PROGRAMOWANIE LINIOWE. dr Sylwia Machowska

PROGRAMOWANIE LINIOWE dr Sylwia Machowska

Programowanie liniowe to metoda formułowania i rozwiązywania problemów decyzyjnych w warunkach istnienia ograniczeń dotyczących zasobów.

Inaczej: Jest to procedura obliczania optymalnej kombinacji zasobów przy określonych ograniczeniach.

Przykładowe problemy decyzyjne Jak rozdysponować fundusz reklamowy przedsiębiorstwa między różne środki masowego przekazu? Jaka jest optymalna wielkość produkcji dwóch łącznie wytwarzanych wyrobów przy ograniczonych zasobach pracy i kapitału?

W jaki sposób agencja rządowa powinna rozdzielić posiadane środki na dwa realizowane programy bezpieczeństwa publicznego? Jaką ilość artykułów konsumpcyjnych wytwarzanych w różnych zakładach tego samego przedsiębiorstwa należy dostarczyć do poszczególnych punktów sprzedaży, aby zminimalizować łączne koszty transportu?

Jakie elementy wspólne posiadają powyższe problemy? 1. W każdym przypadku chodzi o wyznaczenie optymalnej wartości zmiennych decyzyjnych: - określenie optymalnej struktury reklamy, - najbardziej opłacalnej wielkości produkcji, - właściwej alokacji funduszy budżetowych.

2. Każda decyzja jest podporządkowana dążeniu do określonego celu: - maksymalizacji zysku, - minimalizacji kosztów,

3. Szacowanie wartości zmiennych decyzyjnych podlega pewnym ograniczeniom: - rozmiary produkcji ograniczone są rozporządzalnymi czynnikami wytwórczymi, - budżet agencji rządowej jest ograniczony, - przedsiębiorstwo ma ograniczone zdolności wytwórcze.

W każdej z wymienionych sytuacji istotą problemu jest znalezienie takich wartości zmiennych decyzyjnych, które zapewniają najlepszy sposób osiągnięcia danego celu przy istniejących ograniczeniach.

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO MAKSYMALIZACJA ZYSKU

Symulacja problemu Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W1 i W2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I 96 000 jednostek środek II 80 000 jednostek Nakłady limitowanych środków na jednostkę wyrobów W1 i W2 zawiera tabela. Środki produkcji Jednostkowe nakłady W1 W2 I 16 24 II 16 10

Wiadomo także, że zdolności produkcyjne jednego z wydziałów stanowiącego wąskie gardło procesu produkcyjnego nie pozwalają produkować więcej niż 3000 sztuk wyrobów W1 oraz 4000 sztuk wyrobów W2.

Wiadomo również, że zysk ze sprzedaży wyrobu W1 wynosi 30 zł a wyrobu W2 40 zł. Należy ustalić optymalne rozmiary produkcji wyrobów, gwarantujące przy istniejących ograniczeniach maksymalizację zysku z ich sprzedaży.

Rozwiązanie W sformułowaniu ustalić optymalne rozmiary produkcji wyrobów zdefiniowane są właściwe zmienne decyzyjne: X1 to ilość produkcji wyrobu W1 X2 to ilość produkcji wyrobu W2 Biorąc pod uwagę limity środków produkcji I i II mamy dwa pierwsze ograniczenia:

1. 16x1+24x2 96 000 2. 16x1+10x2 80 000 Limitowane środki produkcji ograniczają produkcję Jeden z wydziałów ma ograniczone zdolności produkcyjne dlatego warunki brzegowe przybiorą postać: 3. 0 x1 3000 4. 0 x2 4000 Nie można wyprodukować więcej niż pozwalają na to zdolności wytwórcze Uwzględniając cel jaki sobie postawiło przedsiębiorstwo należy sformułować funkcję celu: 5. F(X1, X2) = 30X1 + 40X2 max Zysk z obu produkcji ma być maksymalny

Zatem, model sytuacji decyzyjnej wygląda następująco: 1. 16x1+24x2 96 000 2. 16x1+10x2 80 000 3. 0 x1 3000 4. 0 x2 4000 5. F(X1, X2) = 30X1 + 40X2 max

Ponieważ w modelu tym występują tylko dwie zmienne decyzyjne, można rozwiązać go graficznie. Najpierw należy znaleźć rozwiązanie dopuszczalne, nanosząc na układ współrzędnych warunki ograniczające i brzegowe.

1. 16x1+24x2 96 000 2. 16x1+10x2 80 000 Warunki tych nierówności są spełnione na prostych i półpłaszczyznach poniżej tych prostych Wykreślamy te proste znajdując miejsca zerowe funkcji 2 1

3. 0 x1 3000 4. 0 x2 4000 3 Wykreślamy te proste Należy znaleźć pole dopuszczalnych rozwiązań Obszar ten wyznacza zakres dopuszczalnych rozwiązań t.j. kombinacji produkcyjnych, które nie przekraczają możliwości zakładu. 4 2 1 Proste z poprzedniego rysunku

Należy znaleźć pole dopuszczalnych rozwiązań 3 Czy ta figura może wyglądać tak? Najbardziej efektywna produkcja to znaczy gwarantująca maksymalny zysk przy istniejących ograniczeniach będzie wynikała z któregoś z wierzchołków. Który z wierzchołków powstałej figury będzie rozwiązaniem? 4 2 1

Który z wierzchołków powstałej figury będzie rozwiązaniem? 5. F(X1, X2) = 30X1 + 40X2 max 3 Funkcję celu zapiszę sobie jako: = 30X1 + 40X2 Rozwiązanie spróbujemy znaleźć poprzez wykreślenie linii zysku 4 2 1

Wykreślamy linię zysku = 30X1 + 40X2 Żeby ją wykreślić trzeba znać jej nachylenie. 3 Nachylenie linii zysku to odwrotność zysków jednostkowych względem nachylenia : X1/X2= 30/40=0,75 I teraz zakładamy, że punktem wyjścia jest np. 2000 szt X2 4 X X nachylenie= = Wówczas linia zysku przetnie oś poziomą w punkcie X1= 2 1 2 1

