Wykład 7: Pola skalarne i wektorowe Katarzyna Weron

Podobne dokumenty
Fale elektromagnetyczne Katarzyna Weron

Analiza wektorowa. Teoria pola.

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Teoria pola elektromagnetycznego

Fale elektromagnetyczne

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Podstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści. Przedmowa 11

Wykład 8: Elektrostatyka Katarzyna Weron

cz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski

Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika...

Ładunek elektryczny. Zastosowanie równania Laplace a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal. Wprowadzenie. Podstawowe cechy pól siłowych

Fale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?

Pojęcie ładunku elektrycznego

Elektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa

Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Elektrostatyka, cz. 1

cz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski

Pole elektromagnetyczne. Równania Maxwella

1. Podstawy matematyki

Równania dla potencjałów zależnych od czasu

opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C

Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia

W. Np. pole prędkości cieczy lub gazu, pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne, magnetyczne.

Elektrostatyczna energia potencjalna U

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Przedmowa do wydania drugiego Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13

Wykład 8 ELEKTROMAGNETYZM

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

Rozdział 6. Równania Maxwella. 6.1 Pierwsza para

Elektrostatyka. Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego

PDE. czyli równania różniczkowe cząstkowe [Partial Differential Equation(s)] wstęp do wstępu. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

Fizyka współczesna Co zazwyczaj obejmuje fizyka współczesna (modern physics)

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Elektrostatyka ŁADUNEK. Ładunek elektryczny. Dr PPotera wyklady fizyka dosw st podypl. n p. Cząstka α

Potencjał pola elektrycznego

POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO. Wykład 9 lato 2016/17 1

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Fale elektromagnetyczne

Ładunki elektryczne. q = ne. Zasada zachowania ładunku. Ładunek jest cechąciała i nie można go wydzielićz materii. Ładunki jednoimienne odpychają się

Literatura. Prowadzący: dr inż. Sławomir Bielecki adiunkt Zakład Racjonalnego Użytkowania Energii ITC PW. Zakres wykładu. Pole pojęcie fizyczne

Fizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Podstawy fizyki wykład 8

Feynmana wykłady z fizyki. [T.] 1.1, Mechanika, szczególna teoria względności / R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands. wyd. 7.

WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15

Indukcja elektromagnetyczna

dr inż. Zbigniew Szklarski

Podstawy fizyki wykład 5

SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14,

Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 2. Równania Maxwella

ŁADUNEK I MATERIA Ładunki elektryczne są ściśle związane z atomową budową materii. Materia składa się z trzech rodzajów cząstek elementarnych:

Spis treści. Tom 1 Przedmowa do wydania polskiego 13. Przedmowa 15. Wstęp 19

1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

Całki krzywoliniowe skierowane

Zasada zachowania energii

ABC matematyki dla początkujących fizyków. Elementy analizy wektorowej

Podstawy fizyki sezon 2 6. Równania Maxwella

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus)

Wykłady z Fizyki. Elektromagnetyzm

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Strumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie

Indukcja elektromagnetyczna Faradaya

Elektrodynamika. Część 5. Pola magnetyczne w materii. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie

Część IV. Elektryczność i Magnetyzm

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika

Fizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe

Elektryczność i Magnetyzm

Plan Zajęć. Ćwiczenia rachunkowe

Podstawy fizyki sezon 2 6. Indukcja magnetyczna

Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Lekcja 40. Obraz graficzny pola elektrycznego.

Teoria Pola Elektromagnetycznego

Fizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego

Bardziej formalnie, wektor to wielkość, której współrzędne zmieniają się w określony sposób przy obrót prostokątnego układu współrzędnych.

Fizyka 2 Podstawy fizyki

Elektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Wykład 15: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok

Elektrodynamika. Część 9. Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie. Ryszard Tanaś

Elektryczność i magnetyzm

Odp.: F e /F g = 1 2,

Elektryczność i Magnetyzm

Podstawy fizyki sezon 2 1. Elektrostatyka 1

Fizyka 5. Janusz Andrzejewski

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

dr inż. Zbigniew Szklarski

Podstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący:

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU Z FIZYKI W SEMESTRZE ZIMOWYM Elektronika i Telekomunikacja oraz Elektronika 2017/18

POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO

Zasada zachowania energii

Transkrypt:

Wykład 7: Pola skalarne i wektorowe Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana

Zwykła pochodna Pytanie: Mam funkcję jednej zmiennej f(x). O czym mówi pochodna df? dx Odpowiedź: Jak szybko zmienia się f(x), jeśli x zmienia się o małą porcję dx: df = df dx dx zmiana f o df zmiana x o dx szybkość zmian

Temperatura w pokoju T = T(x, y, z) Jak szybko zmienia się temperatura, jeśli przesuniemy się o małą odległość? To może zależeć od kierunku, np: Pionowo: temperatura szybko spada (ruch z góry na dół) Poziomo: brak zmian x z y

