Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej

Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Rafał Topolnicki rtopolnicki@o2.pl KNF Migacz Uniwersytet Wrocławski Wrocław, 27 maja 2010 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 1 / 36

Plan Plan Podstawy ekstensywnej termodynamiki, O potrzebie nowej statystyki, Uogólnienie statystyki BG zaproponowane przez Tsallisa, Uzasadnienia powyższego uogólnienia, q-funkcje, Wklęsłość i stabilność entropii, Związki z termodynamiką, q-niezmienniki, Zastosowania, Krytyka. Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 2 / 36

Termodynamika ekstensywna Co robimy? Opis układu składającego się z ogromnej ilości cząstek, Znamy dynamikę ale nie potrafimy jej rozwiązać, Nie znamy dynamiki i operujemy jedynie mierzalnymi wielkościami makroskopowymi Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 3 / 36

Termodynamika ekstensywna Wielkości ekstensywne i intensywne Wielkość ekstensywna Proporcjonalna do ilości substancji w układzie Wartość parametru dla całego układu równa jest sumie wartości tego parametru dla identycznych podukładów U(λS, λv, λn 1,... λn n ) = λu(s, V, N 1,... N n ) Wielkość intensywna Niezależna od ilości substancji w układzie Wartość parametru dla całego układu jest równa wartości dla dowolnego z identycznych podukładów T (λs, λv, λn 1,... λn n ) = T (S, V, N 1,... N n ) Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 4 / 36

Termodynamika ekstensywna Postulaty Postulat istnienia stanu równowagi termodynamicznej, Postulat addytywności Energia układu jest sumą energii jego części składowych, Postulat istnienia temperatury, I Zasada Termodynamiki II Zasada Termodynamiki III Zasada Termodynamiki, U = Q + W S 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 5 / 36

Termodynamika ekstensywna Wniosek: Perpetum Mobile nie istnieje Robert Fludd (1618) water screw Leonardo da Vinci Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 6 / 36

Termodynamika ekstensywna Równanie fundamentalne S = S(U, V, N 1,..., N n ) U = U(S, V, N 1,..., N n ) Wyprowadzamy parametry intensywne jako pochodne parametrów ekstensywnych du = ( U S ) V,N 1,...,N n ds + ( U V ( ) U ( S ) U ( V ) U ) S,N 1,...,N n dv + V,N 1,...,N n S,N 1,...,N n = T = p n ( U i=0 N i ) S,V,N 1,...,N n dn i N i S,V,N 1,...,N n = µ i Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 7 / 36

Termodynamika ekstensywna Potencjały termodynamiczne Ogólny związek: Y = Y (X 0, X 1,..., X n ) Transformata Legendre a: Θ = Y k X k Y X k F S T F = U T S S = F T, p = F V, µ i = F N i H V p H = U + pv T = H S, V = H p, µ i = H N i Ξ (A) S T, N µ Ξ = U T S + µn S = Ξ T, p = Ξ V, N i = Ξ µ i G S T, V p G = U + pv T S S = G T, V = G p, µ i = G N i Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 8 / 36

Termodynamika ekstensywna Rozważania a la Boltzmann-Gibbs 6N wymiarowa przestrzeń (q 1, q 2,..., q 3N, p 1, p 2,... p 3N ), obszar przestrzeni fazowej o objętości W, S = k ln W Entropia wprowadzona jako miara ruchu molekularnego - wyraża go w sposób kolektywny. W W S BG = k p i ln p i, p i = 1 i=1 i=1 Pytanie Czy w podobny sposób można opisać system, który porusza się tendencyjnie w przestrzeni fazowej? Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 9 / 36

Termodynamika ekstensywna Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 10 / 36

Termodynamika ekstensywna Rozkład Boltzmanna Szczególny przypadek E 1 E. Prawdopodobieństwo, że układ A 1 znajduje się w stanie o energii E 1 ( ) S P (E 1 ) = C 1 W 1 (E 1 )W 2 (E E 1 ), W = exp ( ) S2 (E E 1 ) W 2 (E E 1 ) = exp S 2 (E) S 2 (E E 1 ) = S 2 (E) E 1 E +... S 2(E) E 1 T ( ) ( S2 (E E 1 ) S2 W 2 (E E 1 ) = exp = exp E ) 1 = C 2 exp( βe 1 ) k B k B T k B P (E 1 ) = C W (E 1 ) }{{} =1 P i = 1, i k B exp( βe 1 ) = C exp( βe 1 ) Z = i exp( βe i ) k B Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 11 / 36