Wykreślamy linię zysku = 30X1 + 40X2 3 Wówczas linia zysku przetnie oś poziomą w punkcie X1= X 1 2000 0,75 X 2000*0,75 1 1500 4 1500 1 15000 2

3 Teraz możemy dokonać równoległego przesunięcia linii zysku aż do punktu styczności z wierzchołkiem figury 4 1 2

3 Teraz możemy dokonać równoległego przesunięcia linii zysku aż do punktu styczności z wierzchołkiem figury Z tego wierzchołka wynikać będzie optymalna wielkość produkcji Funkcja celu: 4 = 30X1 + 40X2 2 1 Ile wynosi optymalny zysk? = 30*3000 + 40*2000 = 90000+80000 =170000

Symulacja problemu :optymalna wielkość produkcji dwóch wersji produktu (komputera) Producent wytwarza dwie wersje komputera: - Wersja standardowa (S); twardy dysk o pojemności 800 GB; stacja dysków DVD i CD. - Wersja ekonomiczna (E); twardy dysk o pojemności 400 GB; stacja CD.

Ceny, koszty i narzut w przeliczeniu na jednostkę podaje tabela (j.p. = dolary) Wersja standardowa (S) Wersja ekonomiczna (E) Cena 1600 1000 Koszty zmienne AVC Narzut (jednostkowy) 1100 700 500 300

Narzut = P AVC tak się oblicza Czyli, nadwyżka jednostkowa to de facto: ale to już znamy AFC + planowany zysk na jednostkę

Przedsiębiorstwo ma ograniczoną zdolność produkcyjną, może wytworzyć w ciągu tygodnia maksymalnie 200 stacji dysków DVD oraz twarde dyski o pojemności 200 000 GB. Pozostałe części do montażu komputerów firma posiada w wystarczającej ilości.

Przedsiębiorstwo może w dowolny sposób rozdzielić posiadany potencjał produkcyjny między produkcję obu wersji komputera. Komputery składane są przez 50-osobową załogę, która tworzy łączny zasób pracy o wielkości 2000 roboczogodzin tygodniowo. Nakład pracy przy montażu jednego komputera to 5 roboczogodzin.

Ile komputerów obu wersji powinien wytworzyć producent, chcąc osiągnąć maksymalny zysk?

Aby odpowiedzieć na to pytanie należy: 1. Sformułować problem decyzyjny w postaci zadania programowania liniowego tzn. układu równań i nierówności, dokładnie opisującego istniejące opcje. 2. Rozwiązać ten układ równań matematycznych.

narzut narzut A) Formułowanie problemu identyfikacja zmiennych decyzyjnych Przedsiębiorstwo musi określić liczbę wytwarzanych komputerów w wersji standardowej (S) oraz wersji ekonomicznej (E). Celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja łącznej nadwyżki (Π) uzyskiwanej z całej produkcji. Wielkość tej nadwyżki można zapisać jako: Π= 500S+300E To funkcja opisująca maksymalizowany cel, czyli funkcja celu.

B) Formułowanie problemu identyfikacja ograniczeń zdolności produkcyjnych Przedsiębiorstwo nie może wytwarzać nieograniczonej liczby komputerów. Istnieją trzy główne ograniczenia: Pierwsze i drugie dotyczą produkcji dysków twardych oraz stacji DVD, trzecie rozporządzanlych zasobów pracy przy montażu komputerów.

Algebraicznym wyrazem tych ograniczeń są nierówności: 1. Zgodnie z pierwszym ograniczeniem maksymalna produkcja modelu standardowego to 200 sztuk tygodniowo. 2. Produkcja obu modeli wymaga 800S+400E gigabajtów pojemności twardych dysków. Np. wytworzenie po 100 sztuk obu modeli wymaga pojemności 800*100+400*100= 120 000 gigabajtów co z dużym zapasem mieści się w ramach posiadanej zdolności produkcyjnej. 3. Łączne zapotrzebowanie na pracę to 5S+5E, ale łączne nakłady pracy nie mogą przekroczyć 2000 godzin tygodniowo.

Kompletny opis matematyczny rozważanego problemu składa się z następujących elementów: Funkcji celu, którą chcemy zmaksymalizować, trzech ograniczeń zasobowych, ograniczeń wykluczających ujemne wielkości produkcji i S 0 E 0

Matematyczny zapis rozważanego problemu jest przykładem programu liniowego. Programy te mają jedną ważną cechę: zależności między wszystkimi zmiennymi układu są liniowe. Dotyczy to zarówno funkcji celu, jak i ograniczeń.

Liniowość założenie do modelu Liniowość oznacza, że każda zmienna decyzyjna pomnożona przez odpowiedni współczynnik może być łączona z innymi zmiennymi tylko przez dodawanie lub odejmowanie. Warunek liniowości jest równoznaczny z założeniem, że wielkości analizowane w problemie decyzyjnym przychody, koszty, zyski zmieniają się proporcjonalnie do zmian wartości zmiennych decyzyjnych.

Na przykład: Jeżeli przedsiębiorstwo może sprzedać swój produkt w każdej ilości po stałej cenie, to przychód ze sprzedaży będzie proporcjonalny do wielkości produkcji i warunek liniowości będzie zachowany. Jeśli jednak przedsiębiorstwo ma opadającą krzywą popytu na swój produkt to jego przychód będzie nieliniową funkcją produkcji. W takim przypadku należy sięgnąć do bardziej złożonych metod programowania nieliniowego.

PROGRAMOWANIE LINIOWE METODA GRAFICZNA Metoda ta składa się z następujących 5 kroków: 1. Przygotowanie wykresu z zaznaczeniem na osiach liczbowych wartości obu zmiennych decyzyjnych. 2. Wykreślenie ograniczeń w taki sposób, jak gdyby były one ściśle wiążące, tzn. po przekształceniu nieostrych nierówności w równości.

