STUDIA INFORMATICA 2013 Volume 34 Number 2A (111) Alia MOMOT Politechika Śląska, Istytut Iformatyki Michał MOMOT Istytut Techiki i Aparatury Medyczej ITAM PERSPEKTYWY ZASTOSOWAŃ METOD STATYSTYCZNYCH W KONSTRUKCJI STRATEGII DZIAŁANIA NA RYNKACH KAPITAŁOWYCH WYKORZYSTANIE SYSTEMÓW HIERARCHICZNYCH ORAZ REGULARYZACJI Streszczeie. Artykuł opisuje kocepcję operacji a rykach kapitałowych, w szczególości istrumetów pochodych, opartą a parametryzowaej rodziie reguł decyzyjych. Dobór parametrów reguł odbywa się a drodze wielopoziomowej optymalizacji, co prowadzi do systemów o strukturze hierarchiczej. Przedstawioo empiryczą oceę propoowaych metod, a także propozycję ich rozszerzeń z wykorzystaiem między iymi kocepcji regularyzacji. Słowa kluczowe: kotrakt termiowy, optymalizacja parametrycza, hierarchiczy zbiór reguł PERSPECTIVES OF STATISTICAL METHODS IN DESIGN OF TRADING STRATEGIES FOR FINANCIAL MARKETS USING HIERARCHICAL STRUCTURES AND REGULARIZATION Summary. The paper describes cocept of operatios o capital markets based o the parameterized family of decisio rules. Selectio of rules is carried out by multilevel optimizatio, which leads to a system with hierarchical structure. A empirical evaluatio of proposed method is preseted, together with proposals for expasio usig regularizatio. Keywords: future cotract, parametric optimizatio, hierarchical set of rules
264 A. Momot, M. Momot 1. Wprowadzeie Wśród wielu przedmiotów zaiteresowaia iwestora działającego a rykach fiasowych zajdują się istrumety fiasowe pochode, do których ależą między iymi kotrakty termiowe oraz kotrakty a różice kursów [14]. Niezależie od celów tych działań, do których mogą ależeć operacje spekulacyje astawioe a osiągięcie zysku oraz działaia zabezpieczające przed ryzykiem zmia kursów walut [2], są oe prowadzoe z wykorzystaiem częstokroć zaawasowaych techologii ormatyczych [8]. Oczywiste jest tutaj pole działaia systemów zarządzaia bazami daych, iezbędych dla fukcjoowaia powszechie już skomputeryzowaych ryków wymiay, jak giełdy oraz platformy hadlu, zarządzaia zleceiami iwestorów, ich koordyowaia oraz rozliczaia fiasowych wyików ich działań [7]. Natomiast iezależie od tych zastosowań elektroicze techiki obliczeiowe już dawo powszechie wkroczyły w obszary projektowaia, aalizy i symulacji metod podejmowaia decyzji a rykach kapitałowych [4]. Będąc w powiązaiu z iżyierią fiasową [13], zarazem stosuje modele i algorytmy iteligecji obliczeiowej [5]. Statystycza ocea rezultatów tych algorytmów oraz skuteczości działaia metod pozwala a odpowiedie przygotowaie do właściwego procesu decyzyjego, którym jest realizacja operacji o skutkach fiasowych [12]. Taka ocea, o charakterze ilościowym, w postaci odpowiedich wskaźików [6] staowi często pukt wyjścia do poszukiwań owych, coraz bardziej zaawasowaych modeli i strategii [1, 3, 11]. 2. Elemetara strategia dla istrumetu pochodego Wspóle założeia rozważaych tutaj elemetarych strategii wyglądają astępująco: 1. gracz jest stale obecy a ryku, zajmując aprzemieie pozycje długie i krótkie o stałej wielkości; początkowa pozycja jest ustalaa arbitralie; 2. decyzje o odwróceiu pozycji są podejmowae wyłączie a podstawie kursów Ope- High-Low-Close w ustaloych iterwałach czasowych; 3. odwróceie pozycji odbywa się przez jedoczese zleceie zamkięcia pozycji bieżącej i otwarcie owej, przeciwej, a tym samym poziomie kursowym; 4. poziom odwróceia jest ustalay a początku iterwału w stałej odległości w górę/dół od kursu Ope i obowiązuje aż do końca iterwału; ta odległość, ozaczaa dalej symbolem t, staowi parametr strategii.
