Elementy Teorii Kategorii

Elementy Teorii Kategorii Marek Zawadowski 27 marca 2012 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 1.1 Rys historyczny.............................. 2 1.2 O kategoriach............................... 3 2 Kategorie, funktory i transformacje naturalne 4 2.1 Kategorie................................. 4 2.2 Funktory................................. 7 2.3 Transformacje naturalne......................... 9 2.4 Równoważność kategorii......................... 11 2.5 2-kategoryjne aspekty kategorii Cat................... 12 3 Funktory reprezentowalne 14 3.1 Lemat Yonedy.............................. 14 3.2 Elementy uogólnione........................... 17 3.3 Przykłady funktorów reprezentowalnych................ 18 3.4 Formalne prawa w kategoriach kartezjańsko domkniętych....... 21 3.5 Cat jako kategoria kartezjańsko domknięta............... 22 4 Granice funktorów 26 4.1 Przykłady granic............................. 26 4.2 Definicja granicy funktora........................ 27 4.3 Granice via produkty i ekwalizatory.................. 27 5 Kogranice funktorów 30 5.1 Definicja kogranicy funktora....................... 30 5.2 Przykłady kogranic............................ 30 5.3 Zachowywanie granic i kogranic..................... 33 5.4 Kogranice funktorów w Set....................... 34 5.5 Uniwersalność kogranic w Set...................... 35 5.6 Kogranice funktorów reprezentowalnych w Set Cop........... 39 5.7 Kreowanie granic............................. 41 6 Funktory sprzężone 43 6.1 Dwa przykłady sprzężeń funktorów................... 43 6.2 Morfizmy uniwersalne i kouniwersalne................. 48 6.3 Definicja sprzężenia............................ 48 6.4 Inne charakteryzacje sprzężeń...................... 51 6.5 Własności funktorów sprzężonych.................... 55 6.6 Podkategorie refleksywne i korefleksywne................ 57 1

6.7 Twierdzenie Freyd a o istnieniu funktora sprzężonego......... 59 6.8 Indukowane działania grup........................ 64 7 Logika równościowa w kategoriach 69 7.1 O logice jako takiej............................ 69 7.2 Logika równościowa w kategoriach................... 69 7.3 Od teorii do kategorii, model generic.................. 75 7.4 Od kategorii do teorii........................... 79 7.5 Interpretacje jako morfizmy teorii.................... 80 8 Zadania 81 8.1 Kategorie, funktory, naturalne transformacje, epi, mono, izo..... 81 8.2 2-kategoria Cat.............................. 82 8.3 Funktory reprezentowalne........................ 83 8.4 Kategorie kartezjańsko domknięte.................... 84 8.5 Granice i kogranice............................ 86 8.6 Funktory sprzężone............................ 90 8.7 Algebra w kategoriach.......................... 93 1 Wprowadzenie 1.1 Rys historyczny Trudno jest dokładnie ustalić kiedy się w praktyce matematycznej pojawiły kategorie i funktory. Można argumentować, że było to już w starożytnej Grecji. W każdym razie stało się to na pewno przed początkiem wieku XX. Naturalne transformacje pojawiły się na początku lat czterdziestych ubiegłego stulecia. Natomiast za początek Teorii Kategorii, jako osobnej dyscypliny matematycznej uważa się zgodnie jedno wydarzenie: publikację w roku 1945 pracy S. Eilenberga i S. MacLanea, General theory of natural equivalences, Transactions of AMS. Potrzeba zdefiniowania wszystkich trzech wyżej wspomnianych pojęć powstała tak późno gdyż o konkretnych kategoriach można było mówić bez definiowania co to jest kategoria 1. Nawet, jak się okazało, można było definiować konkretne funktory pomiędzy kategoriami nie tłumacząc ani czym są abstrakcyjne kategorie i ani czym są abstrakcyjne funktory. To się jednak zmieniło gdy trzeba było opisać czym są naturalne transformacje pomiędzy funktorami. Do tego oczywiście trzeba było opisać co to są funktory działające z kategorii do kategorii... a do tego trzeba było zdefiniować co to są kategorie. Wszystkie te trzy pojęcia zostały zdefiniowane we wspomnianej pracy 2 z 1945 roku. Nie od razu użyteczność Teorii Kategorii została w pełni doceniona. Przez pierwsze kilkanaście lat nie powstało zbyt wiele prac dotyczących tej teorii. Oprócz wspomnianych twórców teorii na wyróżnienie za wkład we wczesnym okresie jej istnienia zasługuje Ch. Eresmann, A. Grothendieck a zwłaszcza D. Kan, który w pracy z 1958 roku wprowadził pojęcie funktorów sprzężonych, jedno z najbardziej fundamentalnych pojęć w całej Teorii Kategorii. W latach sześćdziesiątych rozwój tej teorii nabrał dużej dynamiki co zaowocowało w 1971 roku monografią Categories for the 1 E.Galois używał pojęcia grupy w latach dwudziestych XIX wieku choć abstrakcyjne pojęcie grupy jest mniej więcej o 100 lat młodsze. 2 Mówiac dokładniej w pracy tej oprócz kategorii i funktorów zostały zdefiniowane tylko naturalne izomorfizmy. S. Eilenberg komentując dlaczego nie wprowdził już wtedy dowolnych naturalnych transformacji powiedział: one generalization at a time. 2

Working Mathematician S.MacLane a, do dziś będąca najlepszym wprowadzeniem do Teorii Kategorii. 1.2 O kategoriach Kategorie i funktory pojawiły się by opisać z sposób sformalizowany proces przechodzenia od struktur pewnego typu do struktur innego typu. Na kategorie można też patrzeć jak na matematyczne struktury uogólniające monoidy (kategorie z jednym obiektem) z jednej strony i częściowe (pra)porządki (kategorie w których pomiędzy dwoma obiektami istnieje co najwyżej jeden morfizm) z drugiej. To może pomóc w zrozumieniu pojęć kategoryjnych na prostszych przykładach, jak również fakty dotyczące monoidów i częściowych porządków maja nierzadko interesujące uogólnienia kategoryjne. Ale ja bardziej wolę patrzeć na kategorie jak na pewną subtelną formalizację struktury matematycznej na właściwym poziomie ogólności. Samego pojęcia struktury nie sposób zdefiniować gdyż jest ono zbyt ogólne 3 ale spróbuję w kilku zdaniach opisać co mam na myśli. Rozważymy kategorie której obiektami są grupy a morfizmami funkcje pomiędzy uniwersami grup. Takie przekształcenia grup ignorują całą istniejącą w naszych obiektach strukturę. To powoduje, że ta struktura właściwie przestaje mieć jakiekolwiek znaczenie. Na przykład grupa liczb całkowitych w takiej kategorii jest izomorficzna z grupą liczb wymiernych i każdą inna grupą przeliczalną. W konsekwencji mamy do czynienia bardziej ze zbiorami niż z grupami. W tym przypadku jest dość dobrze widać, że by badać grupy sensowniej jest to robić w kategorii grup i homomorfizmów. Z drugiej strony, jeśli rozważymy kraty zupełne to wybór morfizmów nie jest już taki oczywisty. Krata zupełna jest to zbiór częściowo uporządkowany w którym istnieją wszystkie kresy. Otóż jeśli nawet ograniczymy się w definicji tylko do kresów dolnych (czy górnych) to i tak krata będzie posiadała wszystkie kresy 4. W szczególności mamy więcej operacji niż może byśmy chcieli... Ale mamy też morfizmy i te wcale nie muszą zachowywać wszystkich kresów. Możemy rozważać kategorię w której morfizmy zachowują wszystkie kresy i ale też taką w której morfizmy zachowują tylko lub tylko, a nawet taką, w której morfizmy zachowują tylko i 5. W kategoriach patrzymy na obiekty od zewnątrz (strukturalnie), to znaczy badamy jak dany obiekt zachowuje się w stosunku do innych obiektów tego typu porównując obiekty przy pomocy morfizmów zachowujących strukturę a nie od wewnątrz (analitycznie) każdy obiekt osobno. W tym sensie można myśleć, że struktura (obiektów danej kategorii) to jest to co zachowują morfizmy. 3 Dużo trudniej jest podać definicję struktury niż przykład struktury, który nie spełnia tej definicji. 4 Jeśli krata L posiada kresy dolne i X jest podzbiorem uniwersum L, to kres górny X można zdefiniować następująco X = {l L x Xx l}. 5 Jeśli ograniczyć jeszcze kraty do takich w których te operacje i są ze sobą rozdzielne to otrzymujemy w ten sposób kategorię lokali, kategorię dualną do kategorii przestrzeni topologicznych bezpunktowych. 3

