Równania i układy równań liniowych i nieliniowych. Artur Wymysłowski, prof. PWr.

Podobne dokumenty
Równania i układy równań liniowych i nieliniowych. Artur Wymysłowski, prof. PWr.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

1 Równania nieliniowe

Układy równań i równania wyższych rzędów

Metody numeryczne Wykład 4

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

Metody numeryczne Wykład 7

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Bardzo łatwa lista powtórkowa

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Wstęp do analizy matematycznej

Lista nr 1 - Liczby zespolone

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój

Obliczenia iteracyjne

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

x y

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

Układy równań liniowych

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Matematyka stosowana i metody numeryczne

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

KADD Minimalizacja funkcji

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

dr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

Własności wyznacznika

1. Liczby zespolone i

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Elementy metod numerycznych

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Transkrypt:

Równania i układy równań liniowych i nieliniowych Artur Wymysłowski, prof. PWr.

Plan wykładu Przypomnienie ostatniego wykładu (różniczkowanie i całkowanie numeryczne + zastosowania) Układy i systemy liniowe i nieliniowe Równania definicje opis przykłady Układy równań definicje opis przykłady

Poprzedni wykład Różniczkowanie: wyznaczanie i porównanie wybranych parametrów zmiennych / obiektów, np. v, a, itp. szacowanie błędów rozwiązywanie równań wyznaczanie przybliżonej wartości funkcji Całkowanie: wyznaczanie i porównanie wybranych parametrów zmiennych / obiektów, np. E, itp. suma dla zmiennych niepoliczalnych prognozowanie przybliżone wyznaczanie całki z funkcji

Wstęp W matematyce system liniowy to taki, w przypadku którego funkcja (przekształcenie lub odwzorowanie) f(x) jest liniowa, tzn. (superpozycja): addytywność => f(x+y)=f(x)+f(y) proporcjonalność => f(αx)=αf(x) Natomiast, system nieliniowy to taki, który nie jest liniowy, a zatem nie są spełnione warunki: addytywności i proporcjonalności intuicyjnie => system nieliniowy to taki w przypadku którego zmienne nie mogą być zapisane jako liniowa kombinacja niezależnych komponentów, np. ax+by+...

Funkcja / przekształcenie lub mapa np. analiza wariacyjna => f(x) poprzez całkę na wartości y => przekształcenie f nie musi być tylko funkcją ale dowolnym przekształceniem jednej przestrzeni na inną X f Y

Przykład f(x)=ax addytywność: f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x) +f(y) proporcjonalność: f(αx)=αax=αf(x) f(x)=ax+b addytywność: f(x+y)=ax+ay+b f(x)+f(y) proporcjonalność: f(αx)=aαx+b αf(x) f(x)=ax 2 +bx addytywność: f(x+y)=a(x+y) 2 +b(x+y) f(x) +f(y) proporcjonalność: f(αx)=a(αx) 2 +bαx αf(x)

Uwagi - liniowość W przypadku ogólnym, x nie jest tylko liczbą ale może być także wektorem [x] Pojęcie liniowości dotyczy nie tylko operatorów liniowych (dodawania, mnożenie) ale także pochodnych jako operatora różniczkowania, itp. Algebra liniowa jest działem matematyki, który zajmuje się wektorami, przekształceniami liniowymi i układami równań liniowych

Uwagi - inne Operacje liniowe są najprostszym przypadkiem analizy matematycznej i są naturalne w tzw. matematyce stosowanej np. w odniesieniu do inżynierii Szacuje się, że 75% problemów inżynierskich i naukowych może być opisanych liniowymi układami równań Słowo liniowy pochodzi od słowa łacińskiego linearis, co oznacza skonstruowany z linii

Funkcja a równanie Funkcja opisuje zależność, która dla wartości zmiennych niezależnych (wejście x) wyznacza wartości zmiennych zależnych (y wyjście). funkcja przypisuje unikalną wartość y dla każdej wartości x zapis y=f(x) oznacza, że funkcja o nazwie f posiada wejście o nazwie x i wyjście o nazwie y Równanie => wyrażenie, które jest równe po obu stronach znaku równości, tzn. określa w ten sposób miejsca zerowe (inaczej pierwiastki) funkcji f(x)=0

Funkcja: f(x)=mx-a, np. f(x)=2x-2 Równanie: mx-a=0 lub mx=a np. 2x-2=0 => x=1 Przykład

Równania W matematyce równaniem określamy równość ("="), które zawiera jedną lub więcej zmiennych: u, v, x, y, t,... Rozwiązanie równani polega na poszukiwaniu takich wartości zmiennej lub zmiennych, które spełniają równość, np.: x 2 +y 2 =r 2 Rodzaje równań: algebraiczne, np. wielomianowe (kwadratowe, liniowe,...), itp. funkcyjne, np. różniczkowe (rzędu pierwszego, drugiego, ), całkowe, itp. geometryczne, np.

