Zadaa z rachuku prawdopodobeństwa Dzesęć osób zajmuje mejsca przy okrągłym stole. Oblczyć prawdopodobeństwo tego, że osoby A B będą sedzeć obok sebe. Jake będze prawdopodobeństwo tego samego zdarzea jeśl te osoby będą zajmować mejsca w jedym rzędze? (Odp 9, 5 Oblczyć czy jedakowe jest prawdopodobeństwo wygraa w loter zawerającej losów, spośród których jede wygrywa w loter zawerającej losów, spośród których dwa wygrywają, jeśl: a gracz kupuje jede los, b gracz kupuje dwa losy. (Odp a, b, ( Dwudzestoosobowa grupa studecka, w której jest 6 kobet otrzymała 5 bletów do teatru. Blety rozdzela sę drogą losowaa. Jake jest prawdopodobeństwo tego, że wśród posadaczy bletów 6 zajdą sę dokłade kobety? (Odp 5 0 Spośród 0 uczów do klasówk przygotowało sę 5. Jake jest prawdopodobeństwo, że przy losowym podzale klasy a dwe rówe grupy w każdej zajdze sę co ajmej jede uczeń 5 przygotoway do klasówk? (Odp. ( 0 0 0 5 Rzucamy razy kostką. Jake jest prawdopodobeństwo, że lczby wyrzucoych oczek tworzą 6 cąg ścśle rosący. (Odp. W 6 Wskazówka steje wzajema odpowedość pomędzy cągam mootoczym a zboram 6 Do tramwaju składającego sę z trzech wagoów wsada 9 pasażerów. Jake jest prawdopodobeństwo, że 9 6 9! ado każdego wagou wsądze po pasażerów (Odp. 9 9 W (! lub rozkład (dwuwelomaowy 5 9 5 5 5 9 9! bdo perwszego wagou wsądze pasażerów (Odp. 9 9 9 dwumaowy sukcesy w 9 próbach z p= 5 ( W 0 W W 5!5! lub rozkład 7 Dwe osoby rzucają kolejo moetą. Wygrywa ta osoba, która perwsza wyrzuc orła. Oblczyć prawdopodobeństwo wygraa dla obu graczy. (Odp. p p, 8 Trzy osoby rzucają kolejo moetą. Wygrywa ta osoba, która perwsza wyrzuc orła. Oblczyć prawdopodobeństwo wygraa dla wszystkch graczy. (Odp: p p 7, p 7, 7 9 W ure zajduje sę bałych m czarych kul. Dwaj gracze wycągają a zmaę po jedej kul, zwracając za każdym razem wycągętą kulę. Grę prowadz sę dotąd, dopók którykolwek z graczy e wycąge bałej kul. Oblczyć, że perwszy wycąge kulę bałą gracz m rozpoczyający grę. (Odp. p m 0 Dwaj strzelcy strzelają kolejo do celu aż do perwszego trafea. Prawdopodobeństwo trafea do celu przy jedym strzale dla perwszego strzelca wyos p a dla drugego p. Zaleźć prawdopodobeństwo, że perwszy strzelec będze strzelał wększą lość razy ż drug.(odp: P(A= p +(- p (- p p +(- p (- p p +...= p /(-(- p (- p.