3. Wyznaczenie obszaru dopuszczalnych rozwiązań, czyli pola na wykresie, w którym spełnione są równocześnie wszystkie ograniczenia. 4. Naniesienie na wykres linii odpowiadających różnym wartościom funkcji celu i określenie optymalnego narożnika (wierzchołka powstałej figury geometrycznej) na obszarze dopuszczalnych rozwiązań.

5. Rozwiązanie odpowiednich równań układu w celu określenia optymalnych wielkości zmiennych decyzyjnych w wybranym punkcie ścieżki.

Metoda graficzna w firmie komputerowej model ekonomiczny w sztukach 2) 800S+400E=200 000 D C Wykonalne operacje wielkości produkcji obydwu modeli dla E=0 komputera muszą się mieścić w 800S=200 000-400E żółtym polu pięciokąta o 1) S=200 sztuk wierzchołkach 800S=200 0ABCD, 000 400*0 zwanym 800S=200 000 obszarem dopuszczalnych rozwiązań. S=250 sztuk Dla S=0 E=500 sztuk B 3) 5S+5E=2000 dla S=0; E=400 sztuk dla E=0; S=400 sztuk 0 A model standardowy w sztukach

Każda z wykreślonych linii opisuje warianty produkcyjne pozwalające w pełni wykorzystać dany zasób. Żaden punkt leżący na prawo od linii ograniczeń produkcyjnych nie jest osiągalny.

Co dalej? Teraz należy określić wariant produkcyjny (punkt należący do obszaru dopuszczalnych rozwiązań), który zapewni maksymalizację całkowitej nadwyżki. Aby wyznaczyć ten punkt, trzeba nanieść na wykres linie proste ukazujące różne warianty, których efektem jest określona wielkość nadwyżki.

dane (str 811 w podręczniku Samuelsona): Wersja standardowa (S) Wersja ekonomiczna (E) Cena 1600 1000 Koszty zmienne AVC Narzut (nadwyżka jednostkowa) (narzut na pokrycie kosztów stałych) 1100 różnica 700 = = 500 300 różnica Celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja łącznej nadwyżki (Π) uzyskiwanej z całej produkcji. Wielkość tej nadwyżki można zapisać jako: Π= 500S+300E funkcja celu

Metoda graficzna w firmie komputerowej model ekonomiczny w sztukach D C Najbardziej efektywna produkcja to znaczy gwarantująca maksymalny zysk przy istniejących ograniczeniach będzie wynikała z któregoś z wierzchołków. B 0 A model standardowy w sztukach

Metoda graficzna w firmie komputerowej model ekonomiczny w sztukach Przy którym wierzchołku uzyskamy największy zysk (łączny narzut)? Proszę obliczyć. 0 D C B A Π= 500S+300E A; współrzędne to: 200 i 0 zatem, Π = 500*200+ 300*0= 100 000 B; współrzędne to: 200 i 110 zatem, Π = 500*200+ 300*100= 130 000 C; współrzędne to: 100 i 300 zatem, Π = 500*100+ 300*300= 140 000 D; współrzędne to: 0 i 400 zatem, Π = 500*0+ 300*400= 120 000 model standardowy w sztukach

Metoda graficzna w firmie komputerowej model ekonomiczny w sztukach D C Wykreślenie linii zysku dla zysku optymalnego = 140 000 Π= 500S+300E 140 000 = 500S+300*0 140 000 = 500S S= 280 140 000=500*0+300E 140 000=300E E= 466,67 B 0 A model standardowy w sztukach

Inny sposób znalezienia właściwego wierzchołka, założenie: nie mamy wykreślonej linii zysku, nie znamy też zysku optymalnego Istotna jest ścisła relacja między ilością sztuk obu komputerów względem siebie wynika to ze ściśle określonej nadwyżki Π= 500S+300E Nie możemy przyjąć relacji dowolnej ponieważ, albo zysk nie będzie optymalny, albo nie pozwolą na to istniejące ograniczenia.

E S Nachylenie linii zysku = ilość modeli E / ilość modeli S (przy założeniu zerowej produkcji jednego z modeli komputerów) Nie wiemy jednak jakie to wartości (nie mamy linii zysku), ale wiemy, że nachylenie to wynikać będzie z odwrotności narzutów względem nachylenia tj.: narzut modelu S / narzutu modelu E, czyli 500/300=1,67

Metoda graficzna w firmie komputerowej model E w sztukach 0 D Generalnie nachylenie liczymy: ΔY/ΔX Przy wykreślonej krzywej nie ma problemu, nachylenie= E/S = 466,67/ 280= 1,67 C B A Π= 500S+300E 140 000 = 500S+300*0 140 000 = 500S S= 280 140 000=500*0+300E 140 000=300E E= 466,67 Założyliśmy jednak, że nie znamy linii zysku, ani zysku optymalnego, ani nawet oczekiwanego. Wówczas, sięgamy do wnętrza funkcji tworząc stosunek odwrotny względem wzoru na nachylenie, czyli S/E = 500/300 = 1,67 model S w sztukach

Inny sposób znalezienia właściwego model E w sztukach wierzchołka Relacja sztuk E/S = 1,67 i z definicji równa jest nachyleniu linii zysku. D C Zakładamy, że punktem wyjścia jest np. 200 sztuk E wówczas linia zysku przetnie oś poziomą w punkcie S=.. 200/S=1,67 to S=200/1,67 S=120 oznacza to, że produkując tylko model S firma osiągnie nadwyżkę =? 500S+300E = 500*120 + 300*0= 60 000 B 0 A model S w sztukach

Inny sposób znalezienia właściwego model E w sztukach wierzchołka Relacja E/S = 1,67 i z definicji równa jest nachyleniu linii zysku. D C Zakładamy, że punktem wyjścia jest np. 250 sztuk E wówczas linia zysku przetnie oś poziomą w punkcie S=.. 250/S=1,67 to S=250/1,67 S=150 oznacza to, że produkując tylko model S firma osiągnie nadwyżkę = 500S+300E = 500*150 + 300*0= 75 000 B 0 A model S w sztukach

