Wymagaia kl. 2 Zakres podstawowy i rozszerzoy Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i defiicja jedomiau, dwumiau, wielomiau współczyiki pojęcie stopia jedomiau i stopia wielomiau rozróżia wielomia, określa jego stopień i podaje wartości jego współczyików wielomiau pojęcie współczyików wielomiau i wyrazu wolego zapisuje wielomia określoego stopia o daych współczyikach pojęcie wielomiau zerowego zapisuje wielomia w sposób uporządkoway oblicza wartość wielomiau dla daego argumetu sprawdza, czy day pukt ależy do wykresu daego wielomiau wyzacza współczyiki wielomiau, mając dae waruki 2. Dodawaie dodawaie wielomiaów i odejmowaie odejmowaie wielomiaów wyzacza sumę wielomiaów wielomiaów stopień sumy i różicy wielomiaów wyzacza różicę wielomiaów określa stopień sumy i różicy wielomiaów szkicuje wykres wielomiau będącego sumą jedomiaów stopia pierwszego i drugiego 3. Możeie możeie wielomiaów wielomiaów stopień iloczyu wielomiaów określa stopień iloczyu wielomiaów bez wykoywaia możeia porówywaie wielomiaów wyzacza iloczy daych wielomiaów wielomia dwóch (trzech) zmieych podaje współczyik przy ajwyższej potędze oraz wyraz woly iloczyu wielomiaów bez wykoywaia możeia wielomiaów oblicza wartość wielomiau dwóch (trzech) zmieych dla daych argumetów stosuje wielomia do opisaia pola powierzchi prostopadłościau i określa jego dziedzię porówuje wielomiay dae w postaci iloczyu iych wielomiaów stosuje wielomiay wielu zmieych w zadaiach różych typów 4. Rozkład rozkład wielomiau a czyiki: wyłączaie wspólego wielomiau a czyika przed awias, rozkład trójmiau kwadratowego wyłącza wskazay czyik przed awias czyiki (1) a czyiki zastosowaie wzorów skrócoego możeia: kwadratu stosuje wzory a kwadrat sumy i różicy oraz wzór a różicę kwadratów do rozkładu wielomiau a czyiki sumy i różicy oraz wzoru a różicę kwadratów zapisuje wielomia w postaci iloczyu czyików możliwie ajiższego stopia twierdzeie o rozkładzie wielomiau a czyiki stosuje rozkład wielomiau a czyiki w zadaiach różych typów 5. Rozkład zastosowaie wzorów skrócoego możeia: sumy wielomiau a i różicy sześciaów stosuje metodę grupowaia wyrazów i wyłączaia wspólego czyika przed awias do rozkładu czyiki (2) metoda grupowaia wyrazów wielomiaów a czyiki stosuje wzory a sumę i różicę sześciaów do rozkładu wielomiau a czyiki rozkłada day wielomia a czyiki, stosując metodę podaą w przykładzie
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 6. Rówaia pojęcie pierwiastka wielomiau wielomiaowe rówaie wielomiaowe rozwiązuje rówaia wielomiaowe wyzacza pukty przecięcia się wykresu wielomiau i prostej podaje przykład wielomiau, zając jego stopień i pierwiastki 7. Dzieleie algorytm dzieleia wielomiaów wielomiaów podzielość wielomiaów dzieli wielomia przez dwumia a twierdzeie o rozkładzie wielomiau zapisuje wielomia w postaci w( ) p( ) q( ) r sprawdza poprawość wykoaego dzieleia dzieli wielomia przez iy wielomia i zapisuje go w postaci w( ) p( ) q( ) r( ) 8. Rówość wielomiay rówe wielomiaów wyzacza wartości parametrów tak, aby wielomiay były rówe 9. Twierdzeie twierdzeie o reszcie Bézouta twierdzeie Bézouta sprawdza podzielość wielomiau przez dwumia a bez wykoywaia dzieleia dzieleie wielomiau przez wielomia stopia wyzacza resztę z dzieleia wielomiau przez dwumia a drugiego sprawdza, czy daa liczba jest pierwiastkiem wielomiau i wyzacza pozostałe pierwiastki wyzacza wartość parametru tak, aby wielomia był podziely przez day dwumia sprawdza podzielość wielomiau przez wielomia ( p)( q) bez wykoywaia dzieleia wyzacza resztę z dzieleia