tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga kowertować wyk eksperymetu a wedzę o badaym obekce lub procese. PowaŜym błędem jest pomęce aalzy statystyczej tam, gdze jest oa potrzeba. Zalety statystyk Zalety statystyk II Tworzee zwartej treścwej reprezetacj daych: dyspoujemy owoczesą aparaturą, która w krótkm czase dostarcza zaczej lośc wyków wyk te aleŝy przekształcć w uŝyteczą formację człowek moŝe brać pod uwagę jedye ograczoą lczbę faktów statystyka pomaga zrozumeć dae, wydobyć z ch uŝyteczą formację przekształcć ją w wedzę Woskowae w oparcu o epewe dae: dae eksperymetale są epewe p. z powodu błędów pomarowych, ejedorodośc badaego obektu, edoskoałośc model stosowaych do terpretacj eksperymetatora teresują wosk pewe statystyka pozwala wyelmować lub ograczyć ektóre czyk zmeośc wyk podaway jest wraz z oszacowaem epewośc Zalety statystyk III Przekształcae daych do postac uŝyteczej w rozwązywau postawoego zadaa: formacja zawarta jest w daych w postac uwkłaej surowe dae aleŝy przekształcć do formy przydatej w rozwązywaym probleme stosujemy modele dobrze zdefowae często łatwo dostępe w systemach aalzy daych zastosowae adekwatego modelu pozwala uzyskać odpowedź a postawoe pytae Nebezpeczeństwa stosowaa statystyk Neumejęte stosowae metod statystyczych polega a: uŝycu ewłaścwych pojęć model, które e są uzasadoe teoretycze źle reprezetują dae ograczau warstwy formacyjej poprzez zastosowae zbyt daleko dących uproszczeń zbyt kategoryczym formułowau wosków w oparcu o epewe dae uruchamau procedur komputerowych bez stotej wedzy o ch dzałau ewłaścwej prezetacj daych celowym ukrywau faktów p. duŝego rozrzutu daych eksperymetalych poprzez podae jedye wartośc średej
Podstawowe wymog warukujące marodajość wyków Aalza daych eksperymetalych reprezetatywość próbk (próbka mus were odzwercedlać skład chemczy całego badaego obektu) jedorodość próbk (bardzo stote, gdy sk pozom aaltu lub mała masa próbk pobraej do aalzy) selektywość metody aaltyczej (ezaleŝośc wyku od wpływu składków matrycy) losowość wyków (test zaków róŝc, test tredu) Wszystke wyk pomarów, włączając te uzyskae strumetem o bardzo duŝej precyzj przy wysokej dbałośc eksperymetalej, e są dokłade, lecz mają przyblŝoy charakter. Przyczyy epewośc wyków eksperymetu: błędy grube błędy systematycze błędy przypadkowe Błąd gruby Błąd gruby test Deaa Dxoa wyka z edbałośc lub ewdetej pomyłk eksperymetatora, wyraźej esprawośc sprzętu albo eoczekwaego zaburzea układu pomarowego objawa sę steem jedego wyku zacząco odstającego od pozostałych, uzyskaych w daej ser pomarów wyk pomaru obarczoy błędem grubym jest zazwyczaj łatwo zauwaŝaly aleŝy go odrzucć (wyelmować) lub posłuŝyć sę odpowedm testem ostateczy wyk e powe być obcąŝoy wpływem błędu grubego. W wyku klkakrote przeprowadzoej aalzy uzyskujemy szereg wyków ajczęścej róŝących sę mędzy sobą. twerdzamy, Ŝe jede z wyków zacze róŝ sę od pozostałych. Musmy zdecydować czy aleŝy go odrzucć. Decyzja o odrzuceu wyku powa operać sę a przesłakach statystyczych. W tym celu stosujemy jede z testów, p. test Deaa Dxoa. Błąd gruby test Deaa