Algebra liniowa z geometrią 2

Algebra liniowa z geometrią 2 Maciej Czarnecki 23 maja 2013 Spis treści 5 Geometria płaszczyzny zespolonej 2 6 Macierze 3 6.1 Działania na macierzach....................... 3 6.2 Wyznacznik.............................. 4 6.3 Rząd macierzy............................ 7 6.4 Układy równań liniowych...................... 8 7 Przestrzenie i przekształcenia afiniczne 8 7.1 Przestrzeń afiniczna......................... 8 7.2 Podprzestrzenie afiniczne...................... 9 7.3 Przekształcenia afiniczne....................... 9 8 Geometria iloczynu skalarnego 10 8.1 Norma, kąt i odległość........................ 10 8.2 Wyznacznik Grama i objętość.................... 11 8.3 Orientacja i iloczyn wektorowy................... 14 9 Formy dwuliniowe i kwadratowe 17 9.1 Postać kanoniczna.......................... 17 9.2 Formy rzeczywiste.......................... 20 10 Endomorfizmy przestrzeni skończonego wymiaru 23 10.1 Wektory i wartości własne...................... 23 10.2 Diagonalizacja i postać Jordana................... 25 11 Grupy przekształceń i geometrie nieeuklidesowe 28 11.1 Grupy i działania grup na przestrzeniach.............. 28 11.2 Izometrie przestrzeni euklidesowej................. 30 1

5 Geometria płaszczyzny zespolonej Definicja 5.0.1. Ciałem nazywamy zbiór F składający się z co najmniej dwóch elementów wraz z funkcjami + : F F F oraz : F F F takimi, że (F, +) jest grupą abelową, 0 elementem neutralnym działania +, (F \ {0}, ) jest grupą abelową oraz a (b + c) = (a b) + (a c) dla dowolnych a, b, c F. Innymi słowy, w zbiorze F określone są funkcje + i przypisujące dwóm elementom ze zbioru F jeden element ze zbioru F spełniające warunki: (F1) a,b F a + b F (F2) a,b F a b F (F3) a,b,c F (a + b) + c = a + (b + c) (F4) 0 F a F a + 0 = 0 + a = a (F5) a F a F a + ( a) = ( a) + a = 0 (F6) a,b F a + b = b + a (F7) a,b F\{0} a b F \ {0} (F8) a,b,c F (a b) c = a (b c) (F9) 1 F\{0} a F a 1 = 1 a = a (F10) a F\{0} a 1 F\{0} a a 1 = a 1 a = 1 (F11) a,b F a b = b a (F12) a,b,c F a (b + c) = (a b) + (a c) Przykład 5.0.2. Ciałami są R oraz Q ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia. Stwierdzenie 5.0.3. stw. 4.1 Definicja 5.0.4. def. 4.2 Uwaga 5.0.5. po def. 4.2 Definicja 5.0.6. def. 4.3, 4.4 Wniosek 5.0.7. C jest przestrzenią liniową wymiaru 2 nad ciałem R. Jej bazą jest np. układ (1, i). Definicja 5.0.8. Wielomianem o współczynnikach zespolonych nazywamy nieskończony cią liczb zespolonych a 0, a 1,..., w którym tylko skończona liczba wyrazów jest różna od 0. Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach zespolonych oznaczamy przez C[z]. Dodawanie i mnożenie wielomianów zespolonych określa się tak sama analogicznie do wielomianów rzeczywistych. Jeżeli n = min{j ; a j 0}, to n nazywamy stopniem wielomianu f = (a j ) j N {0}, a wielomian zapisujemy w postaci f(z) = a 0 + a 1 z +... + a n z n. Liczba zespolona c jest pierwiastkiem wielomianu f, gdy f(c) = 0. Twierdzenie 5.0.9. (zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony. Wniosek 5.0.10. Kazdy wielomian o współczynnikach zespolonych rozkłada się na czynniki liniowe, tzn. dla wielomianu f(z) = a 0 +a 1 z+...+a n z n o współczynnikach zespolonych, przy czym a n 0, n 1, istnieją liczby z 1,..., z k C oraz l 1,..., l k N spełniające warunek l 1 +... + l k = n i takie, że f(z) = a n (z z 1 ) l1... (z z k ) l k. 2

Definicja 5.0.11. def. 4.4 Definicja 5.0.12. def. 4.6 Stwierdzenie 5.0.13. stw. 4.7 Stwierdzenie 5.0.14. stw. 4.5 (1),(5),(6),(7) Stwierdzenie 5.0.15. stw. 4.8 Definicja 5.0.16. def. 4.9 Twierdzenie 5.0.17. tw. 4.10 Wniosek 5.0.18. wn. 4.11 Definicja 5.0.19. Określmy dla ϕ R Stwierdzenie 5.0.20. (wzór Eulera) e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. e iπ + 1 = 0. Przykład 5.0.21. Notacja zespolona pozwala na łatwy zapis przekształceń geometrycznych płaszczyzny: 1. z z jest symetrią osiową względem osi rzeczywistej, 2. z e iϕ z, gdzie ϕ R, jest obrotem o kąt ϕ dookoła 0, 3. z z + b, gdzie b C jest translacją o wektor b, 4. z kz, gdzie k R, k 0, jest jednokładnością o środku 0 i skali k. Stwierdzenie 5.0.22. 1. Funkcja liniowa C z az + b C, gdzie a, b C, a 0, jest złożeniem obrotu, jednokładności i translacji. 2. Funkcja antyliniowa C z az + b C, gdzie a, b C, a 0, jest złożeniem symetrii osiowej, obrotu, jednokładności i translacji. 6 Macierze 6.1 Działania na macierzach Definicja 6.1.1. def. 11.1 uwaga 1 po def. 11.1 Definicja 6.1.2. def. 11.3 Definicja 6.1.3. def. 11.4 uwaga 2 po def 11.4 Stwierdzenie 6.1.4. 11.9 Definicja 6.1.5. def. 11.12 3

Wniosek 6.1.6. wn. 11.14 Definicja 6.1.7. def. 11.17 Stwierdzenie 6.1.8. stw. 11.18 Wniosek 6.1.9. wn. 11.19 Definicja 6.1.10. def. 11.20 Stwierdzenie 6.1.11. stw. 11.21 Wniosek 6.1.12. wn. 11.22 6.2 Wyznacznik Niech dla n N S n oznacza zbiór wszystkich permutacji (tzn. bijekcji) zbioru n elementowego {1,..., n}. Definicja 6.2.1. def. 12.1 Definicja 6.2.2. def. 12.2 Przykład 6.2.3. przykł. 12.3 Stwierdzenie 6.2.4. stw. 12.4 Stwierdzenie 6.2.5. stw. 12.5 Stwierdzenie 6.2.6. stw. 12.6 Twierdzenie 6.2.7. (Laplace a) Niech A = [a ij ] M nn (F ), zaś dla i, j = 1,..., n symbol A ij oznacza macierz (n 1) (n 1) powstałą z macierzy A przez skreślenie w niej i tego wiersza oraz j tej kolumny. Wówczas dla dowolnego i = 1,..., n zachodzi równość det A = ( 1) i+j a ij det A ij. j=1 Określając dla k = 1,..., n funkcje t k : {1,..., n} \ {k} {1,..., n 1} wzorami { l gdy l < k t k (l) = l 1 gdy l > k [ ] możemy precyzyjnie określić macierz A ij jako. a t 1 i (p),t 1 (q) j 1 p,q n 1 Do dowodu twierdzenia Laplace a potrzebujemy dwóch lematów Lemat 6.2.8. Jeżeli σ S n jest taką permutacją, że σ(i) = j dla pewnych i, j {1,..., n}, to liczba inwersji w ciągu liczb σ = (σ(1),..., σ(i 1), σ(i + 1),..., σ(n)) ma tę samą parzystość co liczba #inv σ (i + j). Dowód: Jeżeli wśród pierwszych i 1 wyrazów ciągu σ jest dokładnie m 0 liczb większych niż j, to jest wśród nich i 1 m liczb mniejszych niż j. Zatem wśród liczb σ(i + 1),..., σ(n) liczb mniejszych niż j jest dokładnie j 1 (i 1 m) = j i + m. Tym samym w permutacji σ liczba j tworzy j i + 2m = i + j + 2(m i) inwersji, więc liczba inwersji w ciągu σ różni się od liczby #inv σ o liczbę i + j oraz pewną liczbę parzystą. 4