Równania różniczkowe Równania różniczkowe są opisane równaniem ogólnym, np. w przypadku równań rzędu drugiego, jako: F(x,y,u,u x,u y,u xx,u yy,u xy )=0 gdzie x i y są traktowane jako zmienne niezależne, a u jest traktowana jako zmienna zależna, a u x ( u/ x)i u y ( u/ y) pochodnymi cząstkowymi Rozwiązaniem równania różniczkowego jest funkcja => równanie funkcyjne: u=f(x,y) Równania różniczkowe opisują zależność pomiędzy zmienną zależną u a jej pochodnym u x, np. u x =u+1

Rodzaje równań różniczkowych Równania różniczkowe należą do równań funkcyjnych, tzn. mają rozwiązanie w postaci funkcji u=f(x,y) Klasyfikacja: zwyczajne (ODE ordinary differential equations) => szukamy funkcji jednej zmiennej: u x =0 cząstkowe (PDE partial differential equations) => szukamy funkcji wielu zmiennych: u xy =0 rząd: pierwszy, drugi: u x, u xx

Zastosowanie w fizyce Równania różniczkowe opisują zależność zmiennych/funkcji i ich pochodnych, np. u x +u=0 gdzie zmienne/funkcje u reprezentują wielkości fizyczne a pochodne u x reprezentują szybkości ich zmian, a równanie definiuje relacje między nimi. Relacje takie są bardzo powszechne w fizyce i odgrywają znaczącą rolę w wielu dziedzinach: inżynieria, fizyka, itp. Równania różniczkowe można sklasyfikować wg pewnych "klasycznych" grup/klas, np.: u x +u y =0 => równanie transportu u xx +u yy =0 => równanie Laplace'a u tt +u xx +u 3 =0 => równanie falowe u t +i*u xx =0 => mechanika kwantowa itp.

Przykład Problem "Drapieżnik i Ofiara" - z matematycznego punktu widzenia problem ten można opisać: układem dwóch równań różniczkowych równania posiadają dwie zmienne zależne i mają charakter sprzężony i zależny od czasu szybkość zmian liczby drapieżników zależy od liczby drapieżników i ofiar szybkość zmian liczby ofiar zależy od liczby ofiar i drapieżników Model został zaproponowany w roku 1926 przez Vito Volterra w celu opisania populacji ryb łowionych w morzu Śródziemnym

Właściwości równań Ogólna postać równania => f(x)=c: x może być: liczbą, wektorem, funkcją, itp. Jeżeli C=0 => równanie jednorodne Jeżeli f(x) zawiera różniczkę x' => równanie różniczkowe Równania liniowe i nieliniowe mogę być stosunkowo często rozwiązane analitycznie lub w przypadku braku takich rozwiązań, analizowane metodami numerycznymi, np. równania różniczkowe => modelowanie i symulacje

Funkcja a równanie liniowe W matematyce termin funkcja liniowa lub odwzorowanie liniowe odnosi się do dwóch powiązanych ze sobą pojęć: wielomian pierwszego stopnia jednej zmiennej => funkcja liniowa przekształcenie/odwzorowanie pomiędzy dwoma przestrzeniami, które zachowuje własności addytywności i proporcjonalności => algebra liniowe Uwagi: f(x)=mx+b jest odwzorowaniem liniowym tylko wtedy, gdy b=0 f(x)=c jest równaniem liniowym: y= f x =mx b lub: Ax By C =0 jeżeli f(x) jest odwzorowaniem liniowym => mx=c jeżeli C=0 => równanie jednorodne

Równania nieliniowe Problemy nieliniowe są bardzo istotne w inżynierii, ponieważ większość układów fizycznych występujących w przyrodzie jest nieliniowa Równania nieliniowe są trudne do rozwiązania i prowadzą do ciekawych zjawisk, takich jak chaos i efekt motyla, np. pogoda => małe zmiany w jednej części układu prowadzą do złożonych efektów w całym systemie

