Symulacje kinetyczne Par2cle In Cell w astrofizyce wysokich energii Wykład 2

Symulacje kinetyczne Par2cle In Cell w astrofizyce wysokich energii Wykład 2 dr Jacek Niemiec Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków Jacek.Niemiec@ifj.edu.pl www.oa.uj.edu.pl/j.niemiec/symulacjenumeryczne 1

Na poprzednim wykładzie na skalach plazma jest neutralna ładunkowo L λ D dla plazma jest bezzderzeniowa g = 1 1 N D najpełniejszy opis dynamiki plazmy poprzez równanie Własowa sprzężone z równaniami Maxwella przybliżenie MHD poprawne dla skal i, na których dodatkowo L λ D T 1/ω pe rolę będą odgrywać zderzenia pomiędzy cząstkami plazmy w równowadze termicznej dodatkowy warunek L λ c na skalach mikroskopowych ( ) opis płynowy (MHD) jest nieadekwatny λ r Li ponieważ nie bierze pod uwagę zależności procesów mikroskopych od zmiennej przestrzeni fazowej. Jest tak nawet dla zjawisk w plazmie w równowadze. v 2

Kinetyczna teoria plazmy problem z nieliniowością Układ równań Własowa Maxwella: f j t + v f j x + q j m j [ E( x, t)+ v B( x, t) ] f j v =0 ρ e = j j = j q j q j f j ( x, v, t)d 3 v vf j ( x, v, t)d 3 v E = ρ e ɛ 0 E = B t B =0 B = 1 E c 2 t + µ 0 j Pola EM w równaniach Maxwella są zadane przez rozkłady cząstek poprzez gęstości ładunku i prądu. Rozkłady cząstek należy wyznaczyć z równania Własowa, które jest zależne od zmiennych pól EM sprzężenie silnie nieliniowe. Wyznaczenie ścisłych rozwiązań analitycznych jest niemożliwe dla dowolnej funkcji rozkładu. 3

Przybliżone metody rozwiązania równań kinetycznych metody numeryczne bezpośrednie rozwiązanie numeryczne równania Własowa symulacje Par2cle In Cell przybliżenia analityczne przybliżenie liniowe (linear theory, test wave): badane własności pól EM dla zadanej funkcji rozkładu i małych amplitud zaburzeń przybliżenie cząstek próbnych (test par6cle): badane własności procesów transportu cząstek plazmy w zadanym polu EM przybliżenia nieliowe (np. teoria kwasiliniowa: quasi linear theory) W dalszej części przykłady zastosowania przybliżenia liniowego: efekty kinetyczne w plazmie nie podlegające opisowi MHD niestabilności plazmowe Odtworzenie w symulacjach komputerowych własności układu przewidzianych w ramach teorii liniowej stanowi niezbędny test poprawności metody numerycznej. 4

Przybliżenie liniowe Rozważmy słabe fluktuacje w plazmie amplitudy zaburzonych pól EM i funkcji rozkładu są małe: f j ( x, v, t) =f (0) j ( x, v)+f (1) j ( x, v, t)+f (2) j ( x, v, t)+... E( x, t) = E 0 ( x)+ E (1) ( x, t)+ E (2) ( x, t)+... Mamy więc także np. B( x, t) = B 0 ( x)+ B (1) ( x, t)+ B (2) ( x, t)+... n j ( x, t) =n (0) j ( x)+n (1) j ( x, t)+n (2) j ( x, t)+..., n (l) j = Metoda rozwiązania teorii kinetycznej: linearyzacja równania Własowa (tylko człony pierwszego rzędu) przestrzenna/czasowa transformata Fouriera/Laplace a równania liniowego zaburzenia gęstości i prądu pierwszego rzędu w członach źródłowych zlinearyzowanych równań Maxwella równanie dyspersji, którego rozwiązanie w postaci relacji dyspersji określa ω( k) mody normalne plazmy f (l) j ( x, v, t)d 3 v 5

Przybliżenie liniowe c.d. Równanie dyspersji rozwiązuje się najprościej jako problem warunków początkowych (ini6al value problem): rzeczywiste k zespolone ω = ω R + iγ Dla fluktuacji typu γ < 0 mamy: oscylacje tłumione, czynnik (skala czasowa tłumienia, damping rate) γ > 0 e i(ωt k x) niestabilność, skala czasowa narastania niest. (growth rate) niezależna od układu odniesienia; dla częstości przesunięcie Dopplera: Prędkość fazowa i grupowa: γ γ γ ω R,obs = ω R k v 0 v φ = ( ω k ) ˆk, vgr = ω Zaburzenia i niestabilności elektrostatyczne (podłużne, longitudinal): Zaburzenia i niestabilności elektromagnetyczne (poprzeczne, transverse): k E (1) =0, k B (1) =0 k k E (1) =0 Zazwyczaj fluktuacje będą miały podłużne i poprzeczne składowe. 6

