Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji

Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Zadania Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z k + z b fk z 6k z c fk z k z d fk z k 4 z e fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A Oblicz krańcowe produktywności czynników produkcji Zinterpretuj wyniki B Oblicz elastyczności produkcji czynników Zinterpretuj wyniki C Oblicz krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji pracy przez kapitał i kapitału przez pracę Zinterpretuj wyniki D Sprawdź czy funkcja jest jednorodna Jeśli tak oblicz jej stopień jednorodności Co otrzymany wynik mówi o efektach skali w przedsiębiorstwie? E Oblicz elastyczność produkcji względem skali nakładów Co wynik mówi o efektach skali w przedsiębiorstwie? Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z 6k z b fk z k + z c fk z k 4 z 4 d fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A Zapisz zadanie maksymalizacji zysku B Zapisz warunki konieczne maksimum zerowanie się pochodnych C Wyznacz punkt optymalny i optymalną produkcję D Zapisz funkcje popytu produkcyjnego i podaży produkcyjnej Zad Dla funkcji produkcji z poprzedniego zadania za wyjątkiem funkcji z podpunktu d wykonaj następujące polecenia: A Zapisz zadanie minimalizacji kosztów B Zapisz warunki konieczne minimum dla tego zadania warunki Kuhna-Tuckera C Rozwiąż to zadanie Zapisz funkcję warunkowego popytu i funkcję kosztów D Zapisz zadanie maksymalizacji zysku wykorzystując funkcję kosztów E Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku Sprawdź czy zgadza się z rozwiązaniem otrzymanym w poprzednim zadaniu

Rozwiązania Zad a Krańcowa produktywność kapitału: Krańcowa produktywność pracy: k Elastyczność kapitału: z Elastyczność pracy: e f k k k f k k + z e f z z z f z k + z Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał wynosi σ zk z k a elastyczność substytucji pracy przez kapitał jest równa z e zk σ zk k z k z k Podobnie krańcowa stopa substytucji kapitału przez pracę wynosi σ kz k z a elastyczność substytucji kapitału przez pracę to e kz σ kz k z k z k z Sprawdzamy jednorodność funkcji produkcji mnożąc wszystkie argumenty tj k i z przez tę samą stałą λ > 0: f λk λz λk + λz λ k + λ z λ k + z λf k z λ f k z a zatem funkcja jest jednorodna a jej stopień jednorodności wynosi W przedsiębiorstwie występują zatem stałe efekty skali Pozostaje do obliczenia elastyczność względem skali nakładów Funkcję fλk λz obliśmy wyżej Teraz liczymy: a zatem e f λ λk λz λ λk λz λ [λ k + z] λ λ λ k + z f λk λz k + z λ k + z W przedsiębiorstwie występują zatem stałe efekty skali b Krańcowa produktywność kapitału wynosi k 6 k z k z

a elastyczność kapitału to e f k k k f k z k 6k z k k z 6k z Krańcowa produktywność pracy wynosi a elastyczność pracy to e f z z z f k z k + z 6k z z 6k z 6 k z k z z 6k z k z z 6k z k z + 6k z Krańcowa stopa substytucji kapitału przez pracę jest równa σ kz k z k z k z k z + k z a elastyczność substytucji kapitału przez pracę jest równa k e kz σ kz z z k k z k z 6k z k z 6k z z k 6 6 Podobnie wyznaczamy krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji pracy przez kapitał: σ zk k z e zk Sprawdzamy jednorodność funkcji produkcji mnożąc wszystkie argumenty tj k i z przez tę samą stałą λ > 0: f λk λz 6 λk λz 6λ k λ z λ + 6k z λ 6 6k z λ 6 f k z a zatem funkcja jest jednorodna a jej stopień jednorodności wynosi 6 W przedsiębiorstwie występują zatem malejące efekty skali bo 6 < Pozostaje do obliczenia elastyczność względem skali nakładów Funkcję fλk λz obliśmy wyżej Teraz liczymy: a zatem e f λ λk λz λ λk λz λ λ 6 + 6 λ 6 [ λ 6 6k z λ ] λ f λk λz λ 6 k λ 6 6 λ 6 6 6 λ 6 6k z λ 6 k z z λ λ 6 6k z λ 6 λ 6 λ 6 W przedsiębiorstwie występują zatem malejące efekty skali bo 6 < c Krańcowe produktywności kapitału i pracy: k k z z k z Elastyczność kapitału i elastyczność pracy: e f k ef z Krańcowa stopa substytucji kapitału przez pracę oraz pracy przez kapitał: σ kz z k σ zk k z

