Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. Agata ilitowska 27 1 Całka podwójna. 1.1 Całka podwójna w prostoka cie Niech f be dzie funkcja dwóch zmiennych określona i ograniczona w prostoka cie domknie tym = {(x, y) R 2 a x b, c y d}. odzielmy prostoka t na n dowolnych prostoka tów domknie tych k, k = 1, 2,..., n, o rozła cznych wne trzach, których długości przeka tnych sa odpowiednio równe d k a pola k. odział ten oznaczmy symbolem n. Liczbe δ n := max d k nazwiemy średnica podziału n. Cia g podziałów ( n ) nazywamy cia giem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadaja cy mu cia g średnic (δ n ) da ży do zera. la danego podziału n z wne trza każdego prostoka ta k wybieramy dowolnie punkt p k = (x k, y k ). ume n n := f(p k ) k k=1 nazywamy suma całkowa funkcji f w prostoka cie. (la danego podziału n, wybieraja c na dwa różne sposoby punkty p k k możemy otrzymać dwie różne sumy całkowe.) efinicja 1.1. Jeżeli dla każdego normalnego cia gu podziałów prostoka ta, każdy (niezależnie od wyboru punktów p k ) cia g sum całkowych ( n ) jest zbieżny zawsze do tej samej granicy właściwej, to granice te nazywamy całka Matematyka II IChi- konspekt wykładu cz.ii 1

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 2 podwójna funkcji f w prostoka cie i oznaczamy symbolem f(x, y)dσ. Zatem f(x, y)dσ df = lim δn k=1 n f(p k ) k. efinicja 1.2. Jeżeli całka f(x, y)dσ istnieje, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemanna) w prostoka cie. Istnienie całki f(x, y)dσ zapewnia, że każde dwie sumy całkowe różnia sie dowolnie mało, jeżeli tylko średnice podziałów, dla których zostały one utworzone, sa dostatecznie małe. Warunek, by pola k prostoka tów k da żyły do zera jest niewystarczaja cy by średnice d k da żyły do zera. Jeśli natomiast średnice prostoka tów k da ża do zera, to ich pola również. rzykład 1.3. Niech funkcja f(x, y) = 1 be dzie określona w prostoka cie. la dowolnego podziału n suma całkowa n n = k =. k=1 Zatem całka podwójna 1dσ równa jest polu prostoka ta. rzykład 1.4. Niech funkcja f(x, y) = c > be dzie określona w prostoka cie. la dowolnego podziału n n n = c k = c. k=1 Zatem całka podwójna cdσ równa jest obje tości prostopadłościanu o polu podstawy i wysokości c. rzykład 1.5. Niech funkcja f(x, y) be dzie cia gła w prostoka cie. la dowolnego podziału n suma całkowa n równa jest sumie obje tości prostopadłościanów o polach podstawy k i wysokościach f(p k ), dla k = 1, 2,..., n. Zatem całka podwójna f(x, y)dσ równa jest obje tości bryły ograniczonej płaszczyznami z =, x = a, x = b, y = c, y = d oraz powierzchnia o równaniu z = f(x, y).

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 3 rzykład 1.6. Jeżeli funkcja f jest ge stościa powierzchniowa masy prostoka ta, to całka podwójna f(x, y)dσ wyraża mase tego prostoka ta. rzykład 1.7. Jeżeli funkcja f jest ge stościa powierzchniowa ładunku elektrycznego, rozłożonego na prostoka cie, to całka podwójna f(x, y)dσ wyraża całkowity ładunek elektryczny tego prostoka ta. Twierdzenie 1.8. Funkcja cia gła w prostoka cie domknie tym jest w tym prostoka cie całkowalna. Twierdzenie 1.9. Funkcja ograniczona w prostoka cie domknie tym oraz cia gła w tym prostoka cie z wyja tkiem zbioru punktów tego prostoka ta, którego pole jest równe zero, jest w tym prostoka cie całkowalna. W szczególnym przypadku zbiór punktów niecia głości funkcji f może być suma skończonej liczby krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y), gdzie funkcje y(x) oraz x(y) sa cia głe w pewnych przedziałach. Funkcja nieograniczona nie jest całkowalna. Twierdzenie 1.1. (O liniowości całki.) Jeżeli dwie funkcje f i g określone w prostoka cie sa całkowalne, to ich suma f + g, różnica f g oraz iloczyn fg sa całkowalne. rzy czym dla a, b R (af(x, y) ± bg(x, y))dσ = a f(x, y)dσ ± b onadto, jeśli dla każdego (x, y), f(x, y) g(x, y), to f(x, y)dσ g(x, y)dσ. g(x, y)dσ. Twierdzenie 1.11. ( O addytywności całki wzgle dem obszaru całkowania.) Jeżeli prostoka t podzielimy na dwa prostoka ty 1 i 2, zaś f(x, y) jest funkcja całkowalna w prostoka cie, to jest także całkowalna w prostoka tach 2 i 2, przy czym f(x, y)σ = f(x, y)dσ + f(x, y)dσ. 1 2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 4 Twierdzenie 1.12. Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostoka cie oraz M := f(x, y) i m := f(x, y), to sup (x,y) inf (x,y) m f(x, y)dσ M. Twierdzenie 1.13. (Twierdzenie całkowe o wartości średniej.) Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostoka cie, to istnieje taki punkt c, że f(x, y)dσ = f(c). f(x,y)dσ Liczbe nazywamy wartościa średnia funkcji f(x, y) w prostoka cie. ymbol dσ be dziemy cze sto zaste pować oznaczeniem dxdy. 1.2 Całki iterowane. Niech f be dzie funkcja określona i ograniczona w prostoka cie domknie tym = {(x, y) R 2 a x b, c y d} i niech dla każdego a x b istnieje całka pojedyncza d f(x, y)dy. Jest ona wtedy funkcja zmiennej c x, określona w przedziale a x b. Jeżeli funkcja ta jest całkowalna w przedziale [a, b], to całke b a d ( nazywamy całka iterowana funkcji f i oznaczamy b Analogicznie określamy całke iterowana która oznaczymy d c d c c b ( a dy b f(x, y)dx. a f(x, y)dy)dx (1.1) a dx d f(x, y)dy. f(x, y)dx)dy, (1.2) c

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 5 rzykład 1.14. 3 2 1 1 dx dy 3 2 (1 xy 2 )dy = (1 xy 2 )dx = 3 2 1 (1 1 3 x)dx = x 1 6 x2 3 2= 25 6, (5 5 2 y2 )dy = 5y 5 6 y3 1 = 25 6. W przykładzie 1.14 całki iterowane b a dx d f(x, y)dy oraz d c c dy b a f(x, y)dx sa równe. Nie jest to przypadek. rawdziwe jest bowiem naste puja ce twierdzenie. Twierdzenie 1.15. (O zamianie całki podwójnej na całke iterowana.) Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostoka cie = {(x, y) R 2 a x b, c y d}, to obie całki iterowane (1.1) i (1.2) istnieja i sa równe całce podwójnej. Zatem oraz b a d c d dx c b dy a f(x, y)dy = f(x, y)dxdy, f(x, y)dx = f(x, y)dxdy. (W tym przypadku wartość całki iterowanej nie zależy od kolejności całkowania.) rzykład 1.16. Całka podwójna funkcji f(x, y) = x 2 y w prostoka cie = {(x, y) R 2 x 2, y 1} jest równa : Analogicznie = x 2 ydxdy = 1 1 2 ( y( 1 3 x3 ) 2 dy = 2 1 dx x 2 ydx)dy = 1 1 2 y( x 2 dx)dy = y 8 3 dy = 8 3 1 2 y2 1 = 4 3. xy 2 dy = 4 3.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 6 rzykład 1.17. Zgodnie z przykładem (1.5) obje tość bryły V ograniczonej płaszczyznami z =, x = 1, x = 2, y = 1, y = 3 oraz powierzchnia z = x 2 +y 2 wyraża sie naste puja co: V = (x 2 + y 2 )dxdy = 3 1 2 ( 1 (x 2 + y 2 )dx)dy = 4 3. 1.3 Całka podwójna w obszarze normalnym. Niech f be dzie funkcja określona i ograniczona w obszarze ograniczonym R 2 oraz niech = {(x, y) R 2 a x b, c y d} be dzie dowolnym prostoka tem domknie tym zawieraja cym obszar. Rozważmy funkcje f określona w prostoka cie naste puja co: f f(x, y), gdy (x, y) (x, y) :=, gdy (x, y) \. Całke podwójna funkcji f w obszarze określamy w naste puja cy sposób: f(x, y)dσ = df f (x, y)dσ, (1.3) o ile całka f (x, y)dσ istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna w obszarze. Całka f (x, y)dσ nie zależy od wyboru prostoka ta. efinicja 1.18. Obszar domknie ty R 2 nazywamy obszarem normalnym wzgle dem osi OX, jeżeli istnieja funkcje ϕ i ψ zmiennej x, cia głe w pewnym przedziale [a, b] takie, że = {(x, y) R 2 a x b, ϕ(x) y ψ(x)} oraz ϕ(x) < ψ(y) dla każdego x (a, b). Analogicznie definiujemy obszar normalny wzgle dem osi OY jako zbiór {(x, y) R 2 c y d, α(y) x β(y)}, gdzie funkcje α i β zmiennej y sa cia głe w przedziale [c, d] oraz α(x) < β(x) dla x (c, d).

