ŁAŃCUCHY W PRZESTRZENIACH TOPOLOGICZNYCH I KRATACH

Uniwersytet Śląski w Katowicach Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii ŁAŃCUCHY W PRZESTRZENIACH TOPOLOGICZNYCH I KRATACH Wojciech Bielas Praca doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Aleksandra Błaszczyka Katowice 2014

Spis treści I Przestrzenie metryczne 6 1 Amalgamacja przestrzeni metrycznych 12 2 Rozszerzenie izometryczne 19 3 Charakter dyskretny punktu 22 4 Operacja dołączania podprzestrzeni dziedzicznie bez punktów środkowych 25 5 Łańcuchowe własności operacji F, S i A 26 II Kraty 37 6 Przestrzenie Wallmana 41 7 Reprezentacje homomorfizmów 47 8 Zastosowania 53 Literatura 59

Wstęp Celem niniejszej rozprawy jest przedstawienie konstrukcji sztywnej i κ-superuniwersalnej przestrzeni metrycznej oraz zbadanie podstawowych własności funktora Wallmana wraz z ich zastosowaniami. Pierwsze konstrukcje przestrzeni metrycznych uniwersalnych spotykamy już u Frécheta, zobacz Hechler [8]. Przez uniwersalność przestrzeni metrycznej dla danej klasy C rozumiemy to, że przestrzeń ta zawiera izometryczne kopie wszystkich elementów klasy C. Następne przykłady takich przestrzeni podali m.in. P. Urysohn [13], W. Sierpiński [12], S. Banach i S. Mazur [3]. Przykład Urysohna ma dodatkową własność ω-jednorodności, w odróżnieniu od przykładu Banacha i Mazura. ω-jednorodność danej przestrzeni X w połączeniu z uniwersalnością dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych pozwala uzyskać ω-superuniwersalność, tzn. każde zanurzenie izometryczne podzbioru skończonego przestrzeni metrycznej przeliczalnej Y w przestrzeń X można przedłużyć do zanurzenia całej przestrzeni Y. Wspomniane wyżej pojęcia można uogólnić na nieskończone liczby kardynalne. Charakteryzacja i istnienie odpowiednich dla tych pojęć przestrzeni metrycznych zostały zbadane w pracach Stephena H. Hechlera [8] oraz Miroslava Katětova [9]. Każda κ-superuniwersalna przestrzeń mocy κ jest także κ-jednorodna. Motywacją dla pierwszej części pracy było przypuszczenie Wiesława Kubisia dotyczące istnienia przestrzeni κ-superuniwersalnych, które nie są κ-jednorodne. Przypuszczenie to udało się potwierdzić w znacznie mocniejszej wersji: podaję konstrukcję przestrzeni κ-superuniwersalnej, która ma dokładnie jedną izometrię. W drugiej części pracy omówiona jest konstrukcja przestrzeni Wallmana kraty. Konstrukcja ta prowadzi do funktora W z kategorii wszystkich krat normalnych w kategorię przestrzeni zwartych Hausdorffa. Jakkolwiek niektóre wyniki tej części są znane, to uzupełniam je przykładami obrazującymi różnice pomiędzy funktorem Wallmana, a jego zacieśnieniem do kategorii krat Boole a. W rozdziale pierwszym wprowadzone jest pojęcie grafu rodziny przestrzeni metrycznych. Pokazuję, że jeśli wszystkie cykle indukowane takiego grafu spełniają odpowiedni warunek, to dana rodzina przestrzeni metrycznych ma amalgamację (twierdzenie 1.5). Metoda amalgamacji przedstawiona w tym rozdziale zostanie wykorzystana do konstrukcji trzech różnych rozszerzeń przestrzeni metrycznej. 3

Rozdział drugi składa się z opisu własności rozszerzenia izometrycznego, które jest głównym narzędziem w uzyskiwaniu κ-superuniwersalności. W rozdziale trzecim definiuję charakter dyskretny geometryczną własność punktów przestrzeni metrycznej będącą jednocześnie niezmiennikiem izometrii. Własność ta posłuży później do udowodnienia sztywności konstruowanego przykładu. Wprowadzam również punkty środkowe, słabe punkty środkowe oraz dowodzę pewnej własności redukcji tych ostatnich w rozszerzeniu izometrycznym (lemat 3.3). W rozdziale czwartym opisana jest metoda kontrolowania charakteru dyskretnego punktów poprzez dołączanie podprzestrzeni dyskretnych oraz punktów środkowych. Odpowiadają temu dwie konstrukcje rozszerzeń przestrzeni metrycznej otrzymane przy pomocy amalgamacji opisanej w rozdziale pierwszym. W rozdziale piątym podaję konstrukcję przykładu sztywnej przestrzeni κ-uniwersalnej, przedtem dowodzę wielu twierdzeń i lematów opisujących łańcuchowe własności rozszerzeń zdefiniowanych w poprzednich rozdziałach. W rozdziale szóstym przypominam konstrukcję przestrzeni Wallmana kraty. Sygnalizuję też różnice pomiędzy opisem przestrzeni zwartej Hausdorffa przy pomocy kraty zbiorów domkniętych, a algebrą zbiorów domkniętootwartych. Rozdział siódmy poświęcony jest reprezentacjom homomorfizmów krat. Dowodzę, że każdemu homomorfizmowi odpowiada funkcja ciągła w sposób funktorialny i podobny do przypadku algebr Boole a i ich przestrzeni Stone a. Dla pełności przytaczamy dowód funktorialności przestrzeni Wallmana, zobacz W. Kubiś [11]. Analogia nie jest jednak pełna, co pokazuję przy pomocy odpowiednich przykładów. Rozdział ósmy zawiera zastosowania funktora Wallmana. Rozdział ten rozpoczyna się konstrukcją uzwarcenia Čecha Stona a βx przestrzeni całkowicie regularnej X przy pomocy kraty zero-zbiorów, zobacz również Gillman [7], a dokładniej pokazane jest w jaki sposób przedłużenie funkcji ciągłej f : X Z na βx można otrzymać wykorzystując funktorialną reprezentację homomorfizmu wyznaczonego przez funkcję f (twierdzenie 8.1). Następnie przytaczam dowód twierdzenia Frinka, charakteryzującego przestrzenie całkowicie regularne, w wersji dla rodziny dyzjunktywnej i normalnej, będącej ponadto kratą. Przechodząc do twierdzenia Gelfanda Kołmogorowa pokazuję, że poszukiwany homeomorfizm przestrzeni zwartych Hausdorffa, których pierścienie funkcji ciągłych są izomorficzne, można otrzymać jako funktorialną reprezentację izomorfizmu krat zero-zbiorów indukowanego przez izomorfizm pierścieni (twierdzenie 8.6). Rozdział ten kończy wprowadzenie funktora ( ) 0 z kategorii przestrzeni zwartych Hausdorffa w kategorię prze- 4

strzeni zwartych zerowymiarowych. Wiadomo, że każda przestrzeń zwarta Hausdorffa jest ciągłym obrazem przestrzeni zwartej zerowymiarowej. Pokazuję (wniosek 8.10), że dla każdej przestrzeni zwartej Hausdorffa surjekcję p X : X 0 X można wybrać w taki sposób, że (p X ) X : ( ) 0 1 CHaus jest transformacją naturalną funktora ( ) 0 oraz funktora identycznościowego kategorii CHaus wszystkich przestrzeni zwartych Hausdorffa. Dziękuję swojemu promotorowi Profesorowi Aleksandrowi Błaszczykowi oraz uczestnikom Seminarium z topologii i teorii mnogości Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach za możliwość przedstawienia wyników tej rozprawy, a także za wszystkie komentarze i uwagi, które okazały się dla mnie dużą pomocą. Dziękuję również dr. hab. Wiesławowi Kubisiowi za cenne rozmowy i sugestie. 5