a elastyczności substytucji wynoszą: e kz e kz Funkcja jest jednorodna stopnia Elastyczność względem skali nakładów także wynosi e f λ Zatem efekty skali są stałe produkcja rośnie proporcjonalnie do nakładów d Krańcowe produktywności kapitału i pracy: k 4 k 4 z z k 4 z Elastyczność kapitału i elastyczność pracy: e f k 4 ef z Krańcowa stopa substytucji kapitału przez pracę oraz pracy przez kapitał: σ kz z k a elastyczności substytucji wynoszą: σ zk k z e kz e kz Funkcja jest jednorodna stopnia 4 Elastyczność względem skali nakładów także wynosi 4 ef λ 4 Zatem efekty skali są rosnące bo 4 > e Krańcowe produktywności kapitału i pracy: k k Elastyczność kapitału i elastyczność pracy: k z z z e f k e f k + z z k + z Krańcowe stopy substytucji kapitału przez pracę oraz pracy przez kapitał są następujące: σ kz z k a elastyczności substytucji wynoszą: e kz k z σ zk k z e kz Funkcja nie jest jednorodna Elastyczność względem skali nakładów wynosi 6 ef λ 6 Jest to trudniejsze do obliczenia niż w poprzednich zadaniach Trzeba tu skorzystać ze wzoru na e f λ ze skryptu tego z granicą przy λ Zatem efekty skali są malejące bo 6 < Zad a Zysk producenta wynosi z k Π pf k z v k v z gdzie p jest ceną produktu v oznacza cenę kapitału a v cenę pracy Zadanie maksymalizacji zysku ma zatem postać max Πk z p6k z v k v z 4

pod warunkiem że k z 0 Chwilowo zapominamy o warunku nieujemności zmiennych k i z i rozwiązujemy zadanie tak jakby to było zadanie maksymalizacji bezwarunkowej tzn liczymy pochodne i przyrównujemy je do zera Pochodne z funkcji zysku względem k i z wynoszą odpowiednio k p6 k z v 0 pk z v z p6k z 0 v pk z v Przyrównujemy obie pochodne do zera tj wykorzystujemy warunek konieczny maksymalizacji: k 0 z 0 Otrzymujemy w ten sposób układ dwóch równań: pk z v 0 pk z v 0 W pierwszym równaniu przenosimy na prawą stronę v a w drugim robimy to samo z v Otrzymujemy układ Dzielimy równania stronami przez siebie otrzymując pk z v pk z v pk z pk z v v Upraszczamy lewą stronę: k z + v v z k v v a zatem z v v k Podstawiamy ostatnią zależność do równania Mamy wówczas Przekształcamy: pk v k v v pk v v k v

Porządkujemy wykładniki po lewej stronie równania: p k + v v v Przenosimy v na stronę lewą dzielimy obie strony przez v i kończymy porządkowanie wykładników: a zatem p k 6 v v k 6 p v v Przenosimy k na stronę prawą a v na stronę lewą mnożymy obustronnie razy k 6 i dzielimy przez v Otrzymujemy: p v v k 6 Pozostaje podnieść obie strony do potęgi 6 i otrzymamy optymalne k: k p v v 6 p6 6 6 v 6 v 6 p 6 4 v 4 v Podstawiamy otrzymane k do równania i otrzymamy optymalne z: z v v k v v p 6 4 v 4 v p6 + 4 v 4 v + p6 v v Pozostaje obliczyć optymalną wielkość produkcji ȳ Podstawiamy otrzymane k i z do funkcji produkcji otrzymując ȳ f k z 6 p 6 4 v 4 v p 6 p p v v 4 p v v v v v v Funkcję popytu tworzą optymalne k i z a zatem funkcja popytu produkcyjnego ma postać: p 6 4 ξ p v v v p6 v v v Funkcję podaży tworzy optymalna wielkość produkcji ȳ a zatem η p v v p 4 b Zadanie maksymalizacji zysku ma postać v v max Π k z pk + pz v k v z Warunki konieczne: k pk v 0 z pz v 0 6

Po przeniesieniu v i v na prawą stronę daje to układ równań: pk v 4 pz v Oba równania rozwiązujemy podobnie Zacznijmy od równania 4 Przenosimy k na stronę prawą tj mnożymy obustronnie przez k : p v k Przenosimy v na stronę lewą dzielimy obie strony przez v : p v k Teraz wystarczy podnieść obie strony do kwadratu i otrzymamy optymalne k: p k p v v Podobnie rozwiązujemy równanie : Najpierw przenosimy z na stronę prawą potem v na stronę lewą a na końcu podnosimy do kwadratu Rozwiązaniem jest p z p v v Aby otrzymać optymalną wielkość produkcji podstawiamy k i z do funkcji produkcji Otrzymujemy: ȳ f k p p z v + v p + p v v pv + pv p v + v v v v v v v Możemy zatem zapisać funkcję popytu produkcyjnego : p p ξ p v v v v i funkcję podaży: c Zadanie maksymalizacji zysku: η p v v p v + v v v max Π k z pk 4 z 4 v k v z Warunki konieczne: Układ równań: k 4 pk 4 z 4 v 0 z 4 pk 4 z 4 v 0 4 pk 4 z 4 v 4 pk 4 z 4 v 7