Termodynamika ekstensywna Zespół kanoniczny (E const, N = const) E = 1 Z Z E = ln Z β F = k B T ln Z Zespół wielki kanoniczny (E const, N const) P i = C exp ( β(e 1 N 1 µ)), Z G = i exp ( β(e 1 N 1 µ)) Ξ = k B T ln Z G Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 12 / 36

Koncepcja rynku Hayeka Proste zastosowanie w ekonomii N agentów między których rozdajemy E zasobów, E = const, N = const zespół mikrokanoniczny, ogromna liczba możliwości rozłożenia dóbr, postulat równego a priori prawdopodobieństwa Podobieństwa E Energia Zasoby, Dobra Eks. T Temp. Temp. Int. Określa stan równowagi S Entropia Entropia Eks. Określa kierunkowość N Ilość cząstek Ilość agentów Eks. fizyka 10 23, ekonomia 10 5 Maszyna cieplna Ingerencja w rynek handel znaczą ilością dóbr Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 13 / 36

Proste zastosowanie w ekonomii Rynek wolny vs spinowy Wolny: Brak maksymalnych dochodów, Sens temperatury E = 0 Ee E/T de 0 e E/T de = T brak inwersji obsadzeń, Spinowy: L spośród N agentów ma dochód A, reszta dochód 0, liczba mikrostanów ( N L), gdy L > N/2 T < 0, inwersja obsadzeń, uwalnia swoją energię przy kontakcie z układem o T > 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 14 / 36

Proste zastosowanie w ekonomii Rynek wolny vs spinowy Wolny: Brak maksymalnych dochodów, Sens temperatury E = 0 Ee E/T de 0 e E/T de = T brak inwersji obsadzeń, Spinowy: L spośród N agentów ma dochód A, reszta dochód 0, liczba mikrostanów ( N L), gdy L > N/2 T < 0, inwersja obsadzeń, uwalnia swoją energię przy kontakcie z układem o T > 0 Rynki w kontakcie Entropia rośnie! Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 14 / 36

O potrzebie nieekstensywności Motywacja W naturze występują nie tylko rozkłady Gaussowskie. Rozkłady potęgowe: rozkład wielkości fragmentów na które pęka szklanka/lustro, prawo Zipfa, globalny terroryzm, długość schodzących lawin, skalowania allometryczne np. długość życia od wielkości mózgu, rozkład trzęsień ziemi, wielkości miast... Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 15 / 36

O potrzebie nieekstensywności Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 16 / 36

Entropia Tsallisa Uogólnienie zaproponowane przez Tsallisa S q = k 1 W i=1 pq i q 1 (q R) [S q = k 1 Trρq q 1 ] Tak zdefiniowana entropia osiąga ekstremum dla p i = 1/W, i Dalej przymujemy k = 1. Dla niezależnych układów A i B: S q = k W 1 q 1 1 q S q (A + B) = S q (A) + S q (B) + (1 q)s q (A)S q (B) q > 1 zdarzenia o małym p są faworyzowane subextensivity q < 1 zdarzenia o dużym p są faworyzowane superextensivity q = 1 nietendencyjna entropia BG Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 17 / 36

Entropia Tsallisa Uogólnienie zaproponowane przez Tsallisa Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 17 / 36

Entropia Tsallisa Uzasadnienie 1. Formalizm równań różniczkowych Przyjmujemy warunek początkowy: y(0) = 1 Najprostszy przypadek trudność++ Uogólnienie powyższych przypadków dy dx = 0 y = 1 dy dx = 1 y = x + 1 dy dx = y y = ex, y 1 = ln x }{{} S=k ln W dy dx = a + by dy dx = yq 2 parametry 1 parametr Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 18 / 36

Entropia Tsallisa Uzasadnienie 1. Formalizm równań różniczkowych Przyjmujemy warunek początkowy: y(0) = 1 e x q 1 1 q y = [1 + (1 q)x] e x 1 = e x (x R, q R) ln q x x1 q 1 1 q ln 1 x = ln x (x R +, q R) q-logarytm jest psudo(q-)addytywny ln q (xy) = ln q x + ln q y + (1 q) ln q x ln q y (Ogólnie x q y x + y + (1 q)xy, x q y [ x 1 q + y 1 q 1 ] 1 1 q ) S q = ln q W Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 18 / 36