Dwaj strzelcy strzelają rówocześe do celu aż do perwszego trafea (przez dowolego strzelca. Prawdopodobeństwo trafea do celu przy jedym strzale dla perwszego strzelca wyos p a dla drugego p. Zaleźć prawdopodobeństwa wygraa dla obu strzelców, prawdopodobeństwo remsu prawdopodobeństwo, że gra gdy sę e skończy.(odp: P(A=p (- p /(-(- p (- p ; P(B=(-p p /(-(- p (- p ; P(=p p /(-(- p (- p ; P(D=0. Zadae Baacha. Matematyk os przy sobe dwa pudełka zapałek po zapałek w każdym pudełku. Kedy potrzebuje o zapałk wybera losowo pudełko. Oblczyć prawdopodobeństwo, że gdy wyberze o puste pudełko w drugm będze r zapałek, gdze r=0,,...,. (Odp: r r Prawdopodobeństwo przekazaa sygału przez jede przekaźk jest p = 0.9. Przekaźk dzałają ezależe, tz. ezadzałae jedego z ch e ma wpływu a ezadzałae drugego. Oblczyć prawdopodobeństwo przekazaa sygału aprzy połączeu szeregowym dwu przekaźków, (Odp. p =0,8 bprzy połączeu rówoległym. (Odp. p-p =0,99 Zbadać który z układów przedstawoych a rysuku ma wększą ezawodość przy założeu, że przekaźk dzałają ezależe ezawodość każdego z ch jest p. 5 Po upływe pewego czasu T, każda komórka może zgąć, przeżyć albo podzelć sę a dwe, odpowedo z prawdopodobeństwam ¼, ¼, ½. Jake jest prawdopodobeństwo, że po upływe czasu T będą dwe komórk, gdy a początku była jeda komórka. 6 Przypuśćmy, że każda z pałek została złamaa a dwe częśc długą krótką. częśc połączoo w par z których utworzoo owe pałk. Zaleźć prawdopodobeństwo a że częśc zostaą połączoe w takch samych kombacjach, w jakch były przed złamaem, bże wszystke długe częśc będą połączoe z krótkm częścam. (Odp: P(A=, P(B= 7 Gracz X wymea lczbę z prawdopodobeństwem q albo z prawdopodobeństwem q. Podobe gracz Y mus wymeć jedą z tych lczb. Gdy suma będze eparzysta wygrywa gracz X a gdy parzysta wygrywa gracz Y. Jak gracz Y ma postępować by zapewć sobe ajwększe prawdopodobeństwo wygraej, jeżel za o wartość q? 8 Dwoje ludz wykouje po rzutów symetryczą moetą. Jake jest prawdopodobeństwo, że oboje otrzymają tyle samo orłów? (Odp: ( k k 0
9 W szafe jest 0 par butów. Wylosowuje sę buty. Zaleźć prawdopodobeństwo, że wśród ch 99 zajdze sę co ajmej jeda para. (Odp: przez zdarz. przecwe- możee prawd. lub losowae ajperw umerów par z 0 a astępe po jedym buce z każdej pary 0 0 0 W szafe jest par butów. Wyberamy z ch r (r< butów. Zaleźć prawdopodobeństwo, że wśród ch r r a e ma a jedej pary (Odp : r (losujemy r butów z lewych butów a każdy but możemy zostawć, lub wymeć a odpowadający mu prawy a r sposobów b zajdze sę dokłade jeda para. (Odp: r r r r sposobów a astępe losujemy ajperw umer pary a astępe z - par butów losujemy r- butów e do pary c zajdują sę dokłade pary (Odp: r r r losujemy ajperw umer par a astępe z - par butów losujemy r- butów e do pary Rzucoo 5 kośc do gry. Zaleźć prawdopodobeństwo, że przyajmej a trzech koścach odsłoą sę take same ścak. (Odp: 08 Zaleźć prawdopodobeństwo, że przy 5 rzutach moety orzeł odsło sę kolejo co ajmej razy. (Odp: Zaleźć prawdopodobeństwo, że przy 0 rzutach moety orzeł odsło sę kolejo co ajmej 5 razy. (Odp. 7 6 Rozwązać powyższe zadaa dla ser jedyek, gdy zamast moety użyto kośc do gry. (Odp: 8, 6? 6 5 Oblczyć prawdopodobeństwo, że przy welokrotym rzucau parą symetryczych kostek suma oczek 8 wypade przed suma oczek 7. 6 Telegrafcze przekazywae formacj odbywa sę metodą adawaa sygałów kropka, kreska. Statystycze właścwośc zakłóceń są take, że błędy występują przecęte w /5 przypadków przy adawau sygału kropka w / przypadków przy adawau sygału kreska. Wadomo, że ogóly stosuek lczby adawaych sygałów kropka do lczby sygałów kreska jest 5:. Oblczyć prawdopodobeństwo tego, że przy przyjmowau sygału a kropka, b kreska w rzeczywstośc te sygały zostały adae. 7 W przypadkowych mometach odcka [0,T] mogą adejść do odborka dwa sygały. Odbork zostaje uszkodzoy jeśl różca w czase pomędzy dwoma sygałam jest mejsza od t (t < T. Oblczyć prawdopodobeństwo uszkodzea odborka w cągu czasu T. 8 W koło o promeu R wpsao trójkąt rówoboczy. Jake jest prawdopodobeństwo, że dokłade spośród postawoych a chybł trafł w daym kole puktów będą leżały wewątrz trójkąta. Jaka jest ajbardzej prawdopodoba lczba tych puktów wewątrz trójkąta?