wielomiau, mając określoe waruki przeprowadza dowód twierdzeia Bézouta 10. Pierwiastki twierdzeie o pierwiastkach całkowitych wielomiau całkowite twierdzeie o pierwiastkach wymierych wielomiau określa, które liczby mogą być pierwiastkami całkowitymi wielomiau i pierwiastki określa, które liczby mogą być pierwiastkami wymierymi wielomiau wymiere rozwiązuje rówaia wielomiaowe z wykorzystaiem twierdzeń o pierwiastkach całkowitych wielomiau i wymierych wielomiau stosuje twierdzeia o pierwiastkach całkowitych i wymierych wielomiau w zadaiach różych typów przeprowadza dowody twierdzeń o pierwiastkach całkowitych i wymierych wielomiau 11. Pierwiastki defiicja pierwiastka k-krotego wielokrote twierdzeie o liczbie pierwiastków wielomiau stopia wyzacza pierwiastki wielomiau i podaje ich krotość, mając day wielomia w postaci iloczyowej bada, czy wielomia ma ie pierwiastki oraz określa ich krotość, zając stopień wielomiau i jego pierwiastek rozwiązuje rówaie wielomiaowe, mając day jego jede pierwiastek i zając jego krotość podaje przykłady wielomiaów, zając ich stopień oraz pierwiastki i ich krotość rozwiązuje zadaia z parametrem dotyczące pierwiastków wielokrotych 2
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 12. Wykres pojęcie wykresu wielomiau (wykres wielomiau wielomiau stopia pierwszego, wykres wielomiau stopia szkicuje wykresy wielomiaów stopia pierwszego i drugiego drugiego powtórzeie) szkicuje wykres wielomiau, mając daą jego postać iloczyową zak wielomiau w przedziale a ; dobiera wzór wielomiau do szkicu wykresu zmiaa zaku wielomiau podaje wzór wielomiau, mając day współczyik przy ajwyższej potędze oraz szkic wykresu szkicuje wykres daego wielomiau, wyzaczając jego pierwiastki 13. Nierówości wartości dodatie i ujeme fukcji wielomiaowe ierówości wielomiaowe rozwiązuje ierówości wielomiaowe, korzystając ze szkicu wykresu siatka zaków wielomiau rozwiązuje ierówości wielomiaowe, wykorzystując postać iloczyową wielomiau (dowolą metodą: szkicując wykres lub tworząc siatkę zaków) rozwiązuje ierówość wielomiaową, gdy day jest wzór ogóly wielomiau stosuje ierówości wielomiaowe do wyzaczeia dziedziy fukcji zapisaej za pomocą pierwiastka wykouje działaia a zbiorach określoych ierówościami wielomiaowymi stosuje ierówości wielomiaowe w zadaiach z parametrem 14. Wielomiay zastosowaie wielomiaów do rozwiązywaia zadań zastosowaia tekstowych opisuje wielomiaem zależości dae w zadaiu i wyzacza jego dziedzię rozwiązuje zadaia tekstowe 2. FUNKCJE WYMIERNE 1. określeie proporcjoalości odwrotej Proporcjoalość wielkości odwrotie proporcjoale wyzacza współczyik proporcjoalości odwrota współczyik proporcjoalości wskazuje wielkości odwrotie proporcjoale podaje wzór proporcjoalości odwrotej, zając współrzęde puktu ależącego do wykresu rozwiązuje zadaia tekstowe, stosując proporcjoalość odwrotą 2. Wykres fukcji hiperbola wykres fukcji a, gdzie a 0 f ( ) a szkicuje wykres fukcji a f ( ) f ( ), gdzie a 0 i podaje jej własości (dziedzię, zbiór wartości, asymptoty poziome i pioowe wykresu fukcji własości fukcji a, gdzie a 0 przedziały mootoiczości) f ( ) wyzacza asymptoty wykresu powyższej fukcji szkicuje wykres fukcji, gdzie a 0, w podaym zbiorze f ( ) a wyzacza współczyik a tak, aby fukcja a f ( ) spełiała podae waruki 3
