1 Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rząd równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych. Równania różniczkowe zwyczajne jeżeli niewiadoma funkcja zależy tylko od jednego argumentu, np. y + x y = sin x. cząstkowe jeżeli niewiadoma funkcja zależy od kilku argumentów. 1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicja 1.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzę n nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0, (1) w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna rzę n tej funkcji wraz z pochodnymi niższych rzędów, tzn. y = dx, y = d2 y dx 2,..., y(n) = dn y dx n. Przykład 1.2. y + 3x y 2 = 8 < równanie różniczkowe rzę pierwszego y + 3x y x 3 y 2 = 0 < równanie różniczkowe rzę drugiego d 3 s dt 3 t s2 ds = 5 < równanie różniczkowe rzę trzeciego dt d 5 y dt 5 t y3 = sin t < równanie różniczkowe rzę piątego y (4) y = 5xy < równanie różniczkowe rzę czwartego 1

2 Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego zwyczajnego ( Definicja 2.1. Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego F x, y, y, y,..., y (n)) = 0 w przedziale (a, b) nazywamy każdą funkcję zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej y = y(x) lub w postaci uwikłanej h(x, y) = 0, która ma pochodne do rzę n włącznie i spełnia równanie F ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0 dla x (a, b). Przykład 2.2. Funkcja y = 2x jest całką równania x 2 y 2xy + 2y = 0, gż y = 2 i y = 0 oraz x 2 0 2x 2 +2 2x =0. Przykład. Funkcja x 2 + y 2 = 4 jest całką równania x + yy = 0, gż 2xdx + 2y = 0 i po podzieleniu przez 2dx otrzymujemy równanie x + y dx = 0. Definicja 2.3. Wykres całki y = y(x) równania różniczkowego F krzywą całkową tego równania. Przykład 2.4. Krzywe całkowe równania y = y: y ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0 nazywamy x ( Definicja 2.5. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania F x, y, y, y,..., y (n)) = 0 w ( obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F x, y, y, y,...,y (n)) =0 zależne od n dowolnych stałych C 1, C 2,... C n wyrażone w postaci jawnej y = y(x, C 1, C 2,..., C n ) lub w postaci uwikłanej h(x, y, C 1, C 2,..., C n ) = 0, i takie, że podstawiając dowolne wartości za C 1, C 2,... C n otrzymamy wszystkie znajjące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Definicja 2.6. Podstawiając za C 1, C 2,... C n konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną ( lub rozwiązanie szczególne równania F x, y, y, y,..., y (n)) = 0. 2 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Przykład 2.7. Funkcja y = C 1 x + C 2 jest całką ogólną równania xy + 2y = 0, zaś funkcje to całki szczególne równania xy + 2y = 0. y = 1 x, y = 3 x + 5, y = 1, Geometrycznie każdej całce szczególnej odpowiada pewna linia płaska (wykres całki), a całce ogólnej odpowiada zbiór (rodzina) wszystkich krzywych całkowych. Definicja 2.8. Rozwiązanie osobliwe (lub całka osobliwa) jest to rozwiązanie równania F ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0, którego NIE można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za C 1, C 2,... C n dowolnych wartości. Przykład 2.9. Funkcja y = 0 jest rozwiązaniem osobliwym równania y = 2 y. Całką ogólną tego równania jest y = t + C, gdzie t + C 0. 