Entropia Tsallisa q-eksponenta Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 19 / 36

Entropia Tsallisa Właściwości q-funkcji x, q W granicy q 1 odtwarzając exp x i ln x e x 1 lim q 1+ ex q = lim q 1 ex q = e x Odwrotność: ( ln 1 x lim q 1+ ln q x = lim q 1 ln q x = ln x e qx 1/q e ln q x q ) 1/q = 1 e x q = ln q e x q = x, 1 q ln 1/q (1/x q ) = ln q x e x q e y q = e x+y+(1 q)xy q, ln q (xy) = ln q x + ln q y + (1 q) ln q x ln q y d dx ex q = (e x q ) q, d dx ln q x = 1 x q Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 20 / 36

Entropia Tsallisa Rozwinięcia w szereg e x = n=0 x n n!, e x q = n=0 1 n! [ n 1 i=1 (iq i + 1) ] x n ln(x + 1) = i=1 ( 1) n+1 x n, ln q (x + 1) = n! i=1 ( 1) n+1 n! [ n 2 ] (q + i) i=0 x n Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 21 / 36

Entropia Tsallisa Uzasadnienie 2. Wartość średnia Dla dowolnej wielkości fizycznej A definiujemy wartość q-średnią: Nieunormowana: W A q p q i A i Unormowana: A q i=1 W i=1 pq i A i W i=1 pq i S BG = ln 1 p i S q = ln q p i q = ln q 1 p i 1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 22 / 36

Entropia Tsallisa Uzasadnienie 3 Oryginalne z 1988 roku. Niech 0 < p i < 1, q > 0. Zmiana zmiennych p i p q i. Entropia jest niezmiennicza na permutacje. S q ({p i }) = f( W i=1 pq i ). S q ({p i }) = A + B Dla przypadku p i = δ ij chcemy aby było S q = 0 Dla q 1 chcemy S q S BG S q ({p i }) = A ( S 1 = A(q 1) }{{} 1 1 W i=1 W i=1 p q i p q i ) W p i ln p i i=1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 23 / 36

Entropia Tsallisa Uzasadnienie 4 Entropia BG spełnia relację: S BG = [ d dx W i=1 p x i ] x=1 Uogólniony operator D q f(x) f(qx) f(x) qx x Entropia Tsallisa spełenia analogiczne równanie [ S q = D q W p x i ] i=1 x=1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 24 / 36

Właściwości Wklęsłość S BG jest wklęsła. S q jest wklęsła dla q > 0 i wypukła dla q < 0. {p i } W i=1, {p i} W i=1 p i λp i + (1 λ)p i (0 < λ < 1) S q ({p i }) λs q ({p i }) + (1 λ)s q ({p i}) Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 25 / 36

Właściwości Stabilność Dla S BG wklęsłość stabilność. S q jest stabilna dla wszystkich rozkładów {p i } W i=1 i q > 0 W d(p i, p i) p i p i < δ Względna wariancja Jeśli zachodzi i=1 (W, δ) = S({p i}) S({p i }) sup[s({p i })] ε > 0 δ ε > 0 : d(p, p ) < δ ε (W, δ ε ) < ε to mówimy, że S jest stabilna. Równoważnie: lim ε 0 lim (W, δ) = lim W lim (W, δ) = 0 W ε 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 25 / 36

Inne formy entropii Inne możliwości wzór eksten. wklęsłość ( q > 0) stabilność ( q > 0) BG p i ln p i TAK TAK TAK Tsallis S q = 1 p q i q 1 NIE TAK TAK Renyi Sq R = ln p q i 1 q normalized Sq N = S q p q i TAK NIE NIE NIE NIE NIE Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 26 / 36

Związek z termodynamiką Związek z termodynamiką Dla statystyki BG przy warunkach W i=1 p i = 1 oraz E i = U otrzymujemy rozkład Boltzmanna p i = 1 W Z e βe i, Z = e βe j Można otrzymać analogiczny związek wielkości termodynamicznych z wielkościami mikroskopowymi. Algorytm postępowania jest podobny. j=1 p i = 1 Zq e β qe i q, Zq = W j=1 e β qe j q β q = β q 1 + (1 q)β q U q, β q = β W j=1 pq j Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 27 / 36

