Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - POMOC DYDAKTYCZNA DO WYKŁADU TEORIA UKŁADÓW LOGICZNYCH PRZYGOTOWAŁ DR ANDRZEJ KALIŚ WROCŁAW, SEMESTR ZIMOWY /
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - WPROWADZENIE. Wstęp Ukłdy elektroniczne dzielimy n ukłdy nlogowe i dyskretne. Ich podstwową rolą jest przetwrznie sygnłów wejściowych w sygnły wyjściowe w ściśle określony sposó. Sygnły nlogowe mją chrkter ciągły, czyli ich mplitud może przyierć dowolną wrtość, zmin jednej wrtości w drugą nstępuje w sposó ciągły. Sygnły dyskretne nie są ciągłe. Zzwyczj w ustlonym czsie, sygnł dyskretny przyjmuje ustloną wrtość. W niniejszym podręczniku ędziemy się zjmowć sygnłmi cyfrowymi dwuwrtościowymi, które są sygnłmi dyskretnymi. Sygnł cyfrowy dwuwrtościowy to tki, w którym możn wyróżnić dwie wrtości mplitudy, umownie nzywne: jedynką, której może odpowidć poziom npięci np. +.[V], orz zerem, której reprezentcją jest poziom npięci, np. [V]. Ukłdy dyskretne przetwrzjące sygnły cyfrowe nzywmy ukłdmi logicznymi (cyfrowymi, przełączjącymi). Podstwową zletą ukłdów cyfrowych w stosunku do ukłdów nlogowych jest stosunkowo dużodporność n zkłóceni, wynikjąc z smej ntury przetwrzni sygnłów, jk imożliwości odpowiedniego ich projektowni. Z tego powodu ukłdy cyfrowe stosuje się w ukłdch elektronicznych njwyższej jkości, nwet tm, gdzie zstosownie ukłdów nlogowych mogłoy się wydwć rdziej uzsdnione (np. telekomunikcj, teletrnsmisj dnych, miernictwo). Modelmi mtemtycznymi ukłdów przełączjących są utomty skończone (finite utomt). Model ten opier się n skończonym ziorze elementów, które podlegją ściśle określonym przeksztłceniom. Jeżeli elementy te tworzą pewne oiekty strkcyjne, to tki kierunek dń utomtów skończonych nzywmy strkcyjną teorią utomtów skończonych[]. Jeśli strkcyjnej teorii utomtów ndmy pewną treść logiczną, tką, yprzy wykorzystniu podstwowych zleżności funkcjonlnych możn yło opisć sposó i metodę przetwrzni sygnłów dyskretnych zgodnie z złożonym lgorytmem, to tki kierunek dń nzywmy strukturlną teorią utomtów[]. Wykorzystywnym w podręczniku prtem formlnym (w większości mteriłu) jest lger Boole (wyrżenie oolowskie, funkcj oolowsk). Ukłdy logiczne możn opisywć z pomocą formuł lgery Boole orz po nłożeniu pewnych ogrniczeń relizcyjnych umożliwiją określenie fizycznej struktury ukłdu skłdjącego się z elementów logicznych pochodzących z pewnej zy elementowej o ściśle określonych włsnościch. Głównym celem podręcznik jest przedstwienie wyrnych modeli mtemtycznych, w dosyć nturlnysposódjących się trnsponowć w schemt logiczny ukłdu. Unik się zytniej formlizcji zgdnień. Podręcznik jest wstępem do studiowni ukłdów cyfrowych średniego stopni scleni orz rchitektur komputerów.. Podstwowe pojęci język mtemtycznego. Autor podręcznik zkłd, że Czytelnikowi znne są podstwowe pojęci język mtemtycznego. Jednk, y ustrzec się od dwuzncznego rozumieni stosownych w podręczniku pojęć, krótko je przypomnimy (Czytelnik, który opnowł treść podręczników [] może ten rozdził pominąć).. Kżd teori mtemtyczn jest ziorem powiąznych ze soą zdń, między którymi zchodzą pewne związki. Rchunek zdń jest teorią mtemtyczną djącą zdni wchodzące w skłd teorii mtemtycznych orz związki między nimi. Zdnie logiczne jest to
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - tkie zdnie oznjmujące, o którym jednozncznie możemy powiedzieć, że jest prwdziwe lu fłszywe. Zdniu prwdziwemu ędziemy przypisywć wrtość prwd, fłszywemu wrtość fłsz.. Główną rolę w teorich mtemtycznych odgrywją zdni złożone zezdń prostych z pomocą spójników, tkich jk lu, i, jeżeli... to, wtedy i tylko wtedy, gdy, nie. Łącząc dw zdni z pomocą jednego z pierwszych czterech spójników otrzymujemy nowe zdnie poprwne. Zdnie złożone otrzymne przez połączenie dwóch lu więcej zdń spójnikiem lu nzywmy lterntywą lo sumą logiczną zdń skłdowych. Podonie, łącząc zdni proste spójnikiem i, otrzymujemy zdnie złożone nzywne koniunkcją lo iloczynem logicznym zdń skłdowych. Implikcją zdń skłdowych nzywmy zdnie złożone powstłe przez połączenie zdń prostych z pomocą spójnik jeżeli to. Jest to odj njczęściej spotykn w mtemtyce postć zdni. Zdnie uzyskne przez połączenie dwóch zdń zwrotem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nzywne równowżnością. Spójnik nie npisny przed jkimkolwiek zdniem tworzy wrz z nim nowe zdnie, zwne zprzeczeniem (negcją).. Spójniki wykorzystywne w rchunku zdń mją nstępujące oznczeni symoliczne: I Lu Wtedy i tylko wtedy, gdy Jeżeli... to nie W literturze spotykne są również inne sposoy oznczni spójników logicznych, jednk w niniejszym podręczniku wykorzystujemy powyżej podne.. Wyrżeni mjące udowę zdń i zwierjące zmienne, z które możn podstwić nzwy oiektów z ustlonego zioru, są nzywne funkcjmi zdniowymi lo predyktmi. Jeżeli w funkcji zdniowej n miejsce zmiennej podstwimy odpowiednie nzwy, to otrzymmy zdnie prwdziwe lu fłszywe. Funkcje zdniowe możemy ze soą łączyć spójnikmi logicznymi. 5. Kwntyfiktormi nzywmy zwroty: ) istnieje tkie, że, ) dl kżdego. Łączenie kwntyfiktorów ze spójnikmi, stłymi i zmiennymi umożliwi wypowiedzenie myśli mtemtycznej. Pierwszy z kwntyfiktorów nzywny kwntyfiktorem ogólnym i ozncznym przez ( ). Drugi kwntyfiktor nzywny ntomist kwntyfiktorem szczegółowym i oznczmy go przez ( ).Jeżeli chcemy powiedzieć -istniejejedyne, tkie że, to ędziemy pisć (! ). Przykłdowe zdnie postci: dl kżdego, y istnieje jedyny z tki, że +z=y i y+z= możemy zpisć wnstępujący sposó: (,y)(!z)( + z = y) (y + z = ). 6. Prą uporządkowną dwóch elementów (,y) nzywmy prę, w której gr rolę kolejność występowni elementów. Element jest pierwszym elementem, element y drugim. Ziór F, którego elementmi są wszystkie uporządkowne pry (,y), gdzie X, y Y, nzywmy produktem krtezjńskim i oznczmy X Y, czyli X Y = {(, y) X y Y}. 7. Podziór produktu krtezjńskiego X Y nzywć ędziemy relcją określoną n ziorze X. Fkt, że pr(, y) X Y zpisujemy Ry. Ziór X nzywmy dziedziną, zióryzś przeciwdziedziną relcji R. 8. Relcj równości = zchodzi w ziorze X jedynie między dowolnym przedmiotem nim smym, czyli jest to relcj określon przez ziór postci (,).