Perspektywy zastosowań metod statystyczych w kostrukcji strategii działaia 265 2.1. Strategia podążająca za tredem dla kotraktu a różicę kursów Założeia tej wersji strategii staowią rozwiięcie i uszczegółowieie ogólej kocepcji opisaej a początku sekcji. 1. Strategia ma charakter podążaia za tredem wybicie w górę to sygał zajęcia pozycji długiej, a w dół krótkiej. 2. Odwróceie pozycji odbywa się przez jedoczese zleceia StopLoss i odpowiedio BuyStop/SellStop a tym samym poziomie. Taka defiicja strategii pozwala a jedozacze określeie pozycji zajmowaych przez gracza, jego zysków i strat, z zastrzeżeiem polegającym a określeiu parametru strategii. Jest im odległość t determiująca poziom odwróceia w górę/dół relatywie do kursu Ope iterwału czasowego. W dalszej części odległość ta będzie przyjmować róże wartości z pewego przedziału. Ozacza to, że w te sposób zostaje zadaa ie pojedycza strategia, a cała ich rodzia ideksowaa stosowym parametrem skalarym t. Formale i ilościowe ujęcie tego podejścia składa się z dwóch podstawowych wzorów. Pierwszy z ich określa reguły przejścia a pozycję przeciwą lub pozostawaia a obecej. Pozycję długą ozacza liczba +1, atomiast krótką 1. Zmiea przechowująca bieżącą pozycję ozaczaa jest symbolem s (t) jako wartość pozycji a końcu iterwału o ideksie. Wspomiay powyżej parametr determiujący poziom odwróceia jako odległość od kursu Ope jest ozaczay literą t. Kursy OHLC występują w dwóch wersjach: BID (kurs kupa) oraz ASK (kurs sprzedaży), ozaczaych odpowiedimi ideksami górymi. s 1( t) 1 H t, s 1( t) 1 H t, s 1( t) 1 L t, s ( t) 1 L O t. 1 1 s ( t) (1) 1 1 1 Wzór a zyski/straty wyikające z utrzymywaia bądź odwróceia pozycji jest określay tak, jak pokazao to poiżej, przy czym oddzielie rozpatrzoo przypadek przejścia z pozycji długiej a krótką: C C 1 L t, z ( t) (2) BID ASK t C 1 O t C L t, a oddzielie przeciwy: C 1 C H t, z ( t) (3) BID ASK C 1 O t C O t H t.
266 A. Momot, M. Momot 2.2. Strategia dla kotraktu a różicę kursów w wersji atytredowej Założeia dodatkowe w tym przypadku są symetryczą wersją założeń z poprzediej podsekcji: 1. strategia ma charakter atytredowy, zway też iekiedy kotrariańskim istote odchyleie od kursu Ope w górę staowi sygał do zamkięcia pozycji długiej i otwarcia krótkiej a tym samym poziomie kursu, aalogiczie dla odchyleia kursu w dół; 2. odwróceie pozycji odbywa się przez jedoczese zleceia TakeProfit i BuyLimit/SellLimit a tym samym poziomie; 3. strategie tworzą rodzię parametryzowaą przez skalary parametr t. Zmiea przechowująca bieżącą pozycję ma tutaj postać: s 1( t) 1 H t, s 1( t) 1 H t, s 1( t) 1 L t, s ( t) 1 L O t. 1 1 s ( t) (4) 1 1 1 Natomiast wzór a zyski/straty wyikające z utrzymywaia bądź odwróceia pozycji w przypadku przejścia z pozycji długiej a krótką określay jest jako: C C 1 H t, z ( t) (5) BID ASK t C 1 O t C H t, a w przypadku przejścia z pozycji krótkiej a długą jako: C 1 C L t, z ( t) (6) BID ASK C 1 O t C O t L t. 3. Dyamicza optymalizacja parametrów strategii elemetarych Posługując się strategią elemetarą, polegającą a odwracaiu pozycji w stałej odległości t od kursu otwarcia, trzeba wziąć pod uwagę jej podstawową wadę, jaką jest podatość a losowe fluktuacje o iewielkiej amplitudzie względej [9]. Wadę tę moża starać się usuąć przez określaie odległości w sposób względy jako pewie procet wartości względem kursu otwarcia. Jedak takie ustaleie odległości odwróceia ujawia swoją słabość w okresach agłej wzmożoej zmieości kursów kotraktu przy jedoczesym braku wyraźego tredu, kiedy kurs często wykouje ruch o dużej amplitudzie, po czym zawraca [10]. Straty wyikające z częstych, kosztowych operacji odwracaia pozycji a ogół ie są rówoważoe zyskami. Problem te moża starać się rozwiązać przez adaptacyje ustalaie parametru t.
