9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów Metody wyznaczania rozwiązań początkowych Metoda północno-zachodniego narożnika Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (VAM) Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Interpretacja rozwiązania 9-9- 9-9- Przykład Firma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjne zlokalizowane w Kluczborku, Białymstok Pile. Kwartalna produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5 kg, 6 kg, i 5 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji, zlokalizowane w ie, u, Łodzi i Opolu. Przewidywany popyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosi odpowiednio: 6 kg, kg, kg oraz 5 kg. Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu do poszczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy. Tablica. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg] Kluczbork 7 6 Białystok 7 5 Piła 5 5 Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty. 9-9- Przykład Kluczbork 7 6 Białystok 7 5 Piła 5 5 6 5 Kluczbork 6 7 7 5 6 Białystok 5 5 Piła 5 5 DOSTAWCY DECYZJA? ODBIORCY 9-9- Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona od dostawcy i, i =,,, do odbiorcy j, j =,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Koszty transportu x 5 Kluczbork x 6x 7x 7x 5x 6 Białystok x 6 x 5x x x 5 Piła 5x 5 9-9- 5 9-9- 6
9//9 Sformułowanie problemu zminimalizować: z = x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x + x + 5x + x + 5x Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i =,,; j =,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas 9-9- 7 9-9- 8 Koszty transportu x 5 Kluczbork x x x x x 6 Białystok x x x 6 Sformułowanie problemu zminimalizować: z = x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x + x + 5x + x + 5x przy ograniczeniach: x +x +x +x 5 x +x +x +x 6 x +x +x +x 5 x x 5 Piła x 5 9-9- 9 9-9- Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i =,,; j =,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas Odbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle ile wynosi zapotrzebowanie Koszty transportu x 5 Kluczbork x x x x x 6 Białystok x x x x x 5 Piła x 6 5 9-9- 9-9-
9//9 Sformułowanie problemu zminimalizować: z = x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x + x + 5x + x + 5x przy ograniczeniach: x +x +x +x 5 x +x +x +x 6 x +x +x +x 5 x +x +x = 6 x +x +x = x +x +x = x +x +x = 5 x ij, i=,,; j=,,, 9-9- Sformułowanie problemu A = c = [ 7 6 7 5 5 5] x x x x x x x = x x x x x x 5 6 5 b = 6 5 9-9- Ogólny model zagadnienia transportowego zminimalizować przy ograniczeniach n i = m j = n m i = j = c ij x ij x b, j =, K m ij j, xij ai, i =, K, n całkowity koszt zapotrzebowanie zapas Warianty zagadnienia transportowego całkowita podaż nie jest równa całkowitemu popytowi (zadanie niezbilansowane) maksymalizacja funkcji celu Dodajemy sztucznego dostawcę lub odbiorcę. Mnożymy przez (-). x ij, i =,,, m, j =,,, n gdzie: i - indeks dostawcy, i =,, n j - indeks odbiorcy, j =,, m x ij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy j c ij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy j a i - zapas dostawcy i b i - zapotrzebowanie odbiorcy j nieujemny przesył 9-9- 5 minimalne i maksymalne pojemności dróg niedopuszczalne połączenia Dodajemy ograniczenia. Obciążamy bardzo dużymi kosztami. 9-9- 6 Własności zagadnienia transportowego Zadanie transportowe jest sformułowane jako zadanie programowania liniowego zatem można je rozwiązać stosując np. metodę simplex. Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania. Własności zagadnienia transportowego n =[ ] n =[ ] Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne. L n n n... n n n n... n E = L n A=............... L L L L n n n L n E n E n E n... E n Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n ) zmiennych bazowych. Jeżeli wszystkie a i i b j są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych. 9-9- 7 9-9- 8
9//9 Własności zagadnienia transportowego Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania zbudowany w sposób następujący: wierzchołkami są węzły (i,, dla których x ij > każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i, j ) (i, j ), że albo i = i albo j = j oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków Własności zagadnienia transportowego Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był ł grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków. i \ j 5 5 i \ j 5 5 9-9- 9 9-9- Własności zagadnienia transportowego Niech x B będzie dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymy zbiór par (i,, takich że x ij jest zmienną bazową, to spełniony jest następujący układ równań: c ij + +v j = dla (i, B gdzie zmienne iv j noszą nazwę potencjałów. Macierz C =[(c ij z ij )] = [c ij + +v j ], i=,..m, j=,..,n, nazywamy równoważną macierzą zerową rozwiązania bazowego x B. Na to, aby rozwiązanie bazowe x B zadania transportowego było optymalne potrzeba i wystarcza, aby jego równoważna macierz zerowa była nieujemna. 