ZBIÓR ZADA MATURALNYCH 1

ZBIÓR ZADA MATURALNYCH 1 Zad 1. Wyznacz NW D i NW W podanych liczb: a) x = 24, y = 66 b) x = 132, y = 198. Zad 2. Uzasadnij,»e suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie mo»e by liczb pierwsz. Zad 3. Dane sa trzy kolejne liczby, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2. Jak reszt otrzymamy po podzieleniu sumy tych liczb przez 9? Zad 4. Uzasadnij,»e suma dwóch liczb dwucyfrowych, ró»ni cych sie kolejno±ci cyfr, jest liczb podzieln przez 11. Zad 5. Znajd¹ dwie liczby, których suma jest równa 1530 wiedz c,»e pierwsza liczba stanowi 13 drugiej liczby. 17 Zad 6. Drut o dªugo±ci 63 cm poci to na cztery cz ±ci, których stosunek dªugo±ci jest równy 1 : 3 : 5 : 9. Oblicz sum dªugo±ci dwóch najkrótszych kawaªków tego drutu. Zad 7. Znajd¹ takie r, dla którego pole koªa o promieniu równym r jest liczb wymiern. Zad 8. Przedstaw w postaci uªamka zwykªego: a) 5, 3(4) b) 1, (5) c) 6, 30(9) d) 5, (034). Zad 9. Wyª cz najwi kszy czynnik przed znak pierwiastka: a) 405 b) 132 c) 80 d) 1014. Zad 10. Oblicz: a) (3 2 + 18 2 8) 2 b) (16 2 2 32 + 2 72) : 8 c) ( 24 4 3 + 2 12) 6. Zad 11. Wyznacz warto± x: a) 2 12 = 3x 108 b) 2 12x = 108 2 3x. Zad 12. Oblicz: a) 3 3 3 6 3 5 b) (2 3 ) 3 2 4 c) (( 5 3 )2 ) 4 (( 3 5 ) 1 ) 6. Zad 13. Przedstaw liczb w postaci pot gi: a) 8 11 32 6 b) 8 12 3 : 27 2 c) 6 6 27 4 2 6 d) (25 7 2 14 ) : 3 21. 1 Na podstawie zbioru zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych, wyd. Nowa Era. 1

Zad 14. Wyznacz liczb, której: a) 16% jest równe 4 b) 2, 5% jest równe 1 3 4. Zad 15. Wyznacz liczb : a) o 5% mniejsz od 15% liczby 60 b) od której 31 jest wi ksze o 24%. Zad 16. W pewnej szkole 30% uczniów sp dziªo wakacje u rodziny, o 25% mniej osób wyjechaªo wyª cznie na obozy sportowe, trzecia cz ± wszystkich uczniów wypoczywaªa za granic, a 34 osoby nigdzie nie wyjechaªy. Ilu uczniów liczy ta szkoªa? Zad 17. Pomara«cze i cytryny kosztuj tyle samo. O ile procent wi cej zapªacimy za 2 kg cytryn i 4 kg pomara«czy je»eli cytryny zdro»ej o 8%, a pomara«cze o 14%? Zad 18. Lodówka kosztowaªa 1300 zª. Jej cen obni»ano dwukrotnie, za ka»dym razem o 30%. Ile kosztuje lodówka po obni»kach? Zad 19. Cena brutto pewnego towaru jest równa 3075 zª i zawiera 23% podatku VAT. Oblicz cen brutto tego towaru po obni»ce podatku VAT do 8%. Zad 20. Liczba x stanowi 25% liczby y. Oblicz jaki procent liczby x stanowi liczba y. Zad 21. Liczba x stanowi 125% liczby y. Oblicz jaki procent liczby x stanowi liczba y. Zad 22. Zmieszano dwa roztwory soli o st»eniach 17% i 2%. Otrzymano roztwór pi cioprocentowy. Którego roztworu byªo wi cej i o ile? Zad 23. Cen telewizora najpierw podniesiono, a potem obni»ono o p%. Cena ko«cowa jest o 1% ni»sza od pocz tkowej. Oblicz p. Zad 24. Ile elementów ma zbiór: X = {n N: n 36}? Zad 25. Jaka jest najmniejsza liczba w zbiorze: Z = {k C: k 2 20}? Zad 26. Na sprawdzianie z matematyki byªy dwa zadania. Spo±ród 24 uczniów 18 rozwi zaªo pierwsze zadanie, 16 - drugie, a 2 uczniów nie rozwi zaªo»adnego zadania. Ilu uczniów rozwi zaªo oba zadania? Zad 27. Ile liczb caªkowitych nale»y do przedziaªu: a) 5, 5 b) 7, 4 c) ( π, π). 3 3 2

