Metody numeryczne rozwiązywania równań Maxwella w kwazijednowymiarowych strukturach fotonicznych

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Metody numeryczne rozwiązywania równań Maxwella w kwazijednowymiarowych strukturach fotonicznych Praca dyplomowa magisterska Szymon Kosydor Promotor: dr hab. inż. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. w PWr Wrocław 2007

Serdecznie dziękuję Panu profesorowi Włodzimierzowi Salejdzie za nieocenioną pomoc naukową podczas pisania tej pracy.

Spis treści Wstęp 4 Wykaz ważniejszych skrótów i oznaczeń 5 1 Wprowadzenie 8 1.1 Struktury i kryształy fotoniczne..................... 8 1.1.1 Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny........... 12 1.2 Równania Maxwella............................ 13 1.3 Prawoskrętne materiały (RHM)..................... 16 1.4 Lewoskrętne materiały (LHM) metamateriały............ 18 1.5 Fala elektromagnetyczna na granicy dwóch ośrodków......... 19 1.6 Prawo Bragga............................... 20 1.6.1 Siatka Bragga........................... 21 1.7 Propagacja światła w strukturach periodycznych............ 23 1.8 Model kwazijednowymiarowego kryształu fotonicznego........ 24 2 Metody numeryczne 26 2.1 Zalety i wady metod numerycznych................... 26 2.2 Metody rozwiązywania równań Maxwella................ 27 2.3 Algebraiczne zagadnienie własne..................... 28 2.4 Modele optycznych supersieci aperiodycznych............. 29 2.4.1 Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF)......... 30 2.4.2 Uogólniona supersieć typu Thue-Morse a (USTM)....... 31 2.4.3 Supersieć z podwojonym okresem (SPO)............ 31 2.4.4 Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS).............. 32 2.5 Programowanie zorientowane obiektowo (OOP)............ 32 3 Rezultaty obliczeń numerycznych 34 3.1 Opis programu.............................. 34 3.2 Wybrane wyniki obliczeń......................... 36 3.3 Uwagi i wnioski.............................. 62 4 Podsumowanie 63 A Obliczanie wartości własnych 64 Bibliografia 67 3

Wstęp Główne cele pracy to: przedstawienie metod i algorytmów numerycznych obliczania fotonicznej struktury pasmowej optycznych supersieci periodycznych i aperiodycznych, wyznaczenie fotonicznej struktury pasmowej dla wybranych ww. układów. W XXI wieku przesyłanie informacji jest niezwykle istotne dla większości dziedzin życia. Najszybszym znanym nośnikiem informacji jest światło. W związku z nieustannym rozwojem technologicznym [1], [2], [3] istnieje potrzeba przesyłania ogromnej ilości danych. Prowadzi to do coraz większej ilości konstruowanych przyrządów optycznych, a także do ich miniaturyzacji [4]. Również zwiększanie prędkości przetwarzania informacji to jedno z głównych wyzwań stawianych przed współczesną nauką. Jak się okazuje, nawet komputery o największej aktualnie znanej mocy obliczeniowej nie potrafią sobie poradzić z takimi problemami jak np. symulowanie pogody [5]. Odpowiedzią na te problemy jest komputer kwantowy, który nie operuje na systemie binarnym, ale na bitach kwantowych, tzw. qubitach [6]. Do konstrukcji urządzeń optycznych, przy postępującej miniaturyzacji, poszukiwane są materiały o coraz to lepszych właściwościach filtracyjnych. Jednym z ciekawszych rozwiązań w tej dziedzinie jest nowa klasa materiałów o parametrach dużo lepszych niż dotychczas stosowane, znanych jako kryształy fotoniczne. Porównanie właściwości takich jak zależności dyspersyjne, które są głównym badanym zagadnieniem tej pracy, przy różnych zadanych parametrach badanych supersieci pozwali na analizę zmian ich charakterystyk w zależności od sposobu ułożenia warstw oraz typu sieci. Zakres zastosowań struktur fotonicznych jest bardzo szeroki. Można dzięki nim konstruować światłowody fotoniczne o bardzo małych stratach, światłowody dwurdzeniowe, lustra na krysztale fotonicznym, mikrorezonatory, półprzewodniki fotoniczne, lasery z rozłożonym sprzężeniem zwrotnym, diody LED o zwiększonej sprawności czy też dwuwymiarowe struktury światłowodowe umożliwiające wykonanie ostrych zakrętów w torze światłowodowym. Przedmiotem naukowych badań w ostatnich latach są optyczne supersieci, [7], [8], [9] które można traktować jako kwazijednowymiarowe struktury fotoniczne. Obiektem badań w pracy są optyczne supersieci aperiodyczne kilku rodzajów: uogólniona supersieć typu Fibonacciego, uogólniona supersieć typu Thue-Morse a, supersieć z podwojonym okresem, supersieć typu Rudin-Shapiro. 4

SPIS TREŚCI 5 Do wyznaczenia krzywych dyspersyjnych badanych materiałów konieczne jest zdefiniowanie fizycznych podstaw oraz zjawisk zachodzących w modelowanych strukturach fotonicznych. Zostały one przedstawione w rozdziale pierwszym. Poruszono w nim również temat związany z metamateriałami oraz zjawiskiem ujemnego załamania a także przedstawiono rozwiązanie równania falowego w fotonicznych kwazikryształach. Argumenty przemawiające za i przeciw stosowaniu metod numerycznych oraz wybrane zagadnienia z fizyki komputerowej, które zostały użyte do obliczeń struktury pasmowej, zebrano w rozdziale drugim. Rozdział trzeci przedstawia wyniki obliczeń numerycznych, w tym wykresy krzywych dyspersyjnych, prędkości grupowej oraz efektywnego współczynnika załamania. Ostatni rozdział stanowi krótkie podsumowanie zaprezentowanych w pracy treści.

Wykaz ważniejszych skrótów i oznaczeń Skróty: AZW algebraiczne zagadnienie własne; OSA optyczne supersieci aperiodyczne; fala EM fala elektromagnetyczna; USF uogólniona supersieć typu Fibonacciego; USTM uogólniona supersieć typu Thue-Morse a; SPO supersieć z podwojonym okresem; SRS supersieć typu Rudin-Shapiro; OOP (ang.) object-oriented programming (programowanie zorientowane obiektowo); FK fizyka komputerowa; LHM (ang.) left handed materials (materiały lewoskrętne); RHM (ang.) right handed materials (materiały prawoskrętne); Oznaczenia: E wektor natężenia pola elektrycznego; H wektor natężenia pola magnetycznego; D wektor indukcji elektrycznej; B wektor indukcji magnetycznej; ε przenikalność elektryczna; ε 0 przenikalność elektryczna próżni; µ przenikalność magnetyczna; µ 0 przenikalność magnetyczna próżni; 6

SPIS TREŚCI 7 n współczynnik załamania światła; n P współczynnik załamania warstwy typu P; n Q współczynnik załamania warstwy typu Q; c prędkość światła w próżni; ω częstość fali elektromagnetycznej; k wektor falowy; d grubość warstwy; ε wartość własna; I macierz jednostkowa; t czas; r wektor położenia;