Inny sposób znalezienia właściwego model E w sztukach wierzchołka Relacja E/S = 1,67 i z definicji równa jest nachyleniu linii zysku. D C Zakładamy, że punktem wyjścia jest np. 400 sztuk E wówczas linia zysku przetnie oś poziomą w punkcie S=.. 400/S=1,67 to S=400/1,67 S=240 oznacza to, że produkując tylko model S firma osiągnie nadwyżkę = 500S+300E = 500*240 + 300*0= 120 000 B 0 A model S w sztukach

Inny sposób znalezienia właściwego wierzchołka model E w sztukach 0 D Ponieważ wiemy, że punktem optymalnym jest punkt C wystarczy dokonać równoległego przesunięcia linii zysku tak by była ona styczna do wierzchołka C. Z wykresu widać, że linia zysku przecina oś poziomą w punkcie 280 więc linia zysku przecinać będzie oś pionową w punkcie. C E/280=1,67 więc E= 280*1,67 E=466,67 Oznacza to, że firma produkując tylko model S osiągnie nadwyżkę B 500S+300E = 500*280 + 300*0= 140 000 A 280 model S w sztukach

Firma nie chce jednak produkować tylko modelu S, ale model S i E i to we właściwych (optymalnych) ilościach. model E w sztukach 466,67 D W konsekwencji rozwiązaniem optymalnym dla firmy (gwarantującym maksymalny zysk) przy uwzględnieniu wszystkich ograniczeń jest produkcja 300 sztuk komputerów modelu ekonomicznego i 100 sztuk komputerów modelu standard. Funkcja celu: 500S+300E = 500*100 + 300*300= 140 000 zysku C B 0 A 280 model S w sztukach

Jeszcze inne podejście zakładające umiejętność oszacowania przyszłego zysku ogółem Zakładam, że punktem wyjścia jest nadwyżka wysokości np. 100 000 $ ogółem. model E w sztukach 500S+300E=100 000 tyle chcę zysku 0 D C B A 500S+300*0=100 000 to S= 100 000/500 S=200 500*0+300E=100 000 to E= 100 000/300 E= 333,333 Wykreślam linię zysku. model S w sztukach

model E w sztukach D Dokonuje równoległego przesunięcia linii zysku w prawo tak, aby linia styczna była do wierzchołka C (linia niebieska). Funkcja celu: 500S+300E = 500*100 + 300*300= 140 000 zysku C B P.S. współczynnik nachylenia i tak wynosi 1,67 0 A model S w sztukach

Jeszcze inna droga do rozwiązania (klasyczna w matematyce) Należy wyznaczyć gradient funkcji celu Mając już narysowane proste nanosimy na wykres gradient. Gradient to wektor pochodnych cząstkowych. Wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji. Wyznacza się go jako pochodne cząstkowe funkcji po wszystkich współrzędnych.

Jeszcze inna droga do rozwiązania (klasyczna w matematyce) model ekonomiczny w sztukach prostopadła do wektora powstaje po wykreśleniu gradientu Π= 500S+300E 1. gradient 500 300 D C 90. 2. Warstwica funkcji celu 0 B A 3. model standardowy w sztukach

Jeszcze inna droga do rozwiązania (klasyczna w matematyce) model ekonomiczny w sztukach 1) S=200 sztuk Π= 500S+300E 1. gradient 2) 800S+400E=200 000 500 300 D C 90. 2. Warstwica funkcji celu 0 B A 3. 3) 5S+5E=2000 model standardowy w sztukach

Zauważmy, że zwiększanie nadwyżki to graficznie równoległe przesunięcie linii zysku w prawo. Jest tak dlatego, że warunkiem zwiększania nadwyżki jest wzrost wolumenu produkcji.

Przesunięcia nie zmieniają jednak nachylenia prostych, gdyż nadwyżka uzyskiwana ze sprzedaży komputera klasy standard jest zawsze dużo większa od nadwyżki ze sprzedaży modelu ekonomicznego (odpowiednio 500 i 300j.p.)

Optymalne rozwiązanie znajdujemy na tym wierzchołku obszaru dopuszczalnych rozwiązań do którego najwyżej położona prosta wyrażająca sumę nadwyżki jest styczna.

Firma może rozważać także inne warianty produkcji, ale każdy z nich znajdzie się na niżej położonej linii wyznaczającej wysokość osiąganej nadwyżki. Zatem nie będzie rozwiązaniem optymalnym.

Gdyby firma stwierdziła, że zysk wysokości 140 000 jest za mały to model E w sztukach D C Jeśli firma chciałaby osiągnąć nadwyżkę w kwocie 200 000 $ to: 500S+300E=200 000 500S+300*0=200 000 to S= 200 000/500 S=400 500*0+300E=200 000 to E= 200 000/300 E= 666,666 Wykreślam linię zysku. B Należy odrzucić taką możliwość gdyż jest to niewykonalny A wariant produkcji. 0 Świadczy o tym linia zysku model leżąca S w sztukach poza obszarem dopuszczalnych rozwiązań.

Symulacja problemu Rolnik uprawia dwa zboża: pszenicę i jęczmień. Uprawa tych zbóż wymaga różnych nakładów ziemi oraz kapitału. Cena pszenicy wynosi 16 $ za q, a cena jęczmienia to 10$ za q. Do wyprodukowania 100 q pszenicy są potrzebne: 1 ha ziemi i 4 roboczogodziny pracy tygodniowo. Wytworzenie takiej samej ilości jęczmienia wymaga: 1 ha ziemi i 2 roboczogodzin na tydzień.

Na produkcję pszenicy i jęczmienia rolnik może przeznaczyć 10 ha ziemi i 32 roboczogodziny tygodniowo. Jakie ilości obu zbóż powinien wyprodukować? W odpowiedzi sformułuj i przedstaw graficznie odpowiednie zadanie programowania liniowego.