Zad 28. Oblicz sum : n + m, gdzie m to ilo± liczb caªkowitych nale» cych do przedziaªu 3, 7), a n to ilo± liczb caªkowitych z przedziaªu 7, 3). Zad 29. Znajd¹ k, dla którego speªniony jest warunek: k 3, k 2 8 (0, 10). Zad 30. Zapisz przedziaª, do którego nale» liczby odlegªe od liczby 1 o mniej ni» 2. Zad 31. Rozwi» nierówno± : a) 3x + 3 x + 3 3 b) 2x + 3 6 + 3x. Zad 32. Oblicz: a) 2 7 + 3 2 7 3 b) (9 + 11) 2 (9 11) 2. Zad 33. Uzasadnij,»e liczba 3 32 1 jest podzielna przez 16. Zad 34. Oblicz: a) 17 + 12 2 9 + 4 2 b) 38 12 2 + 3 2 2. Zad 35. Zapisz odpowiednie nierówno±ci: a) b) Zad 36. Zapisz w postaci nierówno±c zbiór tych liczb, których odlegªo± od liczby 2 jest nie wi ksza ni» 6. 3

Zad 37. Upro± wyra»enie: a) x 1 + 2 x, je»eli x 1, 2 b) 2x+4 + 3 2x, je»eli x 2, ). Zad 38. Znajd¹ iloczyn liczb speªniaj cych równanie: 2x 4 = 10. Zad 39. Udowodnij,»e je±li x > 0 i y > 0, to zachodzi podana nierówno± : a) x2 +y 2 +2 x+y 2 b) 1 x + 1 y 4 x+y. Zad 40. Funkcja f przyporz dkowuje ka»dej liczbie naturalnej z przedziaªu 2, 18 liczb jej dzielników naturalnych. Dla ilu argumentów funkcja f przyjmuje warto± 2? Zad 41. Funkcja f przyporz dkowuje ka»dej dodatniej liczbie trzycyfowej iloczyn jej cyfr. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? Zad 42. Wyznacz wzór funkcji, której wykresem jest prosta równolegªa do prostej y = 6x + 5 i przechodz ca przez punkt: a) P (1, 4) b) P ( 1 5, 1 5 ) c) P (1 2 2, 3 2 + 2). Zad 43. Wyznacz wzór funkcji, której wykresem jest prosta prostopadªa do prostej y = 2x + 3 i przechodz ca przez punkt: a) P (4, 1) b) P ( 2, 3) c) P ( 1 2, 3). Zad 44. Wyznacz wzór funkcji liniowej f, je±li: a) f(0) = 1, f(11) = 45 f(0) = 2, f(12) = 4. Zad 45. Wyznacz warto±ci parametru m, dla których proste l 1 i l 2 s równolegªe: a) l 1 : y = 2x 4, l 2 : y = (m 4)x + 6 b) l 1 : y = m+3 2 x 1, l 2 : y = (2m 1)x + 3. Zad 46. Wyznacz warto± parametru m, je»eli miejscem zerowym funkcji f jest liczba 2: a) f(x) = 3 x + m b) f(x) = (2 3m)x + 2m. 4 Zad 47. Zapisz równania ogólne i kierunkowe prostych zawieraj cych przek tne prostok ta ograniczonego prostymi: x = 2, x = 3, y = 1, y = 4. Zad 48. Wyznacz równanie prostej równolegªej do prostej 2x + 6y 5 = 0 i przechodz cej przez punkt P ( 1, 4). Zad 49. Dla jakich warto±ci parametru m proste: 2mx + 5y 3 = 0 i 10x + my + 1 = 0 s prostopadªe, a dla jakich - równolegªe? 4