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 7 rzykład 1.19. Obszarem normalnym wzgle dem osi OX jest tarcza elipsy wraz z brzegiem. rostoka t domknie ty jest obszarem normalnym jednocześnie wzgle dem osi OX i osi OY. Jeżeli = {(x, y) R 2 a x b, ϕ(x) y ψ(x)} jest obszarem normalnym wzgle dem osi OX oraz c := ϕ(x) i d := sup ψ(x), to inf x [a,b] x [a,b] = {(x, y) R 2 a x b, c y d}. Jeżeli funkcja f jest cia gła w obszarze to funkcja f jest całkowalna w prostoka cie, ponieważ jest w nim cia gła z wyja tkiem, co najwyżej punktów położonych na krzywych y = ϕ(x) oraz y = ψ(x). Twierdzenie 1.2. Niech = {(x, y) R 2 a x b, ϕ(x) y ψ(x)} be dzie obszarem normalnym wzgle dem osi OX i niech f be dzie funkcja cia gła w obszarze. Wówczas f(x, y)dσ = b a d ( c f (x, y)dy)dx = b a ( ψ(x) ϕ(x) f(x, y)dy)dx. (1.4) Całke podwójna funkcji f, cia głej w obszarze normalnym wzgle dem osi OY obliczamy analogicznie jak w przypadku obszaru normalnego wzgle dem osi OX. Otrzymujemy wówczas f(x, y)dσ = d c ( β(y) α(y) f(x, y)dx)dy. (1.5) W przypadku, gdy obszar jest normalny zarówno wzgle dem osi OX jak i wzgle dem osi OY to prawdziwe sa oba wzory (2.1) oraz (1.5). rzykład 1.21. Całka podwójna funkcji f(x, y) = x 2 y w obszarze ograniczonym prostymi: x =, y = 1 1 x oraz y = 2 x wynosi: 2 x 2 ydσ = 2 ( 2 x 1 1 2 x x 2 ydy)dx = 18 5.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 8 efinicja 1.22. ume skończonej liczby obszarów normalnych (wzgle dem osi OX lub osi OY ) o parami rozła cznych wne trzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie. Twierdzenie 1.23. Niech obszar regularny be dzie suma obszarów normalnych 1, 2,..., m o parami rozła cznych wne trzach i niech funkcja f be dzie całkowalna w tym obszarze. Wówczas funkcja f jest także całkowalna w każdym obszarze normalnym i, i = 1, 2,..., m oraz f(x, y)dσ = f(x, y)dσ + f(x, y)dσ +... + f(x, y)dσ. 1 2 la obszaru regularnego (w szczególności normalnego wzgle dem osi OX lub osi OY ) prawdziwe sa wszystkie twierdzenia sformułowane dla przypadku, gdy jest prostoka tem. rzykład 1.24. Obszar ograniczony prostymi: y x =, 3x y 2 = oraz x + y 6 = można podzielić prosta y = 3 na dwa obszary 1 = {(x, y) R 2 1 y 3, 1y + 2 x y} oraz 3 3 2 = {(x, y) R 2 3 y 4, 1y + 2 x 6 y} normalne wzgle 3 3 dem osi OY. ta d całka podwójna funkcji f(x, y) = 2x + y w obszarze wynosi: (2x + y)dxdy = (2x + y)dxdy + 1 (2x + y)dxdy = 2 m = 3 1 ( y 1 3 y+ 2 3 (2x + y)dx)dy + 4 3 ( 6 y 1 3 y+ 2 3 (2x + y)dx)dy = 4 3. rzykład 1.25. Niech funkcja f(x, y) = 1 be dzie określona w obszarze regularnym. Całka podwójna 1dσ równa jest polu obszaru. rzykład 1.26. Niech funkcja f(x, y) be dzie cia gła w obszarze regularnym. Całka podwójna f(x, y)dσ równa jest obje tości bryły V = {(x, y, z) R 3 (x, y), z f(x, y)} o podstawie, ograniczonej powierzchnia be da ca wykresem funkcji z = f(x, y) oraz powierzchnia walcowa, utworzona z prostych równoległych do osi OZ i przechodza cych przez brzeg obszaru.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 9 rzykład 1.27. Niech funkcja f(x, y) be dzie ge stościa powierzchniowa masy obszaru regularnego. Całka podwójna wyraża mase obszaru. f(x, y)dσ Całki M x := yf(x, y)dσ oraz M y := xf(x, y)dσ przedstawiaja momenty statyczne M x (wzgle dem osi OY ) obszaru. (wzgle dem osi OX) oraz M y Całki B x := y 2 f(x, y)dσ, B y := x 2 f(x, y)dσ wyrażaja momenty bezwładności B x (wzgle dem osi OX) oraz B y (wzgle - dem osi OY ) obszaru. Całka M O := (x 2 + y 2 )f(x, y)dσ wyraża moment bezwładności obszaru wzgle dem środka O = (, ) układu współrze dnych. Współrze dne środka masy obszaru wyrażaja sie wzorami: x C := B y f(x, y)dσ, y C := B x f(x, y)dσ. rzykład 1.28. Moment bezwładności wzgle dem osi OX jednorodnego trójka ta o masie m i wierzchołkach w punktach: p 1 = (, ), p 2 = (a, ) i p 3 = (a, a), wynosi: 2m B x = a 2 y2 dσ,