Jakie ilości zbóż powinien wyprodukować rolnik, żeby.co? 1. Co będzie funkcją celu? Maksymalizacja zysku??? Do tego potrzeba kosztów a my nie mamy ceny pracy nie ma więc kosztów, nie ma kosztów to nie ma też narzutu. Ale mamy cenę towaru, możemy zatem maksymalizować przychód.

2. Jak będzie wyglądać funkcja celu? TR = P*X tu TR=P*X + P*X TR max = cena zboża * ilość zboża Ktoś podpowie? TR max = 16P+10J ; to jest funkcja celu cena pszenicy za 1q ilość pszenicy w setkach kwintali

3. Rolnik ma pewne ograniczenia jakie? ziemia (ha) ilość pszenicy w setkach q + ilość jęczmienia w setkach q P+ J 10 praca roboczogodziny na pszenicę + roboczogodziny na jęczmień 4P+2J 32 w setkach q w setkach q Potrzeba 4 roboczogodzin żeby wyprodukować 100q pszenicy Potrzeba 2 roboczogodzin żeby wyprodukować 100q jęczmienia

Z jednego ha można uzyskać 100q pszenicy, ale można też uzyskać 100q jęczmienia. Zatem, z 10 ha można uzyskać 100q*10ha= 1000q pszenicy lub 1000q jęczmienia. pszenica w kwintalach Gdyby produkować tylko jęczmień to: 4*0+2J=32 to 2J=32 to J=16 (w setkach kwintali) = 1600 q P + J = 10 ziemia Gdyby produkować tylko pszenicę to: 4P+2*0=32 to 4P=32 to P=8 (w setkach kwintali) = 800 q 4P+2J = 32 praca WYKREŚLAMY LINIE OGRANICZEŃ jęczmień w kwintalach

Nachylenie linii TR = P w setkach kwintali / J w setkach kwintali przy założeniu zerowej produkcji jednego ze zbóż Nie wiemy jednak jakie to wartości, ale wiemy, że nachylenie to wynikać będzie z odwrotności cen zbóż tj. cena jęczmienia / cena pszenicy, czyli 10/16=0,625 pszenica w kwintalach P + J = 10 ziemia I teraz przykładowo obieram 400q pszenicy. Nachylenie to 400/J=0,625 to J= 640q Rysuje więc prostą. Następnie dokonuje równoległego przesunięcia do punktu styczności z najdalej położonym wierzchołkiem figury. TR max = 16P+10J 4P+2J = 32 praca MOŻNA WYKREŚLIĆ LINIĘ PRZYCHODU jęczmień w kwintalach

Odpowiedź: Rolnik powinien produkować 600q pszenicy i 400q jęczmienia. Jego przychód wyniesie wówczas proszę obliczyć pszenica w setkach kwintali P + J = 10 ziemia TR max = 16P+10J TR= 16*600+10*400 TR max= 9600+4000 TR max= 13 600 TR max = 16P+10J 4P+2J = 32 praca linia przychodu jęczmień w setkach kwintali

P.S. o nachyleniu Nachylenie wynika z odwrotności relacji cen względem relacji ilości dóbr. P P P J rysunek w zadaniu P czyli ilość pszenicy linia przychodu TR TR=16P+10J ilość ilość J czyli ilość jęczmienia gdyby osie oznaczone były odwrotnie linia przychodu TR P J pionowa pozioma J czyli ilość jęczmienia P P J P 10 16 J P pionowa pozioma P czyli ilość pszenicy P P P J 16 10

P * X = TR P P * P = TR 16 * P = 13 600 13600 P 16 nachylenie J P Sprawdzenie poprawności myślenia 850 850 1360 RYSUNEK Z ZADANIA 0,625 P * X = TR P J * J = TR 10 * J = 13 600 13600 P 10 J nachylenie P 1360 1360 850 1,6

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO MINIMALIZACJA KOSZTÓW SYMULACJA PROBLEMU

Najtańszy wariant regulacji Agencja ds. ochrony środowiska opracowuje program ograniczenia zanieczyszczeń wody w jednej z głównych rzek regionu. W pierwszym etapie zostały określone dwa podstawowe mierniki jakości wody. Celem podejmowanych działań jest: 1. Zwiększenie zawartości tlenu w wodzie (niezbędnego do utrzymania przy życiu ryb i innych organizmów żywych) do 6 mg na litr wody. 2. Obniżenie stężenia chlorków do 70 mg na litr wody.

Agencja chciałaby osiągnąć te dwa cele przy możliwie najtańszych kosztach przez skierowanie odpowiednich funduszy na realizację dwóch programów: 1. Oczyszczanie ścieków D. Obliczono, że każdy 1 mln. dolarów przeznaczony na ten program pozwoli zwiększyć zawartość tlenu o 3 mg/l oraz zmniejszyć zawartość chlorków o 10 ml/l. 2. Regulacja rzeki F. Każdy 1 mln. dolarów wydatkowany w tym programie umożliwia w efekcie wzrost ilości tlenu o 1 mg/l oraz spadek zawartości chlorków o 20 mg/l. Ile pieniędzy powinna przeznaczyć agencja na te dwa programy (ewentualnie na jeden z nich), aby osiągnąć postawione cele?