2 Kategorie, funktory i transformacje naturalne 2.1 Kategorie Kategoria C składa się z rodziny obiektów Ob(C), rodziny morfizmów M or(c). Ponadto każdy morfizm f ma dziedzinę dom(f) i przeciwdziedzinę cod(f); piszemy f : X Y lub X f Y gdy X = dom(f) oraz Y = cod(f); jeśli f i g są dwoma morfizmami takimi, że cod(f) = dom(g), to określone jest złożenie f i g, które zapisujemy g f. X f g Y Z g f dla każdego obiektu X oktreślony jest morfizm identycznościowy, oznaczany id X (lub 1 X ); operacje te spełniają następujące aksjomaty; dla X, Y Mor(C) OB(C), f, g, h 1. dom(1 X ) = X = cod(1 X ); 2. dom(g f) = dom(f), cod(g f) = cod(d), gdy cod(f) = dom(g); 3. 1 Y f = f = f 1 X, gdy f : X Y ; 4. h (g f) = (h g) f, gdy cod(f) = dom(g) i cod(g) = dom(h). Notacja złożenia morfizmów. Jeśli f : X Y oraz g : Y Z to g f : X Z oznacza złożenie f z g, jeśli ktoś woli to może też pisać takie złożenie w porządku aplikacyjnym, ze średnikiem: f; g : X Z. Czyli piszemy jak kto chce ale piszemy jak piszemy! Jeśli C jest kategorią to przez C(X, Y ) (lub Hom C (X, Y ), Hom(X, Y )) oznaczamy rodzinę morfizmów z X do Y, t.zn. C(X, Y ) = {f Mor(C) : dom(f) = X, cod(f) = Y }. Kategorię C nazywamy lokalnie małą jeśli dla dowolnych obiektów X, Y C, rodzina C(X, Y ) jest małym zbiorem. Kategorię C nazywamy małą jeśli zarówno rodzina obiektów Ob(C) jak i rodzina morfizmów M or(c) są zbiorami. Uwaga. Powyższa definicja kategorii nie odnosi się w ogóle do zbiorów by uczynić teorię kategorii niezależna od teorii mnogości. Jednak przykłady jak najbardziej odnoszą się do teorii mnogości choć nie zawsze w taki sposób w jaki ona by sobie tego życzyła. Rozważanie kategorii które nie są małe wymaga uwagi. Na przykład kategoria wszystkich funktorów pomiędzy takimi kategoriami wygląda podejrzanie z punktu widzenia teorii mnogości, ponieważ obiekt który otrzymujemy może się okazać zbyt duży. Tymi sprawami nie trzeba sobie zbytnio zaprzątać głowy ale jeśli ktoś chce stać na twardych fundamentach to może myśleć jak następuje. Pracujemy w teorii ZFC z aksjomatem mówiącym że istnieją dwie liczby mocno nieosiągalne θ 1 < θ 2. Jeśli V jest modelem tej teorii to R θ1 R θ2 V są wtedy modelami dla ZFC. Małe zbiory to zbiory w R θ1. Kategorie małe to kategorie których rodziny 4

obiektów i morpfizmów są małymi zbiorami. Kategorie lokalnie małe to kategorie to kategorie w R θ2 jeśli rozważamy coś na kształt kategorii funktorów pomiędzy takimi kategoriami to i tak to coś należy do V. Nigdy nic więcej nie będzie nam potrzebne. Przykłady kategorii 1. 0 - kategoria pusta. W tej kategorii nie ma obiektów ani morfizmów. 2. 1 - kategoria z jednym obiektem i jednym morfizmem (identycznością) 1 0 : 0 0. 3. 2 - kategoria z dwoma obiektami 0 i 1 i jednym morfizmem nieidentycznościowym 0 1. 4. Set - kategoria zbiorów i funkcji. Tu jak i podczas całego wykładu zakładamy, że każda funkcja ma ustaloną dziedzinę i przeciwdziedzinę. 5. Set fin - kategoria zbiorów skończonych i funkcji. 6. Gr - kategoria grup i homomorfizmów. 7. G Set kategoria akcji grupy G na zbiorach i przekształceń ekwiwariantnych. 8. Alg(T ) - kategoria algebr teorii równościowej T i homomorfizmów algebr. Ten przykład jest uogólnieniem poprzedniego jako, że teoria grup jest teorią równościowa. Jeśli pojęcie teorii równościowej nie jest znane czytelnikowi to nie szkodzi. To pojęcie będzie wytłumaczone później, jak również pojęcie kategorii algebr równościowych w dowolnej kategorii z produktami skończonymi. 9. Monoid - kategoria z jednym obiektem. Jeśli M = (M, e, ) jest monoidem to możemy patrzeć na M jako na kategorię z jednym obiektem i rodziną morfizmów M. Wtedy złożenie jest zawsze określone i jest mnożeniem w monoidzie oraz 1 = e. 10. Grupa - kategoria z jednym obiektem, podobnie jak w poprzednim przykładzie, w której każdy morfizm jest izomorfizmem. 11. Praporządek: kategoria w której istnieje co najwyżej jeden morfizm pomiędzy dwoma obiektami. Dokładniej praporządek (P, ) jest to zbiór P z relacja zwrotną i przechodnią. 12. T op - kategoria przestrzeni topologicznych i funkcji ciągłych. 13. T oph - kategoria przestrzeni topologicznych i klas homotopii funkcji ciągłych. Operacje na kategoriach 1. Kategoria dualna C op do kategorii C. Jeśli zamienimy operacje dom i cod (odpowiada to odwróceniu strzałek w diagramach) to tak otrzymane operacje również spełniają aksjomaty kategorii. Tak otrzymana kategoria nazywa się kategorią dualną. 2. Produkt kategorii C D jest to kategoria której obiektami są pary obiektów c, d takie, że c C oraz d D. Morfizm f, g : c, d c, d jest to para morfizmów f : c c w C i f : d d w D. Identyczności i złożenia w C D są zdefiniowane w oczywisty sposób po współrzędnych. 5