Zad 50. Dla jakich warto±ci parametru m funkcja f jest malej ca: a) f(x) = (3 2m)x + 1 b) f(x) = 2(m + 2)x 3. Zad 51. Podaj dziedzine i miejsca zerowe funkcji: a) f(x) = x+2 x 2 9 e) f(x) = x 3 f) f(x) = 1 x 2 9 Zad 52. Naszkicuj wykres funkcji: b) f(x) = 3x 1 x 2 2 c) f(x) = x x 2 +4 x 3. 4 dla x < 2 f(x) = x 2 dla x 2, 2 6 x dla x > 2. d) f(x) = 6 x Zad 53. Odczytaj z wykresu funkcji f: 4, 4 R jej zbiór warto±ci, dziedzin, miejsca zerowe, warto± najmniejsz i najwi ksz, oraz argumenty, dla których s przyjmowane: Zad 54. Punkt W (2, 5) jest wierzchoªkiem paraboli b d cej wykresem funkcji f. Wyznacz brakuj ce wspóªczynniki i podaj wzór tej funkcji: a) f(x) = 3x 2 + bx + c b) f(x) = ax 2 + 12x + c. Zad 55. Dana jest funkcja f(x) = x 2 + bx + 2. Wyznacz wspóªczynnik b, je±li: a) do wykresu funkcji f nale»y punkt A( 2, 0) b) wykres funkcji f jest styczny do osi OX. 5

Zad 56. Rozwi» równanie: a) 7x 2 12x + 5 b) 4x 2 + 3x 9 16 = 0 c) 3x2 + 8x 11 = 0 d) 2x 2 3 3x 9 = 0. Zad 57. Wyznacz wspóªczynniki b i c, wiedz c,»e: a) funkcja f ma dokªadnie jedno miejsce zerowe x 0 = 4 b) funkcja f przyjmuje warto±ci dodatnie tylko dla x ( 3 2, 0) c) wykres funkcji f przecina o± OX w punktach ( 2, 0) i (1 + 2, 0). Zad 58. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f s liczby 2 i 1. Wyznacz wzór tej funkcji, je»eli: a) dla argumentu 3 funkcja f przyjmuje warto± 10 b) wykres funkcji f przecina o± OY w punkcie (0, 6) c) warto± najwi ksza funkcji f jest równa 9. Zad 59. Rozwi» nierówno±ci: a) x 2 2x 3 0 b) 2x 2 + 4x 1 < 0 c) 5x 2 3x + 2 0 d) 6x 2 + x 1 > 0. Zad 60. Wyznacz wszystkie liczby caªkowite speªniaj ce nierówno± : 2x 2 + 2x 15 < 0. Zad 61.* Dla jakich warto±ci par. m równanie ma dwa ró»ne pierwiastki: a) x 2 + 2mx + 1 = 0 b) (m 2 4)x 2 2mx 2 = 0. Zad 62.* Dla jakich warto±ci parametru m równanie ma dwa pierwiastki o ró»nych znakach: a) x 2 + (4 m)x 4m + m 2 = 0 b) x 2 (2m + 1)x + m 2 + m 6 = 0. Zad 63.* Wyznacz warto±ci parametru m, dla których dwa ró»ne pierwiastki równania: x 2 (m + 1)x + m = 0 s liczbami mniejszymi od 2. Zad 64. Suma kwadratów trzech kolejnych nieparzystych liczb naturalnych jest równa 251. Znajd¹ te liczby. Zad 65. Wyznacz warto± najwi ksz i warto± najmniejsz funkcji f w podanym przedziale: a) f(x) = x 2 + 4x, 0, 5 b) f(x) = 2x 2 + 5x 4, 2, 1. 6

