Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014
Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach
Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych.
Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy: Egzamin w laboratorium (analiza przykładowych danych za pomocą pakietu SPSS).
Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy: Egzamin w laboratorium (analiza przykładowych danych za pomocą pakietu SPSS). Egzamin ustny z teorii.
Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy: Egzamin w laboratorium (analiza przykładowych danych za pomocą pakietu SPSS). Egzamin ustny z teorii. 3 Do wykładu są prowadzone kursy wyrównawcze, gdzie osoby mające trudności z rachunkami, będą mogły uzupełnić swoje umiejętności.
Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowo-laboratoryjnych. 2 Egzamin dwuczęściowy: Egzamin w laboratorium (analiza przykładowych danych za pomocą pakietu SPSS). Egzamin ustny z teorii. 3 Do wykładu są prowadzone kursy wyrównawcze, gdzie osoby mające trudności z rachunkami, będą mogły uzupełnić swoje umiejętności. Podstawą zajęć wyrównawczych jest opracowanie. Repetytorium z teorii prawdopodobieństwa.
Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach
Literatura podstawowa Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach
Literatura podstawowa Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, Szkoła Nauk Ścisłych, Warszawa 1999.
Literatura podstawowa Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, Szkoła Nauk Ścisłych, Warszawa 1999. 2 T. Morzy Eksploracja danych. Metody i algorytmy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2013.
Literatura uzupełniająca Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach
Literatura uzupełniająca Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 J. Jakubowski i R. Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2004,
Literatura uzupełniająca Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 J. Jakubowski i R. Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2004, 2 D.T. Larose Odkrywanie wiedzy z danych. Wprowadzenie do eksploracji danych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006. 3 D.T. Larose Metody i modele eksploracji danych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2008.
Literatura uzupełniająca Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach 1 J. Jakubowski i R. Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2004, 2 D.T. Larose Odkrywanie wiedzy z danych. Wprowadzenie do eksploracji danych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006. 3 D.T. Larose Metody i modele eksploracji danych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2008. 4 R. Zieliński Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1990.
Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Zagadnienia omawiane na wykładach będą dostępne na wydziałowym serwerze Moodle a w kategorii Studia stacjonarne/statystyka i eksploracja danych
Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze
Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, na którym opierają się praktyczne obliczenia dokonywane w rachunku prawdopodobieństwa.
Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, na którym opierają się praktyczne obliczenia dokonywane w rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka to sztuka (umiejętność) wnioskowania na podstawie próby losowej.
Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, na którym opierają się praktyczne obliczenia dokonywane w rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka to sztuka (umiejętność) wnioskowania na podstawie próby losowej. Statystyka matematyczna to dział matematyki, który rozwija metody uzasadniające poprawność wnioskowania statystycznego.
Co to jest... Informacje ogólne Co to jest... Prognozy wyborcze Rachunek prawdopodobieństwa to sztuka (umiejętność) obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, na którym opierają się praktyczne obliczenia dokonywane w rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka to sztuka (umiejętność) wnioskowania na podstawie próby losowej. Statystyka matematyczna to dział matematyki, który rozwija metody uzasadniające poprawność wnioskowania statystycznego. Eksploracja danych (drążenie danych, ekstrakcja danych) to umiejętność wydobywania użytecznych informacji z dużych zbiorów danych.
Co to jest... Prognozy wyborcze Przykład. Wybory parlamentarne 9 października 2011 OBOP PKW 7.10.11 wyniki PO 39,5% 39,18% PiS 29,1% 28,89% RP 10,3% 10,02% SLD 9,2% 8,24% PSL 8,7% 8,36% PJN 1,8% 2,19% Frekwencja 47,5% 48,87 %
Co to jest... Prognozy wyborcze Przykład. Wybory parlamentarne 9 października 2011 OBOP Exit pools PKW wyniki PO 39,6% 39,18% PiS 30,1% 28,89% RP 10,1% 10,02% SLD 7,7% 8,24% PSL 8,2% 8,36% PJN 2,2% 2,19% Frekwencja 47,7% 48,87 %
Co to jest... Prognozy wyborcze Przykład. Wybory parlamentarne 9 października 2011 Homo Homini Exit pools PKW wyniki PO 37,3% 39,18% PiS 29,1% 28,89% RP 8,6% 10,02% SLD 11,6% 8,24% PSL 9,5% 8,36% PJN 2,3% 2,19%
Słowniczek teorii prawdopodobieństwa
Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej
Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie
Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych (inaczej: elementy ω zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi).
Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych (inaczej: elementy ω zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi). F jest σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Elementy F nazywamy zdarzeniami.
Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Definicja przestrzeni probabilistycznej Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych (inaczej: elementy ω zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi). F jest σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Elementy F nazywamy zdarzeniami. P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem na (Ω, F).
Interpretacja formalizmu
Interpretacja formalizmu Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego.
Interpretacja formalizmu Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego. Zdarzenia (elementy F) reprezentują fakty, których zajście możemy stwierdzić, tzn. dla A F zawsze możemy powiedzieć, czy wynik ω A, czy ω A. W ten sposób F reprezentuje całość wiedzy, którą możemy uzyskać w wyniku realizacji eksperymentu losowego.
Interpretacja formalizmu Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego. Zdarzenia (elementy F) reprezentują fakty, których zajście możemy stwierdzić, tzn. dla A F zawsze możemy powiedzieć, czy wynik ω A, czy ω A. W ten sposób F reprezentuje całość wiedzy, którą możemy uzyskać w wyniku realizacji eksperymentu losowego. F nigdy nie może zajść (jest zdarzeniem niemożliwym ), więc P( ) = 0. Ale idziemy dalej: P(A) = 0 oznacza, że zdarzenie A jest niemożliwe, choć może być A.
Interpretacja formalizmu Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego. Zdarzenia (elementy F) reprezentują fakty, których zajście możemy stwierdzić, tzn. dla A F zawsze możemy powiedzieć, czy wynik ω A, czy ω A. W ten sposób F reprezentuje całość wiedzy, którą możemy uzyskać w wyniku realizacji eksperymentu losowego. F nigdy nie może zajść (jest zdarzeniem niemożliwym ), więc P( ) = 0. Ale idziemy dalej: P(A) = 0 oznacza, że zdarzenie A jest niemożliwe, choć może być A. Ω F zachodzi zawsze (jest zdarzeniem pewnym ), więc P(Ω) = 1. Podobnie: P(A) = 1 oznacza, że zdarzenie A jest pewne, choć może być A Ω.
Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że:
Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F.
Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F. 2 Jeżeli A F, to również A c F.
Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F. 2 Jeżeli A F, to również A c F. 3 Jeżeli A 1, A 2,... F, to j=1 A j F.
Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F. 2 Jeżeli A F, to również A c F. 3 Jeżeli A 1, A 2,... F, to j=1 A j F. Zauważmy związki działań na zbiorach i działań logicznych na faktach.
Definicje matematyczne Stwierdzenie F jest σ-algebrą oznacza, że: 1 F, Ω F. 2 Jeżeli A F, to również A c F. 3 Jeżeli A 1, A 2,... F, to j=1 A j F. Zauważmy związki działań na zbiorach i działań logicznych na faktach. Może być F = 2 Ω, ale w ogólności F 2 Ω (interpretacja!).
Definicje matematyczne - cd. Stwierdzenie P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem oznacza, że:
Definicje matematyczne - cd. Stwierdzenie P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem oznacza, że: 1 P( ) = 0, P(Ω) = 1.
Definicje matematyczne - cd. Stwierdzenie P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem oznacza, że: 1 P( ) = 0, P(Ω) = 1. 2 Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne (tzn. A i A j = dla i, j = 1, 2,...., n, i j), to P( n A j ) = j=1 n P(A j ). j=1
Definicje matematyczne - cd. Stwierdzenie P : F [0, 1] jest prawdopodobieństwem oznacza, że: 1 P( ) = 0, P(Ω) = 1. 2 Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne (tzn. A i A j = dla i, j = 1, 2,...., n, i j), to P( n A j ) = j=1 n P(A j ). 3 Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,... F tworzą ciąg wstępujący (tzn. A i A i+1 dla i = 1, 2,....), to P( j=1 j=1 A j ) = lim P(A j ). j
Definicje matematyczne - cd.
Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa.
Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa.
Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa. Warunki 1-3 w powyższej definicji nie są minimalne. Minimalny zbiór warunków określający prawdopodobieństwo możemy zapisać np. tak:
Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa. Warunki 1-3 w powyższej definicji nie są minimalne. Minimalny zbiór warunków określający prawdopodobieństwo możemy zapisać np. tak: P(Ω) = 1.
Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa. Warunki 1-3 w powyższej definicji nie są minimalne. Minimalny zbiór warunków określający prawdopodobieństwo możemy zapisać np. tak: P(Ω) = 1. Jeżeli A 1, A 2,..., są parami rozłączne, to P( A j ) = P(A j ). j=1 j=1 (prawdopodobieństwo jest σ- addytywne).