3. Niech X będzie obiektem kategorii C. Kategoria C/C płat kategorii C nad C? (slice category) ma jako obiekty morfizmy o przeciwdziedzinie C. Morfizmem w C/C z f : A C do g : B C jest morfizm h : A B w C taki, że g h = f. Graficznie, na diagramie, możemy to przestawić tak: h A f C B g Mówimy, że ten diagram jest przemienny gdy g h = f. Morfizmy specjalne w kategoriach Morfizm f : X Y w kategorii C jest epimorfizmem (epi) jeśli dla dowolnych morfizmów g, h : Y Z jeśli g f = h f to g = h. Morfizm f : X Y w kategorii C jest monomorfizmem (mono) jeśli dla dowolnych morfizmów g, h : Z X jeśli f g = f h to g = h. Morfizm f : X Y w kategorii C jest izomorfizmem (izo) jeśli istnieje morfizm g : Y X taki, że g f = id X oraz f g = id Y. Jeśli istnieje izomorfizm f : X Y w kategorii C to mówimy, że X i Y są izomorficzne i oznaczamy X = Y. Morfizm f : X Y w kategorii C jest retrakcją (split epi) jeśli istnieje morfizm g : Y X taki, że f g = id Y. Morfizm f : X Y w kategorii C jest koretrakcją (split mono) jeśli istnieje morfizm g : Y X taki, że g f = id X. Ćwiczenia 1. Podaj charakteryzację monomorfizmów i epimorfizmów w kategorii Set. 2. Pokaż, że w Set każdy morfizm który jest mono i epi jest też izo. 3. Niech f : X Y będzie morfizmem w kategorii C. Pokaż, że (a) Jeśli f jest split epi i mono to jest izo. (b) Jeśli f jest split mono i epi to jest izo. 4. Niech f : X X będzie epimorfizmem w kategorii C takim, że f f = f. Pokaż, że f = 1 X. 5. Podaj przykład morfizmu, który jest monomorfizmem i epimorfizmem ale nie jest izomorfizmem. 6. Podaj przykład morfizmu w kategorii monoidów M on i kategorii pierścieni Rng, który jest monomorfizmem i epimorfizmem ale nie jest izomorfizmem. 7. Pokaż, że złożenie dwóch epimorfizmów (monomorfizmów, izomorfizmów) jest epimorfizmem (monomorfizmem, izomorfizmem). 8. Pokaż, że jeśli złożenie morfizmów g f jest epi to g też jest epi. 9. Pokaż, że jeśli złożenie morfizmów g f jest mono to f też jest mono. 6

2.2 Funktory Funktor F : C D z kategorii C do kategorii D jest to przy porządkowanie obiektom kategorii C obiektów kategorii D i morfizmom kategorii C morfizmów kategorii D, w taki sposób, że zachowane są dziedziny, przeciwdziedziny, złożenia i identyczności, czyli dla X, f, g C 1. F (dom(f)) = dom(f (f)), F (cod(f)) = cod(f (f)); 2. F (1 X ) = 1 F (X) ; 3. F (g f) = F (g) F (f). Ostatnia równości oczywiście nie miała by sensu gdyby nie założyć, że dom(g) = cod(f). Tego typu założenia będziemy na ogół przyjmować milcząco. Przykłady funktorów 1. Funktor identycznościowy id C : C C. 2. X C, X : D C funktor stały równy X; 3. Set fin Set funktor włożenia; 4. U : Alg(T ) Set funktor zapominania; 5. U : T op Set funktor zapominania; 6. π 1 : T op Gr funktor grupy podstawowej; 7. F : Set Gr funktor grupy wolnej; 8. Funktory reprezentowalne. Obiekt X kategorii lokalnie małej C wyznacza dwa funktory: (a) C(X, ) : C Set Każdy funktor naturalnie izomorficzny z takim funktorem nazywamy (kowariantnym) funktorem reprezentowalnym (b) C(, X) : C op Set Każdy funktor naturalnie izomorficzny z takim funktorem nazywamy (kontrawariantnym) funktorem reprezentowalnym 9. C(, =) : C op C Set funktor hom; 10. π i : C C C funktory rzutowania, dla i = 0, 1; 11. : C C C funktor diagonalny; 12. Funktory na kategorii zbiorów: (a) X : Set Set funktor mnożenia kartezjańskiego przez zbiór X; (b) : Set Set Set funktor mnożenia kartezjańskiego; (c) + : Set Set Set funktor sumy rozłącznej; (d) ( ) X : Set Set funktor podnoszenia do potęgi X; (e) X ( ) : Set op Set funktor wykładniczy o podstawie X; 7

(f) P : Set op zbioru X); Set funktor potęgowy (P(X) jest zbiorem podzbiorów P(f : X Y ) = f 1 : P(Y ) P(X) (g) Natomiast przyporządkowanie X X X nie da się rozszerzyć do funktora z Set w Set. 13. Funktor przestrzeni sprzężonej: ( ) : V ect op K V ect K V Hom(V, K) Funktory specjalne Funktor F : C D jest wierny jeśli dla dowolnej pary obiektów X, Y w C funkcja F X,Y : C(X, Y ) C(F (X), F (Y )) indukowana przez F jest injekcją. F jest pełny jeśli ta funkcja jest surjekcją. F jest pełny na izomorfizmach jeśli ta funkcja jest surjekcją gdy jej dziedzine i przeciwdziedzine obetniemy do izomorfizmów. Funktor F : C D jest właściwie surjektywny jeśli dla dowolnego obiektu Y w D istnieje obiekt X w C oraz izomorfizm f : f(x) Y. Przykłady 1. Funktor grupy podstawowej π 1 : T op Gr nie jest wierny bo każde dwa homotopijne przekształcenia indukują ten sam homomorfizm grup podstawowych. Nie jest też wierny ale jest właściwie surjektywny. 2. Funktor grupy wolnej F : Set Gr jest wierny ponieważ różne funkcje pomiędzy zbiorami indukują różne homomorfizmy grup wolnych. Funktor F nie jest ani pełny, jako że nie każdy homomorfizm grup przekształca zbiór wybranych generatorów grupy na zbiór wybranych generatorów, ani właściwie surjektywny, jako że nie każda grupa jest izomorficzna z grupą wolną. 3. Funktor zanurzenia kategorii grup abelowych w kategorię wszystkich grup Ab Gr jest wierny i pełny ale nie jest właściwie surjektywny. 4. Funktor zapominania Ab Set jest wierny i właściwie surjektywny ale nie jest pełny. 5. Funktor zapminania Latt P oset z kategorii krat do kategorii porządków częściowych jest wierny i pełny na izomorfizmach ale nie jest pełny ani właściwie surjektywny. Kategoria krat ma jako obiekty, kraty a jako morfizmy, morfizmy krat. Kratę można definiować jako algebrę dla teorii równościowej lub prościej jako częściowy porządek który ma kresy górne i dolne zbiorów skończonych (w tym zbioru pustego). Morfizmy krat zachowują skończone kresy. Jest to więcej niż tylko zachowywanie częściowego porządku ale jeśli morfizm zachowujący częściowy porządek jest izomorfizmem to musi też zachowywać kresy. Przyczyna tego zjawiska leży w tym, że nawet jesli kresy są czymś szczególnym w częściowym porządku to w terminach samego porzadku można wyrazić, że coś jest kresem jakiegoś zbioru. W tym sensie krata jest częściowym porządkiem z dodatkową własnością (istnienie skończonych kresów) a nie częściowym porządkiem z dodatkową strukturą. 8

6. Niech B będzie kategoria której obiektami są zbiory (n] = {1,..., n} dla n ω a morfizmami bijekcje. Set fin jest kategorią zbirów skończonych. Wtedy funktor zanurzenia B Set fin jest wierny, pełny na izomorfizmach i właściwie surjektywny ale nie jest pełny. Mówimy, że funktor F zachowuje własność W gdy jeśli obiekt lub morfizm lub... ma własność W to jego obraz przy F też ma własność W. Mówimy, że funktor F odbija własność W gdy jeśli obraz przy F obiektu lub morfizmu lub... ma własność W to obiekt lub morfizm lub... też ma własność W. Mówimy, że funktor F jest konserwatywny jeśli odbija izomorfizmy. Ćwiczenia 1. Pokaż, że funktor zapominania U : T op Set jest wierny ale nie jest pełny. 2. Pokaż, że funktor rzutowania π 0 : C C C jest wierny wtedy i tylko wtedy gdy C jest praporządkiem. 3. Pokaż, że każdy funktor zachowuje izomorfizmy, split epi i split mono. 4. Pokaż, że każdy wierny funktor odbija epimorfizmy i monomorfizmy. 5. Pokaż, że jeśli funktor F : C D jest wierny i pełny oraz X, Y są obiektami w C takimi, że F (X) = F (Y ) to X = Y. Pokaż, że funktor wierny i pełny odbija izomorfizmy. 2.3 Transformacje naturalne Jeśli F, G : C D sa funktorami to transformacja naturalna τ : F G jest rodzina morfizmów w D indeksowana obiektami C, {τ X : F (X) G(X)} X ObC taka, że diagram F (X) τ X G(X) F (f) F (Y ) G(Y ) τ Y G(f) jest przemienny, dla dowolnego morfizmu f : X Y w C. Przykłady transformacji naturalnych 1. id F : F F transformacja identycznościowa; 2. jeśli f : X Y jest morfizmem w C, to C(, f) : C(, X) C(, Y ) C(f, ) : C(Y, ) C(X, ) są transformacjami naturalnymi pomiędzy funktorami reprezentowalnymi; 3. f : X Y funkcja. Wtedy f indukuje transformację naturalną pomiędzy funktorami X ( ) : Set Set i Y ( ) : Set Set; 9