Cz eść I Przestrzenie metryczne W tej części pracy interesować nas będą związki uniwersalności przestrzeni metrycznych z ich jednorodnością. Posłużymy się następującą definicją uniwersalności: powiemy, że przestrzeń metryczna X jest uniwersalna dla klasy C przestrzeni metrycznych, gdy każda przestrzeń Y C ma zanurzenie izometryczne w X. Stosunkowo łatwo można otrzymać przestrzeń metryczną uniwersalną dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. Aby uzasadnić ten fakt, udowodnimy lemat o przedłużaniu zanurzeń izometrycznych. Uzupełnienie przestrzeni metrycznej X będziemy oznaczać symbolem X. Lemat. Załóżmy, że X oraz Y są przestrzeniami metrycznymi. Niech D będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X. Jeśli f : D Y jest zanurzeniem izometrycznym, to istnieje dokładnie jedno takie zanurzenie izometryczne f : X Y, że f D = f. Dowód. Ustalmy przestrzenie metryczne (X, d) oraz (Y, σ). Niech σ oznacza metrykę uzupełnienia Y. Ustalmy punkt x X oraz ciąg (x n ) n<ω ω D zbieżny do punktu x. Ciąg (x n ) n<ω spełnia warunek Cauchy ego, a ponieważ funkcja f jest zanurzeniem izometrycznym, więc (f(x n )) n<ω jest ciągiem w przestrzeni zupełnej Y spełniającym warunek Cauchy ego, a więc jest to ciąg zbieżny. Jeśli (y n ) n<ω ω D również jest ciągiem zbieżnym do punktu x X, to lim n d(x n, y n ) = 0, zatem lim σ(f(x n), f(y n )) = 0. n To pokazuje, że niezależnie od wyboru ciągu (x n ) n<ω ω X zbieżnego do punktu x X ciąg (f(x n )) n<ω jest zbieżny zawsze do tego samego punktu, który oznaczę symbolem f(x). W ten sposób określona jest funkcja f : X Y. Funkcja f jest zanurzeniem izometrycznym, ponieważ jeśli x, y X, (x n ) n<ω, (y n ) n<ω ω D, x = lim n x n oraz y = lim n y n, to σ(f(x), f(y)) = σ( lim n f(x n), lim n f(y n)) = lim n σ(f(x n), f(y n )) = lim d(x n, y n ) = d( lim x n, lim y n) = d(x, y). n n n Jeśli x D, to ciąg stały o wyrazie x jest ciągiem elementów podzbioru D zbieżnym do punktu x, zatem f(x) = f(x). 6

Korzystając z powyższego lematu możemy udowodnić zapowiedziany fakt o istnieniu przestrzeni metrycznej uniwersalnej dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. Twierdzenie (Fréchet, 1910). Istnieje przestrzeń metryczna mocy c uniwersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. Dowód. Zauważmy, że zbiór ω można wyposażyć w metrykę na co najwyżej c sposobów. Istotnie, każda taka metryka jest funkcją z ω ω w R, a takich funkcji jest ω ω R = c ω = c. Zatem istnieje taka rodzina metryk {d α : α < c}, że dla każdego α < c metryka d α jest określona na zbiorze ω {α} oraz jeśli Y jest przestrzenią metryczną przeliczalną i nieskończoną, to istnieje takie α < c, że przestrzeń Y jest izometryczna z ω {α}. Utożsamiając ze sobą wszystkie punkty podzbioru {0} c ω c otrzymujemy metrykę d określoną na zbiorze X = ((ω\{0}) c) {0}, gdzie dla m, n > 0 przyjmujemy d((n, α), (m, β)) = { dα ((n, α), (m, α)), gdy α = β, d α ((n, α), (0, α)) + d β ((m, β), (0, β)), gdy α β oraz d(0, (n, α)) = d α ((0, α), (n, α)) dla n > 0. Zauważmy, że funkcja d jest określona podobnie do metryki jeża z c kolcami; zobacz Engelking [4], str. 292. Dla każdego α < c funkcja f α : ω {α} X, dana wzorem { (n, α), gdy n > 0, f α (n, α) = 0, gdy n = 0, jest zanurzeniem izometrycznym. Ustalmy nieskończoną przestrzeń metryczną ośrodkową Y. Niech D będzie podzbiorem gęstym i przeliczalnym przestrzeni Y. Istnieje α < c oraz izometria f : D ω {α}. Zatem złożenie f α f jest zanurzeniem izometrycznym podzbioru D w X. Z poprzedniego lematu wynika, że funkcja f : Y X również jest zanurzeniem izometrycznym. Przestrzeń opisana w dowodzie powyższego twierdzenia nie jest ośrodkowa. Istotnie, {1} c jest podzbiorem dyskretnym przestrzeni X. Ośrodkowym przykładem przestrzeni uniwersalnej dla rozważanej klasy jest przestrzeń C([0, 1]) wszystkich funkcji ciągłych o wartościach w R i określonych na przedziale [0, 1]; dowód tego faktu podali Banach i Mazur [3]. Inny przykład ośrodkowej przestrzeni metrycznej uniwersalnej dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych podał Urysohn [13]. Przykład Urysohna jest przestrzenią polską U, mającą ponadto własność ω-jednorodności, 7

tzn. każda izometria pomiędzy skończonymi podzbiorami U ma przedłużenie do izometrii całej przestrzeni. Sierpiński [12] zauważył, że własność ω-jednorodności odróżnia przykład Urysohna od przestrzeni C([0, 1]): jeśli f C([0, 1]) jest funkcją stale równą 1, a g C([0, 1]) jest funkcją stale równą 0, to zbiór Z 1 = {h C([0, 1]) : d(f, h) = d(g, h) = 1 2 }, gdzie d(f, h) = sup{ f(x) h(x) : x [0, 1]}, ma dokładnie jeden element, funkcję stale równą 1 2. Z drugiej strony, zbiór Z 2 = {h C([0, 1]) : d(f, h) = d(id [0,1], h) = 1 2 }, gdzie id [0,1] : [0, 1] R jest identycznością, ma nieskończenie wiele elementów. Podzbiory {f, g} oraz {f, id [0,1] } są izometryczne, gdyby więc istniała taka izometria ϕ przestrzeni C([0, 1]), że ϕ(f) = f oraz ϕ(g) = id [0,1], to wówczas ϕ[z 1 ] = Z 2, co nie jest możliwe. Zatem przestrzeń C([0, 1]) nie jest ω-jednorodna. Definicja. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest skończenie injektywna, gdy dla każdej przestrzeni metrycznej skończonej Y oraz zanurzenia izometrycznego f 0 : Y 0 X, gdzie Y 0 Y, istnieje takie zanurzenie f : Y X, że f Y 0 = f 0. Urysohn pokazał, że, w przypadku przestrzeni polskich, uniwersalność oraz ω-jednorodność są równoważne skończonej injektywności. Twierdzenie (Urysohn, [13]). Jeśli X jest przestrzenią polską, to następujące warunki są równoważne: (i) przestrzeń X jest ω-jednorodna oraz uniwersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych, (ii) przestrzeń X jest skończenie injektywna. Dowód. Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią polską spełniającą warunek (i). Ustalmy przestrzeń metryczną skończoną Y, podzbiór Y 0 Y oraz zanurzenie izometryczne f 0 : Y 0 X. Rozpatrzmy przypadek, gdy Y = Y 0 {y} dla pewnego y Y. Skoro przestrzeń X jest uniwersalna dla klasy wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych, to istnieje podzbiór Z X oraz izometria g : Y Z. Funkcja g Y 0 jest izometrią przestrzeni Y 0 na zbiór g[y 0 ], a więc funkcja f 0 (g Y 0 ) 1 : g[y 0 ] f 0 [Y 0 ] 8

jest izometrią skończonych podzbiorów przestrzeni X. Z ω-jednorodności przestrzeni X wynika, że istnieje taka izometria f : X X, że f g[y 0 ] = f 0 (g Y 0 ) 1. Zatem funkcja f g : Y X jest zanurzeniem izometrycznym. Ustalmy t Y 0. Wtedy g(t) g[y 0 ], a stąd f(g(t)) = (f 0 (g Y 0 ) 1 )(g(t)) = f 0 (t). Tym samym zanurzenie izometryczne f g jest przedłużeniem zanurzenia f 0. Rozpatrzmy przypadek, gdy Y = Y 0 {y 1,..., y n } dla pewnego n < ω oraz y 1,..., y n Y. Załóżmy, że dane jest zanurzenie f i : Y 0 {y j : j < i} X będące przedłużeniem zanurzenia f 0 dla pewnego i < n. Z rozumowania w poprzednim przypadku wynika, że istnieje zanurzenie f i+1 : Y 0 {y j : j < i + 1} X będące przedłużeniem zanurzenia f i. Z założenia indukcyjnego wynika, że funkcja f i+1 jest przedłużeniem zanurzenia f 0. Kontynuując indukcyjną konstrukcję otrzymujemy zanurzenie f n : Y X będące przedłużeniem zanurzenia f 0. Dla dowodu przeciwnej implikacji załóżmy, że przestrzeń X jest skończenie injektywna. Ustalmy podzbiory skończone A, B X oraz izometrię f 0 : A B. Ze skończonej injektywności przestrzeni X wynika, że przestrzeń X nie zawiera punktów izolowanych. Zatem istnieje podzbiór gęsty {x n : n < ω} X rozłączny z A oraz B. Załóżmy, że indukcyjnie skonstruowaliśmy zbiór {y k : k < n} X oraz takie zanurzenie izometryczne f n : A {x k : k < n} {y k : k < n} X, że f n (A {x i : i < k} {y i : i < k}) = f k oraz f n (y k ) = x k dla każdego k < n. Korzystając ze skończonej injektywności dla zanurzenia f n oraz punktu x n otrzymujemy zanurzenie g : A {x k : k < n + 1} {y k : k < n} X będące przedłużeniem zanurzenia f n. Jeśli istnieje takie x dom g, że g(x) = x n, to przyjmujemy f n+1 = g oraz y n = x. W przeciwnym razie x n / rng g i korzystając ze skończonej injektywności dla zanurzenia g 1 : 9