Lemat 6.2.9. Dla ustalonych i, j = 1,..., n funkcja C ij przypisująca dowolnej permutacji σ ze zbioru Z ij = {σ S n ; σ(i) = j} funkcję jest bijekcją zbioru Z ij na zbiór S n 1. t j σ {1,...,n}\{i} t 1 i Dowód: Z definicji funkcji t i, t j i zbioru Z ij wynika, że złożenie jest dobrze określone, a funkcja C ij (σ), działająca ze zbioru {1,..., n 1} w ten sam zbiór, jest bijekcją jako złożenie trzech bijekcji. Zatem C ij (σ) S n 1. Aby wykazać różnowartościowość C ij weźmy takie σ, τ Z ij, że C ij (σ) = C ij (τ). Wówczas składając obie strony lewostronnie z t 1 j i prawostronnie z t i otrzymujemy równość permutacji σ i τ na zbiorze {1,..., n} \ {i}. To zaś wraz z warunkiem σ(i) = j = τ(i) daje σ = τ. Aby wykazać surjektywność C ij weźmy dowolną permutację η S n 1 i połóżmy { ( ) t 1 η ij (m) = j η t i (m) dla m {1,..., n} \ {i} j dla m = i Funkcja η ij S n, bo jako złożenie bijekcji jest bijekcją; z jej definicji wynika także η ij Z ij. Wreszcie C ij (η ij ) = t j ( t 1 ) j η t i t 1 i = η. Dowód twierdzenia Laplace a (12.7): Ustalmy i {1,..., n}. Z lematu 12.8 wynika, że dla dowolnego j {1,..., n} i dowolnej permutacji σ Z ij spełniony jest warunek ( 1) i+j sgn (C ij (σ)) = sgn σ. Stąd, z definicji wyznacznika i lematu 12.9 otrzymujemy det A = sgn σ a 1σ(1)... a nσ(n) σ S n n = a ij sgn σ a kσ(k) j=1 σ Z ij k=1,k i n = ( 1) i+j a ij sgn (C ij (σ)) j=1 σ Z ij n = ( 1) i+j a ij sgn η j=1 η S n 1 n 1 = ( 1) i+j a ij sgn η j=1 η S n 1 p=1 n 1 = ( 1) i+j a ij sgn η j=1 η S n 1 p=1 = ( 1) i+j a ij det A ij j=1 k=1,k i a t 1 i a t 1 i k=1,k i a kσ(k) a k,(c 1 ij (η))(k) (p),(t 1 j (p),t 1 (η(p)) j η t i))(t 1 i (p)) 5

Wniosek 6.2.10. wn. 12.10 Definicja 6.2.11. defin. 12.11 Wniosek 6.2.12. wn. 12.12 Stwierdzenie 6.2.13. Dla A M nn (F ) oraz k, l = 1,..., n, k l spełniony jest warunek det (s kl (A)) = det A. Dowód: Dla ustalenia uwagi przyjmijmy k < l i niech s kl (A) = B = [b ij ] M nn (F ). Wówczas dla dowolnego j = 1,..., n mamy b ij = a ij dla i / {k, l}, b kj = a lj, b lj = a kj. Jeżeli l = k + 1, to stosując rozwinięcie Laplace a det B względem (k + 1) szego wiersza otrzymujemy det B = ( 1) k+1+j det B k+1,j = j=1 = ( 1) k+1+j det A k,j j=1 ( 1) k+j det A kj = det A, j=1 gdzie ostatnia równość wynika z rozwinięcia Laplace a det A względem k tego wiersza. Zatem zamiana dwóch sąsiednich wierszy zmienia znak wyznacznika. Z drugiej strony zamiana wiersza k tego z l tym wymaga (k l) zamian sąsiednich, aby przeprowadzić wiersz l ty na miejsce k-te, oraz (k l 1) zamian sąsiednich, aby przeprowadzić stary wiersz k ty (znajdujący się teraz na miejscu (k + 1) szym) na miejsce l te. Stąd Wniosek 6.2.14. wn. 12.14 Wniosek 6.2.15. wn. 12.15 det(s kl (A)) = ( 1) 2(k l) 1 det A = det A. Stwierdzenie 6.2.16. Jeżeli A M nn oraz B M mm, to 1. 2. [ A θ det X B dla dowolnej macierzy X M mn. [ Y A det B θ dla dowolnej macierzy Y M nm. ] = det A det B ] = ( 1) mn det A det B 6

[ Dowód: ] Macierz D = [d ij ] M m+n,m+n dana w postaci blokowej D = A θ ma wyrazy X B a ij dla 1 i, j n b d ij = i n,j n dla n + 1 i, j m + n 0 dla 1 i n, n + 1 j m + n x i n,j dla n + 1 i m + n, 1 j n 1. Indukcja względem n. Dla n = 1 wzór wynika z rozwinięcia Laplace a względem pierwszego wiersza. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla pewnego stopnia k N macierzy A. Przypuśćmy teraz, że A M k+1,k+1 i rozwińmy wyznacznik macierzy D względem pierwszego wiersza i skorzystajmy z założenia indukcyjnego k+1+m det D = ( 1) 1+j d 1j det D 1j = j=1 k+1 = k+1 [ ( 1) 1+j A1j θ a 1j det B j=1 ( 1) 1+j a 1j det A 1j det B = det A det B j=1 X j ] (X j oznacza tu macierz X, w której skreślono j tą kolumnę). [ ] Y A 2. Wystarczy przestawić w macierzy pierwszych n wierszy z zachowaniem kolejności na koniec (potrzeba na to po m zamian na każdy B θ wiersz), skorzystać z pierwszej części stwierdzenia i ze stw. 12.13. Twierdzenie 6.2.17. tw. 12.17 Wniosek 6.2.18. wn. 12.18 Stwierdzenie 6.2.19. stw. 12.19 6.3 Rząd macierzy Stwierdzenie 6.3.1. stw. 12.20 Definicja 6.3.2. def. 12.21 Wniosek 6.3.3. wn. 12.22 Stwierdzenie 6.3.4. stw. 12.23 Wniosek 6.3.5. wn. 12.24 Stwierdzenie 6.3.6. stw. 12.15 7

6.4 Układy równań liniowych Definicja 6.4.1. def. 13.1 Definicja 6.4.2. def. 13.2 Definicja 6.4.3. def. 13.3 Przykład 6.4.4. przykł. 13.4 Definicja 6.4.5. def. 13.5 Stwierdzenie 6.4.6. stw. 13.6 Stwierdzenie 6.4.7. stw. 13.7 Definicja 6.4.8. def. 13.8 Twierdzenie 6.4.9. tw. 13.9 Twierdzenie 6.4.10. tw. 13.11 Uwaga 6.4.11. uwaga 2 po tw. 13.11 Stwierdzenie 6.4.12. stw. 13.12 Definicja 6.4.13. def. 13.13 Wniosek 6.4.14. wn. 13.14 Stwierdzenie 6.4.15. stw. 13.15 Twierdzenie 6.4.16. tw. 13.16 Wniosek 6.4.17. wn. 13.17 7 Przestrzenie i przekształcenia afiniczne 7.1 Przestrzeń afiniczna Definicja 7.1.1. def. 14.1 Stwierdzenie 7.1.2. stw. 14.2 Przykład 7.1.3. przykł. 14.3 Definicja 7.1.4. def. 14.4 Stwierdzenie 7.1.5. stw. 14.5 Definicja 7.1.6. def. 14.6 Przykład 7.1.7. przykł. 14.7 Definicja 7.1.8. def. 14.9 Stwierdzenie 7.1.9. stw. 14.10 Przykład 7.1.10. przykł. 14.12 8

Definicja 7.1.11. def. 14.14 Przykład 7.1.12. przykł. 14.15 Załóżmy teraz, że przestrzeń afiniczna (E, V, ) jest rzeczywista tzn, że V jest przestrzenia liniową nad ciałem R. Definicja 7.1.13. def. 16.1 Stwierdzenie 7.1.14. stw. 16.2 Definicja 7.1.15. def. 16.3 Przykład 7.1.16. przykł. 16.4 Twierdzenie 7.1.17. tw. 16.5 Definicja 7.1.18. def. 16.9 Definicja 7.1.19. def. 16.10 Definicja 7.1.20. def. 16.11 Przykład 7.1.21. przykł. 16.12 7.2 Podprzestrzenie afiniczne Definicja 7.2.1. def. 15.1 Stwierdzenie 7.2.2. stw. 15.2 Stwierdzenie 7.2.3. stw. 15.3 Definicja 7.2.4. def. 15.4 Definicja 7.2.5. def. 15.5 Przykład 7.2.6. przykł. 15.6 Stwierdzenie 7.2.7. stw. 15.7 Definicja 7.2.8. def. 15.9 Stwierdzenie 7.2.9. stw. 15.10 Stwierdzenie 7.2.10. stw. 15.11 7.3 Przekształcenia afiniczne Załóżmy, że V, V są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F, zaś (E, V, ) oraz (E, V, ) przestrzeniami afinicznymi Definicja 7.3.1. def. 17.1 Przykład 7.3.2. przykł. 17.2 Stwierdzenie 7.3.3. stw. 17.3 Stwierdzenie 7.3.4. stw. 17.4 9