Fale elektrostatyczne w jednorodnej plazmie W jednorodnej plazmie niezaburzona funkcja rozkładu jest izotropowa. Rozważając tylko zaburzenia elektrostatyczne zlinearyzowane równanie Własowa przybiera postać: Wykonując transformatę Fouriera ( ) równania Własowa otrzymamy: t iω, i k Z definicji f (1) j ( x, v, t) t + v mamy liniowe zaburzenie gęstości: (1) f j ( x, v, t) x i(ω k v)f (1) j ( k, v, ω) = q j (0) j ( v) + q j E (1) ( x, t) f m j v i wystarczy rozważyć tylko liniowe równanie Poissona dla zaburzonego pola elektrycznego: E (1) ( x, t) = ρ(1) e =1/ɛ 0 q j n (1) j ( x, t) = 2 φ (1) ( x, t) ɛ 0 n (1) j = f (1) j d 3 v n (1) j ( k, ω) = q j φ (1) ( m k, ω) j j m j φ (1) ( k, ω)i k f d 3 v ( k v ω) (0) j ( v) v f (0) j ( v) k v =0 7

Fale elektrostatyczne w jednorodnej plazmie c.d. Definiujemy podatność (suscep6bility) dla danej populacji cząstek, charakteryzującą K j ( ω) odpowiedź ośrodka na liniowe zaburzenia potencjału pola elekrostatycznego jako: gdzie n (1) j ( k, ω) = k2 ɛ 0 q j φ (1) ( k, ω)k j ( k, ω) K j ( k, ω) = ω2 pj n (0) j k 2 Ostatecznie z transformaty Fouriera liniowego równania Poissona mamy: k 2 φ (1) ( k, ω) =1/ɛ 0 q j n (1) j ( k, ω) = k 2 φ (1) ( k, ω) j j d 3 v ( k v ω) f (0) j ( v) k v K j ( k, ω) a stąd 1+ j K j ( k, ω) =0 Jest to równanie dyspersji dla naszego układu, z którego wyznacza się. ω( k) 8

Fale elektrostatyczne w jednorodnej plazmie c.d. Rozwiązanie równania dyspersji 1 j ω 2 pj n (0) j k 2 d 3 v ( k v ω) f (0) j ( v) k v wymaga całkowania po odpowiednio dobranym konturze w przestrzeni zespolonej, ze względu na biegun przy. Przy założeniu słabego tłumienia kontur upraszcza się (rys.); v = ω/k ( γ ω R ) dodatkowo dla krótkich wektorów falowych i wybierając dostajemy v φ = ω R /k v x v th k vx relację dyspersji, z częścią urojoną częstości: γ = π k ω 3 (0) pe fe 2 k n (0) e k 2 v v=ωr /k Zatem to czy mody normalne będą niestabilne czy tłumione zależy od znaku f e (0) / v (v = ω R /k) (funkcja rosnąca czy malejąca?). =0 Dla rozkładu Maxwella funkcja zawsze malejąca tłumienie Landaua. 9

Tłumienie Landaua Dla rozkładu Maxwella i częstości odpowiedź jonów ośrodka zaniedbywalna i mamy: ω ω pe ( ) ωr 2 = ωpe 2 kb T e +3 π γ = 8 m e ω pe kλ D 3 exp Jest to relacja dyspersji dla oscylacji plazmowych (Langmuira) oscylacje plazmowe propagują się w ciepłej plazmie v gr = 3k BT e m e długofalowe zaburzenia oscylują z częstością plazmową dla długości fali porównywalnych z długością Debye a oscylacje plazmowe są silnie γ ω R tłumione tłumienie Landaua (Landau damping) k 2 [ 1 2(kλ D ) 2 3 ] 2 k ω R jest to efekt czysto kinetyczny, nie dający się wyprowadzić z opisu płynowego plazmy (MHD) teoria kinetyczna mówi nam o sprzężeniu między falami a plazmą; fale i cząstki plazmy razem składają się na ośrodek, który nazywamy plazmą 10