rng g X oraz punktu x n otrzymujemy zanurzenie h : rng g {x n } X będące przedłużeniem zanurzenia g. Przyjmujemy y n = h(x n ) oraz f n+1 = h 1 : A {x k : k < n + 1} {y k : k < n + 1} X. Jeśli y A {x k : k < n} {y k : k < n}, to f n+1 (y) = h 1 (y) = g(y) = f n (y), zatem f n+1 jest przedłużeniem zanurzenia f n. W ten sposób indukcyjnie skonstruowane zostały podzbiory {x n : n < ω}, {y n : n < ω} oraz ciąg zanurzeń {f n : n < ω} spełniający dla każdego n < ω warunki: (a) dom f n = A {x k : k < n} {y k : k < n}, (b) B {x k : k < n} rng f n, (c) f n jest przedłużeniem f k dla każdego k < n. Niech f : A {x n : n < ω} {y n : n < ω} X będzie dane wzorem { fn (x), gdy x {x f(x) = n, y n } dla pewnego n < ω, f 0 (x), gdy x A. Z warunku (c) wynika, że funkcja f jest poprawnie określona. Ustalmy x, y dom f. Wtedy istnieje takie n < ω, że x, y dom f n. Zatem d(f(x), f(y)) = d(f n (x), f n (y)) = d(x, y), ponieważ funkcja f n jest zanurzeniem. Skoro zbiór dom f jest gęsty w X, to z lematu o przedłużaniu zanurzenia wynika, że istnieje takie zanurzenie f : X X, że f dom f = f. Przestrzeń X jest zupełna, możemy więc przyjąć, że X = X. Dla każdego n < ω mamy inkluzję {x k : k < n} rng f n rng f rng f, zatem rng f jest podzbiorem gęstym w X, a jako izometryczny obraz przestrzeni zupełnej jest także podprzestrzenią zupełną. Stąd rng f = X, co kończy dowód ω-jednorodności przestrzeni X. Ustalmy przestrzeń metryczną ośrodkową (Y, σ). Niech {z n : n < ω} będzie podzbiorem przeliczalnym i gęstym przestrzeni Y. Punkt t 0 X wybieramy dowolnie i zakładamy, że skonstruowaliśmy podzbiór {t k : k < n} oraz rosnący ciąg zanurzeń f 0,..., f n 1 spełniający dla każdego k < n warunki: (d) dom f k = {z i : i < k}, 10

(e) f k (z i ) = t i dla każdego i < k. Ze skończonej injektywności przestrzeni X wynika, że istnieje takie zanurzenie f n : {z k : k < n} X oraz punkt t n X, że f n {z k : k < n 1} = f n 1 oraz f n (z n ) = t n. Definiujemy analogicznie zanurzenie f : {z n : n < ω} X i na mocy lematu o przedłużaniu zanurzenia otrzymujemy zanurzenie f : Y X, co kończy dowód uniwersalności przestrzeni X dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. Przedstawione powyżej pojęcia mają naturalne uogólnienia dla liczb kardynalnych nieskończonych. Definicja (Hechler [8]). Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest κ-superuniwersalna, gdy dla każdej przestrzeni metrycznej Y mocy mniejszej niż κ, każde zanurzenie izometryczne f 0 : Y 0 X, gdzie Y 0 Y, ma przedłużenie do zanurzenia izometrycznego f : Y X. Zatem własność ω-superuniwersalności jest własnością skończonej injektywności. Jeden z pierwszych przykładów przestrzeni κ-superuniwersalnych dla κ > ω został podany przez Hechlera. Twierdzenie (Hechler, 1973, [8]). Dla każdej liczby kardynalnej regularnej κ > ω istnieje przestrzeń κ-superuniwersalna mocy λ<κ 2λ. Twierdzenie (Hechler, 1973, [8]). Załóżmy, że κ > ω jest liczbą kardynalną regularną lub µ<κ 2µ = 2 λ dla pewnego λ < κ. Wtedy: (i) każda przestrzeń κ-superuniwersalna jest mocy co najmniej µ<κ 2µ, (ii) istnieje przestrzeń κ-superuniwersalna mocy κ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba kardynalna µ, że κ = µ + = 2 µ lub κ jest słabo nieosiągalne oraz 2 µ κ dla każdego µ < κ, (iii) wszystkie przestrzenie κ-superuniwersalne mocy κ są izometryczne. Używając argumentu back-and-forth można pokazać, że każda przestrzeń κ-superuniwersalna mocy κ jest także κ-jednorodna w sensie następującej definicji. Definicja. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest κ-jednorodna, gdy każda izometria zbioru A na B, gdzie A, B X są mocy mniejszej niż κ, ma przedłużenie do izometrii całej przestrzeni X. 11

Katětov [9] udowodnił, że jeśli κ <κ = κ > ω, to z dokładnością do izometrii istnieje dokładnie jedna przestrzeń metryczna κ-jednorodna, wagi κ, uniwersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych wagi κ. Każda taka przestrzeń jest κ-superuniwersalna, gdyż wystarczy zastosować konstrukcję analogiczną do konstrukcji użytej w dowodzie twierdzenia Urysohna. Wiesław Kubiś, w rozmowie z autorem pracy, zasugerował istnienie przestrzeni κ-superuniwersalnych, które nie są κ-jednorodne. Pokażę, że istnieją przestrzenie κ-superuniwersalne sztywne, tzn. takie, że ich jedynymi izometriami są przekształcenia tożsamościowe. 1 Amalgamacja przestrzeni metrycznych Tę część pracy rozpoczniemy od przypomnienia pojęcia pseudometryki. Mówimy, że funkcja ρ : X X R jest pseudometryką na zbiorze X, gdy dla każdego x, y, z X zachodzą warunki: (i) ρ(x, x) = 0, (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), (iii) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Poniższy lemat jest jak się zdaje dobrze znany więc pozostawię go bez dowodu. Lemat 1.1. Jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X, to (i) relacja dana wzorem jest równoważnością w zbiorze X, x y ρ(x, y) = 0 (ii) funkcja d : (X/ρ) (X/ρ) R dana wzorem d([x], [y]) = ρ(x, y) dla x, y X jest metryką w zbiorze X/ρ = {[x] : x X}, gdzie [x] jest klasą abstrakcji elementu x względem relacji. Definicja 1.2. Amalgamacją pary f : X Y oraz g : X Z zanurzeń przestrzeni metrycznych nazywamy każdą przestrzeń metryczną T wraz z zanurzeniami f : Z T oraz g : Y T spełniającymi warunek f f = g g, tzn. przemienny jest diagram 12

