r. akad. 01/013 wykład III-IV Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Mechanika kwantowa Zakład Zakład Biofizyki Biofizyki 1
Falowa natura materii Zarówno fale elektromagnetyczne (fotony) jaki i elektrony lub inne obiekty mikroświata, w jednych zjawiskach mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka tzn. wykazują zarówno własności falowe jak i korpuskularne λ X Doświadczenie Thomsona: dyfrakcja elektronów na cienkiej folii polikrystalicznej Doświadczenie Davissona-Germera: falowe własności elektronów Doświadczenie Sterna: dyfrakcja atomów wodoru i helu na kryształach fluorku litu i chlorku sodu Zakład Biofizyki
Równanie de Broglie a i Einsteina Poniższe równania wiążą cechy falowe z korpuskularnymi: E f =hν E f =m f c hv= m f c równanie de Broglie a wiąże długość fali z pędem Zakład Biofizyki 3
Zasada komplementarności cechy falowe i korpuskularne uzupełniają się wzajemnie, dając pełny opis danego obiektu w danym pomiarze stosuje się tylko jeden model, zatem w tych samych warunkach nie można stosować obu modeli dany obiekt fizyczny, rejestrowany w wyniku pewnego rodzaju oddziaływania, zachowuje się jak cząstka w tym sensie, że jest zlokalizowany (posiada określoną wielkość, kształt i masę), natomiast kiedy porusza się zachowuje się jak fala, która nie jest zlokalizowana, lecz rozciąga się w przestrzeni Zakład Biofizyki 4
Zasada nieokreśloności (Zasada nieoznaczoności Heisenberga) Nie można z dowolnie dużą dokładnością określić obu wielkości występujących w równaniu tj. pędu i położenia lub energii i czasu; iloczyn nieokreśloności obu wielkości nie może być mniejszy odħ/ (ħ h/π) p h jest ona wynikiem dwoistości materii mało istotna w makroskali υ h m E t h Ze wzrostem masy nieoznaczoność staje się mniejsza; dla ciał makroskopowych nieoznaczoność zanika i zarówno położenie jak i prędkość ciała mogą być określone dokładnie ħ Zakład Biofizyki 5
Zasada nieokreśloności cd.: bardzo ważna dla rozważania cząstek elementarnych Doświadczenie Bohra wyznaczanie położenia elektronu Aby zaobserwować elektron należy go oświetlić. Fotony oddziałują z cząstką powodując jej odrzut w wyniku zjawiska Comptona Zasada nieoznaczoności odnosi się do samego procesu pomiaru i wyraża fakt,że pomiędzy obserwatorem a obiektem istnieje zawsze pewne oddziaływanie. Nie ma sposobu na uniknięcie tego oddziaływania lub na uwzględnienie go przed pomiarem. Zakład Biofizyki 6
Paczki fal Fala materii związana z poruszającym się elektronem składa się z nieskończonych ciągów falowych. Amplituda takiej fali jest modulowana tak, że różni się od zera tylko w obszarze przestrzeni w pobliżu cząstki, której ruch opisuje. Fala materii ma więc postać grupy fal (paczek fal) poruszających się z tą samą prędkością co rozważana cząstka. ω ( ω ) / 1 + ω ω ( ω ω1) / S ( t) = cos( ω + ω) t + cos( ω ω) t korzystając ze związku otrzymamy A B A+ cos A + cos B = cos( )cos( S( t) = cos( ωt)cosω t = A( t) cosωt B ) gdzie A( t) = cos( ωt) funkcja modulująca (obwiednia) Zakład Biofizyki 7
Paczki fal- prędkość grupowa Prędkość paczki fal lub funkcji modulującej nazywa się prędkością grupową Fala będąca sumą dwóch fal o zbliżonych długościach fali: y(, t) = cos[( ω + ω) t ( k + k) ] + cos[( ω ω) t ( k + k) ] gdzie korzystając ze związku otrzymamy k funkcja modulująca ( ω t k ) = 0 = π / λ A B A+ cos A + cos B = cos( )cos( y(, t) = cos[( ω) t ( k) ]cos( ωt k) A(, t) = cos[( ωt ( k) ] osiąga maksimum gdy lub, gdy średnia liczba falowa = ω k Zakład Biofizyki 8 t dω υ g = prędkość grupowa dk B )