Zad 66. Na okr gu obrano n ró»nych punktów. Ka»dy z nich poª czono odcinkami ze wszystkimi pozostaªymi punktami. Otzrymano 21 odcinków. Ile byªo punktów? Zad 67. Podaj miary k tów w trójk cie, wiedz c»e ich stosunek wynosi 2 : 3 : 7. Zad 68. Dany jest trójk t ABC, w którym k t BCA ma miar 150. Przez wierzchoªek B tego trójk ta poprowadzono prost l równolegª do dwusiecznej k ta BCA. Prosta l przecina prost AC w punkcie D. Oblicz miary k tów trójk ta BCD. Zad 69. Dany jest trójk t ABC (rys.). Póªprosta CL jest dwusieczn k ta ACB, punkt M jest ±rodkiem odcinka AL, a punkt N jest ±rodkiem odcinka CB.Wiedz c,»e miara k ta ABC to 45 i miara k ta ACB to 60, uzasadnij,»e odcinek MN jest prostopadªy do odcinka CB. Zad 70. Przeciwprostok tna trójk ta prostok tnego ma dªugo± 10. Wysoko± opuszczona na przeciwprostok tn dzieli j w stosunku 2 : 3. Oblicz t wysoko± oraz dªugo±ci przyprostok tnych. Zad 71. Chªopiec stoj cy 3 m od latarni rzuca cie«dªugo±ci 1 m. Oblicz wysoko± latarni, je±li chªopiec ma 170 cm wzrostu. 7

Zad 72. Na rysunku przedstawiono trójk t prostok tny o przyprostok tnych dªugo±ci a, b i przeciwprostok tnej dªugo±ci x + y. Wyka»,»e: a) h = ab x+y b) h = xy. Zad 73. Obwód trójk ta prostok tnego jest równy 8 + 5 2, a jedna z przyprostok tnych ma dªugo± 7. Oblicz dªugo±ci pozostaªych boków trójk ta. Zad 74. Oblicz warto±ci pozostaªych funkcji trygonometr. k ta ostrego α: a) sin α = 2 b) cos α = 0, 4 c) tan α = 3. 3 5 Zad 75. Wyka»,»e dla k ta ostrego α podana równo± jest to»samo±ci : a) (1 + cos α)(1 cos α) = sin 2 α b) (sin α + cos α)(sin α cos α) = 1 2 cos 2 α. Zad 76. Oblicz pole trójk ta ABC wiedz c,»e: AB = 2 3, AC = 2 5 i cos k ta BAC jest równy 1. 4 Zad 77. Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego wiedz c,»e jego ramie ma dªugo± 7, krótsza podstawa 5, a wysoko± jest równa 3 5. Zad 78. Oblicz wysoko± i pole rombu o boku 5 i k cie ostrym α takim,»e cos α = 1. 5 Zad 79. Przek tne kwadratu przecinaj si w punkcie (2, 1), a jeden z jego wierzchoªków ma wspóªrz dne (1, 2). Oblicz pole i obwód kwadratu. 8