9-9- Własności zagadnienia transportowego Układ równań: c ij + +v j = dla (i, B ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie one wyznaczają tę samą równoważną macierz zerową. Jeżeli macierz C zawiera elementy ujemne, to odpowiadające jej rozwiązanie nie jest rozwiązaniem optymalnym. Każde zbilansowane zadanie transportowe ma rozwiązanie dopuszczalne. 9-9- Własności zagadnienia transportowego Przez cykl γ( oznaczamy cykl w grafie rozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej ( do rozwiązania bazowego. i \ j 5 5 Niech γ n ((,5) = {(,5), (,)} ( = (,5) γ p ((,5) = {(,), (,5)} Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynając od wierzchołka (. Przez γ p ( oznaczamy zbiór wierzchołków o numerach parzystych, a przez γ n ( o numerach nieparzytych. 9-9- Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla (i, B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ 9-9-
9//9 Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metoda kąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel s Approximation Method), i =,,..., m -różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, d j, j =,,..., n -różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(, d j ) c kl = min {c kj } albo c kl = min {c il } Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 7 6 5. Białystok 7 5 6. Piła 5 5 5 6 5 9-9- 5 9-9- 6 Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 7 6. Białystok 7 5 6. Piła 5 5 5 5 5 Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 7 6. Białystok 5 5. Piła 5 5 5 5 9-9- 7 9-9- 8 Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 7 6. Białystok. Piła 5 5 5 5 Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 7 6. Białystok. Piła 5 5 5 5 5 9-9- 9 9-9- 5
9//9 Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 7 6. Białystok. Piła 5 5 5 5 Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 5. Białystok 6. Piła 5 5 b j 6 5 a i Czy jest to rozwiązanie bazowe? 9-9- Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków. 9-9-.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B u = + + v = 9-9- 9-9-.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B + + v = 7 + u + ( ) = 9-9- 5 9-9- 6 6
9//9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B 5 + ( ) + v = + ( ) + v = 9-9- 7 9-9- 8.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 6 v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B + u + = 5 + ( 6) + v = 9-9- 9 9-9- Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 6 v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 6 v j c ij = c ij + +v j c ij = c ij + +v j c ij = dla (i, B 9-9- Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 6 v j 9-9- 7
9//9 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 6 v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 6 v j c ij = c ij + +v j c ij = c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 6 v j 9-9- Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j 9-9- Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 6 v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 6 v j c ij = c ij + +v j c ij = c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j 9-9- 5 Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j 9-9- 6 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 6 v j c ij = c ij + +v j Sprawdzanie czy rozwiązanie jest optymalne.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j 9-9- 7 Zbadać, czy C. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ 9-9- 8 8
9//9 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ Zmiana bazy.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < } 9-9- 9 9-9- 5 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ Wyznaczanie cyklu.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Wyznaczyć cykl γ p (, γ n (. 9-9- 5 9-9- 5 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ 9-9- 5 Zmiana bazy.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Usunąć z bazy zmienną x rs, taką, że x rs = min ( i, j ) k, l ) θ = { x : ( i, j ) B} = θ ij.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 9-9- 5 9
9//9 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ 9-9- 55 Zmiana bazy.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 xij dla ( i, j ) γ ( l ) xij = xij + θ n( θ = xij θ.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 9-9- 56 Rozwiązanie zdegenerowane.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 Czy jest to rozwiązanie bazowe? Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków. 9-9- 57 Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m ) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero. Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi. Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli. 9-9- 58 Rozwiązanie zdegenerowane.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ 9-9- 59 9-9- 6