Perspektywy zastosowań metod statystyczych w kostrukcji strategii działaia 267 Poiżej przedstawioo propozycję adaptacyjego doboru tego parametru, bazującą a optymalizacji stosuku zysku do ryzyka: t opt CG( z 1, m( t, siit)) ( z 1, m( t, siit)) arg max, (7) t tt MDD( z ( t, s )) mi max 1, m gdzie jako zysk przyjęto CG, które staowi łączy skumuloway zysk wyikający ze stosowaia daej strategii, atomiast jako miarę ryzyka przyjęto MDD maksymale obsuięcie kapitału [8]. Oczywiście możliwe jest przyjęcie iych miar opisujących fukcję zysku i ryzyka, zatem wzór (7) moża zapisać w sposób uogólioy: gai( z 1, m iit opt( z 1, m( t, siit), w) arg max, (8) w ( risk( z 1, m( t, siit))) iit ( t, s gdzie gai ozacza dowolą miarę zysku, risk zaś dowolą miarę ryzyka. )) 4. Kryterium optymalizacji strategii z fukcją regularyzacji Aby poprawić skuteczość działaia reguły decyzyjej opisaej wzorem (8), propouje się jej rozszerzeie uwzględiające dodatkowy czyik regularyzacyjy: opt ( z 1, m ( t, s iit gai( z ), w, p) arg max reg( p, ) ( risk( z 1, m 1, m (, s (, s Jako czyik regularyzujący może wystąpić fukcja wykładicza p ( p) e lub alteratywie fukcja potęgowa reg iit iit )) ))) w. (9) reg p ( p). Jedak typowo stosuje się rówoważą postać wyrażeia (9) po zastosowaiu fukcji logarytmiczej (która jako fukcja ściśle rosąca ie zmieia argumetu, dla którego jest osiągae maksimum). W przypadku czyika regularyzacyjego w postaci fukcji wykładiczej fukcja kryteriala jest opisaa wzorem: c(, w, p) p log( gai) wlog( risk), (10) a w przypadku fukcji potęgowej: c(, w, p) plog log( gai) wlog( risk). (11) 5. Eksperymety umerycze Poiżej przedstawioo wyiki eksperymetów umeryczych wykorzystujących zapropoowae metody i mających a celu ilościową oceę ich skuteczości. Jako dae wejściowe przyjęto otowaia kotraktu a różicę kursową kursu futa brytyjskiego względem dolara amerykańskiego w iterwałach tygodiowych. Dae pochodzą z ogólodostępej bazy da-
268 A. Momot, M. Momot ych historyczych otowań tego kotraktu w postaci rekordów OHLC. Jako wartość miimalą dla progu odwróceia pozycji t L przyjęto 10 puktów. Liczba m, determiująca rozmiar zbioru daych dla optymalizacji parametru t, przyjmowała wartości od 1 do 200, co odpowiada zmieości horyzotu czasowego od 1 tygodia do około 4 lat. Główym celem eksperymetu było empirycze zweryfikowaie wpływu parametru ajwyższego poziomu, czyli liczby m, a zdolość uogóliaia propoowaych metod. Dokoao tego przez podział zbioru rekordów a dwie rozłącze części: zbiór uczący (zawierający dae z 2011 roku) oraz zbiór testowy (zawierający dae z 2012 roku). Badaia realizowao oddzielie dla strategii podążającej za tredem oraz strategii atytredowej. Rys. 1. Skumulowae zyski dla strategii podążających za tredem w 2011 roku Fig. 1. Cumulated gais for tred-followig strategies i 2011 Wykres a rysuku 1 przedstawia skumulowae zyski dla różych strategii podążających za tredem w 2011 roku w zależości od parametru m, którego wartości zajdują się a osi poziomej. Dae te staowią zbiór uczący. Jak moża zauważyć, dla iemal wszystkich wartości parametru m strategie tego typu przyoszą straty. Rys. 2. Skumulowae zyski dla strategii atytredowych w 2011 roku Fig. 2. Cumulated gais for tred-cotraria strategies i 2011