Zad 80. Punkt S(5, 6) jest ±rodkiem odcinka AB. Oblicz dªugo± odcinka AB, je±li punkt A le»y na osi OY, a rz dna punktu B jest równa 7. Zad 81. Podaj równanie okr gu o ±rodku w punkcie S i promieniu r: a) S(1, 3), r = 2 b) S( 5, 1), r = 2 5. Zad 82. Oblicz wspóªczynnik a wielomianu w, je±li: a) w(x) = x 2 ax+2, w(2) = 4 b) w(x) = ax 3 5x 2 +x, w(1) w( 1) = 3 2. Zad 83. Dane s wielomiany: f(x) = 6x 3 5x 2 4, g(x) = 2x 2 x + 3, h(x) = 7x 2 2x 3x 3. Wyznacz wielomian w(x) = f(x) + g(x) 1 2 h(x) i podaj jego stopie«. Zad 84. Nie wykonuj c mno»enia podaj stopie«wielomianu: a) w(x) = (3 x 2 )(1 x + 2x 2 ) b) w(x) = (5x 3 1)(3 x x 3 ). Zad 85. Rozªó» wielomian na czynniki: a) w(x) = x 6 + 2x 4 + x 2 b) w(x) = 5x 7 2x 5 + 0, 2x 3 c) w(x) = 6x 3 9x 2 + 4x 6 d) w(x) = x 5 + x 4 x 1. Zad 86. Rozwi» równania: a) 27x 3 9x 2 3x + 1 = 0 b) 4x 6 9x 4 16x 2 + 36 = 0 c) 2x 3 7x 2 + 7x 2 = 0 d) 4x 3 3x 2 + 4x 3 = 0. Zad 87.* Rozwi» równania: a) 2x 3 7x 2 2x + 1 = 0 b) x 4 + 2x 3 4x 2 2x + 3 = 0. Zad 88. Rozwi» równania: a) 8x 5 = 2x 3 b) x 5 = 9x. Zad 89. Wyznacz równanie hiperboli wiedz c,»e powstaªa ona w wyniku przesuni cia hiperboli h o pewien wektor, a jej asymptoty przecinaja sie w punkcie P : a) h : y = 9 5, P ( 1, 3) b) h : y =, P ( 4, 2). x 4x Zad 90. Beata poprosiªa kole»anki o pomoc w wypisaniu 72 zaprosze«. Poniewaz dwie z nich nie przyszªy, ka»da z pozostaªych dziewcz t musiaªa wypisa o sze± zaprosze«wi cej, ni» zaplanowaªa Beata. Ile osób wypisywaªo zaproszenia, je»eli wiadomo,»e ka»da z nich wypisaªa ich tyle samo? 9

Zad 91. Dwie kopiarki o ró»nej wydajno±ci, pracuj c jednocze±nie, skopiowaªy pewn liczb ulotek. Skopiowanie tylu ulotek zaj ªoby pierwszej z nich trzy razy wi cej czasu, a drugiej o cztery minuty wi cej. trwaªo kopiowanie ulotek? Jak dªugo Zad 92. Z miest A i B oddalonych od siebie o 210 km wyjechaªy jednocze±nie naprzeciw siebie dwa samochody. Poruszaªy sie ze staª pr dko±ci i min ªy sie w odlegªo±ci 90 km od miasta A. Oblicz pr dko± ka»dego z nich wiedz c,»e jeden jechaª o 15 km/h szybciej. Zad 93. Tras o dªugo±ci 144 km samochód przejechaª w czasie o godzin krótszym ni» motocykl. Oblicz ±redni pr dko± ka»dego z pojazdów na tym odcinku, je±li ±rednia pr dko± samochodu byªa o 24 km/h wi ksza ni» ±rednia pr dko± motocykla. Zad 94. Pr dko± wody w nurcie rzeki wynosi 2 km/h. Pªyn c z pr dem, kajakarz pokonaª tras o dªugo±ci 16 km w czasie o 2 godziny krótszym, ni» zaj ªa mu druga powrotna w gór rzeki. Ile czasu ª cznie pªyn ª kajakarz? Zad 95. Samochód dostawczy wyjechaª z miasta A do miasta B. Dotarª do celu i po 15 minutach postoju wyruszyª w drog powrotn. Š cznie przejechaª 160 km, a caªa podró» zaj ªa mu 2, 5 godziny. Oblicz ±redni pr dko± samochodu na trasie z miasta A do miasta B wiedz c,»e byªa ona o 16 km/h mniejsza ni» ±rednia pr dko±, z jak poruszaª sie w drodze powrotnej. Zad 96. Ksi»ka ma 216 stron. Konrad czytaª codziennie po tyle samo stron i sko«czyª ksi»k o jeden dzie«wcze±niej ni» Sta±. Ile dni Sta± czytaª ksi»k, je»eli ka»dego dnia czytaª o 3 strony mniej ni» Konrad. Zad 97. Oblicz pi pocz tkowych wyrazów ci gu (a n ): a) a n = n + ( 1)n n b) a n = ( 2) n c) a n = 1+( 1)n 2 n d) a n = 3+( 1)n 2 + 1 n. Zad 98. Za trzy ksi»ki, których ceny tworz ci g geometryczny, zapªacono 70 zª. Najdro»sza z nich kosztowaªa o 10 zª wi cej ni» dwie pozostaªe razem. Ile kosztowaªa ka»da z ksi»ek? Zad 99. Suma trzech liczb tworz cych ci g arytmetyczny wynosi 15. Je±li pierwsz i drug liczb zwi kszymy o 1, a trzeci - o 4, to otrzymamy ci g geometryczny. Wyznacz te liczby. 10

