Podstawy teoretyczne na egzamin z MMFiA II. Bartłomiej Dębski 14 lutego 2010 Streszczenie Oddaję w ręce Czytelników krótki przegląd zagadnień omawianych w ramach egzaminu z MMFiA II. Znajdują się tutaj podstawy podstaw, czyli rzeczy, które koniecznie trzeba zrozumieć, by zdać egzamin oraz odnaleźć się w tematyce przyszłych kursów. W poniższym skrypcie znajduje się skrócone omówienie rozmaitości różniczkowej. Zaznaczam, że poniższy skrypt jest jedynie namiastką tego, co można znaleźć w wykładach prof. Sokołowskiego, które pomimo że wyglądają na trudniejsze, są bardzo przystępne. E-mail: alganonim@byk.oa.uj.edu.pl 1
1 Co to jest rozmaitość różniczkowa? Aby określić poprawnie czym jest rozmaitość różniczkowa, trzeba zacząć od zdefiniowania kilku niższych struktur koniecznych do poprawnej definicji samej rozmaitości. Wyjdziemy od jakiegoś zbioru punktów, czyli przestrzeni M. Przestrzeń tą będziemy sukcesywnie polepszać aż do uzyskania z niej rozmaitości różniczkowej. Wprowadzę też od razu rodzinę zbiorów U α należących do M i pokrywających całą przestrzeń M. Znaczy to tyle, że przestrzeń M jest sumą mnogościową zbiorów należących do rzeczonej rodziny: M = α U α α jest numerem danego zbioru (zbiorów jest ILEŚ, a ILEŚ to jakaś liczba, więc skoro zbiory są ułożone w kolejności, jak to ma się w rodzinach, to α jest właśnie ich numerkiem). 1.1 Mapa Mapa (U α, ϕ α ) - struktura algebraiczna będąca parą: U α - pewnego dowolnego zbioru należącego do rodziny zbiorów pokrywających przestrzeń M. Innymi słowy: Dziedzina mapy. ϕ α - bijektywnego odwzorowania zbioru U α na otwarty zbiór V α R n. Czyli: Układ współrzędnych na zadanej mapie. Przy czym: V α = ϕ α (U α ) R n - obraz obszaru U α na mapie (U α, ϕ α ). ϕ α (p) = (x 1, x 2,..., x n ) - współrzędne punktu p U α (U α, ϕ α ). na mapie Uwaga! Fakt, że V α R n jest zbiorem otwartym oraz, że ϕ α jest bijekcją implikuje, że U α też jest zbiorem otwartym (!!!). Przez powyższe przestrzeń M staje się przestrzenią topologiczną, a U α jest pokryciem otwartym tej przestrzeni. Ponieważ ϕ α ϕ 1 α przeprowadzają zbiór otwarty w zbiór otwarty, to są ciągłe (!). Wynika stąd, że funkcje ϕ α są homeomorfizmami U α w V α. 2
Co warto zapamiętać, transformacja współrzędnych to nic innego jak gładka zmiana odwzorowania ϕ α na ϕ β. Dwie mapy są zgodne, jeśli przejście z jednej mapy do drugiej dokonuje się za pomocą gładkiego dyfeomorfizmu odpowiednich obszarów w R n. Innymi słowy, aby dwie mapy były zgodne, to musi być spełnione co następuje: - Jest sobie pewna część wspólna zbiorów U α oraz U β, czyli U α U β. - W mapie pierwszej (alfowej) ten wspólny obszar transformowany jest za pomoca odwzorowania ϕ α do jakiegoś otwartego podzbioru należącego do V α R n. Ten podzbiór to nic innego jak: ϕ α (U α U β ). - W mapie drugiej (betowej) zachodzi podobna sytuacja, tj. część wspólna zbiorów U α oraz U β odwzorowywana jest na R n w jakimś otwartym podzbiorze zbioru V β R n przez odwzorowanie ϕ β. Tym sposobem, w drugiej mapie powstaje obraz ϕ β (U α U β ) V β R n. - Aby mapy były zgodne, musi istnieć przejście pomiędzy układami współrzędnych (i vice versa), czyli musi istnieć gładki dyfeomorfizm pomiędzy obrazami: ϕ α (U α U β ) V α R n oraz ϕ β (U α U β ) V β R n. - Konstruuje się w tym celu odwzorowania odwrotne do ϕ α oraz ϕ β, odpowiednio: ϕ 1 α i ϕ 1 β. Przeprowadza się obraz z V α = ϕ α (U α U β ) do V β = ϕ β (U α U β ) R n najpierw cofając się z tego pierwszego do U α U β za pomocą ϕ 1 α oraz wychodząc stąd do obrazu drugiej mapy za pomocą ϕ β. - Aby mapy były zgodne, to przejścia te (będące przecież złożeniami odpowiednich funkcji i odwrotnosci innych funkcji) powinny być dyfeomorfizmami. Inaczej nie będzie możliwa zmiana współrzędnych! 1.2 Atlas Gładkim atlasem na M nazywamy zbiór A składający się z map zgodnych, które pokrywają całą przestrzeń M. (czyli: ileśtam map zgodnych - każda zgodna z każdą - i one łącznie wypełniają całą przestrzeń M. Nie ma ani jednego punktu, który należy do M, takiego żeby nie należał do jakiegoś zbioru U wchodzącego w skład którejś z map). 3
Atlas przeliczalny to taki atlas, który składa się z przeliczalnej ilości map. (Przypomnienie: przeliczalność oznacza, że wszystkim mapom tego atlasu można przyporządkować kolejne liczby naturalne. W ten sposób można przeliczyć mapy). Tutaj uwaga: Przestrzeń M zawsze da się pokryć przeliczalną ilością map zgodnych, więc jakiś atlas przeliczalny na pewno będzie istniał. Dwa atlasy są równoważne, gdy każda mapa z jednego atlasu jest zgodna z każdą mapą z drugiego atlasu. Uwaga! - Suma takich atlasów jest nowym atlasem. Logiczne. Atlas maksymalny A m to atlas, który zawiera wszystkie mapy zgodne z mapami jednego, wybranego atlasu (ten wybrany atlas będzie zwany wtedy maksymalnym). Do atlasu maksymalnego nie można już dołączyć żadnej nowej mapy tak, aby nie naruszała ona zgodności z mapami tego atlasu. Atlas maksymalny posiada po prostu wszystkie mapy, które są ze sobą zgodne i przy okazji pokrywają całą przestrzeń M. Znalazłeś mapę, która należy do M oraz jest zgodna z mapami należącymi do atlasu maksymalnego? No to ta mapa już należy to tego atlasu, sorry. A m zawiera nieprzeliczalną ilość map. Zadaje przez to gładką strukturę rózniczkową na M. 1.3 Rozmaitość różniczkowa Rozmaitość różniczkowa to taka struktura algebraiczna, która składa się z pary (M, A m ), przy czym M jest zbiorem, na którym operujemy, a A m jest atlasem maksymalnych określonym na tym zbiorze M. Wymiar przestrzeni M to wymiar przestrzeni R n, na której określone są obrazy map z tej przestrzeni M. Więc: DimM = DimR n = n Definicja rozmaitości różniczkowej zawiera w sobie JAKIŚ atlas maksymalny na M. Daje to więc dowolność w ilości takich atlasów maksymalnych, które sa sobie nierównoważne. Nie ma bowiem ograniczenia na ilość atlasów maksymalnych, których mapy są sobie wzajemnie niezgodne. Ze zbioru takich atlasów maksymalnych wybieramy jeden atlas maksymalny A m, który definiuje dla nas naturalną (kanoniczną) strukturę różniczkową na M. przykłady rozmaitości gładkich są szeroko opisane w wykładach prof. Sokołowskiego. Polecam sobie 4
je przeglądnąć, bo możecie natrafić na pytanie np: czy przestrzeń M, która składa się z tylko dwóch punktów, może stać się rozmaitością różniczkową. (Aby poprawnie odpowiedzieć na takiego typu pytania trzeba przeanalizować powstawanie map, obrazów map, atlasów, etc...). 5