Dxoa y y Q = Oblczamy parametr Q według wzoru: R gdze y - wyk wątplwy, y - wyk mu ajblŝszy, R - rozrzut wyków. Wartośc krytycze parametru Q testu Deaa Dxoa Lczba Pozom ufośc -α wyków 0.90 0.95 0.98 0.99 3 0.886 0.94 0.97 0.988 4 0.679 0.765 0.846 0.889 5 0.557 0.64 0.79 0.760 6 0.48 0.560 0.644 0.698 7 0.434 0.507 0.586 0.637 8 0.399 0.468 0.543 0.590 9 0.370 0.437 0.50 0.555 0 0.349 0.4 0.483 0.57 Wyk wątplwy aleŝy odrzucć, jeŝel oblczoy parametr Q jest wększy od odczytaej z tablcy krytyczej wartośc dla wybraego pozomu stotośc. Błąd systematyczy błąd polegający a stałym lub zmeym, systematyczym odchyleu wyku pomaru od rzeczywstej wartośc welkośc merzoej przesuęce wyku astępuje zwykle w tę sama stroę dowola lczba powtórzeń pomaru e ujaw eprawdłowośc przyczyy: eprawdłowe ustawea przyrządu pomarowego, ewystarczająca czystość chemcza, perodycze zaburzea układu pomarowego czykam zewętrzym, edoskoała stadaryzacja lub kalbracja, błąd obsług, edoskoała procedura pomarowa błąd te elmuje sę zmeając przyrząd a pozbawoy wady lub kotrolując tok postępowaa oraz waruk, w których wykoyway jest pomar czasam daje sę skorygować wyk umerycze po pomarze metody statystycze e mają tu zastosowaa.
Rodzaje błędów systematyczych Błędy przypadkowe Błąd Wartość merzoa stały Wartość merzoa Zmea ezaleŝa proporcjoaly złoŝoy Wartość merzoa Wartość merzoa Zmea ezaleŝa Zmea ezaleŝa powstaje a skutek dzałaa czyków losowych jest marą rozrzutu otrzymywaych wyków wokół wartośc ajbardzej prawdopodobej. jego obecość powoduje emoŝość uzyskaa jedakowych wartośc wyków w daej ser pomarowej (przy załoŝeu, Ŝe są merzoe z wystarczającą loścą mejsc zaczących) źródłam błędów losowych są wszelke zmeośc występujące w sposób przypadkowy w toku procesu aaltyczego (czyk zewętrze, właścwośc obektu pomarowego, establa praca urządzeń) błędu przypadkowego w zasadze e da sę wyelmować a skorygować a takŝe e da sę go oszacować przed dokoaem pomaru staramy sę tak zaprojektować przeprowadzć pomar, aby wartość błędu przypadkowego była jak ajmejsza po zakończeu pomaru dokoujemy ocey (oszacowaa) welkośc błędu losowego przy uŝycu arzędz statystyczych. Błędy przypadkowe Błędy przypadkowe - modelowae Tablca Galtoa model procesu pomaru Wykoujemy pomar welkośc x, czyl spuszczamy kulkę a tablcy Galtoa. Najmejsza dzałka aszego przyrządu pomarowego rówa jest odległośc mędzy kołeczkam w rzędze. Następujące relacje określają zwązk pomędzy rzeczywstym modelowaym pomarem: Proces pomaru ruch kulk a tablcy Błędy pomarowe przemeszczea pozome kulk Wyk pomaru umer przegródk, do której trafła kulka. Błędy przypadkowe obece są w kaŝdym pomarze - spadające kulk zawsze ulegają zderzeom z kołeczkam.. Błąd przypadkowy pomaru moŝa rozpatrywać jako sumę bardzo duŝej lczby małych, jedakowych błędów elemetarych - końcowe przemeszczee kulk jest sumą duŝej lczby małych, jedakowych przemeszczeń. 3. Błędy elemetare występują z jedakowym prawdopodobeństwem ze zakem plus mus - prawdopodobeństwa odchyleń w prawo w lewo są take same. Rozkład ormaly Estymacja puktowa ϕ x) = e σ π ( x µ ) ( σ µ - wartość oczekwaa σ - waracja zmeej losowej Estymator parametr oblczoy z próby celem uzyskaa formacj o parametrach populacj geeralej. Estymacja puktowa - wyzaczamy z próby tylko ektóre parametry (pukty) rozkładu, a e cały rozkład, p. dystrybuatę lub gęstość rozkładu. Ne potrafmy podać dokładośc uzyskaej ocey. y max = σ π 3