4. Niech P : Set Set będzie kowariantnym funktorem potęgowym,tzn P (f : X Y ) = f : P(X) P(Y ) gdzie f jest funkcją obrazu. Wtedy mamy transformację naturalną µ : P P P taką, że µx (A) = A dla X Set oraz A PP(X) (µ X sumuje rodziny podzbiorów zbioru X); 5. { } : 1 Set P taką, że { } X (x) = {x} dla X Set oraz x X jest transformacją naturalną ({ } X wkłada elementy zbioru X do P(X) jako singletony); 6. Włożenie przestrzeni wektorowej w przestrzeń podwójnie sprzężoną: τ : Id V ectk ( ) : V ect K V ect K τ V : V V = Hom(Hom(V, K), K) τ V (x) : Hom(V, K) K) τ V (x)(f) = f(x) Jeśli C i D są kategoriami to transformacje naturalne pomiędzy funktorami o dziedzinie C i D przeciwdziedzinie D można składać i tworzą one kategorię funktorów (i transformacji naturalnych), oznaczaną D C. D C (F, G) oznacza zbiór (klasę) transformacji z F do G. Izomorfizmy w tej kategorii nazywamy naturalnymi izomorfizmami. Funktor F : C Set (G : C op Set) jest reprezentowalny jeśli istnieje obiekt c C oraz naturalny izomorfizm τ : C(c, ) F (τ : C(, c) G). Parę (c, τ) nazywamy reprezentacją funktora F (G). Przykłady funktorów reprezentowalnych 1. Funktor P : Set op Set jest reprezentowany przez obiekt 2 = {0, 1}. Dla zbioru X, składowa τ X : 2 X P(X), naturalnego morfizmu τ : 2 ( ) P przyporządkowuje funkcjom charakterystycznym podzbiorów, przeciwobrazy 1, tzn τ X (f) = f 1 (1) dla f 2 X. 2. Funktor produktu Set Set t.że X X X jest reprezentowany przez 2 (ale jako funktor kowariantny). 3. Funktor zapominania : Gr Set jest reprezentowany przez grupę liczb całkowitych Z, tzn. przez grupę wolną o jednym generatorze. Ćwiczenia 1. Niech F, G : C D będą funktorami a τ : F G transformacją naturalną taką, że τ c : F (c) G(c) jest izomorfizmem dla wszystkich c C. Pokaż, że τ jest naturalnym izomorfizmem. 2. Pokaż, że funktory 2 ( ), P : Set op Set są naturalnie izomorficzne. Wywnioskuj stąd, że P jest reprezentowalny. 3. Pokaż, że funktor zapominania z kategorii grup Gr w kategorię zbiorów Set jest reprezentowalny. 10

4. Niech N będzie kategorią, której obiektami są liczby naturalne, a morfizm pomiędzy dwoma obiektami m i n z N istnieje gdy m n. (a) Dla n N opisz funktor reprezentowalny N(n, ) : N Set. (b) Dla dowolnego funktora F : N Set i n N opisz transformacje z N(n, ) w F. (c) Dla n N opisz funktor reprezentowalny N(, n) : N op Set. (d) Dla dowolnego funktora G : N op Set i n N opisz transformacje z N(, n) w G. 5. Niech G będzie grupą (tzn. kategorią z jednym obiektem w której każdy morfizm jest izomorfizmem). Pokaż, że funktor F : G Set odpowiada działaniu grupy G na zbiorze F ( ). Opisz transformacje naturalne z G(, ) do dowolnego F : G Set. 2.4 Równoważność kategorii Jak już mówiliśmy, często nie ma sensu pytanie: czy dwa obiekty kategorii są równe? ale raczej: czy są izomorficzne?. Szczególnie jeśli są one otrzymane w wyniku różnych konstrukcji. Na przykład, produkty kartezjańskie zbiorów A (B C) i (A B) C są różne ale oczywiście w wielu sytuacjach chcemy je utożsamiać ponieważ są one w (naturalny) sposób izomorficzne. Innymi słowy wszystkie rozsądne własności, które ma jeden z obiektów ma też i drugi. Pojęcie funktora daje nam automatycznie pojęcie izomorfizmu kategorii. Mianowicie, jeśli A i B są kategoriami a F : A B i G : B A takimi, że F G = id B oraz G F = id A to kategorie A i B są izomorficzne. Jednak pojęcie izomorfizmu kategorii jest nieco za silne. Na przykład, kategoria grup skończonych Gr fin jest w zasadzie tą samą kategorią co kategoria grup, których nośnikami są liczby naturalne Grfin ω. Te kategorie oczywiście nie są równe ale też nie są nawet izomorficzne! By móc utożsamiać takie kategorie potrzebne jest słabsze pojęcie niż izomorfizm kategorii. Takim pojęciem jest równoważność kategorii. Mówimy, że kategorie A i B są równoważne jeśli istnieją funktory F : A B i G : B A oraz naturalne izomorfizmy τ : id B F G oraz σ : id A G F Ćwiczenia 1. Pokaż, że kategorie Gr fin i Gr ω fin są równoważne. 2. Kategoria A jest szkieletowa o ile dla dowolnych obiektów A, B A, jeżeli A = B to A = B. Pokaż, że każda kategoria jest równoważna kategorii szkieletowej. 3. Niech V ec fin będzie kategorią skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad R i przekształceń liniowych. Pokaż, że kategorie V ec fin oraz V ec op fin są równoważne. 4. Niech Rel będzie kategorią zbiorów i relacji, tzn Rel(X, Y ) = P(X Y ) (relacje składamy w zwykły sposób). Pokaż, że kategorie Rel oraz Rel op są równoważne. 11

5. Kratą nazywamy częściowy porządek w którym są skończone kresy ( górny i dolny). Krata A jest dystrybutywna o ile dla dowolnych a, b, c A zachodzi równość: a (b c) = (a b) (a c) Algebra Boole a to krata dystrybutywna w której każdy element a ma uzupełnienia a takie, że a a = 1 a a = 0 Pokaż, że kategoria skończonych algebr Boole a jest równoważna z kategorią dualną do kategorii zbiorów skończonych. 2.5 2-kategoryjne aspekty kategorii Cat Jak już mówiliśmy dla ustalonych kategorii C i D funktory z C w D oraz naturalne transformacje pomiędzy takim funktorami tworzą kategorię oznaczaną N at(c, D) (lub D C ). Zatem jeśli mamy transformacje σ : F G i τ : G H jak na diagramie C F σ τ H G D to złożenie wertykalne transformacji naturalnych τ σ jest określone punktowo,tzn. (τ σ) c = τ c σ c dla c C. Ponadto transformacje naturalne możemy składać z funktorami i to z obu stron. Mając kategorie, funktory i naturalną transformację jak w diagramie C F C G σ D K D H możemy określić transformację naturalną σ F : G F H F tak, że (σ F ) c = σ F (c ) dla c C a także transformację naturalną K(σ) : K G K H taką, że K(σ) c = K(σ c ) dla c C. Mając dane dwie transformacje naturalne jak w diagramie F 0 G 0 C σ D τ E F 1 G 1 możemy zdefiniować złożenie horyzontalne tych transformacji Jak widać z poniższego kwadratu τ σ : G 0 F 0 G 1 F 1 G 0 (σ) τ F0 G 0 F 0 G 1 F 0 G 0 F 1 G 1 F 1 τ F1 12 G 1 (σ)

istnieją dwie transformacje naturalne z funktora G 0 F 0 do G 1 F 1. powyższy kwadratu na obiekcie c C otrzymujemy kwadrat G 0 F 0 (c) τ F0 (c) G 1 F 0 (c) Ewaluując G 0 (σ c ) G 0 F 1 (c) τ F1 (c) G 1 (σ c ) G 1 F 1 (c) który jest oczywiście przemienny na mocy naturalności transformacji τ na morfiźmie σ c : F 0 (c) F 1 (c). Zatem definiujemy dla c C. Ćwiczenia (τ σ) c = G 1 (σ c ) τ F0 (c) = τ F1 (c) G 0 (σ c ) 1. Pokaż, że wszystkie zdefiniowane powyżej transformacje są naturalne. 2. Pokaż, że złożenie horyzontalne jest łączne. 13