Wniosek 7.3.5. wn. 17.5 Wniosek 7.3.6. wn. 17.6 Definicja 7.3.7. def. 17.7 Stwierdzenie 7.3.8. stw. 17.8 Stwierdzenie 7.3.9. stw. 17.9 Definicja 7.3.10. def. 17.10 Twierdzenie 7.3.11. def. 17.11 8 Geometria iloczynu skalarnego 8.1 Norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 8.1.1. def. 19.1 Przykład 8.1.2. przykł. 19.2 Twierdzenie 8.1.3. tw. 19.3 Stwierdzenie 8.1.4. stw. 19.4 Stwierdzenie 8.1.5. stw. 19.5 Stwierdzenie 8.1.6. stw. 19.6 Definicja 8.1.7. def. 19.7 Stwierdzenie 8.1.8. stw. 19.9 Wniosek 8.1.9. wn. 19.10 Wniosek 8.1.10. wn. 19.11 Definicja 8.1.11. Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń afiniczną, której przestrzeń liniową jest skończonego wymiaru i określony w niej jest iloczyn skalarnym. W przestrzeni euklidesowej E odległością (lub metryką) nazywamy funkcję przypisującą dwóm punktom p, q E liczbę rzeczywistą pq = pq. Stwierdzenie 8.1.12. stw. 19.13 Przykład 8.1.13. przykł. 19.14 Stwierdzenie 8.1.14. stw. 19.15 Definicja 8.1.15. def. 19.16 10

8.2 Wyznacznik Grama i objętość Definicja 8.2.1. Dla danych wektorów v 1,..., v k z przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym.,. macierz G(v 1,..., v k ) = [ v i, v j ] 1 i,j k nazywamy macierzą Grama wektorów v 1,..., v k, zaś jej wyznacznik det G(v 1,..., v k ) wyznacznikiem Grama tychże wektorów. Przykład 8.2.2. 1. det G(v 1 ) = v 1 2 2. det G(v 1, v 2 ) = v 1 2 v 2 2 v 1, v 2 2 = v 1 2 v 2 2 (1 cos 2 (v 1, v 2 )) = ( v 1 v 2 sin (v 1, v 2 )) 2 Stwierdzenie 8.2.3. W przestrzeni R n ze standardowym iloczynem skalarny dla v 1,..., v n R n zachodzi związek det G(v 1,..., v n ) = det v 1. v n 2 Dowód; Stwierdzenie 8.2.4. W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym.,. dla v 1,..., v k spełnione są warunki: 1. det G(v 1,..., v k ) 0, 2. det G(v 1,..., v k ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy układ (v 1,..., v k ) jest liniowo zależny. Dowód: Stwierdzenie 8.2.5. W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym.,. dla v 1,..., v k spełnione są warunki: 1. 2. σ Sk det G(v σ(1),..., v σ(k) ) = det G(v 1,..., v k ) a R det G(av 1, v 2,..., v k ) = a 2 det G(v 1,..., v k ) 3. a2,...,a k R k det G v 1 + a j v j, v 2,..., v k = det G(v 1,..., v k ) j=2 Dowód: 11

Stwierdzenie 8.2.6. W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym.,. dla v 1,..., v k spełnione są warunki: 1. det G(v 1,..., v k ) v 1 2... v k 2, 2. przy założeniu v 1,..., v k θ równość det G(v 1,..., v k ) = v 1 2... v k 2 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy układ (v 1,..., v k ) jest ortogonalny. Dowód: Definicja 8.2.6 1 4 def. 18.11 Stwierdzenie 8.2.6 1 2 Dla dowolnej podprzestrzeni afinicznej H przestrzeni euklidesowej E i dowolnego punktu p E jego rzut ortogonalny π H (p) jest jedynym punktem przestrzeni E odległym od H o d(p, H). Stwierdzenie 8.2.6 3 4 stw. 18.12 Stwierdzenie 8.2.7. Jeżeli (p; v 1,..., v k ) jest układem współrzędnych w podprzestrzeni afinicznej H przestrzeni euklidesowej E, to odległość punktu q E od podprzestrzeni H wyraża się wzorem det G (v 1,..., v k, pq) d(q, H) = det G(v 1,..., v k ) Dowód: Definicja 8.2.8. Ścianą l wymiarową sympleksu k wymiarowego conv (p 0,..., p k ), gdzie 0 l k, nazywamy każdy sympleks postaci conv (p i0,..., p il ), gdzie (i 0,..., i l ) jest podciągiem ciągu (0,..., k). Definicja 8.2.9. Kompleksem symplicjalnym w przestrzeni afinicznej E nazywamy taki skończony układ sympleksów (S 1,..., S m ) z tej przestrzeni, że dla dowolnych i, j = 1,..., m zbiór S i S j jest pusty lub jest wspólną ścianą sympleksów S i oraz S j. Pozdbiór przestrzeni E, który dla pewnego k N {0} można przedstawić jako sumę sympleksów pewnego kompleksu symplicjalnego zawierającego tylko sympleksy k wymiarowe, nazywamy k wymiarowym wielościanem. Podział wielościanu na sumę sympleksów pewnego kompleksu symplicjalnego nazywamy triangulacją. Wielościan dwuwymiarowy zawarty w płaszczyźnie nazywamy wielokątem. 1. Każdy zbiór skończony jest 0 wymiarowym wielościa- Przykład 8.2.10. nem. 2. Sumę sympleksów kompleksu zawierającego tylko sympleksy co najwyżej jednowymiarowe nazywamy grafem skończonym. Twierdzenie 8.2.11. Dla dowolnego k N pryzma k wymiarowa jest k wymiarowym wielościanem. Pewna triangulacja pryzmy Q(conv (p 0,..., p k 1 ), v) składa się z k sympleksów, z których każdy rozpięty jest na k wektorach postaci ε 1p0 p 1 +... + ε k 1 p 0 p k 1 + εv, gdzie ε 1,..., ε k 1, ε { 1, 0.1}. 12

Dowód: Moszyńska, Święcicka, Geometria z algebrą liniową. Twierdzenie 8.2.12. Dla dowolnego k N równoległościan k wymiarowy jest k wymiarowym wielościanem. Pewna triangulacja równoległościanu P(p 0 ; v 1,..., v k ) składa się z k! sympleksów, z których każdy rozpięty jest na k wektorach postaci gdzie ε 1,..., ε k { 1, 0.1}. ε 1 v 1 +... + ε k v k, Dowód: Moszyńska, Święcicka, Geometria z algebrą liniową. Definicja 8.2.13. Niech k N. Objętością k wymiarową (lub miarą k wymiarową) układu punktów (p 0,..., p k ) z przestrzeni afinicznej E z iloczynem skalarnym.,. nazywamy liczbę vol (p 0,..., p k ) = 1 det G ( p 0 p 1,..., p 0 p k ). k! Jeżeli wielościan k wymiarowy P ma triangulację postaci ( ( )) i = conv p (i) 0,..., p(i) k 1 i m i sympleksy tej triangulacji są parami różne, to k wymiarową objętością wielościanu P nazywamy liczbę vol k (P) = m i=1 ( ) vol k p (i) 0,..., p(i) k. Zamiast vol 2 piszemy czasem P, zamiast vol 3 V, a vol 1 jest zwykłą odległością punktów... Można udowodnić, że definicja objętości wielościanu nie zależy od wyboru jego triangulacji. Niech odtąd E będzie przestrzenią afiniczną o przestrzeni nośnej V, w której określony jest iloczyn skalarny.,.. Stwierdzenie 8.2.14. Dla dowolnego k 2 i dowolnego układu punktów (p 0,..., p k ) z przestrzeni E zachodzi równość vol k (p 0,..., p k ) = 1 k d(p k, H) vol k 1 (p 0,..., p k 1 ), gdzie H = af (p 0,..., p k 1 ). Dowód: Przykład 8.2.15. 1. Pole trójkąta: P ( ABC) = vol 2 (A, B, C) = 1 2 vol 1(A, B) d(c, AB) = 1 2 AB h C 13