Rozdział 1 Wprowadzenie Kryształy fotoniczne to struktury przestrzenne z periodycznym lub aperiodycznym ułożeniem materiałów dielektrycznych lub metalicznych. To co je odróżnia od innych periodycznych struktur to fakt, że okres periodu ośrodka jest porównywalny z długością fali świetlnej, która w nim propaguje się. 1.1 Struktury i kryształy fotoniczne Koncepcja kryształów fotonicznych powstała w roku 1987 jednocześnie w dwóch ośrodkach naukowych USA [10]. Eli Yablonovitch z Bell Communications Research w New Jersey próbował stworzyć tranzystor do zastosowań fotonicznych. Podczas badań odkrył istnienie fotonicznej przerwy wzbronionej,podobnej do tej z jaką mamy do czynienia w półprzewodnikach. Jednocześnie Sajeev John z Princeton University pracując nad laserami natknął się na to samo zjawisko. Pierwszy sztuczny kryształ fotoniczny został stworzony przez Yablonovitcha i in. w 1991 roku [11], miał współczynnik załamania równy 3.6 i został on nazwany na cześć twórcy Yablonovite. Yablonovitch do stworzenia swojego kryształu fotonicznego (Rys. 1.1) użył materiału ceramicznego, w którym wywiercono siatkę otworów. Rysunek 1.1: Yablonovite Struktury fotoniczne, jak się okazuje zostały już wcześniej stworzone przez naturę. Istnieje tropikalny motyl o nazwie Morpho sulkowskyi, którego skrzydła mają piękny błękitny kolor, patrz Rys. 1.2. Pomimo tego, że skrzydła wyglądają, jak gdyby były 8

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 9 nasycone barwnikiem, to są one prawie całkowicie białe. Wyjaśnienie tej ciekawostki można znaleźć oglądając skrzydło w skali mikroskopowej. Jak się okazuje struktura skrzydła składa się z periodycznie ułożonych, ściśle upakowanych heksagonalnych kształtów z otworami, patrz Rys. 1.3. Dzięki takiemu sposobowi ułożenia otworów powstaje struktura fotoniczna, która odbija tylko określoną długość fali (w tym przypadku światło niebieskie) [12]. Rysunek 1.2: Morpho Sulkowskyi Rysunek 1.3: Powiększenie fragmentu skrzydła Morpho Sulkowskyi Modelem najprostszego, jednowymiarowego kryształu fotonicznego [15] jest struktura złożona z naprzemiennie ułożonych warstw o różnych współczynnikach załamania. Obszar koloru czerwonego na Rys. 1.4 odpowiada warstwie o współczynniku załamania n 1 natomiast warstwa koloru żółtego reprezentuje materiał o współczynniku załamania równym n 2, przy czym n 1 n 2. W związku z tym, że wartość współczynnika załamania zmienia się tylko w jednym kierunku nazwany został on jednowymiarowym kryształem fotonicznym. Jak już wspomniano okres takiego materiału powinien być rzędu długości fali, aby wykazywał właściwości charakterystyczne dla kryształów fotonicznych.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 10 Rysunek 1.4: Model jednowymiarowego kryształu fotonicznego Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, rozważać można strukturę złożoną z dwóch różnych materiałów. Zakładając że jej współczynnik załamania zmienia się w dwóch kierunkach otrzymamy dwuwymiarowy kryształ fotoniczny, co ilustruje Rys. 1.5 Rysunek 1.5: Model dwuwymiarowego kryształu fotonicznego Analogicznie postępując w przypadku materiału, w którym współczynnik załamania zmienia się w trzech kierunkach otrzymamy trójwymiarowy kryształ fotoniczny. Rysunek 1.6: Model trójwymiarowego kryształu fotonicznego Jeśli fala elektromagnetyczna pada na taką strukturę periodyczną, to na każdej granicy warstw ulega ona odbiciu i załamaniu. Zachowanie się fali w takich strukturach zostało przedstawione w następnych podrozdziałach. W fotonice zastosowanie kryształów fotonicznych, ze względu na ich właściwości filtracyjne, jest bardzo szerokie. Z powodu coraz większego zainteresowania materiałami fotonicznymi, wiele ośrodków naukowo-badawczych [10], [16], [17] zajęło się konstrukcją falowodów wykorzystujących ich wyjątkowe właściwości. Na Rys. 1.7 przedstawiono porowatą płytkę krzemową realizującą dwuwymiarowy kryształ fotoniczny [18]. Wśród metod wytwarzania tego typu materiałów można wyróżnić technikę uporządkowanego elektrochemicznego wzrostu na podłożu krzemowym. Kryształ przedstawiony na Rys. 1.7 został wykonany właśnie tą technologią. Jak

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 11 Rysunek 1.7: Dwuwymiarowy kryształ fotoniczny widać na powiększeniu 1.7d zastosowanie tej techniki pozwala osiągnąć bardzo dużą precyzję wykonania. Bardziej interesujące, pod względem powszechnego wykorzystania w urządzeniach optycznych, są dwuwymiarowe tory światłowodowe. Przykład aplikacyjny takiego falowodu na krysztale fotonicznym został przedstawiony na Rys. 1.8, który został także wyprodukowany przy użyciu krzemu. Rysunek 1.8: Dwuwymiarowy kryształ fotoniczny przykład aplikacji Pierwszy z zaprezentowanych rysunków 1.8a przedstawia zakręt w torze światłowodowym. W praktyce możliwe jest wykonanie, spełniających swoje funkcje, tego typu zakrętów pod kątem 90 stopni i większym (wspomniane wcześniej ostre zakręty w torze światłowodowym). Drugim przykładem jest rozdzielacz na Rys. 1.8b, który działa prawie identycznie jak rozdzielacz światłowodowy, tzn. fala propaguje się częściowo w każdym z kierunków. Ostatni z rysunków 1.8c prezentuje rezonator światłowodowy. Pomimo tego, że fabrykowanie trójwymiarowych kryształów fotonicznych jest procesem dużo bardziej skomplikowanym, w ostatnich latach otrzymano kryształy

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 12 trójwymiarowe, które wykazują fotoniczną przerwę wzbronioną dla długości 1.5 mikrona [19]. 1.1.1 Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny Kryształy kwazijednowymiarowe, inaczej jednowymiarowe kryształy, to struktury wielowarstwowe, których własności optyczne zmieniają się wzdłuż wybranego kierunku (wybranej osi, najczęściej OX). Dla uproszczenia zakładamy, że są to warstwy nieprzewodzące i niemagnetyczne. W optoelektronice przez długi czas poszukiwano idealnego lustra. Konwencjonalne lustra dielektryczne cechowały się co prawda odbiciem z małymi stratami, ale ich działanie było w dużej mierze zależne od kąta padania na strukturę. Drugim rodzajem tego typu materiałów są lustra metaliczne, które cechują się małą zależnością od kąta padania, ale straty przy odbiciu są bardzo duże. Kryształy fotoniczne rozwiązują oba problemy. Posiadają małe straty oraz małą zależność od kąta. Kwazikryształy fotoniczne nadają się idealnie do konstrukcji filtrów pasmowo przepustowych. Więcej informacji na ten temat znajduje się w rozdziale 1.6.1. W światłowodach można wykorzystać fotoniczne kwazikryształy jako lustra optoelektroniczne pomiędzy rdzeniem a płaszczem. Strukturę tej postaci zwija się dookoła rdzenia i ostatecznie otrzymuje się światłowód, którego schematyczny model został przedstawiony na Rys. 1.9 Rysunek 1.9: Jeśli odpowiednio dobierze się parametry tego kryształu owiniętego dookoła rdzenia, czyli jeśli będzie odbijać długość fali propagującej się w światłowodzie otrzymamy światłowód o bardzo małych stratach. Umożliwi to przesyłanie informacji na znacznie dłuższe odległości, niż jak ma to miejsce w przypadku światłowodów gradientowych.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 13 1.2 Równania Maxwella Teoria elektromagnetyzmu oparta jest o równania Jamesa Clerka Maxwella, dzięki którym można określić przyszłe położenie i prędkości dowolnego układu oddziałujących ze sobą naładowanych cząstek [20], [21], [22]. Maxwell zebrał prawo Gaussa (dla elektryczności i magnetyzmu), prawo Faradaya oraz poprawione prawo Ampère a i połączył je w zbiór równań pozwalających opisać cały elektromagnetyzm. Równania te można zapisać w postaci różniczkowej i całkowej, obie formy łącznie z ich znaczeniem fizycznym przedstawiono w Tabeli 1. Tabela 1 Postać Postać Nazwa Fakty fizyczne różniczkowa całkowa wynikające z równania D = ρ v ε 0 E S d s = ρ v dv = Q Prawo Gaussa Źródłem pola dla elektryczności elektrycznego są ładunki Pole magnetyczne jest B = 0 B d s = 0 Prawo Gaussa bezźródłowe, linie S dla magnetyzmu pola magnetycznego są zamknięte Zmienne w czasie pole E = B t H = j + D t E d I = dφ B L dt Prawo Faradaya magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne Przepływający prąd oraz B d dφ I = µ L 0 (ε E 0 dt + I) Prawo zmienne pole elektryczne Ampère a Maxwella wytwarzają wirowe pole magnetyczne Równania materiałowe mają postać gdzie (nabla) jest operatorem wektorowym postaci D = ε 0 ε r E, (1.1) B = µ 0 µ r H, (1.2) = x x + ŷ y + ẑ z. (1.3) Propagację fali EM w ośrodku jednorodnym, izotropowym i dielektrycznym opisują równania Maxwella, które przyjmują postaci E( r, t) = B( r, t), (1.4) t H ( r, t) = D( r, t), (1.5) t D( r, t) = 0, (1.6) B( r, t) = 0,. (1.7)