3 Funktory reprezentowalne 3.1 Lemat Yonedy Ostatnie dwa ćwiczenia sekcji 2.3 dotyczącej transformacji naturalnych z poprzedniego rozdziału dotyczą szczególnych przypadków Lematu Yonedy, który opisuje transformacje naturalne pomiędzy funktorami reprezentowalnymi a dowolnymi funktorami w Set. Warto jest przestudiować te szczególne przypadki przed przeczytaniem tego rozdziału. Niech C będzie kategorią lokalnie małą. Przypomnijmy, że Set Cop oznacza kategorię presnopów nad C, to znaczy kategorię funktorów z kategorii C op (dualnej do kategorii C) do kategorii zbiorów Set. Włożeniem Yonedy nazywamy funktor taki, że dla c C Y : C Set Cop Y (c)(= Y c ) = C(, c) : C op Set jest funktorem reprezentowanym przez c, oraz dla f : c c C Y (f)(= Y f ) = Y c Y c jest naturalną transformacją taką, że dla g : d c Y c (d) Ćwiczenie (Y f ) d (g) = f g : d c 1. Pokaż, że funktor włożenia Yonedy Y jest dobrze określony. Lemat 3.1 (Lemat Yonedy) Dla dowolnego funktora F : C op Set i dowolnego obiektu c C istnieje bijekcja σ c,f : Set Cop (Y c, F ) F (c) Bijekcja ta jest naturalna w następującym sensie: dla f : c c w C i µ : F F diagram Set Cop (Y c, F ) σ c,f F (c) Set Cop (Y f, µ) µ c F (f) = F (f) µ c Set Cop (Y c, F ) F (c ) σ c,f jest przemienny. Uwaga. Innymi słowy powyższy Lemat mówi, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy transformacjami naturalnymi ϕ : Y c F oraz elementami x zbioru F (c). Najistotniejszym aspektem powyższego Lematu jest to, że taka transformacja ϕ jest jednoznacznie wyznaczona przez przez jeden element x = ϕ c (id c ) zbioru F (c). A priori, transformacja naturalna jest klasą morfizmów {ϕ c } c indeksowaną zbiorem obiektów C. Okazuje się, że warunek naturalności transformacji bardzo ogranicza liczbę takich rodzin. 14

Dowód: Niech c C i F : C op Set. By udowodnić pierwszą część Lematu, zdefiniujemy dwie funkcje oraz σ c,f : Set Cop (Y c, F ) F (c) τ c,f : F (c) Set Cop (Y c, F ) i pokażemy, że są one wzajemnie odwrotne. Dla α : Y c F a dla x F (c) σ c,f (α) = α c (id c ) τ c,f (x) : Y c F jest transformacją naturalną taką, że dla g : d c τ c,f (x) d (g) = F (g)(x). By pokazać, że τ c,f jest dobrze określoną funkcją musimy pokazać, ze τ c,f (x) jest transformacją naturalną. W tym celu pokażemy, że dla dowolnego morfizmu h : d d kwadrat Y c (d) τ c,f (x) d F (d) Y c (h) F (h) Y c (d ) F (d ) τ c,f (x) d jest przemienny. Dla dowolnego g : d c Y c (d) mamy F (h) τ c,f (x) d (g) = def τ cf (x) na g = F (h) F (g)(x) = (F funktor) = F (g h)(x) = def τ cf (x) na g h = τ c,f (x) d (g h) = def Y c = τ c,f (x) d Y c (h)(g) Czyli τ c,f (x) jest rzeczywiście transformacją naturalną. Teraz pokażemy, że przyporządkowania σ c,f i τ c,f są wzajemnie odwrotne. Dla x F (c) mamy σ c,f τ c,f (x) = def σ cf = τ c,f (x) c (id c ) = def τ c,f = F (id c )(x) = F funktor = id F (c) (x) = x Niech teraz α : Y c F. Chcemy pokazać, że zachodzi równość transformacji naturalnych τ c,f σ c,f (α) = α W tym celu wystarczy pokazać, że mają one równe składowe, to znaczy, że dla dowolnego d C i dowolnego g : d c zachodzi (τ c,f σ c,f (α)) d (g) = α d (g) 15

Mamy (τ c,f σ c,f (α)) d (g) = = τ c,f (σ c,f (α)) d (g) = def σ c,f = τ c,f (α c (id c )) d (g) = def τ c,f = F (g)(α c (id c )) = α nat transf = α d (Y c (g)(id c )) = def Y g = α d (g) Przedostatnia równość wynika z poniższego diagramu Y c (c) Y c (g) Y c (d) α c α d F (c) F (g) F (d) który wyraża naturalność α na morfiźmie g. W ten sposób pokazaliśmy, że przyporządkowania σ c,f i τ c,f są wzajemnie odwrotne. Pozostaje do pokazania druga część Lematu, naturalność przyporządkowania σ. Niech f : c c C oraz niech α : Y c F i µ : F F będą transformacjami naturalnymi. W szczególności, kwadraty Y c (c) (Y f ) c Y c (c) α c F (c) µ c F (c ) id c Y c (f) Y c (f) F (f) id c f Y Y c (c ) α F (c c (c ) ) c (Y f ) c są przemienne. Mamy pokazać, że µ c F (c) F (f) Set Cop (Y c, F ) α α c (id c ) F (c) µ c F (f)(α c (id c )) Set Cop (Y c, F ) µ α Y f (µ α Y f ) c (id c ) F (c ) Mamy (µ α Y f ) c (id c ) = (µ α) c ((Y f ) c (id c )) = def (Y f ) c ) (µ α) c (f) = def (Y c )(f)) = µ c (α c Y c (f)(id c )) = α nat transf = µ c (F (f) α c (id c )) = = µ c F (f)(α c (id c )) Q.E.D. Z Lematu Yonedy otrzymujemy 16