9//9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j 8 5 6.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j 8 5 6 c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B u = u = 9-9- 6 9-9- 6 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j 8 5 6 c ij = c ij + +v j Zmiana bazy.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j 8 5 6.Kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j 8 5 6 Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < } 9-9- 6 9-9- 6 Wyznaczanie cyklu.kluczbork 6 6. Białystok 7. Piła 5 v j 8 5 6 Zmiana bazy.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j 8 5 6 Wyznaczyć cykl γ p (, γ n (. Usunąć z bazy zmienną x rs, taką, że x rs = min ( i, j ) k, l ) { x : ( i, j ) B} = θ ij 9-9- 65 θ = 5.Kluczbork 5. Białystok. Piła 5 9-9- 66
9//9 Zmiana bazy.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 xij dla ( i, j ) γ ( l ) xij = xij + θ n( θ = 5 xij θ.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j = dla (i, B.Kluczbork 5 5. Białystok 5 5. Piła 5 9-9- 67 u = 9-9- 68 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Rozwiązanie.Kluczbork 8 6. Białystok. Piła 6 v j c ij = c ij + +v j Równoważna macierz zerowa jest nieujemna rozwiązanie jest optymalne..kluczbork 8 6. Białystok. Piła 6 6 v j.kluczbork 5 5. Białystok 5 5. Piła 5 9-9- 69 9-9- 7 Koszty transportu X =5 5 Kluczbork X =5 X =5 6 Białystok X = X =5 X =5 6 Rozwiązanie optymalne Odbiorca Dostawca Zmienna Ilość Koszt jednostkowy Koszt całkowity Kluczbork x 5 5 Kluczbork x 5 Białystok x 5 5 5 Białystok x Białystok x 5 5 Piła x 5 5 Razem 9 5 5 Piła 5 Minimalny całkowity koszt transportu wynosi 9 5,- PLN. 9-9- 7 9-9- 7
9//9 Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metoda kąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel s Approximation Method), i =,,..., m -różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, d j, j =,,..., n -różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(, d j ) c kl = min {c kj } albo c kl = min {c il } Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Postępujemy podobnie, jak w metodzie północnozachodniego narożnika, ale wybieramy, jako kolejny, wierzchołek odpowiadający najmniejszemu nieskreślonemu elementowi macierzy kosztów. 9-9- 7 9-9- 7 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6 5. Białystok 7 5 6. Piła 5 5 5 6 5 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5 6. Piła 5 5 5 6 5 5 9-9- 75 9-9- 76 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5 6. Piła 5 5 5 5 5 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 5 5 5 5 9-9- 77 9-9- 78
9//9 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5 5 5. Piła 5 5 5 5 5 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5 5 5. Piła 5 5 5 5 9-9- 79 9-9- 8 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 5. Białystok 5 5 6. Piła 5 5 6 5. Oznaczmy przez (i =,, m) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami i-tego wiersza macierzy kosztów zredukowanej o dostawców, których zapas został już wyczerpany i o odbiorców, których zapotrzebowanie zostało już zaspokojone.. Oznaczmy przez d j (i =,, n) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami j-tej kolumny zredukowanej macierzy kosztów.. Wybierz α = max{, d j }.. Jeżeli α =, to wybierz element w wierszu k = i oraz kolumnie l, takiej że c kl = min{c kj }. 5. Jeżeli α = d j, to wybierz element w kolumnie l = j oraz wierszu takim że c kl = min{c il }. 9-9- 8 9-9- 8.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j 9-9- 8 9-9- 8
9//9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j 9-9- 85 9-9- 86.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j 9-9- 87 9-9- 88.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j α = max{, d j } 9-9- 89 9-9- 9 5
9//9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j α = max{, d j }.Kluczbork 7 6 5. Białystok 7 5 6. Piła 5 5 5 6 5 c kl = min{c il } 9-9- 9 9-9- 9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j 9-9- 9 9-9- 9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j c kl = min{c kj } 9-9- 95 9-9- 96 6
9//9.Kluczbork 7 6.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 5. Piła 5 5 6 5 5 d j 5 5 9-9- 97 9-9- 98.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5 6.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5 6. Piła 5 5 5. Piła 5 5 5 5 5 5 5 5 9-9- 99 9-9-.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5 5 5. Piła 5 5 5. Piła 5 5 5 5 5 5 9-9- 9-9- 7
9//9.Kluczbork 7 6 5. Białystok 5 5 5 6. Piła 5 5 5 6 5 9-9- 8