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1 gdzie = {(x, y) R 2 x a, y x}. ta d B x = 2m a 2 a x ( y 2 dy)dx = 1 6 ma2. rzykład 1.29. Niech V be dzie bryła ograniczona powierzchniami: z = x 2 + y, z =, xy = 4 oraz x + y = 5. onieważ z = x 2 + y > dla punktów (x, y) należa cych do obszaru ograniczonego krzywymi xy = 4 oraz x + y = 5, zatem obje tość bryły V dana jest wzorem: V = (x 2 + y)dxdy. Obszar jest normalny wzgle dem obu osi. Jako normalny wzgle dem osi OX można go określić jako = {(x, y) R 2 1 x 4, 4 x y 5 x}. ta d V = 4 1 5 x ( (x 2 + y)dy)dx = 63 4. 4 x rzykład 1.3. Obje tość bryły ograniczonej powierzchniami dwóch walców: x 2 + y 2 = r 2 oraz y 2 + z 2 = r 2 równa jest, z uwagi na symetrie tej bryły, ośmiokrotnej obje tości tej jej cze ści, która leży w pierwszej ósemce przestrzeni. Zatem V = 8 r 2 y 2 dσ, gdzie = {(x, y) R 2 x r 2 y 2, y r}. ta d r V = 8 ( r 2 y 2 r 2 y 2 dx)dy = 16 3 r3.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 11 1.4 Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Twierdzenie 1.31. (O zamianie zmiennych w całce podwójnej.) Niech funkcja f be dzie określona, cia gła i ograniczona w pewnym obszarze regularnym R 2 i niech przekształcenie Φ :, (u, v) (x = ϕ 1 (u, v), y = ϕ 2 (u, v)) odwzorowuje różnowartościowo wne trze obszaru regularnego R 2 na płaszczyźnie zmiennych u, v na wne trze obszaru regularnego (odwzorowanie brzegów może nie być 1-1). Załóżmy ponadto, że funkcje ϕ 1 i ϕ 2 sa klasy C 1 na pewnym zbiorze otwartym zawieraja cym obszar oraz jakobian (x,y) (u,v) jest różny od zera wewna trz obszaru. Wówczas zachodzi naste puja cy wzór: (x, y) f(x, y)dxdy = f(ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) (u, v) dudv. Jeżeli f(x, y) = 1 to = dxdy = (x, y) (u, v) dudv. Odpowiedni wybór zmiennych całkowania może znacznie uprościć obliczenia całki. ecyduja c sie na zamiane zmiennych staramy sie tak dobierać przekształcenie Φ :, żeby obszar był jak najprostszy (najlepiej, aby był normalny wzgle dem osi, gdyż wówczas można całke po obszarze zamienić na całke iterowana ). Należy przy tym zwrócić uwage, żeby funkcja podcałkowa nie uległa na skutek tej zamiany zbytniemu skomplikowaniu. rzykład 1.32. (rzesunie cie równolegle.) Niech a, b R. rzekształcenie (u, v) (x = u + a, y = v + b) odwzorowuje różnowartościowo obszar = R 2 na obszar = R 2. onadto [ (x, y) 1 (u, v) = det 1 ] = 1.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 12 ta d f(x, y)dxdy = f(u + a, v + b)dudv. rzykład 1.33. (rzekształcenie podobieństwa.) Niech a, b R oraz ab. rzekształcenie (u, v) (x = au, y = bv) odwzorowuje różnowartościowo obszar = R 2 na obszar = R 2 \ {(, )}. onadto [ ] (x, y) a (u, v) = det = ab. b ta d f(x, y)dxdy = f(au, bv) ab dudv. rzykład 1.34. (rzekształcenie biegunowe.) ołożenie punktu p na płaszczyźnie można opisać para liczb (ϕ, r), gdzie ϕ oznacza miare ka ta mie dzy dodatnia cze ścia osi OX a promieniem wodza cym punktu p natomiast r oznacza odległość punktu p od pocza tku układu współrze dnych. are liczb (ϕ, r) nazywamy współrze dnymi biegunowymi punktu płaszczyzny. rzekształcenie (u, v) (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ) przeprowadza prostoka t domknie ty = {(ϕ, r) ϕ 2π, r R} na koło = {(x, y) x 2 + y 2 R 2 }. onadto [ ] (x, y) r sin ϕ cos ϕ (u, v) = det = r sin 2 ϕ r cos 2 ϕ = r. r cos ϕ sin ϕ Jakobian (x,y) (u,v) jest różny od zera wewna trz obszaru, sta d f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr = 2π ( R f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdr)dϕ.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 13 rzykład 1.35. Całke podwójna z funkcji f(x, y) = xy 2 po obszarze = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4, x } można obliczyć wprowadzaja c współrze dne biegunowe. Obszar jest wówczas obrazem obszaru = {(ϕ, r) R 2 π 2 ϕ π, r 2}. ta 2 d xy 2 dxdy = (r cos ϕ)(r sin ϕ) 2 rdϕdr = π 2 π 2 2 dϕ r 4 sin 2 ϕ cos ϕdr = 64 15. rzykład 1.36. Z interpretacji geometrycznej całki podwójnej wynika, że obje tość bryły ograniczonej powierzchniami z = x 2 +y 2 (paraboloida obrotowa), z = oraz x 2 + y 2 = 1 (walec obrotowy) określona jest wzorem: (x 2 + y 2 )dxdy, gdzie = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. okonuja c w rozważanej całce zamiany zmiennych na współrze dne biegunowe otrzymujemy 1 2π (x 2 + y 2 )dxdy = (r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ)rdϕdr = r 3 dr dϕ = π 2. 2 Całka potrójna 2.1 Całka potrójna na prostopadłościanie Niech f be dzie funkcja trzech zmiennych określona i ograniczona w prostopadłościanie domknie tym V = {(x, y, z) R 3 a x b, c y d, p z q}. odzielmy prostopadłościan V na n dowolnych prostopadłościanów domknie tych V k, k = 1, 2,..., n, o rozła cznych wne trzach, których długości przeka tnych sa odpowiednio równe d k a obje tości V k. odział ten oznaczmy symbolem n. Liczbe δ n := max d k nazwiemy średnica podziału n. Cia g ( n ) podziałów prostopadłościanu nazywamy cia giem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadaja cy mu cia g średnic (δ n ) da ży do zera.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 14 la danego podziału n z wne trza każdego prostopadłościanu V k wybieramy dowolnie punkt p k = (x k, y k, z k ). ume n n := f(p k ) V k k=1 nazywamy suma całkowa funkcji f w prostopadłościanie V. (la danego podziału n, wybieraja c na dwa różne sposoby punkty p k V k możemy otrzymać dwie różne sumy całkowe.) efinicja 2.1. Jeżeli dla każdego normalnego cia gu podziałów ( n ) prostopadłościanu V, każdy (niezależnie od wyboru punktów p k ) cia g sum całkowych ( n ) jest zbieżny zawsze do tej samej granicy właściwej, to granice te nazywamy całka potrójna funkcji f w prostopadłościanie V i oznaczamy symbolem f(x, y)dv. Zatem V V f(x, y, z)dv df = lim δn k=1 n f(p k ) V k. efinicja 2.2. Jeżeli całka f(x, y, z)dv istnieje, to mówimy, że funkcja V f jest całkowalna (w sensie Riemanna) w prostopadłościanie V. Twierdzenie 2.3. Funkcja cia gła w prostopadłościanie domknie tym jest w tym prostopadłościanie całkowalna. odobnie jak dla całek podwójnych dowodzi sie ogólniejszego twierdzenia. Twierdzenie 2.4. Jeżeli funkcja f jest ograniczona na prostopadłościanie domknie tym oraz jest na tym prostopadłościanie cia gła z wyja tkiem zbioru punktów tego prostopadłościanu, którego obje tość jest równa zero, to funkcja f jest całkowalna w tym prostopadłościanie. W szczególnym przypadku zbiór punktów niecia głości funkcji f może być suma skończonej liczby powierzchni określonych równaniami z = ϕ(x, y), y = ψ(x, z) lub x = χ(y, z), gdzie funkcje ϕ, ψ, χ sa cia głe w odpowiednich obszarach płaskich płaszczyzn OXY, OXZ i OY Z. Analogicznie jak dla funkcji dwóch zmiennych, dla funkcji trzech zmiennych prawdziwe sa twierdzenia o liniowości całki oraz o addytywności całki wzgle dem obszaru całkowania a także twierdzenie całkowe o wartości średniej.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 15 Twierdzenie 2.5. (Twierdzenie całkowe o wartości średniej.) Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostopadłościanie V, to istnieje taki punkt c V, że f(x, y, z)dv = f(c) V, V gdzie V oznacza obje tość prostopadłościanu V. f(x,y,z)dv V Liczbe nazywamy wartościa V średnia funkcji f(x, y, z) w prostopadłościanie V. Twierdzenie 2.6. (O zamianie całki potrójnej na całke iterowana.) Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostopadłościanie domknie tym V = {(x, y, z) R 3 a x b, c y d, p z q}, to f(x, y, z)dv = b d q ( ( f(x, y, z)dz)dy)dx. V a c p f(x, y, z)dv Zauważmy, że przy założeniu cia głości funkcji f wartość całki V nie zależy od kolejności całkowania. Zatem powyższy wzór można zapisać w sześciu postaciach uwzgle dniaja c różne kolejności całkowania. (W wielu przypadkach wybór odpowiedniej kolejności całkowania pozwala znacznie uprościć obliczenie całki potrójnej.) ymbol dv be dziemy cze sto zaste pować oznaczeniem dxdydz. rzykład 2.7. Całka potrójna z funkcji f(x, y, z) = x + y + 2z w prostopadłościanie V = {(x, y, z) R 3 x 1, y 2, 1 z 2} jest równa: V 1 (x + y + 2z)dxdydz = 2 ( 2 ( 1 (x + y + 2z)dx)dy)dz = 9. rzykład 2.8. Bezpośrednio z definicji całki potrójnej wynika, że 1dV = V, gdzie V oznacza obje tość prostopadłościanu V. V