2. Objętość czworościanu: V (conv (A, B, C, D)) =vol 3 (A, B, C, D) = 1 3 vol 2(A, B, C) d(d, ABC) = 1 3 P ( ABC)h D Stwierdzenie 8.2.16. (objętość sympleksu, pryzmy i równoległościanu) Niech (p 0,..., p k ) będzie układem punktów z przestrzeni E w położeniu ogólnym, v i = p 0 p i dla i = 1,..., k oraz v V \ lin (v 1,..., v k 1 ). Wówczas 1. vol k (conv (p 0,..., p k )) = 1 k! det G(v1,..., v k ), 2. vol k (Q(conv (p 0,..., p k 1 ), v)) = 1 (k 1)! det G(v1,..., v k 1, v), 3. vol k (P(p 0 ; v 1,..., v k )) = det G(v 1,..., v k ). Dowód: 8.3 Orientacja i iloczyn wektorowy Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową skończonego wymiaru. Stwierdzenie 8.3.1. W zbiorze B wszystkich baz przestrzeni V określamy relację jako posiadanie macierzy przejścia o dodatnim wyznaczniku Wówczas (inaczej B C det M CB > 0). 1. jest relacją równoważności w zbiorze B, 2. ma dwie klasy abstrakcji. Dowód: 1. Zwrotność relacji wynika z faktu, że macierzą przejścia od bazy do tej samej bazy jest macierz jednostkowa o wyznaczniku 1 > 0. Aby wykazać symetrię załóżmy, że B C, co oznacza, że det M CB > 0. Wówczas z twierdzenia Cauchy ego otrzymujemy, że czyli C B. det M BC = det (M CB ) 1 = 1 det M CB > 0, Przechodniość wynika z wniosku 11.16 i twierdzenia Cauchy ego; jeżeli B C i C D, to skąd B D. det M DB = det (M DC M CB ) = det M DC det M CB > 0, 14

2. Niech B = (v 1,..., v n 1, v n ) B. Wówczas bazą przestrzeni V jest także D = (v 1,..., v n 1, v n ). Niech C B. Macierz przejścia od bazy do bazy jest nieosobliwa, więc det M CB > 0 albo det M CB < 0. W pierwszym przypadku C B. Rozważając przypadek drugi zauważmy najpierw, że licząc wyznacznik macierzy diagonalnej dostajemy det M DB = 1 0... 0 0 0 1... 0 0....... 0 0... 1 0 0 0... 0 1 = 1. Zatem ponowne zastosowanie twierdzenia Cauchy ego pociąga za sobą det M CD = det (M CB M BD ) = det M CB det M BD = det M CB > 0, czyli C D. Tym samym B, D B wyznaczają jedyne dwie klasy abstrakcji relacji. Definicja 8.3.2. W rzeczywistej przestrzeni liniowej V skończonego wymiaru każdą z klas abstrakcji relacji wiążacej bazy o macierzy przejścia, która ma dodatni wyznacznik, nazywamy orientacją przestrzeni V. Mówimy, że dwie bazy należące do tej samej orientacji są zgodnie zorientowane, a bazy należące do różnych orientacji przeciwnie zorientowane. Przestrzeń z wybraną orientacją nazywamy przestrzenią zorientowaną, a bazę należącą do wybranej orientacji w tej przestrzeni bazą dodatnio zorientowaną. Stwierdzenie 8.3.3. Niech (v 1,..., v n ) będzie bazą przestrzeni liniowej V. Wtedy 1. a R (v 1,..., v n ) (v 1,..., av n ) a > 0, 2. σ Sn (v 1,..., v n ) (v σ(1),..., v σ(n) ) sgn σ = 1. Dowód: Wystarczy zastosować odpowiednie operacje elementarne do macierzy jednostkowej, która jest macierzą przejścia od danej bazy do niej samej. Niech odtąd V oznacza zorientowaną przestrzeń euklidesową liniową. Stwierdzenie 8.3.4. Niech dany będzie liniowo niezależny układ wektorów (v 1,..., v n 1 ) w n wymiarowej zorientowanej przestrzeni euklidesowej liniowej V. Istnieje dokładnie jeden wektor v V taki, że (VP1) v lin (v 1,..., v n 1 ) (VP2) v = det G(v 1,..., v n 1 ) (VP3) baza (v 1,..., v n 1, v) jest dodatnio zorientowana 15

Dowód: Uzupełnijmy liniowo niezależny układ wektorów (v 1,..., v n 1 ) wektorem u do bazy przestrzeni V. Oznaczmy przez w rzut ortogonalny wektora w na podprzestrzeń lin (v 1,..., v n 1 ). Wówczas w θ oraz w lin (v 1,..., v n 1 ). Połóżmy det G(v1,..., v n 1 ) v = w. w Mamy niezmiennie w lin (v 1,..., v n 1 ) oraz v = det G(v 1,..., v n 1 ), czyli wektor v spełnia warunki (VP1) i (VP2). Jeżeli baza (v 1,..., v n 1, v) jest dodatnio zorientowana, to wektor v spełnia rónież warunek (VP3). W przeciwnym wypadku warunek ten spełnia wektor v (stw. 21.4(2)) czyniąc cały czas zadość pozostałym warunkom. Przypuśćmy, że wektor v spełnia warunki (VP1) (VP3). Wówczas na mocy (VP1) wraz z wektorem v należy do jednowymiarowej podprzestrzeni (lin (v 1,..., v n 1 )) (bo układ (v 1,..., v n 1 ) jest liniowo niezależny, a dim V = n). Istnieje więc liczba a taka, że v = av. Warunek (VP2) implikuje a = 1, jednak zgodnie ze stw. 21.4(2) a = 1 powodowałoby zaprzeczenie warunku (VP3). Stąd v = v. Definicja 8.3.5. Niech v 1,..., v n 1 będą wektorami n wymiarowej zorientowanej przestrzeni euklidesowej liniowej V. Wektor v V określony jako: θ, gdy układ (v 1,..., v n 1 ) jest liniowo zależny, jedyny wektor spełniający warunki (VP1) (VP3), gdy układ (v 1,..., v n 1 ) jest liniowo niezależny, nazywamy iloczynem wektorowym wektorów v 1,..., v n 1 i zapisujemy v 1... v n 1. Stwierdzenie 8.3.6. Iloczyn wektorowy w zorientowanej n wymiarowej przestrzeni euklidesowej liniowej V jest 1. skośnie symetryczny, tzn. dla dowolnych v 1,..., v n 1 V oraz permutacji σ S n 1 spełniony jest warunek v σ(1)... v σ(n 1) = sgn σ v 1... v n 1 2. (n 1) liniowy, tzn. dla dowolnych k = 1,..., n 1, v 1,..., v n 1, v k V oraz a, a R spełniony jest warunek v 1... v k 1 (av k + a v k) v k+1... v n 1 = a v 1... v k 1 v k v k+1... v n 1 + a v 1... v k 1 v k v k+1... v n 1 Dowód: Fakty te wynikają z definicji iloczynu skalarnego uzyskujemy wtedy warunek (VP1), stw. 20.6 (VP2) i stw. 21.4 (VP3). Wniosek 8.3.7. W przestrzeni liniowej R n ze standardowym iloczynem skalarnym i orientacją daną przez bazę kanoniczną iloczyn wektorowy wyraża się wzorem v 1... v n 1 = ( ( 1) 1+n det A 1,..., ( 1) n+n det A n ), 16

gdzie macierz A M n 1,n ma jako kolejne wiersze współrzędne wektorów v 1,..., v n 1, a dla każdego j = 1,..., n macierz A j powstaje z A przez skreślenie j tej kolumny. Dowód: Oznaczmy przez a j = ( 1) j+n det A j, j = 1,..., n i niech w = (a 1,..., a n ). Jeżeli wektory v 1,..., v n 1 są liniowo zależne, to r A < n 1, więc każdy z minorów stopnia n 1 macierzy A (a takimi są det A j, j = 1,..., n) jest równy 0, skąd v 1... v n 1 = θ = w. Załóżmy teraz, że v 1,..., v n 1 są liniowo niezależne. Wówczas r A = n 1 i w θ. Pokażemy, że wektor w spełnia (VP1) (VP3), czyli jest iloczynem wektorowym danych wektorów. Zauważmy, że rozwinięcie Laplace a wzgledem ostatniego wiersza daje dla dowolnego u = (u 1,..., u n ) R n równość w, u = a j u j = j=1 ( 1) n+j u j det A j = det j=1 v 1. v n 1 u Zatem w, v l = 0, l = 1,..., n 1, do wówczas wyznacznik w (1) ma taki sam wiersz l ty i n ty. Zatem w spełnia warunek (VP1). Biorąc w (1) u = w dostajemy w 2 = det v 1. v n 1 w (1), (2) skąd natychmiast wynika (VP3). Ponadto uwzględniając wzór (2), stwierdzenie 20.3 i (VP1) uzyskujemy w 4 = det v 1. v n 1 w 2 = det G(v 1,..., v n 1, w) = det G(v 1,..., v n 1 ) w 2, co wraz z niezerowością wektora w pozwala na wywnioskowanie warunku (VP2). 9 Formy dwuliniowe i kwadratowe 9.1 Postać kanoniczna Załóżmy, że V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem F charakterystyki różnej od 2. 17