Tłumienie Landaua oddziaływania fala cząstki Tłumienie Landaua opisuje proces dyssypacji energii bez udziału zderzeń pomiędzy cząstkami. Do jakich postaci energii zamieniona zostaje energia fal plazmowych? Jaki mechanizm fizyczny odpowiada za tłumienie oscylacji? tłumienie Landaua zachodzi dla cząstek poruszających się z prędkością bliską f (0) e prędkości fazowej fali (cząstki rezonansowe) v v=ωr /k cząstki rezonansowe uwięzione w jamie potencjału związanym z falą będą poruszać się wraz z falą: cząstki o prędkościach przyspieszane w fali do v ω R /k v v φ hamowane do v ω R /k v v φ dla rozkładu Maxwella więcej cząstek zostanie przyspieszonych utrata energii fali (tłumienie); fale prowadzą do modyfikacji funkcji rozkładu cząstek nieliniowe oddziaływanie fala cząstki Potencjał elektrostatyczny związany z falą plazmową o v φ = ω R /k 11

Jonowa fala akustyczna Jonowa fala akustyczna (ion acous6c wave) to mod normalny istniejący w nienamagnetyzowanej plazmie bezzderzeniowej przy ω R ω pi T e T i γ ω R silne tłumienie dla wszystkich długości fali T e T i ω 2 R k 2 k BT e +3k B T i γ ω R m i Ti T e 0 W takiej fali ; zaburzenie gęstości n (1) e n (1) i jonów prowadzi do separacji ładunków, która jest natychmiast neutralizowana przez szybko poruszające się elektrony (v th,e v φ ) v φ kb T e m i Dla długich fal jonowa fala akustyczna propaguje się z prędkością fali dźwiękowej w obrazie MHD. Pole el. separacji ładunków wiąże ruchy jonów i elektronów. 12

Jonowa fala akustyczna mechanizm tłumienia T e T i v φ (T i T e ) kb T e m i = v th,i Dla funkcji rozkładu jonów f (0) i / v (v = ω R /k) jest duża (funkcja rozkładu stroma), zatem energia fali jest efektywnie absorbowana przez cząstki rezonansowe powodując silne tłumienie Landaua. T e T i v φ v th,i Fala jest nierezonansowa dla jonów słabe tłumienie. Elektrony powodują znacznie słabsze od jonów tłumienie ponieważ funkcja rozkładu jest wolnozmienna dla małych prędkości elektronów (v th,e v φ ) 13

Niestabilności plazmowe Niestabilności plazmowe to mody normalne w plazmie, które rosną w czasie i przestrzeni: γ > 0 istnieje dobrze zdefiniowana relacja dyspersji ω( k) Niestabilności będą pojawiać się w układzie, w którym istnieją źródła energii swobodnej, np. nierównowagowe własności odpowiadające anizotropii czy niejednorodnościom w przestrzeni fazowej. Teoria liniowa poprawnie opisuje procesy wzbudzania niestabilności, lecz nie stosuje się do opisu nieliniowej ewolucji modów niestabilnych opisu oddziaływania pomiędzy modami w plazmie badania sprzężenia zwrotnego modów z cząstkami plazmy badania wpływu niestabilności na ogólny przepływ masy, pędu i energii w dużych skalach związku mikrofizyki z makrofizyką Problemy te można badać za pomocą teorii nieliniowych oraz symulacji numerycznych. 14

Niestabilność dwustrumieniowa Rozważmy dwie wiązki elektronów lub jonów o takiej samej gęstości n 0 propagujące się z przeciwnymi prędkościami w zimnej plazmie, tak że układ jest neutralny ładunkowo. Dla funkcji V 1 = V 2 = V rozkładu: f (0) (v) =n (0) δ(v y )δ(v z )[δ(v x + V )+δ(v x V )] dostaniemy równanie dyspersji 1 które posiada 4 pierwiastki dane równaniem: ω 2 p (ω kv ) 2 ω 2 p (ω + kv ) 2 =0 ω 2 = ω 2 p + k 2 V 2 ± (ω 4 p +4k 2 V 2 ω 2 p) 1/2 Dla 2 mody normalne są oscylacyjne, 1 jest silnie tłumiony, natomiast 1 narasta k < k c = 2ω p /V eksponencjalnie ze skalą czasową narastania [ ] 1/2 γ = (ωp 4 +4k 2 V 2 ωp) 2 1/2 (ωp 2 + k 2 V 2 ) Najszybszy wzrost γ max = ω p /2 γ/ k =0 występuje dla wektora falowego: k max = 3/8k c = 3 2 ω p V 15

Niestabilność dwustrumieniowa mikrofizyka narastania Mod normalny będzie niestabilny jeśli f (0) / v >0 Niestabilność dwustrumieniowa (two stream instability) może także występować w ciepłej plazmie, np. w układzie opisanym funkcją rozkładu jak na rysunku. W układzie tym mody niestabilne będą wzbudzane w wąskim przedziale prędkości fazowych, gdzie funkcja rozkładu jest rosnąca. W obszarze nakładania się dwóch komponentów narastanie niestabilności jest spowalniane przez tłumienie w ogonie rozkładu głownego składnika. Ze względu na oddziaływania długozasięgowe, w plazmie nie mogą się swobodnie propagować wiązki cząstek. Ruch wiązek będzie zatrzymany a energia zamieniona na energię fal plazmowych. bump on tail instability 16