2.1 Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe) ( Definicja 2.10. Zagadnieniem Cauchy ego dla równania F x, y, y, y,..., y (n)) = 0 nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej jednocześnie warunki początkowe: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,,... y (n 1) (x 0 ) = y n 1 gdzie x 0, y 0, y 1,... y n 1 nazywamy wartościami początkowymi. Przykład 2.11. Wyznaczmy rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla równania y = 6x i warunków początkowych: y(0) = 2 y (0) = 3. Otrzymujemy y(0) = 2 C 2 = 2 y (0) = 3 C 1 = 3 y = 6x y = 3x 2 + C 1 y = x 3 + C 1 x + C 2 } { y = x 3 + 3x + 2 jest całką szczególną równania y = 6x będącą rozwiązaniem podanego zagadnienia Cauchy ego. 3 Równania różniczkowe zwyczajne rzę pierwszego Definicja 3.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzę pierwszego nazywamy równanie postaci gdzie y = y(x) jest funkcją niewiadomą zmiennej x. F ( x, y, y ) = 0, (2) 3 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Definicja 3.2. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania (2) w przedziale (a, b) nazywamy każdą funkcję zależną od dowolnej stałej C i wyrażoną w postaci jawnej y = y(x, C) lub w postaci uwikłanej h(x, y, C) = 0, która ma pochodną rzę pierwszego i spełnia równanie (2) dla x (a, b). Wówczas podstawiając dowolne wartości za C otrzymamy wszystkie znajjące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Definicja 3.3. Całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania (2) nazywamy każdą funkcję wyrażoną w postaci jawnej y = y(x) lub w postaci uwikłanej h(x, y) = 0, która ma pochodną rzę pierwszego i spełnia równanie F (x, y, y ) = 0 dla x (a, b). Uwaga 1. Jeżeli z równania (2), można wyznaczyć y, to równanie to przyjmuje postać y = f(x, y). Będziemy posługiwali się również tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci: P (x, y)dx + Q(x, y) = 0. 3.1 Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe) Mając daną całkę ogólną y = y(x, C) równania (2) można rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla tego równania, które polega na wyznaczeniu całki szczególnej równania (2) spełniającej warunek początkowy y(x 0 ) = y 0. Wówczas z równania y 0 = y(x 0, C) wyznaczamy stałą C = C(x 0, y 0 ). Następnie po podstawieniu otrzymanej stałej C do rozwiązania ogólnego otrzymujemy szukaną całkę szczególną. 3.1.1 Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy ego y W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy ego polega na wybraniu z rodziny krzywych całkowych jednej krzywej, która przechodzi przez z góry zadany punkt (x 0, y 0 ). Na przykład całką ogólną równania y = 2xy y 0 jest x 0 x a funkcja y = Ce x2, y = y 0 e x2 +x 2 0 jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego odpowiadającego warunkowi początkowemu y(x 0 ) = y 0. 4 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

3.2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Niech f : (a, b) R, h : (c, d) R będą funkcjami ciągłymi, gdzie (a, b), (c, d) - są to skończone lub nieskończone przedziały oraz h(y) 0 dla wszystkich y (c, d). Definicja 3.4. Równanie różniczkowe dx = f(x) h(y), (3) o funkcji niewiadomej y(x) nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Równanie (3) można zapisać równoważnie w formie różniczkowej następująco: h(y) = f(x)dx. Stwierdzenie 3.5. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f w (a, b), zaś H funkcją pierwotna funkcji h w (c, d). Wte zbiór rozwiązań równania (3) jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania H(y(x)) = F (x) + C, gdzie C R; C jest dowolną stałą dobraną do funkcji F, H, y. Uwaga 2. Równanie H(y(x)) = F (x) + C, zapisujemy w następujący sposób: h(y) = f(x)dx + C. Twierdzenie 3.6. Jeżeli f : (a, b) R i h : (c, d) R są funkcjami ciągłymi i h(y) 0 dla wszystkich y (c, d), to wzór h(y) = f(x)dx + C przedstawia całkę ogólną równania (3), przez każ punkt (x 0, y 0 ), gdzie x 0 (a, b) i y 0 (c, d), przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (3). Krzywa ta jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego y = f(x) h(y), y(x 0) = y 0. Przykład 3.7. Rozpatrzmy następujące równanie = 2xdx i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że całkujemy rów- Rozdzielamy zmienne y nanie): y = 2xy. (4) y = 2 Stąd dla C 0 funkcja y = Ce x2 xdx ln y = x 2 + ln C, gdzie C 0 jest rozwiązaniem równania. G C = 0, to y = 0 y = 0. Zatem równanie (4) jest spełnione dla y = 0, czyli y = 0 jest krzywą całkową równania (4). Stąd rodzina y = Ce x2, dla C R jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania (4). 5 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

3.3 Szczególne przypadki równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych Rozpatrzmy równanie y = f(x), gdzie f jest ciągła na przedziale (a, b) R. Wówczas całkując obie strony względem zmiennej x otrzymujemy: y = f(x)dx y = F (x) + C, gdzie F (x) = f(x), dla x (a, b). Rozpatrzmy równanie y = g(y), gdzie g ma ciągłą pochodną na przedziale (c, d) R. Wówczas g(y) = dx G(y) = x + C, gdzie G (y) = 1, dla y (c, g). g(y) 3.4 Równania różniczkowe rzę pierwszego sprowadzalne do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych 3.4.1 Równanie jednorodne Niech f będzie funkcją ciągła na przedziale (a, b) oraz f(u) u. Równanie różniczkowe ( ) y dx = f, (5) x o funkcji niewiadomej y(x) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym. Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmi- Wte y = ux dx = dx x + u ennych rozdzielonych Rozwiązanie równania f(u) u = dx x u(x) = y x, dx x + u = f(u) f(u) u = dx x wiąże ze sobą zmienne u i x. Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u = y x. Przykład 3.8. Rozważmy równanie y = x + y x. (6) Wówczas y = 1 + y x. Stosując podstawienie u(x) = y x, otrzymujemy x u = 1 = dx x dx = x u = ln x + C y = x ln x + Cx. 6 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

3.4.2 Równanie różniczkowe postaci y = f(ax + by + c) Niech a, b, c R i b 0 oraz f będzie funkcją ciągłą. Równanie = f (ax + by + c) dx rozwiązujemy przez podst.: u = ax + by + c, gdzie u = u(x) jest nową funkcją niewiadomą zmiennej x. Wte dx = a + b dx dx = 1 ( ) b dx a i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: dx = b f(u) + a a + bf(u) = dx a + bf(u) = dx Rozwiązanie {}}{ równania wiąże ze sobą zmienne u i x. Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u = ax + by + c. Przykład 3.9. Rozważmy równanie y = cos (x y). (7) Stosując podstawienie u(x) = x y, otrzymujemy Ponieważ 1 cos u = 2 sin 2 u 2, więc u = 1 cos u 1 cos u = dx. 2 sin 2 u 2 = dx ctg u 2 = x + C. Zatem ctg x y 2 = x + C, dla C R i y x 2kπ. Ponadto, jeśli y = x 2kπ, to y = 1 i cos(x y)=cos 2kπ = 1. Zatem y = x 2kπ jest również całką równania (7). Otrzymaliśmy y = x 2kπ ctg x y 2 = x + C, dla C R k Z. 7 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

4 Równania różniczkowe liniowe rzę pierwszego Definicja 4.1. Równaniem różniczkowym liniowym rzę pierwszego nazywamy równanie postaci: gdzie p, q są danymi funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale (a, b). + p(x)y = q(x), (8) dx Jeśli q 0, to równanie (8) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli q 0, to to równanie (8) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN 4.1 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego I-szego rzę Aby wyznaczyć rozwiązanie RN postaci (8) szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: + p(x)y = 0 (9) dx funkcja y 0 jest rozwiązaniem RJ (równania (9)) jeśli y 0, to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych Rozdzielając