρu j, V = σ ijε ij dv. V V (.8) (.9) opisują odpowiednio energię kineayczną i poencjalną odkszałceń. Kiedy obciążenia rozparywanego obieku ają charaker zachowawczy (zn. nie zależą od przeieszczeń analizowanego ośrodka), o zasada Hailona a forę [6] gdzie: δ (K V + W) d T δu j =, u j (.) W = ρf j u j dv + j u j d( V) V V (.) oznacza pracę obciążeń asowych i powierzchniowych. Najczęściej w wariacyjnych sforułowaniach równań ruchu wprowadza się ograniczenia doyczące zanikania δu j na końcach przedziału czasu (np. [,,5]), co prowadzi do klasycznej zasady Hailona δx(u) = δ (K V + W) d =, gdzie X jes inializowany funkcjonałe (zw. funkcją Lagrange a). (.) 6

. RÓWNANIA METODY ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH OŚRODKA LEPKOSPRĘŻYSTEGO.. Założenia ogólne MECZ Meoda eleenów czasoprzesrzennych (MECZ) jes eodą nueryczną, kopuerową pewny wariane eody eleenów skończonych (MES) służącą,.in. do analizy dynaicznej dowolnych ośrodków poddanych działaniu nieusalonych obciążeń, wyuszeń kineaycznych, przepływu ciepła, rozchodzenia się fal ip. w rozparywanych obszarach. W eodzie ej czas rakuje się jako czwarą współrzędną, na równi z pozosałyi rzea współrzędnyi przesrzennyi X. W ogólny przypadku powsają zae czerowyiarowe obieky czasoprzesrzenne. Przyjuje się, że badane zjawiska odbywają się z prędkością υ wielokronie niejszą od prędkości świała. W aki przypadku ożna odejść od geoerii Minkowskiego i fizyki Einseina [66]. Prowadzi o do, zw. czasoprzesrzeni echnicznej. Oś czasu wygodnie jes wyskalować ak, aby prędkość skalująca wynosiła s = i wedy τ = (τ oś czasu opisana w erach) [66]. 7

a) obiek b) obiek Ω e Ω e oś czasu oś czasu c) obiek d) obiek Ω e Ω e oś czasu oś czasu 8

e) obiek Ω e f) 5 6 7 8 obiek Ω e oś czasu oś czasu g) obiek Ω e 5 6 oś czasu Rys... Przykłady dyskreyzacji obszaru czasoprzesrzennego W MECZ obszar czasoprzesrzenny Ω dzieliy (dyskreyzujey) na skończoną liczbę eleenów czasoprzesrzennych (SKECZ), j. na skończoną liczbę rozłącznych podobszarów Ω e, e =,,, E (rys..). Kszał eleenu czasoprzesrzennego (SKECZ), liczba węzłów i sopni swobody w węźle ogą być dowolnie dobierane (rys..). Zakłada się, że eleeny czasoprzesrzenne połączone są ze sobą w skończonej liczbie punków (węzłów), znajdujących się na obwodzie SKECZ. Paraery węzłowe sanowią podsawowy układ niewiadoych. Isoą MECZ jes w szczególności uzależnienie wybranej, podsawowej funkcji f(x, ) ważnej w obszarze SKECZ, Ω e, od paraerów węzłowych r α za pośrednicwe funkcji aproksyacyjnych, zw. funkcji kszałów Φ α (X, ), f(x, ) = Φ α (X, )r α (.) (X, ) Ω e, α =,,,, A, 9

gdzie Φ α jes składową acierzy kszału zawierającą funkcje czasoprzesrzenne o ograniczonej rozległości do obszaru Ω e, A oznacza liczbę paraerów węzłowych SKECZ. Nasępnie od ych paraerów węzłowych uzależniay pozosałe funkcje opisujące rozparywane zagadnienie. a) X X X X b) X X X X X X X X X c) Rys... Przykłady eleenów czasoprzesrzennych: a) eleeny pręowe, b) eleeny powierzchniowe, c) eleen bryłowe Meoda eleenów czasoprzesrzennych jes pewny wariane MES, sąd uszą obowiązywać akie sae kryeria zbieżności (np. [5,8]). Poniżej przedsawia się przykładowe funkcje kszału dla różnych eleenów czasoprzesrzennych.