Przykład - wahadło Siła działająca na kulkę: F =m a= m g sin a= g sin Przyspieszenie kulki liczone wg drogi s: a= d 2 s dt = d 2 l 2 dt 2 Zatem równanie ruchu: d 2 l g sin =0 dt 2 Liniowe Nieliniowe

Nonlinear algebra

Równanie nieliniowe - kwadratowe Funkcja kwadratowa jest wielomianem drugiego rzędu => f(x)=ax 2 +bx+c i posiada jeden lub dwa miejsca zerowe (pierwiastki) w zależności od wartości współczynnika Δ: jeżeli Δ<0 => pierwiastki nie są liczbami rzeczywistymi lecz urojonymi jeżeli Δ=0 => jeden (podwójny) pierwiastek jeżeli Δ>0 => dwa pierwiastki Równanie kwadratowe => ax 2 +bx+c=0, gdzie a 0 jeżeli a=0 => równanie liniowe bx+c=0 rozwiązanie równania kwadratowego => pierwiastki f(x)=ax 2 +bx+c ponieważ są rozwiązaniem równania f(x)=0 =b 2 4ac if 0 x 1 = b 2a x 2 = b 2a

Równanie nieliniowe - sześcienne Funkcja sześcienna jest wielomianem trzeciego rzędu => f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d: pochodna funkcji sześciennej jest wielomianem drugiego rzędu całka funkcji sześciennej jest wielomianem czwartego rzędu Równanie sześcienne => ƒ(x)=0; gdzie a 0; posiada przynajmniej jeden pierwiastek, który jest liczbą rzeczywistą, w zależności od wartości współczynnika Δ: jeżeli Δ>0, trzy pierwiastki rzeczywiste jeżeli Δ=0, pierwiastek rzeczywisty jeżeli Δ<0, jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone f x =0 ax 3 bx 2 cx d=0 =18ab c d 4b 3 d b 2 c 2 4 ac 3 27a 2 d 2

Miejsca zerowe dowolnej f(x) - uwagi Pierwiastki funkcji f(x) => f(x)=0 Jeżeli f(x) jest ciągła i zmienia znak to wówczas posiada przynajmniej jeden pierwiastek pomiędzy punktami x i i x j Możliwości: jeżeli f(x) nie zmienia znaku pomiędzy dwoma punktami to pierwiastki mogą występować jeżeli f(x) zmienia znak pomiędzy dwoma punktami to wówczas może być więcej niż jeden pierwiastek Metody poszukiwania pierwiastków: metoda bisekcji metoda Newtona f x i f x j 0

Metod bisekcji Metoda polega na wielokrotnym zawężaniu / podziale przedziału w którym znajduje się pierwiastek Algorytm: wybierz punkty startowe x i i x j tak, aby funkcja f(x) zmieniała znak, tzn. f(x i )*f(x j )<0 oszacuj położenie miejsca zerowego funkcji jako punkt środkowy x m sprawdź warunki: jeżeli f(xi) f(xm)<0 => zerowe jest pomiędzy xixj=> xi=xi; xj=xm jeżeli f(xi) f(xm)>0 => zerowe jest pomiędzy xixj=> xi=xm ; xj=xj jeżeli f(xi) f(xm)=0 => zerowe jest w xm=> algorytm oszacuj nowe położenia miejsca zerowego x m i wyznacz wartość błędu względnego ε a porównaj wartość błędu względnego ε a wartością założoną ε s, jako kryterium zakończenia algorytmu iteracyjnego a = x m = x j x i 2 x new old m x m new x 100 % m

Metoda bisekcji - uwagi Zalety: zawsze jest zbieżna założenie => przedział poszukiwania jest zawsze dzielony na połowę po każdej iteracji Wady: zbiega się stosunkowo wolno jeżeli punkt początkowy znajduje się blisko miejsca zerowego, wówczas zbieżność jest wolna Problemy: jeżeli f(x) dotyka osi x, wówczas algorytm będzie miał problem z określeniem punktów startowych jeżeli f(x) zmienia znak ale pierwiastki nie występują