Paczki fal- prędkość grupowa Ze związku de Broglie a wynika, że dla wszystkich cząstek p = h π h h = k = hk gdzie h = π λ π π k = π λ E = hf =h πf = hω Podstawiając powyższe równania do otrzymamy E = p / m ( hk) h ω = dω hk p różniczkujemy po k = = = υ m dk m m υ = υ g Oznacza to, że prędkość grupy fal materii jest równa prędkości cząstki, której ruch opisuje. Zakład Biofizyki 9
Funkcja falowa własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje funkcja falowa Ψ. Jest to w ogólnym przypadku zespolona funkcja współrzędnych przestrzennych oraz czasu:ψ(,y,z,t) funkcja falowa opisuje prawdopodobieństwo, że jeśli pomiar nastąpił w chwili t to cząstka znajduje się pomiędzy i +d. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki określa kwadrat modułu funkcji falowej Ψ Ψ = Ψ Funkcja gęstości prawdopodobieństwa napotkania elektronu atomu wodoru dla pierwszych liczb kwantowych n=1,,3, z l=0,1, Zakład Biofizyki 10
Funkcja falowa cd.: Ψ = p / V wielkość nazywamy gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element objętości V wielkość V Ψ dv = p gdzie V jest małą objętością w przestrzeni, jest równa prawdopodobieństwu znalezienia cząstki w chwili t w objętości V prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajduje się gdziekolwiek w przestrzeni wynosi 1. Ψ dv = 1 Warunek powyższy nosi nazwę warunku normalizacji a funkcję Ψ spełniającą ten warunek nazywamy funkcją unormowaną Zakład Biofizyki 11
Równanie Schrödingera Funkcję falową Ψ dla danej cząstki otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane równaniem Schrödingera. Równanie nazywamy stacjonarnym, jeśli energia potencjalna cząstki nie zależy od czasu. d Ψ d = m h [ E U ( )] Ψ Erwin SCHRÖDINGER (1887 1961), fizyk austriacki Rozwiązaniem tego równania jest możliwe tylko dla pewnych wartości energii E n, które nazywamy wartościami własnymi, a odpowiadające funkcjeψ n nazywamy funkcjami własnymi. Zakład Biofizyki 1
Przejście cząstek przez bariery potencjału Rozpraszanie cząstki próg potencjału I E U U o I I KLASYCZNIE 0 Cząstka o energii E poruszająca się w obszarze <0 dozna działania opóźniającej siły w punkcie =0. Działanie to spowolni cząstkę (wyhamuje) i wejdzie ona w obszar >0. Jej całkowita energia pozostanie stała.: Zakład Biofizyki 13
Przejście cząstek przez bariery potencjału KWANTOWO Rozpraszanie cząstki próg potencjału I U II E<U o U o Obszar I 0 Rozwiązanie równania ma postać padającej i odbitej fali de Broglie a Obszar II h d m d Rozwiązanie równania ma postać Ψ( ) + U Ψ( ) = EΨ( ) o Ψ1( ik1 ik1 ) = Ae Be gdzie A amplituda fali padającej, B amplituda fali odbitej Ψ ) ik ik ( = Ce De gdzie Zakład Biofizyki 14
Przejście cząstek przez bariery potencjału KWANTOWO Rozpraszanie cząstki próg potencjału I U II E<U o U o 0 Współczynnik odbicia Dla E<U o wszystkie cząstki zostają odbite od bariery potencjalnej w postaci schodka Zakład Biofizyki 15
Przejście cząstek przez bariery potencjału KWANTOWO Rozpraszanie cząstki próg potencjału I U II E>U o U o Obszar I 0 Rozwiązanie równania ma postać padającej i odbitej fali de Broglie a Obszar II h d m d Rozwiązanie równania ma postać Ψ( ) + U Ψ( ) = EΨ( ) o Ψ1( ik1 ik1 ) = Ae Be gdzie A amplituda fali padającej, B amplituda fali odbitej Ψ ) ik ik ( = Ce De gdzie Jeżeli cząstka pada na barierę potencjału z lewej strony (z obszaru 1, to nie ma w obszarze II źródeł rozpraszania stąd należy przyjąć D=0 Zakład Biofizyki 16
Przejście cząstek przez bariery potencjału KWANTOWO Rozpraszanie cząstki próg potencjału I U II E>U o U o 0 Współczynnik odbicia Współczynnik przejścia Zakład Biofizyki 17
Przejście cząstek przez bariery potencjału KWANTOWO Bariera potencjału o skończonej szerokości I U II III U o Obszar I 0 L Obszar II Obszar III h d m d Ψ( ) + U Ψ( ) = EΨ( ) o Zakład Biofizyki 18