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 3. Przesuięcie przesuięcie wykresu fukcji a o wektor f ( ) wykresu przesuwa wykres fukcji a a f ( ) o day wektor, podaje wzór i określa własości otrzymaej p, q fukcji f ( ) osie symetrii hiperboli fukcji środek symetrii hiperboli wyzacza dziedzię i podaje rówaia asymptot wykresu fukcji określoej wzorem o wektor 4. Fukcja homograficza 5. Przekształceia wykresu fukcji 6. Możeie i dzieleie wyrażeń wymierych 7. Dodawaie i odejmowaie wyrażeń wymierych 8. Rówaia wymiere określeie fukcji homograficzej wykres fukcji homograficzej postać kaoicza fukcji homograficzej asymptoty wykresu fukcji homograficzej metody szkicowaia wykresu fukcji y f () i y f ( ) f ( ) a q p podaje współrzęde wektora, o jaki ależy przesuąć wykres fukcji y f (), aby otrzymać wykres fukcji a g( ) q p wyzacza wzór fukcji spełiającej podae waruki wyzacza rówaia osi symetrii oraz współrzęde środka symetrii hiperboli opisaej daym rówaiem rozwiązuje zadaia, stosując własości hiperboli przekształca wzór fukcji homograficzej do postaci kaoiczej szkicuje wykresy fukcji homograficzych i określa ich własości wyzacza rówaia asymptot wykresu fukcji homograficzej rozwiązuje zadaia z parametrem dotyczące fukcji homograficzej szkicuje wykres fukcji y f (), gdzie y f () jest fukcją homograficzą i opisuje jej własości szkicuje wykres fukcji y f ( ), gdzie y f () jest fukcją homograficzą i opisuje jej własości szkicuje wykres fukcji y f ( ), gdzie y f () jest fukcją homograficzą i opisuje jej własości możeie i dzieleie wyrażeń wymierych dziedzia iloczyu i ilorazu wyrażeń wymierych wyzacza dziedzię iloczyu oraz ilorazu wyrażeń wymierych moży wyrażeia wymiere dzieli wyrażeia wymiere dodawaie i odejmowaie wyrażeń wymierych dziedzia sumy i różicy wyrażeń wymierych wyzacza dziedzię sumy i różicy wyrażeń wymierych dodaje i odejmuje wyrażeia wymiere przekształca wzory, stosując działaia a wyrażeiach wymierych rówaia wymiere rozwiązuje rówaia wymiere i podaje odpowiedie założeia stosuje rówaia wymiere w zadaiach różych typów 4
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 9. Nierówości zak ilorazu a zak iloczyu wymiere ierówości wymiere odczytuje z daego wykresu zbiór rozwiązań ierówości wymierej rozwiązuje ierówości wymiere i podaje odpowiedie założeia stosuje ierówości wymiere do porówywaia wartości fukcji homograficzych rozwiązuje graficzie ierówości wymiere rozwiązuje układy ierówości wymierych 10. Fukcje fukcja wymiera wymiere dziedzia fukcji wymierej określa dziedzię i miejsce zerowe fukcji wymierej daej wzorem rówość fukcji podaje wzór fukcji wymierej spełiającej określoe waruki rozwiązuje zadaia z parametrem dotyczące fukcji wymierej 11. Rówaia rówaia i ierówości z wartością bezwzględą i ierówości z stosuje własości wartości bezwzględej do rozwiązywaia rówań i ierówości wymierych wartością bezwzględ zazacza w układzie współrzędych zbiory puktów spełiających zadae waruki 12. Wyrażeia zastosowaie wyrażeń wymierych do rozwiązywaia wymiere zadań tekstowych wykorzystuje wyrażeia wymiere do rozwiązywaia zadań tekstowych zastosowaia s wykorzystuje wielkości odwrotie proporcjoale do rozwiązywaia zadań tekstowych zastosowaie zależości t v dotyczących szybkości 3. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 1. Fukcje kąt w układzie współrzędych trygoometrycze fukcje trygoometrycze dowolego kąta zazacza kąt w układzie współrzędych dowolego kąta zaki fukcji trygoometryczych wyzacza wartości fukcji trygoometryczych kąta, gdy dae są współrzęde puktu leżącego a wartości fukcji trygoometryczych iektórych jego końcowym ramieiu kątów określa zaki fukcji trygoometryczych daego kąta określa, w której ćwiartce układu współrzędych leży końcowe ramię kąta, mając dae wartości fukcji trygoometryczych oblicza wartości fukcji trygoometryczych