Perspektywy zastosowań metod statystyczych w kostrukcji strategii działaia 269 Wykres a rysuku 2 przedstawia skumulowae zyski dla różych strategii atytredowych w 2011 roku, co rówież staowi zbiór uczący. W tym przypadku moża zauważyć, że w przeciwieństwie do poprzediej wersji dla większości wartości parametru m strategie tego typu okazują się zyskowe. Rys. 3. Skumulowae zyski dla strategii podążających za tredem w 2012 roku Fig. 3. Cumulated gais for tred-followig strategies i 2012 Na kolejych dwóch wykresach (odpowiedio rysuki 3 oraz 4) przedstawioo skumulowae zyski dla obu typów strategii w 2012 roku, który staowi zbiór testowy dla tych metod uczeia. Jak moża zauważyć, sytuacja w 2012 roku jest podoba do odpowiadającej poszczególym strategiom sytuacji w 2011 roku. W przypadku strategii podążających za tredem w 2012 roku rówież strategie te przyoszą straty dla większości wartości parametru m, jedak moża tu stwierdzić pewą poprawę (patrz rysuek 3) w stosuku do zbioru uczącego, czyli 2011 roku. Rys. 4. Skumulowae zyski dla strategii atytredowych w 2012 roku Fig. 4. Cumulated gais for tred-cotraria strategies i 2012 W przypadku strategii atytredowych rówież sytuacja w 2012 roku jest podoba do aalogiczej w 2011 roku, jedak poowie moża zauważyć pewe różice. W przypadku zbioru uczącego, 2011 roku, moża było stwierdzić, że dla parametru m większego od 120
270 A. Momot, M. Momot iemal wszystkie strategie ie były zyskowe, a powyżej 150 już wszystkie przyosiły straty. Takiej charakterystyki ie moża jedak zaobserwować w przypadku zbioru testowego, czyli 2012 roku (patrz rysuek 4). Dla wybraego zakresu parametru m, czyli dziesięciu wartości od 90 do 99, przeprowadzoo serię eksperymetów, w których dla optymalizacji parametru odwróceia t zastosowao kryterium z dodatkowym czyikiem regularyzacyjym w postaci fukcji wykładiczej. Parametr p występujący we wzorze (10) przyjmował wartości od 0 do 250. Rys. 5. Skumulowae zyski dla regularyzowaej strategii podążających w 2011 roku Fig. 5. Cumulated gais for regularized tred-followig strategies i 2011 Rysuki 5 oraz 6 przedstawiają wykresy podstawowych statystyk opisowych skumulowaych zysków dla opisaych wyżej dziesięciu strategii podążających za tredem w przypadku uwzględieia czyika regularyzacyjego, w zależości od parametru p, którego wartości zajdują się a osi poziomej. Statystykami tymi są średia (zazaczoa liią pogrubioą) oraz miimum i maksimum (zazaczoe liiami przerywaymi). Rys. 6. Skumulowae zyski dla regularyzowaej strategii podążających w 2012 roku Fig. 6. Cumulated gais for regularized tred-followig strategies i 2012
Perspektywy zastosowań metod statystyczych w kostrukcji strategii działaia 271 Jak moża zaobserwować, dodaie czyika regularyzacyjego do fukcji kryterialej ie poprawiło zacząco skuteczości działaia tej metody zarówo w przypadku zbioru uczącego, czyli 2011 roku (patrz rysuek 5), jak i w przypadku zbioru testowego, czyli 2012 roku (patrz rysuek 6), w stosuku do strategii orygialych (patrz odpowiedio rysuki 1 oraz 3 dla argumetów m z przedziału [90,99]). Rys. 7. Skumulowae zyski dla regularyzowaej strategii atytredowych w 2011 roku Fig. 7. Cumulated gais for regularized tred-cotraria strategies i 2011 Rysuki 7 oraz 8 przedstawiają odpowiedio