Kiedy opcja jest bezpieczna?

Kiedy opcja jest bezpieczna? Jacek Podlewski Koło Naukowe Modelowania Finansowego AGH Kraków Toruń, 8 grudnia 2012

Wprowadzenie Plan prezentacji 1 Krótki wstęp do opcji 2 Problem wyceny i osłony 3 Delta hedging - motywacja, teoria versus praktyka 4 Wycena i osłona opcji z wykorzystaniem teorii użyteczności

Wprowadzenie Oznaczenia S = S t - proces cen akcji Y = Y t - rachunek pieniężny (wolny od ryzyka) r - stopa procentowa wolna od ryzyka V ( ) - wartość opcji H( ) - funkcja wypłaty σ - zmienność cen akcji

Wprowadzenie Założenia modelu Blacka-Scholesa ze stałymi kosztami transakcyjnymi Dynamika akcji: ds t = µs t dt + σs t dw t Dynamika rachunku pieniężnego: dy t = ry t dt Koszty transakcji proporcjonalne do jej wartości: gdy kupujemy/sprzedajemy N akcji po cenie S t, koszt wynosi ɛ N S t. Dla uproszczenia zakładamy brak dywidend Ogólna postać strategii inwestycyjnej: Π t = (x(t), y(t)) Wartość strategii w chwili t: V Π (t) = x(t)s t + y(t)y t

Wstęp do opcji Czym są opcje? Pojęcie opcji obejmuje dzisiaj bardzo szerokie spektrum instrumentów finansowych. Jednak ich wspólną cechą charakterystyczną jest oferowanie posiadaczowi możliwości dokonania pewnej transakcji w ustalonym terminie (w odróżnieniu np. od kontraktów terminowych czy swapów). Każdą opcję charakteryzują: Instrument(y) bazowe - np. akcje, waluta Czas zycia Profil wypłaty

Wstęp do opcji Najpopularniejsze rodzaje opcji Przykład Europejska opcja kupna (call) oferuje posiadaczowi możliwość nabycia akcji S w chwili T za kwotę K. Jej cenę w chwili t < T oznaczamy jako C(S t, K, T, t). Rysunek: Źródło: wikinvest.com H(S T ) = max(s T K, 0)

Wstęp do opcji Najpopularniejsze rodzaje opcji Przykład Europejska opcja sprzedaży (put) oferuje posiadaczowi możliwość sprzedaży akcji S w chwili T za kwotę K. Jej cenę w chwili t < T oznaczamy jako P(S t, K, T, t). Rysunek: Źródło: wikinvest.com H(S T ) = max(k S t, 0)

Wstęp do opcji Dalsze przykłady opcji Opcje binarne (np. dla europejskiej binarnej opcji kupna H(S T ) = I (0,+ ) (S T K)). Opcje amerykańskie Opcje azjatyckie Opcje bermudzkie Opcje tęczowe I wiele, WIELE innych Rysunek: Źródło: domino-printing.com

Wycena i osłona opcji There is no free lunch..." Kontrakt opcyjny zwykle faworyzuje jedną ze stron Przez lata handlowano nie mając żadnego formalnego aparatu wyceny F.Black i M.Scholes (1973) - prawdopodobnie najważniejsza praca w historii matematyki finansowej Edward Thorp nieco wcześniej odkrył przepis na wycenę, lecz zachował dla siebie Rysunek: Wycena strategii motyla. Źródło: mathworks.com

Wycena i osłona opcji Arbitraż i replikacja Definicja Arbitrażem nazywamy taką strategię inwestycyjną, której wartość początkowa wynosi 0, natomiast wartość końcowa jest nieujemna (i dodatnia z niezerowym prawdopodobieństwem) Budując modele wyceny instrumentów finansowych zakłada się praktycznie zawsze, że nie występuje możliwość arbitrażu. W praktyce oczywiście bywa różnie...

Wycena i osłona opcji Arbitraż i replikacja Definicja Arbitrażem nazywamy taką strategię inwestycyjną, której wartość początkowa wynosi 0, natomiast wartość końcowa jest nieujemna (i dodatnia z niezerowym prawdopodobieństwem) Budując modele wyceny instrumentów finansowych zakłada się praktycznie zawsze, że nie występuje możliwość arbitrażu. W praktyce oczywiście bywa różnie... Wniosek (Prawo jednej ceny) Dwa instrumenty finansowe o tym samym profilu wypłaty muszą mieć taką samą cenę.