Metoda Newtona Przyjmuje się, że jest to jedna z najlepszych metod poszukiwania miejsc zerowych funkcji f(x) Algorytm: wyznacz f'(x) metodą symboliczną lub numeryczną: symbolicznie => jeden punkt startowy numerycznie => dwa punkty startowe przyjmij wartość początkową pierwiastka x i a następnie korzystając z pochodnej wyznacz położenie x i+1 f'(x)<0 => funkcja malejąca f'(x)>0 => funkcja rosnąca oszacuj wartość błędu względnego ε a porównaj wartość błędu ε a z wartością założoną jako kryterium końca obliczeń ε s tan = AB AC f ' x = f x x i 1 x i ε a = x i + 1 = x i f (x i) f ' ( x i ) x i + 1 x i x 100 % i + 1

Metoda Newtona - przykład Metoda analityczna f'(x): f(x)=x 3 +x-1 f'(x)=3x 2 +1 Metoda numeryczna f'(x): f(x)=x-2sin(x) x 0 =2.0, x 1 =1.9 x n+ 1 =x n f ( x n) f ' (x n ) n x n x n+1 e 0 1.000000 0.750000 0.250000 1 0.750000 0.686047 0,063953 2 0.686047 0.682340 0,003707 3 0.682340 0.682328 0,000012 x n + 1 =x n f ( x n ) x n x n 1 f ( x n ) f ( x n 1 ) n x n-1 x n x n+1 e=x n+1 -x n 1 2.000000 1.900000 1.895747 0,004253 2 1.900000 1.895747 1.895494 0,000253 3 1.895747 1.895494 1.895494 0.000000

Metoda Newtona - uwagi Zalety: bardzo szybka zbieżność(zależność kwadratowa) wymaga jednego lub dwóch punktów startowych Wady: duża rozbieżność w przypadku płaskich funkcji => jeżeli punkt z iteracji znajduje się w płaskim przedziale funkcji f(x), położenie kolejnego punktu może wypaść daleko od punktu zerowego Problemy: dzielenie przez zero => jeżeli mianownik jest równy 0 oscylacje w pobliżu lokalnego minimum lub maksimum => tzw. przeskakiwanie pierwiastka

Układ równań liniowych Dwa podstawowe problemy: rozwiązanie układu równań typu A[x]=b poszukiwanie wartości i wektorów własnych Metody rozwiązywania: klasyczne metody matematyczne bazują na macierzy odwrotnej, tzw. metoda Cramera => prosta ale mało efektywna w przypadku metod numerycznych korzysta się z metod interpolacji i aproksymacji opartych na funkcjach liniowych w przypadku rozwiązywania równań różniczkowych korzysta się z metody różnic skończonych W fizyce, liniowość jest ważną własnością równań różniczkowych, np. równania Maxwella, itp. => jeśli dwie funkcje f(x) i g(x) są rozwiązaniem równania, to ich suma f(x)+g(x) jest również rozwiązaniem równania, tzw. skalowalność rozwiązań

Przykład Równanie Laplace'a: J. f(x) => rozwiązanie J. równanie liniowe => div( j)=0 div( ρ grad (V (x, y, z)))=0 2 V (x, y, z)=0 f(ax)=af(x) f(x+y)=f(x)+f(y)

Uwaga Jeżeli rozwiązanie dla skali x to także dla skali ax

Wartości i wektory własne Opisuje odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi zachowując ich strukturę: dotyczy takich działań jak dodawania i mnożenia przez skalar wartości własne λ i wektory własne x Poszukiwanie wartości własnych jest typowym problemem w inżynierii, np. wibracje, rezonans (harmoniczne), itp. A[ x]= [ x] f [Hz]

Przykład - muzyka Harmonia: chór oktawy (f / 2f / 3f, itp.) niezależnie od miejsca i czasu?!

Podstawowe pojęcia W matematyce układy równań liniowych (lub system liniowy) to zbiór równań liniowych zawierający jednakowe zmienne x i Najprostszym przykładem układu równań liniowych jest system składający się z dwóch równań i dwóch zmiennych x 1 i x 2 Ogólny układ równań liniowych zawiera m równań liniowych oraz n niewiadomych a 11 x 1 a 12 x 2 =b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 =b 2 wówczas : ]=[ a11 a12 a1n x1 x 2 x n [ A x=b wówczas : [ a 11 a 12 a 21 a 22][ x 1 x 2] = [ b 1 a 21 a 22 a mn][ 2n a m1 a m2 a 2] b b1 b 2 b m ]