Wniosek 3.2 (Lemat Yonedy II) Funktor jest wierny i pełny. Y : C Set Cop Dowód: Dla c, c C mamy C(c, c ) = Y c (c) = Set Cop (Y c, Y c ) Należy jeszcze zauważyć, że powyższa bijekcja τ c,yc jest dana przez funktor Y. Czyli, że dla f : c c τ c,yc (f) = Y f : Y c Y c Tę równość naturalnych transformacji sprawdzamy dla wszystkich składowych. Niech g : d c. Wtedy używając definicji τ c,yc, Y c (f) i Y f mamy Q.E.D. 3.2 Elementy uogólnione τ c,yc (f) d (g) = Y c (f)(g) = f g = (Y f ) d (g) Lemat Yonedy jest prostym ale bardzo skutecznym narzędziem. Jeśli popatrzymy na morfizm x : d c w kategorii C jako na element uogólniony obiektu c parametryzowany obiektem d to funktor Y c = C(, c) można traktować jako funktor elementów uogólnionych obiektu c. Przy takim spojrzeniu, z Lematu Yonedy (w wersji II) wynika, że jeżeli dwa obiekty c i c kategorii C mają izomorficzne funktory elementów (Y c = Yc ) to same też są izomorficzne (c = c ). Dokładniej, jeżeli dla dowolnego d mamy wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie τ d takie, że dla f : d d, x : d c τ d (x) : d c τ d (x) f = τ d (x f) (czyli mamy naturalny izomorfizm τ : Y c Y c ) to obiekty c i c są izomorficzne. W ten sposób możemy również zdefiniować dowolne morfizmy z c w c w C. W tym celu wystarczy zdefiniować dowolne naturalne przyporządkowanie τ : Y c Y c. Uwaga. Własność, że dwa obiekty kategorii są izomorficzne jeśli mają izomorficzne funktory elementów jest podobna własność zbiorów wyrażonej w aksjomacie ekstensjonalności w teorii mnogości, który mówi, że dwa zbiory są równe gdy mają te same elementy: x y ( z z x z x) x = y By pokazać jak daleko idąca jest to analogia omówimy pojęcie kategorii kartezjańsko domkniętych używając elementów uogólnionych. Najpierw jednak kilka obserwacji ogólnych dotyczących funktorów reprezentowalnych. Z Lematu Yonedy, reprezentacja τ : C(, c) G funktora G : C op Set jest jednoznacznie wyznaczona przez parę c, x, dla x = τ c (1 c ) G(c). Oczywiście nie każdy element x G(c) wyznacza izomorfizm naturalny funktorów C(, c) i G. Para c, x G(c) wyznacza reprezentację funktora wtedy i tylko wtedy gdy Powyższy warunek łatwo wynika z diagramu d C y G(d)! g:d c G(g)(x) = y (1) 17

Y c (c) id c Y c (g) g Y c (d) τ c τ d G(c) x G(g) y G(d) Dlatego też często mówimy, że para c, x spełniająca (1) reprezentuje G. Fakt 3.3 Reprezentacja c, x funktora G : C op Set, o ile istnieje, jest wyznaczona z dokładnością do izomorfizmu, w tym sensie, że jeśli c, x jest inną reprezentacją funktora G to istnieje jedyny izomorfizm f : c c taki, że G(f)(x) = x. Dowód: Niech c, x i c, x będą reprezentacjami funktora G. Zatem z warunku (1) dla c, x mamy morfizm f : c c taki, że G(f)(x) = x oraz dla c, x mamy morfizm g : c c taki, że G(g)(x ) = x. Wtedy G(f g)(x) = G(g) G(f)(x) = G(g)(G(f)(x)) = G(g)(x ) = x = G(id c )(x) (Pierwsza równość odwraca kolejność f i G ponieważ funktor G jest kontrawariantny.) Ale, znów z warunku (1), morfizm h : c c taki, że G(h)(x) = x jest jedyny, zatem f g = id c. Podobnie można pokazać, że g f = id c. Zatem f jest izomorfizmem. Q.E.D. Przykład Niech A, B, C będą zbiorami. Używając wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania λ X x : X A B λ X (x) : X B A możemy wykazać, że istnieje bijekcja zbiorów (A B ) C i A (B C). Mamy bowiem X (A B ) C X C A B (X C) B A X (C B) A X A (C B) Należy jeszcze sprawdzić naturalność tej odpowiedniości i otrzymujemy bijekcję pomiędzy zbiorami (A B ) C i A (B C). Wkrótce przekonamy się, że ten argument dowodzi, że obiekty (A B ) C i A (C B) są izomorficzne w dowolnej kategorii katrtezjańsko domkniętej. 3.3 Przykłady funktorów reprezentowalnych Przykład 1. Iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych. Wszystkie rozpatrywane przestrzenie liniowe są nad ustalonym ciałem K; V ect K oznacza kategorię przestrzeni liniowych nad ciałem K. Niech BiLin(V, V ; W ) oznacza zbiór przekształceń dwuliniowych f : V V W. Ponieważ złożenie przekształcenia dwuliniowego z przekształceniem liniowym g : W W jest znów przekształceniem dwuliniowym g f : V V W to w istocie mamy funktor BiLin(V, V ; ) : V ect K Set 18

taki, ze W BiLin(V, V ; W ) Jeśli para P, µ reprezentuje ten funktor to µ : V V P jest przekształceniem dwuliniowym takim, że dla dowolnego przekształcenia dwuliniowego h : V V W istnieje jedyne przekształcenie liniowe h : P W uprzemienniające diagram V V µ P h h W Czyli reprezentacja funktora BiLin(V, V ; ) to po prostu zwykła definicja iloczyny tensorowego przestrzeni wektorowych, gdzie P = V V oraz µ : V V V V jest uniwersalnym przekształceniem dwuliniowym z V V (w tym sensie, że każde inne przekształcenie dwuliniowe jest złożeniem tego przekształcenia z liniowym w jedyny sposób). W poniższych przykładach będziemy analizowali jaki konsekwencje dla kategorii C płyną z faktu, że pewne funktory są reprezentowalne. Przykład 2. Obiekt końcowy Rozważmy funktor stały : C op Set wysyłający wszystkie obiekty C na zbiór jednoelementowy { 0} i wszystkie morfizmy na morfizmy na 1 {0}. Jeśli funktor jest reprezentowalny to istnieje obiekt 1 o tej własności, że funktor C(, 1) jest izomorficzny z. Zatem z każdego obiektu c kategorii C musi istnieć dokładnie jeden morfizm w 1. Wtedy para 1, 0 jest reprezentacją (oczywiście element 0 w tym wypadku nie niesie żadnej istotnej informacji). Obiekt 1 reprezentujący funktor nazywamy obiektem końcowym. W kategorii Set każdy zbiór jednoelemnetowy jest obiektem końcowym. W kategorii Ab, grup abelowych, obiektem końcowym jest (każda!) grupa jednoelemntowa. Przykład 2. Obiekt początkowy Dualnie, możemy rozważyć funktor stały : C Set wysyłający wszystkie obiekty C na zbiór jednoelementowy { 0} i wszystkie morfizmy na morfizmy na 1 {0}. Jeśli funktor jest reprezentowalny to istnieje obiekt 0 o tej własności, że funktor C(0, ) jest izomorficzny z. Zatem z 0 do każdego obiektu c kategorii C musi istnieć dokładnie jeden morfizm. Wtedy para 0, 0 jest reprezentacją (podobnie jak poprzednio element 0 nie niesie żadnej istotnej informacji). Obiekt 0 reprezentujący funktor nazywamy obiektem początkowym. W kategorii Set zbiór pusty jest obiektem początkowym; zatem 1 = 0 w tym przypadku. W kategorii Ab obiektem początkowym jest grupa jednoelemntowa; zatem 1 = 0 w tym przypadku. Przykład 3. Produkt binarny Niech a i b będą obiektami C. Rozważmy funktor C(, a) C(, b) : C op Set zdefiniowany w sposób oczywisty. Jeśli ten funktor jest reprezentowalny to jego reprezentacja składa się z obiektu p i dwóch morfizmów π a : p a oraz π b : p b takich, że na mocy warunku (1) dla dowolnej pary morfizmów f : d a oraz g : d b istnieje jedyny morfizm f, g : d p taki, że π a f, g = f oraz π b f, g = g. Taki obiekt, oznaczany zwykle a b, wraz z morfizmami π a : a b a i π b : a b b nazywamy produktem binarnym a i b. 19

a π a π a b b b f f, g g d Jeśli f : a a i g : b b są dwoma morfizmami to ich produkt kartezjański f g : a b a b jest definiowany jak jedyny morfizm uprzemienniający poniższy diagram a π a a b f f g a π a b a π b b g π b b W Set produkt binarny jest zwykłym produktem kartezjańskim z rzutowaniami. Przykład 3. Koprodukt binarny Dualnie dla obiektów a i b kategorii C, możemy zdefiniować funktor C(a, ) C(b, ) : C Set zdefiniowany w sposób oczywisty. Jeśli ten funktor jest reprezentowalny to jego reprezentacja składa się z obiektu q i dwóch morfizmów κ a : a q oraz κ b : b q takich, że na mocy warunku (1) dla dowolnej pary morfizmów f : a d oraz g : b d istnieje jedyny morfizm [f, g] : q d taki, że [f, g]κ a = f oraz [f, g]κ b = g. Taki obiekt, oznaczany zwykle a+b, wraz z morfizmami włożenia (lub koprojekcjami) κ a : a a + b i κ a : a a + b nazywamy koproduktem binarnym a i b. a κ a a + b κ b b f [f, g] g d W Set koprodukt binarny a i b jest sumą rozłączną, tzn. ({0} a) ({1} b) z oczywistymi włożeniami. Przykład 4. Obiekt wykładniczy Załóżmy, że w C istnieją produkty binarne dowolnej pary obiektów. Niech a i b będą obiektami C. Wtedy możemy zdefiniować funktor następujący sposób C(a ( ), b) : C op Set c f c C(a c, b) h (1 a f)) C(a f, b) C(a c, b) h 20