Identyfikacja zmiennych decyzyjnych i sformułowanie funkcji celu. Agencja musi ustalić ile pieniędzy przeznaczyć na oczyszczanie ścieków (D), a ile na regulację koryta rzeki (F). Funkcją celu jest zminimalizowanie łącznych kosztów (C) obydwu programów. Zminimalizować C= D + F

Spełnienie warunków wyrażających zakładane efekty: Celem programu jest zwiększenie zawartości tlenu (6ml/l) i obniżenie zawartości chlorków (70ml/l) przy pewnych założeniach: dzięki regulacji koryta rzeki (mg/l) dzięki oczyszczaniu ścieków (mg/l) D, F to koszty dzięki oczyszczaniu ścieków (mg/l) 3D + 1F 6 10D + 20F 70 dzięki regulacji koryta rzeki (mg/l) Ktoś pomoże zapisać nierówności? cel programu osiągnięty dzięki zwiększeniu zawartości tlenu (mg/l) cel programu osiągnięty dzięki zmniejszeniu zawartości chlorków (mg/l) (D) oczyszczanie ścieków (F) regulacja koryta rzeki

Pierwszy z warunków oznacza, że efektem realizacji tych programów ma być zwiększenie zawartości tlenu w wodzie o co najmniej 6mg/l. Lewa strona nierówności odpowiada dodatkowym ilościom tlenu uzyskanym dzięki realizacji obu programów, a prawa strona określa minimalną wymaganą ilość.

Na przykład: przeznaczenie 2 mln dolarów na każdy z programów D=F=2 pozwoliłoby zwiększyć zawartość tlenu w wodzie o 3*2+2=8ml/l i z nawiązką spełnić ustaloną normę. ponieważ 3D + 1F 6 Każdy 1 milion dolarów: tlen chlorki 3 10 oczyszczanie 1 20 regulacja

Drugi warunek określa skalę regulacji zawartości chlorków: 10mg/l przypadające na 1mln dolarów wydanych w pierwszym programie i 20mg/l przypadające na 1 mln dolarów wydanych w drugim programie. Uzupełnieniem układu są warunki brzegowe D 0 i F 0 wykluczające ujemne wartości zmiennych decyzyjnych.

WYKREŚLAMY LINIE WARUNKÓW I ODNAJDUJEMY POLE DOPUSZCZALNYCH ROZWIĄZAŃ Nierówności zostały przekształcone w równania 3D + 1F = 6 10D + 20F = 70 Na wykresie szukamy wierzchołka figury geometrycznej (pole dopuszczalnych rozwiązań) położonego najbliżej środka układu współrzędnych.

W punkcie Z wydamy 1 milion dolarów na program D i 3 miliony dolarów na program F. Taka kombinacja zapewni osiągniecie celów dotyczących poziomu tlenu oraz zawartości związku chloru przy minimalnych kosztach łącznych. Z

Oczywiście można to sprawdzić odwołując się do metody algebraicznej 3D + 1F = 6 to F= 6-3D zatem, 10D + 20F =70 to 10D+ 20(6-3D)=70 10D + 120-60D = 70-50D= - 50 /-1 D= 1 3*1+ 1F= 6 F= 6-3 F= 3

Brak rozwiązania, wiele rozwiązań ZMAKSYMALIZOWAĆ: 3X + Y PRZY OGRANICZENIACH: X + 2Y 12 (np. ograniczenie zdolności wytwórczych) (np. zobowiązanie przedsiębiorcy) X + Y 15 Trudności związane są tutaj ze spełnieniem podanych ograniczeń. Nie istnieją takie wartości zmiennych decyzyjnych, które spełniałyby równocześnie obydwa ograniczenia. Tak sformułowane zadanie nie ma rozwiązania. Nie można tu wyznaczyć obszaru dopuszczalnych rozwiązań, a zatem nie ma też rozwiązania optymalnego.

Powyższy problem może się pojawić kiedy np. zmienne decyzyjne oznaczają ilość dwóch wytwarzanych wyrobów. Łączna produkcja jest ograniczona przez posiadane zdolności wytwórcze (pierwsze ograniczenie).

Jednocześnie w zawartym już kontrakcie przedsiębiorstwo zobowiązało się dostarczyć określonemu odbiorcy co najmniej 15 jednostek tych dwóch wyrobów (drugie ograniczenie).

W tym przypadku nie istnieje rozwiązanie, które pozwoliłoby osiągnąć maksymalny zysk, ponieważ przedsiębiorstwo zobowiązało się dostarczyć więcej (15), niż może wytworzyć (12).

Analiza wrażliwości dla rozwiązanych problemów

Analiza wrażliwości Za pomocą analizy wrażliwości można przewidzieć, co będzie, jeżeli nastąpi określona zmiana w warunkach działania przedsiębiorstwa. Np. kierownictwo firmy komputerowej przewiduje, że ceny komputerów ulegną zmianie. W związku z tym warto się zastanowić nad zmianą funkcji celu.

Zmiana funkcji celu U producenta komputerów wielkość nadwyżki (narzutu na pokrycie kosztów stałych) wynosi 500$ (dla modelu standardowego) i 300$ (dla modelu ekonomicznego). Wiadomo, że wielkość nadwyżki zmieni się jeżeli zmienią się ceny rynkowe albo koszty produkcji. Jak wpłynie to na optymalną wielkość produkcji przedsiębiorstwa?

To ile teraz komputerów obu wersji powinien produkować producent? Proszę wykazać metodą graficzną. ZAŁÓŻMY, że producent spodziewa się iż w najbliższych miesiącach cena rynkowa modelu ekonomicznego wynosząca obecnie 1000$ obniży się do 900$. W rezultacie osiągana przez przedsiębiorstwo nadwyżka zmniejszy się do 900-700=200$ za sztukę. Tak było: Wersja( S) Wersja (E) Cena 1600 1000 Koszty zmienne AVC Narzut (nadwyżka jednostkow a) 1100 700 500 300 Π= 500S+300E Przyjmując, że wielkość nadwyżki z modelu S nie ulegnie zmianie, nowa funkcja celu przybierze taką postać: Π= 500S+200E

