Rys.2 N = H (N cos = N) : (1) H y = q x2. y = q x2 2 H : (3) Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z (3) przy

Podobne dokumenty
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Ukªady równa«liniowych

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

1 Trochoidalny selektor elektronów

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0, S 2 0,4 0,2 0 0, Ceny x

VI OIG, Etap II konkurs dru»ynowy. 10 III 2012 Dost pna pami : 32 MB.

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

Stereometria. Zimowe Powtórki Maturalne. 22 lutego 2016 r.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Metody dowodzenia twierdze«

1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

2 Statyka. F sin α + R B = 1 1 n ( 1. Rys. 1. mg 2

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

r = x x2 2 + x2 3.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Czas pracy 170 minut

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M z kodem. egzaminu.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

WOJEWÓDZKI KONKURS FIZYCZNY

Proste modele o zªo»onej dynamice

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema

Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

Realizacja poszczególnych zadań wariant minimalny

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Świat fizyki powtórzenie

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Opis matematyczny ukªadów liniowych

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Zadanie 1. Zadanie 2. Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e ,

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

LABORATORIUM STEROWANIE SILNIKA KROKOWEGO

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Lab. 02: Algorytm Schrage

PRZEDSIĘBIORSTWO ENERGETYKI CIEPLNEJ I GOSPODARKI WODNO-ŚCIEKOWEJ Sp. z o.o.

Wyznaczanie statycznego i kinetycznego współczynnika tarcia przy pomocy równi pochyłej

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Ekstremalnie fajne równania

Funkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

D 2 d 2. d = D 2 g = ; 6 = 24; 8 mm 2 ; (1) = 223; 69 mm 2 = 2; m 2 : (2)

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Czy zdążyłbyś w czasie, w jakim potrzebuje światło słoneczne, aby dotrzeć do Saturna, oglądnąć polski hit kinowy: Nad życie Anny Pluteckiej-Mesjasz?

Transkrypt:

XXXV OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody III stopnia Rozwi zania zada«dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi zanie zadania Tzw. maªy zwis, a wi c cos. W zwi zku z tym mo»na przyj,»e Rys. N H (N cos N) : () Równanie równowagi wzgl dem punktu D ma posta (rys.) H y q x ; () y q x H : () Linia tzw. maªego zwisu jest parabol. Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z () przy x l, y f, a wi c: H q l 8 f : (4)

Dªugo± kabla w temperaturze t jest zgodnie ze wzorem podanym w tre±ci zadania, równa: s l B @ + 8 f l C A : (5) Gdy temperatura ulegnie zmianie z t na t, dªugo± kabla ulegnie zmianie wskutek rozszerzalno±ci liniowej i zmiany naci gu z H na H. Dªugo± kabla w temperaturze t b dzie wi c równa: przy czym: s s + t t t l + H H H q l 8 f ; H q l 8 f ; s l A E l ; (6) B @ + 8 f l C A : (7) Wstawiaj c dane liczbowe otrzymujemy: s 8 B @ + 8 f 8 C A 8 + ; f m, t t t s 8 @ + 8 ; 8 A 8; m, l ; 5 [ ( )] 8 ; 84 m. H q l 8 4 N, 8 f 8 f f H q l 8 f 8 8 ; 4 N.

H H A E l @4 4 A 8 f 5 6 9 ; 64 ; 64 m. f Wstawiaj c do równania (6) te wyliczone warto±ci, mamy: 8; 8 + ; f + ; 84 + ; 64 ; 64 f ; f + ; 946 f ; 79 : Po rozwi zaniu: f ; 645 m 64; 5 mm. Zwis kabla w temperaturze t C powinien by równy f ; 645 m 64; 5 mm, aby w temperaturze t + C nie byª wi kszy od f ; m mm. Rozwi zanie zadania Rysunek przedstawia przekrój ukªadu w pªaszczy¹nie z w ze schematycznie wrysowanymi poªo»eniami kul dla przypadku kuli pojedynczej (jej ±rodek w punkcie O) i dla przypadku trzech kul (jedna z nich zaznaczona, o ±rodku w punkcie O ). Widoczny na górnym rysunku trójk t prostok tny ABO ma nast puj ce boki: AO R r ; BO h ; AB R r p p ; i st d: (R r) h + R r p p ; () gdzie h { jak to wynika z dolnego rysunku { stanowi / wysoko±ci trójk ta równobocznego o boku r i st d wynosi: h p r. Z równania () promie«sfery wynosi: R p p + 4 r + r : p p