Wycena i osłona opcji Arbitraż i replikacja Korzystając z zasady jednej ceny można wyceniać instrumenty pochodne, których funkcje wypłaty da się zreplikować za pomocą innych walorów dostępnych na rynku. Definicja Strategią replikującą instrument europejski o wypłacie H(S T ) nazywamy strategię Π o własności V Π (T ) = H(S T ).

Wycena i osłona opcji Arbitraż i replikacja Korzystając z zasady jednej ceny można wyceniać instrumenty pochodne, których funkcje wypłaty da się zreplikować za pomocą innych walorów dostępnych na rynku. Definicja Strategią replikującą instrument europejski o wypłacie H(S T ) nazywamy strategię Π o własności V Π (T ) = H(S T ). Obserwacja Z zasady jednej ceny wynika, że w chwili t wartość instrumentu pochodnego musi być równa wartości strategii replikującej.

Wycena i osłona opcji Parametry greckie W zarządzaniu ryzykiem inwestycji w opcje kluczową rolę odgrywają miary wrażliwości wartości opcji, zwane parametrami greckimi (ang. Greeks). = V S Γ = 2 V S 2 ρ = V r Θ = V t i wiele innych...

Wycena i osłona opcji Parametry greckie W zarządzaniu ryzykiem inwestycji w opcje kluczową rolę odgrywają miary wrażliwości wartości opcji, zwane parametrami greckimi (ang. Greeks). Uwaga = V S Γ = 2 V S 2 ρ = V r Θ = V t i wiele innych... Użyty symbol pochodnej cząstkowej może być nieco mylący, bo cena opcji wcale nie musi być różniczkowalną funkcją wszystkich swoich argumentów. W praktyce parametry greckie wyznacza się zwykle numerycznie.

Wycena i osłona opcji Delta hedging Idea zabezpieczenia opcji sprowadza się do utrzymywania parametrów greckich na bezpiecznym, niskim poziomie. Teoretycznie gdy każdą posiadaną opcję zabezpieczymy akcjami w ilości otrzymamy portfel niewrażliwy na zmiany kursu akcji. W realistycznych modelach wyznacznie często nie jest proste (ale na ogół wykonalne) W praktyce nie mamy doskonałej podzielności aktywów W praktyce niemożliwy jest idealny hedging w czasie ciągłym

Wycena i osłona opcji Przykład - spekulacja zmiennością

Wycena i osłona opcji Jak wobec tego osłaniać opcje???

Kiedy opcja jest bezpieczna? Osłona opcji w praktyce Metody naiwne Hedging w stałych odstępach czasu - rozwiązanie łatwe lecz mocno wadliwe: Problem z ustaleniem interwału W przypadku niewielkich ruchów cen jedynie ponosimy niepotrzebne koszty Rysunek: Źródło: mariettainjurylawyer.com

Kiedy opcja jest bezpieczna? Osłona opcji w praktyce Metody naiwne Hedging w stałych odstępach czasu - rozwiązanie łatwe lecz mocno wadliwe: Problem z ustaleniem interwału W przypadku niewielkich ruchów cen jedynie ponosimy niepotrzebne koszty Rysunek: Źródło: mariettainjurylawyer.com Lepszym rozwiązaniem jest wyznaczenie przedziału dopuszczalnych pozycji w akcjach postaci ( ± HB) zwanego pasmem bezpieczeństwa (ang. hedging band ). Sygnałem do poprawy pozycji jest wypadnięcie liczby posiadanych akcji z tego przedziału.

Osłona opcji w praktyce Teoria użyteczności Funkcja użyteczności U( ) odzwierciedla preferencje inwestora. Zdroworozsądkowe założenia: U jest funkcją rosnącą, często wymaga się też, aby była wklęsła Przykłady: U(x) = 1 exp( x/γ), U(x) = log(1 + x/γ), U(x) = x (2γ) 1 x 2 Liczba a jest równoważna zmiennej losowej X w sensie użyteczności, gdy EU(X ) = U(a) Rysunek: Porównanie przykładowych funkcji użyteczności. Źródło: opracowanie własne

Osłona opcji w praktyce Wycena w oparciu o użyteczność Hodges i Neuberger (1989) : należy tak replikować wypłatę opcji, aby zmaksymalizować(zależny od użyteczności) funkcjonał zysku inwestora Davis i Panas (1990,1993): umocnienie teoretycznych podstaw tego podejścia Dokładne rozwiązanie jest bardzo skomplikowane obliczeniowo Konieczne jest znalezienie metod pozwalających na ciągłe kontrolowanie poziomu ryzyka