Związek z termodynamiką Związek z termodynamiką Struktura transformacji Legendrea w termodynamice jest q-niezmiennicza (F, Ξ, H). 1 T = S q U q Podobnie energia swobodna i jej związek z fizyką statystyczną F q = U q T S q = 1 β ln q Z q U q = β ln q Z q Wielkości mierzalne, takie jak ciepło też zachowują się przyzwoicie: C q = T S q T = U q T = T 2 F q T 2 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 28 / 36

Niezmienniczość Niezmienniczość Wprowadzenie q-funkcji nie zmienia podstawowych relacji: twierdzenie H q q ds q 0 dt druga zasada termodynamiki. entropia osiąga maksimum dla q > 0 (wklęsłość) i minimum dla q < 0 (wypukłość) twierdzenie Ehrenfesta q d Ô q dt współczynniki kinetyczne w teorii Onsagera = i [Ĥ, Ô] q q L jk = L kj Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 29 / 36

Niezmienniczość Niezmienniczość faktoryzowanie się funkcji podobieństwa (likelihood) dla niezależnych układów A i B W q ({p i }) e S q({p i }) q q W q (A + B) = W q (A)W q (B) Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 30 / 36

Zastosowania Prawo Zipfa-Mandelbrota c = Ar ξ (A > 0, ξ > 0, ξ 1) Uogólnienie zaproponowane przez Mandelbrota Korpus Słownika Frekwencyjnego Polszczyzny Współczesnej c = A(D + r) ξ (D > 0) można otrzymać używając S q c ξ = 1 q 1 1 [1 + (q 1)r/d] ξ gdzie d = (q 1)D > 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 31 / 36

Zastosowania Rozkład wielkości miast N(x)dx = r(x) = x b (c + x) α dx N(y)dy N(x) = N 0 exp q (ax) = N 0 [1 (1 q )ax] 1/(1 q ) gdzie N 0 = bc α, a = α/c, q = 1 + 1/α [ r(x) = r 0 1 1 q ] 1/(1 q) ax q gdzie r 0 = N 0 q/a, q = 1/(2 q ) Dopasowanie dla q = 1.7, r 0 = 2919, a = 0.00008 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 32 / 36

Krytyka Krytyka Dodatkowy parametr lepsze dopasowanie, Brak uzasadnienia teoretycznego i fizycznego dla postaci q-średniej i A q = pq i A i i pq i Brak doświadczalnych dowodów na poprawność rozkładu energii, Statystyka Tsallisa używana ochoczo do wszystkich rozkładów ciężko-ogonowych Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 33 / 36

Zastosowania Zastosowania Zastosowania w fizyce rozkład prędkości galaktyk spiralnych, nadprzewodnictwo wysoko temperaturowe, kondensat Bosego-Einsteina,... Zastosowania w ekonomii Modele oceny ryzyka w handlu - parametr q odzwierciedla postawę operatorów pod wpływem ryzyka Wycena opcji - równanie Black-Scholesa Zastosowania w chemii, biologii, lingwistyce, medycynie, geofizyce, informatyce, naukach społecznych... Patrz: [1], [2] Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 34 / 36

Literatura Literatura 1 Nonextensive Entropy - Interdisciplinary Applications Eds. M. Gell-Mann and C. Tsallis, Oxford University Press (2004) 2 Nonextensive Statistical Mechanics and Its Applications Eds. S. Abe and Y. Okamoto, Springer (2001) 3 Europhysicsnews vol. 36 no. 6 (2005) 4 q-exponential Distribution in Urban Agglomeration, Malacarne L.C, Phys. Rev. E 65 (2001) 5 The thermodynamic approach to market, Victor Sergeev, arxiv:0803.3432v1 6 Mechanika Statystyczna, Kerson Huang, PWN (1987) 7 Cosma Rohilla Shalizi http://www.cscs.umich.edu/~crshalizi/notabene/tsallis.html Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 35 / 36

Zakończenie Dziękuję za uwagę Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja 2010 36 / 36