Definicja 9.1.1. Funkcjonałem dwuliniowym (lub formą dwuliniową) na przestrzeni liniowej V nad ciałem F nazywamy funkcję f : V V F spełniającą warunki (BF1) u,v,w V a,b F f(au + bv, w) = af(u, w) + bf(v, w) (BF2) u,v,w V a,b F f(u, av + bw) = af(u, v) + bf(u, w) Zbiór wszystkich funkcjonałów dwuliniowych na przestrzeni V oznaczamy przez L(V 2 ; F). Stwierdzenie 9.1.2. Każdy funkcjonał dwuliniowy jest jednoznacznie określony przez swoje wartości na bazie przestrzeni. Dokładniej, jeżeli (e 1,..., e n ) jest bazą przestrzeni liniowej V, to dla mamy x = c i e i, y = i=1 f(x, y) = gdzie a ij = f(e i, e j ) dla i, j = 1,..., n. d j e j V j=1 a ij c i d j, i,j=1 Dowód: wynika bezpośrednio z definicji. Stwierdzenie 9.1.3. Jeżeli (e 1,..., e n ) jest bazą przestrzeni liniowej V F, zaś A = [a ij ] M nn (F), to istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy f na V taki, że f(e i, e j ) = a ij. Definicja 9.1.4. Załóżmy, że E = (e 1,..., e n ) jest bazą przestrzeni liniowej V F i niech f będzie funkcjonałem dwuliniowym na V. Macierz M E (f) = [f(e i, e j )] 1 i,j n nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego f w bazie E. Stwierdzenie 9.1.5. Jeżeli A jest macierzą funkcjonału dwuliniowego f L(V 2 ; F) w bazie E, a C jest macierzą przejścia od bazy E do bazy B, to M B (f) = C T AC. Dowód: Niech E = (e 1,..., e n ) oraz B = (v 1,..., v n ) będą bazami przestrzeni V, f L(V 2 ; F ). Niech M E (f) = A = [a ij ] zaś C = [c ij ] niech będzie macierza przejścia od bazy E do bazy B. Wówczas f(e i, e j ) = a ij, skąd ( n ) ( n ) f(v i, v j ) = f c ki e k, c lj e l = c ki c lj a kl = c ika kl c lj, k=1 l=1 k=1 l=1 l=1 k=1 gdzie [c ik ] = CT. Zatem [f(v i, v j )] = C T AC. Definicja 9.1.6. Mówimy, że funkcjonał dwuliniowy f L(V 2 ; F) jest symetryczny, gdy F (v, u) = f(u, v). u,v V 18

Stwierdzenie 9.1.7. 1. Jeżeli funkcjonał liniowy jest symetryczny, to jego macierz w dowolnej bazie jest symetryczna. 2. Jeżeli w pewnej bazie funkcjonał dwuliniowy ma macierz symetryczną, to ten funkcjonał jest symetryczny. Dowód: 1. oczywiste. 2. wynika ze stw. 23.5 i własności transpozycji (stw. 11.8). Jeżeli macierz A = M E (f) jest symetryczna, czyli A T = A, to dla dowolnej macierzy przejścia C od bazy E do innej bazy przestrzeni V mamy ( C T AC ) T = C T A T C = C T AC, a więc symetryczność macierzy funkcjonału dwuliniowego f w nowej bazie. Definicja 9.1.8. Niech f L(V 2 ; F ). Funkcję F : V F daną wzorem F (x) = f(x, x) dla x V nazywamy formą kwadratową generowaną przez funkcjonał dwuliniowy f. Stwierdzenie 9.1.9. Dla dowolnej formy kwadratowej F na przestrzeni V F istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy symetryczny na V generujacy formę F. Dowód: Załóżmy, że F jest formą kwadratową na V generowaną przez pewien funkcjonał dwuliniowy g L(V 2 ; F). Kładąc f(x, y) = 1 (F (x + y) F (x) F (y)) 2 można łatwo zauważyć, że f(x, y) = g(x, y), czyli f jest funkcjonałem dwuliniowym generującym formę kwadratową F. Jeżeli f jest symetryczny, to jest poszukiwanym funkcjonałem. Jeżeli f nie jest symetryczny, to funkcja f 1 : V V F dana wzorem f 1 (x, y) = 1 (f(x, y) + f(y, x)) 2 jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym oraz f 1 (x, x) = f(x, x) = F (x) dla x V. Przypuścmy, że k jest dwuliniowym funkcjonałem symetrycznym takim, że k(x, x) = F (x) dla x V. Wówczas f 1 (x, y) = 1 (F (x + y) F (x) F (y)) = k(x, y) dla x, y V, 2 czyli k = f 1. Iloczyn skalarny jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym (i dodatkowo dodatnio określonym). Jego formą kwadratową jest kwadrat normy. 19

Definicja 9.1.10. Macierzą formy kwadratowej w pewnej bazie nazywamy macierz generującego ją funkcjonału dwuliniowego symetrycznego w tej bazie. Mówimy, że forma kwadratowa F jest w postaci kanonicznej w bazie E, gdy macierz formy F w bazie E jest diagonalna. Taką bazę nazywamy bazą kanoniczną formy F. Jeżeli E = (e 1,..., e n ) jest bazą kanoniczną formy F, to istnieją λ 1,..., λ n F takie, że F (x) = λ i x 2 i dla x = x i e i. i=1 Twierdzenie 9.1.11. (Lagrange a) Dla dowolnej formy kwadratowej F określonej na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem F charakterystyki różnej od 2 istnieje taka baza przestrzeni V, w której forma F ma postać kanoniczną. i=1 Dowód: Gleichgewicht, Algebra. Przykład 9.1.12. Twierdzenie 9.1.13. (Jacobiego) Jeżeli forma kwadratowa F określona na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem F charakterystyki różnej od 2 ma w pewnej bazie macierz A = [a ij ] 1 i,j n taką, że k = det[a ij ] 1 i,j k 0 dla k = 1,..., n, to istnieje baza E = (e 1,..., e n ) przestrzeni V, w której forma F ma postać kanoniczną k 1 F (x) = x 2 k dla x = x k e k. k k=1 przy dodatkowej umowie 0 = 1. Dowód: Jefimow, Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową. 9.2 Formy rzeczywiste Definicja 9.2.1. Forma kwadratowa F jest w postaci normalnej, gdy jest w postaci kanonicznej i wszystkie jej współczynniki należą do zbioru { 1, 0, 1}. Stwierdzenie 9.2.2. Każdą formę kwadratową określoną na rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru można przedstawić w postaci normalnej. Dowód: Niech F będzie formą kwadratową na rzeczywistej przestrzeni liniwej V wymiaru n. Z twierdzenia Lagrange a (23.11) wynika, że istnieje baza (e 1,..., e n ), w której forma F ma postać kanoniczną F (x) = λ i x 2 i. i=1 k=1 20

Niech I = {i ; λ i = 0} oraz dla i = 1,..., n { ei dla i I e i = 1 e i dla i {1,..., n} \ I λi Wówczas baza (e 1,..., e n) jest nadal bazą kanoniczną dla formy F oraz dla i {1,..., n} \ I F (e i) = λ i 1 λ i = ±1. Twierdzenie 9.2.3. (Sylvestera o bezwładności) Niech F będzie formą kwadratową określoną na rzeczywistej przestrzeni liniowej V skończonego wymiaru. Jeżeli E i B są dwiema bazami kanonicznymi formy F, to forma F ma w bazie E i w bazie B tę samą liczbę współczynników dodatnich. Dowód: Ze stwierdzenia 23.14 i jego dowodu wynika, że formę kwadratową na rzeczywistej przestrzeni wymiaru n można sprowadzić z postaci kanonicznej do postaci normalnej nie zmieniając liczby współczynników dodatnich, ujemnych ani zerowych. Niech forma F ma w bazie E = (e 1,..., e n ) postać normalną czyli F (x) = x 2 1 +... + x 2 p x 2 p+1... x 2 p+q dla x = 1 dla i = 1,..., p λ i = 1 dla i = p + 1,..., p + q 0 dla i = p + q + 1,..., n x i e i, i analogicznie forma F ma w bazie B = (v 1,..., v n ) postać normalną F (y) = y 2 1 +... + y 2 s y 2 s+1... y 2 s+t dla y = i=1 y i v i. Przypuśćmy, że p > s. Wówczas podprzestrzenie V = lin (e 1,..., e p ) oraz V = lin (v s+1,..., v n ) mają wymiary odpowiednio p oraz n s > n p, których suma wynosi p+n s > n = dim V. Zatem istnieje niezerowy wektor w V V (stw. 8.17). Można go więc zapisać w postaci x 1 e 1 +... + x p e p = w = y s+1 v s+1 +... + y n s n przy czym jeden ze współczynników x i jest niezerowy. Zatem stosując do wektora w obie postacie normalne otrzymujemy i=1 0 < x 2 1 +... + x 2 p = F (w) = y 2 s+1... y 2 n 0. Otrzymana sprzeczość dowodzi, że p s. Analogicznie pokazujemy, że s p, czyli ostatecznie p = s. Wniosek 9.2.4. Formą kwadratową na rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru ma w dowolnej postaci kanonicznej tę samą liczbę współczynników ujemnych. 21