Jeśli C jest kategorią Set to ten funktor jest reprezentowalny przez obiekt wykładniczy b a wszystkich funkcji z a w b, tzn. Mamy oczywistą wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy zbiorami funkcji Set(c, b a ) = Set(a c, b) która jest naturalna w c. Przy tej odpowiedniości id b a przechodzi na funkcję ewaluacji ev a,b : a b a b taką, że ev a,b (x, h) = h(x) dla x a oraz h b a. To znaczy, że w Set taki funktor jest reprezentowany przez parę b a, ev a,b : a b a b. Przez analogie z tą sytuacją jeśli w dowolnej kategorii C z produktami binarnymi funktor C(a ( ), b) jest reprezentowalny to parę reprezentującą ten funktor oznaczamy b a, ev a,b i nazywamy obiektem wykładniczym. Warunek (1) w tym przypadku oznacza, że dla dowolnego morfizmu h : a c b istnieje jedyny morfizm h : c b a taki, że trójkąt b a a b a ev b h 1 a h h c a c jest przemienny. Kategoria C jest kartezjańsko domknięta jeśli ma obiekt końcowy, produkty binarne i obiekt wykładniczy. Kategoria kartezjańsko domknięta C jest bikartezjańsko domknięta jeśli ma obiekt początkowy i koprodukty binarne. 3.4 Formalne prawa w kategoriach kartezjańsko domkniętych Niech C będzie kategorią kartezjańsko domkniętą, a, b obiekty C. Rozważmy takie prawo a b = b a (2) które mówi, że stosowne obiekty są izomorficzne czyli, że istnieje izomorfizm pomiędzy nimi. W rzeczywistości my chcemy powiedzieć coś więcej mianowicie, że istnieje kanoniczny izomorfizm, choć nie jest łatwo sformułować w ogólności co rozumiemy pod pojęciem kanonicznego izomorfizmu. Pierwszy dowód. Pokażemy bijekcję pomiędzy zbiorami C(d, a b) oraz C(d, b a) naturalną w d: d a b d a, d b d b, d a d b a Każda linia reprezentuje bijekcję pomiędzy obiektami powyżej i poniżej. Pierwsza i ostatnia wynika bezpośrednio z definicji produktu w kategorii C. Bijekcja środkowa jest przestawieniem dwóch elementów w parze uporządkowanej (czyli korzystamy tu z niejako z przemienności produktu kartezjańskiego w Set. Łatwo(!) sprawdzić, że ta odpowiedniość jest naturalna w d, tzn. że dostajemy w ten sposób naturalny izomorfizm funktorów τ : C(, a b) C(, b a). Teraz z Lematu Yonedy (w wersji II) otrzymujemy izomorfizm a b = b a. Ten izomorfizm to oczywiście τ a b (id a b ) ale nie zawsze jest łatwo znaleźć konkretne wyrażenie opisujące taki morfizm. Q.E.D. Drugi dowód. Ten dowód jest mniej intuicyjny ale bardziej bezpośredni bo konstruuje eksplicite izomorfizm pomiędzy obiektami a b i b a. Mając produkty 21

a π a a b π b b b π b b a π a a to znaczy reprezentacje funktorów C(, a b) oraz C(, b a) możemy zdefiniować morfizmy p = π b, π a : a b b a, q = π a, π b : b a a b Mamy i podobnie π a (q p) = π a π a, π b π b, π a = π a π b, π a = π a = π a 1 a b π b (q p) = π b π a, π b π b, π a = π b π b, π a = π b = π b 1 a b Zatem złożenia z rzutowaniami z produktu a b morfizmów q p oraz 1 a b są równe. Wobec tego te morfizmy też są równe i mamy q p = 1 a b. Równość p q = 1 b a można pokazać analogicznie. Zatem p = π b, π a jest rzeczywiście szukanym izomorfizmem. Q.E.D. 3.5 Cat jako kategoria kartezjańsko domknięta Cat ma oczywiście obiekt końcowy 1 kategorię z jednym obiektem i jednym morfizmem (identycznościowym). Cat ma też produkty binarne. Jeśli A i B są kategoriami to A B jest kategorią, której obiektami są pary obiektów < a, b > takie, że a A i b B, a morfizmami pary morfizmów < f, g >:< a, b > < a, b > takie, że f A i g B. Złożenia i identyczności są definiowane w A B po współżędnych. Nieco trudniej jest zobaczyć jak wygląda obiekt wykładniczy B A. Na chwilę założymy, że B A istnieje i ustalimy czemu odpowiadają obiekty i morfizmy w B A. A następnie pokażemy, że taka kategoria ma rzeczywiście żądane włsności. Zauważmy, że dla dowolnej kategorii C mam wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy obiektami C i funktorami z 1 w C, to znaczy Ob(C) 1 C Używając tej odpowiedniości i własności B A mamy Ob(B A ) 1 B A A = 1 A B Zatem obiekty B A odpowiadją funktorom z A w B. Podobnie morfizmy dowolnej kategorii C odpowiadają wzajemnie jednoznacznie funktorom z 2 (kategorii o dwóch obiektach 0 i 1 i jednym morfiźmie nieidentycznościowym 2 : 0 1), to znaczy Mor(C) 2 C Podobnie jak w poprzednim przypadku, używając tej odpowiedniości i własności B A mamy Mor(B A ) 2 B A 2 A B 22

Funktor F : 2 A B odpowiada naturalnej transformacji F 2 : F 0 F 1, gdzie F i : A B takie, że F i (f : a a ) = F (i, f) dla i = 0, 1 oraz F 2 a = F (2, a) : F 0 (a) F 1 (a). Podobnie można sprawdzić jak wyglądają złożenia w Cat używając kategorii 3. Zdefiniujmy zatem B A jako Cat(A, B) kategorię funktorów z A do B i transformacji naturalnych pomiędzy nimi. By pokazać, że tak zdefiniowana kategoria B A jest obiektem wykładniczym musimy pokazać, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość C B A A C B naturalna w C. Niech F : A C B będzie funktorem, a A, c C. F wyznacza sekcje takie, że Mamy F 1,c : A B F 2,a : C B F 1,c (f : a a ) = F (f, id c ) : F (a, c) F (a, c) F 2,a (g : c c ) = F (id a, g) : F (a, c) F (a, c ) Lemat 3.4 Funktor F : A C B jest jednoznacznie wyznaczony przez rodziny swoich sekcji < F 1,c : A B > c Ob(C) < F 2,a : C B > a Ob(A) (3) Rodziny mofizmów (3) są sekcjami pewnego funktora F wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych morfizmów f : a a i g : c c kwadrat F 2,a (g) F 1,c (a) = F 2,a (c) F 2,a (c ) = F 1,c (a) (4) F 1,c (f) jest przemienny. Dowód: Zatem F 1,c (f) F 1,c (a ) = F 2,a (c) F 2,a (c) = F 1,c (a ) F 2,a (g) Dla < f, g >:< a, c > < a, c > mamy < f, g >=< f, id c > < id a, g >=< id a, g > < f, id c > F (f, g) = F 2,a (g) F 1,c (f) = F 1,c (f) F 2,a (g) Czyli sekcje funktora F wyznaczaja go jednoznacznie. Niech teraz dane będą rodziny morfizmów (3) takie, że kwadrat (4) jest przemienny. Dla < a, c > A C definiujemy F (a, c) = F 1,c (a) = F 2,a (c) oraz dla < f, g >:< a, c > < a, c > A C definiujemy F (f, g) = F 1,c (f) F 2,a (g) = F 2,a (g) F 1,c (f) Tak określone F zachowuje dziedziny i przeciwdziedziny. Weryfikaję, że F zachowuje też złożenia i identyczności pozostawiamy czytelnikowi. Q.E.D. 23