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 16 rzykład 2.9. Jeżeli funkcja f(x, y, z) jest ge stościa obje tościowa masy prostopadłościanu V, to całka potrójna f(x, y, z)dv V wyraża mase tego prostopadłościanu. rzykład 2.1. Jeżeli funkcja f(x, y, z) jest ge stościa obje tościowa ładunku elektrycznego rozłożonego w prostopadłościanie V, to całka potrójna f(x, y, z)dv V wyraża całkowity ładunek elektryczny zgromadzony w tym prostopadłościanie. 2.2 Całka potrójna w obszarze normalnym. Niech f be dzie funkcja określona i ograniczona w obszarze ograniczonym A R 3 oraz niech V = {(x, y, z) R 3 a x b, c y d, p z q} be dzie dowolnym prostopadłościanem domknie tym zawieraja cym obszar A. Rozważmy funkcje f określona w prostopadłościanie V naste puja co: f f(x, y, z), gdy (x, y, z) A (x, y, z) :=, gdy (x, y, z) V \ A. Całke potrójna funkcji f w obszarze A określamy w naste puja cy sposób: f(x, y, z)dv = df f (x, y, z)dv, (2.1) A V o ile całka V f (x, y, z)dv nie zależy od wyboru pros- f (x, y, z)dv istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna w obszarze A. Całka V topadłościanu V. efinicja 2.11. Obszar domknie ty A R 3 nazywamy obszarem normalnym wzgle dem płaszczyzny OXY, jeżeli istnieja funkcje ϕ 1 i ψ 1 zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 17 x i y, cia głe w pewnym obszarze regularnym xy na płaszczyźnie OXY takie, że A = {(x, y, z) R 3 (x, y) xy, ϕ 1 (x, y) z ψ 1 (x, y)} oraz ϕ 1 (x, y) < ψ 1 (x, y) dla wszystkich (x, y) należa cych do wne trza obszaru xy. Geometrycznie normalność obszaru A wzgle dem płaszczyzny OXY oznacza, że każda prosta prostopadła do płaszczyzny OXY wystawiona z obszaru xy przecina brzeg obszaru A dokładnie w dwóch punktach należa cych odpowiednio do powierzchni o równaniach z = ϕ 1 (x, y) i z = ψ 1 (x, y). Jeżeli A jest obszarem normalnym wzgle dem płaszczyzny OXY, to xy jest rzutem tego obszaru na płaszczyzne OXY. Analogicznie określamy obszar normalny wzgle dem płaszczyzny OY Z jako zbiór A = {(x, y, z) R 3 (y, z) yz, ϕ 2 (y, z) x ψ 2 (y, z)}, gdzie ϕ 2 (y, z) < ψ 2 (y, z) dla wszystkich (y, z) należa cych do wne trza obszaru yz, oraz obszar normalny wzgle dem płaszczyzny OXZ jako zbiór A = {(x, y, z) R 3 (x, z) xz, ϕ 3 (x, z) y ψ 3 (x, z)}, gdzie ϕ 3 (x, z) < ψ 3 (x, z) dla wszystkich (x, z) należa cych do wne trza obszaru xz. rzykład 2.12. ula domknie ta i ostrosłup wraz z ograniczaja ca go powierzchnia sa przykładami obszarów normalnych wzgle dem każdej z płaszczyzn układu OXY Z. Twierdzenie 2.13. Niech A = {(x, y, z) R 3 (x, y) xy, ϕ 1 (x, y) z ψ 1 (x, y)} be dzie obszarem normalnym wzgle dem płaszczyzny OXY i niech f be dzie funkcja cia gła w obszarze A. Wówczas A f(x, y, z)dv = ψ 1 (x,y) ( xy ϕ 1 (x,y) f(x, y, z)dz)dxdy. rawdziwe sa także analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych wzgle dem pozostałych płaszczyzn układu.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 18 rzykład 2.14. Obszar V ograniczony płaszczyznami: x =, y =, z = oraz 2x+y+z = 2 jest obszarem normalnym wzgle dem wszystkich płaszczyzn układu współrze dnych. Traktuja c go jako obszar normalny wzgle dem płaszczyzny OXY możemy V opisać naste puja co V = {(x, y, z) R 3 (x, y) xy, z 2x y + 2}, gdzie obszar xy = {(x, y) R 2 x 1, y 2 2x} jest normalny wzgle dem osi OX. ta d całka potrójna z funkcji f(x, y, z) = x 2 + 6yz na obszarze V wynosi (x 2 + 6yz)dxdydz = dxdy 2 2x y (x 2 + 6yz)dz = V xy 1 dx 2 2x dy 2 2x y (x 2 + 6yz)dz = 13 15. rzykład 2.15. Jeżeli f(x, y, z) = 1 w obszarze normalnym A R 3, to całka potrójna 1dxdydz przedstawia obje tość obszaru A. A efinicja 2.16. ume skończonej liczby obszarów normalnych (wzgle dem przynajmniej jednej z płaszczyzn układu współrze dnych) o parami rozła cznych wne trzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni. Twierdzenie 2.17. Niech obszar A regularny w przestrzeni be dzie suma obszarów normalnych A 1, A 2,..., A m o parami rozła cznych wne trzach i niech funkcja f be dzie całkowalna w tym obszarze. Wówczas funkcja f jest także całkowalna w każdym obszarze normalnym A i, i = 1, 2,..., m oraz f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dv +... + f(x, y, z)dv. A A 1 Całki potrójne po obszarach regularnych maja te same własności co całki potrójne po prostopadłościanie. A m

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 19 2.3 Zamiana zmiennych w całce potrójnej. Twierdzenie 2.18. (O zamianie zmiennych w całce potrójnej.) Niech funkcja f be dzie określona, cia gła i ograniczona w pewnym obszarze regularnym U R 3 i niech przekształcenie Φ : Ω U, (u, v, w) (x = ϕ 1 (u, v, w), y = ϕ 2 (u, v, w), z = ϕ 3 (u, v, w)) odwzorowuje różnowartościowo wne trze obszaru regularnego Ω R 3 na wne trze obszaru regularnego U. Załóżmy ponadto, że funkcje ϕ 1, ϕ 2 i ϕ 3 sa klasy C 1 na pewnym zbiorze otwartym zawieraja cym obszar Ω oraz jakobian (x,y,z) (u,v,w) jest różny od zera wewna trz obszaru Ω. Wówczas zachodzi naste puja cy wzór: Ω U f(x, y, z)dxdydz = (x, y, z) f(ϕ 1 (u, v, w), ϕ 2 (u, v, w), ϕ 3 (u, v, w)) (u, v, w) dudvdw. rzykład 2.19. (rzesunie cie równolegle.) Niech a, b, c R. rzekształcenie (u, v, w) (x = u + a, y = v + b, z = w + c) odwzorowuje różnowartościowo obszar Ω = R 3 na obszar U = R 3. onadto (x, y, z) (u, v, w) = det 1 1 1 = 1. ta d f(x, y, z)dxdydz = f(u + a, v + b, w + c)dudvdw. U Ω