szczególych kątów, p.: 90, 120, 135, 225 wykorzystuje fukcje trygoometrycze do rozwiązywaia zadań 2. Kąt obrotu dodati i ujemy kieruek obrotu wartości fukcji trygoometryczych kąta zazacza w układzie współrzędych kąt o daej mierze k 360, gdzie k C, 0 ; 360 wyzacza kąt, mając day pukt ależący do jego końcowego ramieia bada, czy pukt ależy do końcowego ramieia daego kąta oblicza wartości fukcji trygoometryczych kątów, mając daą ich miarę stopiową wyzacza kąt, mając daą wartość jego jedej fukcji trygoometryczej 3. Miara łukowa miara łukowa kąta kąt zamiaa miary stopiowej kąta a miarę łukową i zamieia miarę stopiową a łukową i odwrotie odwrotie oblicza wartości fukcji trygoometryczych dowolych kątów, mając daą ich miarę łukową 5
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 4. Fukcje fukcja okresowa okresowe okres podstawowy fukcji trygoometryczych odczytuje okres podstawowy fukcji a podstawie jej wykresu szkicuje wykres fukcji okresowej stosuje okresowość fukcji do wyzaczaia jej wartości 5. Wykresy fukcji wykresy fukcji sius i cosius sius środki symetrii wykresu fukcji sius szkicuje wykresy fukcji sius i cosius w daym przedziale i cosius osie symetrii wykresu fukcji sius określa własości fukcji sius i cosius w daym przedziale osie symetrii wykresu fukcji cosius wykorzystuje własości fukcji sius i cosius do obliczeia wartości tej fukcji dla daego kąta parzystość fukcji rozwiązuje rówaia typu si a i cos a sprawdza parzystość fukcji 6. Wykresy fukcji wykresy fukcji tages i cotages tages i środki symetrii wykresów fukcji tages i cotages szkicuje wykresy fukcji tages i cotages w daym przedziale cotages wykorzystuje własości fukcji tages i cotages do obliczeia wartości tych fukcji dla daego kąta rozwiązuje rówaia typu tg a, ctg a 7. Przesuięcie metoda otrzymywaia wykresu fukcji wykresu fukcji y f ( p) r szkicuje wykresy fukcji trygoometryczych y f ( p) r i określa ich własości o wektor szkicuje wykresy fukcji trygoometryczych, stosując symetrię względem osi układu współrzędych oraz symetrię względem początku układu współrzędych szkicuje wykresy fukcji trygoometryczych będące efektem wykoaia kilku operacji 8. Przekształceia metoda szkicowaia wykresu fukcji y af (), wykresu fukcji gdzie y f () jest fukcją trygoometryczą szkicuje wykresy fukcji y af (), gdzie y f () jest fukcją trygoometryczą i określa ich (1) własości szkicuje wykresy fukcji trygoometryczych będące efektem wykoaia kilku operacji oraz określa ich własości 9. Przekształceia metoda szkicowaia wykresu fukcji y f (a), wykresu fukcji gdzie y f () jest fukcją trygoometryczą szkicuje wykresy fukcji y f (a), gdzie y f () jest fukcją trygoometryczą i określa ich (2) własości szkicuje wykresy fukcji trygoometryczych będące efektem wykoaia kilku operacji oraz określa ich własości 10. Przekształceia metoda szkicowaia wykresów fukcji y f () oraz wykresu fukcji szkicuje wykresy fukcji y f () oraz y f (3) y f, gdzie y f, gdzie y f jest fukcją jest fukcją trygoometryczą i określa ich własości trygoometryczą szkicuje wykresy fukcji trygoometryczych będące efektem wykoaia kilku operacji oraz określa ich własości stosuje wykresy fukcji trygoometryczych do rozwiązywaia rówań 6