b. Eleeny prosokąne a) b) h ξ = x a h ξ = x a τ = h h τ = h a a a Rys... Eleeny prosokąne o węzłach na brzegach: a) eleen liniowy, b) eleen kwadraowy W przypadku pierwszego eleenu (rys..a), funkcja kszału przyjuje posać liniową [79]: Φ i = ( + ξ iξ)( + τ i τ) (.) gdzie: i =,,, ξ, τ, dla i =, dla i =, ξ i = { τ dla i =, i = { dla i =, (.) W przypadku drugiego eleenu (rys..b), funkcja kszału przyjuje posać kwadraową [79]: węzły narożne Φ i = ( + ξ iξ)( + τ i τ)(ξ i ξ + τ i τ ) (.) węzły pośrednie ξ i =, Φ i = ( ξ )( + τ i τ) (.5) τ i =, Φ i = ( + ξ iξ)( τ ) c. Eleeny rójkąne (rys..) Funkcja kszału a posać liniową dla rozważanego eleenu Φ = A [(X X ) + ( )(X X )] Φ = A [(X X ) + ( )(X X )] (.6) Φ = A [(X X ) + ( )(X X )]

gdzie A oznacza pole powierzchni rójkąa A = X X X (.7) x x x X d. Eleeny rójwyiarowe Rys... Eleen rójkąny o węzłach brzegowych a) b) τ = h h ξ = x a η = y b a b Rys..5. Eleeny prosopadłościenne o węzłach na brzegach: a) eleen liniowy, b) eleen kwadraowy W przypadku eleenu liniowego (rys..5a), funkcja kszału przyjuje nasępującą posać [79]: Φ i = 8 ( + ξ iξ)( + η i η)( + τ i τ) (.8) i =,,,8. Funkcja kszału opisująca eleen kwadraowy (rys..5b) [79]: węzły narożne Φ i = 8 ( + ξ iξ)( + η i η)( + τ i τ)(ξ i ξ + η i η + τ i τ ) (.9) węzły na powierzchniach granicznych ξ i =, η i = ±, τ i = ± (.) Φ i = ( ξ )( + η i η)( + τ i τ).

.. Bezpośrednie określenie charakerysyki lepkosprężysego eleenu czasoprzesrzennego (SKECZ) Zakładay, że podsawowyi niewiadoyi w rozparywany zagadnieniu począkowo-brzegowy lepkosprężysości (pk. ) będą przeieszczenia u i (X, ). Przechodząc do MECZ, funkcja przeieszczeń w obszarze skończonego eleenu czasoprzesrzeńnnego (SKECZ) Ω e, u i e (X, ) opisana będzie więc przeieszczeniai węzłowyi r α e. Tyi przeieszczeniai (paraerai węzłowyi) opisane zosaną pozosałe wielkości charakeryzujące rozparywany proble (zagadnienie). Takie podejście oznacza w isocie sforułowanie MECZ w ujęciu eody przeieszczeń. Rozparujey SKECZ o w e węzłach i s e sopniach sopniach swobody w każdy węźle (rys..6). a. Opis funkcji przeieszczeń u i (X, ), prędkości przeieszczeń u i(x, ): u e i (X, ) = Φ e e iα (X, )r α u i e (X, ) = Φ e e (X, )r α (.) iα (X, ) Ω e, i =,,, α =,,, A e = w e s e, e =,,, E, gdzie e oznacza nuer SKECZ. X X Rys..6. Eleen czasoprzesrzenny o obszarze Ω e z oznaczonyi węzłai b. Opis funkcji wariacji przeieszczeń δu i (X, ) i wariacji prędkości przeieszczeń δu i(x, ): δu i (X, ) = Φ e iα (X, )δr e α, δu i(x, ) = Φ iα e e (X, )δr α (.) w e c. Opis funkcji odkszałceń ℇ ij (X, ): ε e ij (X, ) = ( u i e + u e j ) = X j X i [ (Φ e X iα r e α ) + (Φ e j X jα r e α )] = i = ( Φ iα e X j + Φ e jα e ) r X α i (.)