Cząstka w jamie (studni) potencjału Jeśli energia potencjalna jest równa zeru w obszarze [0,L] a poza nim U 0. (U 0 ) to taki kształt energii nazywamy jamą (studnią) potencjału. Równanie Schrödingera ma w tym wypadku postać (U()=0) h m d d Ψ( ) = EΨ( ) Zakład Biofizyki 19
Cząstka w jamie (studni) potencjału Funkcja falowa cząstki jest superpozycją fali rozchodzącej się w prawo i w lewo. Ψ( ) = Be korzystając z ik Be sin k ik e = ik B( e e i ik ik e ik = otrzymamy Ψ( ) = Asin k Funkcja Ψ() misi spełniać warunki brzegowe: ( 0) = 0 Ψ ( L) = O kl = nπ k = n π n L W studni potencjału powinna mieścić się całkowita liczba połówek fal Ψn ( ) = Asin( nπ / L) ) A = Bi Ψ( L) = Ψ 0 oraz 1 L = n( λ ) dla n=1,,3, Zakład Biofizyki 0
Cząstka w jamie (studni) potencjału cd.: Odpowiadające tym funkcjom pędy: p n = hk n πh = n L Tym wartościom pędu odpowiadają następujące energie kinetyczne: E n = pn m π E n = n ml h Najmniejsza wartość energii wynosiπ ħ /(ml ) (dla n=1) nosi nazwę energii zerowej a odpowiadająca tej energii funkcja falowa jest dokładnie polówką fali sinusoidalnej Zakład Biofizyki 1
Studnia potencjału o skończonej głębokości Poziomy energetyczne oraz trzy fale stojące najniższego rzędu (odpowiadające energiom E 1, E, E 3 ) dla elektronu w studni potencjału o szerokości 10-10 m. Linia ciągła-poziomy studni potencjału o głębokości 800eV; linia przerywana-nieskończenie głęboka studnia potencjału Zakład Biofizyki
Oscylator harmoniczny klasycznie oscylatorem harmonicznym nazywamy cząstkę o masie m wykonującą jednowymiarowy ruch pod wpływem sprężystej siły F=-k, gdzie k jest współczynnikiem sprężystości w ujęciu klasycznym energia potencjalna takiej cząstki wynosi U() = = w mechanice kwantowej zagadnienie oscylatora harmonicznego rozwiązujemy równaniem Schrödingera; jako energię potencjalną wstawiamy U() = mωkl d kl Ψ d Proponowane rozwiązanie d Ψ d m = (E h Ψ() = ae = e a 1 mω Zakład Biofizyki 3 a + 4a e )Ψ a k mω
Oscylator harmoniczny ( a + 4a )e a = m h (E 1 mω kl )e a Porównujemy współczynniki przy 4a m ωkl m = a = h h ωkl a me = h Porównujemy wyrazy stałe wówczas Ψ 1 ( ) = e ( mω / h) kl 1 E = hω kl Fala następnego rzędu ma postać: Ψ ( ) = e ( mω / h) kl Z energią własną: Zakład Biofizyki 4 E = 3 hω kl
Oscylator harmoniczny Różnica pomiędzy dwoma przyległymi poziomami wynosi E E 1 = hω Uogólniając, wzór na wartości własne ma postać: E n = ( n 1 )hωkl W fizyce klasycznej energia cząstki może mieć każda wartość nie wyłączając zera. W teorii kwantowej możliwe są tylko dozwolone wartości energii Zakład Biofizyki 5
Zastosowania Reakcja fuzji termojądrowej, jądra deuteru i trytu łączą się, powstaje jądro helu, neutron i wydzielana jest energia Fuzja jądrowa będąca źródłem energii Słońca zachodzi w dużym stopniu dzięki zjawisku tunelowemu. Zjawisko to umożliwia pokonanie bariery odpychania kulombowskiego jąder atomów w temperaturze niższej, niż wynikałoby to z praw termodynamiki. Efekt tunelowy stwarza również nadzieje na obniżenie temperatury fuzji przeprowadzanej w sposób kontrolowany. Źródło: Wikipedia Zakład Biofizyki 6
Dzięki zjawisku tunelowemu następuje emisja cząstek α w procesie rozpadu promieniotwórczego masywnych jąder atomowych. Zastosowania Rozpad α Źródło: www.libray.thinkquest.org Zakład Biofizyki 7
Zastosowania We współczesnej technice na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie wielu półprzewodnikowych elementów elektronicznych (np. dioda tunelowa) oraz urządzeń takich jak skaningowy mikroskop tunelowy. DIODA DIODA TUNELOWA Źródło: www.marekwierzbicki.cba.pl Zakład Biofizyki 8