Estymacja puktowa Estymatory wartośc cetralej: średa arytmetycza medaa moda średa waŝoa Estymatory rozrzutu wyków: odchylee stadardowe waracja względe odchylee stadardowe współczyk zmeośc Estymacja puktowa Nech ozacza lczebość próby czyl lczbę pomarów. Średa arytmetycza w próbe wyków y, y,...,y : y Medaą dla wyków y, y,...,y uporządkowaych według welkośc jest wartość leŝąca w środku. y = Estymacja puktowa Waracja zmeej losowej Odchylee stadardowe = ( y y) = Względe odchylee stadardowe Współczyk zmeośc RD = CV = RD 00% y Estymacja przedzałowa Estymacja przedzałowa pozwala a oszacowae wartośc parametru jakegoś rozkładu oraz podae dokładośc, z jaką to oszacowae wykoao. Przedzałem ufośc (ag. cofdece terval) dla parametru y a pozome ufośc (-α) azywamy przedzał (y, y ) spełający astępujące waruk: jego końce y y są fukcjam próby e zaleŝą od szacowaego parametru prawdopodobeństwo pokryca przez te przedzał ezaego parametru y jest rówe (-α), co zapsujemy w postac: P(y < y < y )=-α gdze α jest ustaloym z góry prawdopodobeństwem. tosuje sę astępującą termologę: α pozom stotośc -α pozom ufośc (ag. cofdece level) Estymacja przedzałowa Estymacja przedzałowa Przedzał ufośc dla średej rozkładu ormalego o ezaej waracj: gdze y CI < y < y + CI CI = t t α -α-procetowa wartość t, którą odczytuje sę z tablc t - tudeta przy pozome ufośc -α oraz - stopach swobody. Pozom stotoścα wyos ajczęścej 5 lub. α Przedzał ufośc z zadaym z góry prawdopodobeństwem ( - α) pokrywa prawdzwą wartość parametru y. Wartośc fukcj t - tudeta w zaleŝośc od pozomu stotośc lczby stop swobody Lczba stop Pozom ufośc -α swobody - 0.90 0.95 0.99 0.999 6.34.706 63.657 636,69.90 4.303 9.95 3.598 3.353 3.8 5.84.94 4.3.776 4.604 8.60 5.05.57 4.03 6.859 6.943.447 3.707 5.959 7.895.365 3.499 5.405 8.860.306 3.355 5.04 9.833.6 3.50 4.78 0.8.8 3.69 4.587 5.753.3.947 4.073 0.75.086.845 3.850 4
Testowae hpotez Badacz precyzuje swój problem wyraŝa go w forme pewej hpotezy. Dzeje sę to przed zaplaowaem wykoaem dośwadczea. amo dośwadczee ma słuŝyć do sprawdzea słuszośc postawoej hpotezy. Metody weryfkowaa hpotez azywamy testam stotośc. Test stotośc F w przypadku róŝcy dwóch waracj Zmea losowa y ma rozkład ormaly z ezaą średą µ odchyleem stadardowym σ, zmea y ma rozkład ormaly z parametram µ σ. Test stotośc F sprawdza czy waracja perwszej populacj jest rówa waracj drugej populacj. Dla zweryfkowaa hpotezy o rówośc waracj korzystamy z fukcj testowej postac: 0 F = oraz > ozaczają lczebość perwszej drugej próby ozaczają waracje perwszej drugej próby Test stotośc F w przypadku róŝcy dwóch waracj Odpowedą wartość graczą F odczytuje sę z tablc F przy - - stopach swobody. JeŜel F 0 jest wększe od wartośc krytyczej to hpotezę odrzucamy. Test stotośc oparty a fukcj F moŝe słuŝyć do porówywaa