Przykład Możliwe rozwiązania: nieskończenie wiele jedno brak Interpretacja geometryczna: w przypadku przestrzeni dwuwymiarowej każde równania liniowe opisuje linię/prostą na płaszczyźnie xy i zbiór rozwiązań jako przecięcia tych prostych => linii, punkt lub zbiór pusty w przypadku przestrzeni trójwymiarowej każde równanie opisuje płaszczyznę i zbiór rozwiązaniem jako przecięcia tych płaszczyzn => płaszczyzna, linii, punkt lub zbiór pusty w przypadku przestrzeni n-wymiarowej każde z równań liniowych określa płaszczyznę i zestaw rozwiązań jako przecięcie się tych płaszczyzn x y= 1 3x y=9 wówczas : x, y = 2,3

Właściwości Zachowanie systemu liniowego jest definiowanie jako relacja pomiędzy liczbą równań m i liczbą niewiadomych n, tzn. A[x n ]=[b m ], zazwyczaj: jeżeli m<n => nieskończona liczba rozwiązań, taki układ jest zdefiniowany jako nieokreślony jeżeli m=n => pojedyncze rozwiązanie jeżeli m>n => brak rozwiązań, taki układ jest zdefiniowany jako nadokreślony Algorytmy rozwiązywania układu równań liniowych: małe układy => metody analityczne: eliminacja zmiennych, redukcja wierszy, metoda Cramera, tj. wyznaczników, etc. duże układy => metody numeryczne: Metoda Gaussa, metody iteracyjne oparte na odgadywaniu rozwiązania i następnie aproksymacji lub interpolacji, itp. Układ jednorodny => b=0, tzn. A[x]=0

Metoda Cramera Metoda/wzory Cramera opublikowane w 1750 przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera opisują sposób rozwiązywania układu n równań liniowych z n niewiadomymi [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 n]=[ b1 b 2 a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 x a n1 a n2 a n3 a nn][ b n] x 1 = det A 1 det A x 1 = det A 1 det A x n = det A n det A gdzie Ai oznacza macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy A i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych bi danego układu równań

Metoda Gaussa Metoda Gaussa jest algorytmem pozwalającym na optymalne rozwiązywania układów równań liniowych Metoda Gaussa składa się z dwóch części: eliminacji => celem jest przekształcenie układu równań liniowych do postaci macierzy trójkątnej za pomocą elementarnych operacji matematycznych podstawienie => celem jest powrót do stanu pierwotnego rozwiązując układ począwszy od ostatniego wiersza [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 n]=[ b1 b 2 n] a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 x b eliminacja [a11 a12 a13 a1n x1 1 1 1 0 a 22 a 23 a 2n x 2 2 2 0 0 a 33 a 3n x n 1][ ]=[ b1 1 b 2 2 3 b 3 x n n b n 1] a n1 a n2 a n3 a nn][ 0 0 0 0 a nn podstawienie x n = b n 1 n a ; etc. n 1 nn

Algorytm: krok 1 => równanie 1 dzielimy przez współczynnik a 11 i mnożymy przez współczynnik a 21 krok 2 => odejmujemy wynik od równania 2 powtarzamy procedurę (n-1) razy dla kolejnych wierszy Eliminacja [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 n]=[ b1 b 2 a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 x a n1 a n2 a n3 a nn][ krok 1 b n] [ a ] 21 a a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 1n x n =b 1 11 a 21 x 1 a 21 a 11 a 12 x 2 a 21 a 11 a 13 x 3 a 21 a 11 a 1n x n = a 21 a 11 b 1 krok 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 a 2n x n =b 2 a 21 x 1 a 21 a 11 a 12 x 2 a 21 a 11 a 13 x 3 a 21 a 11 a 1n x n = a 21 a 11 b 1 0 x 1 a 1 22 x 2 a 1 23 x 3 a 1 1 2n x n =b 2

Podstawienie Celem jest wykorzystanie wstecznego podstawienia tak, aby znaleźć rozwiązanie dla całego układu, począwszy od ostatniego wiersza Algorytm: krok 1 => należy wyznaczyć wartość x n powtórzyć procedurę (n-1) razy dla następnego wiersza [a11 a12 a13 a1n x1 1 1 1 0 a 22 a 23 a 2n x 2 2 2 0 0 a 33 a 3n x n 1][ ]=[ b1 1 b 2 2 3 b 3 x n b n n 1] 0 0 0 0 a nn n b i 1 i x i = j=i 1 i 1 a ii krok 1 x n = b n 1 n n 1 a nn then: a i 1 ij x j ; i=n 1,,1