Osłona opcji w praktyce Wzory Whalleya-Wilmotta Wykładnicza funkcja użyteczności: U(x) = 1 exp( γx) Parametr γ nazywamy współczynnikiem awersji do ryzyka Whalley i Wilmott (1997) uzyskali dla małych ɛ jawne wzory na granice pasma bezpieczeństwa, korzystając z rozwinięć asymptotycznych optymalnego rozwiązania problemu maksymalizacji użyteczności. Dla opcji call: HB(t) = ( 3 2 exp( r(t t))ɛs t Γ 2 γ ) 1 3

Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Korzystamy z przeskalowanej zmienności: σ m = σ(1 + A) (inspiracja: Leland (1985), Barles i Soner (1998)) Pasmo bezpieczeństwa przyjmuje postać ( (σ m ) ± HB), HB = HB 0 + HB 1 Dobór właściwej postaci aproksymacji jest bardziej sztuką niż nauką (V.Zakamouline, [5]).

Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Korzystamy z przeskalowanej zmienności: σ m = σ(1 + A) (inspiracja: Leland (1985), Barles i Soner (1998)) Pasmo bezpieczeństwa przyjmuje postać ( (σ m ) ± HB), HB = HB 0 + HB 1 Dobór właściwej postaci aproksymacji jest bardziej sztuką niż nauką (V.Zakamouline, [5]). HB 0 = ασ β1 ɛ β2 (γs) β3 (N (d 1 )) β4 exp ( β 5 r(t t)) (T t) β6 HB 1 = ασ β1 ɛ β2 (γs) β3 (T t) β4 gdzie N ( ) oznacza gęstość rozkładu N(0, 1), zaś d 1 = [ ( ) S ln + K Ogólna postać A jest taka sama jak HB 1. ) ] [ (r σ2 (T t) / σ ] T t 2

Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Zakamouline dopasował parametry następująco: 1 Dyskretyzacja przestrzeni parametrów 2 Obliczenie optymalnego rozwiązania w węzłach otrzymanej siatki 3 Dopasowanie pametrów metodą najmniejszych kwadratów

Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Zakamouline dopasował parametry następująco: 1 Dyskretyzacja przestrzeni parametrów 2 Obliczenie optymalnego rozwiązania w węzłach otrzymanej siatki 3 Dopasowanie pametrów metodą najmniejszych kwadratów Otrzymane rezultaty dla europejskiej opcji call: HB = A = 6.85 ɛ0.78 σ 0.25 (γs 2 Γ) 0.15 ( ) 0.5 ɛ ɛ0.31 Γ γsσ 2 + 1.08 (T t) σ 0.25 γ

Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Rysunek: Źródło: obliczenia własne

Osłona opcji w praktyce Zakamouline vs W&W S 0 = 92, K = 120, σ = 40%, T t = 0.2, r = 5% ɛ = 0.4% Porównanie dla γ = 0.5

Osłona opcji w praktyce Zakamouline vs W&W - runda druga S 0 = 92, K = 120, σ = 40%, T t = 0.2, r = 5% ɛ = 0.4% Porównanie dla γ = 2

Podsumowanie Czy to koniec problemów? Odpowiedź brzmi ABSOLUTNIE NIE :) Modele lokalnej/stochastycznej zmienności i inne Losowe stopy procentowe Poziomy tolerancji dla innych parametrów greckich Inne modele kosztów transakcyjnych Bardziej skomplikowane profile wypłaty Odpowiednio szybkie metody obliczeniowe Rysunek: Źródło: spc-intheworld.com

Podsumowanie Literatura G.Barles, H.M.Soner (1998), Option Pricing with Transaction Costs and a Nonlinear Black-Scholes Equation, Finance and Stochastics vol.2, 369-397 S.Hodges, A.Neuberger (1989) Optimal Replication of Contingent Claims under Transaction Costs, Review of Futures Markets vol.8, 222-239 A.Whalley, P.Wilmott (1997) An Asymptotic Analysis of an Optimal Hedging model for Option Pricing with Transaction Costs, Mathematical Finance vol.7(3), 307-324 V.Zakamoline (2006), European Option Pricing and Hedging with both Fixed and Proportional Transaction Costs, Journal of Economic Dynamics and Control vol.30, 1-25 V.Zakamouline (2005), Optimal Hedging of Options with Transaction Costs, Wilmott Magazine 4/2005, 70-82

Podsumowanie Literatura M.Capiński, T.Zastawniak (2003), Mathematics for Finance, Springer E.Sinclair (2008) Volatility Trading (rozdział 4), John Wiley & Sons P.Wilmott (2006) Paul Wilmott on Quantitative Finance, John Wiley & Sons

Podsumowanie Dziękuję za uwagę!