Y f T f g X g Z Ustalmy liczbę kardynalną κ ω. Załóżmy, że dla każdego α < κ funkcja f α : {0} [0, 1] {α} jest dana wzorem f α (0) = (0, α). Niech J(κ) = [0, 1] κ/ będzie jeżem z κ kolcami, gdzie (x, α) (y, β) (x = y oraz α = β) lub x = y = 0. Wtedy przestrzeń J(κ) możemy uważać za pewnego rodzaju amalgamację rodziny odcinków {[0, 1] {α} : α < κ}: dla każdego α < β < κ przemienny jest diagram [0, 1] {α} g α J(κ) f α g β {0} f β [0, 1] {β} gdzie g α : [0, 1] {α} J(κ) jest dane wzorem g α (x, α) = [(x, α)] oraz [(x, α)] oznacza klasę abstrakcji punktu (x, α) względem relacji. Innym przykładem pary zanurzeń przestrzeni metrycznych, która ma amalgamację, jest taka para przestrzeni metrycznych (X, d) oraz (Y, σ), że d X Y = σ X Y oraz X Y, gdzie symbol d A oznacza zacieśnienie metryki d do podzbioru A X. Wtedy przedłużenie ρ : (X Y ) (X Y ) R metryk d i σ, dane wzorem (1) ρ(x, y) = inf{d(x, z) + σ(z, y) : z X Y } dla każdego (x, y) X Y, jest pseudometryką na zbiorze X Y. Z lematu 1.1 otrzymujemy przestrzeń metryczną (X Y )/ρ. W tej sytuacji przemienny jest diagram X g Y (X Y )/ρ g X X Y Y 13

gdzie funkcje g X : X (X Y )/ρ oraz g Y : Y (X Y )/ρ dane są wzorami g X (x) = [x] oraz g Y (x) = [x]. Zauważmy, że warunek d X Y = σ X Y jest konieczny dla istnienia pseudometryki na zbiorze X Y przedłużającej metryki d oraz σ. Istotnie, jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X Y przedłużającą metryki d oraz σ, to d(x, y) = ρ(x, y) = σ(x, y) dla każdego x, y X Y. Funkcja ρ na ogół nie jest metryką, gdyż podzbiór X Y może zawierać ciąg zbieżny zarówno w przestrzeni X jak i Y. Przykład 1.3. Niech X = { 1 n : n 1} {0} oraz Y = { 1 n : n 1} { 1}. Definiujemy funkcję d : X X R wzorem d(x, y) = x y oraz funkcję σ : Y Y R wzorem x y, gdy x, y > 0, σ(x, y) = x, gdy y = 1 oraz x > 0, 0, gdy x = y = 1. Funkcje d oraz σ są metrykami oraz d X Y = σ X Y. Niech ρ będzie pseudometryką zdefiniowaną wzorem (1). Wtedy ρ(0, 1) d(0, 1 n ) + σ( 1 n, 1) = 1 n + 1 n = 2 n dla każdego n 1. Zatem ρ(0, 1) = 0. Punkty 0 oraz 1 są różne, a więc ρ nie jest metryką. Określmy metryki d 01, d 02, d 12 odpowiednio na zbiorach {0, 1}, {0, 2} oraz {1, 2} wzorami d 01 (0, 1) = d 02 (0, 2) = 1 oraz d 12 (1, 2) = 3. Nie istnieje taka pseudometryka d na zbiorze {0, 1, 2}, że ({i, j}, d ij ) jest podprzestrzenią przestrzeni ({0, 1, 2}, d) dla każdego 0 i < j 2: w przeciwnym razie otrzymalibyśmy nierówność 3 = d 12 (1, 2) = d(1, 2) d(0, 1) + d(0, 2) = d 01 (0, 1) + d 02 (0, 2) = 2; sprzeczność. Możemy uważać, że punkty 0, 1, 2 są wierzchołkami pewnego grafu, będącego jednocześnie cyklem indukowanym i nie zawierającego się w żadnej z przestrzeni {i, j}. Opisana powyżej sytuacja uzasadnia wprowadzenie pojęcia grafu G rodziny przestrzeni metrycznych R oraz znalezienie warunków wystarczających dla grafu G tak aby istniała amalgamacja rodziny R. 14

Załóżmy, że {(X s, d s ) : s S} jest rodziną przestrzeni metrycznych. Niech G będzie grafem o zbiorze wierzchołków s S X s w którym para xy jest krawędzią wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie s S, że x, y X s. Ciąg z 0 z 1, z 1 z 2,..., z n 1 z n nazywamy ścieżką z x do y, gdy z 0 = x, z n = y oraz z i z i+1 jest krawędzią w G dla każdego i < n. Graf nazywamy spójnym, gdy dla dowolnych wierzchołków x oraz y tego grafu istnieje ścieżka z x do y. Ścieżkę z 0 z 1, z 1 z 2,..., z n 1 z n będziemy oznaczać krótko przez z 0... z n. Jeśli z 0 z n również jest krawędzią w grafie G, to mówimy, że z 0... z n z 0 jest cyklem w G. Jeśli cykl jest podgrafem grafu G, to mówimy, że jest cyklem indukowanym w G. Jeśli z 0... z n jest ścieżką, a s 1,..., s n S są takie, że z i z i+1 X si dla i < n, to liczbę n 1 w(z 0... z n ) = d si+1 (z i, z i+1 ) i=0 będziemy nazywać wagą ścieżki z 0... z n. Zauważmy, że jeśli d s (X s X t ) = d t (X s X t ) dla każdego s, t S, to definicja wagi ścieżki nie zależy od wyboru indeksów s 1,..., s n. Definicja 1.4. Jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X, to definiujemy pomocniczo liczbę ρ(x, Z 1,..., Z n, y) = inf{w(xz 1... z n y) : (z 1,..., z n ) Z 1... Z n } dla x, y X oraz Z 1,..., Z n X. Lemat 1.5. Załóżmy, że {(X s, d s ) : s S} jest rodziną przestrzeni metrycznych o grafie spójnym G spełniającą warunki: (i) d s (X s X t ) = d t (X s X t ) dla każdego s, t S, (ii) jeśli x 1... x n x 1 jest cyklem indukowanym w G, to istnieje takie s S, że x 1,..., x n X s. Wtedy istnieje taka pseudometryka ρ na zbiorze s S X s, że ρ X s = d s dla każdego s S. Jeśli ponadto istnieje takie s 0 S, że X s X s0 oraz X s X t X s0 dla każdego s t, to dla każdego s t, x X s, y X t oraz z X s0 prawdziwe są następujące równości: ρ(x, y) = ρ(x, X s X s0, X t X s0, y), ρ(x, z) = ρ(x, X s X s0, z). 15

Dowód. Ustalmy x, y s S X s. Skoro G jest grafem spójnym, to istnieje ścieżka z 0... z n z x do y, tj. z 0 = x, z n = y oraz dla każdego i < n istnieje takie s i S, że z i, z i+1 X si+1. Skoro dowolne dwa punkty zbioru X = {X s : s S} są połączone ścieżką, to funkcja ρ : X X R, dana wzorem ρ(x, y) = inf{w(z 0... z n ) : z 0... z n jest ścieżką z x do y}, jest poprawnie zdefiniowana. Zauważmy, że funkcja ρ jest symetryczna. Ustalmy x, y, z X. Niech z 0... z n będzie ścieżką z x do y, a a 0... a m niech będzie ścieżką z y do z. Wtedy z 0... z n a 1... a m jest ścieżką z x do z. Zatem ρ(x, z) w(z 0... z n a 1... a m ). Skoro ścieżki z 0... z n oraz a 0... a m zostały wybrane dowolnie, to otrzymujemy nierówność ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Pokazaliśmy w ten sposób, że ρ jest pseudometryką na zbiorze X. Zauważmy, że ρ(x, y) d s (x, y) dla każdego x, y X s. Przez indukcję ze względu na długość ścieżki pokażemy, że d s (x, y) jest nie większe od wagi każdej ścieżki z x do y. Ustalmy x, y X s oraz ścieżkę z 0 z 1 z 2 z x do y. Skoro z 0 z 1 z 2 z 0 jest cyklem indukowanym w G, to istnieje takie t S, że z 0, z 1, z 2 X t. Wtedy d s (x, y) = d t (x, y) d t (z 0, z 1 ) + d t (z 1, z 2 ) = w(z 0 z 1 z 2 ). Ustalmy 2 n < ω oraz załóżmy, że dla każdego 2 k < n, s S, x, y X s oraz dla każdej ścieżki z 0... z k z x do y prawdziwa jest nierówność d s (x, y) w(z 0... z k ). Ustalmy x, y X s oraz ścieżkę z 0... z n z x do y. Jeśli z 0... z n z 0 jest cyklem indukowanym, to rozumowanie jest podobne jak w przypadku ścieżki o długości 2. Załóżmy więc, że z 0... z n z 0 nie jest cyklem indukowanym. Wtedy w grafie G istnieje krawędź z i z j, która nie jest krawędzią cyklu z 0... z n z 0. Możemy założyć, że i < j, a zatem i+1 < j oraz 0 < i lub j < n. Istnieje takie t S, że z i, z j X t, a stąd z 0... z i 1 z i z j z j+1... z n jest ścieżką z x do y długości i + 1 + (n j) < j + (n j) = n oraz z i z i+1... z j 1 z j jest ścieżką z z i do z j długości j i < n, ponieważ i > 0 lub j < n. Na mocy założenia indukcyjnego otrzymujemy nierówności d s (x, y) w(z 0... z i z j... z n ) oraz d t (z i, z j ) w(z i z i+1... z j 1 z j ). Stąd d s (x, y) w(z 0... z i z j... z n ) = w(z 0... z i ) + d t (z i, z j ) + w(z j... z n ) w(z 0... z i ) + w(z i z i+1... z j 1 z j ) + w(z j... z n ) = w(z 0... z n ). 16