[ 25 5 1 1][ 64 8 1 144 12 Przykład x1 x 2 [ ][ 25 5 1 0 4.8 1.56 0 0 0.7 3]=[ 106.8 177.2 x 279.2] eliminacja x1 x 2 podstawienie x 3 = 0.735 0.7 =1.05 x 2 =... x 1 =... 3]=[ 106.8 ] 96.21 x 0.735

Uwagi Szybkość => metoda Gaussa rozwiązania układu n równań liniowych wymaga następującej liczby operacji: operacje związane z eliminacją: n2/2 n/2 : dzielenie i odejmowanie n3/3 n/3 : mnożenie i dodawanie operacje związane z podstawieniem: n2/2 n/2 : mnożenie i odejmowanie n : dzielenie Niestabilność => istotne jest, aby unikać dzielenia przez małe liczby, ponieważ może to prowadzić do dużych błędów obliczeń, tzw. small pivot

Przykład Macierz 1000 1000 wymagałaby: 333 832 500 operacji związanych z eliminacją 500 500 operacji związanych z podstawieniem Small pivout => prowadzi do: niepewności wyniku w związku ze zbliżaniem się dzielnika do 0, szczególnie w przypadku obliczeń komputerowych jeżeli dla działania a/b dzielnik b dąży to 0 to wynik dąży do nieskończoności 1.23456789 1.23456789 1.23456789 1.23456789 1.23456789 1E0 1E-2 1E-4 1E-6 1E-8 1.23456789 123.456789 12345.6789 1234567.89 123456789 Small pivout

Dzielenie przez 0 Dlaczego nie można dzielić przez 0? a/0 =? Jeżeli nie można dzielić przez 0 to dlaczego można dzielić przez liczby bliskie 0, np.? a/1e-32 =? Jaki wynik otrzymujemy, gdy dzielimy przez liczbę bliską 0? => błędy obliczeniowe

Metoda iteracyjna Znana jako metoda Gaussa-Seidela Podstawowe procedury: wyznaczyć algebraicznie równanie liniowe dla każdej zmiennej x i należy przyjąć punkt startowy [x] rozwiązać dla każdego x i a następnie powtórzyć procedurę iteracyjnie oszacować błąd po każdej iteracji, tzn. czy znajduje się w zadanych granicach Uwagi: metoda pozwala użytkownikowi na kontrolę błędu rozwiązania jeżeli fizyka problemu jest zrozumiała, można próbować odgadnąć rozwiązanie, co pozwala na znaczne ograniczenie liczby iteracji x i = n b i j=1, j i a ii a ij x j punkt startowy x 1 [ x x]=[ 2 n] x oszacowanie błędu ; i=1,,n = a x new old i x i i new x 100 i

Wnioski Równania i układy równań liniowych i nieliniowych są najbardziej rozpowszechnionym problemem w zastosowaniach inżynierskich 75% problemów inżynierskich metody rozwiązania można przedstawić w postaci prostych algorytmów Umiejętność rozwiązywania liniowych i nieliniowych układów równań jest podstawowym warunkiem zaawansowanej analizy numerycznej thick-film resistor [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 n]=[ b1 b 2 a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 x a n1 a n2 a n3 a nn][ substrate b n]

Układy nieliniowe W inżynierii wszystkie układy są nieliniowe a warunek liniowości wiąże się z wieloma założeniami upraszczającymi, np.: żadna ze zmiennych układu nie podlega ograniczeniom przykład operacji nieliniowych => iloczyny lub potęgi zmiennych a dodatkowo współczynniki równań mogą zależeć od zmiennych układy nieliniowe mają także pewien zakres liniowy równania liniowe są łatwe w analizie i w obliczeniach za najbardziej ogólną postać opisu układów równań nieliniowych można uznać równania różniczkowe Uwagi: nie istnieje ogólna analityczna metoda rozwiązywania układów nieliniowych nie można również stosować aparatu pojęciowego związanego z przekształceniem Laplace'a => charakterystyki czasowe i częstotliwościowe nie istnieją wartości własne istnieją metody analityczne rozwiązywania tylko niektórych typów równań nieliniowych, a głównie stosuje się metody numeryczne

Dziękuję za uwagę