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 2 rzykład 2.2. (rzekształcenie podobieństwa.) Niech a, b, c R oraz abc. rzekształcenie (u, v, w) (x = au, y = bv, z = cw) odwzorowuje różnowartościowo obszar Ω = R 3 na obszar U = R 3 \{(,, )}. onadto a (x, y, z) (u, v, w) = det b = abc. c ta d f(x, y, z)dxdydz = f(au, bv, cw) abc dudvdw. U Ω rzykład 2.21. Niech a, b, c R +. Bryła ograniczona powierzchnia o równaniu = 1 opisana jest jako obszar V = {(x, y, z) R 3 x2 Zgodnie z interpretacja geometryczna obje tość tej bryły wynosi x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c 2 rzekształcenie podobieństwa V 1dxdydz. (u, v, w) (x = au, y = bv, z = cw) + y2 + z2 a 2 b 2 c 2 1}. odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wne trze kuli U = {(u, v, w) R 3 u 2 + v 2 + w 2 < 1} na wne trze rozpatrywanej bryły V. ta d 1dxdydz = abcdudvdw = 4 3 abcπ. V U rzykład 2.22. (rzekształcenie walcowe.) ołożenie punktu p w przestrzeni można opisać trójka liczb (ϕ, r, z), gdzie ϕ oznacza miare ka ta mie dzy rzutem promienia wodza cego punktu p na

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 21 płaszczyzne OXY a dodatnia cze ścia osi OX, r oznacza odległość rzutu punktu p na płaszczyzne OXY od pocza tku układu współrze dnych oraz z oznacza odległość punktu p od płaszczyzny OXY. Trójke liczb (ϕ, r, z) nazywamy współrze dnymi walcowymi punktu przestrzeni. rzekształcenie (ϕ, r, z) (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z) nazywamy przekształceniem walcowym. onadto (x, y, z) (ϕ, r, z) = det r sin ϕ r cos ϕ cos ϕ sin ϕ 1 = r. rzykład 2.23. Obszar U = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 1} we współrze dnych walcowych określony jest jako obszar Ω = {(ϕ, r, z) R 3 ϕ 2π, r 1, r z 1}. ta d (x 2 + y 2 )dxdydz = (r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 (x, y, z) ϕ) (ϕ, r, z) dϕdrdz = U Ω 2π dϕ 1 1 dr r r 3 dz = π 1. rzykład 2.24. (rzekształcenie sferyczne.) ołożenie punktu p w przestrzeni można opisać trójka liczb (ϕ, ψ, r), gdzie ϕ oznacza miare ka ta mie dzy rzutem promienia wodza cego punktu p na płaszczyzne OXY a dodatnia cze ścia osi OX, ψ oznacza miare ka ta mie dzy promieniem wodza cym punktu p a płaszczyzna OXY oraz r oznacza odległość punktu p od pocza tku układu współrze dnych. Trójke liczb (ϕ, ψ, r) nazywamy współrze dnymi sferycznymi punktu przestrzeni. rzekształcenie (ϕ, ψ, r) (x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ)

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 22 nazywamy przekształceniem sferycznym. onadto (x, y, z) (ϕ, ψ, r) = det r sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ r cos ϕ sin ψ r sin ϕ sin ψ r cos ψ cos ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ sin ψ = r 2 cos ψ. rzykład 2.25. Obszar U = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1, x, y, z} we współrze dnych sferycznych określony jest jako obszar Ω = {(ϕ, ψ, r) R 3 ϕ π 2, r 1, ψ π 2 }. ta d (x, y, z) (x+2z)dxdydz = (r cos ϕ cos ψ+2r sin ψ) (ϕ, ψ, r) dϕdψdr = U Ω 1 dr π 2 dϕ π 2 (r cos ϕ cos ψ + 2r sin ψ)r 2 cos ψdψ = 3 16 π. 3 Całka krzywoliniowa 3.1 Całka krzywoliniowa niezorientowana Niech = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]} be dzie łukiem gładkim na płaszczyźnie i niech be dzie określona funkcja f : R. odzielmy przedział [α, β] punktami α = t < t 1 <... < t n = β na n łuków cze ściowych k 1, k 2,..., k n. Oznaczmy długości tych łuków odpowiednio przez k 1, k 2,..., k n i niech δ n := max k i. Z każdego z łuków cze 1 i n ściowych k i, i = 1,..., n, wybierzmy dowolny punkt p i i utwórzmy naste puja ca sume n n := f(p i ) k i. i=1 efinicja 3.1. Jeżeli istnieje granica skończona lim n cia n gu sum ( n ), gdy δ n i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów podziału t i oraz wyboru punktów p i na łukach cze ściowych, to granice te nazywamy całka

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 23 krzywoliniowa niezorientowana funkcji f(x, y) po krzywej i oznaczamy symbolem f(x, y)ds. rzykład 3.2. Jeżeli f(x, y) = 1 dla każdego punktu (x, y), to całka f(x, y)ds równa jest długości łuku krzywej. rzykład 3.3. Jeżeli f(x, y) dla każdego punktu (x, y), to całka f(x, y)ds równa jest polu cze ści walcowej, której kierownica jest a tworza ce sa równoległe do osi OZ. Twierdzenie 3.4. Jeżeli istnieja całki krzywoliniowe z funkcji f(x, y) i g(x, y) po krzywej to dla dowolnych a, b R (af(x, y) + bg(x, y))ds = a f(x, y)ds + b g(x, y)ds. Twierdzenie 3.5. Jeżeli punkt p dzieli krzywa na dwie krzywe 1 i 2 to f(x, y)ds = f(x, y)ds + f(x, y)ds. 1 Całke krzywoliniowa niezorientowana można wyrazić przez całke oznaczona. Twierdzenie 3.6. Jeżeli funkcja f(x, y) jest cia gła na łuku gładkim = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]}, to całka krzywoliniowa niezorientowana f(x, y)ds istnieje i równa jest całce oznaczonej 2 f(x, y)ds = β α f(x 1 (t), x 2 (t)) (x 1(t)) 2 + (x 2(t)) 2 dt. rzykład 3.7. Jeżeli = {(t, y(t)) t [α, β]} oraz funkcja y(t) ma cia gła pochodna na przedziale [α, β], to f(x, y)ds = β α f(t, y(t)) (1 + (y (t)) 2 dt.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 24 rzykład 3.8. Niech = {(r cos t, r sin t) t [, π]} be 2 dzie łukiem okre gu. Wówczas xyds = π 2 r 3 cos t sin tdt = r3 2. Całke krzywoliniowa niezorientowana funkcji f(x, y, z) po krzywej = {(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) t [α, β]} w przestrzeni definiujemy analogicznie jak w przypadku całki na płaszczyźnie i oznaczamy f(x, y, z)ds. Twierdzenia dotycza ce własności całki krzywoliniowej niezorientowanej na płaszczyźnie pozostaja prawdziwe dla całki w przestrzeni. W szczególności zachodzi twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całke oznaczona. Twierdzenie 3.9. Jeżeli funkcja f(x, y, z) jest cia gła na łuku gładkim = {(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) t [α, β]}, to całka krzywoliniowa niezorientowana f(x, y, z)ds istnieje i równa jest całce oznaczonej f(x, y, z)ds = β α f(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) (x 1(t)) 2 + (x 2(t)) 2 + (x 3(t)) 2 dt. rzykład 3.1. Niech = {(a cos t, a sin t, bt) t [, 2π]}. Całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 po krzywej równa jest 2π (x 2 + y 2 + z 2 )ds = (a 2 cos 2 t + a 2 sin 2 t + b 2 t 2 ) a 2 + b 2 dt = a2 + b 2 (2a 2 + 8 3 b2 π 2 )π. 3.2 Całka krzywoliniowa zorientowana ażdemu łukowi = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]} na płaszczyźnie można nadać kierunek, przyjmuja c punkt A = (x 1 (α), x 2 (α)) za pocza tek łuku a