Definicja 9.2.5. Mówimy, że forma kwadratowa F określoną na rzeczywistej przestrzeni liniowej V wymiaru n ma sygnaturę (r, s), gdzie r + s n, gdy w pewnej swojej bazie kanonicznej ma dokładnie r współczynników dodatnich i dokładnie s współczynników ujemnych. Definicja 9.2.6. Mówimy, że forma kwadratowa F określona na rzeczywistej przestrzeni liniowej V jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) określona, gdy ( x V \{θ} F (x) > 0 odpowiednio x V \{θ} F (x) > 0 ). Stwierdzenie 9.2.7. Forma kwadratowa F określoną na rzeczywistej przestrzeni liniowej V wymiaru n jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) określona wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnej bazie przestrzeni V forma F ma macierz A = [a ij ] 1 i,j n spełniającą warunki: (odpowiednio k = det[a ij ] 1 i,j k > 0 dla k = 1,..., n ( 1) k k = ( 1) k det[a ij ] 1 i,j k > 0 dla k = 1,..., n ) Dowód: Przeprowadzimy rozumowanie dla formy ujemnie określonej. Załóżmy, że forma kwadratowa F jest określona na przestrzeni V wymiaru n. ) Jeżeli F jest ujemnie określona, to na mocy twierdzenia Lagrange a (23.11) istnieje baza E = (e 1,..., e n ), w której forma F ma postać kanoniczną F (x) = λ 1 x 2 1 +... + λ n x 2 n Po podstawieniu wektorów bazy E otrzymujemy, że λ i < 0 dla i = 1,..., n. Minory główne diagonalnej macierzy formy F w bazie E są równe k = λ 1... λ k, co wraz z ujemnością wszystkich λ i daje k = 1,..., n ( 1) k k = ( 1) 2k λ 1... λ k > 0. ) Załóżmy, że minory główne k są w pewnej bazie B na przemian ujemne i dodatnie. Spełnione są więc założenia twierdzenia Jacobiego (23.12), więc istnieje baza E, w której forma kwadratowa F ma postać kanoniczną F (x) = k=1 k 1 k x 2 k. Wszystkie współczynniki λ k = k 1 k = ( 1)k 1 k 1 ( 1) k k mamy F (v) < 0. są ujemne, więc dla v θ Uwaga 9.2.8. Iloczyn skalarny można określić w przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad dowolnym ciałem żądając, aby był to funkcjonał dwuliniowy, symetryczny i niezdegenerowany, to znaczy np. żeby jego macierz była nieosobliwa. Innym sposobem sposobem uogólnienia iloczynu skalarnego na przestrzenie zespolone jest określenie iloczynu hermitowskiego: liniowego ze względu na pierwszą zmienną, z częściową symetrią daną przez warunek g(v, u) = g(u, v) i dodatnią określonością analogiczną do tej w przestrzeni rzeczywistej (bo g(v, v) = g(v, v) R). 22

10 Endomorfizmy przestrzeni skończonego wymiaru 10.1 Wektory i wartości własne Załóżmy, że V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem F, zaś ϕ endomorfizmem przestrzeni V, tzn. przekształceniem liniowym V V. Definicja 10.1.1. Podprzestrzeń liniową U przestrzeni liniowej V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą endomorfizmu ϕ (lub krótko podprzestrzenią ϕ niezmienniczą), gdy ϕ(u) U. Przykład 10.1.2. 1. Podprzestrzeń trywialna {θ} jest niezmiennicza względem dowolnego endomorfizmu. 2. Dla dowolnego endomorfizmu ϕ : V V przestrzeń V jest ϕ niezmiennicza. 3. Każda podprzestrzeń liniowa U przestrzeni liniowej V jest id V niezmiennicza oraz Θ niezmiennicza. Definicja 10.1.3. Jeżeli wektor v V \{θ} oraz skalar λ F spełniają warunek (E) ϕ(v) = λv, to λ nazywamy wartością własną endomorfizmu ϕ, a v wektorem własnym tego endomorfizmu. Dla danej wartości własnej λ endomorfizmu ϕ zbiór E λ = {v V : ϕ(v) = λv} nazywamy podprzestrzenią własną dla wartości własnej λ. Przykład 10.1.4. 1. Dla ϕ = id V podprzestrzeń własna E 1 = V. 2. Dla ϕ = id V podprzestrzeń własna E 1 = V. 3. Jeżeli λ 1, λ 2 są różnymi wartościami własnymi endomorfizmu ϕ, to E λ1 E λ2 = {θ}. Stwierdzenie 10.1.5. Niech B będzie bazą pzestrzeni liniowej V, a A macierzą endomorfizmu ϕ w tej bazie (czyli A = M BB (ϕ)). Wówczas λ jest wartością własną endomorfizmu ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy det(a λi) = 0. Dowód: ) Załóżmy, że λ jest wartością własną endomorizmu ϕ. Istnieje wówczas niezerowy wektor v V taki, że ϕ(v) = λv. Współrzędne wektora v w bazie B tworzą niezerowy wektor C B (v) F n. Stąd oraz z własności macierzy przekształcenia liniowego i współrzędnych wektora w bazie (wn. 11.8) wynika, że λi C B (v) = λc B (v) = C B (λv) = C B (ϕ(v)) = M BB (ϕ)c B (v) = AC B (v). Zatem układ równań (A λi)x = θ ma niezerowe rozwiązanie, co w połączeniu z tw. Cramera (13.9) daje det(a λi) = 0. 23

) Załóżmy, że det(a λi) = 0 dla pewnego λ F. Wówczas jednorodny układ równań (A λi)x = θ ma na mocy tw. Cramera niezerowe rozwiązanie (bo ma więcej niż jedno rozwiązanie). Niech będzie nim wektor w = (a 1,..., a n ) F n \ {θ}. Połóżmy v = a 1 v 1 +... + a n v n, gdzie (v 1,..., v n ) = B. Wówczas C B (v) = w i analogicznie jak w części wtedy otrzymujemy, że C B (ϕ(v)) = C B (λv), czyli ϕ(v) = λv. Stwierdzenie 10.1.6. Niech B i C będą bazami przestrzeni liniowej V, A macierzą endomorfizmu ϕ : V V w bazie B, zaś D macierzą ϕ w bazie C. Wówczas dla dowolnego x F prawdziwa jest równość det(a xi) = det(d xi). Dowód: Niech E będzie macierzą przejścia od bazy B o bazy C. Wówczas E jest macierzą nieosobliwą i D = EAE 1, skąd na mocy własności działań na macierzach (stw. 11.9) oraz twierdzenia Cauchy ego (12.17) otrzymujemy det(d xi) = det(eae 1 xi) = det(eae 1 EE 1 xi) = det ( EAE 1 E xi E 1) = det ( E(A xi)e 1) = det E det(a xi) det ( E 1) = det(a xi). Definicja 10.1.7. Niech A będzie macierzą endomorfizmu ϕ : V V w pewnej bazie przestrzeni liniowej V. Wielomian x det(a xi) nazywamy wielomianem charakterystycznym endomorfizmu ϕ. Uwaga 10.1.8. Stosując rozwninięcie Laplace a dla det(a xi) można pokazać indukcyjnie, że wyznacznik ten jest wielomianem stopnia n = dim V o współczynniku przy x n równym ( 1) n. Stwierdzenie 24.6 gwarantuje niezależność wielomianu charterystycznego endomorfizmu od wyboru bazy przestrzeni. Przykład 10.1.9. 1. Wielomianem charakterystycznym tożsamości na przestrzeni n wymiarowej jest (1 x) n. 2. Wielomianem charakterystycznym przekształcenia zerowego na przestrzeni n wymiarowej jest ( 1) n x n. 3. Wielomianem charakterystycznym [ obrotu] w R 2 o kąt α, czyli przekształcenia danego macierzą, jest x cos α sin α sin α cos α 2 2x cos α + 1. Stwierdzenie 10.1.10. Endomorfizm ϕ przestrzeni n wymiarowej posiada n liniowo niezależnych wektorów własnych wtedy i tylko wtedy, gdy macierz endomorfizmu ϕ w pewnej bazie jest diagonalna. Dowód: Niech dim V = n i niech ϕ będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V. Jeżeli B = (v 1,..., v n ) jest liniowo niezależnym układem wektorów własnych endomorfizmu ϕ, przy czym wartość własna wektora v i wynosi λ i, i = 1,... n, to macierz M BB (ϕ) = [λ i δ ij ] jest diagonalna. 24