Ostatecznie d s (x, y) ρ(x, y), a więc d s (x, y) = ρ(x, y) dla każdego x, y X s. Niech s 0 S będzie takie jak w założeniach lematu. Ustalmy s, t S, s t, x X s oraz y X t. Łatwo zauważyć, że ρ(x, y) ρ(x, X s X s0, X t X s0, y). Dla dowodu przeciwnej nierówności ustalmy ścieżkę z 0... z n z x do y. Przypuśćmy, że nie istnieją takie i oraz j, że z i X s X s0 oraz z j X t X s0. W szczególności z 0, z n / X s0. Niech i = max{r : z 0,..., z r X s \ X s0 } oraz j = min{r : z r,..., z n X t \ X s0 }. Skoro X s X t X s0, to i < j. Zatem z i+1 / X s oraz istnieje takie p S \ {s}, że z i, z i+1 X p. Wtedy z i X s X p X s0 ; sprzeczność. Istnieją więc takie i oraz j, że z i X s X s0 oraz z j X t X s0. Niech s 1,..., s n S będą takie, że z k, z k+1 X sk+1 dla każdego k < n. Otrzymujemy nierówność ρ(x, z i ) + ρ(z i, z j ) + ρ(z j, y) k=0 j 1 i 1 n 1 ρ(z k, z k+1 ) + ρ(z k, z k+1 ) + ρ(z k, z k+1 ) = k=i k=j n 1 n 1 ρ(z k, z k+1 ) = d sk+1 (z k, z k+1 ) = w(z 0... z n ). k=0 Podobnie dowodzimy równość ρ(x, z) = ρ(x, X s X s0, z) dla x X s oraz z X s0. Twierdzenie 1.6. Załóżmy, że s 0 S oraz {(X s, d s ) : s S} jest rodziną przestrzeni metrycznych spełniającą dla każdego s, t S następujące warunki: (i) X s0 X s, (ii) X s X t X s0, o ile s t, k=0 (iii) d s0 (X s0 X s ) = d s (X s0 X s ). Wtedy istnieje taka przestrzeń metryczna (Y, d), że (iv) X s0 jest podprzestrzenią przestrzeni Y, (v) dla każdego s S istnieje takie zanurzenie izometryczne i s : X s Y, że i s (X s0 X s ) = id Xs0 X s, (vi) Y s S X s, 17

(vii) dla każdego s t, x i s [X s ], y i t [X t ] oraz z X s0 prawdziwe są następujące równości: d(x, y) = d(x, X s0 X s, X s0 X t, y), d(x, z) = d(x, X s0 X s, z). Dowód. Przypuśćmy, że graf rodziny {(X s, d s ) : s S} nie spełnia warunku (ii) lematu 1.5. Wtedy istnieje taki cykl indukowany z 0... z n z 0, że {z 0,..., z n } X s dla każdego s S. Przypuśćmy, że istnieje takie s S, że X s {z 0,..., z n } 3. Niech 0 i < j < k n będą takie, że z i, z j, z k X s. Wtedy z i z j, z j z k oraz z i z k są krawędziami grafu G. Cykl z 0... z n z 0 jest indukowany, a więc {z 0 z 1, z 1 z 2,..., z n 1 z n, z n z 0 } jest zbiorem wszystkich krawędzi grafu G pomiędzy wierzchołkami ze zbioru {z 0,..., z n }. Skoro z i z j jest krawędzią oraz j < n, to i+1 = j. Analogicznie j+1 = k. Ponieważ i+1 < k, więc i = 0 oraz k = n. Stąd {z 0,..., z n } = {z i, z j, z k } X s wbrew założeniu o cyklu z 0... z n z 0. Zatem dla każdego s S zachodzi nierówność: X s {z 0,..., z n } 2. Z założenia o cyklu z 0... z n z 0 wynika, że {z 0,..., z n } X s0, a więc istnieje takie i, że z i / X s0. Niech s S będzie takie, że z i X s. Niech j = min{r i : z r,..., z i X s }, k = max{r i : z i,..., z r X s }. Jeśli j = 0 oraz k = n, to {z 0,..., z n } X s wbrew założeniu o cyklu z 0... z n z 0. Zatem j > 0 lub k < n. Rozpatrzmy przypadek, gdy j > 0. Wtedy z j 1 / X s. Skoro z j 1 z j jest krawędzią grafu G, to istnieje takie t S \ {s}, że z j 1, z j X t. Zatem z j X t X s X s0. Skoro z i / X s0, to j < i. Ponieważ każdy wierzchołek cyklu należy do dwóch krawędzi tego cyklu, więc istnieje takie l i 1, że z i z l jest krawędzią grafu G. Zauważmy, że z l / X s, ponieważ w przeciwnym razie otrzymujemy nierówność X s {z 0,..., z n } {z j, z i, z l } = 3 która, jak pokazaliśmy w pierwszej części dowodu, nie może zachodzić. Istnieje więc takie p S \ {s}, że z i, z l X p. Z założenia (ii) wynika, że X p X s X s0, zatem z i X p X s X s0 ; sprzeczność, ponieważ z i / X s0. Przypadek, gdy k < n, jest analogiczny. 18

Pokazaliśmy, że graf rodziny {(X s, d s ) : s S} spełnia warunek (ii) lematu 1.5, a więc istnieje pseudometryka ρ na zbiorze s S X s spełniająca tezę tego lematu. Z lematu 1.1 wynika, że relacja x y ρ(x, y) = 0 jest równoważnością w zbiorze s S X s. Niech Y będzie selektorem rodziny {[x] : x s S X s}, gdzie [x] jest klasą równoważności punktu x względem relacji, zawierającym przestrzeń X s0. Wtedy (Y, ρ Y ) jest przestrzenią metryczną. Dla każdego s S definiujemy i s : X s Y tak aby i s (x) [x] Y, gdzie x X s. Definicja 1.7. W dalszych częściach pracy przestrzeń Y z twierdzenia 1.6 będziemy nazywać amalgamacją rodziny {X s : s S}. 2 Rozszerzenie izometryczne W tej części pracy zdefiniujemy dla każdej przestrzeni metrycznej X oraz liczby kardynalnej κ rozszerzenie F (X) o następującej własności: dla każdej przestrzeni Y mocy mniejszej niż κ, punktu y Y oraz zanurzenia f 0 : Y \ {y} X, istnieje takie zanurzenie f : Y F (X), że f (Y \ {y}) = f 0. Ustalmy przestrzeń (X, d) oraz liczbę kardynalną κ. Ustalmy również rozłączny z X zbiór A mocy λ = ( X + c) <κ oraz podział {A α : α < λ} [A] λ zbioru A. Ustalmy numerację [X] <κ \ { } = {X α : α < λ} oraz A α = {a α,β : β < λ}. Dla każdego zbioru Z mocy mniejszej niż κ prawdziwa jest następująca nierówność: {ρ Z Z R : ρ jest metryką} c <κ λ. Zatem istnieje rodzina {d α,β : β < λ} metryk spełniająca dla każdego α < λ następujące warunki: (1) dla każdego β < λ funkcja d α,β jest metryką na zbiorze X α {a α,β }, (2) dla każdego β < λ zachodzi równość d X α = d α,β X α, (3) jeśli Y jest przestrzenią metryczną, a f 0 : Y \{y} X α jest izometrią, to istnieją takie β < λ oraz izometria f : Y X α {a α,β }, że f (Y \ {y}) = f 0. 19