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 25 punkt B = (x 1 (β), x 2 (β)) za koniec lub na odwrót, punkt B = (x 1 (β), x 2 (β)) za pocza tek łuku a punkt A = (x 1 (α), x 2 (α)) za jego koniec. Te dwie orientacje krzywej nazywamy przeciwnymi. W pierwszym przypadku kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. Mówimy wówczas, że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa zgodne. W drugim przypadku kierunek łuku jest niezgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. Mówimy wówczas, że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa niezgodne. Niech parametrom t 1 i t 2 odpowiadaja punkty A 1 = (x 1 (t 1 ), x 2 (t 1 )) i A 2 = (x 1 (t 2 ), x 2 (t 2 )) łuku. Jeżeli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru to dla t 1 < t 2 punkt A 1 poprzedza punkt A 2. W przeciwnym przypadku punkt A 2 poprzedza punkt A 1. Jeżeli przedstawienie parametryczne {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]} łuku jest niezgodne z nadanym mu kierunkiem, to przedstawienie parametryczne {(x 1 ( t), x 2 ( t)) t [ β, α]} be dzie już z tym kierunkiem zgodne. efinicja 3.11. Łuk, któremu nadano kierunek, nazywamy łukiem skierowanym (lub zorientowanym). Łuk skierowany od punktu A do punktu B oznaczamy AB. Aby podkreślić, że łuki AB i BA różnia sie tylko kierunkiem piszemy AB = BA. Niech dana be dzie krzywa zorientowana płaska = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]} i niech na krzywej be da określone dwie funkcje (x, y) i Q(x, y). odzielmy przedział [α, β] punktami α = t < t 1 <... < t n = β na n cze ści. Wybierzmy z każdego przedziału punkt t θi [t i 1, t i ]. Niech p i = (x 1 (t θi ), x 2 (t θi )) i d n be dzie długościa najdłuższego z przedziałów [t i 1, t i ]. Utwórzmy sume n n := (p i )(x 1 (t i ) x 1 (t i 1 )) + Q(p i )(x 2 (t i ) x 2 (t i 1 )). i=1 efinicja 3.12. Jeżeli istnieje granica skończona lim n n cia gu sum ( n ) przy d n i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów t i oraz p i to granice te nazywamy całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji (x, y) i Q(x, y) po drodze i oznaczamy (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 26 Analogicznie maja c krzywa przestrzenna = {(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) t [α, β]} i trzy funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) definiujemy całke krzywoliniowa zorientowana trójki funkcji po krzywej (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. rzykład 3.13. Jeżeli punkt materialny o masie 1 porusza sie po krzywej pod wpływem siły F o składowych (x, y) i Q(x, y) (np. w polu grawitacyjnym lub elektrostatycznym) to prace wykonywana przez te siłe wzdłuż drogi wyraża całka (x, y)dx + Q(x, y)dy. Twierdzenie 3.14. Jeżeli istnieje całka krzywoliniowa skierowana z funkcji (x, y) i Q(x, y) po krzywej, to istnieje też całka po krzywej, przy czym (x, y)dx + Q(x, y)dy = (x, y)dx + Q(x, y)dy. Twierdzenie 3.15. Jeżeli krzywa podzielimy na dwa łuki 1 i 2, to całka krzywoliniowa skierowana z funkcji (x, y) i Q(x, y) po krzywej istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja całki po krzywych 1 i 2 oraz (x, y)dx+q(x, y)dy = (x, y)dx+q(x, y)dy+ (x, y)dx+q(x, y)dy. 1 Twierdzenie 3.16. Jeżeli funkcje (x, y) i Q(x, y) sa cia głe na zorientowanym łuku gładkim = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]}, przy czym orientacja jest zgodna z kierunkiem wzrostaja cego parametru (tzn. jest zgodna z kierunkiem tego łuku) to całka krzywoliniowa skierowana z funkcji (x, y) i Q(x, y) po krzywej istnieje oraz (x, y)dx + Q(x, y)dy = rzykład 3.17. Jeżeli = {(t, y(t)) t [α, β]} to β α 2 ( (x 1 (t), x 2 (t))x 1(t) + Q(x 1 (t), x 2 (t))x 2(t))dt. (x, y)dx + Q(x, y)dy = β α ( (t, y(t)) + Q(t, y(t))y (t))dt.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 27 Jeżeli funkcje (x, y) i Q(x, y) sa cia głe na krzywej kawałkami gładkiej, to całka (x, y)dx + Q(x, y)dy również istnieje i równa jest sumie całek na poszczególnych łukach gładkich krzywej. rzykład 3.18. Niech = {(t, t 2 ) t [ 1, 1]} be dzie łukiem paraboli od punktu A = ( 1, 1) do punktu B = (1, 1). Całka krzywoliniowa zorientowana z funkcji (x, y) = y 2 + 2xy i Q(x, y) = x 2 2xy na krzywej wynosi 1 (y 2 + 2xy)dx + (x 2 2xy)dy = ((t 4 + 2t 3 ) + (t 2 2t 3 )2t)dt = 6 5. 1 W przypadku trójwymiarowym całke krzywoliniowa zorientowana z funkcji (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) na łuku gładkim = {(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) t [α, β]} zorientowanym zgodnie z kierunkiem wzrastaja cego parametru możemy zamienić na całke oznaczona według naste puja cego wzoru β α (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ( (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))x 1(t)+Q(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))x 2(t)+R(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))x 3(t))dt. rzykład 3.19. raca wykonana przez siłe F = [x 2, y 2, z 2 ] wzdłuż drogi = {(r cos t, r sin t, bt) t [, 2π]} równa jest x 2 dx+y 2 dy+z 2 dz = 2π ((r 2 cos 2 t( r sin t)+r 2 sin 2 tr cos t+b 2 t 2 b)dt = 8 3 b3 π 3. Niech be dzie obszarem płaskim ograniczonym krzywa Jordana. owiemy, że krzywa Jordana be da ca brzegiem obszaru jest zorientowana dodatnio wzgle dem tego obszaru, jeśli w czasie obiegu po krzywej w danym kierunku mamy obszar po lewej stronie. Całke krzywoliniowa zorientowana po krzywej zamknie tej płaskiej można w pewnych sytuacjach zamienić na całke podwójna.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 28 Twierdzenie 3.2. (Twierdzenie Green a 1 ) Jeżeli funkcje (x, y) i Q(x, y) sa cia głe wraz z pochodnymi cza stkowymi y i Q x na obszarze domknie tym normalnym wzgle dem obu osi układu współrze dnych oraz brzeg obszaru jest krzywa Jordana zorientowana dodatnio wzgle dem, to prawdziwy jest naste puja cy wzór Green a: (x, y)dx + Q(x, y)dy = ( Q x y )dxdy. Twierdzenie Green a pozostaje prawdziwe dla obszarów jednospójnych i wielospójnych daja cych sie podzielić łukami na skończona ilość obszarów normalnych wzgle dem obu osi. rzykład 3.21. Niech be dzie brzegiem prostoka ta = {(x, y) R 2 x 1, y 2} zorientowanym dodatnio i niech (x, y) = y(x 2 + 1) oraz Q(x, y) = x(y 2 1). tosuja c twierdzenie Green a całka krzywoliniowa zorientowana (x, y)dx + Q(x, y)dy wynosi y(x 2 + 1)dx + x(y 2 1)dy = (y 2 x 2 2)dxdy = 2. rzykład 3.22. Niech be dzie okre giem o równaniu x 2 + y 2 2x = zorientowanym dodatnio i niech (x, y) = y 2 + 2x oraz Q(x, y) = x 2 + 2y. tosuja c twierdzenie Green a całka krzywoliniowa zorientowana (x, y)dx+ Q(x, y)dy wynosi y 2 + 2xdx + x 2 + 2ydy = 2(x y)dxdy = 2π, gdzie = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2x }. rzykład 3.23. Niech be dzie dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru ograniczonego. Wówczas całka krzywoliniowa zorientowana po tej krzywej 1 George Green (1793-1841) - matematyk i fizyk angielski