zmienne y = p(x)dx, dx = p(x)y całkując y = p(x)dx ln y = p(x)dx + ln C, gdzie C 0, i przekształcając otrzymujemy kolejno y C = p(x)dx e y = C e p(x)dx y = C e p(x)dx, C 0 Jednakże, jeśli C = 0, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie y = 0. Zatem Całką Ogólną Równania Jednorodnego (ozn. CORJ) jest rodzina krzywych y = C e p(x)dx, dla C R. Twierdzenie 4.2. Jeśli p jest funkcją ciągła na przedziale (a, b) R, to y = C e p(x)dx, dla C R. jest całką ogólną RJ (9), ponadto przez każ punkt obszaru D = {(x, y): x (a, b) y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (9). Uwaga 3. Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ. 8 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Aby wyznaczyć stosujemy jedną z dwóch metod. CORN (Całkę Ogólną Równania Niejednorodnego) postaci (8) 1 Metoda I Metoda II CORJ 2 CORN Metoda I: Metoda uzmienniania stałej Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby funkcja y = C(x) e p(x)dx (10) była CORN. Wte stąd Zatem i dx = C (x) e p(x)dx + C(x) e p(x)dx ( p(x)) y {}} { C (x) e p(x)dx C(x) y { p(x) e p(x)dx }} { +p(x) C(x) e p(x)dx = q(x) Po podstawieniu C(x) do (10) otrzymujemy: C (x) = q(x) e p(x)dx C(x) = q(x) e p(x)dx dx + C 1, gdzie C 1 R. ( CORN y(x) = ) q(x) e p(x)dx dx + C 1 e p(x)dx ( CORN y(x) = C 1 e p(x)dx + e p(x)dx ) q(x) e p(x)dx dx. Twierdzenie 4.3. Jeśli p, q są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b) R, to ( y(x) = C 1 e p(x)dx + e p(x)dx ) q(x) e p(x)dx dx, dla C 1 R, jest CORN, ponadto przez każ punkt obszaru D = {(x, y) : x (a, b) y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (8). Twierdzenie 4.4. Niech y(x) CORJ, Wte tzn. y s (x) CSRN = Całka Szczególna RN. CORN = CORJ + CSRN, CORN = y(x) + y s (x). 9 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Przykład 4.5. Rozważmy równanie y + 2xy = x e x2. (11) Szukamy rozwiązań RJ: y + 2xy = 0 dx = 2xy rozdzielamy zmienne y = 2xdx, całkujemy y = 2xdx ln y = x 2 + ln C, gdzie C 0, i otrzymujemy kolejno ln y = ln e x2 + ln C y = C e x2 y = C e x2, dla C 0 Ponieważ y = 0 jest całką szczególną równania y + 2xy = 0 i jeżeli C = 0, to otrzymujemy y = 0, więc CORJ ma postać: y = C e x2, dla C R Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby y = C(x) e x2 ( ) było CORN. Wte y = C (x) e x2 + C(x) e x2 ( 2x) Ponieważ więc Zatem y = C (x) e x2 2xC(x) e x2, y {}} { C (x) e x2 2x C(x) e x2 y {}} { +2x C(x) e x2 = x e x2 C (x) e x2 = x e x2 C (x) = x i C(x) = xdx + C 1 = 1 2 x2 + C 1, gdzie C 1 R. Podstawiając C(x) = 1 2 x2 + C 1 do y = C(x) e x2 otrzymujemy: CORN ( ) 1 y(x) = 2 x2 + C 1 e x2 y(x) = C 1 e x2 + 1 2 x2 e x2. = y(x) = C 1 e x2 + 1 }{{} 2 x2 e x2. }{{} CORJ CSRN 10 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Metoda II: Metoda przewiwania Metoda przewiwania polega na odgadnięciu CSRN, g dana jest CORJ, i wte na podstawie twierdzenia otrzymujemy Metodę stosujemy, g CORN = CORJ + CSRN. p(x) = const wielomian stopnia n q(x) = a sin ωx + b cos ωx ae λx, lub q(x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok. Przewiwanie postaci całki szczególnej y s (x) równania RN postaci y + py = q(x), p R Postać q(x) Postać przewiwana y s (x) P n (x) = p 0 A n x n +... + A 1 x + A 0 = a n x n +... + a 1 x + a 0 p=0 x(a n x n +... + A 1 x + A 0 ) a e λx λ p Ae λx λ = p Axe λx P n (x) e λx λ p (A n x n +... + A 0 )e λx λ= p x(a n x n +... + A 0 )e λx a cos ωx + b sin ωx A cos ωx + B sin ωx P n (x) cos ωx + Q m (x) sin ωx, n m W n (x) cos ωx + M n (x) sin ωx P n (x)e λx cos ωx + Q m (x)e λx sin ωx, n m W n (x)e λx cos ωx + M n (x)e λx sin ωx gdzie W n (x) = A n x n +... + A 0 i M n (x) = B n x n +... + B 0 Przykład 4.6. y + 3y = x 2 + 8 = y s (x) = Ax 2 + Bx + C y + 3y = x e x = y s (x) = (Ax + B) e x y + 3y = x e 3x = y s (x) = x (Ax + B) e 3x y 3 5 y = sin x = y s(x) = A sin x + B cos x y 3 5 y =e 3 5 x sin x y s (x)=ae 3 5 x sin x+be 3 5 x cos x y 2y = e 2x = y s (x) = Axe 2x 11 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzę drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzę drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzę tej funkcji, tzn. y = dx, y = d2 y dx 2. 