Inżynieria finansowa Wykład I Wstęp

Transkrypt

1 Wykład I Wstęp Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 4 października 2011

2 1 Podstawowe pojęcia Instrumenty i rynki finansowe 2

3 Instrumenty i rynki finansowe to dyscyplina, która zajmuje się analizą właściwości instrumentów finansowych, w szczególności instrumentów pochodnych. Instrument pochodny to instrument finansowy (kontrakt, umowa), którego wartość wypłaty (wypłat) zależy od wartości, które przyjmą (lub przyjęły) w określonych umową chwilach inne instrumenty finansowe. O instrumentach finansowych, od wartości których zależy wypłata (zależą wypłaty) instrumentu pochodnego, mówimy że są tak zwanymi instrumentami podstawowymi (bazowymi) instrumentu pochodnego (ang. underlyings). W szczególności, instrumentem podstawowym instrumentu pochodnego może być inny instrument pochodny.

4 Instrumenty i rynki finansowe Główne cele inżynierii finansowej wycena instrumentów finansowych - tzw. wycena z modelu (ang. mark-to-model), którą stosuje się gdy nie jest możliwa wycena do rynku (ang. mark-to-market) tworzenie modeli wyceny instrumentów finansowych wycenianych do rynku na potrzeby analizy ryzyka tych instrumentów konstrukcja strategii zabezpieczających/replikujących instrumenty finansowe analiza i pomiar ryzyka instrumentów finansowych konstrukcje złożonych strukturalnych produktów finansowych dopasowanych do potrzeb rynku.

5 Instrumenty i rynki finansowe Rynki finansowe Rynki finansowe to miejsca (często niefizyczne), na których zawiera się transakcje na instrumentach finansowych. Rynki finansowe dzielą się na segmenty, które odpowiadają różnym aspektom instrumentów finansowych na nich handlowanych, regułom prowadzonego obrotu, czy też podmiotom dopuszczonym do zawierania transakcji. Rynki możemy podzielić na Rynki regulowane (obrót giełdowy) giełda pośredniczy w transakcji, jest stroną transakcji w obrocie są produkty wystandaryzowne dzienne rozliczenia / rachunki zabezpieczające rozliczenia Rynki pozagiełdowe, tzw. obrót OTC (Over The Counter) rynek międzybankowy rynek klientowski - rynek transakcji z klientami niebankowymi

6 Instrumenty i rynki finansowe Ze względu na rodzaj transakcji rynki możemy podzielić na Rynek kapitałowy - obrót instrumentami dłużnymi (bony, obligacje), akcjami, emisje długu Rynek pieniężny - międzybankowy rynek lokat/depozytów Rynek walutowych transakcji kasowych (natychmiastowych wymian walut) Rynek instrumentów pochodnych, w podziale na Rynek walutowych instrumentów pochodnych Rynek instrumentów pochodnych stopy procentowej Rynek towarowych instrumentów pochodnych Rynek kredytowych instrumentów pochodnych

7 Instrumenty i rynki finansowe Instrumenty finansowe Natychmiastowe transakcje gotówkowe Transakcje na instrumentach pochodnych Natychmiastowe transakcje gotówkowe (kasowe) kupno/sprzedaż papierów wartościowych (akcji, obligacji, bonów skarbowych) kupno/sprzedaż walut (wymiana walut) kupno/sprzedaż towarów

8 Instrumenty i rynki finansowe Instrumenty pochodne Kontrakty terminowe Kontrakty forward (umowy przyszłego kupna/sprzedaży - bezpośredni obrót między dwoma stronami na rynku pozagiełdowym, to jest na rynku OTC) Kontrakty futures (umowy przyszłego kupna/sprzedaży - obrót na rynku regulowanym, to jest na giełdach, które pośredniczą w tych transakcjach) Kontrakty wymiany (zobowiązania do przyszłych wymian pieniężnych na określonych umową warunkach - obrót między dwoma stronami na rynku OTC) Kontrakty opcyjne Kredytowe instrumenty pochodne - wypłaty tych instrumentów zależą od wystąpienia zdarzenia kredytowego (np. bankructwa podmiotu gospodarczego) Instrumenty powstałe w drodze sekurytyzacji (długu)