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 29 z funkcji (x, y) = 1y i Q(x, y) = 1 2 2 = 1 oraz y = 1dxdy = ( Q x x określa pole obszaru, gdyż Q x y )dxdy = 1 2 xdy ydx. rzykład 3.24. ole obszaru ograniczonego elipsa = {(a cos t, b sin t) t [, 2π]} wynosi = 1 2 ydx + xdy = 1 2 2π (ab sin 2 t + ab cos 2 t)dt = πab. 3.3 Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania Niech (x, y) i Q(x, y) be da funkcjami cia głymi wraz z pochodnymi cza stkowymi i Q w obszarze płaskim jednospójnym. Niech be y x dzie krzywa gładka o pocza tku w punkcie A i końcu w punkcie B, zawarta w obszarze. Całka krzywoliniowa zorientowana (x, y)dx + Q(x, y)dy zależy na ogół od wyboru krzywej. rzykład 3.25. Niech = {(a cos t, b sin t) t [, π]}, dla a b, be dzie półelipsa o pocza tku w punkcie A = (a, ) i końcu w punkcie B = ( a, ). Wówczas (x y)dx + (x + y)dy = abπ. Jeżeli natomiast = {(a cos t, a sin t) t [, π]} be dzie półokre giem o pocza tku w punkcie A = (a, ) i końcu w punkcie B = ( a, ) to (x y)dx + (x + y)dy = a 2 π.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 3 Całke krzywoliniowa zorientowana (x, y)dx + Q(x, y)dy nazywać be - dziemy niezależna od drogi całkowania w obszarze jednospójnym, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów A, B wartość tej całki na każdej krzywej gładkiej o pocza tku w punkcie A i końcu w punkcie B jest taka sama. onieważ w tym przypadku wartość całki nie zależy od wyboru krzywej, lecz tylko od pocza tku A i końca B, całke krzywoliniowa zorientowana oznaczamy symbolem B A (x, y)dx + Q(x, y)dy. Twierdzenie 3.26. Niech (x, y) i Q(x, y) be da funkcjami cia głymi wraz z pochodnymi cza stkowymi w obszarze płaskim jednospójnym i y niech A, B. Warunkiem koniecznym i wystarczaja cym na to, aby całka i Q x krzywoliniowa zorientowana B (x, y)dx + Q(x, y)dy nie zależała od drogi A całkowania jest, by dla każdego (x, y) spełniony był warunek y = Q x. Zatem na mocy twierdzenia Green a całka krzywoliniowa zorientowana B (x, y)dx + Q(x, y)dy nie zależy od drogi całkowania wtedy i tylko wtedy, A gdy całka po każdej krzywej gładkiej zamknie tej zawartej w obszarze jest równa. Niech funkcje (x, y) i Q(x, y) spełniaja w obszarze płaskim jednospójnym założenia twierdzenia 3.26. Funkcje F (x, y) taka, że dla każdego (x, y) F x = (x, y) oraz F y = Q(x, y) nazywamy funkcja pierwotna pary uporza dkowanej funkcji (x, y) i Q(x, y). Twierdzenie 3.27. Niech (x, y) i Q(x, y) be da funkcjami cia głymi wraz z pochodnymi cza stkowymi w płaskim obszarze jednospójnym. Warunkiem koniecznym i wystarczaja y cym na to, aby funkcja F (x, y) była funkcja i Q x

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 31 pierwotna funkcji (x, y) i Q(x, y) jest, by dla każdego (x, y) spełniony był warunek y = Q x. Zatem warunkiem koniecznym i wystarczaja cym na to, aby całka krzywoliniowa skierowana B (x, y)dx+q(x, y)dy nie zależała od drogi całkowania w obszarze A, jest by istniała funkcja pierwotna funkcji (x, y) i Q(x, y). Wartość całki jest wówczas określona wzorem B A (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (B) F (A). Jeżeli F (x, y) jest funkcja pierwotna pary funkcji (x, y) i Q(x, y) to jest nia też funkcja F (x, y) + c, gdzie c R jest stała. onadto, dwie funkcje pierwotne F (x, y) i G(x, y) tej samej pary (x, y) i Q(x, y) różnia sie co najwyżej o stała, tzn. G(x, y) = F (x, y) + c. rzykład 3.28. Niech (x, y) = x i Q(x, y) = y dla x 2 + y 2 > x 2 +y 2 x 2 +y 2. onieważ, zatem całka krzywoliniowa zorientowana (2,1) (1,) xdx+ydy x 2 +y 2 = 2xy = Q y (x 2 +y 2 ) 2 x wzdłuż dowolnej krzywej przebiegaja cej w górnej półpłaszczyźnie y > nie zależy od drogi całkowania. x Wyrażenie podcałkowe dx + y dy jest różniczka x 2 +y 2 x 2 +y 2 zupełna funkcji F (x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + c, gdzie c jest dowolna stała. ta d (2,1) (1,) xdz + ydy = F (2, 1) F (1, ) = 1 ln 5. x 2 + y 2 2 Niech funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be da cia głe wraz z pochodnymi cza stkowymi w obszarze przestrzennym V powierzchniowo jednospójnym. Funkcje F (x, y, z) taka, że dla każdego (x, y, z) V F x = (x, y, z), F y = Q(x, y, z), F z = R(x, y, z)

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 32 nazywamy funkcja pierwotna trójki uporza dkowanej funkcji (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z). Twierdzenie 3.29. Niech funkcje (x, y, z), Q(x, y) i R(x, y, z) be da cia głe wraz z pochodnymi cza stkowymi w obszarze przestrzennym V powierzchniowo jednospójnym. Warunkiem koniecznym i wystarczaja cym na to, aby całka A krzywoliniowa skierowana B (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz nie zależała od drogi całkowania w obszarze V, jest by istniała funkcja pierwotna funkcji (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z), tzn. by dla każdego (x, y, z) V spełnione były warunki: R y = Q z, z = R x, Wartość całki jest wówczas określona wzorem B A Q x = y. (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = F (B) F (A). rzykład 3.3. Niech (x, y, z) = 2x yz, Q(x, y, z) = 2y xz i R(x, y, z) = 2z xy. onieważ R Q = x =, R Q = y = oraz = z =, zatem y z z x x y całka krzywoliniowa zorientowana (1,2,3) (2x yz)dx+(2y xz)dy+(2z xy)dz (,,) nie zależy od drogi całkowania. Wyrażenie podcałkowe (2x yz)dx + (2y xz)dy + (2z xy)dz jest różniczka zupełna funkcji F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xyz + c, gdzie c jest dowolna stała. ta d (1,2,3) (,,) (2x yz)dx + (2y xz)dy + (2z xy)dz = F (1, 2, 3) F (,, ) = 8. 4 Całka powierzchniowa. 4.1 Całka powierzchniowa niezorientowana. efinicja 4.1. Niech be dzie obszarem płaskim regularnym ograniczonym jedna krzywa zamknie ta, kawałkami gładka i niech f(x, y) be dzie funkcja