5.1 Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego rzę Definicja 5.2. Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego F (x, y, y, y ) = 0 w przedziale (a, b) nazywamy każdą funkcję zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej y = y(x) lub w postaci uwikłanej h(x, y) = 0, która ma pochodne do rzę n włącznie i spełnia równanie F (x, y, y, y ) = 0 dla x (a, b). Definicja 5.3. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania F (x, y, y, y ) = 0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F (x, y, y, y ) = 0 zależne od dwóch dowolnych stałych C 1, C 2 wyrażone w postaci jawnej y = y(x, C 1, C 2 ) lub w postaci uwikłanej h(x, y, C 1, C 2 ) = 0, i takie, że podstawiając dowolne wartości za C 1, C 2 otrzymamy wszystkie znajjące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Podstawiając za C 1, C 2 konkretne wartości otrzymamy tzw. równania F (x, y, y, y ) = 0. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne 5.2 Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe) Zagadnienie Cauchy ego dla równania F (x, y, y, y ) = 0 polega na znalezieniu całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe: (W ) y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 gdzie wartość początkowa x 0 (a, b), zaś wartości początkowe y 0 i y 1 są dowolnymi z góry wybranymi liczbami. 5.3 Równania różniczkowe rzę drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzę pierwszego Równanie postaci F (x, y, y ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzę pierwszego przez podstawienie y = u Wówczas y = u i otrzymujemy równanie różniczkowe rzę pierwszego postaci: F ( x, u, u ) = 0. 12 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Równanie postaci F (y, y, y ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzę pierwszego przez podstawienie Wówczas y = v(y) y = dx = dv dx = dv dx = v y = v v i otrzymujemy równanie różniczkowe rzę pierwszego postaci: F (y, v, v v) = 0. Przykład 5.4. Rozważmy równanie y ( x 2 + 1 ) = 2xy. Stosując podstawienie u = y, otrzymujemy u ( x 2 + 1 ) = 2xu u = 2x x 2 + 1 dx u = 2x x 2 + 1 dx ( ) ( ) ln u = ln x 2 + 1 + ln C 1 u = C 1 x 2 + 1. Ponieważ u = y, więc otrzymujemy ( ) y = C 1 x 2 + 1 ( ) 1 y = C 1 3 x3 + x + C 2. Rozważmy zagadnienie Cauchy ego y ( x 2 + 1 ) = 2xy, y(0) = 1, y (0) = 3, Wówczas C 2 = 1 i C 1 = 3. Zatem rozwiązaniem danego zagadnienia Cauchy ego jest całka y = x 3 + 3x + 1. Przykład 5.5. Rozważmy równanie y y = (y ) 2. Stosując podstawienie y = v(y) y = v v, otrzymujemy yv v = v 2 v = v y dv v = y dv v = y Ponieważ v = y, więc otrzymujemy ln v = ln y + ln C 1 v = C 1 y. y = C 1 y y = C 1 dx ln y = C 1 x + ln C 2 y = C 2 e C 1x. 13 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