9 Instrumenty i rynki finansowe Główne nieopcyjne instrumenty finansowe Kontrakty FX forward - kupno/sprzedaż waluty (wymiana walut) w przyszłości Kontrakty futures na indeksy giełdowe, na obligacje, na stopę procentową Swapy walutowe (= FX spot + odwracający wymianę początkową FX forward) Kontrakty wymiany stóp procentowych Kontrakty na przyszłą stopę procentową (FRA) Kontrakty wymiany płatności odsetkowych skapitalizowanej stopy O/N (OIS) Kontrakty wymiany płatności odsetkowych (IRS) Kontrakty wymiany płatności odsetkowych w dwóch walutach (CIRS) Kontrakty wymiany płatności cen towarów

10 Instrumenty i rynki finansowe Kontrakty opcyjne Opcje walutowe - instrumentem podstawowym jest kurs wymiany walut lub równoważnie waluta bazowa tego kursu wymiany, czyli ta waluta za jednostkę której podawana wartość w walucie niebazowej Opcje na stopę procentową - instrumentem podstawowym jest stopa procentowa, na przykład stopa referencyjna depozytów na rynku międzybankowym, stopa kontraktów wymiany stóp procentowych, obligacje Opcje na akcje / indeksy giełdowe Opcje towarowe - instrumentem postawowym jest towar Opcje na opcje

11 Instrumenty i rynki finansowe Wybrane przykłady opcji 1) europejska opcja kupna max(s T K, 0) gdzie S T jest wartością akcji w chwili zapadalności opcji T, a K jest ceną wykonania 2) europejska opcja kupna na średnią arytmetyczną (opcja azjatycka o europejskim typie wykonania) max( S T K, 0) gdzie S T = 1 n n i=1 S t i przy czym t 1 < t 2 <... < t n = T 3) europejska barierowa opcja kupna typu up-and-out max(s T K, 0) 1 {maxt [0,T ] S t<h} gdzie H K jest tak zwaną barierą.

12 Instrumenty i rynki finansowe Wybrane przykłady opcji 4) europejska binarna opcja kupna (sprzedaży) 1 ST K (1 ST <K ) 5) europejska opcja kupna akcji droższej z dwóch max ( max(s (1) T, S (2) T ) K, 0) 6) europejska opcja wymiany akcji A na akcję B max ( S (B) T S (A) T, 0)

13 Instrumenty i rynki finansowe Uwagi Wypłaty opcji 1), 4), 5) i 6) zależą tylko od wartości instrumentów podstawowych w chwili zapadalności opcji - o takich opcjach mówimy że nie zależą od "drogi" (trajektorii procesu cen instrumentów podstawowych). Wypłaty opcji 2) i 3) zależą od "drogi" instrumentu podstawowego, każda na swój specyficzny sposób. Wypłata opcji 4) jest funkcją nieciągłą ceny instrumentu podstawowego w chwili zapadalności opcji. Zarządzanie ryzykiem opcji o nieciągłych wypłatach jest zdecydowanie trudniejsze niż w przypadku opcji których wypłaty są ciągłe. W opcjach 5) i 6) mamy dwa instrumenty podstawowe.

14 Stan rynków finansowych odzwierciedlają kwotowania oraz ceny zawartych na nich transakcji na instrumentach finansowych. Podstawowymi zmiennymi rynkowymi, które odzwierciedlają stan rynków finansowych są ceny akcji spółek giełdowych, wartości indeksów giełdowych kursy wymiany walut stopy procentowe (depozytowe, referencyjne (np. LIBOR), kontraktów FRA, OIS, IRS, etc.) ceny obligacji ceny kontraktów futures ceny towarów (surowców, metali, ropy, produktów rolnych, etc.) Powyższe zmienne rynkowe często pełnią role instrumentów podstawowych instrumentów pochodnych.