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 14 Dokonując prostych przekształceń mamy B( r, E( r, t) = µ 0 µ r ε 0 ε t) r. (1.8) t Różniczkując równanie (1.8) względem czasu otrzymamy H ( r, t) t 2 E( r, t) = ε 0 ε r. (1.9) 2 t i podstawiając do powyższego równa- Wyznaczając z równania (1.4) pochodną dh dt nia mamy ( E( r, t)) = µ 0 µ r ε 0 ε r 2 E( r, t) t 2. (1.10) W równaniu (1.10) korzystając z tożsamości otrzymujemy a (b c) = b(a c) c(a b), (1.11) ( E( r, t)) ( ) E( r, t) = µ 0 µ r ε 0 ε r 2 E( r, t) t 2. (1.12) Zgodnie z prawem Gaussa E = 0. Dlatego pierwszy człon powyższego równania zeruje się. Operator jest nazywany laplasjanem i jest oznaczany przez 2. Podstawiając = 2 do równania (1.12) otrzymujemy równanie fali EM w liniowym ośrodku jednorodnym [22] i analogicznie dla pola magnetycznego 2 E( r, t) = µ0 µ r ε 0 ε r 2 E( r, t) t 2, (1.13) 2 B( r, t) = µ0 µ r ε 0 ε r 2 B( r, t) t 2. (1.14) W obu wzorach występuje wyrażenie µ 0 µ r ε 0 ε r jest równe 1, gdzie ϑ to prędkość ϑ 2 fali EM, więc ϑ 2 1 = = c2 µ 0 µ r ε 0 ε r n, (1.15) 2 gdzie n to współczynnik załamania, a c to prędkość światła w próżni c = 1 ε0 µ 0 (1.16) Przybliżając falę EM falą płaską n 2 = ε r µ r (1.17) E( r, t) = E 0 e i(ωt k r), (1.18) H ( r, t) = H 0 e i(ωt k r). (1.19)

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 15 Wstawiając teraz powyższe wzory do równań Maxwella (1.4 1.7) i różniczkując względem czasu otrzymujemy stacjonarne równania Maxwella (niezależne od czasu) E( r) = iωµ 0 µ r H ( r), (1.20) H ( r) = iωε 0 ε r E( r), (1.21) E( r) = 0, (1.22) H ( r) = 0. (1.23) Z równań (1.20) i (1.21) wynika, że wektory E i H są do siebie prostopadłe i że są prostopadłe do kierunku propagacji, czyli do wektora falowego nω k = k. (1.24) c Dla rzeczywistych wartości n z równania (1.17) oraz (1.20), (1.21), (1.24) wynikają następujące związki matematyczne n = + ε r µ r, (1.25) n = ε r µ r, (1.26) n = + ( ε r )( µ r ), (1.27) n = ( ε r )( µ r ). (1.28) Równania Maxwella dopuszczają dwa przypadki (1.25) oraz (1.28) [56], [21]: gdy µ r > 0 i ε r > 0, gdy µ r < 0 i ε r < 0, to n > 0 dotyczy ośrodka prawoskrętnego to n < 0 odnosi się do ośrodka lewoskrętnego

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 16 1.3 Prawoskrętne materiały (RHM) Ośrodki dielektryczne, w których współczynnik załamania n przyjmuje wartości dodatnie (1.25), są grupą najczęściej występujących materiałów, należą do nich na przykład powietrze, woda, kwarc. Ich właściwości optyczne zostały szeroko poznane i opisane w literaturze [20], [22]. Jak już wspomniano, współrzędne wektorów E, H oraz k fali płaskiej są do siebie prostopadłe k E = H, k H = E, (1.29) gdzie k jest wersorem na kierunek k, oraz tworzą układ współrzędnych jak na Rys. 1.10. Także wektor Poyntinga S S = E H = 1 µ E B (1.30) odnoszący się do strumienia energii przenoszonej przez falę jest prostopadły do wektorów E i H Rysunek 1.10: Położenie wektorów E, H względem k i S w RHM Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków spełnia prawo Snelliusa 1 [22], a promień załamuje się po przeciwnej stronie normalnej Rysunek 1.11: Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków RHM Prędkość fazowa fali harmonicznej, czyli prędkość z jaką rozchodzą się fragmenty 1 W literaturze spotykana jest także nazwa prawo Snella

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 17 fali o tej samej fazie jest definiowana jako Z zależności częstości ω fali EM od wektora falowego v f = ω k = ω λ 2π = λ f = c n, (1.31) ω(k) = ck n(k) (1.32) wynika, że prędkość fazowa może być, dla n < 1, większa od prędkości światła. Prędkość ta, nie jest jednak szybkością przenoszenia informacji, gdyż stało by to w sprzeczności ze szczególną teorią względności Einsteina. Szybkość rozprzestrzeniania się fali (tym samym szybkość przenoszenia informacji) opisuje prędkość grupowa v g = ω k = v f 1 + ω n n ω = c n + ω n ω (1.33) W ośrodkach, w których występuje zależność współczynnika załamania od długości fali n = n(ω) mamy do czynienia ze zjawiskiem dyspersji. Ze związku prędkości grupowej z fazową (1.33) wynikają dwa przypadki: 1. n ω 2. n ω > 0 prędkość grupowa jest mniejsza od prędkości fazowej, < 0 prędkość grupowa jest większa od prędkości fazowej. W pierwszym z nich mamy do czynienia z dyspersją normalną, a w drugim z dyspersją anormalną [22]. W większości materiałów dla zakresu widzialnego mamy do czynienia z dyspersją normalną. Przy superpozycji dwóch fal harmonicznych o nieco różnych częstościach powstaje fala wypadkowa, Rys. 1.12, której obwiednia (linia przerywana na Rys. (1.13)) propaguje się z prędkością grupową Rysunek 1.12: Superpozycja fal