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - 9. Relcję Rokreśloną n ziorze X nzywmy równowżnością, jeżeli spełni on wrunki: ( X)(R) zwrotność, (, y X)(Ry yr) symetri, (, y, z X)(Ry yrz Rz) przechodniość.. Relcję Rokreśloną n ziorze X nzywmy relcją porządku jeżeli spełni on wrunki: ( X)(R) zwrotność, (, y X)(Ry yr = y) ntysymetri, (, y, z X)(Ry yrz Rz) przechodniość.. Relcję Rporządku w ziorze X nzywmy relcją liniowego porządku, jeżeli spełni nstępującą włsność: (, y X)(Ry yr) spójność.. Funkcją f nzwiemy pewien podziór produktu X Ytki, że ( X)( y Y)((, y) f) ((, y = ) f (, y ) f) y y. Niech ziór X ędzie ziorem n-elementowym, ziór Y zś ziorem m-elementowym. Licz funkcji określonych n ziorze X, których wrtości nleżą do zioru Y wynosi m n.. Dziłniem n-rgumentowym określonym n ziorze X nzywmy funkcję f(,..., n ), któr kżdemu zestwowi elementów,..., n (w skrócie n-k) ze zioru X przyporządkowuje pewien element y ze zioru X. Element y nzywmy wrtością tej funkcji dl rgumentów,..., n i oznczmy przez f(,..., n ). Dziłniem zerorgumentowym nzywmy ustlony element zioru. Dziłni możn ze soą skłdć iotrzymywć nowe dziłni. 5. Termem nzwiemy wyrżenie zudowne w specjlny sposó ze zmiennych i symoli oznczjących dziłni. Innymi słowy, jest to npis wyznczjący schemt skłdni dziłń. 6. Jeżeli zmienne,,... ędą przyjmowć wrtości w( ), w( ),... zś symolezezioru Dędziemy uwżć z dziłni n-rgumentowe (n=,, ) o wrtościch ze zioru X, to term f(,..., n )przyporządkowuje elementom,..., n ze zioru X element y=f(,..., n )z tego smego zioru. Znjąc dny term i wiedząc, jkie dziłni w nim występują, ędziemy wiedzieli, w jki sposó zostł otrzymn wrtość dziłni opisn tym termem, czyli jk interpretujemy term. 7. Algerą strkcyjną (lgerą) ędziemy nzywć kżdy system A=(K,O,O,...,O n ), w którym A jest niepustym ziorem orz O i, i=,,...,n jest opercją i-rgumentową wziorze K. Litertur [] Mjewski M., Alicki A., Algericzn teori utomtów, WNT, Wrszw 98, [] Bromirski J., Teori utomtów, WNT, Wrszw 969, [] Mrciszewski W. (red), Logik formln. Zrys encyklopedyczny z zstosowniem do informtyki i lingwistyki, PWN, Wrszw 987.
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - PODSTAWY ALGEBRY BOOLE A W 85 roku ngielski mtemtyk George Boole zproponowł system lgericzny nzywny oecnie lgerą Boole. Jej wykorzystnie do nlizowni i opisu zchowni się ukłdów zudownych z przekźników zproponowł dopiero w 98 roku merykński dcz Clude E. Shnnon[]. Alger Shnnon nzywn jest lgerą ukłdów przełączjących (switching circuits) dltego, że przekźnik stosowny wtedy jko element udowy ukłdów logicznych - pozwlł n przełącznie się między stnmi przewodzeni lo nieprzewodzeni, co modelowło się z pomocą zmiennej przyjmującej dwie wrtości: lo.. Podstwy lgery Boole Do zdefiniowni lgery Boole wykorzystmy zestw postultów podny w roku 9 przez E.V. Huntington[]. Postulty Huntington nie są jedynymi, z pomocą których zdefiniowno lgerę Boole - tutj o wyorze zdecydowł minimln ich licz orz względy dydktyczne, przede wszystkim związne z twierdzeniem o socjtywności, które dowodzi się wykorzystując jedynie postulty. Dowolną lgerę chrkteryzujemy przez podnie zioru rozwżnych oiektów, elementów wyróżnionych w tym ziorze, opercji określonych w ziorze oiektów orz pewnych relcji zchodzących między nimi, tkże postultów chrkteryzujących opercje i relcje. Jeżeli przyjmiemy, że K to co njmniej dwuelementowy ziór oiektów, orz, K - opertory zerorgumentowe (elementy wyróżnione), : K K - opertor jednorgumentowy (unrny), +, : K K K - opertory dwurgumentowe (inrne), =:K K {prwd, fłsz} - relcj równości, to siódemk AB=(K,,,+,,,=) stnowi lgerę Boole, jeśli spełnione są nstępujące postulty: Postult ) ) (,y K) (+y K) y K ( K)( K)(+ = ) ( K)( K)( =) (,y K) (+y = y+) y = y (,y,z K) (+(y z) = (+y) (+z)) (y+z) = ( y)+( z) 5 ( K) ( K)( + = = ) 6 Istnieją co njmniej dw elementy (, y K)( y) Znk = ozncz, że wyrżeni stojące polewejiprwejjegostroniesą soie równe. Nwisy służą do grupowni wyrżeń i spełniją istotną rolę, szczególnie w postulcie. Postulty zwierją pry wyrżeń oznczone ) orz ), które nzywmy dulnymi. Zsd dulności oowiązując w lgerze Boole stwierdz, że jeżeli pewne wyrżenie jest prwdziwe, to wyrżenie dulne też jest prwdziwe. Wyrżenie dulne otrzymujemy poprzez zstąpienie wszystkich opercji + przez,wszystkichopercji przez +, tkże wszystkich nin. Postult, nzywny postultem zmkniętości ze względu n opercję + () orz opercję (), mówi, że wynik opercji nleży tkże do zioru K. Postult jest nzywny postultem o istnieniu dwóch elementów neutrlnych: - element neutrlny względem opercji + orz - element neutrlny względem opercji (elementy neutrlne przyjęło się oznczć jko () le tutj one nie muszą oznczć wrtości ()). Postult mówi o regułch
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - przemienności (komuttywności) opercji dodwni () i mnożeni (). Postult to postult o rozłączności (dystryutywności) opercji dodwni względem mnożeni () orz rozłączności mnożeni względem dodwni (). Postult 5 wprowdz istnienie dopełnieni dl dowolnego elementu zioru K. Osttni postult mówi, że ziór K powinien zwierć dw lu więcej różnych elementów. Ay zwrócić uwgę n różnice pomiędzy lgerą Boole dorze nm znną lgerą licz rzeczywistych, przytoczymy niektóre z nich, szczególnie te, które zzwyczj prowdzą do nieporozumień: ) ziór K musi mieć co njmniej dw różne elementy, ) w lgerze Boole nie istnieje opercj odejmowni ni dzieleni (w sensie opercji odwrotnej do +, ), c) opertor dopełnieni nie istnieje w lgerze licz rzeczywistych, d) w lgerze licz rzeczywistych nie zchodzi prwo + (y z) = ( + y) ( + z), zchodzi tylko prwo rozdzielności mnożeni względem dodwni, e) w lgerze Boole nie oowiązuje zsd skrcni, czyli z równości y = z nie wynik, że y = z,tkże z + y = + z nie wynik, że y = z (zo. lemt 7). f) wśród postultów nie m prw łączności, np. dl dodwni (+)+c=+(+c). Prwo to zchodzi w lgerze Boole i możn je udowodnić korzystjąc jedynie z postultów (w niektórych podręcznikch prwo łączności włączone jest do zestwu postultów).. Podstwowe włsności lgery Boole Podonie jk w lgerze licz rzeczywistych, oprócz zioru postultów podje się podstwowe lemty i twierdzeni, ułtwijące wyrżnie wyrnych włsności lgery. Oczywiście, podstwowe lemty i twierdzeni wyprowdz się z postultów. Lemt ) ) Element jest jedyny Element jest jedyny (idempotentność) ( K)( + = ) ( K)( = ) (elementy neutrlne) ( K)( + = ) ( K)( = ) = = 5 Kżdy element m jedyne dopełnienie. 6 (sorpcj, pokrycie) (, y K)( + ( y) = ) (, y K)( ( + y) = ) 7 (, y K)( y = y + y = y = y) 8 (inwolucj) ( K)( = ) 9 (, y K)(( y) + ( y) = ) ( + y) ( + y) = Twierdzenie ) ) (socjtywność) (, y, z K)( + (y + z) = ( + y) + z) (y z) = ( y) z (prw de Morgn) (, y K)(+ y = y) y = + y (konsensus) (, y, z K)( y + z + y z = y + z) ( + y) ( + z) (y + z) = ( + y) ( + z) (, y, z K)( y + y z = y + z) ( + y) ( + y + z) = ( + y) ( + z) (, y K)( + ( y) = + y) ( + y) = y Ay uniknąć zyt dużej liczy nwisów, twierdzeni orz sformułowliśmy uwzględnijąc twierdzenie. Których nwisów rkuje? Wspomnin wyżej zsd dulności dotyczy tkże lemtów, poniewż wiele z nich zwier lemt dulny ). Jk zżrtowł jeden z utorów, zsd dulności jest rdzo wżn z punktu widzeni student, któremu wystrczy zpmiętnie jedynie połowy wyrżeń.
