Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu) elementowi elementu. Zapisujemy to:, Dalej będzie podzbiorem, zaś podzbiorem. RYS. Załóżmy, że mamy jakieś układy współrzędnych w i, tak że dowolny punkt ma postać: i analogicznie w Na odwzorowanie możemy patrzeć po prostu jak na układ funkcji zmiennych. Przykł. 1. 2. krzywa w. : Zamiana układu współrzędnych; pole wektorowe. Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowanie ciągłe Niech,, oraz niech będzie dane odwzorowanie. Mówimy, że odwzorowanie jest ciągłe, jeśli dla dowolnego ciągu elementów zbioru zbieżnego do punktu mamy
Uwaga Przypominając sobie definicję zbieżności ciągu widzimy, że odwzorowanie wtedy, gdy wszystkie funkcje ( ) są ciągłe. jest ciągłe wtedy i tylko Przykłady odwzorowań ciągłych. Tu:,,. Odwzorowanie stałe Dla każdego :. RYS. Odwzorowanie identycznościowe Tu niech. Określamy odwzorowanie identycznościowe wzorem: ; często też oznaczamy symbolem. Superpozycja odwzorowań Niech Tu:,, oraz,. Oznaczamy:, czyli. RYS. Odwzorowanie nazywamy superpozycją lub złożeniem odwzorowań oraz. Twierdzenie= Jeśli i są odwzorowaniami ciągłymi, to też jest odwzorowaniem ciągłym. Dow. (podobny jak w ): Niech będzie ciągiem elementów z : oraz. Ponieważ ciągłe, więc. Oraz: Ponieważ ciągłe, więc. Zatem.
Dodawanie liczb rzeczywistych (dodawanie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym. Jest to po prostu twierdzenie, że granica sumy dwóch ciągów zbieżnych jest sumą granic. Mnożenie liczb rzeczywistych (mnożenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym. Granica iloczynu dwóch ciągów zbieżnych jest iloczynem granic. Dzielenie liczb rzeczywistych (dzielenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym. Granica ilorazu dwóch ciągów zbieżnych jest ilorazem granic. Nieciągła funkcja dwóch zmiennych Funkcja dwóch zmiennych, która nie jest ciągła: Przewciwobraz zbioru Jeśli, to zbiór: nazywamy przeciwobrazem zbioru przy odwzorowaniu.
Przykł., ;,,,,. Uwaga Pojawiający się wyżej symbol nie oznacza, że jest odwracalne! Powyższy zapis należy odczytywać łącznie. Zbiór otwarty (*) Niech,. Mówimy, że jest otwarty w, jeżeli istnieje zbiór otwarty w taki, że. RYS. Inna charakteryzacja odwzorowań ciągłych Twierdzenie Niech,,. Wówczas jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobrazy wszystkich zbiorów otwartych w są otwarte w. Zakładamy, że ciągłe i że, otwarty. Niech będzie jakimś punktem z przeciwobrazu :. Pokażemy, że Gdy już będziemy mieli dowód (%i 3), to wtedy: Zdefiniujmy jako: jest otwarty, jako suma mnogościowa kul otwartych. Ponieważ, więc też.
Z drugiej strony, ponieważ zachodzi (%i 3), to mamy dla każdego : dla pewnego, z czego wynika, że. Ostatecznie: Ponieważ:, to znaczy, że czyli w myśl definicji (*) wyżej jest otwarty w. Teraz dowód (%i 3). będzie niewprost: Przypuśćmy, że prawdziwe jest zaprzeczenie zdania (%i 3), tzn. że zachodzi Bierzemy wobec tego i mamy, że dla każdego (tzn. przecięcie wystaje poza zbiór ). Czyli dla każdego istnieje taki punkt, że,,, zatem, Ponieważ, to ponieważ z założenia jest ciągłe. Zbiór jest otwarty w, więc
Zachodzi:, czyli i, ponieważ jest otwarty, to istnieje takie, że zawarte w kuli :. Ponieważ, to prawie wszystkie wyrazy ciągu są zaś (co było wyżej), a ponadto ( bo oraz ). Skoro i to więc otrzymaliśmy sprzeczność. Niech i. Trzeba pokazać, że również. Równoważnie będziemy pokazywać, że dla dowolnego., prawie wszystkie wyrazy Ponieważ jest zbiorem otwartym, to jest zbiorem otwartym w. Dalej, ponieważ dla ciągłego przeciwobraz zb. otwartego jest zb. otwartym, to jest zbiorem otwartym w. Oraz mamy:, czyli razem z musi należeć do pewne jego otoczenie. A to znaczy, że dla każdego ciągu dążący do, wszystkie wyrazy od pewnego miejsca muszą należeć do : Dla zachodzi tzn.
Jeszcze inna charakteryzacja odwzorowań ciągłych Twierdzenie Załóżmy, że teza tw. powyżej jest nieprawdziwa, tzn. Wybierzmy. Istnieje więc taki ciąg, że Z (*) wynika, że, natomiast z (**) wynika, że, co jest sprzeczne z założeniem, że jest ciągłe. Niech, oraz. Weźmy. Z założenia, Ponieważ, to dla prawie wszystkich zachodzi: a ta ostatnia nierówność mówi, że, a to znaczy, że jest ciągłe.
Twierdzenie (nazwane w notatkach 'sakramentalnym'; na pewno jest FUNDAmentalne). Niech zwarty, oraz niech funkcja ciągła. Wtedy: 1. 2. jest ograniczona. osiąga swoje kresy, tzn.: 3. jest jednostajnie ciągła. 1. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona. Wtedy istnieje, taki, że Ponieważ jest zwarty, więc ciąg posiada podciąg zbieżny :. Ale jest ciągła, więc 2. co stanowi sprzeczność z. Niech będzie zbiorem wartości funkcji na :. Niech będzie kresem górnym zbioru wartości funkcji na :. Kres górny należy do domknięcia zbioru:. jest domknięty, więc istnieje ciąg o wyrazach z taki, że. jest zwarty, więc domknięty, więc istnieje podciąg ciągu, który to podciąg jest zbieżny do granicy należącej do :
Jednostajna ciągłość Przypomnijmy sobie, co to znaczy, że funkcja od argumentu rzeczywistego jest jednostajnie ciągła. Dla odwzorowania definicja jest analogiczna: Teraz Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła, tzn. Weźmy i ciągi, o wyrazach z takie, że jest zwarty, więc można założyć, że. Mamy: Mamy więc: ; oraz z ciągłości :
Ale ostatnia nierówność jest sprzeczna z.