9 Oblczyć prawdopodobeństwo, że suma dwóch losowo wybraych ułamków właścwych (dodatch lub ujemych jest mejsza od a wartość bezwzględa ch różcy jest mejsza ż /. 0 Oblczyć prawdopodobeństwo, że perwastk rówaa x +ax + b= 0 są rzeczywste dodate, jeżel (a,b jest losowo wybraym puktem prostokąta {(a,b: a <, b < }. Na płaszczyźe poprowadzoo proste rówoległe odległe a przema o. Na płaszczyzę rzucoo losowo moetę o średcy. Jake jest prawdopodobeństwo tego, że moeta e będze mała puktów wspólych z żadą z prostych. Kawałek drutu o długośc 0 cm zgęto pod kątem prostym w przypadkowo wzętym pukce. Następe zgęto drut jeszcze w dwóch puktach, tak by utworzyła sę ramka prostokąta o obwodze 0 cm. Jake jest prawdopodobeństwo, że pole ramk e przekroczy cm? Zadae Buffoa. Płaszczyzę podzeloo prostym rówoległym odległym o a. Na płaszczyzę tę rzucamy w sposób przypadkowy odcek o długośc l<a. Jake jest prawdopodobeństwo, że odcek przete jedą z prostych? Pa X pa Y dąc z domu do bura mają do przebyca pewe wspóly odcek drog AB z tym, że przebywają go w przecwych kerukach. Pa X przybywa do puktu A zaś pa Y do B w przypadkowym momece czasu pomędzy godzą 7 0 7 5 dze ze stałą prędkoścą. Każda z pań przechodz odcek AB w cągu 5 m. Oblczyć prawdopodobeństwo spotkaa sę pań X Y. 5 Odcek o długośc 0 cm został podzeloy w sposób losowy a częśc. Oblczyć prawdopodobeństwo, że z tych częśc moża zbudować trójkąt. 6 Pukt X został wybray losowo z odcka AB. Pokazać że a prawdopodobeństwo że loraz AX /BX jest mejszy ż a (a>0 jest rówe a/(+a b prawdopodobeństwo zdarzea stosuek długośc krótszej częśc do dłuższej jest mejszy ż / jest rówe /. 7 Nech X będze losowo wybraym puktem z odcka (0,. Oblczyć prawdopodobeństwo że perwastk rówaa x +X x +X +=0 są rzeczywste. 8 Nech X, Y, Z będą losowo wybraym puktam z przedzału (0,. Jake jest prawdopodobeństwo, że perwastk rówaa Xa +Ya+Z=0 są rzeczywste. 9 Wadomo, że P(A=0.9 P(B=0.8. Wykazać, że P(A B0.875 0 Test medyczy wykrywa zachorowae z prawdopodobeństwem 90%, ale też u zdrowych wskazuje o (błęde a chorobę w 0.5% przypadków. Faktyczy udzał chorych w populacj
wyos 0.08%. Jake jest prawdopodobeństwo, że badaa osoba jest faktycze zdrowa, choć test medyczy wskazuje, że jest oa chora? Na pętastu kartkach egzamacyjych zajdują sę po dwa pytaa, które e powtarzają sę. Studet jest w stae odpowedzeć tylko a 5 pytań. Oblczyć prawdopodobeństwo zdaa egzamu, jeżel wystarczy odpowedzeć a dwa pytaa z jedej kartk lub a jedo pytae z perwszej kartk wskazae pytae z drugej kartk. Studet ma do przygotowaa a egzam tematów. Z tego opracował jedye 5 tematów. W czase egzamu losuje tematy. W przypadku odpowedz a wszystke pytaa otrzymuje pątkę. W przypadku gdy odpowe tylko a pytaa losuje z pozostałych tematów trzy dalsze tematy gdy odpowe a wszystke pytaa otrzymuje czwórkę, gdy zaś odpowe a pytaa otrzymuje trójkę. We wszystkch pozostałych przypadkach otrzymuje oceę edostateczą. Oblczyć prawdopodobeństwo, że tak przygotoway studet otrzyma : a pątkę, b czwórkę, c trójkę d dwójkę. Wadomo, że 96% produkcj jest zgode ze stadardem. Uproszczoy schemat kotrol jakośc przepuszcza przedmoty dobre z prawdopodobeństwem 0.98 a przedmot wadlwy z prawdopodobeństwem 0.05. Oblczyć prawdopodobeństwo, że przedmot, który uproszczoa kotrola jakośc przepuścła, jest zgody ze stadardem. Prawdopodobeństwo trafea do celu przy każdym strzale dla trzech strzelców są odpowedo rówe /5, /, /. Wszyscy trzej strzelcy rówocześe strzell do celu dwóch z ch trafło do celu. Oblczyć prawdopodobeństwo, że chybł trzec strzelec. 