5.4 Równania różniczkowe liniowe rzę drugiego Definicja 5.6. Równaniem różniczkowym liniowym rzę drugiego nazywamy równanie postaci: gdzie a 1, a 2 i f są danymi funkcjami ciągłymi na (a, b). y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = f(x), (13) Jeśli f 0, to równanie (13) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli f 0, to to równanie (13) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. 5.5 Układ fundamentalny całek (rozwiązań) Definicja 5.7. Rozwiązania y 1, y 2 są liniowo niezależne na przedziale (a, b) dla każdego x (a, b) spełniony jest warunek y 1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) 0 (14) Wyznacznik występujący w (14) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (lub wrońskianem) i ozn. symbolem W [y 1, y 2 ](x). Definicja 5.8. Układem fundamentalnym całek (rozwiązań) nazywamy układ liniowo niezależnych rozwiązań. 5.6 Całka ogólna (rozwiązanie ogólne) liniowego równania niejednorodnego Niech całki y 1, y 2 będą fundamentalnym układem rozwiązań równania RJ y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = 0, wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn. Twierdzenie 5.9. Niech y = C 1 y 1 + C 2 y 2. y 1, y 2,..., y n liniowo niezależne rozwiązania równania RJ na przedziale (a, b) R y s całka szczególna RN. Wte całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y s, czyli CORN = CORJ + CSRN. 14 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

5.7 Równania różniczkowe liniowe rzę drugiego o stałych współczynnikach Definicja 5.10. Równaniem różniczkowym liniowym rzę drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y + py + qy = f(x), (15) gdzie p, q R zaś f jest daną funkcją ciągłą na (a, b). Jeśli f 0, to równanie (15) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli f 0, to to równanie (15) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. 5.8 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego II-ego rzę o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y + py + qy = f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: RJ y + py + qy = 0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y = e rx Wte y = e rx y = re rx y = r 2 e rx i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie r 2 + pr + q = 0 zwane równaniem charakterystycznym. Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Pierwiastki ( ) Całki szczególne RJ Całka ogólna RJ > 0 r 1 r 2 y 1 = e r1x, y 2 = e r 2x y = C 1 e r1x + C 2 e r 2x = 0 r 0 y 1 = e r0x, y 2 = xe r 0x y = C 1 e r0x + C 2 xe r 0x < 0 r 1,2 = α ± βi y 1 = e αx sin βx y = C 1 e αx sin βx + C 2 e αx cos βx y 2 = e αx cos βx 15 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

W celu znalezienia rozwiązania liniowego równania różniczkowego niejednorodnego rzę drugiego postaci stosujemy na przykład y + py + qy = f(x), p, q R Metodę wpółczynników nieoznaczonych (metoda przewiwania) która polega na odgadnięciu CSRN, g dana jest CORJ, i wte na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, g CORN = CORJ + CSRN. równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (p, q R) wielomian stopnia n f(x) = a sin ωx + b cos ωx lub f(x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok. ae λx, Przewiwane postacie całki szczególnej y s (x) równania RN y + py + qy = f(x),, p, q R Niech λ + ωi, λ, ω R, będzie k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0. Wówczas Postać f(x) Postać przewiwana y s (x) P n (x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 x k (A n x n +... + A 1 x + A 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +... + A 0 )e λx a cos ωx + b sin ωx x k (A cos ωx + B sin ωx) P n (x) cos ωx + Q m (x) sin ωx, n m x k W n (x) cos ωx + x k M n (x) sin ωx P n (x)e λx cos ωx + Q m (x)e λx sin ωx, n m x k W n (x)e λx cos ωx + x k M n (x)e λx sin ωx gdzie W n (x) = A n x n +... + A 0 i M n (x) = B n x n +... + B 0 Przykład 5.11. y 5 y + 6y = x 2 + 8 = y s (x) = Ax 2 + Bx + C y 5 y + 6y = x e x = y s (x) = (Ax + B) e x y 5 y +6y = x