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - Drugą połowę (dulnych) wyrżeń otrzymujemy stosując zsdę dulności. Zsd dulności jest prost, le może prowdzić do otrzymni nieprwdziwych wyrżeń, jeżeli nie uwzględnimy nwisów w nich występujących. Nwisy wyznczją kolejność wykonywni opercji. Po strnnym przenlizowniu postultów orz lemtów lgery Boole, dochodzimy do wniosku, że większy priorytet m opercj ( ) niżeli (+). Dltego wyrżenie + ( y) = (lemt 6) mogliyśmy npisć w postci + y =.Łtwojednksprwdzić, że zstosownie zsdy dulności do + y = doprowdzi ns do wyrżeni nieprwdziwego: +y= (Dlczego?). Dowody lemtów i twierdzeń nleży przeprowdzić w rmch ćwiczeń, wykorzystując jedynie postulty Huntington. Wyzncznikiem rdzo dorej znjomości postultów lgery Boole jest poprwnie przeprowdzony dowód twierdzeni. Poniżej, celem zilustrowni zlecnego sposou dowodzeni, przytoczymy dowód lemtu i prw de Morgn. Przykłd: Podj dowód lemtu, czyli +=. Dowód: X+ = ( + ) postult i = ( + ) ( + ) postult 5 = + ( ) Postult = + postult 5 = Postult c. n. p. Przykłd: Dowód konsensusu (tw. ) przeprowdzimy zkłdjąc, że udowodnione mmy twierdzenie o socjtywności dodwni i mnożeni. Dowód: Mmy udowodnić, że + c + c = + c. Tym rzem rozpocznijmy od prwej strony równości: + c = + c Tw., postult = ( + c) + c(+ ) Tw., Lemt = + c+ c + c Postult, Tw. = + c + c Postult,, Lemt 9 c. n. p. Przykłd: Podj dowód pierwszego z prw de Morgn, + y = y. Ay nie przedłużć dowodu, wykorzystmy niektóre z podnych lemtów. Pmiętjmy jednk, że lemty te nleży udowodnić wykorzystując jedynie postulty Huntington. Dowód: Oznczmy przez A= + y, przez B = y. Nsze rozumownie sprowdzmy do pokzni prwdziwości nstępującego ukłdu równń: A+ B= A B = poniewż zpostultu5ilemtu5mogliyśmy wywnioskowć, że + y = y orz + y = y i dlej n podstwie lemtu 8
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - + y = y. Pokżemy ztem, że A + B = ( + y) + ( y) = orz A B = ( + y) ( y) = A+B= ( + y) + ( y) = [( + y) + ] [( + y) + y] = postult = [ + (y + )] [ + (y + y)] = twierdzenie = [ + ( + y)] [ + (y + y)] = postult = [( + ) + y)] [ + (y + y)] = twierdzenie = (+ y) ( + ) = postult 5 = (y +) ( + ) = postult = = lemt = Anlogicznie postępując możemy pokzć, że A B = ( + y) ( y) = ( y) ( + y) = ( y) + ( y) y = ( ) y + (y y) = ( y) + ( ) = = Celowo pominęliśmy niektóre nwisy i wskznie wykorzystywnych postultów czy lemtów, trktując tę część dowodu jko ćwiczenie. Drugie prwo de Morgn y = + y możn udowodnić wykorzystując pierwszeprwo de Morgn, poniewż + y = + y = y = y. c.n.p. Przykłd: Niech ędzie dny czteroelementowy ziór K={,,5,} orz dziłni +,, zdefiniowne w sposó nstępujący: (,y K) (+y = njmniejsz wspóln wielokrotność licz i y) (,y K) ( y =njwiększy wspólny dzielnik licz i y) ( K) ( = / ) Wykżemy, że czwórk ({,,5,}, +,, ) stnowi lgerę Boole. N rysunku. przedstwiliśmy telki dziłń, wypełnionych zgodnie z powyższą definicją. + 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Rys.. Definicj dziłń w przykłdowej lgerze Boole'
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -5 Postult jest spełniony, poniewż wynik dziłni nleży do zioru K. Istnieje element neutrlny dl opercji dodwni, którym jest = (postult ) orz mnożeni = (postult ). Postult jest spełniony, poniewż wrtości położone symetrycznie względem przekątnej tlicy są soie równe. Postult jest spełniony, jeżeli dl dowolnych trzech wrtości,y,z K, +(y z)= (+y) (+z) orz (y+z)=( y)+( z). W nszym przypdku różnych trójek jest 6, dltego pokżemy przykłdową, spełnijącą postult : lew stron: + ( 5) = + = prw stron: ( + ) ( + 5) = 5= Postult 5 jest spełniony, co łtwo zuwżyć z rys... Z oczywistego względu spełniony jest tkże postult6.. Dwuelementow lger Boole Definiując lgerę Boole n ziorze oiektów K powiedzieliśmy, że oiektów tych powinno yć co njmniej dw. W tym rozdzile przyjmiemy K={,} orz zdefiniujemy trzy podstwowe opercje,+ orz zgodnie z rys... Wykżemy, że czwórk ({,},,+, ) stnowi dwuelementową lgerę Boole. W tym celu wystrczy pokzć, że postulty Huntington są spełnione dl zdefiniownych opercji n ziorze K={,}. Zmkniętość opercji jest oczywist, poniewż wynikiem y y +y kżdej z nich jest element nleżący do zioru K. Z definicji opercji wynik, że +=, +=+= orz =, = =, czyli istnieją elementy neutrlne, dl opercji + orzdlopercji. Spełnione jest prwo przemienności, Rys.. Definicj opercji poniewż występuje symetri w ukłdzie wrtości elementów orz y w telch definiujących opercje orz + (rys. mnożeni, dodwni i dopełnieni.). Prwo dystryutywności ojśnimy wykorzystując rys.. (tylko postult, czyli dystryutywność opercji względem +). Zuwżmy, że kolumnyorz6są identyczne. W nlogiczny sposó możemy yz y+z (y+z) y z ( y)+( z) 5 6 Rys.. Prwo dystryutywności sprwdzić spełnienie postultu. Z definicji opercji dopełnieni łtwo wykzć, że + =, o + = += orz + = +=, tkże =,poniewż = = orz = =. Postult szósty jest spełniony, poniewż. Przyjmiemy jko zsdę, że w wyrżenich, opertor mnożeni ( ) ędziemy pomijć, jeżeli nie ędzie to prowdzić do nieporozumień. Dltego przykłdowe wyrżenie postci: + (y z) = (+ y) (+ z) ędzie równowżne + (yz) = (+ y)(+ z). Nstępnie - uwzględnijąc włsności wynikjącezlemtów-możemy npisć: + yz = (+ y)(+ z).
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -6 W dlszej części podręcznik ędziemy się zjmowć dwuelementową lgerą Boole, nzywną tkżelgerą ukłdów przełączjących. C.E. Shnnon pokzł, że lger t ndje się do opisywni włsności ukłdów zwierjących przekźniki elektromgnetyczne. Przekźnik m dw stny - przewodzeni lo nieprzewodzeni, które w nturlny sposó modeluje się z pomocą elementu orz elementu (lu odwrotnie, zleżnie od przyjętej konwencji). Poniewż przejście z jednego stnu w drugi nstępuje n skutek przełączeni, stąd nzw - ukłd przełączjący. Nzw t przetrwł do dni dzisiejszego, mimo że przekźniki nie są już prktycznie wykorzystywne. Ich rolę pełnią w ukłdch logicznych elementy elektroniczne. N rysunku. zestwiliśmy odpowiedniości występujące między elementmi i opercjmi lgery Boole, elementmi i opertormi występującymi w teorii ziorów i rchunku zdń. Alger Boole Teori ziorów Rchunek zdń Elementy Rodzin podziorów zioru zmkniętego n opercje zdnie logiczne przecięcie koniunkcj + sum mnogościow lterntyw Dopełnienie dopełnienie zioru negcj Element ziór pusty fłsz Element przestrzeń prwd Rys.. Związek lgery Boole z teorią ziorów i rchunkiem zdń Litertur [] Shnnon C.E., A Symolic Anlysis of Rely nd Switching Circuits, Trns. AIEE, Vol. 57, 98, str. 7-7, [] Huntington E.V., Postultes for the Alger of Logic, Trns. Am. Mth. Soc., vol.5, 9, str. 88-9 ĆWICZENIA. Mmy dne opercje nd skończonym ziorem K {,}: +=m(,), = min(,), = orz =. Wykzć, że siódemk (K,=, +,,,,) jest dwuelementową lgerą Boole.. Podj postulty i lemty lgery Boole, jeżeli opertory oolowskie ędą miły nstępującą interpretcję rytmetyczną y = y y = (+ y) ( y) =, gdzie:,, - opertory oolowskie: mnożenie, dodwnie i dopełnienie, +,, - opertoryrytmetyczne: mnożenie, dodwnie i odejmownie.. Czy istnieje trzyelementow lger Boole?. Udowodnić lemty i twierdzeni lgery Boole, korzystjąc jedynie z postultów Huntington lu z wcześniej udowodnionych lemtów ądź twierdzeń. 5. Wykzć, że ++...+= orz... = korzystjąc jedynie z postultów.