To ile teraz komputerów obu wersji powinien produkować producent? model E w sztukach Obszar dopuszczalnych rozwiązań pozostaje taki sam jak na początku i nie zmienia się. Jedyną różnicę stanowi zmiana nachylenia linii zysku (nadwyżek). Trzeba więc wyznaczyć nową linię zysku. stara linia zysku Π= 500S+300E D C Π= 500S+200E Przyjmujemy hipotetyczny zysk = np. 100 000$ zatem: 100 000 = 500S+200E 100 000=500*0 + 200E 100 000= 200E to E= 500 szt 100 000 = 500S +200*0 100 000 = 500S to S=200szt B wykreślam 0 A model S w sztukach

model E w sztukach stara linia zysku D C Dokonuje równoległego przesunięcia nowej linii zysku do punktu styczności z którymś z wierzchołków obszaru dopuszczalnych rozwiązań. Po przesunięciu linii zysku wierzchołkiem właściwym jest wierzchołek B, oznacza to że producent komputerów powinien produkować 200sztuk modelu S i 100 sztuk modelu E. B A ile wynosi maksymalna wielkość zysku? Proszę obliczyć. Π= 500S+200E Zysk = 500*200+200*100 = 120 000 A 0 WNIOSEK: przedsiębiorstwo powinno zareagować model S w sztukach na spadek ceny modelu E zwiększeniem produkcji modelu S.

Zadanie analiza wrażliwości c.d. (dla rolnika) 1. Jak zmieni się optymalna struktura uprawy zbóż, jeżeli cena pszenicy wzrośnie do 22,5$ a następnie spadnie do 9$ za kwintal? 2. Co się stanie, jeżeli ceny obu zbóż obniżą się o 15%? 3. Jaki poziom musiałaby osiągnąć relacja cen, aby rolnik całkowicie zrezygnował z produkcji jęczmienia? 4. Jak niski musiałby być ten stosunek, aby skłonić go do uprawy samego jęczmienia?

1. Jak zmieni się optymalna struktura uprawy zbóż, jeżeli cena pszenicy wzrośnie do 22,5$ a następnie spadnie do 9$ za q? TR max = 22,5P+10J funkcja celu więc, przyjmujemy hipotetyczny przychód np. 10 000$ zatem: 10 000=22,5P+10*0 to P= 10 000/22,5= 444,44 pszenica w setkach kwintali P + J = 10 ziemia 10 000=22,5*0 + 10J to J= 10 000/10=1000 wykreślam i dokonuje równoległego przesunięcia TR max = 16P+10J funkcja celu 4P+2J = 32 praca Po przesunięciu linii TR widać, że linia kładzie się ona na boku czworokąta. Co to oznacza? jęczmień w setkach kwintali

UWAGA: Linia TR może w pewnym przedziale zmieniać swoje nachylenie nie powodując zmian w sytuacji optymalnej producenta: tu 600q pszenicy i 400q jęczmienia. W jakim, zatem przedziale TR może zmieniać swoje nachylenie? Tak długo dopóki będzie się poruszać pszenica w setkach kwintali P + J = 10 ziemia TR max = 16P+10J funkcja celu między linią zieloną a czerwoną (zachowując punkt styczności, tu nie zachowuje). Inaczej mówiąc dopóki nachylenie TR mieścić się będzie w przedziale między 1 a 0,5. Nachylenie linii zielonej = 1000/1000=1 4P+2J = 32 praca Nachylenie linii czerwonej = 800/1600=0,5 Nachylenie linii TR= 444,44/1000=0,44 jęczmień w setkach kwintali

Linia naszego TR nie mieści się we wskazanym przedziale. Oznacza to, że rolnik zrezygnuje z uprawy jęczmienia w sytuacji, gdy cena pszenicy wzrośnie do 22,5$. Natomiast pszenicy będzie sprzedawał 800 kwintali.

pszenica w setkach kwintali P + J = 10 ziemia TR max = 16P+10J funkcja celu 4P+2J = 32 praca jęczmień w setkach kwintali

pszenica w setkach kwintali P + J = 10 ziemia TR max = 16P+10J funkcja celu 4P+2J = 32 praca jęczmień w setkach kwintali

Linia naszego TR nie mieści się we wskazanym przedziale. Oznacza to, że rolnik zrezygnuje z uprawy pszenicy w sytuacji, gdy cena pszenicy spadnie do 9$. Natomiast jęczmienia będzie sprzedawał (produkował) 1000 kwintali.

2. Co się stanie, jeżeli ceny obu zbóż obniżą się o 15%? TR max = 16P+10J pierwotna funkcja celu TR max = 13,6P+8,5J funkcja po 15% obniżce cen Przyjmujemy hipotetyczny przychód np. 8 500$ zatem: 8 500=13,6P+8,5*0 to P= 8 500/13,6= 625 pszenica w setkach kwintali P + J = 10 ziemia 8 500=13,6*0 + 8,5J to J= 8 500/8,5= 1000 wykreślam i dokonuje równoległego przesunięcia TR max = 16P+10J funkcja celu 4P+2J = 32 praca Po przesunięciu linii TR widać, że linia łapie punkt styczności z wierzchołkiem czworoboku i mieści się między linią zieloną a czerwoną co oznacza, że jej nachylenie zawiera się w przedziale między 0,5 a 1. Sprawdzenie nachylenia TR 625/1000 = 0,62 lub 8,5/13,6 = 0,62 jęczmień w setkach kwintali

Obniżka cen obu zbóż nie zmieni struktury produkcji. Rolnik nadal będzie produkował 600q pszenicy i 400q jęczmienia i pomimo zmian cen będzie to rozwiązaniem optymalnym.