5 Z prętów w kształce walca o średcy r zbudowao kratę o oczku w kształce prostokąta o wymarach a, b (merzoych od os prętów. Jake jest prawdopodobeństwo trafea w kratę kulką o średcy d dostatecze małej w stosuku do oczka kraty, przyajmej raz w trzech próbach, jeżel trajektora lotu jest prostopadła do płaszczyzy kraty. 6 Gracz X wymea lczbę z prawdopodobeństwem q albo z prawdopodobeństwem q. Podobe gracz Y mus wymeć jedą z tych lczb. Gdy suma będze eparzysta wygrywa gracz X a gdy parzysta wygrywa gracz Y. Jak gracz Y ma postępować by zapewć sobe ajwększe prawdopodobeństwo wygraej, jeżel za o wartość q? 7 Zmea losowa X ma rozkład prawdopodobeństwa postac: x - - 5 p 0. 0. 0.5 0. Wyzaczyć rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej U, jeśl: U = X +, b U = X, c U = X - 5. 5
8 Wyzaczyć wartość oczekwaą, medaę, kwatyl x 0., warację, odchylee stadardowe, odchylee przecęte, współczyk zmeośc, drug trzec momet zwykły, trzec momet cetraly, współczyk asymetr zmeej losowej X. 9 Zmea losowa X ma rozkład: x - - 5 p 0. 0. 0. 0. Wyzaczyć dwoma sposobam wartość oczekwaą warację zmeej losowej U=X- a zajdując ajperw rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej U oraz b korzystając z odpowedch własośc wartośc oczekwaej waracj. 50 Wyzaczyć stałą a tak, aby fukcja 0 F( x ( x dla dla dla x x a x a była dystrybuatą cągłej zmeej losowej X. Oblczyć P(- X.5 zterpretować je za pomocą wykresu fukcj gęstośc. 5 Wykazać, że fukcja P : (R [0, zdefowaa wzorem : P( A A [0,, A [0, A [0, A [0, 6 gdy A A,,, gdy A A gdy A A gdy A A jest rozkładem prawdopodobeństwa a prostej R. Wyzaczyć dystrybuatę tego rozkładu. 5 Udowodć, że fukcja F: R [0,] zadaa wzorem F x 0, gdy x ( x, (, gdy x 0 x, gdy 0 x gdy x jest dystrybuatą pewego rozkładu prawdopodobeństwa a prostej R. Wyzaczyć fukcję prawdopodobeństwa częśc dyskretej gęstośc cągłej tego rozkładu. 5 Udowodć że fukcja F: R [0,] zadaa wzorem e ( F x x,, x, gdy x 0 gdy 0 x gdy x 6
jest dystrybuatą pewego rozkładu prawdopodobeństwa P a prostej R. Wyzaczyć fukcję prawdopodobeństwa częśc dyskretej gęstość częśc cągłej tego rozkładu. Oblczyć P ( [-,/ oraz P ((-/,. 5 Ampltuda X kołysaa boczego (wokół os podłużej statku jest zmeą losową o gęstośc x prawdopodobeństwa f ( x e, x 0. Zaleźć wartość oczekwaą warację zmeej X x losowej X. Oblczyć, czy jedakowo często występują ampltudy wększe ampltudy mejsze ż E(X. 55 Prawdopodobeństwo wykryca awar przewodów w cągu czasu e wększego ż t jest t p( t e, > 0. Oblczyć wartość oczekwaą warację czasu T potrzebego a wykryce awar. 56 Pukt materaly M porusza sę ze stałą prędkoścą po okręgu o promeu r. Nech P będze ustaloym puktem okręgu a X odległoścą puktu M od puktu P. Zaleźć E(X V(X. 57 Prędkość X cząsteczek gazu ma rozkład (Maxwella o gęstośc prawdopodobeństwa f(x = x e h x, x 0, h - ustaloe. Wyzaczyć stałą oraz E(X V(X. 58 Prędkość X cząsteczek gazu ma rozkład (Maxwella o gęstośc prawdopodobeństwa f ( x x mx x e, x 0. Wyzaczyć rozkład eerg ketyczej Y oraz E(Y V(Y. 59 Wyrazć momet cetraly k przez momety zwykłe momet zwyczajy m k przez momety cetrale przez wartość oczekwaą m. 60 Przez pukt (0, poprowadzoo prostą w losowo wybraym keruku. Zaleźć rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej X będącej odcętą puktu przecęca tej prostej z osą OX. 6 Zmea losowa X ma rozkład jedostajy a przedzale (-,. Wyzaczyć rozkład zmeej losowej Y= s X. 6 Zmea losowa X ma rozkład z rosącą cągłą dystrybuatą F X (x. Zaleźć rozkład zmeej losowej Y= F X (X. 6 Nech X ozacza czas oczekwaa a perwszy sukces w eskończoym cągu ezależych prób Beroullego z prawdopodobeństwem sukcesu p. Zaleźć rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej X oraz wyzaczyć E(X V(X. 6 Prawdopodobeństwo tego, że dorosły owad zese k jajeczek jest dae przez rozkład Possoa o parametrze.prawdopodobeństwo tego, że z jajeczka rozwe sę dorosły owad, wyos p. Oblczyć prawdopodobeństwo, że owad ma dokłade k dorosłych potomków, k=0,,,...(odp: Rozkład lczby potomków jest rozkładem Possoa z parametrem p. 7
65 Kruper rzuca symetryczą moetą do chwl, gdy wypade orzeł. Gdy orzeł wypade w k-tym rzuce, kruper wypłaca k złotych, ale gdy orzeł e wypade po sześcu rzutach gracz płac s złotych gra sę kończy. Ile powa wyosć opłata s aby gra była sprawedlwa? 66 Rzucamy razy symetryczą kostką do gry. Jeżel wypade k razy parzysta lczba oczek, to wygrywamy k złotych, gdze k=0,,,. Ile powa wyosć opłata za grę, aby gra była sprawedlwa, tz. wartość oczekwaa wygraej była rówa zeru. 67 Automat ustawoy a pozycj produkuje wałk, których średca ma rozkład ormaly N(, gdze =0.05. Wałek uważa sę za dobry, gdy jego średca X meśc sę w przedzale (0.5, 0.5. Jak powe być ustawoy automat, aby prawdopodobeństwo wyprodukowaa braku było ajmejsze? Jak procetowo udzał w całej produkcj będą mały brak aprawale (X>0.5, a jak e aprawale (X<0.5, jeżel automat ustawoo pomyłkowo a pozycj =0.. 68 Wyzaczyć dystrybuatę rozkładu jedostajego w: a trójkące T := { (x,y R 0 x, y -x }, b trójkące T := { (x,y R 0 x, -x y } 69 Zmee losowe X Y są ezależe mają te sam rozkład jedostajy a przedzale (0,. Zaleźć rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej Z=X+Y. Zaleźć E(Z V(Z. 70 Zmee losowe X Y są ezależe mają te sam rozkład N(0,. Zaleźć rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej Z= X Y. Zaleźć E(Z V(Z. 7 Wyzaczyć rozkład lorazu dwóch ezależych zmeych losowych o rozkładze N(0,. 7 Nech (X,Y będze dwuwymarową zmeą losową o rozkładze ormalym N(0,0,,,. Wykazać, że zmea Z=Y/X ma rozkład o fukcj gęstośc f ( z ( zz 7 Wykazać, że zmea losowa U X ma rozkład jedostajy a przedzale [0,], gdy X Y są X Y ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze wykładczym. 7 Zmea (X,Y ma rozkład o fukcj gęstośc f(x,y=x+y, 0x, 0y Wyzaczyć rozkłady zmeych a X+Y, b X-Y, c XY, d Y/X. (Rohatg str86 75 Zmee losowe X,...,X są ezależe mają te sam rozkład o dystrybuace F X. Zaleźć rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej Y=max(X,...,X. 76 Zmee losowe X,...,X są ezależe mają te sam rozkład o dystrybuace F X. Zaleźć rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej Y=m(X,...,X.. 8
77 Dwuwymarowa zmea losowa (X,Y ma rozkład o fukcj gęstośc f(x,y=cxy, dla 0xy. Wyzaczyć: a stałą c, b współczyk korelacj (X,Y zmeych X Y. zy zmee X Y są ezależe? c lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X (wykres, d prostą regresj drugego rodzaju zmeej Y względem X (wykres. 78 Dwuwymarowa zmea losowa (X,Y ma rozkład o fukcj gęstośc f(x,y=c(x+y, dla 0x, 0y-x. Wyzaczyć: ezależe? (wykres, (wykres. a stałą c, a współczyk korelacj (X,Y zmeych X Y. zy zmee X Y są b lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X c prostą regresj drugego rodzaju zmeej Y względem X 79 Dwuwymarowa zmea losowa (X,Y ma rozkład jedostajy a {(x,y: x +y, x0, y0}. Wyzaczyć : a współczyk korelacj (X,Y zmeych X Y. zy zmee X Y są ezależe? b lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X (wykres, c prostą regresj drugego rodzaju zmeej Y względem X (wykres. 