Fakt 3.5 Kategoria Cat jest kategoria kartezjańsko domkniętą. Dowód: Niech A, B, C będą kategoriami małymi. Mamy pokazać wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość C A C H id A H C A C F = G B A F = G B naturalną w C. Dla F : C B A rodziny funktorów gdzie < F 1,c = F (c) : A B > c Ob(C) < F 2,a : C B > a A F 2,a (c) = F (c)(a) F 2,a (g) = F (g) a dla g : c c C, spełniają warunek z Lematu 3.4. Zatem istnieje funktor F : A C B, którego są one sekcjami. To znaczy, że F (a, c) = F (c)(a) F (f, g) = F 1,c (f) F 2,a (g) = F (c )(f) F (g) a dla f : a a A i g : c c C. Dla funktora G : A C B określamy funktor tak, że dla c C jest funktorem takim, że dla a A dla f : a a, oraz dla g : c c transformacją naturalną taką, że G : C B A G(c) : A B G(c)(a) = G(a, c) G(c)(f) = G(f, id c ) : G(a, c) G(a, c) G(g) : G(c) G(c ) G(g) a = G(id a, g) : G(a, c) G(a, c ) dla a A. Pokażemy, że przyporządkowania F F i G G są wzajemnie odwrotne i naturalne w c, czyli F (id A H) = Dla f : a a A i g : c c C mamy F H F (c)(a) = F (a, c) = F 1,c (a) = F (c)(a) F (c)(f) = F (f, id c ) = F 1,c (f) = F (c)(f) 24

F (g) a = F (id a, g) = F 2,a (g) = F (g) a Zatem F = F. Ponadto G(a, c) = G 1,c (a) = G(a, c) G(f, g) = G 1,c (f) G 2,a (g) = G(f, id c ) G(id a, g) = G(f, g) Zatem Ĝ = G. Na koniec dla < a, c > A C i < f, g >:< a, c > < a, c > A C mamy F (id A H)(a, c) = F (a, H(c)) = = F 2,a (H(c)) = (F H) 2,a (c) = F H(a, c) oraz F (id A H)(f, g) = F (f, H(g)) = = F 1,H(c )(f) F 2,a (H(g)) = F (H(c ))(f) F (H(g)) a = = (F H)(c )(f) (F H)(g) a = F H(f, g) Zatem przyporządkowania ( ) i ( ) są rzeczywiście naturalne w C. Q.E.D. 25

4 Granice funktorów 4.1 Przykłady granic Obiekt końcowy Obiektem końcowym nazywamy taki obiekt 1 w kategorii w który istnieje dokładnie jeden morfizm z każdego innego obiektu. Przykłady 1. W Set obiektem końcowym jest każdy zbiór jednoelementowy, w Gr i Ab jest to grupa trywialna, w V ect k jest to przestrzeń liniowa zerowa, a w T op jest to przestrzeń topologiczna jednoelementowa. 2. Częściowy porządek ma obiekt końcowy wtedy i tylko wtedy gdy ma element największy. 3. Kategoria ciał nie ma obiektu końcowego. Produkt binarny Niech A będzie kategorią, a A, B obiektami w A. Produktem binarnym (produktem) A i B nazywamy obiekt A B wraz z rzutowaniami π A : A B A i π B : A B B takie, że dla dowolnego obiektu C kategorii A i morfizmów f : C A i g : C B istnieje dokładnie jeden morfizm < f, g >: C A B uprzemienniający poniższy diagram Przykłady C f < f, g > g A πa A B π B B 1. Kategorie Set, Gr, V ect K, T op mają produkty binarne. W każdej z nich produkt binarny jest definiowany jak produkt kartezjański uniwersów wyposażony w odpowiednią strukturę produktową. 2. W częściowym porządku produkty binarne to kresy dolne par elementów. 3. Kategoria ciał nie ma produktów. Ekwalizator Niech A będzie kategorią, a f, g : A B równoległą parą morfizmów w A. Ekwalizatorem f i g nazywamy obiekt E wraz z morfizmem e : E A E e A f g B takie, że f e = g e oraz dla dowolnego obiektu C kategorii A i morfizmu h : C A takiego, że f h = g h istnieje dokładnie jeden morfizm k : C E taki, że h = e k. Przykłady 1. W Set ekwalizator morfizmów f i g to największy podzbiór ich wspólnej dziedziny na którym f i g są zgodne. W Ab ekwalizator f i g to jądro różnicowe, tzn. jądro homomorfizmu f g. 26

Produkt włóknisty Niech A będzie kategorią, a f : A C g : B C parą morfizmów w A. Produktem włóknistym (lub pulbekiem) f i g (lub A i B nad C jeśli wiadomo o jakie morfizmy chodzi) nazywamy obiekt A C B wraz z rzutowaniami π A : A C B A i π B : A C B B tak, że f π A = g π B A C B π B B π A A f g C oraz dla dowolnego obiektu D kategorii A i morfizmów h : D A i k : D B takich, że f h = g k istnieje dokładnie jeden morfizm h, k : C D C B taki, że π A h, k = h oraz π B h, k = k Przykłady 1. W Set pulbek A i B nad C można opisać tak A C B = { a, b A B f(a) = g(b)} = c C f 1 (c) g 1 (c) Ta druga charakteryzacja pokazuje, że pulbek jest sumą rozłączną po elementach C produktów włókien funkcji f i g (stąd nazwa produkt włóknisty). 4.2 Definicja granicy funktora Wszystkie powyższe pojęcia są szczególnymi przykładami pojęcia granicy funktora. Niech J i A będą kategoriami A A. Funktor stały z J w A o wartości A jest to funktor A : J A, przyporządkowujący obiektom J obiekt A a morfizmom z J morfizm 1 A. Niech F : J A będzie funktorem. Stożkiem nad funktorem F o wierzchołku A nazywamy transformację naturalną τ : A F. To znaczy, że dla dowolnego α : i j, trójkąt A τ i τ j F (i) F (j) F (α) jest przemienny. Morfizmem stożków nad F, f : (A, τ) (B, σ) nazywamy morfizm f : A B w A taki, że τ i = σ i f dla i J. W ten sposób zdefiniowaliśmy kategorię stożków nad F, Cone(F ). Mówimy, że F ma granicę o ile kategoria Cone(F ) ma obiekt końcowy. Wtedy każdy obiekt końcowy (A, τ) nazywamy granicą funktora F (oznaczenie: (Lim F, τ)). Mówimy, że kategoria A ma (skończone) granice (lub że jest (skończenie) zupełna) o ile każdy funktor z kategorii małej (skończonej) w A ma granicę. 4.3 Granice via produkty i ekwalizatory Jak już widzieliśmy istnienie niektórych granic pociąga za sobą istnienie innych. Poniższy lemat nietylko stwierdza, że kategoria Set jest zupełna, ale podaje opis tych granic w duch opisu produktów przez produkty i ekwalizatory. 27