15 Rodzaje cen instrumentów finansowych transakcyjne - odzwierciedlają rzeczywisty stan popytu i podaży, kwotowane - odzwierciedlają oczekiwania uczestników rynku, lub też zamiary kwotującego w stosunku do własnego portfela, referencyjne - fixingi oraz kursy zamknięcia - oficjalne ceny odniesienia, często stosowane przy rozliczaniu transakcji, na ogół są średnimi cen kwotowanych - na przykład kursy walutowe fixing NBP, fixing EBC stopy referencyjne WIBOR, LIBOR, EURIBOR, ustalane przez odpowiednie niezależne organizacje.

16 Na płynnych rynkach ceny są kwotowane dwustronnie, mianowicie mamy ceny kupna (ang. bid price) - ile kwotujący jest skłonny zapłacić za dany instrument ceny sprzedaży (ang. offer price) - za ile kwotujący jest skłonny sprzedać dany instrument Oczywiście musi zachodzić relacja cena kupna < cena sprzedaży. Wielkość różnicy między ceną sprzedaży a ceną kupna, tzw. spread jest miernikiem nierównowagi rynkowej dla danego instrumentu i jest często brany pod uwagę przy ocenie płynności obrotu tym instrumentem.

17 Wartość instrumentu pochodnego będziemy wyrażać jako funkcje Uwagi wartości instrumentów podstawowych (cen spot - to jest cen natychmiastowej dostawy lub struktury cen forward), bieżącej struktury stóp procentowych, zmienności instrumentów podstawowych, oraz w niektórych przypadkach korelacji między powyższymi zmiennymi. Co do zasady pozycje długie (pozycje kupione) powinno się wyceniać do ceny sprzedaży, a pozycje krótkie (pozycje sprzedane) do ceny kupna. W praktyce transakcje na instrumentach pochodnych wyceniane są do ceny średniej (ang. mid price), a następnie szacuje się kwoty korekt wyceny z tytułu zastosowania tej ceny.

18 W celu zbudowania metody wyceny instrumentu finansowego na ogół musimy sformułować modele matematyczne opisujące dynamikę zmiennych rynkowych od których cena instrumentu zależy, zwykle w postaci specyficznych procesów stochastycznych.

19 Ceny akcji / wartości indeksów giełdowych Wyceniając instrument pochodny w tzw. świecie wolnym od ryzyka, postuluje się, że proces stochastyczny S t, za pomocą którego modelujemy zachowanie się ceny akcji, spełnia następujące równanie stochastyczne (tzw. model Blacka-Scholesa) ds t = rs t dt + σs t dw t gdzie r, σ są pewnymi stałymi (liczbami rzeczywistymi), a W t jest tzw. procesem Winera. Proces ten startuje w chwili bieżącej t 0 ze znanej bieżącej wartości tej akcji S 0, którą uważamy za realizację zmiennej losowej S t0. Uwagi S t jest ceną 1 akcji w chwili t wyrażoną w walucie danego rynku. r jest stopą kapitalizowaną w sposób ciągły dla lokat/depozytów w tej walucie, wolną od ryzyka. σ jest zmiennością akcji.

20 Równanie tego typu nie jest używane do prognozowania przyszłych wartości cen akcji. Przyjmując powyższy model zakładamy, że akcja nie płaci dywidendy w okresie w którym to równanie obowiązuje. Akcje na ogół płacą dywidendę, zwykle raz lub dwa razy w roku, co powoduje że w trajektorii ceny akcji powinien nastąpić skok ceny między t cum - ostatnim dniem, w którym kupujący akcję nabiera prawa do najbliższej dywidendy, a t ex - pierwszym dniem, w którym kupujący akcję nie otrzymuje prawa do najbliższej dywidendy, o wielkość D 0 (1 r tax ) - wartość bieżącą D 0 (na dzień cum-dividend) najbliższej dywidendy pomniejszoną o podatek od przychodów z inwestycji kapitałowych obliczony według stopy podatkowej r tax czyli, gdyby inne czynniki nie wpływałyby na cenę akcji, musiało by zachodzić S tcum = S tex + D 0 (1 r tax )