precyzj dwóch metod lub do porówaa precyzj dwóch zborów lczbowych, będących wykem stosowaa tej samej metody w odmeych warukach lub przez róŝych pracowków. Test stotośc t w przypadku róŝcy dwóch średch Zmea losowa y ma rozkład ormaly z ezaą średą µ odchyleem stadardowym σ, zmea y ma rozkład ormaly ze średą µ tym samym odchyleem stadardowym σ. Dla zweryfkowaa hpotezy o rówośc średch korzystamy z fukcj testowej postac: 0 y y t = ( ) + ( ) ( + ) +, ozaczają lczebość perwszej drugej próby y, y ozaczająśrede arytmetycze perwszej drugej próby ozacza warację Test stotośc t w przypadku róŝcy dwóch średch Regresja lowa Ilość stop swobody + - wskazuje te wersz w tablcy t tudeta, z którego przy obraym ryzyku błędu α=5 lub α= odczytuje sę wartość krytyczą t 5 lub t. JeŜel α=5 oraz okaŝe sę, Ŝe t 0 jest wększe od t 5, to hpotezę odrzucamy z 5-procetowym ryzykem błędu woskujemy o stotej róŝcy mędzy średm prób. Regresja lowa metodą ajmejszych kwadratów 5
Regresja lowa Regresja lowa Wysokość pku [µa] 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 y = 0998x + 33 r = 0.9987 0 0 0 30 40 50 60 70 tęŝee [µm] Metoda ajmejszych kwadratów Mmalzacja wyraŝea: = ( y ( a + bx Przyrówujemy do zera pochode cząstkowe: a oraz b )) x Q b = Q xy x Q = x ( x x) = a = y bx ( x x ) x y Qxy = ( x x)( y y) = x y = x y xy, y -średe arytmetycza wartośc x oraz y Przedstawae błędów pomarowych zaokrąglae wyków Przedstawae błędów pomarowych zaokrąglae wyków W ogólym przypadku wyk pomaru przedstawamy w postac: X R = X M ± X gdze: X R - wartość rzeczywsta welkośc merzoej, X M - wartość uzyskaa w wyku pomaru, X - epewość lub błąd pomaru. PowyŜszy zaps ozacza, Ŝe: ajlepszym przyblŝeem wartośc merzoej jest według eksperymetatora lczba X M z rozsądym prawdopodobeństwem szukaa wartość zajduje sę gdześ pomędzy X M - X X M + X. Przedstawae błędów pomarowych zaokrąglae wyków II Przedstawae błędów pomarowych zaokrąglae wyków II wyk X M oraz błąd pomaru X są welkoścam szacowaym e ma węc sesu podawać wszystkch cyfr, które otrzymujemy z oblczeń oblczoe wartośc X M X podajemy zaokrągloe ozacza to, Ŝe przyblŝamy wartośc otrzymae z oblczeń. cyfram zaczącym daej lczby róŝej od zera azywamy wszystke jej cyfry z wyjątkem występujących a początku zer do cyfr zaczących zalcza sę róweŝ zera końcowe, jeśl są oe wykem oblczeń, a e zaokrągleń ozacza to, Ŝe perwsza cyfra zacząca mus być róŝa od zera, atomast druga, trzeca dalsze mogą być zeram. 6
Przedstawae błędów pomarowych zaokrąglae wyków III oblczea wykoujemy zawsze z wększą lczbą cyfr, Ŝ chcemy podać wyk zaokrągleń dokoujemy dopero po zakończeu oblczeń oszacowae błędy zaokrąglamy zawsze w górę, poewaŝ w Ŝadym przypadku e wolo pomejszać błędów. Zawsze lepej podać zawyŝoą wartość błędu Ŝ go edoszacować; błędy pomarów zaokrąglae są do perwszej cyfry zaczącej (wyjątek:, ) przy zaokrąglau wyku pomaru stosowae są powszeche przyjęte zasady zaokrągleń : lczbę kończącą sę cyfram 0-4 zaokrąglamy w dół, a 5-9 w górę ostata cyfra zacząca w kaŝdym wyku pomaru powa stać a tym samym mejscu dzesętym, co błąd pomaru. Dzękuję za uwagę! 7