Po podzieleniu dostajemy z v v k Podstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy optymalne k: k p 4 v v Korzystając z poprzedniej zależności obliczamy optymalne z: z p 4 v v Optymalna produkcja: ȳ f k z p v v Funkcja popytu produkcyjnego: p p ξ p v v 4 v v 4 v v Funkcja podaży: η p v v p v v d Zadanie maksymalizacji zysku: max Π k z pk + pz v k v z Funkcja popytu produkcyjnego: p ξ p v v v p v Funkcja podaży: Zad η p v v pv + p v v v a Zadanie minimalizacji kosztów ma postać pod warunkiem że min v k + v z 6k z y gdzie v oznacza cenę kapitału v cenę pracy a y jest ustalonym poziomem produkcji Warunki Kuhna-Tuckera dla tego zadania są następujące: k k z λv k k z λv 8 6k z y

Mamy zatem następujący układ trzech równań z trzema niewiadomymi k z i λ: k z λv 6 k z λv 7 Dzielimy dwa pierwsze równania przez siebie stronami: k z k z 6k z y 8 λv λv Po prawej stronie skraca się λ Przekształcamy stronę lewą: Mamy zatem: Podstawiamy to do równania 8: a zatem k z k z z k 6k z k v v z v v k 9 v k y v 6k v v k y + k + v y v zatem 4 v k 6 y v a więc k yv 6 4 v Podnosimy obie strony do potęgi 6 W ten sposób otrzymujemy optymalne k: k y 6 v 6 4 6 6 v 6 y 6 v 8 4 v Aby otrzymać optymalną wielkość z podstawiamy k do równania 9 Mamy z v y 6 v v 8 4 v 9 v y 6 8 4 + v

ostatecznie z y 6 v 9 v Obliczymy teraz najmniejszy koszt wyprodukowania y: y 6 v c v k + v z v y 6 4 y 6 v v 4 v v 6 y v + v 8 4 v y 6 v v + v v 9 v 4 v v + v v y 6 v v 4 + y 6 v v 8 9 Otrzymaliśmy zatem funkcję popytu warunkowego: oraz funkcję kosztów y 6 v fy v v y 6 v 8 4 v 9 v cy v v y 6 v v 8 9 Posługując się funkcję kosztów formułujemy zadanie maksymalizacji zysku: max Πy py y 6 v v 8 9 Warunek konieczny maksimum to zerowanie się pochodnej: Otrzymujemy równanie Π y p 6 y 6 v v 8 9 p y v v 4 0 p y v v 4 y 4 v v Podnosimy obie strony do potęgi i otrzymujemy rozwiązanie Funkcja podaży: ȳ 4 p v v η p v v 4 p v v Jak widać zgadza się to z rozwiązaniem otrzymanym w zadaniu b Zadanie minimalizacji kosztów: min v k + v z 0

pod warunkiem że k + z y Warunki Kuhna-Tuckera dla tego zadania mają postać k k λv z z λv k + z y Mamy zatem układ trzech równań z trzema niewiadomymi k z i λ Dzielimy dwa pierwsze przez siebie otrzymując z k v v Podstawiamy to do ostatniego równania Mamy zatem z v v k 0 k v + v k k y + v y v Ostatecznie Korzystamy z 0: k k v + v v y y v v + v Obliczamy minimalny koszt: z y v v + v c v k + v z y v v v + v v + v y v v v + v Zadanie maksymalizacji zysku możemy teraz sformułować następująco: max Πy py y v v v + v Obliczamy pochodną i przyrównujemy ją do zera: Otrzymujemy równanie Π y p yv v v + v 0 p yv v v + v ȳ p v + v v v co zgadza się z rozwiązaniem otrzymany w zadaniu

c Zadanie minimalizacji kosztu: min v k + v z pod warunkiem że k 4 z 4 y Warunki Kuhna-Tuckera: 4 k 4 z 4 λv 4 k 4 z 4 λv k 4 z 4 y Rozwiązując otrzymujemy k y v v oraz Funkcja popytu warunkowego: Funkcja kosztów fy v v z y v v y v v y v v cy v v y v v Zadanie maksymalizacji zysku ma postać max Πy py y v v a jego rozwiązaniem jest ȳ p 4v v Funkcja podaży ma zatem postać η p v v taką samą jak w rozwiązaniu zadania p 4v v