e 3x = y s (x) = x (Ax + B) e 3x y 4 y + 4y = x e x = y s (x) = (Ax + B) e x y 4 y + 4y = x e 2x y s (x)=x 2 (Ax + B) e 2x y + 9y = sin 3x = y s (x) = Ax sin 3x + Bx cos 3x 16 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Innym sposobem wyznaczenia całki równania postaci jest y + py + qy = f(x), p, q R Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcje y 1 (x), y 2 (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y + py + qy = 0, p, q R, to całka ogólna równania RN y + py + qy = f(x), p, q R, ma postać y(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x), gdzie C 1 (x), C 2 (x) jest dowolnym rozwiązaniem ukła [ ] y1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Przykład 5.12. Rozważmy równanie y y = [ ] [ ] C 1 (x) 0 C 2 (x) =. (16) f(x) 8 e 2x + 1. Równanie jednorodne y y = 0 ma następujące równanie charakterystyczne r 2 1 = 0, którego pierwiastkami są r 1 = 1 i r 2 = 1. Zatem CORJ ma postać y = C 1 e x + C 2 e x, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y = C 1 (x)e x + C 2 (x)e x, W celu wyznaczenia funkcji C 1 (x), C 2 (x) rozwiązujemy układ: e x C 1 (x) + e x C 2 (x) = 0 e x C 1 (x) e x C 2 (x) = 8 e 2x + 1. 4e x C 1 (x) = e 2x + 1 C 2 (x) = 4ex e 2x + 1 Wte C 1 (x) = 4e x 4 arc tg e x + C 1 C 2 (x) = 4 arc tg e x + C 2 y(x) = C 1 e x + C 2 e x 4 4e x arc tg e x 4e x arc tg e x 17 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

6 Ukła równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Definicja 6.1. Układ równań postaci y 1 = a 11(x)y 1 + a 12 (x)y 2 + h 1 (x) y 2 = a 21(x)y 1 + a 22 (x)y 2 + h 2 (x), (17) nazywamy układem dwóch równań różniczkowych liniowych rzę pierwszego. Funkcje a ij, gdzie i, j = 1, 2 nazywamy współczynnikami, funkcje h 1 i h 2 wyrazami wolnymi tego ukła. Jeśli h 1 0 i h 2 0, to układ (17) nazywamy jednorodnym i oznaczamy UJ. Jeśli h 1 0 i h 2 0, to to układ (17) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy UN Jeżeli a ij (x) a ij = const, gdzie i, j = 1, 2, to układ (17) nazywamy układem równań różniczkowych liniowych rzę pierwszego o stałych współczynnikach. Definicja 6.2. Rozwiązaniem ukła równań różniczkowych liniowych rzę pierwszego na przedziale (a, b) nazywamy funkcje y 1 (x), y 2 (x), które podstawione do ukła (17) dają tożsamość dla wszystkich wartości x (a, b). Uwaga 4. W celu rozwiązania ukła (17) można zastosować metodę eliminacji, która sprowadza układ (17) do równania różniczkowego liniowego drugiego rzę z jedną tylko funkcją niewiadomą. Przykład 6.3. Dwa stulitrowe zbiorniki Y 1 i Y 2, z których pierwszy zawiera 10% wodny roztwór soli, a drugi czysta wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającymi przepływ cieczy między nimi. Przy czym pierwszą rurą roztwór przepływa w jedną stronę, a drugą odwrotnie. Przepływy te odbywają się z prędkością 2 litrów na minutę. Określić ilość soli y 1 (t) i y 2 (t) odpowiednio w zbiornikach Y 1 i Y 2. Przyjąć, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jest natychmiastowy. Y 1 Y 2 10% soli y 1 (t) - ilość soli w zbiorniku Y 1 w litrach w chwili t; y 2 (t) - ilość soli w zbiorniku Y 2 w litrach w chwili t. y 1 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 1; y 2 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 2. W chwili t do zbiornika Y 1 wpływa 0,02y 2 (t) l min oraz wypływa 0,02y 1(t) l min soli. Ponadto w chwili t do zbiornika Y 2 wpływa 0,02y 1 (t) l min oraz wypływa 0,02y 2(t) l min soli. Zatem przebieg procesu w danych zbiornikach można opisać: y 1 = 0,02y 1 + 0,02y 2 y 2 = 0,02y 1 0,02y 2 z warunkami początkowymi y 1 (0) = 10 i y 2 (0) = 0. 18 Opracowała: Małgorzata Wyrwas