wykresy średich, miimów oraz maksimów skumulowaych zysków dla strategii atytredowych dla zbiorów uczącego oraz testowego w przypadku uwzględieia czyika regularyzacyjego. W tym przypadku moża było spodziewać się zysków, tak samo jak moża było to zaobserwować dla tego typu strategii w wersji bez czyika regularyzacyjego. Jak wyika z rysuku 7, w przypadku zbioru uczącego, czyli 2011 roku, dla iemal wszystkich wartości parametru p (poiżej 150) rzeczywiście osiągae były zyski. Moża dodatkowo stwierdzić poprawę wyików względem strategii ieregularyzowaych (patrz rysuek 2 dla argumetów m z przedziału [90,99]). Rys. 8. Skumulowae zyski dla regularyzowaej strategii atytredowych w 2012 roku Fig. 8. Cumulated gais for regularized tred-cotraria strategies i 2012
272 A. Momot, M. Momot Jak moża zaobserwować a wykresach a rysuku 8, przedstawiającym skumulowae zyski dla regularyzowaej strategii atytredowej w przypadku zbioru testowego, czyli 2012 roku, ajlepsze wyiki są osiągae dla dużych wartości parametru p (powyżej 100), co jest wyikiem iespodziewaym przy uwzględieiu aalogiczych wyików osiągaych dla zbioru uczącego przedstawioego a rysuku 7. 6. Podsumowaie W artykule opisao kocepcję operacji a rykach kapitałowych, w szczególości kotraktu a różice kursowe, opartą a parametryzowaej rodziie strategii. Dobór parametrów tych strategii odbywa się a drodze wielopoziomowej optymalizacji, co prowadzi do systemów o strukturze hierarchiczej. Przedstawioo rówież empiryczą oceę propoowaych metod w postaci eksperymetów umeryczych, w których jako dae wejściowe przyjęto otowaia kotraktu a różicę kursową kursu futa brytyjskiego względem dolara amerykańskiego a iterwałach tygodiowych. W eksperymetach jako wartość miimalą dla progu odwróceia pozycji t L przyjęto 10 puktów, a liczba determiująca rozmiar zbioru daych dla optymalizacji parametru t została tak dobraa, aby odpowiadała zmieości horyzotu czasowego od 1 tygodia do około 4 lat. Zbiór rekordów podzieloo a dwie rozłącze części: zbiór uczący, zawierający dae z 2011 roku, oraz zbiór testowy, zawierający dae z 2012 roku. Badaia realizowao oddzielie dla opisaej kocepcji strategii podążającej za tredem oraz strategii atytredowej w wersji bez czyika regularyzacyjego lub z tym czyikiem. W przedstawioych wyikach eksperymetów umeryczych strategia podążaia za tredem zarówo w wersji bez czyika regularyzacyjego, jak i z tym czyikiem okazała się ieskutecza. Natomiast strategia atytredowa przyosiła pozytywe rezultaty, a uwzględieie w iej czyika regularyzacyjego a ogół jeszcze poprawiało jej skuteczość. Ciekawym rezultatem była obserwacja, że ajlepsze wyiki dla tej strategii są osiągae dla wersji z czyikiem regularyzacyjym opisywaym parametrem p, który przyjmował duże wartości (powyżej 100), atomiast takie wartości parametru p dla zbioru uczącego dawały dużo gorsze wyiki, a powyżej 150 już tylko straty. Świadczy to o tym, że kryterium doboru parametrów m oraz p oparte wyłączie a wyikach zysków osiągaych a zbiorze uczącym jest iewystarczające. Warto tu rozważyć w przyszłości bardziej zaawasowaą metodę selekcji tych parametrów, bazującą a systemach euroowo-rozmytych. Praca wykoywaa częściowo w ramach projektu badawczego dofiasowywaego przez Narodowe Cetrum Nauki.