Rysunek Warto± nominalna promienia R nom R nom (4 4) + 4 (4 4) + 44; mm. Niedokªadno± pomiaru R R max R min W celu ustalenia warto±ci R max i R min nale»y okre±li które wymiary zwi kszaj, a które zmniejszaj promie«r. Mo»na to wykona na dwa sposoby.. Wykorzystanie znaku pochodnej cz stkowej @ @R r @p Ar; p p (4 4) ; 8 > ; p @ @R @p Ar; p r p p (4 4) ; 8 < ; 4

! @R @r p ; p 4 r + p p 4 (4 4) + 7; 7 > : Z powy»szego wynika,»e f r; p ; p jest rosn c funkcj p i r oraz malej c funkcj p.. Wykorzystanie tabeli badania funkcji R f r; p ; p wstawiaj c do niej kolejno warto±ci wi ksze od nominalnych. p 4; 5 p > p nom R 44; 44 R > R nom funkcja rosn ca p 4; 5 p > p nom R 44; 54 R < R nom funkcja malej ca r ; r > r nom R 44; 4 R > R nom funkcja rosn ca Z powy»szej analizy wynika,»e: p min p max R max + 4 r max + r max p p min max (4; 995 4; 5) + 4 (4; 995 4; 5) + 44; 496 ; p max p min R min + 4 r min + r max p p max min (4; 5 9; 995) + 4 9; 99 (4; 5 9; 995) + 9; 99 44; 96 : st d: R R max R min 44; 496 44; 96 ; 4 : 5

Odchyªki promienia r R max R nom 44; 496 44; +; 6 ; r R min R nom 44; 96 44; ; 7 : Odpowied¹ R 44; + ; 6 ; 7 lub R 44 + ; 496 + ; 96 Rozwi zanie zadania Ad. Z warunków podanych w tre±ci zadania wynika,»e reakcja na podporze A równa jest. Jedynymi siªami w ukªadzie s rozªo»ony ci»ar belki oraz siªa ci»aru i bezwªadno±ci masy m dziaªaj ca w obu cz ±ciach liny. (rysunek obok) Równanie momentów wzgl dem punktu B: q m dtj g ; () P m (g + a) : () q l q l + P l : () z równania () i (): P m dtj g 4 l l l ; (4) nast pnie z równa«() i (4): m dtj a 4 4 l m l l 5 g ; (5) 6

a " # 5; 94 4 4 9; 8 ; m/s Ad. Moc silnika wynosi: N P v : (6) Poniewa» masa porusza si z przyspieszeniem ÿa" jego pr dko± na wysoko±ci ÿh" wynosi: v p a h ; (7) a maksymalna niezb dna moc wyniesie: N m (a + g) p a h ; (8) p N (; + 9; 8) ; 5 W. Ad. W tym wypadku belka jest obci»ona jej rozªo»onym ci»arem oraz siª ci»aru masy m w obu cz ±ciach liny. Moment siª na podporze B wynosi: M B q l + P ; (9) gdzie: P m max g ; () warunek wytrzymaªo±ci na zginanie: Z trzech ostatnich zale»no±ci oraz z () wynika,»e: M B < k g W x : () m dtj g l + m max g < k g W x ; m max < k g W x g m dtj l 4 ; () 7

m max < 5 6 9; 6 5; 94 9; 8 4 kg. Odpowied¹. maksymalne przyspieszenie wynosi ; m/s.. minimalna moc wynosi 5 W.. maksymalna masa wynosi kg. 8

Przykªadowe rozwi zanie problemu technicznego (schemat) Tok rozumowania oraz schemat rozwi zania jest pokazywany na wykresie (czas lotu) { (odlegªo± od miejsca startu). Nachylenie linii na tym wykresie jest miar szybko±ci samolotów. O d le g ło ś ć o d lo tn is k a ½ zasięgu samolotu Ad. Pojedynczy samolot startuj c z peªnymi zbiornikami mo»e dolecie na odlegªo± 45 km (poªowa zasi gu). Czas lotu Ad. Aby zwi kszy odlegªo± od lotniska nale»y wysªa dwa samoloty. Po pewnym czasie jeden z samolotów () ÿoddaje" cz ± swojego paliwo pierwszemu samolotowi (), tankuj c go do peªna. Samolot () wraca do bazy. Samolot () z peªnymi zbiornikami paliwa leci dalej 45 km i wraca. W odpowiednim momencie z bazy startuje kolejny samolot () i leci na spotkanie pierwszego. W momencie spotkania samolot () ma puste zbiorniki, i musi otrzyma paliwo od (), aby móc wróci do bazy. Jak ªatwo policzy samoloty () i () musz dokona operacji tankowania po przeleceniu / zasi gu. Równie» samolot () musi wystartowa w takim momencie, aby spotka si z samolotem () w odlegªo±ci / zasi gu od bazy. O d le g ło ś ć o d lo tn is k a / z asięgu samolotu Start samolotu i Samolot przepompowuje / paliw a do samolotu Samolot przepompowuje / paliw a do samolotu Start samolotu Czas lotu Przyjmuj c opisany wy»ej schemat post powania przebieg misji w uj ciu gracznym mo»e wygl da jak na rysunku: 9