80 Dwuwymarowa zmea losowa (X,Y ma rozkład zaday fukcją gęstośc x( y xe, x 0, y 0 f( X, Y ( x, y. Wyzaczyć : 0, w pozostałych przypadkach a współczyk korelacj (X,Y zmeych X Y, b lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X (wykres, c prostą regresj drugego rodzaju zmeej Y względem X (wykres. 8 Dwuwymarowa zmea losowa (X,Y ma rozkład zaday fukcją gęstośc x e, 0 y x f( X, Y ( x, y. Wyzaczyć : 0, w pozostałych przypadkach a rozkłady brzegowe zmeych X Y - czy zmee X Y są ezależe?, b rozkłady warukowe X Y Y X, c lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X (wykres, d P(X-Y> X=0, P(X-Y> <X<0. 8 Dwuwymarowa zmea losowa (X,Y ma rozkład zaday fukcją gęstośc, 0 x y y f( X, Y ( x, y. Wyzaczyć : 0, w pozostałych przypadkach a rozkłady brzegowe zmeych X Y - czy zmee X Y są ezależe?, b rozkłady warukowe X Y Y X, c lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X (wykres? d lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X (wykres? 9
8 Dwuwymarowa zmea losowa (X,Y ma rozkład zaday fukcją gęstośc y( x, 0 y x f ( X, Y ( x, y. Wyzaczyć : 0, w pozostałych przypadkach a współczyk korelacj (X,Y zmeych X Y, b lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X (wykres, c prostą regresj drugego rodzaju zmeej Y względem X (wykres. 8 Dwuwymarowa dyskreta zmea losowa (X,Y ma rozkład X Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Wyzaczyć: a współczyk korelacj (X,Y zmeych X Y. zy zmee X Y są ezależe? b lę regresj perwszego rodzaju zmeej Y względem X (wykres, c prostą regresj drugego rodzaju zmeej Y względem X (wykres, d rozkład zmeej losowej R= X Y, e warukowy rozkład zmeej X pod warukem R= 85 Zmea losowa (X,Y ma dwuwymarowy rozkład N(m,V, gdze m=,v=. Wyzaczyć : a fukcję gęstośc f(x,y, b współczyk korelacj (X,Y, c rozkład X pod warukem X+Y=. 0 0 86 Zmea losowa (X,Y,Z ma trójwymarowy rozkład N(m,, gdze m= 0, = 0 0. 0 Wyzaczyć : a fukcję gęstośc f(x,y,z, b współczyk korelacj (X,Z, c P(-<X < Y-Z=. 87 Odcek [0, ] łamemy losowo a dwe częśc, astępe wększą część łamemy losowo a dwe. Pukty łamaa mają rozkład jedostajy. Jake jest prawdopodobeństwo, że z otrzymaych odcków moża zbudować trójkąt. 88 Rzucamy 0 razy symetryczą moetą. Nech X ozacza łączą lczbę orłów a Y lczbę orłów w perwszych rzutach. Oblczyć E(X Y (Odp. E(X Y=Y+ 89 Załóżmy, że X, X są ezależym zmeym losowym o rozkładze wykładczym E ( X, =,. Nech Y=m(X, X.Wyzaczyć E(X Y. (Odp. E ( X Y Y. 0
90 Załóżmy, że U 0,U,...,U są ezależym zmeym losowym o jedakowym rozkładze jedostajym a przedzale [0,].Oblczyć warukową wartość oczekwaą E(max{U 0,U,...,U U 0. (Odp. U 0 Wskazówka max{u 0,U,...,U = max{u 0, max{u,...,u 9 Rzucamy symetryczą moetą tak długo aż w dwóch kolejych rzutach pojawą sę "reszk". Oblcz wartość oczekwaą lczby wykoaych rzutów. (Odp. 6 9 Załóżmy, że X, X,..., X,... są ezależym zmeym losowym o rozkładze jedostajym a przedzale [0,] (oz. U[0,], zaś N jest zmeą losową o rozkładze Possoa z parametrem max( X (oz. P( ezależą od X, X,..., X,... Nech,..., X, gdy N 0 M. Oblcz E(M. 0, gdy N 0 (Odp. E( M E( E( M N E( ( e. NN 9 Nech X, X będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze. Pokazać, że V( X X X E( X X X E ( X X X 9 Nech X, Y, X, Y,... będą ezależym zmeym losowym o rozkładze jedostajym a przedzale (0,. Nech f : [0,] [0,] będze fukcją merzalą, Z f ( X Y }. Udowodć, że { lm Z f ( x 0 dx p.. 95 Owad składa X jajeczek zgode z rozkładem Possoa z parametrem, a owad z jajeczka wylęga sę z prawdopodobeństwem p, ezależe od ych. Zaleźć średą lość potomków. (Wykorzystać warukową wartość oczekwaą. 