Niech R = {X} {X α {a α,β } : α, β < λ}. Zauważmy, że dla X s0 = X rodzina R spełnia założenia twierdzenia 1.6, a więc istnieje amalgamacja (Y, d) tej rodziny o następujących własnościach: (4) X jest podprzestrzenią przestrzeni Y, (5) Y {X α {a α,β } : α, β < λ}, (6) dla każdego α, β < λ istnieje takie zanurzenie i α,β : X α {a α,β } Y, że i α,β X α = id Xα, (7) dla każdego y Y istnieje takie α < λ, że dla każdego x X prawdziwa jest następująca równość: d(y, x) = d(y, X α, x). Amalgamację tę będziemy oznaczać symbolem F (X) i traktować jako rozszerzenie metryczne przestrzeni X. Twierdzenie 2.1. Dla każdej przestrzeni metrycznej X rozszerzenie izometryczne F (X) ma następujące własności: (i) każde zanurzenie izometryczne f 0 : Y \ {y 0 } X, gdzie Y < κ i y 0 Y, ma przedłużenie do zanurzenia izometrycznego f : Y F (X), (ii) dla każdego y F (X) istnieje takie Z [X] <κ, że d(x, y) = d(x, Z, y) dla każdego x X, gdzie d jest metryką rozszerzenia F (X). Dowód. Ustalmy przestrzeń X. Niech {d α,β : β < λ} będzie rodziną wszystkich metryk na zbiorach {X α {a α,β } : β < λ} o własnościach (1) (3), zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na początku tej części pracy. (i) Ustalmy przestrzeń (Y, σ) mocy mniejszej niż κ, punkt y 0 Y oraz zanurzenie f 0 : Y \ {y 0 } X. Skoro f 0 [Y \ {y 0 }] < κ, to istnieje takie α < λ, że f 0 [Y \ {y 0 }] = X α. Zatem f 0 : Y \ {y 0 } X α jest izometrią. Na mocy własności (3) istnieje takie β < λ oraz izometria g : Y X α {a α,β }, że g (Y \ {y 0 }) = f 0. Z własności (6) otrzymujemy takie zanurzenie i α,β : X α {a α,β } F (X), że i α,β X α = id Xα. Funkcja f = i α,β g : Y F (X) jest zanurzeniem izometrycznym. Dla każdego y Y \ {y 0 } otrzymujemy f(y) = i α,β (g(y)) = i α,β (f 0 (y)) = f 0 (y), ponieważ f 0 (y) X α. Zatem f (Y \ {y 0 }) = f 0. 20

(ii) Ustalmy y F (X). Z własności (7) wynika, że istnieje takie α < λ, że dla każdego x X prawdziwa jest następującą równość: d(y, x) = d(y, X α, x). W pracy [9] Katětov podał konstrukcję rozszerzenia E(X, κ) również spełniającego warunki (i), (ii) powyższego lematu. Metryka σ rozszerzenia E(X, κ) spełnia dla każdego x, z E(X, κ) \ X równość σ(x, z) = sup{ σ(x, y) σ(z, y) : y X}. Dla każdego x, z E(X, κ)\x oraz y X wprost z definicji metryki wynika nierówność σ(x, z) σ(x, y) σ(z, y), zatem σ(x, z) jest najmniejszą dopuszczalną odległością w rozszerzeniu metrycznym przestrzeni X. Z konstrukcji rozszerzenia F (X) oraz twierdzenia 1.6 wynika, że metryka d w rozszerzeniu F (X) spełnia równość d(x, z) = inf{d(x, y) + d(y, z) : y X}, a więc d(x, z) jest największą dopuszczalną odległością w rozszerzeniu przestrzeni X. Tę część pracy zakończymy lematem opisującym sumę łańcucha przestrzeni metrycznych. Lemat 2.2. Niech {Z β : β < α} będzie rosnącym ciągiem przestrzeni metrycznych, tzn. Z β jest podprzestrzenią przestrzeni Z γ dla każdego β < γ < α. Wtedy na zbiorze γ<α Z γ istnieje taka metryka d, że Z β jest podprzestrzenią przestrzeni γ<α Z γ, dla każdego β < α. Dowód. Ustalmy x, y Z = γ<α Z γ. Istnieje takie γ < α, że x, y Z γ. Przyjmujemy d(x, y) = d γ (x, y). Skoro Z γ jest podprzestrzenią przestrzeni Z β dla każdego γ < β < α, to funkcja d : Z Z R jest poprawnie zdefiniowana. Łatwo widać, że funkcja d jest metryką. 21

3 Charakter dyskretny punktu Przez przestrzeń dyskretną będziemy rozumieli przestrzeń metryczną w której metryka przyjmuje dwie wartości: 0 i 1. Ustalmy liczbę kardynalną κ > ω. Załóżmy, że X jest przestrzenią dyskretną mocy κ oraz y F (X) \ X. Z własności (7) wynika, że istnieje takie Z [X] <κ, że d(y, x) = d(y, Z, x) dla każdego x X, gdzie d jest metryką przestrzeni F (X). Zatem jeśli x X \ Z, to d(y, x) = d(y, Z, x) = inf{d(y, z) + d(z, x) : z Z} = d(y, Z) + 1 1, a więc w rozszerzeniu F (X) nie ma takiego punktu y oraz podzbioru T [X] κ, że d(y, z) = 1 2 dla każdego z T. Powyższa obserwacja sugeruje, aby dla przestrzeni metrycznej (X, d) oraz podprzestrzeni dyskretnej Y X wprowadzić następujące pojęcia: (a) punkt x X będziemy nazywać punktem środkowym podprzestrzeni Y, gdy d(x, y) = 1 2 dla każdego y Y, (b) jeśli Y jest podprzestrzenią, która nie ma punktu środkowego x X, to powiemy, że podprzestrzeń Y jest bez punktów środkowych, (c) jeśli każdy podzbiór Z [Y ] κ jest bez punktów środkowych w przestrzeni X, to powiemy, że podprzestrzeń Y jest dziedzicznie bez punktów środkowych, (d) liczbę τ(x, X) = sup{ Y : Y X jest podprzestrzenią dziedzicznie bez punktów środkowych, x Y } będziemy nazywać charakterem dyskretnym punktu x. Zauważmy, że powyższa definicja zależy od liczby κ, która na ogół będzie wcześniej ustalona. Przykład 3.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią dyskretną mocy κ. Ustalmy Z [X] κ, Z X oraz y / X. Niech σ będzie funkcją określoną na zbiorze Z {y} wzorem d(x, z), gdy x, z Z, 1 σ(x, z) = 2, gdy x = y oraz z Z, 0, gdy x = z = y. 22

Nietrudno sprawdzić, że funkcja σ jest metryką. Ponadto σ Z = d Z, a więc na mocy twierdzenia 1.6 istnieje amalgamacja (Y, ρ) przestrzeni (X, d) oraz (Z {y}, σ) spełniająca dla każdego x X warunek ρ(y, x) = ρ(y, Z, x) = inf{σ(y, z)+d(z, x) : z Z} = 1 2 +inf{d(z, x) : z Z}. Skoro X Z, to istnieje punkt x X \ Z, zatem ρ(y, x) 3 2, a stąd y nie jest punktem środkowym podprzestrzeni X w przestrzeni Y. Z drugiej strony punkt y jest punktem środkowym podprzestrzeni Z [X] κ, a więc X nie jest podprzestrzenią dziedzicznie bez punktów środkowych w przestrzeni Y. Lemat 3.2. Jeśli f : X X jest izometrią, to τ(x, X) = τ(f(x), X) dla każdego x X. Dowód. Ustalmy x X, izometrię f : X X oraz taką podprzestrzeń Y X dziedzicznie bez punktów środkowych, że x Y. Niech d będzie metryką przestrzeni X. Przypuśćmy, że f[y ] nie jest dziedzicznie bez punktów środkowych. Zatem istnieje podprzestrzeń Z [f[y ]] κ oraz jej punkt środkowy z X. Wtedy f 1 [Z] [Y ] κ. Oczywiście d(f 1 (z), f 1 (x)) = d(z, x) dla każdego z Z. Zatem f 1 (x) jest punktem środkowym podprzestrzeni f 1 [Z]; sprzeczność. Załóżmy, że podprzestrzeń Y X jest dziedzicznie bez punktów środkowych. Załóżmy ponadto, że istnieje taki ciąg Cauchy ego {x n : n < ω} X, że d(x n, y) = 1 2 + 1 n dla każdego n 1 oraz y Y. Skoro d(x n, y) > 1 2 dla każdego n < ω oraz y Y, to żaden z punktów x n nie jest punktem środkowym jakiegokolwiek podzbioru Z [Y ] κ. Możemy założyć, że symbol d oznacza również metrykę rozszerzenia F (X). Niech T = {x n : n < ω} będzie uzupełnieniem podprzestrzeni {x n : n < ω}. Niech x T będzie granicą ciągu {x n : n < ω}. Niech zanurzenie f 0 : {x n : n < ω} X będzie dane wzorem f 0 (x n ) = x n dla każdego n < ω. Na mocy twierdzenia 2.1 (i) istnieje takie zanurzenie f : {x} {x n : n < ω} F (X), że f(x n ) = x n dla każdego n < ω. Wtedy d(f(x), y) d(f(x), x n ) + d(x n, y) = d(f(x), f(x n )) + d(x n, y) 23