3. Jaki poziom musiałaby osiągnąć relacja cen, aby rolnik całkowicie zrezygnował z produkcji jęczmienia? Jak wiemy, relacja cen równa jest odwrotności nachylenia. Równie dobrze można by zapytać: jakie musi być nachylenie linii TR, aby rolnik zrezygnował z produkcji jęczmienia. pszenica w kwintalach P + J = 10 ziemia TR max = 16P+10J funkcja celu W tym zadaniu oscylujemy w przedziale nachylenia od 0,5 (czerwona) do 1,0 (zielona). Zatem, relacja tych cen musi odpowiadać nachyleniu mniejszemu od 0,5, aby rolnik produkował tylko pszenicę. 4P+2J = 32 praca Współczynnik nachylenia będzie malał wraz z zmniejszaniem się ilości pszenicy. jęczmień w kwintalach

Przy nachyleniu 0,5 miejsca zerowe linii TR to 800 pszenicy i 1600 jęczmienia, stąd 800/1600 = 0,5. To z kolei musi się równać odwrotności cen tzn. cena jęczmienia/cena pszenicy czyli pszenica Zatem w w tym przykładzie relacja cen jęczmienia do pszenicy kwintalach 7 0,44,wówczas rolnik zrezygnuje 16 może P + wyglądać J = 10 ziemia następująco TR max = 16P+10J z produkcji funkcja jęczmienia. celu 1 8 2 16 4P+2J = 32 praca jęczmień w kwintalach

4. Jak niski musiałby być ten stosunek, aby skłonić go do uprawy samego jęczmienia? Rolnik zrezygnuje z uprawy pszenicy i będzie produkował tylko jęczmień kiedy współczynnik nachylenia będzie większy niż 1. Inaczej mówiąc cena jęczmienia musiałaby być większa od ceny pszenicy. Pj Pp 11 1,1 10

Chwila oddechu

Ceny dualne

Pojęcie ceny dualnej Cenę dualną określonego zasobu mierzymy przyrostem wartości funkcji celu będącym wynikiem zwiększenia danego nakładu o jednostkę.

Cena dualna wskazuje więc, o ile zmieni się stopień osiągnięcia celu przy rozluźnieniu bądź zacieśnieniu pewnego ograniczenia.

Jeszcze inna definicja ceny dualnej Cena dualna informuje o ile poprawiłaby się wartość funkcji celu, jeśli zasób i-tego środka produkcji wzrósłby o jednostkę. Oznacza przyrost zysku, jaki dysponent zasobów mógłby dodatkowo osiągnąć, dokupując jednostkę i-tego środka produkcji.

Ceny dualne u producenta komputerów Przypomnienie: kierownictwo firmy realizuje swój optymalny wariant produkcji: 100 sztuk modelu S i 300 sztuk modelu E tygodniowo co daje w sumie 140 000$ nadwyżki. W tym wariancie zdolności produkcyjne w zakresie produkcji twardych dysków są wykorzystane w 100%, w pełni wykorzystane są również zasoby pracy.

Kierownictwo przedsiębiorstwa zastanawia się jakby tu jeszcze więcej zarobić? Trzeba by było zwiększyć moce wytwórcze w zakresie twardych dysków lub zwiększyć zatrudnienie. Jak duże zyski można by osiągnąć w przypadku zwiększenia mocy lub zatrudnienia????

Przypuśćmy, że producent komputerów zwiększa swoje zdolności produkcyjne w tym zakresie z 200 000 do 220 000 GB. model E w sztukach 550 0 1) S=200 sztuk 2) 800S+400E=200 000 D C B A 275 3) 5S+5E=2000 Wzrost zdolności wytwórczych w sensie graficznym wyrażony jest przesunięciem linii ograniczenia produkcji dysków w prawo. Wraz ze zwiększeniem zdolności wytwórczych punkt C przesuwa się na prawo w dół. model S w sztukach

Ograniczenia ilościowe dotyczące naszych zasobów mają teraz postać: 800S+400E 220 000 i 5S+5E 2000 model E w sztukach 250 D Znajdźmy teraz optymalne rozwiązanie określające 1) strukturę S=200 sztuk produkcji (widać je na rysunku) C Obecnie, suma nadwyżki wyniesie proszę obliczyć. Funkcja celu nie zmieniła się: Π= 500S+300E zatem, 2) 800S+400E=220 000 Π= 500*150+300*250= 150 000 B 3) 5S+5E=2000 0 150 A model S w sztukach

Wniosek: Zwiększenie pojemności dysków twardych Z 200 000 do 220 000 GB czyli o 20 000 GB daje przyrost nadwyżki o 10 000$ (150 000 140 000). A zatem, cena dualna dodatkowej jednostki zdolności produkcyjnej wynosi:

10 000/ 20 000 = 0,5$ zmiana nadwyżki (zysku) zmiana mocy produkcyjnych W tym przypadku, cena dualna to będzie: zmiana nadwyżki (zysku) wynikająca ze zmiany mocy produkcyjnych. Inaczej: z powodu zwiększenia zdolności produkcyjnych o jednostkę przybędzie nam pół dolara.

Wracamy do komputerów. Analogiczny rachunek przeprowadzamy w celu określenia ceny dualnej dodatkowej godziny pracy. Przyjmijmy, że przedsiębiorstwo zwiększa nakłady pracy z 2000 godzin tygodniowo do 2100 godzin tygodniowo.

Wiążące ograniczenia zasobowe opisują obecnie równania: 5S+5E = 2100 oraz 800S+400E=200 000 (możliwa pojemność dysków tw.) Optymalna struktura produkcji to teraz.

5S+5E = 2100 oraz 800S+400E=200 000 model E w sztukach W wyniku równoległego przesunięcia zmieni się pole dopuszczalnych rozwiązań 340 420 2) 800S+400E=200 000 D C 1) S=200 sztuk 3) 5S+5E=2100 Miejsca zerowe to po 420 Z wykresu odczytujemy, że nasze współrzędne to dla E=340, dla S=80 Suma nadwyżki wyniesie.. Π=500S+300E to Π=500*80+300*340 Π= 142 000 B 0 80 A 420 model S w sztukach

Nakłady pracy zwiększyliśmy z 2000 do 2100 czyli o 100 godzin. Zwiększenie nakładów pracy o 100 godzin spowodowało zwiększenie nadwyżki ze 140 000 do 142 000$ czyli o 2000$. Zatem, cena dualna jednostki pracy to 2000/100 = 20$ Z dodatkowej godziny pracy w uzyskaliśmy 20$. ostatni

TO JAKAŚ MASAKRA