96 Zmee losowe X Y są ezależe mają rozkład N(0,. Zaleźć fukcję charakterystycza zmeej XY. 97 Nech (,, będze przestrzeą probablstyczą przy czym jest rozkładem N(m,. Nech F będze podcałem symetryczych zborów borelowskch a obcęcem mary do F. Wyzaczyć (o le steje d. d 98 Zmee losowe X,X,... są ezależe mają te sam rozkład o E(X =0 X X d V(X =.Wykazać, że N(0,. X X 99 Zmee losowe X,X,... są ezależe mają tę samą fukcję charakterystyczą. Zmea losowa N jest od ch ezależa ma rozkład Possoa. Wyzaczyć fukcję charakterystyczą losowej sumy Y=X ++X N. Zakładając, że jest dwukrote różczkowala w 0 zaleźć E(Y V(Y.
00 Wykazać, że gdy zmea losowa X ma rozkład Possoa o parametrze, to X d Y N (0,, gdy. (Wskazówka-wykorzystać fukcje charakterystycze. 0 Wyzaczyć fukcję charakterystyczą rozkładu Laplace a o gęstośc f ( x e. xm 0 Zmee losowe X, X,... są ezależe X k ma rozkład Possoa o parametrze k = / k (k =,,... Zbadać czy dla cągu X k zachodz prawo welkch lczb. 0 Zmee losowe X, X,... są ezależe X k ma rozkład ormaly N(0, k dla k =,,... Zbadać czy dla cągu X k zachodz prawo welkch lczb. 0 Nech X k będze zmeą losową przyjmującą z jedakowym prawdopodobeństwem jedą z dwóch wartośc s k s k. Przy jakm s zachodz prawo welkch lczb dla średej arytmetyczej cągu X,...,X k,...takch ezależych zmeych losowych. 05 Po teree masta jeźdz 000 samochodów. Prawdopodobeństwo wezwaa pogotowa techczego przez jede samochód wyos p=0.00. Oblczyć prawdopodobeństwo P(A wezwaa pogotowa przez którykolwek z samochodów zakładając, ze wezwaa są zdarzeam ezależym. Podać wyk dokłady przyblżoy uzyskay z aproksymacj rozkładu dwumaowego rozkładem Possoa. Oszacować teoretycze błąd tego przyblżea sprawdzć jego dokładość w rozważaym przypadku. (Odp. dokł. P(A=0.8695; przybl. P(A=0.86665, oszacowae błędu : błąd 0.00. 06 Tekst broszury zawera 00000 zaków. W trakce psaa każdy zak może zostać błęde wprowadzoy z prawdopodobeństwem 0.000. Z kole redaktor zajduje każdy z błędów z prawdopodobeństwem 0.9, po czym tekst wraca do autora, który zajduje każdy z pozostałych błędów z prawdopodobeństwem 0.5. Jaka jest szasa, że po obu korektach broszura będze zawerała e węcej ż błędy. (Odp. p=0.6500.0005 07 Grupa studetów rozwązuje test składający sę ze 00 pytań. Na każde pytae możlwe są odpowedz. Od lu poprawych odpowedz począwszy powo sę stawać oceę pozytywą, jeżel prawdopodobeństwo zdaa egzamu przy udzelau odpowedz a chybł trafł e powo być wększe ż 0.. 08 Waga pasażerów samolotów jest pewą zmeą losową o wartośc oczekwaej =70 kg odchyleu stadardowym =8 kg. Także całkowty cężar bagażu pasażera (tz. łącze z bagażem ręczym jest zmeą losową o wartośc oczekwaej = kg odchyleu stadardowym =5 kg. Zakładając, że powyższe zmee losowe są ezależe oblczyć prawdopodobeństwo, że 9 osoby łącze z bagażem e ważą węcej ż 6500 kg. 09 Włamywacz -amator posługuje sę kluczem do własego meszkaa jako wytrychem. Udaje mu sę w te sposób otworzyć jede drzw a sto. Przyjmjmy że zysk z każdego udaego włamaa wyos 5 000 zł. Ile meszkań mus odwedzć te złodzej, aby z prawdopodobeństwem co ajmej 0.9 uzyskać sumę przekraczającą 00 000 zł.