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -7 6. Wykzć, że... n = + +... + n korzystjąc z lemtów i twierdzeń. 7. Czy prwdą jest, że: ) ( + c) (d + e) = d + e + c d + c e ) (c) + (de) = (+ d)(+ e)(+ d)(+ e)(c+ d)(c+ e) 9. Podj dopełnienie kżdego z poniższych wyrżeń: ) + (y z) ) (y + z (w + )) c) (y + z) + ( y).. Zdefiniujmy relcję wnstępujący sposó: =. Przyjmując, że, y, zsą elementmi lgery Boole', udowodnij prwdziwość nstępujących stwierdzeń: ) ( y) (y z) ( z) ) ( y) ( z) ( y z ) c) ( y) ( z )( y+z) d) ( y) ( y ) e) f) ( y) (y ) (=y) Jeżeli relcję zdefiniowliyśmy = to czy prwdziwe yłyy powyższe stwierdzeni?. Udowodnij, że dl elementów orz lgery Boole' spełnijących wrunek, spełnion jest równość + ( c) = ( + c) dl dowolnego c.. Pokzć, że gdy ( )( + ) = orz ( ) + ( + ) = to ( ) = +.
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - FUNKCJE BOOLOWSKIE Przez funkcję n ziorze elementów X, o wrtościch nleżących do zioru Z, rozumiemy relcję f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Z, więc pewien podziór produktu X Ztki,że:. ( X)( z Z)((,z) f). ((, z) f (, z ) f) z = z Pierwszy element pry (,z) f nzywmy rgumentem. Drugi element tej pry nzywmy wrtością funkcji f dl rgumentu. Oznczmy go przez f()=z. Często zmist terminu funkcj f określon n ziorze X o wrtościch ze zioru Z mówimy o odwzorowniu zioru XwziórZ.. Definicj funkcji oolowskiej Przyjmijmy, że,,..., n są zmiennymi, nie precyzując n rzie, jkie elementy możn z te zmienne podstwić. Termem nzwiemy pewne wyrżenie, zudowne ze znków dziłń i zmiennych, przy czym wyrżenie to zdefiniujemy indukcyjnie:. termmi są symole,,..., n (symole oznczjące zmienne) orz symole dziłń zerorgumentowych.. jeżeli Al (,..., ),...,Al (,..., ) są k n termmi zmiennych podnych w nwisie, orz Jnek(,,..., n ) jest dziłniem n-rgumentowym, pochodzącym ze zioru r dziłń jednorgumentowych, dwurgumentowych, trójrgumentowych, itd., to wyrżenie Jnek(Al (,..., ),...,Al n (,..., )) jest termem. k r Przyjmijmy, że dziłniem zerorgumentowym nzywmy ustlony element zioru K. Dziłnie to możemy uwżć z funkcje, których wrtości są stłe. Dziłni możn ze soą skłdć iotrzymywć nowe dziłni. Jk nleży interpretowć termy? Otóż termy są npismi wyznczjącymi schemt kolejnego skłdni dziłń. Jeżeli zmienne,,... ędą przyjmowć wrtości,,... zś symole dziłń zero-, jedno- i więcej rgumentowych o wrtościch ze zioru X, to term f(,,..., n ) wyznczy pewne dziłnie. Dziłnie to przyporządkowuje elementom,,..., n ze zioru X element y=f(,,..., n ) z tego smego zioru. Znjąc dnytermi wiedząc, jkie dziłni w nim występują, ędziemy wiedzieli, w jki sposó zostło otrzymne dziłnie opisne tym termem. Termy służą więc do opisu dziłń. Wprowdźmy terz pojęcie wyrżeni oolowskiego. Zioremwyrżeń oolowskich nzywmy njmniejszy ziór spełnijący nstępujące wrunki: ) zmienne,,..., n orz dziłni zerorgumentowe i, ) gdy f(,,..., n ) jest termem, wtedy termem jest g(,...,n ) = f(,...,n ), c) jeżeli f(,,..., n )ig(,,..., n )są termmi, to h(,,..., n )=f(,,..., n )+g(,,..., n )orz k(,..., n ) = f(,..., n ) g(,..., n ) są termmi. Przyjmijmy, że otrzymne termy mją nstępującą interpretcję (przez w() oznczyliśmy wrtość ).. w(), w(),. w : {,..., n} {,}. Zpis ten ozncz, że jeśli zmiennym {,..., }przyporządkujemy {,,,}, to rozumiemy to jko przyporządkownie zmiennej n wrtości, zmiennej wrtości,, zmiennej n wrtości.. w(f + g) w(f) + w(g)
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -. w(f g) w(f) w(g) 5. w( f) w(f) Przykłd: Przykłdowe wyrżenie oolowskie postci + ędzie miło nstępującą interpretcję, zilustrowną n rys... Rozwżmy uporządkowny ciąg n-elementowyx=(,.., n ), i {,}, i n.funkcją oolowską nzwiemy odwzorownie n-tek X w ziór (, ) wrtości {,}. Z interpretcji wyrżeni oolowskiego wynik, że dziłni definiuje ono dziłnie odwzorowujące uporządkowne zestwy wrtości przyjmownych przez zmienne,..., n wdwu- elementowy ziór {,}. Możn przyjąć, że wyrżenie oolowskie jest npisem określjącym funkcję oolowską. w( + ) w( )+w( ) Wwyrżeniu oolowskim definiującym funkcję oolowską mogą występowć dopełnieni zmiennych. Jednk w oznczeniu funkcji, tzn. f(,..., n ), ędziemy zznczć zmienne, Rys.. Interpretcj termu + które rozwżmy. W dlszej części podręcznik pojęci funkcj oolowsk i funkcj przełączjąc ędziemy trktowć jko synonimy.. Opisy funkcji oolowskiej W poprzednim rozdzile podliśmy definicje funkcji oolowskiej, wykorzystując odpowiednią konstrukcję wyrżeni, nzwnego wyrżeniem oolowskim. Wyrżenie oolowskie tworzone jest w skończonej liczie kroków. Ztem w zleżności od np. kolejności wyoru reguł definiujących wyrżenie oolowskie, powstną różne wyrżeni (npisy), z których w rezultcie otrzymujemy to smo odwzorownie. Wynik z tego potrze tworzeni pewnych stndrdowych postci wyrżeń oolowskich, nzywnych tkże postcimi knonicznymi (ziór wyrżeń może yć nieskończony, zś ziór postci knonicznych, jk się przekonmy, jest skończony)... Twierdzenie Shnnon, postcie knoniczne Twierdzenie. Dowoln funkcj jednej zmiennej może yć przedstwion w postci f( ) = f() + f() Twierdzenie. Dowoln funkcj może yć przedstwion w postci ) f(,..., n ) = f(,,...,n ) + f(,,..., n ) ) f(,..., ) = [ + f(,,..., )] [ f(,,..., )] n n + Dowód: Kżd zmienn i, i n, może przyjmowć wrtości ze zioru {,}. Niech =, wtedy dl postci ) otrzymmy f(,,..., ) = f(,,..., ) + f(,,..., ) f(,,..., ). n n n = Przyjmijmy terz =. Wtedy f(,,..., n) = f(,,..., n) + f(,,..., n) = f(,,..., n) n n