Definicje matematyczne - cd. Własność P( n j=1 A j ) = n j=1 P(A j ) dla ciągów parami rozłącznych nazywamy addytywnością prawdopodobieństwa. Własność P( j=1 A j) = lim j P(A j ) dla ciągów rosnących nazywamy ciągłością z dołu prawdopodobieństwa. Warunki 1-3 w powyższej definicji nie są minimalne. Minimalny zbiór warunków określający prawdopodobieństwo możemy zapisać np. tak: P(Ω) = 1. Jeżeli A 1, A 2,..., są parami rozłączne, to P( A j ) = P(A j ). j=1 (prawdopodobieństwo jest σ- addytywne). Zauważmy, że P( A j ) na sens w obu przypadkach, bo F jest σ-algebrą. j=1
Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa)
Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B).
Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B). 2 Jeżeli A, B F, A B, to P(B \ A) = P(B) P(A).
Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B). 2 Jeżeli A, B F, A B, to P(B \ A) = P(B) P(A). 3 W szczególności, jeżeli A F, to P(A c ) = 1 P(A).
Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B). 2 Jeżeli A, B F, A B, to P(B \ A) = P(B) P(A). 3 W szczególności, jeżeli A F, to P(A c ) = 1 P(A). 4 (Własność subaddytywności) Dla dowolnych A 1, A 2,... F P( j A j ) j P(A j ).
Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (Własności prawdopodobieństwa) 1 Jeżeli A, B F, A B, to P(A) P(B). 2 Jeżeli A, B F, A B, to P(B \ A) = P(B) P(A). 3 W szczególności, jeżeli A F, to P(A c ) = 1 P(A). 4 (Własność subaddytywności) Dla dowolnych A 1, A 2,... F P( j A j ) j P(A j ). 5 (Ciągłość z góry). Jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są zstępujące, tzn. A 1 A 2..., to P( j=1 A j ) = lim P(A j ). j
Zasada włączen i wyłączeń
Zasada włączen i wyłączeń Twierdzenie (Zasada włączeń i wyłączeń) Dla dowolnych A 1, A 2,..., A n F n n P( A j ) = P(A j ) j=1 + j=1 1 i<j n 1 i<j<k n P(A i A j ) P(A i A j A k )... + ( 1) n+1 P(A 1 A 2... A n ).
Informacje ogólne
Informacje ogólne Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie zbiorem skończonym i niech F = 2 Ω. Określamy P(A) = #A #Ω.
Informacje ogólne Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie zbiorem skończonym i niech F = 2 Ω. Określamy P(A) = #A #Ω. ( Zasada racji dostatecznej Laplace a.)
Informacje ogólne Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie zbiorem skończonym i niech F = 2 Ω. Określamy P(A) = #A #Ω. ( Zasada racji dostatecznej Laplace a.) Prawdopodobieństwo dyskretne. Niech Ω 0 = {ω 1, ω 2,...} będzie podzbiorem przeliczalnym zbioru Ω. Niech p 1, p 2,... 0, j p j = 1. Przyjmując z definicji 0, określamy P(A) = p j. {j : ω j A}
Informacje ogólne Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω będzie zbiorem skończonym i niech F = 2 Ω. Określamy P(A) = #A #Ω. ( Zasada racji dostatecznej Laplace a.) Prawdopodobieństwo dyskretne. Niech Ω 0 = {ω 1, ω 2,...} będzie podzbiorem przeliczalnym zbioru Ω. Niech p 1, p 2,... 0, j p j = 1. Przyjmując z definicji 0, określamy P(A) = p j. (F = 2 Ω!) {j : ω j A}
cd. Informacje ogólne
cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. +
cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1.
cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1. Jak wygląda F?
cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1. Jak wygląda F? To problem badany przez teorię miary i całki Lebesgue a.
cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1. Jak wygląda F? To problem badany przez teorię miary i całki Lebesgue a. Można pokazać, żenie istnieje prawdopodobieństwo Q : 2 R1 [0, 1] pokrywające się z P na odcinkach.
cd. Informacje ogólne Niech Ω = R 1 i p(x) 0 będzie funkcją na R 1 taką, że p(x) dx = 1. Określamy: + P((a, b]) = b a p(x) dx, a < b, a, b R 1. Jak wygląda F? To problem badany przez teorię miary i całki Lebesgue a. Można pokazać, żenie istnieje prawdopodobieństwo Q : 2 R1 [0, 1] pokrywające się z P na odcinkach. Z drugiej strony istnieje σ-algebra B 1 (tzw. zbiorów borelowskich) na którą można rozszerzyć funkcję P, tak aby spełnione były własności prawdopodobieństwa.