Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Zadanie. a) Wiadomoci i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojcia wartoci argumentu i wartoci funkcji. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy warto funkcji f dla x 009. f 009 008009009 009 Poprawna odpowied: Interpretowanie otrzymanych wyników. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wniosek. Poprawna odpowied: Punkt P naley do wykresu funkcji f. b) Rysowanie w ukadzie wspórzdnych zbioru opisanego ukadem warunków. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli narysuje bezbdnie zbiór opisany w zadaniu. Poprawna odpowied: y 0 x Zdajcy otrzymuje punkt, jeli narysuje proste o równaniach y x, i na tym zakoczy lub popeni bdy w zaznaczaniu opisanego zbioru. y x Zadanie. Zapisanie wielomianu, który przy dzieleniu przez dany dwumian daje wskazany iloraz i dan reszt. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wielomian zadania. Poprawna odpowied: W ( x) ( x)(8x x) 5 0 W x w postaci wynikajcej z warunków
Wiadomoci i rozumienie Wykonywanie dziaa na wielomianach. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli uporzdkuje wielomian Poprawna odpowied: x 8x x 8x 9 W. W x. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy pierwiastki wielomianu Poprawna odpowied: x,5, x 0,5, x,5. W x. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wielomian W w postaci iloczynu czynnika stopnia pierwszego i czynnika stopnia drugiego, np. Wx (x)(x 9) rozwizanie lub popeni bdy w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu. x i na tym zakoczy Zadanie. a) Wiadomoci i rozumienie Wykorzystanie definicji funkcji wykadniczej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy warto podstawy a. Poprawna odpowied: a. b) Rysowanie wykresu funkcji typu y f x b. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli narysuje wykres funkcji x fx Poprawna odpowied: y g. 5 gx y= x - - - - 0 5 6 - - Zdajcy otrzymuje punkt, jeli narysuje tylko wykres funkcji y f ( x) i na tym poprzestanie lub popeni bdy przy dalszym przeksztacaniu wykresu. Interpretowanie liczby rozwiza równania z parametrem. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poda wszystkie wartoci parametru m, dla których równanie g( x) m ma dokadnie jedno rozwizanie. Poprawna odpowied: 0, m.
Zadanie. Wykorzystanie definicji cigu arytmetycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozpozna, e cig liczb monet wkadanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Poprawna odpowied: Liczby monet wkadanych przez kolejne dni przez skarbnika tworz cig arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 5 i rónicy równej. Zdajcy podaje opis matematyczny sytuacji w postaci funkcji. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wzór na po poudniu. 5 Poprawna odpowied: 5n M n k n 50n n 6n k. 0 M n liczb monet w n tym dniu Formuowanie wniosków wynikajcych z postaci badanego wyraenia. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli zapisze warunek wystarczajcy na to, aby w skarbcu zawsze byy monety i wyznaczy najmniejsz liczb k. Poprawna odpowied: np. M n n k69 0, wic najmniejsz liczb k jest 70 albo 0 (bo n w N ) czyli 6 k 0, std k 69, wic najmniejsz liczb k jest 70. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze tylko warunek wystarczajcy na to, aby w skarbcu zawsze byy monety i na tym zakoczy rozwizanie lub popeni bdy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby k. Poprawna odpowied: np. 6 k 0. M n n k69 0 lub 0, bo n w N, std Posugiwanie si definicj i wasnociami funkcji kwadratowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy, w którym dniu w skarbcu bya najmniejsza liczba monet. Poprawna odpowied: n. Zadanie 5. Wykonywanie dziaa na potgach o wykadnikach rzeczywistych. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli wykae równo B 9 A. Zdajcy otrzymuje punkty, jeli poprawnie zastosuje wzór na iloczyn potg o tych samych podstawach i wzór na potg potgi i na tym zakoczy. Poprawna odpowied: B, o ile dowód równoci jest prowadzony od jej lewej strony do prawej albo 5
9 A do lewej. Matematyka poziom rozszerzony, o ile dowód równoci jest prowadzony od jej prawej strony Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poprawnie zastosuje jedynie wzór na iloczyn potg o tych samych podstawach albo tylko wzór na potg potgi i na tym zakoczy. Poprawna odpowied: B lub B...,o ile dowód równoci jest prowadzony od jej lewej strony do prawej albo 9 9 A... równoci jest prowadzony od jej prawej strony do lewej. A lub Zadanie 6., o ile dowód Posugiwanie si definicj logarytmu. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wykorzysta definicj logarytmu i zapisze wszystkie warunki okrelajce dziedzin funkcji f. Poprawna odpowied: 9 x 0, cos x 0, cos x. Wiadomoci i rozumienie Rozwizywanie nierównoci kwadratowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozwie nierówno kwadratow. x,. Poprawna odpowied: Odczytywanie z wykresu odpowiedniej funkcji zbioru rozwiza nierównoci trygonometrycznej w przedziale ograniczonym. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli poda zbiór rozwiza nierównoci cos x 0 i w przedziale,. cos x y 0 x Poprawna odpowied: x, i x i x. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poda zbiór rozwiza tylko jednej z nierównoci. 6