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 18 Rysunek 1.13: Obwiednia fali wypadkowej 1.4 Lewoskrętne materiały (LHM) metamateriały W 1967 roku Victor Veselago przewidział teoretycznie istnienie materiałów posiadających ujemny współczynnik załamania, które nazwał lewoskrętnymi materiałami (LHM) [21], [56]. Ponad 30 lat później fenomen ujemnego załamania został potwierdzony doświadczalnie [63]. Powodem intensywnych badań w ostatnich latach tej dziedziny było pojawienie się nowej klasy sztucznych struktur materiałów zwanych metamateriałami wskazujących nieoczekiwane i interesujące właściwości z punktu widzenia zastosowań. Biorąc pod uwagę, że obie względne przenikalności µ r oraz ε r będą miały wartości ujemne (1.28), materiał będzie charakteryzował się ujemnym współczynnikiem załamania, a wzajemne położenie wektorów E, H oraz k można przedstawić w następujący sposób k E = H, k H = E. (1.34) Na Rys. (1.14) przedstawiono wzajemną konfigurację tych wektorów Rysunek 1.14: Położenie wektorów E, H względem k i S w LHM Podstawową różnicą dzielącą ośrodki na prawoskrętne i lewoskrętne jest sposób, w jaki fala się załamuje na granicy ośrodków. Na granicy ośrodków, których współczynniki załamania mają znaki przeciwne, kąt ugięcia fali załamanej będzie leżał po tej samej stronie normalnej, Rys.1.15, przy czym wartość współczynnika załamania ośrodka 2 jest mniejsza od zera n 2 < 0.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 19 Rysunek 1.15: Załamanie fali na granicy ośrodka RHM i LHM 1.5 Fala elektromagnetyczna na granicy dwóch ośrodków Zakładamy, że fala EM pada na granicę dwóch ośrodków izotropowych o współczynnikach załamania odpowiednio n 1 i n 2, Rys. 1.16. Na granicy tych ośrodków zachowanie fali można opisać następującymi zależnościami [22],[7]: przy kącie padania θ 1 różnym od zera fala ulega załamaniu zgodnie z prawem Snelliusa n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2, (1.35) Rysunek 1.16: Odbicie i załamanie na granicy ośrodków fala ulega odbiciu, przy czym θ 1 = θ 1, wektory falowe k 1, k 1 i k 2 leżą w płaszczyźnie padania (przyjmujemy taki układ współrzędnych, że jest to płaszczyzna xz, natomiast płaszczyznę podziału ośrodków oznaczmy jako yz), nie zmienia się częstość ω fali.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 20 Rozwiązanie niezależnych od czasu równań Maxwella (1.4 1.7) dla tego przypadku jest superpozycją fali padającej i odbitej { (+) E 1 e E = ik1r + E ( ) 1 e ik 1 r, x < 0, E (+) 2 e ik2r + E ( ) (1.36) 2 e ik 2 r, x > 0, gdzie E (+) 1 amplituda fali padającej, E ( ) 1 amplituda fali odbitej, E (+) 2 amplituda fali załamanej. Biorąc pod uwagę, że w obszarze x > 0 nie ma fali odbitej, człon E ( ) 2 w równaniu (1.36) zeruje się. Jeśli założymy, że wektor pola elektrycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania E = [0, E y, 0], (1.37) to mamy do czynienia z polaryzacją typu s. Natomiast gdy wektor pola magnetycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania H = [0, H y, 0], (1.38) to mówimy o polaryzacji typu p. Rysunek (1.17) przedstawia rozkład wektorów E i H dla polaryzacji s i p[7] Rysunek 1.17: Polaryzacje s i p 1.6 Prawo Bragga Jeśli światło o długości fali λ pada na strukturę krystaliczną o stałej sieci krystalicznej d (średniej odległości między kolejnymi atomami sieci) oraz jeśli λ jest znacznie różna od d to propagacja fali odbywa się przez ośrodek bez rozproszenia. Sytuacja jest inna w przypadku gdy λ d, wtedy następuje ugięcie fali na atomach sieci, Rys. 1.18. Fale odbite od kolejnych płaszczyzn sieci interferują ze sobą i następuje superpozycja fal odbitych. Jakościowy opis tego zjawiska prezentuje prawo Bragga [66], które łączy w sobie zależność jaka wiąże stałą sieci krystalicznej, długość padającego promieniowania oraz kąta odbicia od płaszczyzn sieci krystalicznej. Wzór opisujący prawo Bragga ma postać gdzie nλ = 2d sin(θ), n = 0, 1, 2,..., (1.39)

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 21 Rysunek 1.18: Interferencja fal odbitych od atomów sieci krystalicznej n kolejne płaszczyzny sieci (liczba naturalna), λ długość fali, d średnia odległość powtarzalnych warstw atomów, na których zachodzi rozpraszanie, θ kąt odbicia mierzony pomiędzy wiązką pierwotną a płaszczyzną odbijającą. 1.6.1 Siatka Bragga Rozpatrzmy strukturę złożoną z naprzemiennie ułożonych warstw o różnych współczynnikach załamania jak na Rys. (1.19) przy czym Rysunek 1.19: Przykład siatki Bragga 1 pierwszy rodzaj warstwy, 2 drugi rodzaj warstwy, a 1 fala padająca, b 1 fala odbita, n 1 oraz n 2 dwa różne współczynniki załamania warstw. W oparciu o zależności przytoczone w poprzednim podrozdziale wiemy, że na granicy każdej z tych warstw fala EM ulega odbiciu i załamaniu. W sytuacji, gdy światło pada na taką strukturę, to ze względu na prawo Bragga powstaje filtr pasmowo przepustowy, który w zależności od ilości tych dwuwarstw 2 posiada szerszą lub węższą rozpiętość częstotliwościową. Rysunek 1.20 przedstawia zależność współczynnika odbicia dla 10, 18 i 27 dwuwarstw [65]. Jak widać dla większej ilości dwuwarstw otrzymujemy lepszą filtrację częstotliwości. Wynika to z tego, że fale padające na kolejne płaszczyzny sieci po odbiciu interferują ze sobą i mogą się albo wzmocnić albo wygasić. Szerokość pasma przepustowego takiego filtra można wyznaczyć korzystając z prawa Bragga przy czym ω = ω 1 ω2 = 2πc λ 1 2πc λ 2 = 2πc an 1 2πc an 2 n 2 n 1 = n (1.40) 2 dwuwarstwa struktura złożona z dwóch warstw o współczynnikach n 1 oraz n 2