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - czyli otrzymliśmy identyczność. W nlogiczny sposó możn pokzć prwdziwość postci ). c.n.p. Postć funkcji oolowskiej wynikjącej z twierdzeni. nzywmy rozwinięciem funkcji ze względu n zmienną i. Twierdzenie. jest tkże prwdziwe dl dowolnej zmiennej i, i n. Rozwijjąc funkcje f(,,..., n ) orz f(,,..., n ) ze względu n zmienną otrzymujemy nstępującą postć funkcji: f(,..., ) = f(,,..., ) + f(,,..., ) = n n n n [f(,,..., ) + f(,,..., ) ] + [f(,,..., ) + f(,,..., ) ] = f(,,...,n ) + f(,,...,n ) + f(,,...,n ) + f(,,...,n ) Postępując jkwyżej, możemy nlogicznie rozwinąć powyższą funkcję ze względu n, nstępnie, itd., przekonując się, że prwdziwe ędzie nstępujące twierdzenie: Twierdzenie. (Shnnon) Dowolną funkcję oolowską f(,..., n )możn przedstwić w postci f(,,..., n ) =f(,,,...,)... + n f(,,,...,)... + n f(,,,...,)... + n f(,,,...,)... + n... f(,,,...,)...n Postć funkcji podną w twierdzeniu., powstłą w wyniku jej rozwinięci zewzględu n wszystkie zmienne, nzwiemy knoniczną postcią dysjunkcyjną, zś iloczyny n zmiennych (włściwie literłów) występujących w postci knonicznej - iloczynmi zupełnymi (minterm). Funkcję zustlonymiwrtościmi wyrnych ądź wszystkich zmiennych ędziemy nzywć funkcją resztową (residul) lokofktorem(cofktor). Zwróćmy uwgę, że funkcj resztow z ustlonymi wrtościmi wszystkich zmiennych jest funkcją stłą przyjmującą wrtości lo (Dlczego?). Przykłd: Zgodnie z twierdzeniem. dowolną funkcję dwóch zmiennych f(, )możn rozwinąć do postci: f( ) = f(,) + f(,) + f(,) + f(,). Ztem rozwinięcie przykłdowej funkcji f( )= do knonicznej postci dwóch zmiennych, jest nstępujące: f(, ) = f(,) + f(,) + f(,) + f(,) = Twierdzenie. = + + + = = + Dowolną funkcję oolowską f(,..., n )możn przedstwić w postci f(,..., n ) = [f(,,,...,)+ + + +... + n] [f(,,,...,)+ + + +... + n] [f(,,,...,)+ + + +... + n] [f(,,,...,)+ + + +... + n]... [f(,,,...,)+ + + +... + n] n n n
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - Postć tę nzywmy knoniczną postcią koniunkcyjną. Sumy zmiennych występujące w rozwinięciu nzywmy summi zupełnymi (mterm). Przykłd: Knoniczn postć koniunkcyjn dl funkcji z poprzedniego przykłdu jest nstępując: f( ) = [f(,) + + ] [f(,) + + ] [f(,) + + ] [f(,) + + ] = = [ + + ] [ + + ] [ + + ] [ + + ] = = ( + ) ( + ) Z twierdzeni. i. wypływ nstępujący wniosek: Wniosek. Istnieje jedyn knoniczn postć dysjunkcyjn (koniunkcyjn) funkcji oolowskiej. Dowód: Ptrz Hrrison [], s. 77. Wynik z tego oczywisty wniosek: Wniosek. Dwie funkcje oolowskie są równowżne wtedy i tylko wtedy, gdy mją tkiesmeknoniczne postcie dysjunkcyjne (koniunkcyjne)... Tlic prwdy i postć dziesiętn Dowolną funkcję oolowską możemy przedstwić z pomocą wyrżeni oolowskiego. Knoniczne postcie koniunkcyjne i dysjunkcyjne są specjlnymi wyrżenimi oolowskimi. D wrtość zmiennych wrtość funkcji f(, ) Rys.. Tlic prwdy dl funkcji f( )= Brdzo często funkcje oolowskie zpisywne są w postci tlicy, nzwnej tlicą prwdy (truth tle). Tlicę prwdy, dl przykłdowej funkcji f( )= przedstwiliśmy n rys... Wkolumniewpisliśmy wrtości funkcji resztowych występujących w postci dysjunkcyjnej (knonicznej). Dl funkcji f( )= otrzymujemy f(,)=f(,)= orz f(,)=f(,)=. W kolumnie znjdują się wszystkie możliwe zestwy wrtości dwóch zmiennych, w kolumnie ich odpowiednik dziesiętny, oliczony z nstępującego wzoru (opertory dodwni i mnożeni pochodzą z lgery licz rzeczywistych): n n-i D = (.) i= gdzie: n - licz zmiennych i -wrtość i-tejzmiennej,i=,,...,n. Wrtości zmiennych występujące w kolumnie n rys.. nzywne są notcją inrną lu szerzej notcją pozycyjną. Rozwżjąc odpowiednik dziesiętny dnego zestwu wrtości zmiennych, musimy znć kolejność ich występowni. Przyjmijmy, że zmienn występowć ędzie n njstrszej pozycji (odpowid jej njwiększ potęg dwójki we wzorze.), n n pozycji njmłodszej. Tę konwencję utrzymmy w cłym podręczniku. Odpowiedniki dziesiętne wykorzystujemy do dziesiętnego zpisu postci dysjunkcyjnej (koniunkcyjnej). Dl funkcji f( )=,dziesiętn postć jest nstępując: f( ) = (,). Znk sumy wskzuje, że jest to sum iloczynów zupełnych, których odpowiedniki dziesiętne i
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -5 występują w nwisch półokrągłych. Dl funkcji f( )= dziesiętn postć odpowidjąc knonicznej postci koniunkcyjnej jest nstępując: f( ) = (,). Znk iloczynu ozncz, że jest to iloczyn sum zupełnych, których odpowiedniki dziesiętne oliczono ze wzoru., dopełnijąc przedtem kżdą skłdową rozwżnego zestwu wrtości (porównj rys..). Przykłd: Niech ędzie dn funkcj f( )= +. Związki zchodzące między poszczególnymi postcimi funkcji przełączjącej przedstwiliśmy n rys... Postć koniunkcyjną lepiej stosowć, gdy mniej jest zestwów wrtości zmiennych, dl których funkcj przyier wrtość, poniewż występuje wtedy mniej sum zupełnych niż iloczynów zupełnych w postci dysjunkcyjnej. Jednk w dlszej części podręcznik ędziemy wykorzystywć postć dysjunkcyjną. Przykłd: Przedstwimy związki zchodzące pomiędzy tlicą prwdy funkcjmi resztowymi występującymi w rozwinięciu funkcji. Niech ędzie dn funkcj f(x) = + +.Posługując się tlicą prwdy, nleżyotrzymć funkcje resztowe f i f, gdzie Boole. f = i f + f i i i f(x) = ( + + )( + + )( + + ) knoniczn postć koniunkcyjn knoniczn postć dysjunkcyjn f(x) = + + + + Postć dziesię tn: f( )= (,,5,6,7)= (,,) Poprwnie przeprowdzony dowód osttniej włsności jest sprwdzinem dorego zrozumieni podstw lgery D f(x) 5 6 7 5 6 7 Rys.. Związki zchodzące między różnymi postcimi zpisu funkcji przełączjącej. f(x) = f(,, ) + f(,, ) = f (, ) + f (, ) (przykłdowo rozwinęliśmy funkcję ze względu n zmienną ). N rysunku. zilustrowliśmy związki zchodzące między tlicą prwdy f'( ) funkcjmi resztowymi f orz f. f(x) Funkcje resztowe (kofktory), mją rdzo interesujące włsności. Oznczjąc f(..., i-,,...)= f i i f(..., i-,,...)= f i proponujemy udowodnić nstępujące zleżności: f'( )= + (f g) = f i g i i f ''( ) ( f ) = f i i orz njrdziej interesując, pozwljąc oliczyć dopełnienie funkcji n podstwie kofktorów: f ''( )= + + Rys.. Związek tlicy prwdy z funkcjmi resztowymi.