Na odwrót, jeżeli B = (v 1,..., v n ) jest bazą, w której macierz A = [a ij ] = M BB (ϕ) jest diagonalna, to dla dowolnego j = 1,..., n mamy ϕ(v j ) = a ij v i = a jj v j, i=1 czyli każdy z wektorów bazy B jest wektorem własnym endomorfizmu ϕ. Stwierdzenie 10.1.11. Każdy endomorfizm zespolonej przestrzeni liniowej dodatniego wymiaru posiada jednowymiarową podprzestrzeń niezmienniczą (inaczej: posiada wektor własny). Dowód: Wielomian charakterystyczny endomorfizmu ϕ przestrzeni liniowej V C wymiaru n N ma stopień n > 0 i zespolone współczynniki. Z zasadniczego twierzenia algebry (tw. 4.12) wynika, że istnieje pierwiastek λ C tego wielomianu. Stwierdzenie 24.5 gwarantuje istnienie wektora własnego v endomorfizmu ϕ o wartości własnej λ. Z jednorodności ϕ wynika, że przestrzeń lin (v) jest ϕ niezmiennicza. Stwierdzenie 10.1.12. Każdy endomorfizm rzeczywistej przestrzeni liniowej dodatniego wymiaru posiada jednowymiarową lub dwuwymiarową podprzestrzeń niezmienniczą Dowód: Wniosek 10.1.13. Każdy endomorfizm rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego nieparzystego wymiaru posiada wektor własny. Przykład 10.1.14. 1. W przestrzeni R 2 obrót o kąt α kπ nie ma wektora własnego, bo wielomian charakterystyczny x 2 2x cos α + 1 nie ma pierwiastków rzeczywistych. [ ] cos α sin α 2. Endomorfizm przestrzeni C 2 dany macierzą (taką samą sin α cos α ja obrót o α w R 2 ) ma wartości własne cos α±i sin α, którym odpowiadają wektory własne (1, i). 10.2 Diagonalizacja i postać Jordana Stwierdzenie 10.2.1. Jeżeli λ 1,..., λ k F są parami różnymi wartościami własnymi endomorfizmu ϕ przestrzeni V, zaś v 1,..., v k V odpowiadającymi im wektorami własnymi, to układ (v 1,..., v k ) jest liniowo niezależny. Dowód: Wniosek 10.2.2. Jeżeli endomorfizm ϕ n wymiarowej przestrzeni liniowej posiada n różnych wartości własnych, to w pewnej bazie tej przestrzeni ma macierz diagonalną. Dowód: 25

[ ] 1 0 Przykład 10.2.3. Macierz A = ma wielomian charakterystyczny 1 1 (1 x) 2, więc jej jedyną wartością własną jest 1. Jednak warunek Av = v spełniają tylko wektory postaci (a, 0), z których nie można utworzyć bazy przestrzeni R 2 (ani C 2 ). Definicja 10.2.4. Załóżmy, że endomorfizm ϕ n wymiarowej przestrzeni liniowej V ma wartość własną λ F o krotności m n. Niech A będzie macierzą endomorfizmu ϕ w pewnej bazie B. Określmy dla każdego j = 0, 1,... podprzestrzeń liniową Vj λ = {v V ; (A λi) j C B (v) = θ} oraz liczbę całkowitą p j+1 = dim Vj+1 λ dim Vj λ. Istnieje wówczas j 0 takie, że p i0 > 0 oraz p j = 0 dla j > j 0. Podprzestrzeń Vm λ nazywamy podprzestrzenią pierwiastkową endomorfizmu ϕ odpowiadającą wartości własnej λ, a ciąg (p 1,..., p j0 ) rozkładem charakterystycznym krotności m wartości własnej λ. Stwierdzenie 10.2.5. Niech ϕ będzie endomorfizmem n wymiarowej zespolonej przestrzeni liniowej V. Niech λ 1,..., λ r C będą wszystkimi różnymi wartościami własnymi endomorfizmu ϕ o krotnościach odpowiednio m 1,..., m r (zatem m 1 +... + m r = n). Wtedy V = V λ1 m 1... V λr m r (czyli przestrzeń V jest sumą prostą swoich przestrzeni pierwiastkowych). Definicja 10.2.6. Klatką Jordana stopnia k N nazywamy macierz λ 0 0... 0 0 1 λ 0... 0 0 J k (λ) = 0 1 λ... 0 0........ M kk (F ) 0 0 0... λ 0 0 0 0... 1 λ Macierzą Jordana nazywamy macierz, która wzdłuż głównej przekątnej ma umieszczone klatki Jordana, a poza tym klatkami same zera. Twierdzenie 10.2.7. (Jordana) Dowolny endomorfizm skończenie wymiarowej zespolonej przestrzeni liniowej ma w pewnej bazie macierz Jordana. Rozkład na klatki Jordana jest jednoznaczny z dokładnością do ich kolejności. Dokładniej, jeżeli λ C jest wartością własną o krotności m endomorfizmu ϕ : V V, (p 1,..., p j0 ) jest rozkładem charakterystycznym tej krotności, to macierz endomorfizmu ϕ V λ m ma w pewnej bazie postać Jordana, przy czym dla k = 1,..., j 0 macierz ta zawiera dokładnie p k p k+1 klatek J k (λ). Dowód: J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Definicja 10.2.8. Śladem macierzy kwadratowej A = [a ij ] M nn (F ) nazywamy skalar tr A = i=1 a ii 26

Stwierdzenie 10.2.9. Jeżeli D i E są macierzami endomorfizmu ϕ odpowiednio w bazach D i E, to det D = det E, tr D = tr E Dowód: Ze stw. 3.5.6 wynika, że E = CDC 1, gdzie C = M DE. Z tw. Cauchy ego mamy zatem det E = det C det D (det C) 1 = det D. Zauważmy teraz, że ślad iloczynu dwóch macierzy nie zależy od kolejności czynników. Istotnie, jeżeli A = [a ij ], B = [b kl ] M nn, to Zatem tr (AB) = i=1 j=1 a ij b ji = k=1 l=1 b kl a lk = tr (BA). tr E = tr ( CDC 1) = tr ( DC 1 C ) = tr D. Wniosek 10.2.10. Wyznacznik macierzy endomorfizmu przestrzeni zespolonej jest iloczynem wszystkich wartości własnych tego endomorfizmu licząc z krotnościami, a ślad macierzy endomorfizmu sumą wszystkich wartości własnych tego endomorfizmu licząc z krotnościami Przykład 10.2.11. Rozważmy endomorfizm przestrzeni C 6 dany macierzą 1 1 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 A = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 która, jak łatwo widać ma sześciokrotną wartość własną 1. Kolejne potęgi macierzy A I są równe: (A I) 0 = I, 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 A I = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0, (A I) 2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, (A I) 3 = θ. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tym samym j 0 = 3, a rozkładem charakterystycznym krotności 6 dla wartości własnej 1 jest (3, 2, 1). Oznacza to, że macierz Jordana endomorfizmu ϕ zawiera po jednej klatce J 1 (1), J 2 (1), J 3 (1), jest więc równa 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 27

Definicja 10.2.12. Uogólnioną klatką Jordana nazywamy macierz A 0 0... 0 0 I A 0... 0 0 J 2k (α, β) = 0 I A... 0 0........ M 2k,2k (R) 0 0 0... A 0 0 0 0... I A gdzie α, β R oraz [ A = α β β α ] [ 1 0, I = 0 1 ] Wniosek 10.2.13. (uogólniony rozkład Jordana w przestrzeni rzeczywistej) Jeżeli ϕ jest endomorfizmem skończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej V, to istnieje baza tej przestrzeni, w której endomorfizm ϕ ma macierz będącą w uogólnionej postaci Jordana. Oznacza to, że wzdłuż przekątnej umieszczone są klatki Jordana lub uogólnione klatki Jordana, a poza nimi w macierzy są same zera. 11 Grupy przekształceń i geometrie nieeuklidesowe 11.1 Grupy i działania grup na przestrzeniach Definicja 11.1.1. Grupą nazywamy parę uporządkowaną (G, ), gdzie G jest zbiorem niepustym oraz : G G G, spełniającą warunki: (G1) a,b,c G (a b) c = a (b c) (G2) e G a G a e = e a = a (G3) a G a 1 G a a 1 = a 1 a = e Definicja 11.1.2. Podgrupą grupy (G, ) nazywamy niepusty podzbiór H G spełniający warunek (SG) a,b H a b 1 H Przykład 11.1.3. 1. (R n, +) jest grupą, a Z n jest jej podgrupą. 2. (GL(n, F), ) jest grupą, a SL(n, F) = {A M nn (F) ; det A = 1} jest jej podgrupą. Definicja 11.1.4. Niech (G, ) i (H, ) będą grupami, a ϕ funkcją działającą z G w H. Mówimy, że ϕ jest homomorfizmem (grup), jeżeli spełnia warunek (H) a,b G ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) Izomorfizmem (grup) nazywamy homomorfizm, który jest jednocześnie bijekcją. Mówimy, że grupy (G, ) i (H, ) są izomorficzne i piszemy (G, ) = (H, ), gdy istnieje izomorfizm grupy (G, ) na grupę (H, ). 28