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 22 Rysunek 1.20: Współczynnik odbicia w zależności od ilości dwuwarstw a grubość warstwy, λ 1 = 2an 1, λ 2 = 2an 2, ω 1 dolna granica pasma przepustowego, ω 2 górna granica pasma przepustowego.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 23 1.7 Propagacja światła w strukturach periodycznych fotoniczna przerwa wzbroniona Jak już wspomniano w poprzednim podrozdziale, fala padająca na strukturę periodyczną, której długość fali λ jest bliska periodu ośrodka, ulega wielokrotnym odbiciom. W strukturze jak na Rys. 1.21, Rysunek 1.21: Model struktury periodycznej ze względu na periodyczność, współczynnik załamania ośrodka a także funkcja przenikalności elektrycznej n( r) = n( r + a), (1.41) ε( r) = ε( r + a), (1.42) gdzie a jest wektorem sieci, są okresowymi funkcjami położenia [7]. Zgodnie z twierdzeniem Blocha-Floqueta ogólnym rozwiązaniem stacjonarnego równania falowego w ośrodku periodycznym będą funkcje Blocha [7], [54], [55] postaci gdzie co dla przypadku jednowymiarowego przyjmuje postać E( r) = u k ( r)exp(i k r), (1.43) u k ( r) = u k ( r + a), (1.44) E(x) = u k (x)exp(ikx). (1.45) Rozwiązaniami równania falowego są także funkcje periodyczne w stosunku do wektora falowego k E( k) = E( k + G j ), a i G j = 2πδ ij, (1.46) przy czym G j jest wektorem sieci odwrotnej. W przypadku jednowymiarowym E(k) = E(k + 2π a ). (1.47) Funkcja własna, zgodnie z twierdzeniem Blocha przyjmie postać E(x + a) = E(x)exp(ika), (1.48) gdzie wektor k przyjmuje niezależne wartości z przedziału π/a k < π/a, który nazywamy pierwszą strefą Brillouina. Dla różnych wartości własnych, z zależności ω(k) można wygenerować strukturę pasmową ośrodka (zależność dyspersyjną), która dla ośrodków jednorodnych ma postać przedstawioną na rysunku 1.22

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 24 Rysunek 1.22: zależność dyspersyjna w ośrodkach jednorodnych W kryształach fotonicznych natomiast powstaje fotoniczna przerwa wzbroniona Rysunek 1.23: zależność dyspersyjna w kryształach fotonicznych Na wykresach z Rys 1.22 i 1.23 przedstawiono nieredukowalną strefę Brillouina (połowę pełnej pierwszej strefy). Przewodzenie światła w takich materiałach oznacza, że fale elektromagnetyczne o określonej częstotliwości, należącej do fotonicznych pasm przewodzenia będą przepuszczane, natomiast inne, należące do fotonicznej przerwy wzbronionej nie będą propagować się. Pasma transmisji i pasma wzbronione tworzą fotoniczną strukturę pasmową kryształu fotonicznego. Przypomina ona strukturę pasmową półprzewodników, dlatego materiały te nazywane są półprzewodnikami światła. Szerokość przerwy wzbronionej, jak wykazano w podrozdziale poświęconym prawu Bragga (1.40), powinna być proporcjonalna do różnicy współczynników załamania ośrodków. Wykresy krzywych dyspersyjnych jakie otrzymano w programie zostały przedstawione w rozdziale czwartym. 1.8 Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny Rozważana struktura zmienia swoje właściwości optyczne tylko w kierunku osi X, która jest jednocześnie osią symetrii badanego ośrodka. Materiał struktury jest nieprzewodzący, niemagnetyczny ( B = µ 0 H, µ = 1), liniowy ( D = ε E) oraz nie występuje w nim dyssypacja energii (I(ε) = 0). Przyjmujemy, że światło pada na obiekt w płaszczyźnie YZ pod kątem θ, a zmienność jego właściwości w kierunku osi X jest opisana zależnością ε(x) = n 2 (x). Wektory natężeń pól elektrycznego

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE 25 i magnetycznego, E i H w interesującej nas strukturze przyjmują postaci E x (x) H x (x) E( r, t) = E y (x) e i(ωt βz), H ( r, t) = H y (x) e i(ωt βz) (1.49) E z (x) H z (x) Kontynuując rozważania z rozdziału pierwszego dotyczącego równania Maxwella, otrzymaliśmy równanie falowe (1.13) c 2 n 2 2 E( r, 2 E( r, t) t) =. t 2 Przy założeniu, że fala EM rozchodzi się jedynie wzdłuż osi x otrzymujemy c 2 2 E(x, t) = 2 E(x, t). (1.50) n 2 x 2 t 2 Przyjmując, że rozchodząca się fala EM jest falą harmoniczną E(x, t) = E(x)exp( iωt) oraz różniczkując względem czasu otrzymujemy c 2 2 E(x) = ω 2 E(x), (1.51) n 2 x 2 gdzie ω jest częstością fali. Zakładając, że wektory E i H są zależne tylko od x (1.49) oraz podstawiając je do równań Maxwella (1.4)-(1.7) otrzymujemy stacjonarne równania falowe dla badanych supersieci: dla polaryzacji s (E s = [0, E y (x), 0] i H s = [H x (x), 0, H z (x)]) gdzie d2 E y dx 2 + β2 E y = ω2 n 2 c 2 E y, (1.52) H x = β µ 0 ω E y, H z = i de y µ 0 ω dx ; (1.53) natomiast dla polaryzacji p (E p = [E x (x), 0, E z (x)] i H p = [0, H y (x), 0]) gdzie d 1 δh y dx n 2 δx + β2 n H 2 y = ω2 c H y, (1.54) 2 E x = β ε 0 ω 1 n 2 H y, E z = i ε 0 ω 1 n 2 dh y dx. (1.55) Powyższe wzory mają analogiczną postać, w sensie matematycznym, jak równanie Schrödingera. Równanie Schrödingera było rozwiązywane dla periodycznych potencjałów, co w naszym przypadku odpowiada periodycznym zmianom współczynnika załamania, w ramach fizyki ciała stałego. W związku z tym modele rozwiązań z fizyki ciała stałego mogą być tutaj także zastosowane.

Rozdział 2 Metody numeryczne Mając na uwadze fakt, że obliczenie struktury pasmowej dla struktur fotonicznych nie jest możliwe na drodze analitycznej, do ich wyznaczenia posłużono się metodami numerycznymi. 2.1 Zalety i wady metod numerycznych Metody numeryczne w modelowaniu zjawisk fizycznych mają swoje wady i zalety. Do zalet należą: Niewielkie koszty nie trzeba budować danych układów, które chcemy zbadać, nie trzeba inwestować dużej ilości pieniędzy i ludzi, przestrzeni itd. Szybkość programy komputerowe potrafią wykonywać w stosunkowo krótkim czasie skomplikowane przekształcenia i obliczenia matematyczne. Możliwość przeprowadzania eksperymentów naukowych symulowanie ekstremalnych problemów bez konieczności ich fizycznej produkcji. Projektowanie materiałów możliwość wpływająca bezpośrednio na koszty realizacji. Dostępność w większości przypadków wystarczy średniej klasy komputer osobisty do modelowania znacznej liczby zjawisk lub procesów. Natomiast wady i ograniczenia wynikają głównie z błędów czynnika ludzkiego w całym procesie i można do nich zaliczyć: Konieczność dobrej znajomości narzędzi programistycznych używanych przy modelowaniu problemu. Rozwiązywalne są zagadnienia o potęgowym stopniu złożoności algorytmicznej. Nieuwzględnienie wszystkich czynników (np. luk technologicznych). Problem źle uwarunkowanych zagadnień. Błędy modelu. Błędy metody. 26