0 Każda ze 00 pracujących maszy jest włączoa w cągu 80% całego czasu pracy a włączea wyłączea są losowe. Jake jest prawdopodobeństwo, że w przypadkowo wybraej chwl jest włączoych węcej ż 70 ale mej ż 86 maszy. Prawdopodobeństwo zdarzea A w pojedyczym dośwadczeu wyos p = 0.. Zaleźć lczbę dośwadczeń aby z prawdopodobeństwem co ajmej 0.9 lczba pojawea sę zdarzea A była e mejsza ż 0. Towarzystwo ubezpeczeń wzajemych ma rezerwę 000 zł z poprzedego roku. W beżącym roku stu kletów wpłaca po 00 zł ubezpeczea. W przypadku śmerc ubezpeczoego frma wypłaca 000 zł. Prawdopodobeństwo śmerc każdego z kletów jest jedakowe rówe 0.0. Załóżmy, że przypadk zgoów są ezależe od sebe. Jake jest prawdopodobeństwo, że frma e będze wypłacala w daym roku? Nech X,..., X 00 będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze o gęstośc 00 X f(x=x(-x dla 0 < x <. Oblczyć P (50 60. Nech X,..., X 00 będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze beta o gęstośc f(x=x(-x dla 0 < x <. Oblczyć P (5 X 5. 5 Komputer dodaje 00 lczb rzeczywstych z których każdą zaokrągla do ajblższej lczby 00 całkowtej. Zakłada sę, że błędy zaokrągleń są ezależe mają rozkład jedostajy a odcku (-0.5, 0.5. Zaleźć prawdopodobeństwo, że błąd w oblczeu sumy e przekroczy 0. 6 Aby stwerdzć jak welu wyborców popera obece partę AB losujemy próbkę a ej przeprowadzamy badae. Jak duża powa być ta próbka aby uzyskay wyk różł sę od rzeczywstego poparca dla part AB e węcej ż o b=% z prawdopodobeństwem -=0.95. Jak będze wyk jeżel przed losowaem próbk mamy częścową formację, że poparce dla AB e przekracza 0%? 7 Nech X,X,... będze cągem ezależych zmeych losowych o rozkładach Possoa X P (. Sprawdzć, czy dla tego cągu zachodz TG (Wsk. Tw. o dodawau fukcja charakterystycza 8 Nech X,X,... będze cągem ezależych zmeych losowych o rozkładach P(X k ==p k, P(X k =0=-p k.. pokazać, że gdy szereg p k k q k jest rozbeży, to ( X k mk, gdze k k k zbega wg rozkładu do zmeej losowej o rozkładze N(0,. (Wsk. Są spełoe zał. tw. Lapuowa.0 9 Zmee losowe I,I,... X,X,... są ezależe. Każda ze zmeych I ma tak sam rozkład prawdopodobeństwa: P(I ==p, P(I =0=-p. Każda ze zmeych X ma tak sam rozkład
prawdopodobeństwa tak, że E(X = V(X =. Nech X I S oraz K I. Wyzaczyć gracę (w sese zbeżośc wg. rozkładu K S lm. (Wskazówka Y X I ( E(Y =0 V(Y =p.