Zad 100. Oblicz pole wycinka koªa o promieniu 4 wyznaczonego przez k t ±rodkowy o mierze: a) 30 b) 45 c) 252. Zad 101. Wyznacz miary k tów α, β i γ: Zad 102. Oblicz promie«okr gu opisanego na trójk cie prostok tnym wiedz c,»e pole trójk ta wynosi 8, a wysoko± opuszczona na przeciwprostok tn jest równa 2. Zad 103. Oblicz promie«okr gu wpisanego w trójk t prostok tny wiedz c,»e przyprostok tne tego trójk ta maj dªugo± 7 i 1. Zad 104. Oblicz wysoko± i pole rombu, o którym wiadomo,»e miara jego k ta ostrego wynosi 60, a bok ma dªugo± 16 cm. Zad 105. Zapisz liczb w postaci pot gi o podstawie 2: a) 2 2 0,25 b) 4 (0, 5) 3 5 c) 64 2 9 : 0, 25 5 6. Zad 106. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 4 x. Odczytaj z wykresu argumenty, dla których funkcja przyjmuje warto±ci mniejsze od 1. Zad 107. Dana jest funkcja f(x) = ( 3 2 )x + a. Oblicz a, je»eli miejscem zerowym funkcji jest liczba 2. Zad 108. Oblicz: a) log 4 2 log 4 32 6 log 4 1 b) log 3 12 + 2 log 3 6 4 log 3 2. 11

Zad 109. Oblicz: ab 2 1, je»eli log c 3 a = 5, log = b, log 2 8 c 9 = 4. Zad 110. Przek tna graniastosªupa prawidªowego czworok tnego ma dªugo± 8 i tworzy z kraw dzi podstawy k t 60. Oblicz wysoko± tego graniastosªupa. Zad 111. Przekrojem osiowym sto»ka jest trójk t prostok tny o polu 25 cm 2. Oblicz ±rednic podstawy tego sto»ka. Zad 112. Powierzchnia boczna walca po rozwini ciu jest kwadratem o polu 4π 2. Oblicz obj to± tego walca. Zad 113. Losujemy jedn liczb spo±ród liczb naturalnych dwucyfrowych. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e ta liczba jest podzielna przez 11. Zad 114. W urnie jest 20 kul ponumerowanych od 1 do 20. Wyjmujemy losowo jedn kul. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e b dzie to kula o numerze b d cym liczba pierwsz. Zad 115. Ucze«ma osiem ocen z biologii, a ich ±rednia arytmetyczna wynosi 3. O ile wzro±nie ta ±rednia, je»eli otrzyma jeszcze dwie oceny: 4 i 6. Zad 116. W klasie A licz cej 27 osób i klasie B licz cej 18 osób przeprowadzono sprawdzan ze statystyki. rednia ocen ze sprawdzianu w klasie A wyniosªa 4, a w klasie B - 3, 5. Oblicz ±redni ocen ze sprawdzianu w obu tych klasach. Zad 117. Wypisz liczby pierwsze mniejsze ni» 50. Oblicz ±redni i wyznacz median tych liczb. cos α+sin α Zad 118. Oblicz warto± wyra»enia: cos α ostrym i tan α = 2. wiedz c,»e α jest k tem 12