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE 27 Błędy zaokrągleń i dyskretyzacji, a także ograniczenia np. długości typów zmiennych. Błędy danych wejściowych. Rozwiązania komputerowe są najczęściej przybliżeniami rozwiązań dokładnych. 2.2 Metody rozwiązywania równań Maxwella Od czasu sformułowania przez Maxwella równań opisujących własności pola elektromagnetycznego powstał rozbudowany aparat matematyczny służący do ich rozwiązywania. Do bardziej popularnych metod rozwiązywania równań Maxwella należą [36]: Metoda elementów skończonych (finite-element method) polega na rozkładzie badanego obszaru na skończone elementy (najczęściej jest to rozkład skomplikowanych obszarów na proste figury geometryczne) i problem jest definiowany osobno, dla każdego z tych mniej skomplikowanych elementów. Przeprowadza się obliczenia służące rozwiązaniu problemu dla wszystkich obszarów z osobna a następnie łączy się wyniki obliczeń (zachowując ciągłość na granicach łączenia aproksymując wyniki z najbliższych węzłów) i w ten sposób otrzymuje się rozwiązanie dla bardziej skomplikowanego obszaru początkowego. Wybór elementów najczęściej jest dokonywany tak, by były zachowane zbliżone właściwości lub kształty podobszarów, co znacznie usprawnia algorytmy obliczeniowe. FDTD (finite difference time-domain) metoda różnic skończonych w dziedzinie czasu. Istotą tej metody jest stworzenie dyskretnego modelu siatkowego badanego obiektu złożonego z komórek elementarnych (zwanych komórkami Yee) a następnie rozwiązanie równań Maxwella z zależnością od czasu pola elektrycznego i magnetycznego. Aproksymuje się pochodne ilorazem różnicowym df dx lim f(x + x) f(x x) x 0 (2.1) 2 x a obliczenia przeprowadza się w zadanych odstępach czasu. Metoda ta jest bardzo rozpowszechniona głównie ze względu na swoją prostotę i intuicyjność w podejściu do problemu [34], [35]. Metoda macierzy przejścia (transfer matrix method) podobnie do poprzednio opisanych metod opiera się na podzieleniu badanego obszaru na n elementów. Następnie szuka się wszystkich macierzy (macierzy przejścia) opisujących zmianę stanu badanego układu w kolejnych krokach rozwiązując równanie [a i ] = T i+1 [a i+1 ] (2.2) gdzie a i i-ty element, T i+1 macierz przejścia dla elementu i+1, a i+1 element i+1. Po przemnożeniu macierzy dla wszystkich kroków otrzymujemy macierz przejścia od stanu początkowego do końcowego [a 0 ] = T 1 T 2... T n 1 T n [a n ] (2.3)

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE 28 2.3 Algebraiczne zagadnienie własne Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, modele rozwiązań równania Schrödingera można zastosować do obliczania rozkładu pola elektromagnetycznego w badanych strukturach. Algebraicznym zagadnieniem własnym (AZW) nazywamy zadanie polegające na wyznaczeniu wartości i wektorów własnych macierzy, której elementy stanowią liczby rzeczywiste lub zespolone. Wartość własną ε macierzy A nazywamy liczbę, dla której istnieje niezerowy wektor własny ψ spełniający równość Aψ = εψ. (2.4) W mechanice kwantowej w zagadnieniu własnym A reprezentuje wielkość fizyczną, natomiast ψ jest funkcją opisującą stan badanego układu. Równanie Schrödingera jest także zagadnieniem własnym operatora energii, czyli hamiltonianu Ĥ Ĥψ = Eψ (2.5) Rozwiązanie tego równania prowadzi do znalezienia kwantowomechanicznego opisu badanego układu. Przy założeniu periodycznych warunków brzegowych oraz sprowadzając równania falowe do dyskretnych postaci otrzymujemy zagadnienia własne z kwazisymetryczną macierzą trójdiagonalną: gdzie dla polaryzacji s β 2 + 2 1 e iq 1 β 2 + 2 1 S =. 1........ β 2 + 2 1 e iq 1 β 2 + 2 dla polaryzacji p SĒ = ω2 NĒ, (2.6) n 2 1, N = n 2 2... n 2 J 1 n 2 J ; (2.7) gdzie P = 1 n 2 1/2 + β 2 + 1 n 2 1 n 2 3/2 1 n 2 3/2 e iq n 2 1/2 1 n 2 3/2... P H = ω 2 H, (2.8)...... 1 + β 2 + 1 n 2 n 2 J 3/2 J 1 n 2 J 1/2 1 n 2 J 1/2 eiq n 2 1/2 1 n 2 J 1/2 1 + β 2 n 2 n 2 J 1/2 J + 1 n 2 1/2 (2.9)

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE 29 oraz Ē = E 1 E 2. E J 1 E J, H = H 1 H 2. H J 1 H J (2.10) 2.4 Modele optycznych supersieci aperiodycznych Supersieć to struktura, która powstaje w wyniku nałożenia co najmniej dwóch różnych warstw materiałów. Supersieci optyczne to struktury, w których nałożone warstwy zmieniają swoje właściwości optyczne ( współczynnik załamania, przenikalność elektryczna i magnetyczna ). Aktualnie nie ma technologicznych barier odnośnie kolejności czy grubości nakładanych warstw, a co za tym idzie możliwe jest skonstruowanie struktury o praktycznie dowolnej konfiguracji i grubości. Przykładem może tutaj być technika wytwarzania warstw na podłożu krystalicznym o nazwie epitaksja z wiązki molekularnej 1, która pozwala na produkcję warstw z tempem wzrostu 1 do 300 nanometrów na minutę. W pracy scharakteryzowano OSA składające się z dwóch rodzajów warstw, określanych przez P i Q o parametrach optycznych odpowiednio: współczynniki załamania: n P oraz n Q, przenikalności elektryczne: ε P oraz ε Q, przenikalności magnetyczne: µ P oraz µ Q, grubości: d P oraz d Q. Model takiej sieci przedstawiono na Rys. 2.1 Rysunek 2.1: Model OSA W modelu zakłada się również, że powierzchnie styku materiałów są idealnie równoległymi płaszczyznami, a zmiana właściwości optycznych ma charakter skokowy. Grubość warstw poszczególnych materiałów można zasymulować sposobem ułożenia warstw (2 warstwy tego samego typu spełniają taką samą rolę jak jedna warstwa podwójnej grubości) 1 Molecular Beam Epitaxy (MBE)

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE 30 Dla uzyskania różnorodności w modelowanych łańcuchach wzięto pod uwagę cztery matematyczne struktury, których wzajemne ułożenie wyrazów, odpowiada sposobowi układania warstw w badanych OSA. Poddane analizie zostały przykłady modeli ułożenia warstw takie jak: Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) [7] Uogólniona supersieć typu Thue-Morse a (USTM) Supersieć z podwojonym okresem (SPO) Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS) 2.4.1 Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) to przykład supersieci, której konstrukcja polega na podstawieniach: Q PQ, Q P (2.11) Konstrukcję supersieci rozpoczyna się od wyrazu S 0 =Q, gdzie S i to łańcuch i- tego pokolenia. Wzór rekurencyjny do tworzenia kolejnego (i+1 ) pokolenia USF ma postać S i+1 = S a i S b i 1, (2.12) gdzie a określa ilość powtórzeń i-tego pokolenia, a b ilość powtórzeń pokolenia (i- 1 ). Ze wzoru (2.12) wynika, że pierwsze dwa pokolenia niezależnie od zadanych parametrów będą zawsze takie same, tj. S 0 = Q, S 1 = P (2.13) Innymi słowy są to warunki początkowe generowania OSA. Warto zauważyć, że za S 0 i S 1 można przyjąć pojedyncze warstwy, ale w ogólności może to być zbiór wielu warstw. Należy zaznaczyć, że wyrażenie S i S i 1 nie określa mnożenia logicznego tylko proste łączenie łańcuchów tekstowych. W dalszej części pracy zapis USF(a,b) będzie reprezentował supersieć o określonych parametrach odpowiednio a oraz b. Cała rodzina OSA typu Fibonacciego charakteryzuje się stałą liczbą warstw typu Q sąsiadujących ze sobą oraz zmienną ilością warstw typu P. Dla przykładu pokazano czwarte pokolenie USF(1,2), trzecie pokolenie USF(2,2) oraz trzecie pokolenie USF(2,3):