21 Indeksy giełdowe są syntetycznym portfelem grupy spółek giełdowych, odzwierciedlają stan i zmiany wartości portfela spółek wchodzących w jego skład, możemy traktować jak syntetyczną spółkę, z tym że nie można dostarczyć fizycznie akcji tej syntetycznej spółki i z tego powodu instrumenty pochodne, których instrumentem podstawowym jest indeks, są rozliczane przez rozliczenie gotówkowe, a nie przez fizyczną dostawę, płacą dywidendę w sposób ciągły. Na potrzeby wyceny instrumentów pochodnych na indeksy przyjmuje się, że proces stochastyczny S t modelujący zachowanie wartość indeksu spełnia następujące równanie ds t = (r δ)s t dt + σs t dw t gdzie δ jest stopą płaconej przez indeks dywidendy wyrażoną w ciągłej kapitalizacji.

22 ang. FX rate (Foreign exchange rate) S t - wartość kursu natychmiastowej wymiany waluty CUR 1 na CUR 2 w chwili t wymiana natychmiastowa (ang. FX spot) wymiana (dostawa, rozliczenie) następuje w dniu spot, to jest (zwykle) za 2 dni handlowe od t, konwencja t + 2 wymiana walut = jedną walutę kupujemy, a drugą sprzedajemy kurs wymiany można podawać na dwa sposoby jako ilość waluty CUR 1 za jednostkę waluty CUR 2 S t jako ilość waluty CUR 2 za jednostkę waluty CUR 1 1/S t waluta bazowa w odniesieniu do kwotowanego kursu ta waluta za jednostkę, której podajemy ilość drugiej waluty waluta niebazowa, kwotowana, druga waluta, w której wyrażamy wartość jednostki waluty bazowej

23 Konwencje kwotowania kursów walutowych Zwykle, w tzw. direct quotation, CUR 1 /CUR 2 oznacza ilość waluty CUR 2 za jednostkę waluty CUR 1 (odwrotnie niż się oznacza miana w fizyce!) czyli CUR 1 jest walutą bazową a CUR 2 walutą niebazową. Zdarza się jednak kwotowanie odwrotne, tzw. indirect quotation, w którym CUR 1 /CUR 2 oznacza ilość waluty CUR 1 za jednostkę waluty CUR 2. Tak na przykład jest kwotowany kurs funta brytyjskiego GBP do dolara amerykańskiego USD - wtedy USD/GBP oznacza ilość USD za 1 GBP. W danym kraju podaje się głównie kursy walut obcych do waluty lokalnej. Kurs kupna waluty (bid price) - ale którą walutę "kupujemy"? Reguła "trzech B" (Buy, Base, Bid) - kupujemy (Buy) walutę bazową (Base) po cenie Bid (tej niższej)

24 Przykład: nasze kwotowanie /490 USD/PLN oznacza, że jesteśmy gotowi kupić 1 USD za PLN lub sprzedać 1 USD po PLN. Ta zasada jest spójna z zasadami kwotowania cen kupna/sprzedaży akcji - w powyższym przykładzie USD gra rolę akcji. Kurs krzyżowy (krosowy) to kurs między dwoma obcymi walutami musi w stosunku do waluty lokalnej (np. PLN) spełniać warunek S CUR1 /CUR 2 = S CUR 1 /PLN S CUR2 /PLN = S CUR1 /PLN S PLN/CUR2 co wynika z założenia braku arbitrażu na lokalnym rynku walutowym

25 Na potrzeby wyceny walutowych instrumentów pochodnych przyjmuje się, że proces stochastyczny S t modelujący zachowanie kursu wymiany walut spełnia następujące równanie ds t = (r d r f )S t dt + σs t dw t gdzie r d jest stopą wolną od ryzyka dla waluty niebazowej (kwotowanej) wyrażoną w ciągłej kapitalizacji, r f jest stopą wolną od ryzyka dla waluty bazowej wyrażoną w ciągłej kapitalizacji. Uwaga: Powyższe równanie ma identyczną strukturę jak równanie modelujące zachowanie wartości indeksów giełdowych. Stopa r f dla waluty bazowej jest odpowiednikiem stopy dywidendy δ płaconej przez indeks. Jest to spójne z sensem ekonomicznym obu stóp, bowiem obie te stopy wyrażają dochód otrzymywany z tytułu posiadania waluty i indeksu odpowiednio.