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -6.. Funkcje przełączjące nie w pełni określone N zkończenie rozwżń o funkcjch przełączjących wprowdzimy dodtkowe definicje. Definicj... Funkcją przełączjącą wpełniokreśloną ędziemy nzywć funkcję, której wrtość jest określon dl kżdego zestwu wrtości zmiennych. Definicj... Funkcją przełączjącą nie w pełni określoną ędziemy nzywć funkcję, w której istnieją tkie zestwy wrtości zmiennych, dl których nie określono wrtości funkcji. Nieokreśloność wrtości funkcji przełączjącej nleży rozumieć jko możliwość wyoru przez tę funkcję wrtości lo dl ustlonego zestwu jej rgumentów. Tk rozuminą nieokreśloność funkcji zznczmy f(x)=, gdzie X jest iloczynem zupełnym nzywnym iloczynem oojętnym (don t cre). Nieokreśloność wrtości funkcji może się ztem pojwić w dwóch przypdkch:. pewien zestw iloczynów zupełnych nigdy nie wystąpi w postci knonicznej.. wszystkie iloczyny mogą definiowć funkcję, le dl pewnego ich podzioru oojętn jest nmwrtość funkcji. Jk się później okże, iloczyny oojętne wykorzystmy przede wszystkim do minimlizcji funkcji przełączjących. W dlszej części podręcznik ędziemy używć zmiennie nstępujących notcji n oznczenie funkcji przełączjącej: f, f(x), f(,,..., n ), czy f(.. n )... Impliknty Nie wnikjąc n rzie w potrzeę wykorzystywni wyrżeń zwierjących minimlną liczę iloczynów w postci dysjunkcyjnej, przytoczymy kilk definicji i twierdzeń umożliwijących oszczędne zpisnie dowolnej funkcji przełączjącej. Zncznie więcej o metodch i potrzeie skrcni (minimlizowni) wyrżeni oolowskiego dowiemy się w dlszej części podręcznik. Wprowdźmy relcję porządku zdefiniowną nstępująco: (, y K)( y + y = y) Relcj t jest zwrotn (czyli ), ntysymetryczn (jeżeli y i y to = y )orz przechodni (jeżeli y i y z to z ), czyli jest relcją porządku. Możn wykzć, że powyższ definicj porządku jest równowżn definicji: y = y. W dwuelementowej lgerze Boole spełnion jest relcj. Dltego, jeżeli dl dowolnych n-tek A=(,,..., n )orzb=(,,..., n ), i, i {,}, i n zchodzi relcj, fkt ten zznczmy jko A B. i i Przyjmijmy, że D (f)={x f(x)=} orz D (f)={x f(x)=}. Wprowdźmy relcję porządku dl funkcji tych smych zmiennych postci: ( f, g)(f g f + g = g). Łtwo zuwżyć, że (f g) D (f) D (g), który to związek zpiszemy w postci definicji. Definicj... Niech ędą dne dwie funkcje przełączjące f(x) i g(x). Jeżeli ( X)(f(X) = g(x) = ), to związek tki zpisujemy f(x) g(x) stwierdzjąc, że f implikuje funkcję g. Mówimy tkże, że g pokryw f. Jeżeli f g lu g f,toforzgnzywmyfunkcjmiporównywlnymi.
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -7 Dl przykłdu funkcjmi porównywlnymi są funkcje f( )= orz g( )= +.Nie wszystkie funkcje są funkcjmi porównywlnymi, np. f( )= orz g( ) = +. Definicj... Implikntem t funkcji przełączjącej f nzywmy iloczyn literłów (czyli zmiennych firmownych lu z dopełnieniem) implikujący funkcję f, czyli t f. Przykłd: Niech ędzie dn nstępując funkcj przełączjąc: f( ) = +. Implikntmi funkcji są:,,,,,,,,,,. Zwróćmy uwgę n to, że jest trktowny tutj jko iloczyn literłów. W celu ilustrcji pokżemy, że nprzykłdiloczyn rzeczywiście jest implikntem powyższej funkcji, poniewż powinn yć spełnion równość: + f = f.czyli + f = + + = ( + ) + = + = f. Definicj... Implikntem prostym T nzywmy impliknt, który po odrzuceniu z niego dowolnego literłu przestje yć implikntem. Przykłd: Niech ędzie dn funkcj f( ) = +, któr m trzy impliknty proste -, orz. W celu ilustrcji pokżemy, że iloczyn rzeczywiście jest implikntem prostym. Po odrzuceniu z niego pozostnie,czyli + f f. Odrzucjąc literł,otrzymmy,czyli + f f. Ztem zgodnie z definicją iloczyn jest implikntem prostym. Przy okzji spróujmy podć wszystkie impliknty proste dl funkcji f( )= +. Twierdzenie... Kżdy impliknt funkcji przełączjącej implikuje impliknt prosty tej funkcji. Dowód: Jest oczywiste, że twierdzenie jest prwdziwe dl dowolnego implikntu, który jest implikntem prostym. Gdy impliknt nie jest implikntem prostym, wtedy jeden lu więcej literłów może yć z niego usuniętych, ż stnie się on implikntem prostym. Oznczmy impliknt prosty jko T p, ntomist impliknt jko iloczyn Tp Tq,gdzie Tq ędzie iloczynem odrzuconych literłów. Stąd T p + Tp Tq = Tp, czyli Tq Tp. c.n.p. Twierdzenie... Kżd funkcj przełączjąc może yć prostych. wyrżon jko sum wyłącznie implikntów Dowód: Przedstwmy dną funkcję przełączjącą f w postci sumy iloczynów orz przyjmijmy, że t i jest iloczynem, który nie jest implikntem prostym. Przez F oznczmy sumę pozostłych iloczynów. Wtedy F f,poniewż f=f+t i.złóżmy z kolei, że t i Pi, gdzie P i jest implikntem prostym dnej funkcji f. Niech f =F+P i.poniewż t i P i to f f.zdrugiejstrony P i jest implikntem prostym funkcji f, więc P i f.poniewż F f,więc F + Pi f lu f f. Wcześniej pokzliśmy, że f f,czyli f = f.wynikztego, że wrtość funkcji nie uleg zminie w przypdku zstąpieni iloczynu t i jego implikntem prostym (tzn. t P ). i i
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -8 Podonie wszystkie inne iloczyny mogą yć zstąpione odpowidjącymi im implikntmi prostymi. c.n.p. W rozdzile 6 wprowdzimy dodtkowo pojęcie zsdniczego implikntu prostego (essentil prime implicnt)...5 Binrne digrmy decyzyjne. Binrny digrm decyzyjny (w skrócie BDD) to cykliczny grf skierowny reprezentujący funkcję przełączjącą. Ay wyjśnić sposó tworzeni BDD posłużymy się rys..5, n którym przedstwiliśmy inrne drzewo decyzyjne (jeszcze nie digrm) dl funkcji f(c)=+ c. Gdy nrysujemy tlice prwdy dl tej funkcji, to ez trudu zuwżymy ezpośredni związek między tlicą drzewem decyzyjnym. Z kżdego wewnętrznego wierzchołk (nieterminlnego) oznczonego nzwą zmiennej wychodzą dwie głęzie oznczone wrtościmi przyjmownymi przez te zmienne. Lewe głęzie reprezentują wrtość (linie przerywne), prwe wrtość (linie ciągłe). Liście drzew (wierzchołki terminlne) reprezentują wrtości funkcji, czyli lo. Kżd ścieżk od korzeni do liści wrz z przypisnymi do krwędzi wrtościmi, odpowid jednemu zestwowi wrtości zmiennych występującemu w tlicy prwdy, wrtością funkcji dl dnego zestwu jest wrtość przypisn liściowi, do którego dotrliśmy. reguł reguł reguł reguł c c c c c c c c c c c c c Rys..5 Kolejne kroki przeksztłcni inrnego drzew decyzyjnego w uporządkowny (<<c) i zredukowny digrm decyzyjny reprezentujący funkcje f(c)=+ c Drzewo inrne może mieć wiele ndmirowych wierzchołków, które usuwmy. Oczywiście drzewo po ichusunięciu ndl powinno reprezentowć tę smą funkcję. Wyróżnimytrzypodstwoweregułyredukujące liczę wierzchołków:. Łączymy ze soą liście z tymi smymi wrtościmi (reguł z rys..5). Jest oczywiste, żepopołączeniu liści z wrtościmi i drzewo ndl reprezentuje zdną funkcję (dlczego?).. Usuwmy wszystkie wierzchołki, z których oie wychodzące krwędzie dochodzą do tego smego wierzchołk (reguł z rys..5). Powyższe ozncz, że przechodząc od korzeni przez dny wierzchołek w kierunku liści, dojdziemy do potomk wierzchołk, ez względu n to, którą wrtość przyjmie zmienn.. Łączymy wierzchołki z identycznymi poddrzewmi (reguł z rys..5). Argumenty nlogiczne jk w punkcie. Uwg: Nie musimy udowć drzew inrnego, y otrzymć inrny digrm decyzyjny. Powyższ ilustrcj m jedynie pokzć związek między funkcją przełączjącą digrmem decyzyjnym. Zwróćmy uwgę n to, że w drzewie jk i w zredukownym grfie n dowolnej ścieżce od korzeni do liści jest identyczne uporządkownie zmiennych (dl przykłdu n rys..5 to uporządkownie jest postci <<c). Brynt [] pokzł, że tk uporządkowny i zredukowny grf (w skrócie ROBDD) w uniklny sposó reprezentuje zdną funkcję, czyli pełni n-