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE 31 PQQPPPQQPQQ P QQ PPP QQ P QQ PPQQPPQQPPPP PP QQ PP QQ PPPP PPQQQPPQQQPPPPPP PP QQQ PP QQQ PPPPPP W grupie USF można wyróżnić także nazwane modele, które mają określone parametry a i b. Ich nazwy zwyczajowe przedstawiamy poniżej [7] USF(1,1) złota, USF(1,2) miedziana, USF(1,3) niklowa, USF(2,1) srebrna, USF(3,1) brązowa. 2.4.2 Uogólniona supersieć typu Thue-Morse a (USTM) USTM to model sieci, do konstrukcji którego potrzebna jest sieć pomocnicza. Wzór rekurencyjny potrzebny do tworzenia USTM wygląda następująco: gdzie S b i we wzorze (2.14) przyjmuje postać S i+1 = S a i S b i (2.14) S i = S b i 1S a i 1. (2.15) W modelu tym przyjmuje się, że pierwsze elementy łańcuchów mają postaci odpowiednio S 0 = P oraz S 0 = Q. Ze względu na to, że początkowe wyrazy S 0 oraz S 0 są warstwami przeciwnego typu w USTM w których a=b wzór użyty do konstruowania ciągu pokazuje pewną prawidłowość. W miejscu, gdzie w pierwszym łańcuchu występuje P w drugim łańcuchu występuje Q, a tam gdzie w pierwszym jest Q w drugim występuje P. Dla przykładu, drugie pokolenie USTM przy a=b=2 ma postać: S 2 = PPQQPPQQQQPPQQPP S 2 = QQPPQQPPPPQQPPQQ 2.4.3 Supersieć z podwojonym okresem (SPO) Supersieć z podwojonym okresem jest odmianą modelu miedzianej supersieci Fibonacciego USF(1,2), z tą różnicą, że zerowe pokolenie (i=0) jest równe Q a pierwsze (L=1) QP. Zatem wzór rekurencyjny dla tego modelu ma postać gdzie S 0 = Q i S 1 = QP. S i = S i 1 S 2 i 2, (2.16) Pozostałe właściwości tej odmiany struktury pozostają takie same jak w przypadku supersieci Fibonacciego.

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE 32 2.4.4 Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS) Supersieć typu Rudin-Shapiro charakteryzuje się największym zróżnicowaniem w ułożeniu warstw i z tego powodu wydaje się być najbardziej interesująca pod względem naukowym, ponieważ wprowadza największą różnorodność do badanych modeli. W oryginale budowa tego typu sieci powstaje z czterech typów warstw. Dla potrzeb bieżącej pracy obliczenia przeprowadzono dodatkowo dla dwóch przypadku, gdy trzeci i czwarty typ warstwy zastąpione zostały przez warstwę typu Q. Przy konstrukcji tego modelu należy wprowadzić sieci pomocnicze. Wzór rekurencyjny do konstrukcji SRS przyjmuje postać gdzie : S 0 = P, S 0 = P, S 0 = Q, S 0 = Q Natomiast pomocnicze wzory mają postaci S i+1 = S i S i, (2.17) S i+1 = S i S i, S i+1 = S i S i, Si+1 = S i S i. (2.18) 2.5 Programowanie zorientowane obiektowo (OOP) Programowanie obiektowe to podejście do programowania w sposób, który umożliwia traktowanie logicznych bloków/elementów programu jako oddzielne obiekty, posiadających określone cechy (właściwości) oraz pewne procedury/funkcje (metody). Podejście obiektowe jest niejako odwzorowaniem sposobu w jaki postrzegamy rzeczywistość. Zamiast traktować bloki kodu realizujące dane zadanie jako funkcje, które są nie związanymi z innymi elementami, dużo łatwiej pod względem logicznym podejść do nich jak do obiektów, które potrafią realizować dane zadanie. W programie, który jest integralną częścią tej pracy, starano się zrealizować założenia programowania zorientowanego obiektowo, głównie w takich przypadkach jak klasa supersieci (OSA), która potrafi generować konkretne łańcuchy na podstawie podanych parametrów. Dzięki temu możliwe będzie wykorzystanie, bez ingerencji w kod, tej klasy do innych programów w przyszłości. Głównymi paradygmatami podejścia obiektowego do programowania są: Abstrakcja każdy obiekt posiada pewną funkcjonalność, dzięki której bez ujawniania konkretnej implementacji potrafi się komunikować z resztą systemu. Hermetyzacja czyli ukrywanie implementacji, oddzielone od siebie obiekty nie ingerują w działanie innych obiektów, uniemożliwia to popełnianie błędów omyłkowego nadpisania zmiennych globalnych, co często się zdarza przy programowaniu proceduralnym. Polimorfizm każda klasa może tworzyć dowolną ilość instancji obiektu (egzemplarzy danego modelu) Oddzielone instancje mogą realizować równolegle te same zadania z różnymi parametrami

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE 33 Dziedziczenie umożliwia implementacje wyspecjalizowanych obiektów dziedziczących właściwości i metody z bardziej ogólnych, dzięki temu unika się duplikowania części kodu, co znacznie wpływa na szybkość wykonywanych operacji

Rozdział 3 Rezultaty obliczeń numerycznych 3.1 Opis programu Obliczenia numeryczne struktury pasmowej, prędkości grupowej v g oraz efektywnego współczynnika załamania n ef zostały przeprowadzone dla badanych supersieci przy następujących parametrach: 1. Typ polaryzacji s lub p; 2. Liczba punktów siatki; 3. Kąta padania θ w zakresie od 0 do π/2; 4. Długości fali promieniowania λ w zakresie światła widzialnego: od 300 nm do 700 nm; 5. Wartości współczynników załamania warstw typu P i Q odpowiednio n P oraz n Q ; 6. Grubości warstw typu P i Q odpowiednio d P oraz d Q ; 7. Typu badanej sieci Fibonacciego (USF), Thue-Morse a (USTM), z podwojonym okresem (SPO), Rudin-Shapiro (SRS); 8. Parametrów sieci pokolenie supersieci, współczynniki potrzebne do konstrukcji a oraz b dla sieci USF oraz USTM. Do napisania programu zostało wykorzystane środowisko programistyczne Delphi. Program na podstawie zadanych parametrów wyznacza model badanej supersieci, następnie dokonuje próbkowania współczynnika załamania i na jego podstawie oblicza wartości własne. Większość obliczeń jest wykonywana na podstawie danych bezwymiarowych, żeby uniknąć sytuacji wystąpienia błędów związanych z ograniczeniem długości typów zmiennych. Wartości własne zostały obliczone w oparciu o twierdzenie Martina-Dean a (znalezienia przedziału wartości, na którym znajduje się tylko jedna wartość własna), a następnie metodą bisekcji wyznaczone z dokładnością 10 10. Dokładność obliczeń w znacznym stopniu wpływa na obciążenie procesora oraz na czas wykonywanych operacji. Przy dokładności rzędu 10 6 wyznaczenie wartości własnych daje satysfakcjonujące wyniki odnośnie struktury pasmowej, ale 34

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 35 wyniki obliczeń prędkości grupowej i efektywnego współczynnika załamania obarczone są znacznym błędem. Z powodu braku translacyjnej niezmienniczości w kryształach fotonicznych należało narzucić periodyczne warunki brzegowe [7] E(x + D) = E(x) = E(0) = E(D)e ikd, gdzie D to całkowita grubość struktury. Obliczenia prędkości grupowej i efektywnego współczynnika załamania dokonano na podstawie wyznaczonych wcześniej wartości własnych przy pomocy wzorów na: prędkość grupową v g = dω(k)/dk, efektywny współczynnik załamania n ef = c v g. Prędkość grupową oraz efektywny współczynnik załamania obliczano dla nieredukowalnej strefy Brillouina (od 0 do Π).