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 11. Tożsamości podstawowe tożsamości trygoometrycze trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych stosuje tożsamości trygoometrycze w prostych sytuacjach dowodzi tożsamości trygoometrycze, podając odpowiedie założeia oblicza wartości pozostałych fukcji trygoometryczych kąta, gdy daa jest jeda z ich 12. Fukcje fukcje trygoometrycze sumy trygoometrycze sumy i różicy i różicy kątów wyzacza wartości fukcji trygoometryczych kątów z zastosowaiem wzorów a fukcje trygoometrycze sumy i różicy kątów kątów stosuje wzory a fukcje trygoometrycze kąta podwojoego stosuje pozae wzory do przekształcaia wyrażeń zawierających fukcje trygoometrycze, w tym rówież do uzasadiaia tożsamości trygoometryczych 13. Wzory wzory redukcyje redukcyje π π zapisuje day kąt w postaci k, gdzie 0; lub k 90, gdzie ( 0; 90) 2 2 wyzacza wartości fukcji trygoometryczych daych kątów z zastosowaiem wzorów redukcyjych wyzacza wartości fukcji trygoometryczych daych kątów z zastosowaiem własości fukcji trygoometryczych 14. Rówaia metody rozwiązywaia rówań trygoometryczych trygoometrycze wzory a sumę i różicę siusów i cosiusów rozwiązuje rówaia trygoometrycze stosuje wzory a sumę i różicę siusów i cosiusów 15. Nierówości metody rozwiązywaia ierówości trygoometrycze trygoometryczych rozwiązuje ierówości trygoometrycze 4. CIĄGI 1. Pojęcie ciągu pojęcie ciągu wykres ciągu wyzacza koleje wyrazy ciągu, gdy daych jest kilka jego początkowych wyrazów wyraz ciągu szkicuje wykres ciągu 2. Sposoby sposoby określaia ciągu określaia ciągu wyzacza wzór ogóly ciągu, mając daych kilka jego początkowych wyrazów wyzacza początkowe wyrazy ciągu określoego wzorem ogólym wyzacza, które wyrazy ciągu przyjmują daą wartość wyzacza wzór ogóly ciągu spełiającego podae waruki 7
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 3. Ciągi defiicja ciągu rosącego, malejącego, stałego, mootoicze (1) iemalejącego i ierosącego podaje przykłady ciągów mootoiczych, których wyrazy spełiają dae waruki uzasadia, że day ciąg ie jest mootoiczy, mając dae jego koleje wyrazy wyzacza wyraz a1 ciągu określoego wzorem ogólym bada mootoiczość ciągu, korzystając z defiicji wyzacza wartość parametru tak, aby ciąg był ciągiem mootoiczym 4. Ciągi określoe rekurecyjie 5. Ciągi mootoicze (2) 6. Ciąg arytmetyczy (1) 7. Ciąg arytmetyczy (2) 8. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetyczego 9. Ciąg geometryczy (1) dowodzi mootoiczości ciągów określoych wzorami postaci: b ca d oraz b, gdzie ( a ) jest ciągiem mootoiczym, zaś c, d R określeie rekurecyje ciągu wyzacza początkowe wyrazy ciągu określoego rekurecyjie wyzacza wzór rekurecyjy ciągu, mając day wzór ogóly rozwiązuje zadaia o podwyższoym stopiu trudości, związae ze wzorem rekurecyjym ciągu suma, różica, iloczy i iloraz ciągów wyzacza wzór ogóly ciągu, będący wyikiem wykoaia działań a daych ciągach bada mootoiczość sumy, różicy, iloczyu i ilorazu ciągów rozwiązuje zadaia o podwyższoym stopiu trudości, dotyczące mootoiczości ciągu określeie ciągu arytmetyczego i jego różicy wzór ogóly ciągu arytmetyczego podaje przykłady ciągów arytmetyczych mootoiczość ciągu arytmetyczego wyzacza wyrazy ciągu arytmetyczego, mając day pierwszy wyraz i różicę pojęcie średiej arytmetyczej wyzacza wzór ogóly ciągu arytmetyczego, mając dae dowole dwa jego wyrazy stosuje średią arytmetyczą do wyzaczaia wyrazów ciągu arytmetyczego określa mootoiczość ciągu arytmetyczego stosowaie własości ciągu arytmetyczego do rozwiązywaia zadań sprawdza, czy day ciąg jest ciągiem arytmetyczym wyzacza wartości zmieych tak, aby wraz z podaymi wartościami tworzyły ciąg arytmetyczy stosuje własości ciągu arytmetyczego do rozwiązywaia zadań wzór a sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetyczego oblicza sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetyczego stosuje własości ciągu arytmetyczego do rozwiązywaia zadań tekstowych rozwiązuje rówaia z zastosowaiem wzoru a sumę wyrazów ciągu arytmetyczego określeie ciągu geometryczego i jego ilorazu wzór ogóly ciągu geometryczego podaje przykłady ciągów geometryczych wyzacza wyrazy ciągu geometryczego, mając day pierwszy wyraz i iloraz wyzacza wzór ogóly ciągu geometryczego, mając dae dowole dwa jego wyrazy sprawdza, czy day ciąg jest ciągiem geometryczym 2 a 8