5 5 5 km O d le g ło ś ć o d lo tn is k a k m 4 k m 6 km B E k m km A C D k m F k m,,, 4 5 6, 7 8 Nume ry sta rt uj ących samolotów Czas lotu Opis misji:. W chwili rozpocz cia misji startuj cztery samoloty:,,, 4;. Po pokonaniu / zasi gu pojedynczego samolotu km nast puje tankowanie: dwa samolotu oddaj cz ± paliwa pozostaªym dwóm (operacja A), dwa samoloty wracaj do bazy;. Samoloty i z peªnymi zbiornikami lec dalej do punktu odlegªego 6 km od bazy, w którym nast puje operacja tankowania B { zbiorniki paliwa samolotu s uzupeªniane do peªna, samolot rozpoczyna lot powrotny; 4. W czasie trwania operacji tankowania B z bazy startuje samolot 5, którego celem jest dostarczenie paliwa wracaj cemu samolotowi { operacja tankowania C; 5. Samolot (gªówny samolot misji) po operacji tankowania B ma peªne zbiorniki paliwa, a wi c mo»e przelecie 9km. Do celu ma 4km. Po wykonaniu zadania (pojawieniu si nad terytorium pa«stwa ÿy") rozpoczyna lot powrotny { mo»e przelecie jeszcze 5km;

6. Paliwo dla samolotu jest dostarczane przez samoloty 6 i 7 startuj ce w takim momencie, aby po tankowaniu D samolot 6 spotkaª si z samolotem w odlegªo±ci 4 km od bazy { operacja tankowania E; 7. Poniewa» samolot 6 w punkcie D ma peªne zbiorniki paliwa, a do spotkania z ma tylko km, wobec tego od tankowania E do kolejnego tankowania samoloty i 6 mog przelecie jeszcze 5 km ( + 5 9 km, zasi g samolotu na peªnym zbiorniku); 8. W odlegªo±ci 5 km od bazy samolotom i 6 zabrakªoby paliwa, wobec tego w odpowiednim momencie startuje samolot 8, który w czasie operacji tankowania F uzupeªnia brakuj ce paliwo obu samolotom. Samolot w towarzystwie 6 i 8 wraca do bazy. Punkty czasowe (na podstawie analizy wykresu, odlegªo±ci oraz szybko±ci lotu):. Samolot 5 startuje w czasie operacji tankowania B, która ma miejsce po pokonaniu 6 km, czyli po czasie 68 7,5 godz.. W punkcie E samolot b dzie po pokonaniu 5 km, czyli po 8 godz. i 45 min. Do tego punktu samolot 6 ma 5 km, co zajmie mu 6 godz. i 5 min. Samoloty 6 i 7 musz wystartowa po czasie 8; 75 6; 5 ; 5 godz., czyli godz. i min od pocz tku operacji.. Analogicznie: w punkcie F, pokonaniu 85 km samolot (oraz 6) b dzie po czasie godz. i 7,5 min (,5 godz.). Samolot z paliwem 8 ma do pokonania 5 km, co zajmie im godz. i 5,5 min. Samolot 8 musi wystartowa po czasie godz. i 5 min od pocz tku operacji. 4. Caªkowity czas operacji to 5 godz. Przy zaªo»eniu,»e samolot musi przej± krótka obsªug po ka»dym locie, nale»y dysponowa 8 samolotami. Gdyby samoloty mogªy startowa od razu, po bardzo krótkim tankowaniu, wystarczyªoby tylko 5 samolotów (piaty samolot musi startowa dokªadnie w chwili l dowania i 4, zamiast 6 i 7 mo»na u»y i 4, a zamiast 8 { lub 5). Ilo± paliwa Samolot tankuje: 9 km8 km/h l/h 5 l paliwa. W misji jest 8 startów samolotów z peªnymi zbiornikami. Zabieraj wi c 9 l paliwa. Jednak»e samoloty, 6 i 8 (ostatni etap misji) nie zu»ywaj caªego paliwa. W odniesieniu do jednego samolotu ostatnia faza liczy 5+5 6km, na co potrzeba / zbiornika paliwa. Caªkowite zapotrzebowania na paliwo wynosi 9 5 86 5 l paliwa.