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) -9 logiczną rolę jk knoniczn postć wyrżeni oolowskiego, gdy chcemy porównć dwie funkcję. Jeżeli jednk drzewo inrne reprezentujące tę smą funkcję m inne uporządkownie zmiennych, to zredukowny grf może się różnić od poprzedniego nie tylko uporządkowniem zmiennych, le przede wszystkim liczą wierzchołków (porównj z rys..6). Ztem y uporządkowne i zredukowne digrmy decyzyjne mogły yć wykorzystywne np. do porównni dwóch funkcji, to o digrmy powinny mieć identycznie uporządkowne zmiennych. c c c c c c c c c Rys..6 Kolejne kroki przeksztłcni inrnego drzew decyzyjnego w uporządkowny (<<c) i zredukowny digrm decyzyjny reprezentujący funkcje f(c)=+ c N digrmch decyzyjnych możemy wykonywć opercje. Ay je omówić przytoczymy formlną definicję uporządkownego inrnego digrmu decyzyjnego []: Definicj..5. Uporządkowny inrny digrm decyzyjny jest skierownym grfem z korzeniem o ziorze wierzchołków V. Kżdy wierzchołek nie ędący liściem m nstępujące tryuty: wskźnik inde(v) {,,...,n} do indeksów zmiennych wejściowej ze zioru {,,..., n }orz dwóch potomków low(v) orz high(v) V. Atryutem wierzchołk ędącego liściem, jest wrtość vlue(v) {,}. Dl kżdej pry wierzchołków {v,low(v)} ({v,high(v)}) tkiej, że żden z wierzchołków nie jest liściem, jest spełnion nierówność inde(v) < inde(low(v)) (inde(v) < inde(high(v)). Związek pomiędzy uporządkownym inrnym digrmem decyzyjnym funkcją przełączjącą jest definiowny nstępująco: Definicj..5. Digrm G z korzeniem v reprezentuje funkcję f v określoną rekurencyjnie w nstępujący sposó:. jeżeli v jest liściem to, gdy vlue(v)=(), wtedy f v =(),. jeżeli v jest wierzchołkiem wewnętrznym z inde(v)=i, wtedy reprezentuje on funkcję: f (,..., ) = f (,..., ) + f (,..., ) v n i low(v) n i high(v) n i nzywmy zmienną decyzyjną dl wierzchołk v. Definicj..5. Dw uporządkowne digrmy G ig są izomorficzne, jeżeli istnieje tk równowżnościow funkcj δ odwzorowując wierzchołki G n wierzchołki G, że dl dowolnego wierzchołk v, gdy δ(v)=w, to lo o wierzchołki v i w są liśćmi z vlue(v)=vlue(w) lo v i w są wierzchołkmi wewnętrznymi z inde(v)=inde(w) orz δ(low(v))=low(w) i δ(high(v)) = high(w).
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - Zwróćmy uwgę n to, że gdy grf reprezentujący funkcję zwier jeden korzeń potomkowie dowolnego nieterminlnego wierzchołk są różni, to powyższ definicj izomorfizmu ozncz, że korzeń G musi odwzorowywć się wkorzeń wg, lewy potomek G w lewego potomk G i tk dlej, ż do liści. Definicj..5. Uporządkowny digrm jest zredukowny, jeżeli: ) nie zwier wierzchołków v tkich, że low(v)=high(v), ) nie zwier rożnych wierzchołków v i w tkich, że podgrfy z korzenimi v i w są izomorficzne. Nietrudno zuwżyć, że zredukowny grf ndl reprezentuje dną funkcję. Twierdzenie..5. Dowoln funkcj oolowsk f posid uniklny (z dokłdnością do izomorfizmu) zredukowny i uporządkowny digrm decyzyjny (ROBDD) reprezentujący dną funkcję kżdy inny uporządkowny digrm decyzyjny (OBDD) reprezentujący funkcję f zwier większą liczę wierzchołków. Dlej ędziemy używć digrmów decyzyjnych. skrótu BDD n oznczenie uporządkownych i zredukownych Opercje wykonywne n digrmch. Atrkcyjność digrmów z punktu widzeni łtwości z jką mogą reprezentowć funkcję przełączjącą wynik z tego, że funkcj zleży przede wszystkim od liczy wszystkich możliwych ścieżek prowdzących od korzeni do liścizwrtością jeden w zncznie mniejszym stopniu zleży od liczy wierzchołków digrmu. Wspomnin trkcyjność nie miły żdnego znczeni, gdyy nie możn yło wykonywć podstwowych opercji, że wymienimy tylko mnożeni, dodwni czy dopełnini funkcji. W poniższych podrozdziłch przedstwimy szereg funkcji pozwljących redukowć digrmy, wykonywć dowolną inrną opercję n dwóch digrmch, wyznczyć funkcję resztową (kofktor), dokonć podstwieni jednej funkcji w miejsce wyrnej zmiennej w drugiej funkcji (oie funkcje reprezentowne z pomocą digrmów), sprwdzić czy funkcj dl kżdego zestwu wrtości zmiennych przyjmuje wrtość (tutologi), czy wreszcie znleźć przynjmniej jeden zestw wrtości zmiennych wejściowych, dl którego funkcj równ się jeden (spełnilność). Wspomnine funkcje opiszemy z pomocą oject pscl. Podstwową strukturą dnych, n której oprzemy lgorytmy jest reprezentcj wierzchołk digrmu. Przyjmiemy, że kżdy wierzchołek jest reprezentowny przez typ rekordowy przedstwiony n rys..7, ez względu n to czy reprezentuje wierzchołki terminlne czy ) ) z pomocą pól low i high. Pole Inde niesie informcje o indeksie zmiennej, w wierzchołku terminltype tverte = record Low, High : tverte; Inde :..N+; Vl : (,,X); Id : integer; Pole wierzchołk v Low High Terminlny Nieterminlny nieterminlne (są one rozróżnine z pomocą wrto- Mrk : oolen; Inde N+ end; Vl Vlue(v) ści odpowiednich pól porównj rys..7). Wierzchołek nieterminlny m zwsze dwóch potomków, do których odwołujemy się NIL NIL Low(v) High(v) Inde(v) X Rys..7 Struktur dnych ) wierzchołk digrmu, ) wrtości pól
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - nym przyjmuje wrtość N+, gdzie N licz zmiennych. Dl wierzchołków terminlnych w polu vl znjdują się wrtości lo, dl nieterminlnych wrtość pol jest nieokreślon. Dw pozostłe pol, Id orz Mrk, mją znczenie orgnizcyjne wykorzystywne w opisywnych niżej lgorytmch. Id zwier zwsze wrtość typu integer w uniklny sposó określjącą wierzchołek, zś pole Mrk wspomg proces przechodzeni po digrmie (odwiedzni wszystkich jego wierzchołków). Poniższ rekurencyjn procedur PrzegldjDrzewo ilustruje wykorzystni pol Mrk orz ustwienie uniklnej wrtościwpoluid(npodstwie zwiększni wrtości pewnej zmiennej glolnej Licznik, gdy odwiedzimy wierzchołek). Procedure PrzegldjDrzewo(v : tverte); Begin v.mrk := not v.mrk; v.id := inc(licznik); if v.inde <= N then egin // v jest nieterminlny if v.mrk <> v.low.mrk then PrzegldjDrzewo(v.low); if v.mrk <> v.high.mrk then PrzegldjDrzewo(v.high); end; end; Procedur REDUCE. Algorytm redukowni przeksztłc uporządkowny inrny digrm w jego zredukowny odpowiednik reprezentujący tę smą funkcje. Przypomnijmy, że digrm jest zredukowny, jeśli nie zwier ni żdnego wierzchołk v, dl którego low(v)=high(v), ni żdnej pry wierzchoków {u,v} tkiej, że podgrfy o korzenich v i u są izomorficzne. Istot lgorytmu sprowdz się do odpowiedniego oznkowni wierzchołków uporządkownego digrmu podczs przechodzeni przez grf. Wierzchołki