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 36 3.2 Wybrane wyniki obliczeń Rezultaty obliczeń zostały przedstawione w postaci wykresów: 1. zależności długości fali (nm) od wektora falowego λ(k), 2. zależności dyspersyjnej (bezwymiarowe wartości ω) ω(k), 3. prędkości grupowej, 4. efektywnego współczynnika załamania, dla różnych zadanych parametrów wejściowych. Nazwa OSA, Ciąg Polaryzacja, n P, n Q, θ pokolenie nr rysunku SRS, 3 PPQ s, (3.1)-(3.4) 2.3, 2.3, 0 SRS, 6 PPQQQPPQP s, (3.5)-(3.8) 1.43, 2.3, 0 SRS, 6 PPQQQPPQP p, (3.9)-(3.12) 1.43, 2.3, 0 SRS, 6 PPQSQRPQR s, (3.13)-(3.16) 1.43, 2.3, 0 n R =1.6,n S =1.8 SRS, 6 PPQSQRPQR p, (3.17)-(3.20) 1.43, 2.3, 0 n R =1.6, n S =1.8 USF(1,1), 2 PQ s, (3.21)-(3.24) 1.43, 2.3, 0 USF(1,1), 2 PQ p, (3.25)-(3.28) 1.43, 2.3, 0 USF(1,2), 4 PQQPPPQQPQQ s, (3.29)-(3.32) 1.43, 2.3, 0 USF(1,2), 4 PQQPPPQQPQQ p, (3.33)-(3.36) 1.43, 2.3, 0 USTM(1,1), 3 PQQPQPPQ s, (3.37)-(3.40) 1.4, 2.3, 0 USTM(1,1), 3 PQQPQPPQ p, (3.41)-(3.44) 1.4, 2.3, 0 USTM(1,1), 3 PQQPQPPQ s, (3.45)-(3.48) 1.5, 2.3, 0 USTM(1,1), 3 PQQPQPPQ p, (3.49)-(3.52) 1.5, 2.3, 0 USTM(1,1), 3 PQQPQPPQ s, (3.53)-(3.56) 1.7, 2.3, 0 USTM(1,1), 3 PQQPQPPQ p, (3.57)-(3.60) 1.7, 2.3, 0 SPO, 3 QPQQQPQP s, (3.61)-(3.64) 1.3, 4.3, 0 SPO, 3 QPQQQPQP s, (3.65)-(3.68) 1.3, 4.3, 0.05 SPO, 3 QPQQQPQP s, (3.69)-(3.72) 1.3, 4.3, 0.1 Obliczenia wartości prędkości grupowej oraz efektywnego współczynnika załamania zostały przeprowadzone dla k > 0. Właściwości OSA badano zmieniając typ sieci (łącznie z parametrami), kąt padania, grubość warstw oraz współczynniki załamania warstw (dla 300nm < λ < 700nm). Gęstość próbkowania współczynnika załamania dla badanej struktury, przy ilości warstw mniejszych niż 10, z powodu potęgowej zależności czasu obliczeń i obciążenia procesora od ilości próbek, była najczęściej równa 200 próbek/d, gdzie D to całkowita grubość struktury. W celu sprawdzenia czy algorytm obliczeniowy jest prawidłowy, zasymulowano ośrodek jednorodny dobierając takie same wartości współczynnika n P = n Q = 2.3 dla trzeciego pokolenia SRS (PPQ). Wynik obliczeń został przedstawiony na wykresach (3.1) (3.4) Jak widać na wykresach fotoniczna przerwa wzbroniona w takiej strukturze nie występuje. W konsekwencji tego faktu wykresy prędkości grupowych i efektywnego współczynnika załamania powinny mieć wartość stałą, jednak ze względu na dokładność wyznaczenia częstości (10 10 ) oraz nieznaczne błędy zaokrągleń, mają

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 37 one lekkie nachylenie. Następnie przeprowadzono obliczenia dla ośrodków aperiodycznych, w tabeli powyżej przedstawiono badane sieci wraz z parametrami, przy jakich przeprowadzane były obliczenia.

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 38 Rysunek 3.1: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy n P = n Q = 2.3 Rysunek 3.2: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy n P = n Q = 2.3 Rysunek 3.3: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy n P = n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 39 Rysunek 3.4: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy n P = n Q = 2.3 Rysunek 3.5: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja s Rysunek 3.6: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 40 Rysunek 3.7: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja s Rysunek 3.8: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja s Rysunek 3.9: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 41 Rysunek 3.10: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja p Rysunek 3.11: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja p Rysunek 3.12: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 42 Rysunek 3.13: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja s Rysunek 3.14: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja s Rysunek 3.15: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 43 Rysunek 3.16: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja s Rysunek 3.17: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja p Rysunek 3.18: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 44 Rysunek 3.19: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja p Rysunek 3.20: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja p Rysunek 3.21: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 45 Rysunek 3.22: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja s Rysunek 3.23: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja s Rysunek 3.24: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 46 Rysunek 3.25: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja p Rysunek 3.26: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja p Rysunek 3.27: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 47 Rysunek 3.28: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja p Rysunek 3.29: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPP- PQQPQQ), polaryzacja s Rysunek 3.30: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPP- PQQPQQ), polaryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 48 Rysunek 3.31: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ), polaryzacja s Rysunek 3.32: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ), polaryzacja s Rysunek 3.33: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPP- PQQPQQ), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 49 Rysunek 3.34: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPP- PQQPQQ), polaryzacja p Rysunek 3.35: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ), polaryzacja p Rysunek 3.36: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 50 Rysunek 3.37: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.4, n Q = 2.3 Rysunek 3.38: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.4, n Q = 2.3 Rysunek 3.39: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.4, n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 51 Rysunek 3.40: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.4, n Q = 2.3 Rysunek 3.41: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.4, n Q = 2.3 Rysunek 3.42: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.4, n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 52 Rysunek 3.43: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.4, n Q = 2.3 Rysunek 3.44: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.4, n Q = 2.3 Rysunek 3.45: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.5, n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 53 Rysunek 3.46: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.5, n Q = 2.3 Rysunek 3.47: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.5, n Q = 2.3 Rysunek 3.48: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.5, n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 54 Rysunek 3.49: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.5, n Q = 2.3 Rysunek 3.50: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.5, n Q = 2.3 Rysunek 3.51: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.5, n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 55 Rysunek 3.52: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n Q = 1.5, n 2 = 2.3 Rysunek 3.53: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.7, n Q = 2.3 Rysunek 3.54: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.7, n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 56 Rysunek 3.55: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.7, n Q = 2.3 Rysunek 3.56: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n P = 1.7, n Q = 2.3 Rysunek 3.57: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynnik współczynniki załamania n P = 1.7, n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 57 Rysunek 3.58: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynnik współczynniki załamania n P = 1.7, n Q = 2.3 Rysunek 3.59: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.7, n Q = 2.3 Rysunek 3.60: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n P = 1.7, n Q = 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH 58 Rysunek 3.61: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0 Rysunek 3.62: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0 Rysunek 3.63: Prędkość grupowa dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0