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 33 określona i cia gła w zbiorze, maja ca w obszarze cia głe i ograniczone pochodne cza stkowe. Gładkim płatem powierzchniowym (wzgle dem płaszczyzny OXY ) nazywamy powierzchnie o równaniu: z = f(x, y), (x, y). W analogiczny sposób określamy gładki płat powierzchniowy wzgle dem płaszczyzny OXZ i OY Z. owierzchnia ma w każdym swym punkcie płaszczyzne styczna. rzykład 4.2. Wykres funkcji z = 2x y + 2 rozważanej w obszarze = {(x, y) R 2 x 5, y 2} jest gładkim płatem powierzchniowym. Niech F (x, y, z) be dzie funkcja określona w przestrzeni R 3 na gładkim płacie powierzchniowym o równaniu z = f(x, y), gdzie (x, y). odzielmy obszar na n obszarów regularnych 1, 2,..., n o rozła cznych wne trzach i oznaczmy przez 1, 2,..., n cze ści płata odpowiadaja ce podziałowi, o polach równych odpowiednio i. Z każdego płata i wybierzmy punkt p i i utwórzmy sume : n n := F (p i ) i. i=1 efinicja 4.3. Jeżeli istnieje granica n lim n, przy założeniu, że najwie ksza średnica obszarów cze ściowych i maleje do zera i granica ta nie zależy od podziałów obszaru ani od wyboru punktów p i, to granice te nazywamy całka powierzchniowa niezorientowana funkcji F (x, y, z) po płacie i oznaczamy F (x, y, z)ds. W analogiczny sposób możemy określić całke powierzchniowa niezorientowana, gdy jest gładkim płatem powierzchniowym wzgle dem płaszczyzny OXZ lub OY Z. Jeżeli jest powierzchnia dowolna, daja ca sie podzielić na skończona ilość płatów gładkich, to nazywamy ja powierzchnia kawałkami gładka i całka F (x, y, z)ds jest wówczas suma całek po poszczególnych płatach. odstawowe własności całki powierzchniowej niezorientowanej sa takie same jak dla innych całek.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 34 rzykład 4.4. Niech w każdym punkcie powierzchni funkcja F (x, y, z) = 1. Całka powierzchniowa niezorientowana po płacie określa pole powierzchni, ds =. Twierdzenie 4.5. (O zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całke podwójna) Jeżeli funkcja F (x, y, z) jest cia gła na gładkim płacie powierzchniowym o równaniu z = f(x, y), (x, y), to całka powierzchniowa F (x, y, z)ds istnieje i wyraża sie wzorem: F (x, y, z)ds = F (x, y, f(x, y)) 1 + ( f x (x, y))2 + ( f y (x, y))2 dxdy. W szczególności, dla F (x, y, z) = 1, = ds = 1 + ( f x (x, y))2 + ( f y (x, y))2 dxdy. rzykład 4.6. Niech be dzie powierzchnia o równaniu z = x 2 + y 2, której rzutem na płaszczyzne OXY jest koło = {(x, y) R 2 x 2 +y 2 2x }. Wówczas (xy + yz + xz)ds = (xy + y x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 ) 2dxdy = 32 2. 3 4.2 Całka powierzchniowa zorientowana. Rozważmy gładki płat powierzchniowy o równaniu z = f(x, y), (x, y). Jest to powierzchnia dwustronna. Jeżeli wyróżnimy na tej powierzchni strone dodatnia i strone ujemna to płat nazwiemy płatem zorientowanym. Wówczas oznaczać be dzie płat różnia cy sie od tylko orientacja. Niech na zorientowanym płacie określone be da trzy funkcje cia głe (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z). Niech α, β i γ be da ka tami, które oś normalna n do powierzchni, o zwrocie od strony ujemnej płata do jego strony dodatniej, tworzy z osiami OX, OY i OZ układu współrze dnych.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 35 efinicja 4.7. Całke (o ile istnieje) ( (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ)ds nazywamy całka powierzchniowa zorientowana i oznaczamy (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy. (4.1) Analogicznie określamy całke powierzchniowa zorientowana po gładkim płacie powierzchniowym wzgle dem płaszczyzny OXZ lub OY Z. Jeżeli zmienimy strone dodatnia płata na ujemna, to funkcje cos α, cos β, cos γ zmienia znaki i całka 4.1 zmieni znak. ta d (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy = (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy. rzykład 4.8. Niech be dzie gładkim płatem powierzchniowym i niech funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be da składowymi wektora pre dkości cieczy przepływaja cej przez powierzchnie. Wówczas całka (x, y, z)dydz+ Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy przedstawia obje tość cieczy, jaka przepływa w jednostce czasu przez powierzchnie ze strony ujemnej na dodatnia. W przypadku dowolnej powierzchni kawałkami gładkiej definicja komplikuje sie, ponieważ nie każda taka powierzchnie można zorientować. Jest tak np. gdy powierzchnia jest jednostronna (np. wste ga Möbiusa). Jeżeli natomiast powierzchnia jest dwustronna, to orientuja c każdy z jej płatów określamy całke powierzchniowa zorientowana po tej powierzchni jako sume całek po wszystkich płatach. Twierdzenie 4.9. (O zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całke podwójna) Jeżeli funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) sa cia głe na zorientowanym gładkim płacie powierzchniowym o równaniu z = f(x, y), (x, y),

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 36 to całka powierzchniowa zorientowana (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy istnieje i wyraża sie wzorem: = ε (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy = ( (x, y, f(x, y)) f x (x, y) Q(x, y, f(x, y)) f (x, y)+r(x, y, f(x, y)))dxdy, y gdzie ε = 1, gdy orientacja płata jest tak dobrana, że cos γ > oraz ε = 1, gdy orientacja płata jest tak dobrana, że cos γ <. Analogicznie wzór jest prawdziwy dla całki powierzchniowej zorientowanej po gładkim płacie powierzchniowym wzgle dem płaszczyzny OXZ lub OY Z. rzykład 4.1. Niech be dzie cze ścia płaszczyzny 2x + 3y + z 6 =, wycie ta płaszczyznami układu współrze dnych i tak zorientowana, że cos γ <. Równanie powierzchni jest postaci: z = 6 2x 3y, (x, y) = {(x, y) R 2 x 3, y 2 2 3 x}. ta d = xydydz + yzdxdz + xzdxdy = (2xy + 3y(6 2x 3y) + x(6 2x 3y))dxdy = 33 2. rzykład 4.11. Niech be dzie górna półsfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z, zorientowana tak, że cos γ <. Równanie powierzchni jest postaci: z = R 2 x 2 y 2, (x, y) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 R 2 }. ta d xz 2 dxdy = x(r 2 x 2 y 2 )dxdy =.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 37 Twierdzenie 4.12. (Gaussa-Ostrogradskiego) 2 Niech V R 3 be dzie obszarem normalnym ze wzgle du na wszystkie trzy płaszczyzny układu współrze dnych i niech brzeg tego obszaru be dzie powierzchnia odcinkami gładka zorientowana na zewna trz obszaru V. Niech funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be da cia głe wraz z pochodnymi Q y i R z wewna trz obszaru V i na jego brzegu. Wówczas: V x, ( x + Q y + R )dxdydz = (4.2) z (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy. Wzór (4.3) pozostaje prawdziwy dla obszarów przestrzennych V daja cych sie podzielić na skończona ilość obszarów normalnych. rzykład 4.13. Niech be dzie zewne trzna strona powierzchni sześcianu V = {(x, y, z) R 3 x a, y a, z a}. orzystaja c z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy = 2(x + y + z)dxdydz = V a 2 a dx a dy (x + y + z)dz = 3 2 a4. rzykład 4.14. Niech be dzie zewne trzna strona powierzchni stożka V o równaniu z 2 = x 2 + y 2, z 2. orzystaja c z twierdzenia Gaussa- Ostrogradskiego (x z)dydz + (y z)dxdz + (z y)dxdy = 3 2 Carl Gauss (1777-1855) - matematyk niemiecki Michaił Ostrogradski (181-1861) - matematyk rosyjski V dxdydz = 8π.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 38 Twierdzenie 4.15. (tokesa) 3 Niech krzywa be dzie brzegiem gładkiego płata powierzchniowego zorientowanego tak, aby orientacja powierzchni była zgodna z orientacja krzywej tzn. tak, że dodatni obieg na krzywej dookoła osi normalnej do powierzchni był równoskre tny z dodatnim obiegiem na płaszczyźnie OXY dookoła osi OZ. Niech funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be da cia głe wraz z pochodnymi cza stkowymi w obszarze otaczaja cym powierzchnie. Wtedy (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ( R y Q )dydz + ( z z R )dxdz + ( Q x x y )dxdy. rzykład 4.16. Niech be dzie okre giem o równaniach x = r cos t, y = sin t, z = k dla t [, 2π], i orientacji zgodnej z kierunkiem wzrastaja cego parametru. orzystaja c z twierdzenia tokesa xzdx + y 2 dy + zdz = xdxdz, gdzie oznacza dowolna powierzchnie gładka o równaniu z = f(x, y), (x, y), której brzegiem jest krzywa, o orientacji tak dobranej, by cos γ >. Możemy zatem przyja ć, że jest powierzchnia koła {(x, y, z) R 3 x 2 +y 2 r 2, z = f(x, y) = k}. Wówczas xdxdz = x f dxdy =. y 5 odstawowe poje cia pola wektorowego efinicja 5.1. Niech dane be da trzy funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) określone w obszarze przestrzennym V R 3. Jeżeli w obszarze V określona jest funkcja przyporza dkowuja ca każdemu punktowi (x, y, z) V wektor W (x, y, z) := 3 George tokes (1819-193) - irlandzki matematyk i fizyk