terminlne mją te sme etykiety (identyfiktory), jeżeli mj tę smą wrtość pol vlue. Rozwżmy podziór wszystkich wierzchołków o indeksie k, oznczjąc go W(k), czyli zwier on wierzchołki związne zk-tązmienną funkcji (mówimy tkże, że wierzchołki te znjdują się n i-tym poziomie). Do generowni podziorów W(k) możemy wykorzystć nieco zmienioną procedurę PrzegldjDrzewo. Jeżeli id(low(v))= id(high(v)), to wierzchołek v W(k) jest ndmirowy. Wykonuje się wówczs podstwienie id(v):= id(low(v)). Podonie, jeżeli istnieją dw wierzchołki u,v W(k)) tkie, że id(low(v))=id(low(u)) orz id(high(v))=id(high(u)), to są one korzenimi dwóch grfów izomorficznych. Wykonujemy wówczs podstwieni id(v):=id(u). W pozostłych przypdkch, kżdemu wierzchołkowi z poziomu k ndjemy rożne identyfiktory. Algorytm kończy dziłnie, gdy wykonując powyższe kroki, przechodząc z poziomu n poziom dotrzemy do korzeni. Zmist rni po uwgę wszystkich pr wierzchołków dnego poziomu i sprwdzni czy mją tkich smych potomków, tworzymy klucz n podstwie tych identyfiktorów. Nstępnie sortujemy elementy zioru W(k) według klucz. Gdy klucz rozwżnego wierzchołk jest równy kluczowi któregoś zjuż rozwżnych wierzchołków, to usuwmy ten wierzchołek. W przeciwnym przypdku rozwżnemu wierzchołkowi przypisuje się kolejną unikln wrtość (np. poprzez zwiększenie zwrtości pewnej zmiennej glolnej) i umieszczmy go w zredukownym digrmie. Przykłd: Niech ędzie dny digrm przedstwiony n rys..8 (y nie przedłużć przykłdu połączyliśmy jednkowe liście, którym ndliśmy identyfiktory orz ). Wierzchołki z jednkowym indeksem zgromdziliśmy n tych smych poziomch. Będziemy się poruszć po digrmie począwszy od poziomu liści (inde=5) w kierunku korzeni (inde=) etykietując
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - wierzchołki odpowiednim kluczem. Liściom przyporządkowliśmy klucz () orz (). Ook digrmu w teli wpisujemy wszystkie uniklne klucze w porządku rosnącym, zś kżdemu kluczowi przyporządkowujemy uniklny identyfiktor. Z prwej strony telki ędziemy rysowć kolejne fzy powstwni zredukownego digrmu. Poniewż n poziomie liści zznczyliśmy klucze orz kżdemu wierzchołkowi przydzieliliśmy identyfiktory, dltego przenosimy się n poziom wyżej. Kżdemu wierzchołkowi v z rozwżnego poziomu przypisujemy klucz (,y), zgodnie z zsdą: :=id(low(v)) orz y:=id(high(v)). Wszystkie klucze porządkujemy leksykogrficznie i wpisujemy uniklne klucze do telki ook digrmu. Ook klucz dopisujemy kolejny uniklny identyfiktor (jeżeli =y to id(v):=). Tk powstł opisny digrm z rys..8c wrz z telką ook. Wierzchołki z nowymi identyfiktormi dopisnymi do telki przenosimy do digrmu zredukownego pokznego n rys..8d. Przenieśliśmy ztem wierzchołek z kluczem=(,) i identyfiktorem orz kluczem (,) z identyfiktorem (n rysunku zznczyliśmy te wierzchołki pogruioną linią). Przenosimy się n poziom z inde=, n którym znjdują się cztery wierzchołki. Możemy kżdemu wierzchołkowi ndć klucz, poniewż kżdy wierzchołek z poziomu niższego (inde=) m przypisny uniklny identyfiktor (rys..8.e). Różne klucze dopisujemy do telki w porządku rosnącym. Ndjemy im kolejne identyfiktory. Do digrmu zredukownego przenosimy trzy wierzchołki z kluczmi (,), (,) orz (,). Przechodzimy do poziomu inde= i nstępnie do poziomu inde=, w nlogiczny sposó generując klucze i przenosząc odpowiednie wierzchołki do zredukownego digrmu (rys..8.g i h). Zwróćmy uwgę n to, że licz wierzchołków w zredukownym digrmie jest równ liczie uniklnych identyfiktorów z telki orz, co wydje się oczywiste, kżdy wierzchołek w zredukownym digrmie m uniklny identyfiktor (okże się to istotne przy omwiniu innych lgorytmów). Miejsce n pseudokod REDUCE
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - ) Inde= ) Inde= Klucz () () Id Inde= () () Inde= Inde=5 () () c) d) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Klucz Id () () (,) (,) () (,) (,) () () () e) f) Klucz Id () 5 (,) 6 (,) 6 (,) 7 (,) () (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 5 5 (,) (,) 6 (,) (,) 7 (,) () () (,) 6 (,) 7 g) Klucz Id h) 8 (8,9) (,) (,) (,) (,) 5 6 6 7 (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (5,6) () () 9 (6,7) () () (,) (,) (,) (,) 5 (,) 6 (,) 7 (5,6) 8 (6,7) 9 (8,9) (5,6) 5 (,) (,) 6 (,) 8 (8,9) 9 (6,7) 7 (,) (,) Rys..8 Ilustrcj lgorytmu redukowni inrnego digrmu decyzyjnego
Tylko jko pomoc do wykłdu dr Klisi (/) - Procedur APPLY N początku niniejszego rozdziłu powiedzieliśmy, że BDD nie uduje się n podstwie drzew inrnego dnej funkcji. Gdyy tk yło, to włściwie reprezentcj funkcji w postci digrmu niczym y się nie różnił od tlicy prwdy. Njlepiej, gdyy możn yło udowć rdziej złożony digrm n podstwie mniej złożonych ( operowć n digrmch ). ) Wyjśnimy ideę tego pomysłu n f = f = f = c przykłdzie otrzymywni BDD dl dowolnej c postci dysjunkcyjnej, zkłdjąc, że mmyzudowć digrm dl przykłdowego wyrżenie + c. Nietrudno zuwżyć, że ez prolemu potrfimy zudowć digrmy dl kżdej zmiennej ) f = f = f z oson (rys..9). Jeżeli mieliyśmy f = możliwość zudowni digrmu dl AND = wyrżeni poprzez wymnożenie digrmów dl zmiennej i zmiennej (rys..9) orz dodni wynikowego digrmu do digrmu reprezentującego c, to zdnie udowy digrmu yłoy c) f f = f f + f = + c zrelizowne (rys..9c). f = c Procedur APPLY pozwl n wykonywnie dowolnych opercji inrnych OR c = n funkcjch przełączjących przedstwionych w postci inrnych digrmów c decyzyjnych. Opercj inrn jest reprezentown przez dowolną funkcję dwóch zmiennych. Ztem mjąc procedurę Rys..9 Ilustrcj tworzeni digrmu APPLY jesteśmy w stnie wykonć między innymi opercje przedstwione n rys..9 i c. Z tego względu znczenie tej procedury jest rdzo wżne, poniewż z jej pomocą możemy zudowć digrm dl dowolnej funkcji przełączjącej. Podstwowy pomysł wykorzystny w procedurze APPLY opier się n rekurencyjnym stosowniu twierdzeni Shnnon: h op g= i(hi= op g i = ) + i(h i= op g i= ) gdzie h orz g - funkcje przełączjące, op opertorinrny. Zstosownie opertor inrnego do funkcji reprezentownych przez digrmy o korzenich v iv, czyli APPLY(v,v,op), sprowdz się do rozwżeni kilku przypdków.. O wierzchołki v i v są wierzchołkmi terminlnymi. W tym przypdku wynikowy digrm zwier wierzchołek terminlny u z wrtością vlue(u):=vlue(v )opvlue(v ).. Jeśli inde(v )=inde(v )=k, to tworzymy wierzchołek u z inde=k i wywołujemy rekurencyjnie procedurę APPLY(low(v ),low(v ),op) y wygenerowć podgrf, którego korzeń stnie się low(u) orz APPLY(high(v ),high(v ),op) wygeneruje podgrf dl high(u). Czyli dl tego przypdku low(u)=apply(low(v ),low(v ),op) orz high(u)=apply(high(v ),high(v ),op).. Jeśli inde(v )=k v jest terminlny ądź inde(v )>k (funkcj reprezentown przez podgrf o korzeniu v jest niezleżn od zmiennej k ), to tworzymy wierzchołek u z inde=k i rekurencyjnie wywołujemy APPLY(low(v),v,op) w celu wygenerowni podgrfu, który stnie się low(u) tkże APPLY(high(v),v,op) y otrzymć podgrf, który ędzie korzeniem high(u). Czyli, low(u)= APPLY(low(v),v,op) orz