Perspektywy zastosowań metod statystyczych w kostrukcji strategii działaia 273 BIBLIOGRAFIA 1. Gecay R.: Optimizatio of techical tradig strategies ad the profitability i security markets. Ecoomics Letters, Vol. 59, 1998, s. 249 254. 2. Jajuga K., Jajuga T.: Iwestycje: istrumety fiasowe, ryzyko fiasowe, iżyieria fi-asowa. PWN, Warszawa 1996. 3. LeBaro B.: Techical tradig rule profitability ad foreig Exchage itervetio. Joural of Iteratioal Ecoomics, Vol. 49, 1999, s. 125 143. 4. LeBeau C., Lucas D. W.: Komputerowa aaliza ryków termiowych. WIG-Press, Warszawa 1998. 5. Łęski J.: Systemy euroowo-rozmyte. WNT, Warszawa 2008. 6. Magdo-Ismail M., Atiya A.: Maximum Drawdow. Risk Magazie, Vol. 17, No. 10, 2004, s. 99 102. 7. Momot A., Momot M.: Składowaie i przetwarzaie daych w systemach do tworzeia i ocey strategii iwestycyjych a rykach walutowych. Studia Iformatica, Vol. 30, No. 2B (84), Gliwice 2009, s. 191 202. 8. Momot A., Momot M.: Projektowaie strategii iwestycyjych a rykach termiowych z zastosowaiem symulacji komputerowych i metod Mote Carlo. Studia Iformatica, Vol. 31, No. 2B (90), Gliwice 2010, s. 397 407. 9. Momot A., Momot M.: Zastosowaie ważoego uśrediaia do projektowaia strategii iwestycyjych a rykach kapitałowych. Studia Iformatica, Vol. 32, No 2A (96), Gliwice 2011, s. 473 483. 10. Momot A., Momot M.: Adaptacyje podejście do tworzeia strategii iwestycyjych a rykach kapitałowych wraz z zastosowaiem ważoego uśrediaia. Studia Iformatica, Vol. 33, No. 2A (105), Gliwice 2012, s. 593 604. 11. Fer dez-rodr guez F., Goz lez-martel C., Sosvilla-Rivero S.: O the profitability of techical tradig rules based o articial eural etworks: Evidece from the Madrid stock market. Ecoomics Letters, Vol. 69, Issue 1, 2000, s. 89 94. 12. Vice R.: The Mathematics of Moey Maagemet: Risk Aalysis Techiques for Traders. Wiley, Nowy Jork 1992. 13. Wero A., Wero R.: Iżyieria fiasowa. Wycea istrumetów pochodych. Symulacje komputerowe. Statystyka ryku. WNT, Warszawa 1998. 14. Zalewski G.: Kotrakty termiowe w praktyce. WIG-Press, Warszawa 2006. Wpłyęło do Redakcji 16 styczia 2013 r.
274 A. Momot, M. Momot Abstract This paper describes the cocept of operatios i the capital markets, i particular the cotract for dfereces, based o parameterized family of strategies. The selectio of particular strategy is carried out by multi-level optimizatio, which leads to a system with hierarchical structure. It also presets a empirical evaluatio of the proposed methods i the form of umerical experimets i which the iput data was take as cotract for dferece exchage rate of the British poud agaist the U.S. dollar. A collectio of records was divided ito two separate parts: traiig set, cotaiig data from 2011 ad a test set, which cotais data from 2012. The preseted results of umerical experimets iclude tred-followig ad tred-cotraria strategy, both without ad with regularizatio factor. The results show that the criterio for the selectio of the parameters m ad p which is based solely o the results of the profit achieved o the traiig set is ot sufficiet. It is worth to be cosidered i the future, more sophisticated method of selectig the parameters based o soft computig methodology. Adresy Alia MOMOT: Politechika Śląska, Istytut Iformatyki, ul. Akademicka 16, 44-101 Gliwice, Polska, alia.momot@polsl.pl. Michał MOMOT: Istytut Techiki i Aparatury Medyczej, ul. Roosevelta 118, 41-800 Zabrze, Polska, michal.momot@itam.zabrze.pl.