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 10. Ciąg mootoiczość ciągu geometryczego geometryczy (2) pojęcie średiej geometryczej określa mootoiczość ciągu geometryczego stosuje średią geometryczą do rozwiązywaia zadań wyzacza wartości zmieych tak, aby wraz z podaymi wartościami tworzyły ciąg geometryczy 11. Suma wzór a sumę początkowych wyrazów ciągu początkowych geometryczego oblicza sumę początkowych wyrazów ciągu geometryczego wyrazów ciągu geometryczego stosuje wzór a sumę początkowych wyrazów ciągu geometryczego w zadaiach 12. Ciągi arytmetycze i ciągi geometrycze zadaia 13. Procet składay własości ciągu arytmetyczego i geometryczego stosuje własości ciągu arytmetyczego i geometryczego do rozwiązywaia zadań procet składay kapitalizacja, okres kapitalizacji stopa procetowa: omiala i efektywa 14. Graica ciągu określeie graicy ciągu pojęcia: ciąg zbieży, graica właściwa ciągu, prawie wszystkie wyrazy ciągu, ciąg stały 15. Graica iewłaściwa 16. Obliczaie graic ciągów (1) 17. Obliczaie graic ciągów (2) twierdzeia o graicy ciągu a q, gdy q 1 ;1 1 oraz ciągu a, gdy k > 0 k pojęcia: ciąg rozbieży, graica iewłaściwa określeie ciągu rozbieżego do oraz ciągu rozbieżego do - twierdzeia o rozbieżości ciągu oraz ciągu k a, gdy k > 0 a q, gdy q > 1 twierdzeie o graicach: sumy, różicy, iloczyu i ilorazu ciągów zbieżych twierdzeie o własościach graic ciągów rozbieżych symbole ieozaczoe twierdzeie o trzech ciągach oblicza wysokość kapitału przy różym okresie kapitalizacji oblicza oprocetowaie lokaty określa okres oszczędzaia rozwiązuje zadaia związae z kredytami bada a podstawie wykresu, czy day ciąg ma graicę i w przypadku ciągu zbieżego podaje jego graicę bada, ile wyrazów daego ciągu jest oddaloych od daej liczby o podaą wartość 1 podaje graicę ciągu a q, gdy q 1 ;1 oraz ciągu a k, gdy k > 0 rozpozaje ciąg rozbieży a podstawie wykresu i określa, czy ma o graicę iewłaściwą, czy ie ma graicy bada, ile wyrazów daego ciągu jest większych (miejszych) od daej liczby wie, że ciągi a q, gdy q > 1oraz ciągi k a, gdy k > 0 są rozbieże do oblicza graice ciągów, korzystając z twierdzeia o graicach: sumy, różicy, iloczyu i ilorazu ciągów zbieżych oblicza graice iewłaściwe ciągów, korzystając z twierdzeia o własościach graic ciągów rozbieżych oblicza graice ciągu, korzystając z twierdzeia o trzech ciągach 9
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 18. Szereg pojęcia: szereg geometryczy, suma szeregu geometryczy geometryczego sprawdza, czy day szereg geometryczy jest zbieży wzór a sumę szeregu geometryczego o ilorazie oblicza sumę szeregu geometryczego zbieżego q 1;1 stosuje wzór a sumę szeregu geometryczego do rozwiązywaia zadań, rówież osadzoych waruek zbieżości szeregu geometryczego w kotekście praktyczym 5. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 1. Graica fukcji ituicyje pojęcie graicy w pukcie określeie graicy fukcji w pukcie uzasadia, że fukcja ie ma graicy w pukcie, rówież a podstawie jej wykresu uzasadia, korzystając z defiicji, że daa liczba jest graicą fukcji w pukcie 2. Obliczaie twierdzeie o graicach: sumy, różicy, iloczyu i graic ilorazu fukcji w pukcie oblicza graice fukcji w pukcie, korzystając z twierdzeia o graicach: sumy, różicy, iloczyu i twierdzeie o graicy fukcji y f () w pukcie ilorazu fukcji, które mają graice w tym pukcie twierdzeie o graicach fukcji sius i cosius w oblicza graicę fukcji y f () w pukcie pukcie oblicza graice fukcji w pukcie, stosując własości graic fukcji sius i cosius w pukcie 3. Graice określeie graic: prawostroej, lewostroej fukcji jedostroe w pukcie oblicza graice jedostroe fukcji w pukcie twierdzeie o związku między wartościami graic jedostroych w pukcie a graicą fukcji w pukcie stosuje twierdzeie o związku między wartościami graic jedostroych w pukcie a graicą fukcji w pukcie 4. Graice określeie graicy iewłaściwej fukcji w pukcie iewłaściwe określeie graicy iewłaściwej jedostroej fukcji oblicza graice iewłaściwe jedostroe fukcji w pukcie w pukcie oblicz graice iewłaściwe fukcji w pukcie twierdzeie o wartościach graic iewłaściwych fukcji wymierych w pukcie wyzacza rówaia asymptot pioowych wykresu fukcji pojęcie asymptoty pioowej wykresu fukcji 5. Graice fukcji określeie graicy fukcji w ieskończoości w ieskończoości twierdzeie o własościach graicy fukcji oblicza graice fukcji w ieskończoości w ieskończoości wyzacza rówaia asymptot poziomych wykresu fukcji pojęcie asymptoty poziomej wykresu fukcji 6. Ciągłość fukcji określeie ciągłości fukcji twierdzeie o ciągłości sumy, różicy, iloczyu i sprawdza ciągłość fukcji w pukcie ilorazu fukcji ciągłych w pukcie sprawdza ciągłość fukcji wyzacza wartości parametrów, dla których fukcja jest ciągła w daym pukcie lub zbiorze 7. Własości twierdzeie o przyjmowaiu wartości pośredich fukcji ciągłych twierdzeie Weierstrassa stosuje twierdzeia o przyjmowaiu wartości pośredich do uzasadiaia istieia rozwiązaia rówaia stosuje twierdzeie Weierstrassa do wyzaczaia wartości ajmiejszej oraz ajwiększej fukcji w daym przedziale domkiętym 10
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 8. Pochoda pojęcia: iloraz różicowy, stycza, siecza fukcji określeie pochodej fukcji w pukcie korzystając z defiicji, oblicza pochodą fukcji w pukcie iterpretacja geometrycza pochodej fukcji w pukcie stosuje iterpretację geometrycza pochodej fukcji w pukcie do wyzaczeia współczyika kierukowego styczej do wykresu fukcji w pukcie oblicza miarę kąta, jaki stycza do wykresu fukcji w pukcie tworzy z osią OX uzasadia, że fukcja ie ma pochodej w pukcie 9. Fukcja określeie fukcji pochodej dla daej fukcji pochoda wzory a pochode fukcji y oraz y korzysta ze wzorów do wyzaczeia fukcji pochodej oraz wartości pochodej w pukcie wyzacza pukt wykresu fukcji, w którym stycza do iego spełia podae waruki a podstawie defiicji wyprowadza wzory a pochode fukcji 10. Działaia a twierdzeia o pochodej sumy, różicy, iloczyu i pochodych ilorazu fukcji stosuje twierdzeia o pochodej sumy, różicy, iloczyu i ilorazu fukcji do wyzaczaia wartości pochode fukcji trygoometryczych pochodej w pukcie oraz do wyzaczaia fukcji pochodej stosuje wzory a pochode do rozwiązywaia zadań dotyczących styczej do wykresu fukcji wyprowadza wzory a pochodą sumy, różicy, iloczyu i ilorazu fukcji 11. Iterpretacja iterpretacja fizycza pochodej fizycza pochodej stosuje pochodą do wyzaczeia prędkości oraz przyspieszeia poruszających się ciał 12. Fukcje twierdzeia o związku mootoiczości fukcji i rosące i malejące zaku jej pochodej korzysta z własości pochodej do wyzaczeia przedziałów mootoiczości fukcji uzasadia mootoiczość fukcji w daym zbiorze wyzacza wartości parametrów tak, aby fukcja była