Jak szybko zmienia się T = T(x, y, z)? Nieskończenie dużo odpowiedzi dla każdego kierunku inna Ogólna odpowiedź możliwa z y x dt = T x dx + T y dy + T z dz

Gradient temperatury = T x dt = T x T x + y dx + T y y + T z z dy + T z dz dx x + dy y + dz z T d r grad T T T x x + T y y + T z z T x, T y, T z

Geometryczna interpretacja gradientu dt = T d r = T d r cosθ Kąt pomiędzy wektorami T i d r Ustalamy d r i zmieniamy tylko θ Maksymalne dt dla cosθ = 1 czyli θ = 0 Czyli dla ustalonego d r maksymalna zmiana będzie wówczas gdy poruszamy się w kierunku T Gradient funkcji wskazuje kierunek maksymalnych zmian tej funkcji. Wartość T daje nam wielkość nachylenia wzdłuż kierunku maksymalnych zmian

Wyobraź sobie Stoisz na wzgórzu i rozglądasz się Znajdujesz zbocze o największym nachyleniu To jest właśnie kierunek gradientu Teraz zmierz nachylenie tego zbocza To jest długość wektora gradientu

Pole skalarne - temperatura qjegh.lyellcollection.org

Pole skalarne φ = φ r = φ(x, y, z) Temperatura, potencjał elektrostatyczny, gęstość Poziomnice (pow. ekwiskalarne, ekwipotencjalne): φ x, y, z = const Izotermy, izobary, izohipsy Linie blisko siebie szybkie zmiany

Operator Nabla grad U = U = U x, U y, U z = x, y, z Jeśli to jest wektor to możemy zadziałać tym operatorem na inny wektor!

Pole wektorowe - prędkość

Dywergencja Pole wektorowe h: = x, y, z = x, y, z h = h x, h y, h z h = x h x + y h y + z h z = h x x + h y y + h z z

Geometryczna interpretacja dywergencji (rozbieżności, źródłowości) Nazwa dywergencja nie jest przypadkowa Divergence od diverge czyli rozchodzić (rozbiegać) się Jak rozbiega się wektor w zadanym punkcie

Geometryczna interpretacja dywergencji (rozbieżności, źródłowości) Jaka jest dywergencja w każdym z przypadków? h > 0 h = 0 h > 0

Wyobraź sobie Stoisz na brzegu oczka wodnego lub jeziora Rozsypujesz na powierzchni igły sosnowe lub trociny Jeśli rozprzestrzeniają (uciekają) od punktu, w którym zostały rozsypane dywergencja pozytywna Jeśli skupiają się tzn., że w tym punkcie dywergencja negatywna h > 0 źródło h < 0 dren (zlew, ściek)

Dywergencja źródła i ścieki

Pole elektryczne F 0 = 1 Qq 0 4πε 0 r 2 r r = q 0 1 Q r 4πε 0 r 2 r F 0 = q 0 E, E 1 Q r 4πε 0 r 2 r UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Rotacja h = wektor =,, x y z, h = h x, h y, h z h = x y z x y z h x h y h z

Interpretacja geometryczna rotacji Rotacja lub wirowość wskazuje wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego

Dywergencja i rotacja Kody matlabowe: http://www.math.umd.edu/~petersd/241/html/ex27b.html#2

Całki w elektrodynamice Całki krzywoliniowe wzdłuż pewnej ścieżki Całka okrężna całka po krzywej zamkniętej Całki powierzchniowe wzdłuż wektora prostopadłego do powierzchni Całki objętościowe

Przykład Praca W = Jeśli siła zachowawcza to: C F d l W = Fd l = 0

Całka powierzchniowa S vd a Nieskończenie mała łatka w kierunku prostopadłym do powierzchni Zadana powierzchnia Funkcja wektorowa Przykład: Oblicz całkę powierzchniową zadanej funkcji przez 5 ścian prostopadłościanu (z wykluczeniem spodu)

Całka objętościowa V Td τ Nieskończenie mały element objętości, w kartezjańskim dτ = dxdydz Zadana objętość Skalar (temperatura, gęstość) Przykład: Oblicz całkę objętościową po pryzmie z funkcji skalarnej T

Podstawowe twierdzenia dla gradientów Mamy funkcję skalarną T x, y, z Startujemy z punktu a przesuwając się o dl 1 Zmiana T wyniesie wówczas: dt = Tdl 1 Możemy następnie przesunąć się o dl 2 itd. Całkowita zmiana od a do b po ścieżce P: Tdl = T b T(a) P

Geometryczna interpretacja twierdzenia Chcesz określić wysokość wieży Eiffla Możesz wejść po schodach z linijką, zmierzyć wysokość każdego schodka i dodać te wysokości Możesz też zmierzyć wysokościomierzem wysokość na dole i na szczycie Powinno wyjść to samo!