Fale elektromagnetyczne w plazmie nienamagnetyzowanej Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w plazmie będą modyfikowane przez plazmę, tak że relacja dyspersji dla zimnej plazmy ma postać: Dla odtwarza się relację dyspersji dla fal EM w próżni dla dużych częstości nawet lekkie ω ω elektrony nie są w stanie odpowiedzieć wystarczająco szybko na obecność fali i efekty plazmowe są zaniedbywalne. k E (1) =0 ρ (1) e = ɛ 0 (i k) E (1) =0 modowi EM nie towarzyszą fluktuacje gęstości ładunku pomimo generacji prądu w plazmie Prędkość fazowa: Prędkość grupowa: v φ = ω k = v gr = dω dk = c c 1 ωpe/ω 2 2 ω 2 = ω 2 pe + k 2 c 2 1 ω2 pe ω 2 k = ± 1 c ω 2 ω 2 pe Dla wektor falowy staje się urojony: fala zanika. Fala EM wysłana ω < ω pe k ik ; e kx w kierunku ośrodka z częstością plazmową zostanie odbita od ośrodka. ω pe > ω Np. jonosfera: w częstościach radiowych fale radiowe o mniejszej częstości odbite od plazmy ω pe jonosferycznej (komunikacja radiowa). 17

Cząstka w polu magnetycznym; poprawki relatywistyczne Naładowana cząstka w jednorodnym polu magnetycznym: częstość cyklotronowa: ω cs = eb m s ( ω cs = eb γm s, γ = ) 1 1 v2 /c 2 promień Larmora: r Ls = p eb ( r Ls = γp ) eb Relatywistyczna częstość plazmowa: ω pe = ne 2 γɛ 0 m e 18

Metody numeryczne rozwiązywania równań Własowa Maxwella 19

Metoda bezpośrednia Bezpośrednie rozwiązanie numeryczne równania Własowa wymaga odtworzenia funkcji rozkładu cząstek w 6 wymiarowej dyskretnej przestrzeni fazowej. Np. na siatce o rozdzielczości 30/30/30 w przestrzeni prędkości i 128/128/128 f( x i, v i,t l ) w przestrzeni położeń zajmie ~ 1TB RAM metody numeryczne rozwiązania r. Własowa metodą bezpośrednią są opracowane, lecz ich użycie zazwyczaj ograniczone do 2 3 wymiarowej przestrzeni fazowej problem z właściwą reprezentacją przestrzeni prędkości w długoczasowych symulacjach większość własności układów fizycznych równie dobrze odtwarzana metodą PIC 20

Równanie Własowa metoda charakterystyk Równanie Własowa: Dla jednorodnych pól EM równanie Własowa ma postać liniowego równania cząstkowego w zmiennych. Można więc napisać równania charakterystyczne: x, v, t z których otrzymujemy: f j t + v f j x + q j m j [ E( x, t)+ v B( x, t) ] f j v =0 dt 1 = d x v = df na trajektorii j dt =0 d v F /m = df j 0 d x i dt = v i, d v i dt = F ( x i ) m Rozwiązanie równania Własowa jest więc równoznaczne rozwiązaniu układu zwyczajnych równań różniczkowych zadanych przez charakterystyki, które są równaniami ruchu cząstek. Przy danym wyborze warunków początkowych dla wszystkich wartości f j ( x, v, t = 0) x, v równania ruchu wyznaczają zbiór trajektorii określający powierzchnię w przestrzeni f będącą rozwiązaniem równania Własowa. j, x, v, t 21

Metoda Par2cle In Cell Symulacje Par2cle In Cell polegają na rozwiązywaniu równań ruchu cząstek są więc metodą rozwiązywania równania Własowa równoważną metodzie charakterystyk. Funkcja rozkładu jest reprezentowana przez cząstki na siatce (computa6onal par6cles). 22

Model cząstek punktowych Dla N cząstek całkowanie równań ruchu; siły elektrostatyczne oddziaływania pomiędzy cząstkami obliczane bezpośrednio z równania Kulomba. N(N 1) 2 Dla każdego kroku czasowego obliczeń. Np. 10 9 cząstek, 10 operacji zmiennoprzecinkowych (flop) na wyznaczenie siły pomiędzy każdą parą cząstek: 1 krok czasowy: 5 10 18 operacji 5 10 6 s (2 miesiące) na maszynie Tflopowej symulacje niepraktyczne szumy numeryczne na małych skalach małe skale nieinteresujące w plazmie bezzderzeniowej 23