Matematyka poziom rozszerzony Zapisanie czci wspólnej zbiorów w postaci sumy przedziaów liczbowych. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze dziedzin funkcji f. Poprawna odpowied: D f,,,. Zadanie 7. Stosowanie wasnoci cigu geometrycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wykorzysta wasno cigu geometrycznego i zapisze równanie opisujce warunki zadania. Poprawna odpowied: x 6 x x. Wiadomoci i rozumienie Rozwizywanie równania kwadratowego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozwie równanie kwadratowe. Poprawna odpowied: x lub x 5. 5 Wybór cigu speniajcego warunki zadania. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wybierze odpowiedni warto x, tak aby wszystkie wyrazy cigu byy dodatnie. Poprawna odpowied: x 5. Stosowanie definicji cigu geometrycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy iloraz cigu. Poprawna odpowied: q. Oszacowanie ilorazu sumy 9-tu przez sum 0-tu pocztkowych wyrazów cigu geometrycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli oszacuje iloraz. 9 Poprawna odpowied: np. Przeksztacajc równowanie nierówno dostaje 0 9 0 0 0 kolejno:,, 0, co jest prawd. To koczy dowód. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wykorzysta wzór na sum n pocztkowych wyrazów cigu S9 geometrycznego i zapisze iloraz w postaci umoliwiajcej oszacowanie. S Poprawna odpowied: S S 9 0 9 0 0. 7
Zadanie 8. Podanie opisu matematycznego danej sytuacji problemowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli zapisze zaleno midzy promieniami okrgów. Poprawna odpowied: R r R r. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze dugo przeciwprostoktnej trójkta prostoktnego równoramiennego ABC w zalenoci od R i r i na tym zakoczy rozwizanie lub w dalszej czci popeni bdy. B R R r A r. C Poprawna odpowied: AB R r. Przetwarzanie informacji do postaci uatwiajcej rozwizanie problemu. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy stosunek promieni wikszego i mniejszego okrgu. R Poprawna odpowied:. r Zdajcy otrzymuje punkt, jeli przeksztaci zaleno R r R r do postaci umoliwiajcej obliczenie stosunku promieni i na tym zakoczy rozwizanie. R R Poprawna odpowied: np. r R lub, r r r r lub. R R 8
Zadanie 9. Wiadomoci i rozumienie Wyznaczanie rodka i promienia okrgu. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli narysuje w ukadzie wspórzdnych opisany w zadaniu okrg i zaznaczy dany punkt A. y 5 0 A x Wyznaczanie równania rodziny prostych (nierównolegych do osi Oy) przechodzcych przez dany punkt. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze równanie szukanej rodziny stycznych. Poprawna odpowied: y ax lub ax y 0. Analizowanie wzajemnego pooenia prostej i okrgu. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze warunek stycznoci prostej k o równaniu y ax i danego okrgu. Poprawna odpowied: Odlego rodka okrgu S od prostej k jest równa promieniowi okrgu. Stosowanie wzoru na odlego punktu od prostej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze równanie z niewiadom a. a Poprawna odpowied:. a Wyciganie wniosku i zapisanie równania prostej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze równanie szukanej stycznej. Poprawna odpowied: y x. 9
Zadanie 0. Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu matematycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli zapisze liczb wszystkich zdarze elementarnych oraz liczby zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A w tym samym modelu. n nn Poprawna odpowied: nn, A nn lub n n, A n n gdzie n liczba kul czarnych, n liczba kul biaych, dla n. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze tylko liczb wszystkich zdarze elementarnych i na tym zakoczy rozwizanie. Obliczanie prawdopodobiestwa. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze prawdopodobiestwo zdarzenia A w postaci wyraenia wymiernego. n Poprawna odpowied: P A. n Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu matematycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozwie nierówno w urnie. Poprawna odpowied: W urnie s kule albo jest 8 kul. n 9 n i poda liczb kul Zadanie. Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych w trójkcie prostoktnym. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy cosinusa kta midzy krawdzi boczn a krawdzi podstawy ostrosupa. Poprawna odpowied: cos. Narysowanie przekroju ostrosupa paszczyzn. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zaznaczy waciwy przekrój na rysunku. 0 0
Poprawna odpowied: S F C A E O B D Zastosowanie twierdzenia cosinusów. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy wysoko opuszczon na podstaw AB w trójkcie równoramiennym ABF (szukanym przekroju). a 5 Poprawna odpowied: hp. Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy dugo ramienia trójkta równoramiennego ABF i na tym zakoczy rozwizanie. a 6 Poprawna odpowied: AF BF. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zastosuje twierdzenie cosinusów i zapisze równanie z niewiadom x, gdzie x BF i na tym zakoczy rozwizanie lub w dalszej czci popeni bdy. Poprawna odpowied: x a a a a. Obliczanie pola przekroju ostrosupa 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy pole przekroju. a 5 Poprawna odpowied: Pp. Za prawidowe rozwizanie kadego z zada inn metod ni przedstawiona w kluczu punktowania przyznajemy maksymaln liczb punktów.