Podstawowe twierdzenia dla dywergencji Bardzo ważne twierdzenie Tak ważne, że funkcjonuje kilka nazw, w tym: Twierdzenie Gaussa Twierdzenie Greena V vdl = S vda

Geometryczna interpretacja V vdl = S vda Jeśli v reprezentuje przepływ nieściśliwego płynu to wówczas strumień (R) równa się całkowitej ilości płynu przepływającej przez powierzchnię w jednostce czasu.

Podstawowe twierdzenia dla rotacji Bardzo ważne twierdzenie Twierdzenie Stokesa ( v)da = S P vdl

Podsumowanie T = grad T = wektor h = divh = skalar h = rot h = wektor Gradient mierzy szybkość zmian; pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego Dywergencja strumień wypływ na jednostkę objętości pewnej wielkości wektorowej (źródłowość, wydajność źródła) Rotacja pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego

Co można zrobić z nablą? T = grad T = wektor h = divh = skalar h = rot h = wektor Równania Maxwella: E = ρ ε 0 E = B t B = 0 c 2 B = E t + j ε 0 Cała teoria elektromagnetyzmu zawarta jest w tych równaniach!

Drugie pochodne pól a) T b) T = 0 c) h d) h = 0 e) h T = grad T = wektor h = divh = skalar h = rot h = wektor

Laplasjan T = T x, T y, T z T = x x T + y y T + z z T = 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 = 2 T

Konsekwencje dla fizyki T = 0 Jeśli A = 0 (pole bezwirowe) to istnieje takie ψ, że A = ψ h = 0 Jeśli D = 0 to istnieje takie C, że D = C

Elektrostatyka Przypadek statyczny nie ma zmian w czasie Położenia wszystkich ładunków są określone i niezmienne w czasie E = ρ ε 0 E = B t = 0 E = φ Potencjał elektryczny

Pola sił zachowawczych (potencjalnych) Grawitacyjne, elektrostatyczne Pole sił F = F r = F x x, y, z i + F y x, y, z j + F z x, y, z k Zachowawcze jeśli: rot F = F = 0 ψ = 0

Pola sił zachowawczych W każdym punkcie przestrzeni określona siła (wektor wartość, kierunek, zwrot) Praca potrzebna na potrzebna na przesunięcie ciała z A do B nie zależy od drogi praca W=0 po drodze zamkniętej: Pola centralne h

Siły dalekozasięgowe, centralne Oddziaływanie grawitacyjne (prawo powszechnego ciążenia Newtona): F = G m 1m 2 r 2 r Stała grawitacji Oddziaływanie elektrostatyczne (prawo Coulomba) Przenikalność dielektryczna próżni F = 1/4πε 0 Q 1 Q 2 r 2 r Source: http://www.brighthub.com

Pola sił M. Faradaya, 1831 Przestrzeń nie jest pusta

Pola sił w fantastyce naukowej czy to jest to samo? Cienka, niewidoczna (przeźroczysta, błękitnawa) nieprzepuszczalna bariera Odbija rakiety, lasery Odgradza od próżni

Czy to są dobrzy kandydaci na pola sił znane z SF? Grawitacja bardzo słaba (pomyśl o piórku!), działa na olbrzymie odległości, tylko przyciąga Elektromagnetyzm łatwo ją zneutralizować (plastikowe pociski); dalekozasięgowa h

Może inni kandydaci? Plazma? Zajrzyj do Michio Kaku, Fizyka rzeczy niemożliwych Plazma gaz zjonizowanych atomów Czwarty stan materii Najpowszechniejszy we wszechświecie, ale nie na Ziemi Łatwo nią sterować przy pomocy pól elektrycznych i magnetycznych Ogrzej gaz do bardzo wysokiej temperatury

Okna plazmowe Andy Herschcovitch, 1995 Long Island Problem próżni układy scalone (zespolenie metali) Gaz ogrzewa się do temperatury 6650 0 C Pojedyncza warstwa plazmy zbyt słaba na pociski Przeźroczysta nie zatrzyma wiązki laserowej

Nadprzewodniki i lewitacja magnetyczna Lewitacja magnetyczna - maglev Efekt Meissnera Latanie niczym Superman pas nadprzewodzących magnesów Święty Graal fizyki ciała stałego nadprzewodnik w temp. pokojowej Obecny rekord: tlenek rtęci talu baru wapnia i miedzi T*=138K

Lewitujące żaby Lewitacja diamagnetyków Andre Geim Anty Nobel (Ig Nobel) w 2000 za lewitujące żaby Andre Geim Nobel Prize w 2010 za odkrycie grafenu Kreatywność jest bardzo ważna!

Poczytaj R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana Wykłady z Fizyki, Tom 2 Michio Kaku, Fizyka rzeczy niemożliwych Prószyński i S-ka 2011