Po wprowadzeniu oznaczenia: B e ijα (X, ) = ( Φ iα e X j orzyujey efekywny opis ensora odkszałcenia d. Opis dewiaora odkszałcenia e ij (X, ) + Φ e jα ) X i (.) ε e ij (X, ) = B e e ijα (X, )r α (.) e e ij (X, ) = ε e ij (X, ) δ ijε e kk (X, ) = B e ijα r e α δ e ijb kkα r e α = Po wprowadzeniu oznaczenia e = (B ijα δ e e ijb kkα )r α e B ijα e = B ijα ä e ijb kkα (.5) ay e e ij (X, ) = B ijα e e (X, )r α (.6) e. Opis aksjaora odkszałcenia e(x, ) e e (X, ) = ε e kk e e = B kkα (X, )r α (.7).. Modelowanie naprężeń w obszarze SKECZ Punke wyjścia do opisu naprężeń są równania fizyczne (.) i (.) S e ij (X, ) = Ψ e (X, e )e e e ij (X, ) + e ij (X, τ)ψ e (τ)dτ S e (X, ) = Ψ e (X, e )e e (X, ) + e e (X, τ) Ψ e (τ)dτ e e (.8) Wielkości Ψ i () dla, ) są znanyi funkcjai relaksacji (por. pk. ). Mając zdyskreyzowaną czasoprzesrzeń rozważanego obieku (ciała sałego) (rys..7a), dokonujey przynależnej dyskreyzacji funkcji Ψ i () orzyując rzędne Ψ i (rys..7b). Biorąc pod uwagę sosunkowo ały wyiar czasowy eleenów czasoprzesrzennych (SKECZ) h ( =,, ) oraz niewielką uzasadnioną zienność funkcji Ψ i (), ożna założyć, że funkcja a w przedziale, + ( =,, ) a przebieg liniowy (rys..8a).

a) b) rozważany obiek h h h h h h Ψ i Ψ i Ψ i Ψ i Ψ i () oś czasu oś czasu Rys..7. Przykład zdyskreyzowanej srukury czasoprzesrzennej: a) przyjęa siaka czasoprzesrzenna, b) dyskreyzacja funkcji relaksacji Zgodnie z zasadą obowiązującą w MECZ, zienność wszyskich funkcji opisujey w układzie współrzędnych lokalnych (dla konkrenego SKECZ). Doyczyć o usi zae akże funkcji relaksacji (rys..8b): gdzie Ψ i () = a i + b i i =,; =,,, ; =,, ; h +, h + a i = Ψ i + Ψ i h + b i = Ψ i + Ψ i + Ψ i h + Biorąc powyższe pod uwagę, wzory (.8) przyjują nasępującą posać S e ij (X, ) = Ψ e (X, h + )e e e e ij (X, ) + a e ij (X, τ)dτ h e,+ S e (X, ) = Ψ e (X, h + )e e (X, ) + a e e e (X, τ)dτ h e,+ (.9) (.) (.) 5

a) Ψ i () Ψ i Ψ i Ψ i Ψ i + Ψ i + + h h h h + + Ψ i () b) Ψ i Ψ i + h + h + h + Rys..8. Dyskreyzacja funkcji relaksacji Ψ i (): a) dyskreyzacja opisana w globalny układzie współrzędnych, b) dyskreyzacja opisana w lokalny układzie współrzędnych (w obszarze SKECZ) 6

Nasępnie wprowadzay do ych wzorów, opis (.6) i (.7) orzyując S e ij (X, ) = [Ψ e B ijα e e (X, ) + a B ijα e e (X, τ)dτ] r α h e,+ (.) S e (X, ) = [Ψ e e e e e B kkα (X, ) + a B kkα (X, τ)dτ] r α Zwraca się uwagę na sosowne oznaczenia Po wprowadzeniu dodakowych oznaczeń h e,+ Ψ i e (X, h e,+ ) Ψ i e (X), (.) i =, D e ijα (X, ) = Ψ e (X)B ijα e e (X, ) + a B ijα e (X, τ)dτ h e,+ D e kkα (X, ) = Ψ e e e e (X)B kkα + a B kkα (X, τ)dτ h e,+ orzyujey końcowy opis dewiaorów i aksjaorów naprężeń (.) S e ij (X, ) = D e e ijα (X, )r α S e (X, ) = D e e kkα (X, )r α (.5) (X, ) Ω e ; i, j, k =,,; α =,,, A e = w e s e w e liczba węzłów SKECZ, s e liczba sopni swobody w węźle SKECZ, e =,,, E (E liczba SKECZ), =,, (por. rys..7 i.8). Korzysając ze wzorów (.) ożna przejść na opis pełnego ensora naprężenia σ e ij (X, ) = S e ij + δ ijs e = D e ijα r e α + δ ijd e kkα r e α = = (D e ijα + δ ijd e e kkα ) r α (.7) Osaecznie ensor naprężenia σ ij opisujey nasępująco w obszarze SKECZ: gdzie σ e ij (X, ) = C e e ijα (X, )r α (.7) C e ijα (X, ) = D e ijα (X, ) + δ ijd e kkα (X, ) (.8) 7