dla każdego n 1 oraz y Y, a więc d(x, y) 1 2 dla każdego y Y. Z drugiej strony, 1 = d(y, y ) d(y, x) + d(x, y ) dla każdego y, y Y, y y, ponieważ Y X oraz X jest przestrzenią dyskretną. Stąd jeśli Y 2, to d(x, y) = 1 2 dla każdego y Y. Wydaje się więc, że lepiej brać pod uwagę słabe punkty środkowe: jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, to mówimy, że x jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni Y X, gdy d(x, y) = d(x, y ) < 1 dla każdego y, y Y. Okazuje się, że punkty środkowe lepiej nadają się do zdefiniowania charakteru dyskretnego, natomiast słabe punkty środkowe będą ważnym narzędziem do zbadania istnienia punktów środkowych z uwagi na posiadaną przez nie własność redukcji, o której mówi ostatni lemat tej części pracy. Symbolem d(x, A) oznaczamy odległość punktu x od niepustego zbioru A, tzn. d(a, A) = inf{d(x, a) : a A}. Zatem jeśli x jest słabym punktem środkowym niepustej podprzestrzeni Y, to d(x, Y ) = d(x, y) dla każdego y Y. Lemat 3.3. Niech κ będzie taką liczbą kardynalną regularną, że λ ℵ 0 < κ dla każdego λ < κ. Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią metryczną, Y X oraz x X \ Y jest słabym punktem środkowym zbioru D [Y ] κ dla którego istnieje takie Z [Y ] <κ, że d(x, y) = d(x, Z, y) dla każdego y Y. Wtedy dla każdego ε > 0 istnieje taki zbiór D [D] κ oraz słaby punkt środkowy x Y zbioru D, że d(x, x ) + d(x, D ) < d(x, D) + ε. Dowód. Możemy założyć, że ε < 1 d(x, D). Na mocy założenia istnieje takie Z [Y ] <κ, że d(x, y) = d(x, Z, y) dla każdego y Y. Skoro d(x, Z, y) = inf{d(x, z) + d(z, y) : z Z} to dla każdego y D istnieje taki ciąg (z y,n ) n<ω ω Z, że (2) d(x, y) = lim n (d(x, z y,n) + d(z y,n, y)). Definiujemy funkcję Φ : D ω (Z R) wzorem Φ(y) = (z y,n, d(z y,n, y)) n<ω dla y D. Skoro ω (Z R) = Z ℵ0 c < κ, to istnieje takie (z n, r n ) n<ω ω (Z R), że Φ 1 [{(z n, r n ) n<ω }] = D. Niech D = Φ 1 [{(z n, r n ) n<ω }]. Zatem dla każdego y, y D i n < ω otrzymujemy z y,n = z y,n oraz d(z y,n, y) = d(z y,n, y ). 24

Przyjmując t n = z y,n = z y,n otrzymujemy d(t n, y) = d(t n, y ) dla każdego y, y D oraz n < ω. Ze wzoru (2) wynika, że istnieje takie n < ω, że d(x, t n )+d(t n, y) < d(x, y)+ε < 1 dla każdego y D. Zatem t n jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni D. 4 Operacja dołączania podprzestrzeni dziedzicznie bez punktów środkowych Ustalmy liczbę kardynalną κ, przestrzeń X oraz jej podprzestrzeń Y X. Niech X \ Y = {x α : α < λ} dla pewnej liczby kardynalnej λ. Dla każdego α < λ ustalamy rozłączny z X zbiór D α mocy ℵ κ+ X +α+2. Możemy założyć, że D α D β = dla α < β < λ. Niech d α będzie metryką dyskretną na zbiorze D α {x α }. Z twierdzenia 1.6 otrzymujemy amalgamację A(X, Y ) rodziny {X} {D α {x α } : α < λ}. Niech A(X, Y ) = {D α {x α } : α < λ}. Przestrzeń A(X, Y ) jest zatem rozszerzeniem przestrzeni X o następujących własnościach: (A1) dla każdego x X \ Y istnieje taka podprzestrzeń dyskretna D x A(X, Y ), że D x X = {x} oraz D x > X κ +, (A2) dla każdego x, y X \ Y, jeśli x y, to D x D y = oraz D x D y, (A3) d(x, y) = d(x, x) + d(x, y) = 1 + d(x, y) dla każdego x X \ Y, x D x \ {x} oraz y X, gdzie d jest metryką rozszerzenia A(X, Y ). Zauważmy, że jeśli x X \ Y, to τ(x, A(X, Y )) = D x, a więc dla każdego x, y X \ Y, x y. τ(x, A(X, Y )) τ(y, A(X, Y )) Zdefiniujemy teraz operację pozwalającą otrzymać rozszerzenie metryczne S(X) przestrzeni X w którym wybrane podprzestrzenie przestrzeni X przestaną być podprzestrzeniami dziedzicznie bez punktów środkowych. Jeśli podprzestrzeń Y X jest dziedzicznie bez punktów środkowych, to wystarczy wybrać dowolny podzbiór Y [Y ] κ i dołączyć w poszukiwanym rozszerzeniu S(X) przestrzeni X punkt środkowy podprzestrzeni Y. Zatem definiując operację usuwania podprzestrzeni dziedzicznie bez punktów środkowych możemy ograniczyć się do podprzestrzeni mocy κ. Z drugiej strony, 25

jeśli podprzestrzenie z ustalonej rodziny G mają być przestrzeniami dziedzicznie bez punktów środkowych w rozszerzeniu S(X) przestrzeni X, to każda podprzestrzeń Y do której dołączymy punkt środkowy musi spełniać następujący warunek: Definiujemy pomocniczo rodzinę Y G < κ dla każdego G G. D(X) = {Y [X] κ : Y jest podprzestrzenią Ustalmy G D(X). Niech dziedzicznie bez punktów środkowych}. {Y α : α < λ} = {Y D(X) [X] κ : Z G Y Z < κ}. dla pewnej liczby kardynalnej λ. Niech Z = {z α : α < λ} będzie zbiorem mocy λ, rozłącznym z X. Dla każdego α < λ definiujemy funkcję d α : (Y α {z α }) (Y α {z α }) R wzorem { d(x, y), gdy x, y Yα, d α (x, y) = 1 2, gdy y Y α oraz x = z α. Łatwo zauważyć, że d α jest metryką na zbiorze Y α {z α }. Z twierdzenia 1.6 otrzymujemy amalgamację S(X, G) rodziny {X} {Y α {z α } : α < λ}. Zatem S(X, G) jest rozszerzeniem przestrzeni X o następujących własnościach: (S1) dla każdego Y D(X), jeśli Y Z < κ dla wszystkich Z G, to istnieje Y [Y ] κ oraz punkt środkowy x S(X, G) podprzestrzeni Y, (S2) dla każdego y S(X, G) istnieje takie Y [X] κ, że d(y, x) = d(y, Y, x) dla każdego x S(X, G) \ {y}, gdzie d jest metryką rozszerzenia S(X, G). 5 Łańcuchowe własności operacji F, S i A Zdefiniujemy indukcyjnie rosnący łańcuch rozszerzeń. Załóżmy, że κ > c jest taką regularną liczbą kardynalną, że λ ℵ 0 < κ dla każdego λ < κ, np. κ = c +. Definiujemy przestrzeń pustą X 0 = oraz przestrzeń jednoelementową X 1 = {0}. Załóżmy, że skonstruowaliśmy rosnący łańcuch {(X β, d β ) : β < 26