Przykład 11.1.5. 1. Tożsamość id G jest izomorfizmem grupy (G, ). 2. Funkcja G a e H H jest homomorfizmem grupy (G, ) w grupę (H, ). 3. Grupy (R, +) i (R +, ) są izomorficzne poprzez dowolną funcję wykładniczą x a x, gdzie a > 0 i a 1. 4. Bijekcje ustalonego niepustego zbioru X stanowią grupę z działaniem składania funkcji. 5. Izomorfizmy liniowe ustalonej przestrzeni liniowej na siebie tworzą grupę z działaniem składania. Definicja 11.1.6. Mówimy, że grupa (G, ) działa na zbiorze X i piszemy G X, gdy istnieje homomorfizm grupy G w grupę bijekcji zbioru X. Innymi słowy, jeżeli każdemu elementowi g G przypisujemy bijekcję ψ(g) : X X, to spełniony jest warunek g,g G x X ψ(g g )(x) = ψ(g) (ψ(g )(x)) Zamiast ψ(g)(x) piszemy często po prostu gx. Możemy mówić o działaniu grupy G na zbiorze X poprzez homeomorfzimy, izometrie, dyfeomorfizmy, przekształcenia liniowe itd., o ile w zbiorze X określona jest odpowiednio struktura topologiczna, metryczna, różniczkowa, liniowa itd., a elmentom grupy G przypisane są odpowiednio homeomorfzimy, izometrie, dyfeomorfizmy, przekształcenia liniowe itd. Przykład 11.1.7. 1. Grupa GL(n, F) działa na przestrzeni F n w taki sposób, że macierzy nieosobliwej A odpowiada izomorfizm, dla którego A jest macierzą w bazie kanonicznej tzn. ψ(a)(x) = Ax. 2. Grupa (V, +) działa na przestrzeni afinicznej (E, V, ) za pomocą translacji, tzn. ψ(v) = T v. 3. Grupa S 1 = {z C ; z = 1} (z działaniem mnożenia liczb zespolonych) działa na płaszczyźnie zespolonej C za pomocą obrotów, tzn. ψ(z) jest dla z S 1 obrotem dookoła 0 o kąt arg z. Definicja 11.1.8. Załóżmy, że grupa G działa na zbiorze X. Orbitą punktu x X nazywamy zbiór G x = {gx ; g G} X. Stabilizatorem punktu x X nazywamy zbiór Stab (x) = {g G ; gx = x} G. Definicja 11.1.9. Mówimy, że działanie grupy G na zbiorze X jest 1. przechodnie, gdy dla każdych x, x X istnieje takie g G, że gx = x. 2. wolne, jeżeli z faktu, że dla pewnego x X zachodzi gx = x wynika, że g = e. 29

3. efektywne (lub wierne), gdy homomorfizm ψ jest różnowartościowy. Przykład 11.1.10. 1. Przy działaniu S 1 na C: G 0 = {0} oraz G z = {w C ; w = z } dla z 0, zaś Stab (0) = S 1 oraz Stab (z) = {1} dla z 0. Działanie to nie jest więc ani przechodnie, ani wolne, ale jest wierne. 2. działanie (V, +) na przestrzeni afinicznej (E, V, ) jest wolne, przechodnie i efektywne. Definicja 11.1.11. Niech homomorfizm ψ określa jak grupa (H, ) działa na grupę (G, ). Zbiór G H z działaniem określonym wzorem (g, h)(g, h ) = (g (ψ(h)(g )), h h ) dla (g, h), (g, h ) G H nazywamy iloczynem półprostym grup G oraz H i oznaczamy przez G H. 11.2 Izometrie przestrzeni euklidesowej Definicja 11.2.1. Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi z iloczynem skalarnym, zaś ϕ : V W przekształceniem liniowym. Odwzorowanie ϕ nazywamy przekształceniem ortogonalnym, gdy zachowuje iloczyn skalarny, to znaczy gdy (OM) v1,v 2 V ϕ(v 1 ), ϕ(v 2 ) = v 1, v 2 (po lewej stronie równości stosujemy iloczyn skalarny w przestrzeni W, a po prawej w przestrzeni V ). Stwierdzenie 11.2.2. Przekształcenia ortogonalne ustalonej przestrzeni euklidesowej liniowej w siebie, z działaniem składania, stanowią grupę. Dowód: Niech (V,.,. ) będzie przestrzenią euklidesową liniową. Zauważmy, że każde przekształcenie ortogonalne ϕ : V V jest różnowartościowe. Na mocy stw. 9.13 wystarczy pokazać, że jadro przekształcenia ϕ jest trywialne. Z faktu ϕ(v) = θ wynika na mocy definicji przekształcenia ortogonalnego, że ϕ(v), ϕ(v) = 0 = v, v, co wraz z (IP3) daje v = θ. Różnowartościowość przekształcenia ortogonalnego V V zgodnie ze stw. 9.15 gwarantuje, że przekształcenie to jest izomorfizmem. Wystarczy zatem pokazać, że przekształcenia ortogonalne przestrzeni V stanowią podgrupę jej izomorfizmów. Biorąc przekształcenia ortogonalne ϕ oraz ψ przestrzeni V w nią samą otrzymujemy z definicji dla v 1, v 2 V : ψ ϕ(v 1 ), ψ ϕ(v 2 ) = ϕ(v 1 ), ϕ(v 2 ) = v 1, v 2, co wraz ze stw. 9.6(2) daje ortogonalność przekształcenia ψ ϕ. Ponadto ze stw. 9.6(3) wynika, że ϕ 1 jest izomorfizmem, a definicja przekształcenia ortogonalnego pociąga za sobą dla v 1, v 2 V równość ϕ 1 (v 1 ), ϕ 1 (v 2 ) = ϕ ϕ 1 (v 1 ), ϕ ϕ 1 (v 2 ) = v 1, v 2, co oznacza ortogonalność przekształcenia ϕ 1. Przykład 11.2.3. 1. Tożsamość jest przekształceniem ortogonalnym dowolnej przestrzeni z iloczynem skalarnym na siebie. 30

2. Symetria środkowa v v jest przekształceniem ortogonalnym dowolnej przestrzeni z iloczynem skalarnym na siebie. 3. Sprzężenie z z jest przekształceniem ortogonalnym przestrzeni C R ze standardowym iloczynem skalarnym na siebie. Definicja 11.2.4. Macierz A M nn (R) nazywamy macierzą ortogonalną stopnia n, gdy AA T = I. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych stopnia n oznaczamy przez O(n), a pozbiór zawierający te spośród nich, które mają wyznacznik 1 przez SO(n). Stwierdzenie 11.2.5. Zbiór O(n) z działaniem mnożenia macierzowego stanowi grupę, której podgrupą jest SO(n). Dowód: Z definicji, tw. Cauchy ego (12.17) i ze stw. 12.4 wynika, że macierz ortogonalna ma wyznacznik równy ±1. Wystarczy więc pokazać, że O(n) jest podgrupą ogólnej grupy liniowej GL(n, R). Dla A, B O(n) spełniony jest warunek AA T = I = BB T, co wraz ze własnościami transpozycji (stw. 11.18(3)) daje (AB)(AB) T = (AB) ( B T A T ) = A ( BB T ) A T = AA T = I, czyli ortogonalność macierzy AB. Dla dowodu ortogonalności macierzy A 1, gdzie A O(n), wystarczy zauważyć, że A 1 = A T i A T A = A 1 A = AA 1 = AA T = I, skąd natychmiast (stw. 11.8(4)) wynika, że A 1 ( A 1) T = A T ( A T ) T = A T A = I. SO(n) jest podgrupą O(n) na mocy tw. Cauchy ego. [ ] a b Przykład 11.2.6. Macierz A = jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, c d gdy spełnione są warunki a 2 + b 2 = 1 ac + bd = 0 c 2 + d 2 = 1 Z pierwszego i trzeciego z nich otrzymujemy istnienie takich α oraz β, że a = cos α, b = sin α, c = sin β, d = cos β, a wówczas z drugiego sin(β α) = 0. Wystarczy rozważyć przypadki β = α lub β = π + α i obliczyć wyznaczniki, aby zauważyć, że {[ ] } cos α sin α SO(2) = ; α [0, 2π) sin α cos α oraz {[ O(2) = SO(2) cos α sin α ] sin α cos α } ; α [0, 2π) Stwierdzenie 11.2.7. A jest macierzą przekształcenia ortogonalnego przestrzeni R n ze standardowym iloczynem skalarnym w siebie (w bazie kanonicznej) wtedy i tylko wtedy, gdy A O(n). 31