mootoicza 13. Ekstrema pojęcia: miimum lokale, maksimum lokale fukcji waruki koieczy i wystarczający istieia podaje ekstremum fukcji, korzystając z jej wykresu ekstremum wyzacza ekstrema fukcji stosując waruek koieczy i wystarczający jego istieia wyzacza wartości parametrów tak, aby fukcja miała ekstremum w daym pukcie uzasadia, że daa fukcja ie ma ekstremum 14. Wartość wartości ajmiejsza i ajwiększa fukcji w przedziale ajmiejsza domkiętym wyzacza ajmiejszą i ajwiększą wartość fukcji w przedziale domkiętym i wartość ajwiększa fukcji stosuje umiejętość wyzaczaia ajmiejszej i ajwiększej wartości fukcji do rozwiązywaia zadań 15. Zagadieia zagadieia optymalizacyje optymalizacyje stosuje umiejętość wyzaczaia ajmiejszej i ajwiększej wartości fukcji do rozwiązywaia zadań optymalizacyjych 16. Szkicowaie schemat badaia własości fukcji wykresu fukcji za schemat badaia własości fukcji bada własości fukcji i zapisuje je w tabeli szkicuje wykres fukcji a podstawie jej własości 6. PLANIMETRIA 11
Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 1. Długość okręgu wzory a długość okręgu i długość łuku okręgu i pole koła wzory a pole koła i pole wycika koła podaje wzory a długość okręgu i długość łuku okręgu oraz wzory a pole koła i pole wycika koła stosuje pozae wzory do obliczaia pól i obwodów figur 2. Kąty w okręgu pojęcie kąta środkowego pojęcie kąta wpisaego rozpozaje kąty wpisae i środkowe w okręgu oraz wskazuje łuki, a których są oe oparte twierdzeie o kącie środkowym i wpisaym, opartych a tym samym łuku stosuje twierdzeie o kącie środkowym i wpisaym, opartych a tym samym łuku oraz twierdzeie o kącie między styczą a cięciwą okręgu twierdzeie o kątach wpisaych, opartych a tym rozwiązuje zadaia dotyczące wielokąta wpisaego w okrąg samym łuku formułuje i dowodzi twierdzeia dotyczące kątów w okręgu twierdzeie o kącie wpisaym, opartym a półokręgu twierdzeie o kącie między styczą a cięciwą okręgu wielokąt wpisay w okrąg 3. Okrąg opisay okrąg opisay a trójkącie a trójkącie wielokąt opisay a okręgu rozwiązuje zadaia związae z okręgiem opisaym a trójkącie stosuje własości środka okręgu opisaego a trójkącie w zadaiach z geometrii aalityczej 4. Okrąg wpisay okrąg wpisay w trójkąt w trójkąt a b c rozwiązuje zadaia dotyczące okręgu wpisaego w trójkąt prostokąty wzór a pole trójkąta P r, gdzie a, b, c są 2 rozwiązuje zadaia związae z okręgiem wpisaym w trójkąt długościami boków tego trójkąta, a r długością przekształca wzory a pole trójkąta i udowadia je promieia okręgu wpisaego w te trójkąt 5. Czworokąty pojęcie figury wypukłej wypukłe rodzaje czworokątów określa własości czworokątów stosuje własości czworokątów wypukłych do rozwiązywaia zadań z plaimetrii 6. Okrąg opisay twierdzeie o okręgu opisaym a czworokącie a czworokącie sprawdza, czy a daym czworokącie moża opisać okrąg stosuje twierdzeie o okręgu opisaym a czworokącie do rozwiązywaia zadań 7. Okrąg wpisay twierdzeie o okręgu wpisaym w czworokąt w czworokąt sprawdza, czy w day czworokąt moża wpisać okrąg stosuje twierdzeie o okręgu wpisaym w czworokąt do rozwiązywaia zadań dowodzi twierdzeia dotyczące okręgu wpisaego w wielokąt 8. Twierdzeie twierdzeie siusów siusów stosuje twierdzeie siusów do rozwiązywaia trójkątów stosuje twierdzeie siusów do rozwiązywaia zdań o kotekście praktyczym przeprowadza dowód twierdzeia siusów 9. Twierdzeie twierdzeie cosiusów cosiusów stosuje twierdzeie cosiusów do rozwiązywaia trójkątów stosuje twierdzeie cosiusów do rozwiązywaia zdań o kotekście praktyczym przeprowadza dowód twierdzeia cosiusów 12