α} przestrzeni metrycznych. Jeśli α jest liczbą graniczną, to korzystając z lematu 2.2 przyjmujemy X α+1 = X α = X β oraz A(X α+1, X α ) =. β<α Jeśli α = β + 2 dla pewnego β < α, to przyjmujemy (3) X α = F (S(A(X β+1, X β ), γ β A(X γ+1, X γ ))). W ten sposób otrzymujemy przestrzeń (X κ +, d) oraz rodziny {X α : α < κ + } i {A(X α+1, X α ) : α < κ + } o następujących własnościach: (P1) X κ + = {X α : α < κ + }, (P2) dla każdego β < α < κ + przestrzeń X β jest podprzestrzenią przestrzeni X α, (P3) dla każdego α < κ +, jeśli α jest liczbą graniczną, to X α+1 = X α = {Xβ : β < α} oraz A(X α+1, X α ) =, (P4) dla każdego α < κ +, jeśli α = β + 2, to zachodzi wzór (3), (P5) dla każdego x X κ + istnieje takie α < κ + oraz podprzestrzeń dyskretna D x A(X α+1, X α ), że x X α+1 \ X α oraz D x X α+1 = {x}, (P6) każdy punkt podprzestrzeni X κ + \ X 1 jest punktem dodanym przez jedno z rozszerzeń: F, S lub A. Lemat 5.1. Przestrzeń X κ + jest κ-superuniwersalna. Dowód. Ustalmy przestrzeń metryczną (Y, σ) mocy mniejszej niż κ, podzbiór Y 0 Y oraz zanurzenie f 0 : Y 0 X κ +. Niech Y \ Y 0 = {y α : α < λ} dla pewnej liczby kardynalnej λ. Załóżmy, że skonstruowaliśmy ciąg zanurzeń {f β : β < α} o następujących własnościach: (i) f β : Y 0 {y γ : γ < β} X κ + dla każdego β < α, (ii) f β dom f γ = f γ dla każdego γ < β < α. Jeśli α λ jest liczbą graniczną, to funkcję f α : Y 0 {y β : β < α} X κ + definiujemy wzorem { fβ (y), gdy y = y f α (y) = γ dla pewnego γ < β < α, f 0 (y), gdy y Y 0. 27

Z własności (ii) wynika, że funkcja f α jest poprawnie zdefiniowanym zanurzeniem. Załóżmy więc, że α = β + 1 dla pewnego β < λ. Skoro rng f β < κ oraz X κ + = {X δ : δ < κ + }, to istnieje takie δ < κ +, że rng f β X δ. Mamy następujący ciąg rozszerzeń: X δ X δ+1 A(X δ+1, X δ ) S(A(X δ+1, X δ ), γ δ A(X γ+1, X γ )). Z twierdzenia 2.1 (i) wynika, że istnieje takie zanurzenie f α : dom f β {y β } F (S(A(X δ+1, X δ ), γ δ A(X γ+1, X γ ))), że f α dom f β = f β. Indukcyjna konstrukcja jest w ten sposób zakończona, a zanurzenie f λ : Y X κ + jest przedłużeniem zanurzenia f 0. Pokażę, że przestrzeń X κ + jest sztywna, tzn. jedyną izometrią przestrzeni X κ + jest identyczność. W tym celu udowodnię szereg lematów opisujących łańcuchowe własności operacji F, S i A. Definicja 5.2. Liczbę rangę punktu x X wzorem r(x) = min{α < κ + : x X α }. Lemat 5.3. Załóżmy, że x, y X κ + oraz y jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni D [D x ] κ. Wtedy r(x) < r(y) oraz punkt y został dodany przez operację F lub przez operację S. Jeśli ponadto y jest punktem środkowym D, to punkt y został dodany przez operację F. Dowód. Istnieją takie β, δ < κ +, że x X β+2 \ X β+1 oraz y X δ+2 \ X δ+1. Zatem r(y) = δ + 2 oraz r(x) = β + 2. Przypuśćmy, że r(x) r(y). Skoro r(y) β + 2, to y X β+2, a więc na mocy własności (A3) mamy d(v, y) = d(v, x) + d(x, y) = 1 + d(x, y) 1 dla każdego v D x \ {x}; sprzeczność, ponieważ y jest punktem środkowym zbioru D D x. Zatem r(x) < r(y), a więc r(x) δ + 1. Przypuśćmy, że punkt y został dodany przez operację A. Wtedy istnieje takie w X δ+1, że y D w \ {w}. Zatem D x D w A(X δ+1, X δ ), a więc na mocy własności (A3) mamy d(y, v) = d(y, w) + d(w, v) 1 28

dla każdego v D x ; sprzeczność z faktem, że y jest punktem środkowym zbioru D. Przypuśćmy, że y jest punktem środkowym D dodanym przez operację S. Wtedy istnieje taka podprzestrzeń dyskretna Z [A(X δ+1, X δ )] κ, że d(y, w) = d(y, Z, w) dla każdego w A(X δ+1, X δ ) \ {y}, oraz Z D < κ dla każdego D ζ δ A(X ζ+1, X ζ ). Skoro r(x) δ + 1, to x X δ+1, a więc D x ζ δ A(X ζ+1, X ζ ). Zatem Z D x < κ, w szczególności Z D < κ, a więc istnieje v D \ Z. Wtedy 1 2 = d(y, v) = d(y, Z, v) = 1 + inf{d(z, v) : z Z}, 2 a więc inf{d(z, v) : z Z} = 0. Istnieje zatem takie z 0 Z, że d(v, z 0 ) < 1 2. Skoro v / Z oraz z 0 Z, to v z 0, a więc d(v, z 0 ) > 0. Jeszcze raz korzystając z równości inf{d(z, v) : z Z} = 0 otrzymujemy takie z 1 Z, że d(z 1, v) < d(z 0, v). Zatem z 0 oraz z 1 są różnymi elementami podprzestrzeni dyskretnej Z. Wtedy 1 = d(z, z ) d(z, v) + d(z, v) < 1; sprzeczność. Lemat 5.4. Załóżmy, że x, y X κ + oraz y jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni D [D x ] κ dodanym przez operację F. Wtedy dla każdego ε > 0 istnieją takie D [D] κ oraz słaby punkt środkowy y podprzestrzeni D, że d(y, y ) + d(y, D ) < d(y, D) + ε i (i) r(y ) r(y) oraz y jest punktem dodanym przez operację S, lub (ii) r(y ) < r(y) oraz y jest punktem dodanym przez operację F. Dowód. Skoro punkt y został dodany przez operację F, to istnieje takie β < κ + oraz Z [T ] <κ, że y X β+2 \ T, gdzie T = S(A(X β+1, X β ), δ β A(X δ+1, X δ )) oraz d(y, t) = d(y, Z, t) dla każdego t T. Z lematu 5.3 wynika, że r(x) < r(y), a więc D x T. Na mocy lematu 3.3 otrzymujemy taki słaby punkt środkowy y T pewnej podprzestrzeni D [D] κ, że d(y, y ) + d(y, D ) < d(y, D) + ε. Zauważmy, że r(y ) 29

r(y), a więc jeśli y jest punktem dodanym przez operację S, to dowód jest zakończony. Załóżmy więc, że punkt y nie został dodany przez operację S. Na mocy lematu 5.3 punkt y został dodany przez operację F, zatem wystarczy pokazać, że r(y ) < r(y). Każdy punkt przestrzeni T został dodany przez operację S lub A bądź też jest elementem podprzestrzeni X β+1. Skoro y T oraz punkt y nie został dodany ani przez operację S ani przez operację A, to y X β+1. Stąd r(y ) β + 1 < r(y). Lemat 5.5. Jeśli x, y X κ + są różnymi punktami dodanymi przez operację S, to d(x, y) 1 2. Dowód. Załóżmy, że x T α oraz y T β, gdzie α β oraz T ξ = S(A(X ξ+1, X ξ ), δ ξ A(X δ+1, X δ )) \ A(X ξ+1, X ξ ) dla ξ {α, β}. Punkt y został dodany przez operację S, a więc na mocy własności (S2) istnieje takie Z [A(X β+1, X β )] κ, że d(y, w) = 1 + inf{d(z, w) : z Z} 2 dla każdego w T β \ {y}. Skoro T α T β, to d(x, y) 1 2. Lemat 5.6. Załóżmy, że x, y X κ + oraz y jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni D [D x ] κ. Wtedy dla każdego ε > 0 istnieje taka podprzestrzeń D [D] κ i jej słaby punkt środkowy y dodany przez operację S, że d(y, y ) + d(y, D ) < d(y, D) + ε. Dowód. Ustalmy ε > 0. Niech α, δ 0 < κ + będą takie, że r(x) = α + 2 oraz r(y) = δ 0 + 2. Z lematu 5.3 wynika, że α < δ 0. Przyjmijmy z 0 = y, D 0 = D, r(y) = δ 0 + 2 oraz załóżmy, że istnieją takie z 0,..., z n, D n... D 0, δ 0 >... > δ n > α, że dla każdego i n zachodzą warunki: (i) z i jest słabym punktem środkowym D i, (ii) d(z i 1, z i ) + d(z i, D i ) < d(z i 1, D i 1 ) + ε/2 (i+3) dla i > 0, (iii) D i [D x ] κ, (iv) z i X δi +2 \ A(X δi +1, X δi ). 30